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SISTEMAS DE PRIMER Y
SEGUNDO ORDEN
Considere el sistema de primer orden. Física mente, este sistema representa un
circuito RC, un sistema térmico o algo similar. La figura presenta un diagrama de
bloques simplificado. La relación entrada-salida se obtiene mediante:
SISTEMAS DE PRIMER ORDEN
En lo sucesivo, analizaremos las respuestas del sistema a entradas tales como la
función escalón unitario, rampa unitaria e impulso unitario. Se supone que las
condiciones iniciales son cero. Observe que todos los sistemas que tienen la misma
función de transferencia exhibirán la misma salida en respuesta a la misma entrada. Para
cualquier sistema físico dado, la respuesta matemática recibe una interpretación física
Respuesta escalón unitario de sistemas de primer orden. Dado que la transformada de Laplace de la función
escalón unitario es l/s, sustituyendo R(s) = 1/s obtenemos:
Si tomamos la transformada inversa de Laplace de la ecuación obtenemos
La ecuación anterior plantea que la salida c(t) es inicialmente cero y al final se vuelve unitaria. Una
característica importante de tal curva de respuesta exponencial c(t) es que, para t = T, el valor de c(t) es
0.632, o que la respuesta c(t) alcanzó 63.2% de su cambio total. Esto se aprecia con facilidad sustituyendo t =
T en c(t). Es decir,
Observe que, conforme más pequeña es la constante de tiempo T, más rápida es la respuesta del sistema. Otra
característica importante de la curva de respuesta exponencial es que la pendiente de la línea de tangente en t = 0
es 1/T, dado que
La respuesta alcanzaría el valor final en t = T si mantuviera su velocidad de respuesta inicial. A
partir de la ecuación anterior vemos que la pendiente de la curva de respuesta c(t) disminuye en forma
monotónica de 1/T en t = 0
Respuesta rampa unitaria de sistemas de primer orden. Dado que la transformada de Laplace de
la función rampa unitaria es 1/s2, obtenemos la salida del sistema como:
Tomando la transformada inversa de Laplace, obtenemos:
De este modo, la señal de error e(t) es:
Conforme t tiende a infinito, e-t/T se aproxima a cero y, por tanto, la señal de error e(t) se aproxima a T o
La entrada rampa unitaria y la salida del sistema se muestran en la figura. El error después de la
entrada rampa unitaria es igual a T para una t suficientemente grande. Entre más pequeña es la
constante de tiempo T, más pequeño es el error en estado estable después de la entrada
rampa.
Respuesta impulso unitario de sistemas de primer orden. Para la entrada impulso unitario, R(s) =
1 y la salida del sistema es:
o bien
SISTEMAS DE SEGUNDO ORDEN
La función de transferencia de un sistema de segundo orden se expresa como:
El comportamiento dinámico del sistema de segundo orden se describe a
continuación en términos de dos parámetros ξ y wn.
El valor de ξ toma diferentes valores dependiendo de su ubicación en el plano s.
El semiplano izquierdo del plano s corresponde a un amortiguamiento positivo (ξ>0), esto causa que la respuesta
escalón unitario establezca un valor final constante en el estado estable debido al exponente negativo (-ξwnt). Por lo
tanto el sistema es estable.
El semiplano derecho del plano s corresponde a un amortiguamiento negativo (ξ<0).
El amortiguamiento negativo da una respuesta que crece en magnitud sin límite de tiempo, por lo tanto el sistema es
inestable.
El Eje imaginario corresponde a un amortiguamiento de cero (ξ=0). Este resulta en
una amortiguación sostenida, y el sistema es marginalmente estable o marginalmente inestable
Sistema de segundo orden: es aquel que posee dos polos en su función de transferencia.
Físicamente este sistema puede representar un circuito RLC paralelo, acoplamiento de dos
tanques, tanque con sistema de calentamiento/enfriamiento, sistemas de
etc.
masas inerciales,
Genéricamente cualquier sistema dinámico lineal de segundo
por la siguiente ecuación diferencial ordinaria lineal:
orden se puede representar
(con a1, a2, ao y constantes)
Frecuentemente se acostumbra escribir esta ecuación como:
;
donde:
; ; (suponiendo a0 ≠ 0).
Aplicando la Transformada de Laplace m.a.m. a la ED:
Función
transferencia del
sistema de segundo
orden.
3
Vemos que g(s) no tiene ceros, pero tiene dos polos dados por las raíces del polinomio característico.
Donde:
Los parámetros K, ζ, τ, caracterizan la conducta de los sistemas de segundo orden y se definen como:
K = ganancia.
ζ = factor de amortiguamiento.
τ = periodo natural.
Suponiendo que tanto τ como K >0, el tipo de raíz (real o compleja)
parámetro ζ según:
ζ > 1 → se tienen 2 raíces reales diferentes.
ζ < 1 → existen 2 raíces complejas conjugadas.
ζ = 0 → tenemos 2 raíces complejas.
esta determinadapor los valores del
Si 0 < ξ < 1, los polos en lazo cerrado son complejos conjugados y se encuentran en el semiplano izquierdo del
plano s. El sistema, entonces se denomina subamortiguado y la respuesta transitoria es oscilatoria.
Si ξ = 1, el sistema se denomina críticamente amortiguado.
Los sistemas sobreamortiguados corresponden a ξ > 1.
La respuesta transitoria de los sistemas críticamente amortiguados y sobreamortiguados no oscila. Si ξ = 0, la
respuesta transitoria no se amortigua.
Ahora obtendremos la respuesta del sistema para una entrada escalón unitario. Consideraremos
tres casos diferentes:
(1) Caso subamortiguado (0 < ξ < 1): en este caso, C(s)/R(s) se escribe como
en donde La frecuencia se denomina frecuencia natural amortiguada
Los polos del sistema se encuentran en:
2
s1,2 j 1 j
n n d
(2) Caso críticamente amortiguado (ξ = 1): si los dos polos de C(s)/R(s) son casi iguales, el sistema
se aproxima mediante uno críticamente amortiguado. Los polos se encuentran ubicados en:
s1,2 n
(3) Caso sobreamortiguado (ξ > 1): en este caso, los dos polos de C(s)/R(s) son reales negativos
y diferentes.
2
p1,2 1
n n
En resumen se tiene lo siguiente:
Definiciones de las especificaciones de respuesta transitoria. En muchos casos prácticos, las
características de desempeño deseadas del sistema de control se especifican en términos de cantidades en el dominio del tiempo. Los sistemas
que pueden almacenar energía no responden instantáneamente y exhiben respuestas transitorias cada vez que están sujetos a entradas o
perturbaciones.
Con frecuencia, las características de desempeño de un sistema de control se especifican en términos de la respuesta transitoria para una entrada
escalón unitario, dado que ésta es fácil de generar y es suficientemente drástica. (Si se conoce la respuesta a una entrada escalón, es
matemáticamente posible calcular la respuesta para cualquier entrada.).
La respuesta transitoria de un sistema para una entrada escalón unitario depende de las
condiciones iniciales. Por conveniencia al comparar respuestas transitorias de varios sistemas, es una práctica común usar la condición inicial
estándar de que el sistema está en reposo al inicio, por lo cual la salida y todas las derivadas con respecto al tiempo son cero. De este modo, las
características de respuesta se comparan con facilidad. La respuesta transitoria de un sistema de control práctico exhibe con frecuencia oscilaciones
amortiguadas antes de alcanzar el estado estable. Al especificar las características de la respuesta transitoria de un sistema de control para una
entrada escalón unitario, es común especificar lo siguiente:
1. Tiempo de retardo, td
2. Tiempo de levantamiento, tr
3. Tiempo pico, tp
4. Sobrepaso máximo, Mp
5. Tiempo de asentamiento, ts
Estas especificaciones se definen
enseguida y aparecen en forma gráfica
en la figura:
1. Tiempo de retardo, td: el tiempo de retardo es el tiempo requerido para que la respuesta
alcance la primera vez la mitad del valor final.
2 . Tiempo de levantamiento, tr: el tiempo de levantamiento es el tiempo requerido para que la
respuesta pase del 10 al 90%, del 5 al 95% o del 0 al 100% de su valor final. Para sistemas subamortiguados de segundo orden, por lo
común se usa el tiempo de levantamiento de 0 a
100%. Para sistemas sobreamortiguados, suele usarse el tiempo de levantamiento de 10 a 90%.
3. Tiempo pico, tp: el tiempo pico es el tiempo
requerido para que la respuesta alcance el primer pico del sobrepaso.
4. Sobrepaso máximo (porcentaje), Mp: el sobrepaso máximo es el valor pico máximo de la curva
de respuesta, medido a partir de la unidad. Si el valor final en estado estable de la respuesta es diferente de la unidad, es común usar el
porcentaje de sobrepaso máximo. Se define mediante
o
La cantidad de sobrepaso máximo (en porcentaje) indica de manera directa la estabilidad relativa
del sistema.
Los sobrepasos se presentan en números impares de n (n=1,3,5…) y los sobrepasos negativos
ocurren en valores positivos de n (n=2,4,6,…). Debe hacerse notar que si bien una respuesta para una entrad
escalón con ξ≠0 no es periódica, los sobrepasos y los sobrepasos negativos se presentan a intervalos periódicos.
tp es proporcional a ξ e inversamente
proporcional a wn..
Al incrementar la frecuencia natural no
amortiguada, se reduce tp
5. Tiempo de asentamiento, ts: el tiempo de
asentamiento es el tiempo que se requiere
para que la curva de respuesta alcance un
rango alrededor del valor final del tamaño
especificado por el porcentaje absoluto del
valor final (por lo general,
permanezca dentro de él.
asentamiento se relaciona
de 2 a 5%) y
El tiempo de
con la mayor
constante de tiempo del sistema de control.
Los objetivos del diseño del sistema en
cuestión determinan cuál criterio de error en
porcentaje usar.
El tiempo de asentamiento que corresponde a
una banda de tolerancia del 2 o f 5 % se mide
en términos de la constante de tiempo
T=1/ξwn si se usa el criterio del 2%, ts es aproximadamente cuatro veces la constante de tiempo
del sistema. Si se usa el criterio del 5%, ts es aproximadamente tres veces la constante de tiempo.
El tiempo de asentamiento alcanza un valor mínimo
alrededor de ξ = 0.76 (para el criterio del 2%) o de ξ =
0.68 (para el criterio del 5%) y después aumenta casi
linealmente para valores grandes de ξ
El tiempo de asentamiento es inversamente proporcional al producto del factor de
amortiguamiento relativo y la frecuencia natural no amortiguada del sistema.
Dado que el valor de ξ se determina, por lo general, a partir de los requerimientos del sobrepaso
máximo permisible, el tiempo de asentamiento se determina principalmente mediante la
frecuencia natural no amortiguada wn. Esto significa que la duración del transitorio puede
variarse, sin modificar el sobrepaso máximo, ajustando la frecuencia natural no amortiguada wn.
Para ξ>0.69, el tiempo de asentamiento es
inversamente proporcional a ξ y wn Una forma
practica de reducirlo es el incremento de wn
mientras ξ se mantiene constante. Aún cuando la
respuesta se más oscilatoria el Mp puede controlarse
solo mediante ξ.
Para ξ>0.69 el tiempo de asentamiento es
proporcional a ξ e inversamente proporcional a wn,
nuevamente ts puede reducirse a través de wn

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Sistemas primer segundo orden respuestas

  • 1. SISTEMAS DE PRIMER Y SEGUNDO ORDEN
  • 2. Considere el sistema de primer orden. Física mente, este sistema representa un circuito RC, un sistema térmico o algo similar. La figura presenta un diagrama de bloques simplificado. La relación entrada-salida se obtiene mediante: SISTEMAS DE PRIMER ORDEN En lo sucesivo, analizaremos las respuestas del sistema a entradas tales como la función escalón unitario, rampa unitaria e impulso unitario. Se supone que las condiciones iniciales son cero. Observe que todos los sistemas que tienen la misma función de transferencia exhibirán la misma salida en respuesta a la misma entrada. Para cualquier sistema físico dado, la respuesta matemática recibe una interpretación física
  • 3. Respuesta escalón unitario de sistemas de primer orden. Dado que la transformada de Laplace de la función escalón unitario es l/s, sustituyendo R(s) = 1/s obtenemos: Si tomamos la transformada inversa de Laplace de la ecuación obtenemos La ecuación anterior plantea que la salida c(t) es inicialmente cero y al final se vuelve unitaria. Una característica importante de tal curva de respuesta exponencial c(t) es que, para t = T, el valor de c(t) es 0.632, o que la respuesta c(t) alcanzó 63.2% de su cambio total. Esto se aprecia con facilidad sustituyendo t = T en c(t). Es decir,
  • 4. Observe que, conforme más pequeña es la constante de tiempo T, más rápida es la respuesta del sistema. Otra característica importante de la curva de respuesta exponencial es que la pendiente de la línea de tangente en t = 0 es 1/T, dado que La respuesta alcanzaría el valor final en t = T si mantuviera su velocidad de respuesta inicial. A partir de la ecuación anterior vemos que la pendiente de la curva de respuesta c(t) disminuye en forma monotónica de 1/T en t = 0
  • 5. Respuesta rampa unitaria de sistemas de primer orden. Dado que la transformada de Laplace de la función rampa unitaria es 1/s2, obtenemos la salida del sistema como: Tomando la transformada inversa de Laplace, obtenemos: De este modo, la señal de error e(t) es: Conforme t tiende a infinito, e-t/T se aproxima a cero y, por tanto, la señal de error e(t) se aproxima a T o La entrada rampa unitaria y la salida del sistema se muestran en la figura. El error después de la entrada rampa unitaria es igual a T para una t suficientemente grande. Entre más pequeña es la constante de tiempo T, más pequeño es el error en estado estable después de la entrada rampa.
  • 6. Respuesta impulso unitario de sistemas de primer orden. Para la entrada impulso unitario, R(s) = 1 y la salida del sistema es: o bien
  • 7. SISTEMAS DE SEGUNDO ORDEN La función de transferencia de un sistema de segundo orden se expresa como: El comportamiento dinámico del sistema de segundo orden se describe a continuación en términos de dos parámetros ξ y wn. El valor de ξ toma diferentes valores dependiendo de su ubicación en el plano s.
  • 8. El semiplano izquierdo del plano s corresponde a un amortiguamiento positivo (ξ>0), esto causa que la respuesta escalón unitario establezca un valor final constante en el estado estable debido al exponente negativo (-ξwnt). Por lo tanto el sistema es estable. El semiplano derecho del plano s corresponde a un amortiguamiento negativo (ξ<0). El amortiguamiento negativo da una respuesta que crece en magnitud sin límite de tiempo, por lo tanto el sistema es inestable. El Eje imaginario corresponde a un amortiguamiento de cero (ξ=0). Este resulta en una amortiguación sostenida, y el sistema es marginalmente estable o marginalmente inestable
  • 9. Sistema de segundo orden: es aquel que posee dos polos en su función de transferencia. Físicamente este sistema puede representar un circuito RLC paralelo, acoplamiento de dos tanques, tanque con sistema de calentamiento/enfriamiento, sistemas de etc. masas inerciales, Genéricamente cualquier sistema dinámico lineal de segundo por la siguiente ecuación diferencial ordinaria lineal: orden se puede representar (con a1, a2, ao y constantes) Frecuentemente se acostumbra escribir esta ecuación como:
  • 10. ; donde: ; ; (suponiendo a0 ≠ 0). Aplicando la Transformada de Laplace m.a.m. a la ED: Función transferencia del sistema de segundo orden. 3 Vemos que g(s) no tiene ceros, pero tiene dos polos dados por las raíces del polinomio característico.
  • 11. Donde: Los parámetros K, ζ, τ, caracterizan la conducta de los sistemas de segundo orden y se definen como: K = ganancia. ζ = factor de amortiguamiento. τ = periodo natural. Suponiendo que tanto τ como K >0, el tipo de raíz (real o compleja) parámetro ζ según: ζ > 1 → se tienen 2 raíces reales diferentes. ζ < 1 → existen 2 raíces complejas conjugadas. ζ = 0 → tenemos 2 raíces complejas. esta determinadapor los valores del
  • 12. Si 0 < ξ < 1, los polos en lazo cerrado son complejos conjugados y se encuentran en el semiplano izquierdo del plano s. El sistema, entonces se denomina subamortiguado y la respuesta transitoria es oscilatoria. Si ξ = 1, el sistema se denomina críticamente amortiguado. Los sistemas sobreamortiguados corresponden a ξ > 1. La respuesta transitoria de los sistemas críticamente amortiguados y sobreamortiguados no oscila. Si ξ = 0, la respuesta transitoria no se amortigua. Ahora obtendremos la respuesta del sistema para una entrada escalón unitario. Consideraremos tres casos diferentes: (1) Caso subamortiguado (0 < ξ < 1): en este caso, C(s)/R(s) se escribe como en donde La frecuencia se denomina frecuencia natural amortiguada
  • 13. Los polos del sistema se encuentran en: 2 s1,2 j 1 j n n d (2) Caso críticamente amortiguado (ξ = 1): si los dos polos de C(s)/R(s) son casi iguales, el sistema se aproxima mediante uno críticamente amortiguado. Los polos se encuentran ubicados en: s1,2 n (3) Caso sobreamortiguado (ξ > 1): en este caso, los dos polos de C(s)/R(s) son reales negativos y diferentes. 2 p1,2 1 n n En resumen se tiene lo siguiente:
  • 14. Definiciones de las especificaciones de respuesta transitoria. En muchos casos prácticos, las características de desempeño deseadas del sistema de control se especifican en términos de cantidades en el dominio del tiempo. Los sistemas que pueden almacenar energía no responden instantáneamente y exhiben respuestas transitorias cada vez que están sujetos a entradas o perturbaciones. Con frecuencia, las características de desempeño de un sistema de control se especifican en términos de la respuesta transitoria para una entrada escalón unitario, dado que ésta es fácil de generar y es suficientemente drástica. (Si se conoce la respuesta a una entrada escalón, es matemáticamente posible calcular la respuesta para cualquier entrada.). La respuesta transitoria de un sistema para una entrada escalón unitario depende de las condiciones iniciales. Por conveniencia al comparar respuestas transitorias de varios sistemas, es una práctica común usar la condición inicial estándar de que el sistema está en reposo al inicio, por lo cual la salida y todas las derivadas con respecto al tiempo son cero. De este modo, las características de respuesta se comparan con facilidad. La respuesta transitoria de un sistema de control práctico exhibe con frecuencia oscilaciones amortiguadas antes de alcanzar el estado estable. Al especificar las características de la respuesta transitoria de un sistema de control para una entrada escalón unitario, es común especificar lo siguiente: 1. Tiempo de retardo, td 2. Tiempo de levantamiento, tr 3. Tiempo pico, tp 4. Sobrepaso máximo, Mp 5. Tiempo de asentamiento, ts Estas especificaciones se definen enseguida y aparecen en forma gráfica en la figura:
  • 15. 1. Tiempo de retardo, td: el tiempo de retardo es el tiempo requerido para que la respuesta alcance la primera vez la mitad del valor final. 2 . Tiempo de levantamiento, tr: el tiempo de levantamiento es el tiempo requerido para que la respuesta pase del 10 al 90%, del 5 al 95% o del 0 al 100% de su valor final. Para sistemas subamortiguados de segundo orden, por lo común se usa el tiempo de levantamiento de 0 a 100%. Para sistemas sobreamortiguados, suele usarse el tiempo de levantamiento de 10 a 90%.
  • 16. 3. Tiempo pico, tp: el tiempo pico es el tiempo requerido para que la respuesta alcance el primer pico del sobrepaso. 4. Sobrepaso máximo (porcentaje), Mp: el sobrepaso máximo es el valor pico máximo de la curva de respuesta, medido a partir de la unidad. Si el valor final en estado estable de la respuesta es diferente de la unidad, es común usar el porcentaje de sobrepaso máximo. Se define mediante o La cantidad de sobrepaso máximo (en porcentaje) indica de manera directa la estabilidad relativa del sistema. Los sobrepasos se presentan en números impares de n (n=1,3,5…) y los sobrepasos negativos ocurren en valores positivos de n (n=2,4,6,…). Debe hacerse notar que si bien una respuesta para una entrad escalón con ξ≠0 no es periódica, los sobrepasos y los sobrepasos negativos se presentan a intervalos periódicos. tp es proporcional a ξ e inversamente proporcional a wn.. Al incrementar la frecuencia natural no amortiguada, se reduce tp
  • 17. 5. Tiempo de asentamiento, ts: el tiempo de asentamiento es el tiempo que se requiere para que la curva de respuesta alcance un rango alrededor del valor final del tamaño especificado por el porcentaje absoluto del valor final (por lo general, permanezca dentro de él. asentamiento se relaciona de 2 a 5%) y El tiempo de con la mayor constante de tiempo del sistema de control. Los objetivos del diseño del sistema en cuestión determinan cuál criterio de error en porcentaje usar. El tiempo de asentamiento que corresponde a una banda de tolerancia del 2 o f 5 % se mide en términos de la constante de tiempo T=1/ξwn si se usa el criterio del 2%, ts es aproximadamente cuatro veces la constante de tiempo del sistema. Si se usa el criterio del 5%, ts es aproximadamente tres veces la constante de tiempo. El tiempo de asentamiento alcanza un valor mínimo alrededor de ξ = 0.76 (para el criterio del 2%) o de ξ = 0.68 (para el criterio del 5%) y después aumenta casi linealmente para valores grandes de ξ El tiempo de asentamiento es inversamente proporcional al producto del factor de amortiguamiento relativo y la frecuencia natural no amortiguada del sistema. Dado que el valor de ξ se determina, por lo general, a partir de los requerimientos del sobrepaso máximo permisible, el tiempo de asentamiento se determina principalmente mediante la frecuencia natural no amortiguada wn. Esto significa que la duración del transitorio puede variarse, sin modificar el sobrepaso máximo, ajustando la frecuencia natural no amortiguada wn. Para ξ>0.69, el tiempo de asentamiento es inversamente proporcional a ξ y wn Una forma practica de reducirlo es el incremento de wn mientras ξ se mantiene constante. Aún cuando la respuesta se más oscilatoria el Mp puede controlarse solo mediante ξ. Para ξ>0.69 el tiempo de asentamiento es proporcional a ξ e inversamente proporcional a wn, nuevamente ts puede reducirse a través de wn