1. Instituto Universitario Politécnico
“Santiago Mariño”
Extensión Maturín
Esc.Ing. Eléctrica y Electrónica
Especificaciones de respuesta transitoria.
Sistemas de 1er y 2do orden
Facilitadora:
Ing. Mariangela Pollonais
Maturín, 2011

2. Ejemplo Sistemas de primer orden
Circuito serie RC.
La relación entrada-salida es la siguiente:
Vo/Vi = 1/( s+1)
donde es la constante de tiempo definida como =RC

3. Ejemplo sistemas de segundo orden
 Circuito serie RLC
 Función de trasferencia
Vo( s) 1 / LC
Vi( s) R 1
s2 s
L LC

4. Especificaciones
respuesta transitoria
 Las características de desempeño de un sistema de control se
comparan basándose en el tiempo de la repuesta transitoria.
La característica transitoria de los sistemas dinámicos se
presenta por la incapacidad de responder de manera
instantánea a las entradas o perturbaciones. La respuesta
transitoria es común clasificarla con base a los siguientes
parámetros.
 1. Tiempo de retardo (td)
 2. Tiempo de levantamiento (tr)
 3. Tiempo pico(tp)
 4. Sobreimpulso máximo (Mp)
 5. Tiempo de establecimiento (ts)

5. Especificaciones de respuesta
transitoria

6. Especificaciones de respuesta
transitoria
 Tiempo de retardo(td).
Es el tiempo que tarda la respuesta en alcanzar la mitad
del valor final por primera vez.
 Tiempo de levantamiento (tr).
Es el tiempo requerido para que la respuesta aumente de
0 a 100% para sistemas subamortiguados, del 5 al 95% o
del 10 al 90% para sistemas críticamente amortiguados o
sobreamortiguados.

7. Especificaciones de respuesta
transitoria
El tiempo de levantamiento es:
1 1 d 1 d
tr tan , tan
d d
d

8. Especificaciones de respuesta
transitoria
 Tiempo pico(tp).
Es el tiempo requerido para que la respuesta alcance el
primer pico de sobreimpulso.
tp
d

9. Especificaciones de respuesta
transitoria
 Sobre paso máximo(Mp).
 Es el valor pico máximo de la curva de respuesta, medido a
partir de la unidad. Si el valor final en estado estable de la
respuesta es diferente de la unidad, es comun usar el
porcentaje de sobrepaso maximo. Se define mediante
y (tp) y ( )
100 %
y( )
El sobreimpulso máximo se obtiene de la respuesta evaluada
en el tiempo pico.
Mp y (t p ) 1
e n d
e d
2
1
Mp e

10. Especificaciones de respuesta
transitoria
 Tiempo de establecimiento(ts).
Es el tiempo mínimo donde la curva de respuesta alcanza y se
mantiene dentro de un rango de error preestablecido,
generalmente es del 2% o del 5%, el rango más común es el
del 2%. Para sistemas de primer y segundo orden, la respuesta
se mantiene dentro del 2% después de 4 constantes de
tiempo:
 Criterio del 2% 4 4
ts 4
n
 Criterio del 5% 3 3
ts 3
n

11. Especificaciones de respuesta
transitoria
 Definir los parámetros de respuesta transitoria del sistema
R (s ) 75 C (s )
s( s 34)
 La función de transferencia de lazo cerrado es
C ( s) 75
2
R( s) s 34s 75

12. Especificaciones respuesta
transitoria
 Se utiliza la siguiente igualdad
2
75 n
2 2 2
s 34s 75 s 2 ns n

13. Especificaciones de respuesta
transitoria
 Obteniéndose:
2 375
n 375 n
34
2 n 34 0.877876
2 375
 A partir de aquí se obtienen los parámetros de respuesta
transitoria
tr 0.2849 segundos
d
1 d
tan 0.499 rad . d 86

14. Especificaciones de respuesta
transitoria
 Y otras especificaciones
4
tp 0.33876 segundos ts 0.23529 segundos
d
Mp e d
0.00315 0.315%

15. Especificaciones de respuesta
transitoria
 Obtener la función de transferencia del sistema cuya respuesta
en el tiempo está dada por la siguiente gráfica
c(t)
1.4
142 1.2
127 1
Ejemplo:
0.8
0.6
0.4
0.2
0 0 t
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
0.75

16. Especificaciones de respuesta
transitoria
 De la gráfica se obtienen
142 127 ts 0.75 segundos
Mp 0.1181
127
 De ts
4 4
ts 5.3333
ts
 De Mp y conociendo
Mp e d
d 7.84335
ln M p

17. Especificaciones de respuesta
transitoria
 Continuación
5.3333 n 9.48486
d 7.84335 n 0.56229
n
Obteniendo la función de transferencia:
2
n 89.96256
G( s)
s2 2 ns
2
n s2 10.666s 89.96256

18. Señales de prueba
 Se emplean señales de entrada normalizadas para facilitar
el estudio de la respuesta.
r(t)
• Escalón. r(t)=u(t)
R(s)=1/s
t
• Rampa. r(t)
r(t)=t
R(s)=1/s2
t

19. Respuesta en el tiempo
La respuesta en el tiempo de sistema físico puede dividirse
normalmente en:
• Respuesta transitoria.
• Respuesta en estado estable.
En general, puede decirse que:
y (t ) yt (t ) yss (t )

20. Respuesta en el tiempo

21. Respuesta transitoria
La respuesta transitoria se define como la parte de la
respuesta que tiende a cero cuando el tiempo se hace muy
grande.
Permite analizar el comportamiento dinámico del
sistema.
Lim yt (t ) 0
t

22. Respuesta transitoria
Se define el orden de un sistema cuya función de
transferencia es
F(s)=b(s)/a(s)
como el grado del polinomio del denominador a(s).

23. Sistemas de primer orden
 Sus diagramas de bloque son de la forma
 La función de transferencia de los sistemas de primer orden
es siempre:

24. Sistemas de primer orden
 Un sistema de primer orden es el que solo tiene un polo.
 Se va a estudiar la respuesta de sistemas de primer orden a
las funciones escalón, rampa e impulso.
 Todos los sistemas de primer orden se comportarán de
forma idéntica a los ejemplos que a continuación se
presentan.

25. Sistemas primer orden
Respuesta a un escalón
 Si r(t)=1 , su transformada de Laplace es entonces
R(s)=1/s, se obtiene a la salida del sistema:
 Donde es la constante de tiempo del sistema.

26. Sistemas primer orden
Respuesta a un escalón
 Que desarrollada en forma de fracciones simples es:
 Aplicando transformada inversa de Laplace se obtiene
c(t):

27. Sistemas de primer orden
Respuesta a un escalón
 Su forma es:

28. Sistemas de primer orden.
Respuesta a un escalón
 Estudiando su comportamiento se observa que para t = O,
c(t) es O y su pendiente está en el origen
 Otra característica importante es que para t = la
respuesta alcanza el 63,2% de su cambio total.
 En dos constantes de tiempo, la respuesta alcanza el
86.5% del valor final. En t=3 , 4 y 5 , la respuesta
alcanza 95, 98.2 y 99.3%, respectivamente del valor final.
Para t≥4 , la respuesta permanece dentro del valor final.

29. Sistemas de primer orden. Respuesta
ante una rampa
 Si r(t)=t , su transformada de Laplace es entonces R(s)=1/s2,
se obtiene a la salida del sistema

30. Sistemas de primer orden
Respuesta ante una rampa
 Que desarrollada en fracciones parciales queda:
 Aplicando transformada inversa de Laplace se obtiene
c(t):

31. Sistemas de primer orden
Respuesta ante una rampa
 Su forma es:
r(t)=t
c(t)=t- + e (-t/ )

32. Sistemas de primer orden
Respuesta al impulso
Como la transformada de Laplace de la función impulso
es 1 entonces la salida viene dada por:
Aplicando la trasformada inversa se obtiene:

33. Sistemas de primer orden
Respuesta al impulso
 Su forma es:

34. Sistemas de segundo orden
Un sistema de segundo orden puede representarse por el
siguiente diagrama de bloque:
R (s ) E (s ) C (s )
K
s(s p)
Su función de transferencia se expresa:
C (s) K donde K es una constante
que representa
R( s) s2 ps K una ganancia.

35. Sistemas de segundo orden
 Identificando las raíces del denominador queda:
C ( s) K
R( s ) p p2 p p2
s K s K
2 4 2 4
Como se aprecia, los polos de lazo cerrado pueden ser de tres
tipos:
p2
 1.Reales diferentes si: K
4
p2
 2. Reales iguales si: K
4
 3. Complejos si: p2
K
4

36. Sistemas de segundo orden
 Para facilitar el análisis se realiza el siguiente cambio de
variables:
2
K n p 2 n 2
 Entonces se obtiene la función de transferencia generalizada
de un sistema de segundo orden:
2
C ( s) n
2 2
R( s) s 2 ns n

37. Sistemas de segundo orden
 Por lo tanto los dos polos (raíces del denominador) están
situados en
2
s1 , s2 wn jwn 1
jwd

38. Sistemas de Segundo orden
– Parámetros:
• (sigma):Atenuación)
• (zeta)(factor de amortiguamiento): Oscilación de la
respuesta.
• wn (frecuencia natural no amortiguada): Frecuencia de
oscilación de la respuesta si no existiera
amortiguamiento.
• wd (frecuencia amortiguada): Frecuencia de oscilación
con amortiguamiento.

39. Sistemas de segundo orden
 El comportamiento dinámico del sistema de segundo orden
se describe en términos de los parámetros n y
2
n n 1
 Dependiendo del valor de se puede tener los siguientes
casos:
1. 0 < < 1, polos complejos conjugados en la parte
izquierda del plano complejo. En este caso se dice que el
sistema es subamortiguado.
2. =1, polo real repetido. Se dice que el sistema tiene
amortiguamiento crítico.
3. > 1, polos reales distintos. El sistema se dice
sobreamortiguado.

40. Sistemas de segundo orden
 Representación en el plano complejo S
jw
PLANO S
wn
2
d n 1
=cos
= wn

41. Sistemas segundo orden
Respuesta a un escalón
2
C ( s) n
R( s) s2 2 ns
2
n
 Caso subamortiguado (0 1)
2
C ( s) n
R( s ) (s n j d )( s n j d)

42. Sistemas de segundo orden.
Respuesta a un escalón
 Si la entrada r(t) es un escalón entonces la función de
transferencia anterior queda como
2
n
C ( s)
(s 2 2 ns
2
n )s
 Utilizando fracciones parciales
1 s n n
C ( s)
s (s n )2 2
d (s n)
2 2
d

43. Sistemas de segundo orden.
Respuesta a un escalón
 y conociendo que
s
L-1 2
n
2
e nt
cos dt
(s n) d
L-1 d
2 2
e nt
sen dt
(s n) d

44. Sistemas de segundo orden.
Respuesta a un escalón
 Se obtiene la salida en el tiempo
nt 2
e 1 1
c(t ) 1 2
sen dt tan (t 0)
1

45. Sistemas de segundo orden.
Respuesta a un escalón
 Caso de amortiguamiento crítico: ( 1)
En este caso se tienen dos polos reales iguales y C (s ) ante
un escalón es:
2
n
C ( s)
(s n )2 s
Aplicando la transformada inversa queda:
nt
c(t ) 1 e (1 nt ) (t 0)

46. Sistemas de segundo orden.
Respuesta a un escalón
 Caso sobreamortiguado ( 1)
 En este caso se tienen dos polos reales negativos y
diferentes. Para una entrada escalón, C (s ) es
2
n
C (s) 2 2
(s n n 1)( s n n 1) s

47. Sistemas de segundo orden.
Respuesta a un escalón
 Aplicando transformada inversa de Laplace a la
ecuación anterior queda:
1 ( 2
1) nt
c(t ) 1 2 2
e
2 1( 1)
1 ( 2
1) nt
2 2
e
2 1( 1)

48. Sistemas de segundo orden
Respuesta a un escalón
 Gráficos de respuesta