Potencial electrico clase 6 TE

1. Clase 6
06/Febrero/2015

2.  La fuerza eléctrica que ejercen dos cargas esta dirigida a lo largo de la línea que
une a las dos cargas y depende de la inversa del cuadrado de su separación, lo
mismo que la fuerza gravitatoria que ejercen dos masas. Al igual que la fuerza
gravitatoria, la fuerza eléctrica es conservativa. Existe por lo tanto, una función
energía potencial 𝑈 asociada con la fuerza eléctrica. Si situamos una carga de
prueba 𝑞 𝑜 en un campo eléctrico, su energía potencial es proporcional a 𝑞0. La
energía potencial por unidad de carga es una función de la posición en el espacio
de la carga y se denomina potencial eléctrico.
 Como es un campo escalar, en muchos casos su obtención y manejo puede ser más
fácil que el campo eléctrico.

3.  Si una carga de prueba positiva, 𝑞0, pasa de un punto 𝐴 a un punto 𝐵 en presencia
del campo de una carga puntual 𝑞, el cambio de energía potencial en dicho campo
se calcula por
 Puesto que la fuerza 𝑞0 𝐸 es conservativa, esta integral de línea no depende de la
trayectoria positiva seguida entre 𝐴 y 𝐵.
∆𝑈 = −𝑞0
𝐴
𝐵
𝐸 ∙ 𝑑𝑠

4.  La diferencia de potencial eléctrico entre dos puntos 𝐴 𝑦 𝐵 , en un campo
electrostático 𝐸, se define como el cambio de la energía potencial ∆𝑈 dividida entre
la carga de prueba positiva 𝑞0. Se expresa por:
 La diferencia de potencial eléctrico ∆𝑉 entre los puntos 𝐴 𝑦 𝐵, también se puede
definir como el trabajo por unidad de carga que un agente externo debe efectuar
para mover una carga de prueba de 𝐴 𝑎 𝐵 sin un cambio en la energía cinética de
la carga de prueba, es decir:
∆𝑉 = 𝑉𝐵 − 𝑉𝐴 =
∆𝑈
𝑞0
= −
𝐴
𝐵
𝐸 ∙ 𝑑𝑆

5.  Es importante señalar que el cambio de energía potencial de la carga es el
negativo del trabajo realizado por la fuerza eléctrica.
 Puesto que la diferencia de potencial es una medida de la energía por unidad de
carga, la unidad de la diferencia de potencial es joule por coulomb en el S.I. Esta
unidad se conoce como volts (V), es decir:
∆𝑉 =
𝑊
𝑞
1𝑉 =
1𝐽
1𝐶

6.  La diferencia de potencial entre los puntos 𝐴 𝑦 𝐵 en un campo eléctrico uniforme 𝐸
es:
 Donde 𝑑 es la distancia entre los puntos 𝐴 𝑦 𝐵 (si el desplazamiento es de dirección
opuesta a la del campo eléctrico). De esta manera la intensidad del campo eléctrico
puede expresarse en volts/metro en el S.I., o sea que:
𝑉𝐵 − 𝑉𝐴 = 𝐸𝑑
1
𝑁
𝐶
= 1
𝑉
𝑚

7.  La diferencia de potencial entre dos puntos 𝐴 𝑦 𝐵 debida a una carga puntual se
obtienen a partir de la expresión:
𝑉𝐵 − 𝑉𝐴 = 𝑘𝑞
1
𝑟𝑏
−
1
𝑟𝑎

8.  Es la unidad de energía que define como al energía que un electrón ( o protón)
gana o pierde al moverse a través de una diferencia de potencial de 1V. Se
relaciona con el joule de la manera siguiente:
1𝑒𝑉 = 1.60 × 10−19
𝐽

9.  Si el potencial eléctrico o simplemente potencial se considera nulo en 𝑟𝐴 = ∞, el
potencial de una carga puntual es:
 Donde
 𝑞 = 𝑒𝑠 𝑙𝑎 𝑐𝑎𝑟𝑔𝑎 𝑞𝑢𝑒 𝑔𝑒𝑛𝑒𝑟𝑎 𝑒𝑙 𝑐𝑎𝑚𝑝𝑜 𝑒𝑙𝑒𝑐𝑡𝑟𝑖𝑐𝑜
 𝑟 = 𝑑𝑖𝑠𝑡𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 𝑙𝑎 𝑐𝑎𝑟𝑔𝑎 𝑦 𝑒𝑙 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑠𝑒 𝑑𝑒𝑠𝑒𝑎 𝑐𝑜𝑛𝑜𝑐𝑒𝑟 𝑒𝑙 𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑙
 Se puede afirmar que el potencial eléctrico en un punto arbitrario es igual al
trabajo requerido por unidad de carga para llevar una carga de prueba positiva
desde el infinito hasta ese punto. El potencial eléctrico es una magnitud escalar.
𝑉 = 𝑘
𝑞
𝑟

10.  El potencial en un punto debido a una de las cargas no se afecta por la presencia
de las otras cargas. Para determinar el potencial, se suman los potenciales debidos
a cada una de las cargas como si fuese la única presente (principio de
superposición). En forma matemática:
 El potencial en un punto debido a una distribución continua de carga se calcula
por medio de:
𝑉 = 𝑉1 + 𝑉2 + 𝑉3 + ⋯ + 𝑉𝑖 =
𝑖=1
𝑛
𝑉𝑖 = 𝑘
𝑖
𝑞𝑖
𝑟𝑖
𝑉 = 𝑘
𝑑𝑞
𝑟

11.  Son superficies sobre las cuales el potencial eléctrico permanece constante. Las
líneas de campo eléctrico son perpendiculares a las superficies equipotenciales.

12.  La energía potencial entre un par de cargas puntuales separadas por una
distancia 𝑟12 es:
 𝑈 es positiva si las cargas son del mismo signo, si las cargas son de signo opuesto,
𝑈 es negativa.
 Si hay mas de dos cargas la energía potencial total puede obtenerse calculando 𝑈
para cada par de cargas y sumando los términos algebraicamente.
𝑈 = 𝑘
𝑞1 𝑞2
𝑟12

13.  La intensidad del campo eléctrico 𝐸 y el potencial eléctrico 𝑉 son descripciones
equivalentes en electrostática. Si se conoce el potencial eléctrico en un cierta
región, la intensidad del campo eléctrico se puede calcular por:
𝐸 𝑥 = −
𝑑𝑉
𝑑𝑥

14.  𝐸 𝑥 es la componente de 𝐸 en la dirección de 𝑑𝑥. El signo menos implica que 𝐸 𝑥
apunta en la dirección decreciente de 𝑉, o sea que el negativo de la rapidez de
cambio del potencial con la posición en cualquier dirección es la componente de 𝐸
en esa dirección.
 En general el potencial eléctrico es una función de las tres coordenadas espaciales
si 𝑉(𝑟) esta dada en términos de coordenadas rectangulares, las componentes de la
intensidad del campo eléctrico 𝐸 𝑥, 𝐸 𝑦 y 𝐸𝑧 puede calcularse por
𝐸 𝑥 = −
𝜕𝑉
𝜕𝑥
𝐸 𝑦 = −
𝜕𝑉
𝜕𝑦
𝐸𝑧= −
𝜕𝑉
𝜕𝑧

15.  Todo punto sobre la superficie de un conductor cargado eléctricamente en
equilibrio electrostático se encuentra al mismo potencial.
 En todos los puntos dentro del conductor el potencial eléctrico es igual a su valor
en la superficie.

16.  Problema 1
 ¿Cuánto trabajo se realiza (por una batería, generador u otra fuente de energía
eléctrica) al mover un número de Avogadro de electrones a partir de un punto
inicial donde el potencial eléctrico es 9V hasta un punto donde el potencial es -5V?
(El potencial en cada caso se mide en relación con un punto de referencia común).

17.  Solución
 Datos
 𝑁𝑒− = 𝑁𝐴 = 6.023 × 1023 𝑒− , 𝑞 𝑒 = −1.6 × 10−19 𝐶, tenemos que ∆𝑉 = 𝑉𝐵 − 𝑉𝐴 =
− 14𝑉
 Se nos pide calcular 𝑊 =?
 Sabemos que: ∆𝑉 =
∆𝑈
𝑞0
=
𝑊
𝑞0
⟹ 𝑞 𝑒− ∙ ∆𝑉 = 𝑊(𝑏𝑎𝑡𝑒𝑟í𝑎)
 Por lo tanto tenemos que: −14
𝐽
𝐶
× −1.6 × 10−19 𝐶 × 6.023 × 1023 𝑒
 ∴ 𝑊(𝑏𝑎𝑡𝑒𝑟í𝑎) = 1.35𝑀𝐽

18.  Problema 2
 Un ion acelerado mediante una diferencia de potencial de 115V experimenta
aumento en su energía cinética de 7.37 × 10−17 𝐽. Calcule la carga en el ion.

19.  Solución
 Datos
 ∆𝑉 = 115𝑉, ∆𝐸 𝑘 = 7.37 × 10−17 𝐽, 𝑞𝑖𝑜𝑛 =?
 Sabemos que: ∆𝑉 =
∆𝑈
𝑞
 Pero por la conservación de la energía: ∆𝑈 = ∆𝐸 𝑘
 ∴ ∆𝑉 =
∆𝐸 𝑘
𝑞
⟹ 𝑞𝑖𝑜𝑛 =
∆𝐸 𝑘
∆𝑉
=
7.37×10−17
115
= 6.4 × 10−19 𝐶

20.  Problema 3
 a) Calcule la rapidez de un protón que es acelerado desde el reposo de una
diferencia de potencial de 120V. b) Calcule la rapidez de un electrón que se acelera
a través de la misma diferencia de potencial.

21.  Solución Inciso a
 Datos
 ∆𝑉 = 120𝑉, 𝑞 𝑝+ = 1.6 × 10−19 𝐶, 𝑚 𝑝+ = 1.67 × 10−27 𝑘𝑔
 Por la conservación de la energía: −∆𝑈 = ∆𝐸 𝑘
 ∴ ∆𝑉 =
∆𝑈
𝑞 𝑝+
=
∆𝐸 𝑘
𝑞 𝑝+
⟹ ∆𝑉 × 𝑞 𝑝+ =
1
2
𝑚 𝑝+ ∙ 𝑣 𝑝+
2
 ⟹ 𝑉𝑝+ =
2∙∆𝑉∙𝑞 𝑝+
𝑚 𝑝+
=
2 120 1.6×1019
1.67×10−27 = 152𝑘𝑚/𝑠

22.  Solución Inciso b
 Sabemos que:
 𝑞 𝑒− = 1.6 × 10−19 𝐶, 𝑚 𝑒− = 9.1 × 10−31 𝑘𝑔
 Por la conservación de la energía: −∆𝑈 = ∆𝐸 𝑘
 ∴ ∆𝑉 =
∆𝑈
𝑞 𝑒−
=
∆𝐸 𝑘
𝑞 𝑒−
⟹ ∆𝑉 × 𝑞 𝑒− =
1
2
𝑚 𝑒−
∙ 𝑣𝑒−
2
 ⟹ 𝑉𝑒− =
2∙∆𝑉∙𝑞 𝑒−
𝑚 𝑒−
=
2 120 1.6×1019
9.1×10−31 = 6.49𝑀 𝑚/𝑠

23.  Problema 4
 ¿Qué diferencia de potencial se necesita para frenar un electrón que tiene una
rapidez inicial de 4.20 × 105 𝑚/𝑠?

24.  Solución
 Sabemos que:
 𝑣𝑓 = 0 𝑣𝑖 = 4.2 ×
105 𝑚
𝑠
𝑚 𝑒− = 9.1 × 10−31 𝑘𝑔 𝑞 𝑒− = −1.6 ×
10−19 𝐶 ∆𝑉 = ?
 Por la conservación de la energía: ∆𝑉 =
∆𝑈
𝑞 𝑒−
=
−∆𝐸 𝑘
𝑞 𝑒−
 ⟹ ∆𝑉 =
− 0−
1
2
𝑚 𝑒− ∙ 𝑣 𝑒−
2
𝑞 𝑒−
⇒ ∆𝑉 =
9.1×10−31 4.2×105 2
2 −1.6×10−19
 ⟹ ∆𝑉 = −0.502𝑉

25.  Problema 5
 Una carga de 34𝜇𝐶 se mueve entre dos puntos para los cuales hay una diferencia
de potencial de 48V. ¿Cual es el cambio en la energía potencial?

26.  Solución
 Sabemos que:
 𝑞 = 34𝜇𝐶 ∆𝑉 = 48𝑉
 La diferencia de potencial entre dos puntos, está dada por: ∆𝑉 =
∆𝑈
𝑞
 Despejando el cambio de energía potencial se tiene
 ⟹ ∆𝑈 = 𝑞∆𝑉
 Sustituyendo valores
 ∆𝑈 = 34 × 10−6
𝐶 48𝑉 = 1.63 × 10−3
𝐽