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ELECTROMAGNETISMO


    RESUMEN I
CAMPO ELÉCTRICO
1 Introducción.
2 Carga eléctrica.
3 Ley de Coulomb.
4 Campo eléctrico y principio de superposición.
5 Líneas de campo eléctrico.
6 Flujo eléctrico.
7 Teorema de Gauss. Aplicaciones.
                                   Bibliografía
        -Tipler. "Física". Cap. 18 y 19. Reverté.
        -Gettys; Keller; Skove. "Física clásica y moderna". Cap. 20 y 21. McGraw-Hill.
        -Serway. "Física". Cap. 23 y 24. McGraw-Hill.
1. INTRODUCCIÓN HISTÓRICA

    Gilbert (1540-1603) descubrió que la electrificación era
     un fenómeno de carácter general.

En 1729, Stephen Gray demuestra que la electricidad tiene
 existencia por sí misma y no es una propiedad impuesta al
 cuerpo por rozamiento.

Franklin (1706-1790) demuestra que existen dos tipos de
 electricidad a las que llamó positiva y negativa.

 Coulomb (1736-1806) encontró la ley que expresa la
  fuerza que aparece entre cargas eléctricas.
En 1820 Oersted observó una relación entre electricidad
 y magnetismo consistente en que cuando colocaba la
 aguja de una brújula cerca de un alambre por el que
 circulaba corriente, ésta experimentaba una desviación.
 Así nació el Electromagnetismo.

 Faraday (1791-1867) introdujo el concepto de Campo
  Eléctrico.

Maxwell (1831-1879) estableció las Leyes del
 Electromagnetismo, las cuales juegan el mismo papel
 en éste área que las Leyes de Newton en Mecánica.
2. CARGA ELÉCTRICA


Es una magnitud fundamental de la física, responsable de la
interacción electromagnética.

En el S.I. La unidad de carga es el Culombio (C) que se
define como la cantidad de carga que fluye por un punto de
un conductor en un segundo cuando la corriente en el
mismo es de 1 A.

                          1 nC = 10-9 C
      Submúltiplos del    1 µC = 10-6 C
      Culombio
                          1 mC =10-3 C
Características de la carga

 i) Dualidad de la carga: Todas las partículas cargadas
    pueden dividirse en positivas y negativas, de forma que
    las de un mismo signo se repelen mientras que las de
    signo contrario se atraen.
 ii) Conservación de la carga: En cualquier proceso físico,
     la carga total de un sistema aislado se conserva. Es
     decir, la suma algebraica de cargas positivas y
     negativas presente en cierto instante no varía.

 iii) Cuantización de la carga: La carga eléctrica siempre
      se presenta como un múltiplo entero de una carga
      fundamental, que es la del electrón.
3. LEY DE COULOMB

A lo largo de este tema estudiaremos procesos en los que la
carga no varía con el tiempo. En estas condiciones se dice
que el sistema está en Equilibrio Electrostático.


 Enunciado de la Ley de Coulomb

La fuerza ejercida por una carga puntual sobre otra está
dirigida a lo largo de la línea que las une. Es repulsiva si las
cargas tienen el mismo signo y atractiva si tienen signos
opuestos. La fuerza varía inversamente proporcional al
cuadrado de la distancia que separa las cargas y es
proporcional al valor de cada una de ellas.
Expresión vectorial de la Ley de Coulomb

           Z

                          
                    r21 = r2 − r
                               1   q2             q1q2 
               q1
                                         F12 = k      ur
               r
               1             r2                       2
                                                    r12
                              Y
X         k: Constante de Coulomb, cuyo valor depende del
          sistema de unidades y del medio en el que
          trabajemos.

                    S.I.   k = 9·109 N m2/C2
    En el vacío
                    C.G.S.    k = 1 dyna cm2/u.e.e2
                                                 1 C = 3·109 u.e.e.
Constantes auxiliares

  Permitividad del Vacío (εo): Se define de forma que

                            1
                      k=
                           4πεo


                  εo= 8.85·10-12 C2/N m2

Si el medio en el que se encuentran las cargas es distinto al
vacío, se comprueba que la fuerza eléctrica es κ veces
menor, de esta forma se define la Permitividad del Medio
como ε = κ εo.. Siendo κ la Constante Dieléctrica del Medio
Así,
                                1
                         k' =
                                4πε
4. CAMPO ELÉCTRICO. PRINCIPIO
              DE SUPERPOSICIÓN


La interacción entre cargas eléctricas no se produce de
manera instantánea. El intermediario de la fuerza mutua
que aparece entre dos cargas eléctricas es el Campo
Eléctrico.


    La forma de determinar si en una cierta región
    del espacio existe un campo eléctrico,
    consiste en colocar en dicha región una carga
    de prueba, qo (carga positiva puntual) y
    comprobar la fuerza que experimenta.
Z                    La fuerza eléctrica entre la
                         F    carga q y la carga de prueba
                              qo es repulsiva, y viene dada
                             por
                r   qo                    qqo 
                                  Fqqo = k     ur
                                             2
            q
                                           r12
                                 Y
X           Se define la intensidad de campo eléctrico en
            un punto como la fuerza por unidad de carga
            positiva en ese punto.
                                   La dirección y sentido
     F                  q
    E=               E = k ur       del campo eléctrico
       qo                 r2        coincide con el de la
                                    fuerza eléctrica.
PRINCIPIO DE SUPERPOSICIÓN

A la hora de aplicar el principio de superposición debemos
tener en cuenta dos casos:
I) Campo eléctrico creado por una distribución discreta
   de carga en un punto:
En este caso se calcula el campo eléctrico sumando
vectorialmente los campos eléctricos creados por cada una
de las cargas puntuales en el punto elegido.
       Z
                            P
            q1
                   rp1         
                              rpi              qi 
                q2      rp 2     q      E=∑ k u       r
                                 i
                                             i   r2
                                                 pi
                             Y
X
II) Campo eléctrico creado por una distribución continua
    de carga en un punto:
                      P
                            En este caso dividimos la
                           distribución en pequeños
                  r         elementos diferenciales de
     Q       dq             carga, dq, de forma que la
                            diferencial de campo eléctrico
                            que crea cada una de ellas
                            es               dq 
                                        dE = k ur
                                              r2

                            
                                 ∫
El campo eléctrico total         dq 
para toda la distribución   E = k ur
                                   2
será                             r
Dependiendo de la forma de la distribución, se definen
 las siguientes distribuciones de carga

       Lineal         Superficial       Volumétrica

         dq              dq                    dq
      λ=              σ=                    ρ=
         dl              ds                    dv

Cálculo del campo eléctrico en cada caso:

                                          
        ∫                 ∫                    ∫
           dl              ds                   dv 
    E = k λ ur        E= kσ    u            E= kρ    u
                              2 r                   2 r
           r2               r                     r
        L                 S                    v
Ejemplo 1: Campo eléctrico sobre el eje de una carga
lineal finita.




            x                 xo-x
Ejemplo 2: Campo eléctrico fuera del eje de una carga
lineal finita.




                 d
Ejemplo 3: Campo eléctrico creado por una distribución
uniforme de carga  en forma de anillo de radio a, en un
punto de su eje.
Ejemplo 4: Campo eléctrico creado por una distribución
uniforme de carga  en forma de disco de radio R, en un
punto de su eje.



               dq

                                  r
                                      ϕ         P   dEx   X
                              x           dEy
5. LÍNEAS DE CAMPO ELÉCTRICO
                                                      
Las líneas de campo se dibujan de forma que el vector E
sea tangente a ellas en cada punto. Además su sentido
debe coincidir con el de dicho vector.
 Reglas para dibujar las líneas de campo
•Las líneas salen de las cargas positivas y entran en las negativas.

• El número de líneas que entran o salen es proporcional al valor
  de la carga.
•Las líneas se dibujan simétricamente.

•Las líneas empiezan o terminan sólo en las cargas puntuales.

•La densidad de líneas es proporcional al valor del campo eléctrico.

•Nunca pueden cortarse dos líneas de campo.
EJEMPLOS DE LÍNEAS DE CAMPO ELÉCTRICO

             Carga
             puntual




         Dos cargas
         iguales
Dipolo
     eléctrico




                 Q(-)=2Q(+)
Más ejemplos
6. FLUJO ELÉCTRICO

El flujo eléctrico da idea del número de líneas de campo que
atraviesa cierta superficie. Si la superficie considerada
encierra una carga, el número de líneas que atraviesa dicha
superficie será proporcional a la carga neta.
                     
                    ds                   
                         
                         E
                                           ∫
                                    Φ = E ⋅ ds
                                           s
                    Para una superficie cerrada el flujo será
                    negativo si la línea de campo entra y positivo si
                    sale. En general, el flujo neto para una
                    superficie cerrada será                
                                                         ∫
                                                           
                                                  Φ = E ⋅ ds
                                                         s
Dipolo eléctrico encerrado en una superficie de forma
arbitraria
Superficie de forma arbitraria que incluye las cargas
+2q y –q.
Ejemplo 1.- Una carga puntual q está situada en el centro de
una superficie esférica de radio R. Calcula el flujo neto de
campo eléctrico a través de dicha superficie.

               ds            El campo eléctrico creado por una
                       E      carga puntual viene dado por
                                             q 
         R                              E = k 2 ur
                                             r
              q

                            En la superficie de la esfera se
                            cumple que r = R, luego

                                         q 
                                    E = k 2 ur
                                         R
Para calcular el flujo a través de la superficie esférica, tenemos en
cuenta que el campo eléctrico es paralelo al vector superficie en cada
punto, por lo tanto




               ∫              ∫                                ∫
                                    q                q
         Φ=        E ⋅ ds =       k       2
                                              ds = k       2
                                                                   ds
                                      R                R
El área de una superficie esférica viene dada por S =4πR2, luego

                       kq
                    Φ = 4π R 2
                       R2
                                                       Independiente de R
     Flujo total          Φ = 4π k q
Ejemplo 2.- Supongamos un cilindro de radio R colocado en el
seno de un campo eléctrico uniforme con su eje paralelo al
campo. Calcula el flujo de campo eléctrico a través de la
superficie cerrada.
                        El flujo total es la suma de tres términos,
           ds            dos que corresponden a las bases (b1 y
                         b2) mas el que corresponde a la superficie
                         cilíndrica. En ésta última el flujo es cero ya
                        que los vectores superficie y campo son
           E            perpendiculares. Así
                    ds
                                                     ∫              ∫
                                                                      
                E                          Φ=            E ⋅ ds +       E ⋅ ds
                                                     b1             b2


           
          ds
                         Φ=
                              ∫   E ds cos π +
                                                 ∫   E ds cos 0


                Φ=0
                               El flujo sólo es proporcional a la carga
                              que encierra una superficie, no a la
          E                    forma de dicha superficie.
7. TEOREMA DE GAUSS

 Este teorema da una relación general entre el flujo de
 campo eléctrico a través de una superficie cerrada y la
 carga encerrada por ella.

Ya hemos visto que el flujo neto a través de una superficie
esférica viene dado por

                   Φ = 4π k q

      Vamos a comprobar que este flujo es
      independiente de la forma de la distribución.
      Sólo depende de la carga que haya en el
      interior.
I        Consideremos varias superficies
                                   centradas en una esférica que
                                   contiene una carga q.

                     s2       s3
                s1
               q                        El flujo a través de la
                                        superficie esférica es
                                                      q
                                         Φ = 4π k q =
                                                      εo

  Como el número de líneas que atraviesan las tres
  superficies es el mismo, se cumple que
                                                  Φ1 = Φ 2 = Φ 3
Por lo tanto el flujo es independiente de
la forma de la superficie.
II   Supongamos ahora una carga q próxima a una
     superficie cerrada de forma arbitraria. En este caso
     el número neto de líneas de campo que atraviesa
     la superficie es cero (entran el mismo número de
     líneas que salen), por lo tanto




                                     Φ=0
q



     El flujo a través de una superficie que no
     encierra carga es nulo.
Generalización de los resultados

Para distribuciones de carga, ya sean discretas o
continuas, podemos aplicar el principio de superposición.

Ejemplo:
                S’                        q1
                     q2          Φ (S ) =
S                                         εo
                      q3
                                                ( q 2 + q3 )
        q1                           Φ (S ' ) =
               S’’                                   εo
                                                      Φ (S ' ' ) = 0


                           ∫
                                 q
                 Φ=            E ⋅ ds = int
                                        εo
Enunciado del Teorema de Gauss

El flujo eléctrico neto a través de cualquier superficie
gaussiana cerrada es igual a la carga neta que se encuentre
dentro de ella, dividida por la permitividad del vacío.

         Esta ley sólo puede aplicarse a problemas con
                         gran simetría.

     Procedimiento para aplicar el teorema de Gauss

Dada una distribución
                                        
                           E paralelo a ds
de carga, buscar una                           en todos los puntos
superficie gaussiana                            de la superficie
que cumpla estas           E constante
condiciones
El flujo eléctrico a través de una superficie cerrada viene
 dado por

               ∫
                     q
            Φ = E ⋅ ds = int
                           εo


  Si la superficie cerrada gaussiana cumple las dos
  condiciones anteriores

           ∫        ∫        ∫
              
            E ⋅ ds = E ds = E ds = E s


                                 S es el área de la superficie
                    q int        gaussiana
Por lo tanto    ES=
                    εo           qint es la carga encerrada en
                                 dicha superficie
Ejemplo 1: Campo eléctrico próximo a un plano infinito
de carga.
Ejemplo 2: Campo eléctrico a una distancia r de una
carga lineal infinitamente larga de densidad de carga
uniforme .
Ejemplo 3: Campo eléctrico debido a una corteza
esférica uniformemente cargada.
Ejemplo 4: Campo eléctrico debido a una esfera
uniformemente cargada.
Dipolo eléctrico: Cálculo del campo eléctrico en un punto
de la mediatriz de la línea que une ambas cargas.


                                    
                                    E+

                                             
                                ϕ            E
                          P
                                     
                    d                E−
                           r                 d

                ϕ
           +q       a                    a       -q
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Resumen electromagnetismo

  • 1. ELECTROMAGNETISMO RESUMEN I
  • 2. CAMPO ELÉCTRICO 1 Introducción. 2 Carga eléctrica. 3 Ley de Coulomb. 4 Campo eléctrico y principio de superposición. 5 Líneas de campo eléctrico. 6 Flujo eléctrico. 7 Teorema de Gauss. Aplicaciones. Bibliografía -Tipler. "Física". Cap. 18 y 19. Reverté. -Gettys; Keller; Skove. "Física clásica y moderna". Cap. 20 y 21. McGraw-Hill. -Serway. "Física". Cap. 23 y 24. McGraw-Hill.
  • 3. 1. INTRODUCCIÓN HISTÓRICA  Gilbert (1540-1603) descubrió que la electrificación era un fenómeno de carácter general. En 1729, Stephen Gray demuestra que la electricidad tiene existencia por sí misma y no es una propiedad impuesta al cuerpo por rozamiento. Franklin (1706-1790) demuestra que existen dos tipos de electricidad a las que llamó positiva y negativa. Coulomb (1736-1806) encontró la ley que expresa la fuerza que aparece entre cargas eléctricas.
  • 4. En 1820 Oersted observó una relación entre electricidad y magnetismo consistente en que cuando colocaba la aguja de una brújula cerca de un alambre por el que circulaba corriente, ésta experimentaba una desviación. Así nació el Electromagnetismo.  Faraday (1791-1867) introdujo el concepto de Campo Eléctrico. Maxwell (1831-1879) estableció las Leyes del Electromagnetismo, las cuales juegan el mismo papel en éste área que las Leyes de Newton en Mecánica.
  • 5. 2. CARGA ELÉCTRICA Es una magnitud fundamental de la física, responsable de la interacción electromagnética. En el S.I. La unidad de carga es el Culombio (C) que se define como la cantidad de carga que fluye por un punto de un conductor en un segundo cuando la corriente en el mismo es de 1 A. 1 nC = 10-9 C Submúltiplos del 1 µC = 10-6 C Culombio 1 mC =10-3 C
  • 6. Características de la carga i) Dualidad de la carga: Todas las partículas cargadas pueden dividirse en positivas y negativas, de forma que las de un mismo signo se repelen mientras que las de signo contrario se atraen. ii) Conservación de la carga: En cualquier proceso físico, la carga total de un sistema aislado se conserva. Es decir, la suma algebraica de cargas positivas y negativas presente en cierto instante no varía. iii) Cuantización de la carga: La carga eléctrica siempre se presenta como un múltiplo entero de una carga fundamental, que es la del electrón.
  • 7. 3. LEY DE COULOMB A lo largo de este tema estudiaremos procesos en los que la carga no varía con el tiempo. En estas condiciones se dice que el sistema está en Equilibrio Electrostático. Enunciado de la Ley de Coulomb La fuerza ejercida por una carga puntual sobre otra está dirigida a lo largo de la línea que las une. Es repulsiva si las cargas tienen el mismo signo y atractiva si tienen signos opuestos. La fuerza varía inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que separa las cargas y es proporcional al valor de cada una de ellas.
  • 8. Expresión vectorial de la Ley de Coulomb Z    r21 = r2 − r 1 q2  q1q2  q1   F12 = k ur r 1 r2 2 r12 Y X k: Constante de Coulomb, cuyo valor depende del sistema de unidades y del medio en el que trabajemos. S.I. k = 9·109 N m2/C2 En el vacío C.G.S. k = 1 dyna cm2/u.e.e2 1 C = 3·109 u.e.e.
  • 9. Constantes auxiliares Permitividad del Vacío (εo): Se define de forma que 1 k= 4πεo εo= 8.85·10-12 C2/N m2 Si el medio en el que se encuentran las cargas es distinto al vacío, se comprueba que la fuerza eléctrica es κ veces menor, de esta forma se define la Permitividad del Medio como ε = κ εo.. Siendo κ la Constante Dieléctrica del Medio Así, 1 k' = 4πε
  • 10. 4. CAMPO ELÉCTRICO. PRINCIPIO DE SUPERPOSICIÓN La interacción entre cargas eléctricas no se produce de manera instantánea. El intermediario de la fuerza mutua que aparece entre dos cargas eléctricas es el Campo Eléctrico. La forma de determinar si en una cierta región del espacio existe un campo eléctrico, consiste en colocar en dicha región una carga de prueba, qo (carga positiva puntual) y comprobar la fuerza que experimenta.
  • 11. Z  La fuerza eléctrica entre la F carga q y la carga de prueba qo es repulsiva, y viene dada  por r qo  qqo  Fqqo = k ur 2 q r12 Y X Se define la intensidad de campo eléctrico en un punto como la fuerza por unidad de carga positiva en ese punto.  La dirección y sentido  F  q E= E = k ur del campo eléctrico qo r2 coincide con el de la fuerza eléctrica.
  • 12. PRINCIPIO DE SUPERPOSICIÓN A la hora de aplicar el principio de superposición debemos tener en cuenta dos casos: I) Campo eléctrico creado por una distribución discreta de carga en un punto: En este caso se calcula el campo eléctrico sumando vectorialmente los campos eléctricos creados por cada una de las cargas puntuales en el punto elegido. Z  P q1 rp1   rpi  qi  q2 rp 2 q E=∑ k u r i i r2 pi Y X
  • 13. II) Campo eléctrico creado por una distribución continua de carga en un punto: P En este caso dividimos la  distribución en pequeños r elementos diferenciales de Q dq carga, dq, de forma que la diferencial de campo eléctrico que crea cada una de ellas es  dq  dE = k ur r2  ∫ El campo eléctrico total dq  para toda la distribución E = k ur 2 será r
  • 14. Dependiendo de la forma de la distribución, se definen las siguientes distribuciones de carga Lineal Superficial Volumétrica dq dq dq λ= σ= ρ= dl ds dv Cálculo del campo eléctrico en cada caso:    ∫ ∫ ∫ dl  ds  dv  E = k λ ur E= kσ u E= kρ u 2 r 2 r r2 r r L S v
  • 15. Ejemplo 1: Campo eléctrico sobre el eje de una carga lineal finita. x xo-x
  • 16. Ejemplo 2: Campo eléctrico fuera del eje de una carga lineal finita. d
  • 17. Ejemplo 3: Campo eléctrico creado por una distribución uniforme de carga  en forma de anillo de radio a, en un punto de su eje.
  • 18. Ejemplo 4: Campo eléctrico creado por una distribución uniforme de carga  en forma de disco de radio R, en un punto de su eje. dq r ϕ P dEx X x dEy
  • 19. 5. LÍNEAS DE CAMPO ELÉCTRICO  Las líneas de campo se dibujan de forma que el vector E sea tangente a ellas en cada punto. Además su sentido debe coincidir con el de dicho vector. Reglas para dibujar las líneas de campo •Las líneas salen de las cargas positivas y entran en las negativas. • El número de líneas que entran o salen es proporcional al valor de la carga. •Las líneas se dibujan simétricamente. •Las líneas empiezan o terminan sólo en las cargas puntuales. •La densidad de líneas es proporcional al valor del campo eléctrico. •Nunca pueden cortarse dos líneas de campo.
  • 20. EJEMPLOS DE LÍNEAS DE CAMPO ELÉCTRICO Carga puntual Dos cargas iguales
  • 21. Dipolo eléctrico Q(-)=2Q(+) Más ejemplos
  • 22. 6. FLUJO ELÉCTRICO El flujo eléctrico da idea del número de líneas de campo que atraviesa cierta superficie. Si la superficie considerada encierra una carga, el número de líneas que atraviesa dicha superficie será proporcional a la carga neta.  ds    E ∫ Φ = E ⋅ ds s Para una superficie cerrada el flujo será negativo si la línea de campo entra y positivo si sale. En general, el flujo neto para una superficie cerrada será  ∫  Φ = E ⋅ ds s
  • 23. Dipolo eléctrico encerrado en una superficie de forma arbitraria
  • 24. Superficie de forma arbitraria que incluye las cargas +2q y –q.
  • 25. Ejemplo 1.- Una carga puntual q está situada en el centro de una superficie esférica de radio R. Calcula el flujo neto de campo eléctrico a través de dicha superficie. ds  El campo eléctrico creado por una E carga puntual viene dado por  q  R E = k 2 ur r q En la superficie de la esfera se cumple que r = R, luego  q  E = k 2 ur R
  • 26. Para calcular el flujo a través de la superficie esférica, tenemos en cuenta que el campo eléctrico es paralelo al vector superficie en cada punto, por lo tanto ∫ ∫ ∫   q q Φ= E ⋅ ds = k 2 ds = k 2 ds R R El área de una superficie esférica viene dada por S =4πR2, luego kq Φ = 4π R 2 R2 Independiente de R Flujo total Φ = 4π k q
  • 27. Ejemplo 2.- Supongamos un cilindro de radio R colocado en el seno de un campo eléctrico uniforme con su eje paralelo al campo. Calcula el flujo de campo eléctrico a través de la superficie cerrada.  El flujo total es la suma de tres términos, ds dos que corresponden a las bases (b1 y b2) mas el que corresponde a la superficie cilíndrica. En ésta última el flujo es cero ya  que los vectores superficie y campo son E  perpendiculares. Así ds ∫ ∫      E Φ= E ⋅ ds + E ⋅ ds b1 b2  ds Φ= ∫ E ds cos π + ∫ E ds cos 0 Φ=0 El flujo sólo es proporcional a la carga  que encierra una superficie, no a la E forma de dicha superficie.
  • 28. 7. TEOREMA DE GAUSS Este teorema da una relación general entre el flujo de campo eléctrico a través de una superficie cerrada y la carga encerrada por ella. Ya hemos visto que el flujo neto a través de una superficie esférica viene dado por Φ = 4π k q Vamos a comprobar que este flujo es independiente de la forma de la distribución. Sólo depende de la carga que haya en el interior.
  • 29. I Consideremos varias superficies centradas en una esférica que contiene una carga q. s2 s3 s1 q El flujo a través de la superficie esférica es q Φ = 4π k q = εo Como el número de líneas que atraviesan las tres superficies es el mismo, se cumple que Φ1 = Φ 2 = Φ 3 Por lo tanto el flujo es independiente de la forma de la superficie.
  • 30. II Supongamos ahora una carga q próxima a una superficie cerrada de forma arbitraria. En este caso el número neto de líneas de campo que atraviesa la superficie es cero (entran el mismo número de líneas que salen), por lo tanto Φ=0 q El flujo a través de una superficie que no encierra carga es nulo.
  • 31. Generalización de los resultados Para distribuciones de carga, ya sean discretas o continuas, podemos aplicar el principio de superposición. Ejemplo: S’ q1 q2 Φ (S ) = S εo q3 ( q 2 + q3 ) q1 Φ (S ' ) = S’’ εo Φ (S ' ' ) = 0 ∫   q Φ= E ⋅ ds = int εo
  • 32. Enunciado del Teorema de Gauss El flujo eléctrico neto a través de cualquier superficie gaussiana cerrada es igual a la carga neta que se encuentre dentro de ella, dividida por la permitividad del vacío. Esta ley sólo puede aplicarse a problemas con gran simetría. Procedimiento para aplicar el teorema de Gauss Dada una distribución   E paralelo a ds de carga, buscar una en todos los puntos superficie gaussiana  de la superficie que cumpla estas E constante condiciones
  • 33. El flujo eléctrico a través de una superficie cerrada viene dado por ∫   q Φ = E ⋅ ds = int εo Si la superficie cerrada gaussiana cumple las dos condiciones anteriores ∫ ∫ ∫   E ⋅ ds = E ds = E ds = E s S es el área de la superficie q int gaussiana Por lo tanto ES= εo qint es la carga encerrada en dicha superficie
  • 34. Ejemplo 1: Campo eléctrico próximo a un plano infinito de carga.
  • 35. Ejemplo 2: Campo eléctrico a una distancia r de una carga lineal infinitamente larga de densidad de carga uniforme .
  • 36. Ejemplo 3: Campo eléctrico debido a una corteza esférica uniformemente cargada.
  • 37. Ejemplo 4: Campo eléctrico debido a una esfera uniformemente cargada.
  • 38. Dipolo eléctrico: Cálculo del campo eléctrico en un punto de la mediatriz de la línea que une ambas cargas.  E+  ϕ E P  d E− r d ϕ +q a a -q Ejemplo