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Escalón
)()( tutf 
s
sF
1
)( 
Polo en el origen
at
etf )(
as
sF


1
)(
a > 0 creciente. Ej: e2t
a < 0 decreciente. Ej: e-2t
)()( tsentf  22
)(




s
sF
Polos imaginarios puros jw
Un resultado similar para cos(wt)
)()( tsenetf t

 22
)(
)(




s
sF
Polos complejos p1,2 = σ±jw
Crece o decrece según σ
jlc - 2009
El primer paso al analizar un sistema de control es
establecer un modelo matemático del sistema.
Obtenido este modelo matemático se dispone de
diversos métodos para analizar el comportamiento
del sistema
La solución se puede obtener mediante:
 Resolución de las ecuaciones diferenciales.
 Métodos basados en la transformada de Laplace.
 Solución de las ecuaciones de estado.
jlc - 2009
Un sistema continuo de primer orden, cuya FT es de
la forma
Tomando como entrada δ(t),(C.I.=0), la respuesta y(t)
es:
Donde τ =1/a, se conoce como la constante de tiempo
del sistema.
 
as
k
sG



t
at
ekekty


)(
jlc - 2009
jlc - 2009
Si la entrada es el escalón unitario
Aplicando fracciones parciales, para t≥0
sas
k
sUsGsY
1
)(
)()()( 


)1()1()( 

t
at
eke
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k
ty



Al cambiar el valor de a también cambia el valor del
único polo de la FT
o Para t=τ el valor de y(t) ha alcanzado el 63.2 % de
su variación total.
o Cuanto más pequeña es la constante de tiempo más
rápida es la respuesta del sistema
jlc - 2009
Si los polos están en semiplano izquierdo
el sistema es estable mientras que si
están en el derecho será inestable.
Tiempo a partir del cual la respuesta natural (su
valor absoluto) no supera un porcentaje de su
valor máximo, por ejemplo el 5%. Para el caso del
sistema continuo de primer orden, este tiempo tas
que satisface:
Al alejar el polo del origen (al desplazarlo hacia
la izquierda) disminuye el tiempo de asentamiento,
es decir, la respuesta es más rapida.
Si el polo de la FT cae en esa región podemos
asegurar que su tiempo de asentamiento satisface
tas ≤ 3/a.
Nótese que la región de tas máximo esta contenida
dentro de la región de estabilidad; ya que esta
definición de tas solo tiene sentido para sistemas
estables.
Expresados por EDO de la siguiente forma
Se estudiara el caso en el cual b1=0, en su forma
normalizada
Donde ωn se llama frecuencia natural no
amortiguada, mientras que ζ se denomina
coeficiente de amortiguamiento
nn
n
ss
sG 22
2
2
)(




)(
)(
)(
)()(
01012
2
tub
dt
tdu
btya
dt
tdy
a
dt
tyd

Los polos de la FT serán:
 
)()(2 21
2
22
2
pspsss
sG n
nn
n







2
4)(42
22
2,1
nnn
p
 

o Sistema oscilatorio
o Sistema Criticamortiguado
o Sistema Subamortiguado
o Sistema Sobreamortiguado
njp 2,1ζ= 0
d
nn
j
jp



 2
2,1 1
0<ζ <1
np 2,1ζ =1
12
2,1   nnpζ >1
12
2,1   nnp
2
1  nj
2
1   nj
n
La distancia de los polos al origen (la magnitud
del complejo) es justamente
Además, el coseno del ángulo formado con el
semieje real negativo, es justamente ζ:
  nnnd   )1( 222



 
n
n
)cos(
Donde
sss
sUsGsY
nn
n 1
2
)()()( 22
2





   









 
ttety dd
tn




sen
1
cos1)(
2
  




 
tety d
tn
sen
1
1
1)(
2
)(cos 1
 

jlc - 2009
ζ = 0.5
a. Parte real constante
jlc - 2009
b. Parte imaginaria constante.
jlc - 2009
c. Factor de Amortiguamiento constante
jlc - 2009
o Estabilidad
o Tiempo de Asentamiento
o Frecuencia de Oscilación
o Sobrepico
jlc - 2009
jlc - 2009
jlc - 2009
jlc - 2009
jlc - 2009
jlc - 2009
d
eeMp 


 



2
1
jlc - 2009
 El sistema es estable
 El tiempo de asentamiento es menor o
igual que 3/a
 La frecuencia máxima de oscilación
de la respuesta natural es ω*
 Al estimularlo con un escalón
unitario el sobrepico máximo es menor
que
jlc - 2009
jlc - 2009
La respuesta transitoria de un sistema de
control real ante entrada escalón
frecuentemente presenta oscilaciones
amortiguadas antes de alcanzar el estado
estacionario.
Si se conoce la respuesta a una entrada
escalón, matemáticamente es posible
calcular la respuesta a cualquier entrada.
Al especificar las características de
respuesta transitoria de un sistema
de control a una entrada escalón
unitario, es habitual especificar lo
siguiente:
1. Tiempo de retardo.
2. Tiempo de crecimiento.
3. Tiempo de pico.
4. Sobreimpulso máximo.
5. Tiempo de establecimiento.
jlc - 2009
 Tiempo de retardo, td: el tiempo de retardo es el
tiempo que tarda la respuesta en alcanzar por
primera vez la mitad del valor final.
 Tiempo de crecimiento, tr: el tiempo de
crecimiento es el tiempo requerido para que la
respuesta crezca del 10 al 90%, del 5 al 95% o del
0 al 100% de su valor final.
jlc - 2009
Tiempo de pico, tp: el tiempo de pico es el tiempo
requerido por la respuesta para alcanzar el primer
pico del sobreimpulso.
 Máximo sobrepico(por ciento), Mp: el máximo
sobreimpulso es el valor pico máximo de la curva
de respuesta medido desde la unidad, es común
utilizar el máximo sobreimpulso porcentual. Está
definido del siguiente modo:
jlc - 2009
%100
)(
)()(




y
yty
M
p
p
%100
2
1
 



eMp
Tiempo de establecimiento, ts: el tiempo de
establecimiento es el tiempo requerido por la
curva de respuesta para alcanzar y mantenerse
dentro de determinado rango del valor final de
dimensión especificada en porcentaje absoluto del
valor final (habitualmente 5% o 2%). Se relaciona
el tiempo de establecimiento con la constante de
tiempo más grande del sistema de control. El
criterio para la fijación del porcentaje de error
a usar depende de los objetivos del diseño del
sistema en cuestión. Donde
jlc - 2009
Constante de tiempo del
sistema subamortiguado
Excepto en ciertas aplicaciones en que no se
pueden tolerar oscilaciones, es deseable
que la respuesta transitoria sea
suficientemente rápida y esté
suficientemente amortiguada.
Para una respuesta transitoria deseable de
un sistema de segundo orden, la relación de
amortiguamiento debe estar entre 0.4 y 0.8.
Valores pequeños de ζ (0.4<ζ) dan excesivo
sobreimpulso en la respuesta transitoria y
un sistema con un valor grande de ζ (0.8<ζ)
responde muy tardíamente.
jlc - 2009
El MP y el tiempo de crecimiento
están en conflicto entre sí. En otras
palabras no se puede simultáneamente
lograr un máximo sobreimpulso y un
tiempo de crecimiento pequeños. Si se
hace pequeño a uno de ellos,
necesariamente el otro se hace
grande.
jlc - 2009
 Hallar FT y parámetros de tiempo de un sistema
cuya constante de amortiguamiento es de 0.7 y con
una frecuencia natural de 63Hz y ganancia
estacionaria unitaria.
 Hallar la FT para un sistema con un máximo
sobrepíco de 10% y un tiempo de establecimiento
menor de 3s y ganancia estacionaria de 2.
jlc - 2009

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  • 1.
  • 2. Escalón )()( tutf  s sF 1 )(  Polo en el origen
  • 3. at etf )( as sF   1 )( a > 0 creciente. Ej: e2t a < 0 decreciente. Ej: e-2t
  • 4. )()( tsentf  22 )(     s sF Polos imaginarios puros jw Un resultado similar para cos(wt)
  • 5. )()( tsenetf t   22 )( )(     s sF Polos complejos p1,2 = σ±jw Crece o decrece según σ
  • 6.
  • 7. jlc - 2009 El primer paso al analizar un sistema de control es establecer un modelo matemático del sistema. Obtenido este modelo matemático se dispone de diversos métodos para analizar el comportamiento del sistema
  • 8. La solución se puede obtener mediante:  Resolución de las ecuaciones diferenciales.  Métodos basados en la transformada de Laplace.  Solución de las ecuaciones de estado. jlc - 2009
  • 9. Un sistema continuo de primer orden, cuya FT es de la forma Tomando como entrada δ(t),(C.I.=0), la respuesta y(t) es: Donde τ =1/a, se conoce como la constante de tiempo del sistema.   as k sG    t at ekekty   )(
  • 11. jlc - 2009 Si la entrada es el escalón unitario Aplicando fracciones parciales, para t≥0 sas k sUsGsY 1 )( )()()(    )1()1()(   t at eke a k ty   
  • 12. Al cambiar el valor de a también cambia el valor del único polo de la FT
  • 13. o Para t=τ el valor de y(t) ha alcanzado el 63.2 % de su variación total. o Cuanto más pequeña es la constante de tiempo más rápida es la respuesta del sistema jlc - 2009
  • 14. Si los polos están en semiplano izquierdo el sistema es estable mientras que si están en el derecho será inestable.
  • 15. Tiempo a partir del cual la respuesta natural (su valor absoluto) no supera un porcentaje de su valor máximo, por ejemplo el 5%. Para el caso del sistema continuo de primer orden, este tiempo tas que satisface:
  • 16. Al alejar el polo del origen (al desplazarlo hacia la izquierda) disminuye el tiempo de asentamiento, es decir, la respuesta es más rapida. Si el polo de la FT cae en esa región podemos asegurar que su tiempo de asentamiento satisface tas ≤ 3/a. Nótese que la región de tas máximo esta contenida dentro de la región de estabilidad; ya que esta definición de tas solo tiene sentido para sistemas estables.
  • 17. Expresados por EDO de la siguiente forma Se estudiara el caso en el cual b1=0, en su forma normalizada Donde ωn se llama frecuencia natural no amortiguada, mientras que ζ se denomina coeficiente de amortiguamiento nn n ss sG 22 2 2 )(     )( )( )( )()( 01012 2 tub dt tdu btya dt tdy a dt tyd 
  • 18. Los polos de la FT serán:   )()(2 21 2 22 2 pspsss sG n nn n        2 4)(42 22 2,1 nnn p   
  • 19. o Sistema oscilatorio o Sistema Criticamortiguado o Sistema Subamortiguado o Sistema Sobreamortiguado njp 2,1ζ= 0 d nn j jp     2 2,1 1 0<ζ <1 np 2,1ζ =1 12 2,1   nnpζ >1 12 2,1   nnp
  • 20. 2 1  nj 2 1   nj n
  • 21. La distancia de los polos al origen (la magnitud del complejo) es justamente Además, el coseno del ángulo formado con el semieje real negativo, es justamente ζ:   nnnd   )1( 222      n n )cos(
  • 22. Donde sss sUsGsY nn n 1 2 )()()( 22 2                     ttety dd tn     sen 1 cos1)( 2          tety d tn sen 1 1 1)( 2 )(cos 1   
  • 25. a. Parte real constante jlc - 2009
  • 26. b. Parte imaginaria constante. jlc - 2009
  • 27. c. Factor de Amortiguamiento constante jlc - 2009
  • 28. o Estabilidad o Tiempo de Asentamiento o Frecuencia de Oscilación o Sobrepico jlc - 2009
  • 33. jlc - 2009 d eeMp         2 1
  • 35.  El sistema es estable  El tiempo de asentamiento es menor o igual que 3/a  La frecuencia máxima de oscilación de la respuesta natural es ω*  Al estimularlo con un escalón unitario el sobrepico máximo es menor que jlc - 2009
  • 36. jlc - 2009 La respuesta transitoria de un sistema de control real ante entrada escalón frecuentemente presenta oscilaciones amortiguadas antes de alcanzar el estado estacionario. Si se conoce la respuesta a una entrada escalón, matemáticamente es posible calcular la respuesta a cualquier entrada.
  • 37. Al especificar las características de respuesta transitoria de un sistema de control a una entrada escalón unitario, es habitual especificar lo siguiente: 1. Tiempo de retardo. 2. Tiempo de crecimiento. 3. Tiempo de pico. 4. Sobreimpulso máximo. 5. Tiempo de establecimiento. jlc - 2009
  • 38.  Tiempo de retardo, td: el tiempo de retardo es el tiempo que tarda la respuesta en alcanzar por primera vez la mitad del valor final.  Tiempo de crecimiento, tr: el tiempo de crecimiento es el tiempo requerido para que la respuesta crezca del 10 al 90%, del 5 al 95% o del 0 al 100% de su valor final. jlc - 2009
  • 39. Tiempo de pico, tp: el tiempo de pico es el tiempo requerido por la respuesta para alcanzar el primer pico del sobreimpulso.  Máximo sobrepico(por ciento), Mp: el máximo sobreimpulso es el valor pico máximo de la curva de respuesta medido desde la unidad, es común utilizar el máximo sobreimpulso porcentual. Está definido del siguiente modo: jlc - 2009 %100 )( )()(     y yty M p p %100 2 1      eMp
  • 40. Tiempo de establecimiento, ts: el tiempo de establecimiento es el tiempo requerido por la curva de respuesta para alcanzar y mantenerse dentro de determinado rango del valor final de dimensión especificada en porcentaje absoluto del valor final (habitualmente 5% o 2%). Se relaciona el tiempo de establecimiento con la constante de tiempo más grande del sistema de control. El criterio para la fijación del porcentaje de error a usar depende de los objetivos del diseño del sistema en cuestión. Donde jlc - 2009 Constante de tiempo del sistema subamortiguado
  • 41. Excepto en ciertas aplicaciones en que no se pueden tolerar oscilaciones, es deseable que la respuesta transitoria sea suficientemente rápida y esté suficientemente amortiguada. Para una respuesta transitoria deseable de un sistema de segundo orden, la relación de amortiguamiento debe estar entre 0.4 y 0.8. Valores pequeños de ζ (0.4<ζ) dan excesivo sobreimpulso en la respuesta transitoria y un sistema con un valor grande de ζ (0.8<ζ) responde muy tardíamente. jlc - 2009
  • 42. El MP y el tiempo de crecimiento están en conflicto entre sí. En otras palabras no se puede simultáneamente lograr un máximo sobreimpulso y un tiempo de crecimiento pequeños. Si se hace pequeño a uno de ellos, necesariamente el otro se hace grande. jlc - 2009
  • 43.  Hallar FT y parámetros de tiempo de un sistema cuya constante de amortiguamiento es de 0.7 y con una frecuencia natural de 63Hz y ganancia estacionaria unitaria.  Hallar la FT para un sistema con un máximo sobrepíco de 10% y un tiempo de establecimiento menor de 3s y ganancia estacionaria de 2. jlc - 2009