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ESCUELA DE FISICA
                         FACULTAD DE CIENCIAS NATURALES Y MATEMATICA
                                 UNIVERSIDAD DE EL SALVADOR

                                       2. OSCILACIONES Y ONDAS

CONTENIDO
2.1. MOVIMIENTO ARMONICO SIMPLE
2.2. RELACION ENTRE MOVIMIENTO ARMONICO SIMPLE Y CIRCULAR UNIFORME
2.3. LAS ONDAS Y SU CLASIFICACION SEGÚN LA FORMA DE PROPAGACION
2.4. FENOMENOS ONDULATORIOS
2.5. SONIDO
2.6. TRANSMISION DE SONIDO Y RESONANCIA

2.1. MOVIMIENTO ARMONICO SIMPLE

El movimiento armónico simple es un movimiento oscilatorio alrededor de un punto de
equilibrio que se realiza con determinada frecuencia, por lo que la partícula sometida a él
se encontrara en la misma posición una vez haya transcurrido determinado intervalo de
tiempo, llamado periodo.
Matemáticamente, este movimiento se describe por una función de tipo sinusoidal, seno o
coseno,
                                     x = A cos (ωt + φ)
donde la variable x indica la posición de la partícula respecto al punto de equilibrio, x = 0.
El movimiento se caracteriza por una amplitud, A, que es la máxima distancia que la
partícula puede alejarse del punto de equilibrio; por una frecuencia de oscilación, f,
medida en Hertz, Hz, que es el número de oscilaciones por segundo que se realizan y por
un ángulo de fase, φ , que indica el estado del movimiento en el instante t = 0.
La frecuencia angular, ω , es la rapidez angular con que la partícula realiza el movimiento,
ω = 2π f .
El periodo, T, es el tiempo que tarda la partícula en realizar una oscilación completa,
T =1 f .
La fuerza que genera este movimiento es una fuerza cuya magnitud es proporcional a la
distancia de la partícula al punto de equilibrio, y su dirección es siempre hacia ese punto,
                                          F = −kx ,
donde K es una constante de proporcionalidad.
La frecuencia angular es ω = k m , donde m es la masa de la partícula.
Como esta fuerza solo depende de la posición de la partícula, es una fuerza conservativa,
por lo que la energía total del sistema se conserva durante todo el tiempo que la partícula
oscile.
La energía potencial es U = 2 kx 2 y la cinética EC = 2 mvX . La suma de ambas energías
                               1                       1   2


es constante e igual a 2 kA2 , aunque sus valores individuales cambien durante el
                            1

movimiento.
En el punto de equilibrio, x = 0, la energía potencial se anula y la cinética alcanza su
máximo valor. En los puntos donde x = A, llamados puntos de retorno, la energía
potencial es máxima y la cinética se anula.
La velocidad de la partícula viene dada por
                                   vx = −ωA sin (ωt + φ)
y su aceleración por


                                                                           Lic. Franklin Mejía
Universidad de El Salvador                                                       Escuela de Física
Facultad de Ciencias Naturales y Matemática                                             Página 2

                                              ax = −ω 2A cos (ωt + φ) = −ω 2x
Ejemplos clásicos de sistemas que realizan este movimiento son el cuerpo sujeto a un
resorte y el péndulo simple.
En el primer caso, la fuerza viene dada por F = −Kx , donde K es la constante de
elasticidad del resorte, la frecuencia angular es ω = K m , con m la masa del cuerpo
sujeto al resorte.
En el segundo caso, para ángulos pequeños, la fuerza restauradora es F = − mg L x ,                  (   )
por lo que, ω =              g L , donde g es la aceleración gravitacional y L la longitud del péndulo.

2.2. RELACION ENTRE MOVIMIENTO ARMONICO SIMPLE Y CIRCULAR UNIFORME

El movimiento circular es el que se realiza siguiendo la trayectoria de un círculo.
Si el movimiento es circular uniforme, se sigue la circunferencia a velocidad constante,
tanto angular como linealmente.
La velocidad angular indica el valor del ángulo abierto respecto al tiempo, ω = d θ dt .
La velocidad lineal, v, que es tangente al circulo, se refiere a la longitud recorrida sobre la
trayectoria circular, v = ωr , donde r es el radio de la circunferencia.
Por ser uniforme, este movimiento es periódico, su periodo es T = 2π ω .
La fuerza que genera este movimiento es llamada centrípeta, ya que se dirige al centro de
la circunferencia, provocando el cambio de dirección de la velocidad, pero manteniendo
constante su magnitud, F = − mv 2 r .
Si se considera que el círculo se encuentra centrado en el plano xy, las componentes del
movimiento de la partícula pueden escribirse como
                                                x = r cos ωt   y = r sin ωt
por lo que el movimiento armónico simple se considera la proyección de un movimiento
circular uniforme. La amplitud del armónico simple es el radio de la circunferencia en el
movimiento circular, ambos con la misma frecuencia.

2.3. LAS ONDAS Y SU CLASIFICACION SEGÚN LA FORMA DE PROPAGACION

Una onda es la perturbación de una magnitud física que se propaga a través del espacio
vacío o a través de un medio físico. Las ondas transportan energía y pueden desplazar a
las partículas que encuentran a su paso, provocándoles un movimiento oscilatorio.
Si la perturbación es en la dirección en que se propaga la onda, esta se llama onda
longitudinal. Ejemplos de estas ondas son el sonido y la perturbación en un resorte. Si la
perturbación es perpendicular a la propagación de la onda, esta se llama onda
transversal. Ejemplos: ondas electromagnéticas, la luz y la perturbación en una cuerda.
Las ondas mecánicas, como el sonido, necesitan un medio para propagarse, las
electromagnéticas, como la luz, no necesitan tal medio, pueden propagarse en el vacío.
Las ondas pueden caracterizarse por la amplitud de la perturbación, A, la velocidad con la
que se propagan, v y la longitud de onda, λ , que es la mínima distancia espacial entre
dos puntos con el mismo estado de perturbación.
Matemáticamente, una onda desplazándose hacia la izquierda se representa por medio
de la función
                              f (x , t ) = A sin (kx + ωt + φ) ,



                                                                                 Lic. Franklin Mejía
Universidad de El Salvador                                                       Escuela de Física
Facultad de Ciencias Naturales y Matemática                                             Página 3

donde A es la amplitud, k = 2π λ , es el numero de onda y ω = kv , es la frecuencia
angular y φ es un ángulo de fase. Una onda desplazándose hacia la derecha viene dada
por
                                              f (x , t ) = A sin (kx − ωt + φ)

También las ondas pueden clasificarse en ondas viajeras (ondas cuyas crestas avanzan)
y ondas estacionarias (ondas cuyas crestas oscilan pero no se desplazan).
Dos ondas viajeras propagándose en direcciones contrarias pueden producir una onda
estacionaria, al superponerse. Por ejemplo, una onda que llega perpendicularmente a una
pared y se refleja sobre sí misma, producirá una onda estacionaria. Las ondas que se
producen en las cuerdas de una guitarra u otro instrumento de cuerda, son también
ejemplos de este tipo de ondas.
En las ondas estacionarias existen puntos llamados nodos, cuya amplitud de oscilación es
siempre cero y otros en los que la amplitud es siempre máxima, llamados antinodos o
vientres. La distancia entre dos nodos o entre dos antinodos es la mitad de la longitud de
onda de la onda estacionaria (λ/2).
Las ondas estacionarias son relevantes en el funcionamiento de los instrumentos
musicales de cuerda y de viento, también en las resonancias modales de las
habitaciones.

2.4. FENOMENOS ONDULATORIOS

Debido a su naturaleza, las ondas exhiben un comportamiento muy peculiar, lo que
explica muchos fenómenos ópticos y acústicos. Las ondas pueden experimentar las
siguientes situaciones:

- DIFRACCIÓN. La difracción es el cambio de dirección de las ondas cuando encuentran
objetos a su paso, lo que les permite atravesar orificios y bordear obstáculos.
Si la dimensión de los objetos es mucho mayor que la longitud de onda de la perturbación,
la difracción es poco notable, pero si las dimensiones son similares, la difracción es muy
amplia.
La longitud de onda del sonido se encuentra entre 0.016 y 16 m, por lo que la difracción
del sonido es muy notoria, esto permite poder oir algo, aunque no sepamos o podamos
ver de donde procede.
Con la luz no sucede lo mismo, ya que la longitud de onda de la luz es muy pequeña
comparada con las dimensiones de los objetos de nuestro alrededor.

- INTERFERENCIA. Al superponerse dos ondas, o sea al encontrarse, la perturbación
resultante es la suma de las perturbaciones individuales, lo que puede generar una
interferencia constructiva, que la suma de las perturbaciones sea mayor que las
originales, o una interferencia destructiva, que la perturbación sea menor que cualquiera
de ellas. En este proceso las ondas no se modifican entre si, siguen siendo las mismas.

- REFLEXIÓN. Se da cuando una onda retorna al medio de propagación después de
incidir sobre una superficie reflectante o sobre la superficie de separación de dos medios
diferentes.
En las ondas unidimensionales, como las producidas por la compresión de un resorte o
las transmitidas en una cuerda, la reflexión puede o no invertir el sentido del movimiento
ondulatorio. Si el segundo medio es más denso que el primero, la onda reflejada esta
invertida respecto a la onda incidente.


                                                                                 Lic. Franklin Mejía
Universidad de El Salvador                                                 Escuela de Física
Facultad de Ciencias Naturales y Matemática                                       Página 4

En las ondas espaciales, si la dirección de incidencia es oblicua se produce una especie
de rebote, de modo que el movimiento ondulatorio reflejado cambia de dirección, pero
conserva el ángulo que forma con la superficie límite.
En el caso de las ondas sonoras, la reflexión en una pared explica el fenómeno del eco. Si
la distancia a la pared es la adecuada, es posible oír el sonido reflejado porque el tiempo
que emplea ir y regresar permite separar las percepciones de la onda incidente y de la
reflejada.

- REFRACCIÓN. La refracción consiste en el cambio de dirección de la onda cuando pasa
de un medio elástico a otro, debido al cambio de velocidad que experimenta la onda.
Como consecuencia, la onda refractada se desvía cierto ángulo respecto de la onda
incidente. La velocidad y la longitud de onda de la onda refractada cambian, no así su
frecuencia.

2.5. SONIDO

El sonido es una onda longitudinal mecánica que se propaga en un medio elástico de tipo
sólido, liquido o gaseoso. La propagación de la onda se debe a fuerzas de tipo elástico
entre las partículas del medio, que les producen rapidísimos cambios de presión.
En los sólidos la velocidad del sonido es mayor que en los líquidos y los gases, esto se
debe a que la estructura interna de los sólidos es más rígida, por lo tanto, responden más
rápidamente a la perturbación.
El sonido, para el ser humano, comprende todas aquellas ondas cuyas frecuencias están
entre los 20 y los 20 000 Hz.

2.6. TRANSMISION DE SONIDO Y RESONANCIA

El sonido se propaga a distintas velocidades, dependiendo de la elasticidad del medio y
de la temperatura de este, por ejemplo, en el aire y a 20°C su velocidad es de 345 m/s.
La velocidad de las ondas longitudinales en un gas está dada por
                                  v = B ρ = γP ρ ,
donde B es módulo de volumen para el fluido, ρ su densidad, γ es la constante
adiabática ( γ = 1.4 para el aire y los gases diatómicos) y P la presión del gas.
Para un gas ideal
                                                    P ρ = RT M
con R = constante universal de los gases = 8.3144 J/mol K, T = temperatura absoluta del
gas, M = masa molecular del gas.
Por lo que la velocidad puede expresarse como
                               v = γP ρ = γRT M ,
el cociente R/M promedio para el aire es 287 J/Kg K.
La velocidad también puede expresarse en función de la frecuencia y la longitud de onda
del sonido, a través de
                                                       v = λf
El sonido transmite energía y la intensidad del sonido es la potencia transmitida por
unidad de área transversal a la dirección de propagación
                                                      I =P A
                                                                T
                             2
su unidad es W/m .
La intensidad también esta dada por
                                                                    2
                                              I = 2 ρv ω 2A2 = (ΔP ) 2ρv
                                                  1


                                                                           Lic. Franklin Mejía
Universidad de El Salvador                                                                Escuela de Física
Facultad de Ciencias Naturales y Matemática                                                      Página 5

donde A es la amplitud de la oscilación longitudinal y ΔP es el cambio de presión
ocasionado en cada punto por el paso de la onda.
La menor intensidad audible por el ser humano a una frecuencia de 1000 Hz es llamada
umbral de audición, I 0 , y tiene un valor de 1 × 10–12 W/m2, a la vez, la mayor intensidad
de sonido que soporta el ser humano y que puede resultar dolorosa y perjudicial es
llamada umbral del dolor y tiene un valor de 1.00 W/m2, para esa misma frecuencia.
Para medir la intensidad de los sonidos se utiliza el umbral de audición I 0 , como umbral
de referencia, así el nivel sonoro, β , de cualquier sonido, viene dado por

                                                                    (
                                                      β = 10 log I I 0 .    )
El nivel sonoro se mide en decibeles (dB), e indica el nivel de intensidad de cualquier
sonido.
El umbral de audición mide 0 dB. El umbral del dolor mide 120 dB.

RESONANCIA

Todos los sistemas vibratorios tienen una frecuencia propia de oscilación, llamada
frecuencia natural. Si se hacen vibrar a una frecuencia diferente de la natural, sus
vibraciones paulatinamente disminuyen hasta hacerse cero, pero si se hacen vibrar a
esta, las vibraciones se refuerzan aumentando su amplitud y entonces se dice que el
objeto ha entrado en resonancia.
La mayoría de instrumentos musicales llevan cajas de resonancia, o sea, cajas de
dimensiones adecuadas para hacer resonar el aire en el interior de ellas y así aumentar la
intensidad del sonido producido por el instrumento.
Las ondas que se producen en el interior de las cajas de resonancia son ondas
estacionarias.
En un tubo de longitud L abierto por ambos extremos, las ondas estacionarias que se
formen, tienen en los extremos, dos antínodos, por lo que la longitud de onda de las
ondas estacionarias debe satisfacer la relación
                                                         2L
                                                λn =        ,     n = 1, 2, 3,...
                                                          n
con las respectivas frecuencias
                                                     v    nv
                                              fn =      =    ,       n = 1, 2, 3,...
                                                     λn   2L
donde v es la velocidad del sonido en el medio.
A la primer frecuencia, n = 1, se le llama frecuencia fundamental o primer armónico, a la
segunda frecuencia, n = 2, segundo armónico y así sucesivamente.
Si una frecuencia determinada genera una onda estacionaria, los múltiplos de dicha
frecuencia, llamados armónicos, también producirán ondas estacionarias. El orden del
armónico determina la cantidad de nodos que se producen. Por ejemplo, el primer
armónico genera un nodo, el segundo dos, etc.
Si el tubo de longitud L tiene un extremo cerrado y el otro abierto, la onda estacionaria en
él tendrá un nodo y un antínodo en esos extremos respectivamente. La longitud de onda
viene dada por
                                                         4L
                                               λn =           ,     n = 1, 2, 3,...
                                                       2n − 1
con las frecuencias
                                                     (2n − 1) v
                                              fn =              ,       n = 1, 2, 3,...
                                                        4L

                                                                                          Lic. Franklin Mejía
Universidad de El Salvador                                                   Escuela de Física
Facultad de Ciencias Naturales y Matemática                                         Página 6

Para una cuerda fija en sus dos extremos, como las de una guitarra o un violín, la función
de onda es
                               f (x , t ) = −2A cos ωt sin kx .
La velocidad de la onda viene dada por v = T ρL , donde T es la tensión en la cuerda y
ρL = m L , es la densidad lineal de la cuerda, igual al cociente de la masa y la longitud de
la cuerda.
Las longitudes de onda que se pueden establecer en la cuerda son
                                                    2L
                                              λ=       ,   n = 1, 2, 3,...
                                                     n
Las frecuencias con las que puede vibrar la cuerda vienen dadas por
                                                    nv
                                              f =      ,   n = 1, 2, 3,...
                                                    2L

                                                CUESTIONARIO

1. El desplazamiento de un cuerpo sometido a un movimiento armónico simple es máximo
cuando
    a) La velocidad es máxima
    b) La velocidad es mínima
    c) La aceleración es máxima
    d) La aceleración es mínima

2. Un cuerpo describe un movimiento vibratorio armónico simple de amplitud A. ¿Qué
distancia recorre en un intervalo de tiempo igual a un periodo?
    a) 0
    b) A/2
    c) A
    d) 2A

3. De acuerdo a su forma de propagación, las ondas pueden dividirse en
    a) Mecánicas y electromagnéticas.
    b) Transversales y longitudinales.
    c) Estacionarias y viajeras.
    d) Ninguna de las anteriores.

4. La difracción es un fenómeno muy notable en
    a) El sonido
    b) La luz
    c) En ambos
    d) En ninguno

5. La característica que permanece constante en una onda refractada es
    a) La longitud de onda
    b) La velocidad
    c) La frecuencia
    d) Ninguna de las anteriores

6. El sonido es
    a) una onda transversal mecánica que se desplaza en un medio elástico
    b) una onda longitudinal mecánica que se desplaza en un medio elástico

                                                                             Lic. Franklin Mejía
Universidad de El Salvador                                                       Escuela de Física
Facultad de Ciencias Naturales y Matemática                                             Página 7

     c) una onda transversal mecánica que no necesita ningún medio para desplazarse
     d) una onda longitudinal mecánica que no necesita ningún medio para desplazarse

7. La velocidad del sonido depende de
       a) El medio de propagación y su temperatura.
       b) El medio de propagación y la frecuencia del sonido.
       c) La frecuencia del sonido y la temperatura del medio.
       d) La frecuencia y la longitud de onda del sonido.

8. En general, la velocidad del sonido
    a) Es mayor en los líquidos que en los sólidos
    b) Es mayor en los sólidos que en los líquidos
    c) Es mayor en los gases que en los fluidos
    d) Es mayor en los gases que en los sólidos

9. La resonancia es
       a) El considerable aumento de la amplitud del sistema
       b) El considerable aumento de la frecuencia del sistema
       c) El considerable aumento de la longitud de onda del sistema
       d) El considerable aumento de la velocidad del sistema

10. El eco es un fenómeno debido a
       a) La refracción de las ondas.
       b) La difracción de las ondas.
       c) La reflexión de las ondas.
       d) La interferencia de las ondas.

11. Las características de una onda estacionaria son
a) Puntos de oscilación de amplitud nula y máxima y crestas desplazándose.
b) Puntos de oscilación de amplitud nula y máxima y crestas que no se desplazan.
c) Puntos de oscilación de amplitud variable y crestas desplazándose.
d) Puntos de oscilación de amplitud variable y crestas que no se desplazan.

12. Las ondas que se establecen en las cuerdas de una guitarra son de tipo
      a) Longitudinales y estacionarias
      b) Longitudinales y viajeras
      c) Transversales y estacionarias
      d) Transversales y viajeras

RESPUESTAS:

1. c)     2. d) 3. b) 4. a) 5. c)              6. b) 7. a) 8. b) 9. a) 10. c) 11. b) 12. c)

                                              PROBLEMAS RESUELTOS

- Un objeto en movimiento armónico simple con frecuencia de 10 Hz tiene una velocidad
máxima de 3 m/s. ¿Cuál es la amplitud del movimiento?
Solución:
La velocidad de la onda es vx = −ωA sin (ωt + φ) , por lo tanto, la velocidad es máxima
cuando sin (ωt + φ) = ±1 , o sea vxM = ωA .



                                                                                 Lic. Franklin Mejía
Universidad de El Salvador                                                               Escuela de Física
Facultad de Ciencias Naturales y Matemática                                                     Página 8

                                                                                      vxM
La frecuencia angular es ω = 2π f , por lo que, vxM = 2π fA y A =
                                                                                      2π f
                                                                            3 ms −1
Sustituyendo los valores se tiene que la amplitud es A =                                 = 0.048 m .
                                                                          2π × 10 s −1

- Dos masas, m y M, se cuelgan respectivamente de dos resortes idénticos de constante
k. Cuando se ponen en movimiento, la frecuencia de M es tres veces la de m ¿Qué
relación hay entre las masas M y m?
Solución:
El periodo y la frecuencia de cada una de las masas son:
                                                      m         1 k
                                              Tm = 2π   , fm =
                                                      k        2π m
                                                      M          1 k
                                              TM = 2π    , fM =
                                                      k         2π M
Como fM = 3 fm,
                                                    1 k     1 k
                                                        =3
                                                   2π M    2π m
Eliminando 2π y elevando al cuadrado se tiene,
                                                  k    k
                                                    = 9 ⇒ m = 9M
                                                  M    m
m es 9 veces mayor que M.

- Escriba la función de una onda transversal que se mueve hacia la derecha con una
velocidad de 10 m/s, frecuencia de 60 hertz y amplitud 0.2 m.
Solución:
La función de onda viene dada por y = A sin (kx − ωt + φ) .
La frecuencia angular es ω = 2π f = 2π × 60 s −1 = 120π rad s −1
                                       −1
                         ω 120π rad s
El número de onda es k =   =        −1
                                          = 12π rad m −1
                         v   10 m s
Se asumirá que φ = 0 , ya que no se ha indicado algún valor especifico para este ángulo.
Entonces, se tiene f (x , t ) = 0.2m sin (12π rad x − 120π rad t )
                                               m            s



- Un tubo de órgano abierto por los dos extremos está afinado a 440 Hz en el armónico
fundamental. Su segundo armónico tiene la misma frecuencia que el tercer armónico de
un tubo de órgano con los tubos cerrados por un extremo. Determine las longitudes de
ambos órganos.
Solución:
Para el tubo abierto se tiene que,
                                                                nv
                                                          L=
                                                                2 fn
y considerando que la velocidad del sonido es 340 m/s,
                                              1 × 340 ms −1
                                      L=                      = 0.386 m = 38.6 cm
                                               2 × 440 s −1
El segundo armónico de este tubo es 880 Hz.
                                                                                         Lic. Franklin Mejía
Universidad de El Salvador                                                                Escuela de Física
Facultad de Ciencias Naturales y Matemática                                                      Página 9

Para el tubo abierto–cerrado,
                                                               (2n − 1) v
                                                         L=
                                                                  4 fn
y su tercer armónico es 880 Hz, entonces,
                                       (2 × 3 − 1) × 340 ms −1
                               L=                                      = 0.483 m = 48.3 cm
                                               4 × 880 s −1

- Un tubo de órgano abierto en los dos extremos tiene dos armónicos sucesivos con
frecuencias de 240 y 280 Hz. ¿Cuál es la longitud del tubo?
Solución:
La frecuencia para un tubo abierto viene dada por
                                                                     nv
                                                             fn =       .
                                                                     2L
Para el armónico sucesivo se tiene
                                                                   (n + 1) v
                                                         fn +1 =             .
                                                                      2L
El cociente de estas expresiones es
                                                fn          n     240 s −1   6
                                                       =        =       −1
                                                                           =
                                               fn +1     (n + 1) 280 s       7
De lo que se obtiene que n = 6. Para el sexto armónico, la frecuencia es 240 Hz.
Sustituyendo en la expresión de longitud, se tiene
                                              nv     6 × 340 ms −1
                                          L =      =               = 4.25 m
                                              2 fn    2 × 240 s −1
La misma respuesta se hubiese obtenido al sustituir la frecuencia de 280 Hz para el
séptimo armónico, n = 7.

- Un alambre de acero de piano tiene 40 cm de longitud, una masa de 2 g y está sometida
a una tensión de 600N. a) ¿Cuál es la frecuencia fundamental? b) ¿Cuál es la longitud de
onda en el aire del sonido producido por el alambre con esa frecuencia? c) Si la
frecuencia más elevada que un determinado oyente puede escuchar es de 14000 Hz,
¿cuál es el armónico más elevado producido por el alambre que dicho oyente puede
escuchar? (Dato: velocidad del sonido en el aire = 340 m/s).
Solución:
a) La frecuencia de la onda viene dada por
                                              nv    n       T     n TL   n         T
                                     f =         =             =       =              .
                                              2L   2L       ρL   2L m    2         mL
Para la frecuencia fundamental (n = 1), se tiene
                                              1        600 N
                                      f =             −3
                                                                  = 433.0 s −1
                                              2 2 × 10 Kg × 0.4 m
b) La velocidad de una onda viene dada por v = λ f , de ahí que, λ = v f . La velocidad
del sonido en el aire es de 340 m/s, así que
                                                 340 ms −1
                                          λ=                  = 0.079 m = 7.9 cm
                                                 433.0 s −1

                                                                                          Lic. Franklin Mejía
Universidad de El Salvador                                                       Escuela de Física
Facultad de Ciencias Naturales y Matemática                                            Página 10

c) La frecuencia viene dada por f = nv 2L , así que el orden del armónico es

                                         2 fL   2 × 14000 s −1 × 0.40 m
                                      n=      =                         = 33 .
                                          v            340 ms −1
Se puede escuchar hasta el trigésimo tercer armónico.

                                              PROBLEMAS PROPUESTOS

1. Un resorte lleva en un extremo un cuerpo de masa m y oscila con un período T = 2 s. Si
se aumenta la masa en 2 Kg., el nuevo período es de 3 s. ¿Cuál es el valor de la masa
inicial del cuerpo, m?
Respuesta: m = 1.6 Kg.

2. Un péndulo simple tiene un período de 1.5 s sobre la superficie de la Tierra. Cuando se
pone a oscilar en la superficie de otro planeta el período es de 0.75 s ¿Cuál es la
aceleración gravitatoria en la superficie de ese planeta?
Respuesta: g = 3.92 m/s2

3. Un reloj de péndulo puede aproximarse a un péndulo simple de longitud 1.00 m y dar el
tiempo de forma precisa en un lugar donde g = 9.83 m/s2. En otro lugar donde g = 9.78
m/s2, ¿cual debería ser la nueva longitud del péndulo para que el reloj siguiera dando el
tiempo de forma precisa (esto es, que el periodo siga siendo el mismo)?
Respuesta: 0.995 m

4. Un cuerpo de 0.5 Kg. en el extremo de un resorte tiene un periodo de 0.3 s. La amplitud
del movimiento es 0.1 m a) ¿Cuál es la constante del resorte? b) ¿Cuál es la energía
potencial almacenada en el resorte en su máximo desplazamiento? c) ¿Cuál es la
velocidad máxima del cuerpo?
Respuestas: a) 219 N/m, b) 1.095 J, c) 2.09 m/s

5. Un resorte se estira 0.05 m cuando se le cuelga una masa de 0.3 Kg. a) ¿Cuál es la
constante del resorte? b) ¿Cuál es la frecuencia de vibración de la masa en el extremo del
muelle?
Respuestas: a) k = 58.8 N/m b) f = 2.23 Hz

6. El periodo de una masa de 0.75 Kg. en un resorte es de 1.5 s ¿Cuál es la constante del
resorte?
Respuesta: k = 13.15 N/m.

7. Dos péndulos tienen distinta longitud. Uno tiene 2 veces la longitud del otro. ¿Qué
relación existe entre sus periodos de oscilación?
Respuesta: La relación entre los periodos es T1/T2 = 1/√2

8. Del techo de una habitación cuelga un péndulo simple que realiza 50 oscilaciones
completas en 200 segundos. Si la esfera que constituye el péndulo está situada a 20 cm
del suelo, ¿qué altura tiene el techo?
Respuesta: 4.17 m

9. Una onda unidimensional se propaga de derecha a izquierda con una velocidad de 8
m/s, una frecuencia de 2 Hz y una amplitud de 30 cm. a) Calcule la longitud de onda, b)
Escriba la función de la onda.
Respuestas: a) λ = 4 m, b) f(x,t) = 0.30 sen (4π t + π/2 x).
                                                                                 Lic. Franklin Mejía
Universidad de El Salvador                                           Escuela de Física
Facultad de Ciencias Naturales y Matemática                                Página 11



10. Una cuerda vibra transversalmente con un movimiento ondulatorio determinado por la
ecuación f(x, t) = 0.002 sen (60 x + 300 t). Encuentre a) La dirección y velocidad con la
que se propaga la onda, b) La longitud de onda y la frecuencia del movimiento.
Respuestas: a) Hacia la izquierda con v = 5 m/s, b) λ = π/30 m, f = 150/π Hz.

11. Una perturbación se propaga por un medio elástico de acuerdo a la ecuación
f(x, t) = 24 sen (1987 t – 6 x) en unidades SI. Determine a) La frecuencia de las
vibraciones, b) La velocidad de propagación de la onda, c) La ecuación de una onda que
se propague en sentido contrario y con las mismas características de la primera.
Respuestas: a) f = 316.2 Hz, b) v = 331.2 m/s, c) f(x, t) = 24 sen (1987 t + 6 x).

12. El oído humano percibe sonidos cuyas frecuencias están comprendidas entre 20 y
20000 Hz. Calcule la longitud de onda de los sonidos extremos, considerando que el
sonido viaja en el aire a una velocidad de 330 m/s.
Respuestas: 16.5 y 0.0165 m, respectivamente.

13. Un emisor de sonido colocado bajo el agua tiene una frecuencia de 750 hertz y
produce ondas de 2 m. de longitud. ¿Con qué velocidad se propaga el sonido en el agua?
Respuesta: 1500 m/s.

14. Demuestre que si se duplica la intensidad de un sonido, el nivel de sensación sonora
aumenta en 3.0 decibelios.

15. ¿Cuál es el nivel de sensación sonora en decibelios correspondiente a una onda de
intensidad 10–10 W/m2? (I0 = 10–12 W/m2).
Respuesta: 20 dB.

16. Calcular la frecuencia de los sonidos emitidos por un tubo abierto y otro cerrado de 1
m de longitud que producen el sonido fundamental. (Velocidad del sonido 340 m/s).
Respuestas: 85 y 170 Hz.

17. Determinar que longitud deberían tener el tubo más corto y el más largo de un órgano
capaz de generar todo el rango de sonidos audibles suponiendo que los tubos están
abiertos por un extremo.
Respuestas: 0.00425 y 4.25 m respectivamente.

18. Para una velocidad de 350 m/s y una frecuencia de 5000 Hz, ¿cual es la longitud de
onda del sonido?
Respuesta: 7 cm

19. Una cuerda de 80 cm de longitud y 40 g/m oscila con un período de 0.001 s con un
único nodo interno. Encontrar la velocidad de las ondas en la cuerda y la tensión en ésta.
Respuestas: v = 800 m/s, T = 25 600 N.

20. Una cuerda tensa sujeta por ambos extremos tiene resonancias sucesivas con
longitudes de onda de 0.54 m para el armónico n y de 0.48 m para el armónico n + 1. a)
¿Qué armónicos son? b) ¿Cuál es la longitud de la cuerda? c) ¿Cuál es la λ del primer
armónico?
Respuestas: a) El octavo y el noveno. b) 2.2 m. c) 4.4 m.



                                                                    Lic. Franklin Mejía

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  • 1. ESCUELA DE FISICA FACULTAD DE CIENCIAS NATURALES Y MATEMATICA UNIVERSIDAD DE EL SALVADOR 2. OSCILACIONES Y ONDAS CONTENIDO 2.1. MOVIMIENTO ARMONICO SIMPLE 2.2. RELACION ENTRE MOVIMIENTO ARMONICO SIMPLE Y CIRCULAR UNIFORME 2.3. LAS ONDAS Y SU CLASIFICACION SEGÚN LA FORMA DE PROPAGACION 2.4. FENOMENOS ONDULATORIOS 2.5. SONIDO 2.6. TRANSMISION DE SONIDO Y RESONANCIA 2.1. MOVIMIENTO ARMONICO SIMPLE El movimiento armónico simple es un movimiento oscilatorio alrededor de un punto de equilibrio que se realiza con determinada frecuencia, por lo que la partícula sometida a él se encontrara en la misma posición una vez haya transcurrido determinado intervalo de tiempo, llamado periodo. Matemáticamente, este movimiento se describe por una función de tipo sinusoidal, seno o coseno, x = A cos (ωt + φ) donde la variable x indica la posición de la partícula respecto al punto de equilibrio, x = 0. El movimiento se caracteriza por una amplitud, A, que es la máxima distancia que la partícula puede alejarse del punto de equilibrio; por una frecuencia de oscilación, f, medida en Hertz, Hz, que es el número de oscilaciones por segundo que se realizan y por un ángulo de fase, φ , que indica el estado del movimiento en el instante t = 0. La frecuencia angular, ω , es la rapidez angular con que la partícula realiza el movimiento, ω = 2π f . El periodo, T, es el tiempo que tarda la partícula en realizar una oscilación completa, T =1 f . La fuerza que genera este movimiento es una fuerza cuya magnitud es proporcional a la distancia de la partícula al punto de equilibrio, y su dirección es siempre hacia ese punto, F = −kx , donde K es una constante de proporcionalidad. La frecuencia angular es ω = k m , donde m es la masa de la partícula. Como esta fuerza solo depende de la posición de la partícula, es una fuerza conservativa, por lo que la energía total del sistema se conserva durante todo el tiempo que la partícula oscile. La energía potencial es U = 2 kx 2 y la cinética EC = 2 mvX . La suma de ambas energías 1 1 2 es constante e igual a 2 kA2 , aunque sus valores individuales cambien durante el 1 movimiento. En el punto de equilibrio, x = 0, la energía potencial se anula y la cinética alcanza su máximo valor. En los puntos donde x = A, llamados puntos de retorno, la energía potencial es máxima y la cinética se anula. La velocidad de la partícula viene dada por vx = −ωA sin (ωt + φ) y su aceleración por Lic. Franklin Mejía
  • 2. Universidad de El Salvador Escuela de Física Facultad de Ciencias Naturales y Matemática Página 2 ax = −ω 2A cos (ωt + φ) = −ω 2x Ejemplos clásicos de sistemas que realizan este movimiento son el cuerpo sujeto a un resorte y el péndulo simple. En el primer caso, la fuerza viene dada por F = −Kx , donde K es la constante de elasticidad del resorte, la frecuencia angular es ω = K m , con m la masa del cuerpo sujeto al resorte. En el segundo caso, para ángulos pequeños, la fuerza restauradora es F = − mg L x , ( ) por lo que, ω = g L , donde g es la aceleración gravitacional y L la longitud del péndulo. 2.2. RELACION ENTRE MOVIMIENTO ARMONICO SIMPLE Y CIRCULAR UNIFORME El movimiento circular es el que se realiza siguiendo la trayectoria de un círculo. Si el movimiento es circular uniforme, se sigue la circunferencia a velocidad constante, tanto angular como linealmente. La velocidad angular indica el valor del ángulo abierto respecto al tiempo, ω = d θ dt . La velocidad lineal, v, que es tangente al circulo, se refiere a la longitud recorrida sobre la trayectoria circular, v = ωr , donde r es el radio de la circunferencia. Por ser uniforme, este movimiento es periódico, su periodo es T = 2π ω . La fuerza que genera este movimiento es llamada centrípeta, ya que se dirige al centro de la circunferencia, provocando el cambio de dirección de la velocidad, pero manteniendo constante su magnitud, F = − mv 2 r . Si se considera que el círculo se encuentra centrado en el plano xy, las componentes del movimiento de la partícula pueden escribirse como x = r cos ωt y = r sin ωt por lo que el movimiento armónico simple se considera la proyección de un movimiento circular uniforme. La amplitud del armónico simple es el radio de la circunferencia en el movimiento circular, ambos con la misma frecuencia. 2.3. LAS ONDAS Y SU CLASIFICACION SEGÚN LA FORMA DE PROPAGACION Una onda es la perturbación de una magnitud física que se propaga a través del espacio vacío o a través de un medio físico. Las ondas transportan energía y pueden desplazar a las partículas que encuentran a su paso, provocándoles un movimiento oscilatorio. Si la perturbación es en la dirección en que se propaga la onda, esta se llama onda longitudinal. Ejemplos de estas ondas son el sonido y la perturbación en un resorte. Si la perturbación es perpendicular a la propagación de la onda, esta se llama onda transversal. Ejemplos: ondas electromagnéticas, la luz y la perturbación en una cuerda. Las ondas mecánicas, como el sonido, necesitan un medio para propagarse, las electromagnéticas, como la luz, no necesitan tal medio, pueden propagarse en el vacío. Las ondas pueden caracterizarse por la amplitud de la perturbación, A, la velocidad con la que se propagan, v y la longitud de onda, λ , que es la mínima distancia espacial entre dos puntos con el mismo estado de perturbación. Matemáticamente, una onda desplazándose hacia la izquierda se representa por medio de la función f (x , t ) = A sin (kx + ωt + φ) , Lic. Franklin Mejía
  • 3. Universidad de El Salvador Escuela de Física Facultad de Ciencias Naturales y Matemática Página 3 donde A es la amplitud, k = 2π λ , es el numero de onda y ω = kv , es la frecuencia angular y φ es un ángulo de fase. Una onda desplazándose hacia la derecha viene dada por f (x , t ) = A sin (kx − ωt + φ) También las ondas pueden clasificarse en ondas viajeras (ondas cuyas crestas avanzan) y ondas estacionarias (ondas cuyas crestas oscilan pero no se desplazan). Dos ondas viajeras propagándose en direcciones contrarias pueden producir una onda estacionaria, al superponerse. Por ejemplo, una onda que llega perpendicularmente a una pared y se refleja sobre sí misma, producirá una onda estacionaria. Las ondas que se producen en las cuerdas de una guitarra u otro instrumento de cuerda, son también ejemplos de este tipo de ondas. En las ondas estacionarias existen puntos llamados nodos, cuya amplitud de oscilación es siempre cero y otros en los que la amplitud es siempre máxima, llamados antinodos o vientres. La distancia entre dos nodos o entre dos antinodos es la mitad de la longitud de onda de la onda estacionaria (λ/2). Las ondas estacionarias son relevantes en el funcionamiento de los instrumentos musicales de cuerda y de viento, también en las resonancias modales de las habitaciones. 2.4. FENOMENOS ONDULATORIOS Debido a su naturaleza, las ondas exhiben un comportamiento muy peculiar, lo que explica muchos fenómenos ópticos y acústicos. Las ondas pueden experimentar las siguientes situaciones: - DIFRACCIÓN. La difracción es el cambio de dirección de las ondas cuando encuentran objetos a su paso, lo que les permite atravesar orificios y bordear obstáculos. Si la dimensión de los objetos es mucho mayor que la longitud de onda de la perturbación, la difracción es poco notable, pero si las dimensiones son similares, la difracción es muy amplia. La longitud de onda del sonido se encuentra entre 0.016 y 16 m, por lo que la difracción del sonido es muy notoria, esto permite poder oir algo, aunque no sepamos o podamos ver de donde procede. Con la luz no sucede lo mismo, ya que la longitud de onda de la luz es muy pequeña comparada con las dimensiones de los objetos de nuestro alrededor. - INTERFERENCIA. Al superponerse dos ondas, o sea al encontrarse, la perturbación resultante es la suma de las perturbaciones individuales, lo que puede generar una interferencia constructiva, que la suma de las perturbaciones sea mayor que las originales, o una interferencia destructiva, que la perturbación sea menor que cualquiera de ellas. En este proceso las ondas no se modifican entre si, siguen siendo las mismas. - REFLEXIÓN. Se da cuando una onda retorna al medio de propagación después de incidir sobre una superficie reflectante o sobre la superficie de separación de dos medios diferentes. En las ondas unidimensionales, como las producidas por la compresión de un resorte o las transmitidas en una cuerda, la reflexión puede o no invertir el sentido del movimiento ondulatorio. Si el segundo medio es más denso que el primero, la onda reflejada esta invertida respecto a la onda incidente. Lic. Franklin Mejía
  • 4. Universidad de El Salvador Escuela de Física Facultad de Ciencias Naturales y Matemática Página 4 En las ondas espaciales, si la dirección de incidencia es oblicua se produce una especie de rebote, de modo que el movimiento ondulatorio reflejado cambia de dirección, pero conserva el ángulo que forma con la superficie límite. En el caso de las ondas sonoras, la reflexión en una pared explica el fenómeno del eco. Si la distancia a la pared es la adecuada, es posible oír el sonido reflejado porque el tiempo que emplea ir y regresar permite separar las percepciones de la onda incidente y de la reflejada. - REFRACCIÓN. La refracción consiste en el cambio de dirección de la onda cuando pasa de un medio elástico a otro, debido al cambio de velocidad que experimenta la onda. Como consecuencia, la onda refractada se desvía cierto ángulo respecto de la onda incidente. La velocidad y la longitud de onda de la onda refractada cambian, no así su frecuencia. 2.5. SONIDO El sonido es una onda longitudinal mecánica que se propaga en un medio elástico de tipo sólido, liquido o gaseoso. La propagación de la onda se debe a fuerzas de tipo elástico entre las partículas del medio, que les producen rapidísimos cambios de presión. En los sólidos la velocidad del sonido es mayor que en los líquidos y los gases, esto se debe a que la estructura interna de los sólidos es más rígida, por lo tanto, responden más rápidamente a la perturbación. El sonido, para el ser humano, comprende todas aquellas ondas cuyas frecuencias están entre los 20 y los 20 000 Hz. 2.6. TRANSMISION DE SONIDO Y RESONANCIA El sonido se propaga a distintas velocidades, dependiendo de la elasticidad del medio y de la temperatura de este, por ejemplo, en el aire y a 20°C su velocidad es de 345 m/s. La velocidad de las ondas longitudinales en un gas está dada por v = B ρ = γP ρ , donde B es módulo de volumen para el fluido, ρ su densidad, γ es la constante adiabática ( γ = 1.4 para el aire y los gases diatómicos) y P la presión del gas. Para un gas ideal P ρ = RT M con R = constante universal de los gases = 8.3144 J/mol K, T = temperatura absoluta del gas, M = masa molecular del gas. Por lo que la velocidad puede expresarse como v = γP ρ = γRT M , el cociente R/M promedio para el aire es 287 J/Kg K. La velocidad también puede expresarse en función de la frecuencia y la longitud de onda del sonido, a través de v = λf El sonido transmite energía y la intensidad del sonido es la potencia transmitida por unidad de área transversal a la dirección de propagación I =P A T 2 su unidad es W/m . La intensidad también esta dada por 2 I = 2 ρv ω 2A2 = (ΔP ) 2ρv 1 Lic. Franklin Mejía
  • 5. Universidad de El Salvador Escuela de Física Facultad de Ciencias Naturales y Matemática Página 5 donde A es la amplitud de la oscilación longitudinal y ΔP es el cambio de presión ocasionado en cada punto por el paso de la onda. La menor intensidad audible por el ser humano a una frecuencia de 1000 Hz es llamada umbral de audición, I 0 , y tiene un valor de 1 × 10–12 W/m2, a la vez, la mayor intensidad de sonido que soporta el ser humano y que puede resultar dolorosa y perjudicial es llamada umbral del dolor y tiene un valor de 1.00 W/m2, para esa misma frecuencia. Para medir la intensidad de los sonidos se utiliza el umbral de audición I 0 , como umbral de referencia, así el nivel sonoro, β , de cualquier sonido, viene dado por ( β = 10 log I I 0 . ) El nivel sonoro se mide en decibeles (dB), e indica el nivel de intensidad de cualquier sonido. El umbral de audición mide 0 dB. El umbral del dolor mide 120 dB. RESONANCIA Todos los sistemas vibratorios tienen una frecuencia propia de oscilación, llamada frecuencia natural. Si se hacen vibrar a una frecuencia diferente de la natural, sus vibraciones paulatinamente disminuyen hasta hacerse cero, pero si se hacen vibrar a esta, las vibraciones se refuerzan aumentando su amplitud y entonces se dice que el objeto ha entrado en resonancia. La mayoría de instrumentos musicales llevan cajas de resonancia, o sea, cajas de dimensiones adecuadas para hacer resonar el aire en el interior de ellas y así aumentar la intensidad del sonido producido por el instrumento. Las ondas que se producen en el interior de las cajas de resonancia son ondas estacionarias. En un tubo de longitud L abierto por ambos extremos, las ondas estacionarias que se formen, tienen en los extremos, dos antínodos, por lo que la longitud de onda de las ondas estacionarias debe satisfacer la relación 2L λn = , n = 1, 2, 3,... n con las respectivas frecuencias v nv fn = = , n = 1, 2, 3,... λn 2L donde v es la velocidad del sonido en el medio. A la primer frecuencia, n = 1, se le llama frecuencia fundamental o primer armónico, a la segunda frecuencia, n = 2, segundo armónico y así sucesivamente. Si una frecuencia determinada genera una onda estacionaria, los múltiplos de dicha frecuencia, llamados armónicos, también producirán ondas estacionarias. El orden del armónico determina la cantidad de nodos que se producen. Por ejemplo, el primer armónico genera un nodo, el segundo dos, etc. Si el tubo de longitud L tiene un extremo cerrado y el otro abierto, la onda estacionaria en él tendrá un nodo y un antínodo en esos extremos respectivamente. La longitud de onda viene dada por 4L λn = , n = 1, 2, 3,... 2n − 1 con las frecuencias (2n − 1) v fn = , n = 1, 2, 3,... 4L Lic. Franklin Mejía
  • 6. Universidad de El Salvador Escuela de Física Facultad de Ciencias Naturales y Matemática Página 6 Para una cuerda fija en sus dos extremos, como las de una guitarra o un violín, la función de onda es f (x , t ) = −2A cos ωt sin kx . La velocidad de la onda viene dada por v = T ρL , donde T es la tensión en la cuerda y ρL = m L , es la densidad lineal de la cuerda, igual al cociente de la masa y la longitud de la cuerda. Las longitudes de onda que se pueden establecer en la cuerda son 2L λ= , n = 1, 2, 3,... n Las frecuencias con las que puede vibrar la cuerda vienen dadas por nv f = , n = 1, 2, 3,... 2L CUESTIONARIO 1. El desplazamiento de un cuerpo sometido a un movimiento armónico simple es máximo cuando a) La velocidad es máxima b) La velocidad es mínima c) La aceleración es máxima d) La aceleración es mínima 2. Un cuerpo describe un movimiento vibratorio armónico simple de amplitud A. ¿Qué distancia recorre en un intervalo de tiempo igual a un periodo? a) 0 b) A/2 c) A d) 2A 3. De acuerdo a su forma de propagación, las ondas pueden dividirse en a) Mecánicas y electromagnéticas. b) Transversales y longitudinales. c) Estacionarias y viajeras. d) Ninguna de las anteriores. 4. La difracción es un fenómeno muy notable en a) El sonido b) La luz c) En ambos d) En ninguno 5. La característica que permanece constante en una onda refractada es a) La longitud de onda b) La velocidad c) La frecuencia d) Ninguna de las anteriores 6. El sonido es a) una onda transversal mecánica que se desplaza en un medio elástico b) una onda longitudinal mecánica que se desplaza en un medio elástico Lic. Franklin Mejía
  • 7. Universidad de El Salvador Escuela de Física Facultad de Ciencias Naturales y Matemática Página 7 c) una onda transversal mecánica que no necesita ningún medio para desplazarse d) una onda longitudinal mecánica que no necesita ningún medio para desplazarse 7. La velocidad del sonido depende de a) El medio de propagación y su temperatura. b) El medio de propagación y la frecuencia del sonido. c) La frecuencia del sonido y la temperatura del medio. d) La frecuencia y la longitud de onda del sonido. 8. En general, la velocidad del sonido a) Es mayor en los líquidos que en los sólidos b) Es mayor en los sólidos que en los líquidos c) Es mayor en los gases que en los fluidos d) Es mayor en los gases que en los sólidos 9. La resonancia es a) El considerable aumento de la amplitud del sistema b) El considerable aumento de la frecuencia del sistema c) El considerable aumento de la longitud de onda del sistema d) El considerable aumento de la velocidad del sistema 10. El eco es un fenómeno debido a a) La refracción de las ondas. b) La difracción de las ondas. c) La reflexión de las ondas. d) La interferencia de las ondas. 11. Las características de una onda estacionaria son a) Puntos de oscilación de amplitud nula y máxima y crestas desplazándose. b) Puntos de oscilación de amplitud nula y máxima y crestas que no se desplazan. c) Puntos de oscilación de amplitud variable y crestas desplazándose. d) Puntos de oscilación de amplitud variable y crestas que no se desplazan. 12. Las ondas que se establecen en las cuerdas de una guitarra son de tipo a) Longitudinales y estacionarias b) Longitudinales y viajeras c) Transversales y estacionarias d) Transversales y viajeras RESPUESTAS: 1. c) 2. d) 3. b) 4. a) 5. c) 6. b) 7. a) 8. b) 9. a) 10. c) 11. b) 12. c) PROBLEMAS RESUELTOS - Un objeto en movimiento armónico simple con frecuencia de 10 Hz tiene una velocidad máxima de 3 m/s. ¿Cuál es la amplitud del movimiento? Solución: La velocidad de la onda es vx = −ωA sin (ωt + φ) , por lo tanto, la velocidad es máxima cuando sin (ωt + φ) = ±1 , o sea vxM = ωA . Lic. Franklin Mejía
  • 8. Universidad de El Salvador Escuela de Física Facultad de Ciencias Naturales y Matemática Página 8 vxM La frecuencia angular es ω = 2π f , por lo que, vxM = 2π fA y A = 2π f 3 ms −1 Sustituyendo los valores se tiene que la amplitud es A = = 0.048 m . 2π × 10 s −1 - Dos masas, m y M, se cuelgan respectivamente de dos resortes idénticos de constante k. Cuando se ponen en movimiento, la frecuencia de M es tres veces la de m ¿Qué relación hay entre las masas M y m? Solución: El periodo y la frecuencia de cada una de las masas son: m 1 k Tm = 2π , fm = k 2π m M 1 k TM = 2π , fM = k 2π M Como fM = 3 fm, 1 k 1 k =3 2π M 2π m Eliminando 2π y elevando al cuadrado se tiene, k k = 9 ⇒ m = 9M M m m es 9 veces mayor que M. - Escriba la función de una onda transversal que se mueve hacia la derecha con una velocidad de 10 m/s, frecuencia de 60 hertz y amplitud 0.2 m. Solución: La función de onda viene dada por y = A sin (kx − ωt + φ) . La frecuencia angular es ω = 2π f = 2π × 60 s −1 = 120π rad s −1 −1 ω 120π rad s El número de onda es k = = −1 = 12π rad m −1 v 10 m s Se asumirá que φ = 0 , ya que no se ha indicado algún valor especifico para este ángulo. Entonces, se tiene f (x , t ) = 0.2m sin (12π rad x − 120π rad t ) m s - Un tubo de órgano abierto por los dos extremos está afinado a 440 Hz en el armónico fundamental. Su segundo armónico tiene la misma frecuencia que el tercer armónico de un tubo de órgano con los tubos cerrados por un extremo. Determine las longitudes de ambos órganos. Solución: Para el tubo abierto se tiene que, nv L= 2 fn y considerando que la velocidad del sonido es 340 m/s, 1 × 340 ms −1 L= = 0.386 m = 38.6 cm 2 × 440 s −1 El segundo armónico de este tubo es 880 Hz. Lic. Franklin Mejía
  • 9. Universidad de El Salvador Escuela de Física Facultad de Ciencias Naturales y Matemática Página 9 Para el tubo abierto–cerrado, (2n − 1) v L= 4 fn y su tercer armónico es 880 Hz, entonces, (2 × 3 − 1) × 340 ms −1 L= = 0.483 m = 48.3 cm 4 × 880 s −1 - Un tubo de órgano abierto en los dos extremos tiene dos armónicos sucesivos con frecuencias de 240 y 280 Hz. ¿Cuál es la longitud del tubo? Solución: La frecuencia para un tubo abierto viene dada por nv fn = . 2L Para el armónico sucesivo se tiene (n + 1) v fn +1 = . 2L El cociente de estas expresiones es fn n 240 s −1 6 = = −1 = fn +1 (n + 1) 280 s 7 De lo que se obtiene que n = 6. Para el sexto armónico, la frecuencia es 240 Hz. Sustituyendo en la expresión de longitud, se tiene nv 6 × 340 ms −1 L = = = 4.25 m 2 fn 2 × 240 s −1 La misma respuesta se hubiese obtenido al sustituir la frecuencia de 280 Hz para el séptimo armónico, n = 7. - Un alambre de acero de piano tiene 40 cm de longitud, una masa de 2 g y está sometida a una tensión de 600N. a) ¿Cuál es la frecuencia fundamental? b) ¿Cuál es la longitud de onda en el aire del sonido producido por el alambre con esa frecuencia? c) Si la frecuencia más elevada que un determinado oyente puede escuchar es de 14000 Hz, ¿cuál es el armónico más elevado producido por el alambre que dicho oyente puede escuchar? (Dato: velocidad del sonido en el aire = 340 m/s). Solución: a) La frecuencia de la onda viene dada por nv n T n TL n T f = = = = . 2L 2L ρL 2L m 2 mL Para la frecuencia fundamental (n = 1), se tiene 1 600 N f = −3 = 433.0 s −1 2 2 × 10 Kg × 0.4 m b) La velocidad de una onda viene dada por v = λ f , de ahí que, λ = v f . La velocidad del sonido en el aire es de 340 m/s, así que 340 ms −1 λ= = 0.079 m = 7.9 cm 433.0 s −1 Lic. Franklin Mejía
  • 10. Universidad de El Salvador Escuela de Física Facultad de Ciencias Naturales y Matemática Página 10 c) La frecuencia viene dada por f = nv 2L , así que el orden del armónico es 2 fL 2 × 14000 s −1 × 0.40 m n= = = 33 . v 340 ms −1 Se puede escuchar hasta el trigésimo tercer armónico. PROBLEMAS PROPUESTOS 1. Un resorte lleva en un extremo un cuerpo de masa m y oscila con un período T = 2 s. Si se aumenta la masa en 2 Kg., el nuevo período es de 3 s. ¿Cuál es el valor de la masa inicial del cuerpo, m? Respuesta: m = 1.6 Kg. 2. Un péndulo simple tiene un período de 1.5 s sobre la superficie de la Tierra. Cuando se pone a oscilar en la superficie de otro planeta el período es de 0.75 s ¿Cuál es la aceleración gravitatoria en la superficie de ese planeta? Respuesta: g = 3.92 m/s2 3. Un reloj de péndulo puede aproximarse a un péndulo simple de longitud 1.00 m y dar el tiempo de forma precisa en un lugar donde g = 9.83 m/s2. En otro lugar donde g = 9.78 m/s2, ¿cual debería ser la nueva longitud del péndulo para que el reloj siguiera dando el tiempo de forma precisa (esto es, que el periodo siga siendo el mismo)? Respuesta: 0.995 m 4. Un cuerpo de 0.5 Kg. en el extremo de un resorte tiene un periodo de 0.3 s. La amplitud del movimiento es 0.1 m a) ¿Cuál es la constante del resorte? b) ¿Cuál es la energía potencial almacenada en el resorte en su máximo desplazamiento? c) ¿Cuál es la velocidad máxima del cuerpo? Respuestas: a) 219 N/m, b) 1.095 J, c) 2.09 m/s 5. Un resorte se estira 0.05 m cuando se le cuelga una masa de 0.3 Kg. a) ¿Cuál es la constante del resorte? b) ¿Cuál es la frecuencia de vibración de la masa en el extremo del muelle? Respuestas: a) k = 58.8 N/m b) f = 2.23 Hz 6. El periodo de una masa de 0.75 Kg. en un resorte es de 1.5 s ¿Cuál es la constante del resorte? Respuesta: k = 13.15 N/m. 7. Dos péndulos tienen distinta longitud. Uno tiene 2 veces la longitud del otro. ¿Qué relación existe entre sus periodos de oscilación? Respuesta: La relación entre los periodos es T1/T2 = 1/√2 8. Del techo de una habitación cuelga un péndulo simple que realiza 50 oscilaciones completas en 200 segundos. Si la esfera que constituye el péndulo está situada a 20 cm del suelo, ¿qué altura tiene el techo? Respuesta: 4.17 m 9. Una onda unidimensional se propaga de derecha a izquierda con una velocidad de 8 m/s, una frecuencia de 2 Hz y una amplitud de 30 cm. a) Calcule la longitud de onda, b) Escriba la función de la onda. Respuestas: a) λ = 4 m, b) f(x,t) = 0.30 sen (4π t + π/2 x). Lic. Franklin Mejía
  • 11. Universidad de El Salvador Escuela de Física Facultad de Ciencias Naturales y Matemática Página 11 10. Una cuerda vibra transversalmente con un movimiento ondulatorio determinado por la ecuación f(x, t) = 0.002 sen (60 x + 300 t). Encuentre a) La dirección y velocidad con la que se propaga la onda, b) La longitud de onda y la frecuencia del movimiento. Respuestas: a) Hacia la izquierda con v = 5 m/s, b) λ = π/30 m, f = 150/π Hz. 11. Una perturbación se propaga por un medio elástico de acuerdo a la ecuación f(x, t) = 24 sen (1987 t – 6 x) en unidades SI. Determine a) La frecuencia de las vibraciones, b) La velocidad de propagación de la onda, c) La ecuación de una onda que se propague en sentido contrario y con las mismas características de la primera. Respuestas: a) f = 316.2 Hz, b) v = 331.2 m/s, c) f(x, t) = 24 sen (1987 t + 6 x). 12. El oído humano percibe sonidos cuyas frecuencias están comprendidas entre 20 y 20000 Hz. Calcule la longitud de onda de los sonidos extremos, considerando que el sonido viaja en el aire a una velocidad de 330 m/s. Respuestas: 16.5 y 0.0165 m, respectivamente. 13. Un emisor de sonido colocado bajo el agua tiene una frecuencia de 750 hertz y produce ondas de 2 m. de longitud. ¿Con qué velocidad se propaga el sonido en el agua? Respuesta: 1500 m/s. 14. Demuestre que si se duplica la intensidad de un sonido, el nivel de sensación sonora aumenta en 3.0 decibelios. 15. ¿Cuál es el nivel de sensación sonora en decibelios correspondiente a una onda de intensidad 10–10 W/m2? (I0 = 10–12 W/m2). Respuesta: 20 dB. 16. Calcular la frecuencia de los sonidos emitidos por un tubo abierto y otro cerrado de 1 m de longitud que producen el sonido fundamental. (Velocidad del sonido 340 m/s). Respuestas: 85 y 170 Hz. 17. Determinar que longitud deberían tener el tubo más corto y el más largo de un órgano capaz de generar todo el rango de sonidos audibles suponiendo que los tubos están abiertos por un extremo. Respuestas: 0.00425 y 4.25 m respectivamente. 18. Para una velocidad de 350 m/s y una frecuencia de 5000 Hz, ¿cual es la longitud de onda del sonido? Respuesta: 7 cm 19. Una cuerda de 80 cm de longitud y 40 g/m oscila con un período de 0.001 s con un único nodo interno. Encontrar la velocidad de las ondas en la cuerda y la tensión en ésta. Respuestas: v = 800 m/s, T = 25 600 N. 20. Una cuerda tensa sujeta por ambos extremos tiene resonancias sucesivas con longitudes de onda de 0.54 m para el armónico n y de 0.48 m para el armónico n + 1. a) ¿Qué armónicos son? b) ¿Cuál es la longitud de la cuerda? c) ¿Cuál es la λ del primer armónico? Respuestas: a) El octavo y el noveno. b) 2.2 m. c) 4.4 m. Lic. Franklin Mejía