1. 1
θ =
n − m
p
UNIVERSIDAD NACIONAL DEL SANTA
CEPUNS
Ciclo 2014-II
TRIGONOMETRÍA
“LONGITUD DE ARCO Y ÁREA DE UN SECTOR CIRCULAR’
Docente: Lic. Edgar Fernández C. -Rodolfo CarrilloV.
SECTOR CIRCULAR
 Longitud de Arco: En una
circunferencia de radio R mostrado en
la figura, tenemos el ángulo central
AOB que mide y el arco
correspondiente ̂ , cuya longitud L
es nuestro objetivo y se calculará así:
= ( )
No pierda de
vista que la
medida del
ángulo
central, debe
estar
expresada en
radianes. A la
región AOB, se le denominara sector
circular; y para la resolución de
problemas solo será necesario dibujar
dicha región.
 Área de un Sector Circular:
Aprovechando el sector circular AOB
anterior; su área podrá ser calculada
usando cualquiera de las
siguientes formulas:
= | = | =
Srad
R
R
LO
A
B
Propiedades:
1.
rad nO
A
B
C
D
m
p
p
2. Trapecio Circular
nO
A
B
C
D
m
p
p
S
Obviamente el uso de una u otra formula
dependerá de los datos que se presente el
problema.
Nota: Algunas propiedades adicionales:
E
O
A
B
C
D
F
L1
L2
L3
L4
Semana Nº 2
S =
m + n
p
1 3 = 4

2. Lic. Edgar Fernández C. -Rodolfo Carrillo V. Trigonometría.
2
E
O
A
B
C
D
F
S2
S4
S1
S3
NÚMEROS DE VUELTA (n)
Si en la figura mostrada la rueda de radio
r se desplaza sin resbalar de ‘ ’ hasta ‘ ’.
El número de vueltas ‘‘n’’ que da dicha
rueda se calcula así:
A
B
e
r
r
e Trayectoria descrita por el centro de
la rueda.
Trayectoria descrita por el centro de
la rueda.
Pero también, si el ángulo girado por la
rueda es rad ; entonces: n = .
RELACIONES ENTRE RUEDAS Y POLEAS:
a) Unidas por una franja de trasmisión o
en contacto en un punto.
P’
P
L1 1
2
L2
r1
r1
r2
r2
(1)
(2)
Q
Q’
P’
P
L1
1
r1
r1
(1)
2
L2
r2
r2
(2)
Q
Q’
En ambos casos, después que la polea
(1) gira un cierto ángulo; genera en la
polea (2) otro giro; determinándose
en la periferia de ellas arcos 1
respectivamente; cumpliéndose:
1 =
1r1 = r
n1r1 = n r
Donde: n: Número de vueltas.
b) Concéntricas o unidas por un eje que
pasa por sus centros:
1
2
L1
L2
P’
P
Q’
Qr2
r2
r1
r1
(1)
(2)
r1
r1
1 2
r2 r2
(1)
(2)
P’
P
QQ’
Eje
En el primer caso, el giro (1)
determinan un giro (2); y en el
segundo caso; el eje genera los giros
de los discos o poleas; cumpliéndose:
S1S3 = S S4
n =
2πr
1 =
θ1 = θ

3. Lic. Edgar Fernández C. -Rodolfo Carrillo V. Trigonometría.
3
1 = n1 = n
PROBLEMAS PROPUESTOS
1. En un sector circular donde el radio
mide 8cm. ¿Cuál es el mayor valor
entero que toma el arco?
a) 60 b) 40 c) 48
d) 64 e) 50
2. En la figura mostrada se tiene que
AOB es un sector circular y MNPQ es
un cuadrado de √ de lado. Hallar
la longitud del radio del sector
circular.
53˚
N P
M Q
B
A
O
a) √ m b) 17m c) 34 m
d) 51 m e) 68 m
3. Si el área de un sector es 2m2 y su
perímetro es 6 m. Hallar la medida
del ángulo central del sector.
a) 2 ó 4 b) 1 ó 2 c) 3 ó 2
d) 4 ó 1 e) 5 ó 1
4. Siendo 3 áreas de los
trapecios circulares ABEF y BCDE
respectivamente y 1 área del sector
circular COD. Evaluar:
3 − 1
− 1
2
4
6
2
4
6
O
C
D
B
E
A
F
a) 1 b) 13/2 c) 13/7
d) 26/7 e) 13/14
5. Del gráfico, calcular: ‘‘ ’’
rad
a) √ b) 2 c) 1
d) √ − e) √ +
6. A partir del grafico calcular el valor
de , si se sabe que:
S = S1
considere: =
S1 S2
D
BA
θrad
a) 1/2 b) 1 c) 1/3
d) 1/4 e) 3
7. Calcular la longitud aprox. de la
correa si los tres discos tienen igual
radio de longitud 7cm. ( = )

4. Lic. Edgar Fernández C. -Rodolfo Carrillo V. Trigonometría.
4
Correa
r
a)43 cm b) 56 cm c) 64 cm
d) 78 cm e) 86 cm
8. Calcular el área del circulo
sombreado A y D centros además ̅̅̅̅
es diámetro del semicírculo.
A
B C
D
2
a) b) c)
d) e)
9. Calcular el área de la región
sombreada sabiendo que: O es centro
y OA = OB = 6
20˚
20˚
A
O B
a) b) c)
d) e)
10. Se sabe que el centro de la longitud
del arco ̂ se encuentra en la
prolongación del lado ̅̅̅̅.
A
C B
Si la longitud de arco AB se puede
expresar como ‘‘ + ’’, calcular ‘‘ ’’
aproximadamente.
Dato: AC = 1; BC = 3
a) 9 b) 18 c) 27
d) 36 e) 45
11. Si la cuerda envuelve exactamente al
triangulo trasladándose la esfera
hasta el punto A, hallar el recorrido
de la esfera. ABC es un triángulo
equilátero de lado 4 cm.
Esfera
a) m b) m c) m
d) m e) m
12. Determinar el número de vueltas que
da una rueda de radio 1u. al
desplazarse desde A hasta B.
4
uu
u
B
A
a) 3/2 b) 2/3 c) 3
d) 2 e) 1

5. Lic. Edgar Fernández C. -Rodolfo Carrillo V. Trigonometría.
5
13. A partir del gráfico, halle el área
del sector circular AOB. Además se
cumple que:
= ( ) = a y = ( )
O
D
C
A
B
a) 5a2 b) 8a2 c) 6a2
d) 2 a2 e) 9/2a2
14. Del gráfico: ̂ = , ̂ = .
Halle: ̂
75˚
A C
B
a) b) c)
d) e) ⁄
15. Un jardinero quiere construir y
cercar un campo que tenga la forma
de un sector circular con un alambre
de 20 m. de longitud. Calcular el radio
de dicho sector para que el área del
campo sea la mayor posible.
a) 5/4 m b) 5/2 m c) 5 m
d) √ m e) √ m
16. En la figura =
3
y el área de la
región sombreada es 5 veces el área
del sector circular OPQ. Determine la
relación:
̂
̂
a
b
O
B
D
Q S
P R
A
C
a) 2/3 b) 16/27 c) 3/2
d) 45/16 e) 10/3
17. En la figura mostrada :
= − , = − .
a b
4
Si el área del trapecio circular tiene
valor mínimo, entonces la medida de
un ángulo central en radianes es:
a) 4,25 b) 3,75 c) 3,15
d) 2,55 e) 1,35
18. Del gráfico, calcular el número de
vueltas que da la rueda en ir de la
posición ‘‘ ’’ hasta la posición ‘‘ ’’.
Si: BC = 2AB = r cm
r
r
A
B
C
a)1,5 b) 1 c) 0,5
d) 3 e) 2,5
19. Calcular el area de la region
sombreada, siendo O centro , ademas:

6. Lic. Edgar Fernández C. -Rodolfo Carrillo V. Trigonometría.
6
OA=OB=OC=OD= 6
50˚
50˚
D
C
B
AO
a) b) c)
d) e)
20. Dos ruedas de radios iguales se
encuentran en un aro de mayor radio
como se muestra en el gráfico, las dos
ruedas se desplazan sin resbalar
sobre el aro, retornando a la misma
posición inicial, el número de vueltas
que dio la rueda exterior es A y el de
la rueda interior es B. Indicar el valor
de (A-B).
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) faltan datos.
21. Del grafico reducir:
= ∑( − 1)
1
S1 S2 S3 S2n-1 S2n
rad
a
a
a
a
a
….
a) b)
3
c) a n
d) a n e) a n
22. Si en un tronco de cono circular
recto, los radios de sus bases y su
generatriz suman 8cm. ¿Cual es el
maximo valor del área lateral del
tronco?
a) cm b) cm c) cm
d) cm e) cm
23. En la figura mostrada se tiene a tres
poleas A, B y C que estan unidas
mediante una correa de transmision,
si la polea A gira un angulo de .
Calclar la suma de los numeros de
vueltas que dan las poleas B y C.
Ademas se sabe que: = =
C
B
A
a) 2 b) 3 c) 4
d) 5 e) 8