1. Sistemas de segundo orden
Departamento de Control, División de Ingeniería Eléctrica
Facultad de Ingeniería UNAM
México D.F. a 11 de Septiembre de 2006

2. Sistemas de segundo orden 111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111
Los sistemas de segundo orden continuos son aquellos que responden a
una ecuación diferencial linea de segundo orden
)(
)()(
)(
)()(
212
2
0212
2
0 trb
dt
tdr
b
dt
trd
btca
dt
tdc
a
dt
tcd
a ++=++
Sin pérdida de generalidad se analizará un caso muy común donde:
.0,,,1 102210 ====== bbKbapaa
Que corresponde al siguiente sistema de segundo orden:
)( pss
K
+
)(sR )(sC)(sE K
p
donde
es una const.
que representa
una ganancia.
es una const. real
representa al polo
del sistema.

3. Su función de transferencia de lazo cerrado es:
Kpss
K
sR
sC
++
= 2
)(
)(
Como se aprecia, los polos de lazo cerrado pueden ser de tres tipos
Sistemas de segundo orden 111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111








−−+








−++
=
K
pp
sK
pp
s
K
sR
sC
4242
)(
)(
22
1. Reales diferentes si: K
p
>
4
2
K
p
=
4
2
K
p
<
4
2
, 2. Reales iguales si:
3. Complejos si
Para facilitar el análisis se realiza el siguiente cambio de variables
2
nK ω= σζω 22 == np

4. Sistemas de segundo orden 111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111
22
2
2)(
)(
nn
n
sssR
sC
ωζω
ω
++
= forma estándar del sistema
de segundo orden.
donde es la frecuencia natural no amortiguada, se denomina
atenuación, es el factor de amortiguamiento. Ahora el comportamiento
dinámico del sistema de segundo orden se describe en términos de los
parámetros y .ζ nω
Se analizará la respuesta transitoria ante una entrada escalón unitario:
(1) Caso subamortiguado : en este caso se escribe)10( << ζ )()( sRsC
donde se denomina fracuencia natural amortiguada. Si
2
1 ζωω −= nd
nω σ
ζ
))(()(
)( 2
dndn
n
jsjssR
sC
ωζωωζω
ω
−+++
=
)(sR
es una entrada escalón, entonces
sss
sC
nn
n
)2(
)( 22
2
ωζω
ω
++
=

5. Sistemas de segundo orden 111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111
Utilizando fracciones parciales
2222
)()(
1
)(
dn
n
dn
n
ss
s
s
sC
ωζω
ζω
ωζω
ζω
++
−
++
+
−=
y conociendo que
te
s
s
d
t
dn
n n
ω
ωζω
ζω ζω
cos
)( 22
−
=





++
+1-
L
tsene
s
d
t
dn
d n
ω
ωζω
ω ζω−
=





++ 22
)(
1-
L
Se obtiene la salida en el tiempo
)0(
1
tan
1
1)(
2
1
2
≥







 −
+
−
−= −
−
ttsen
e
tc d
tn
ζ
ζ
ω
ζ
ζω

6. Sistemas de segundo orden 111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111
(2) Caso de amortiguamiento crítico :)1( =ζ
)(sC
ss
sC
n
n
2
2
)(
)(
ω
ω
+
=
)0()1(1)( ≥+−= −
ttetc n
tn
ωω
la transformada inversa arroja
en este caso se tienen dos polos reales iguales y ante un escalón es

7. Sistemas de segundo orden 111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111
sss
sC
nnnn
n
)1)(1(
)( 22
2
−−+−++
=
ζωζωζωζω
ω
t
t
n
n
e
etc
ωζζ
ωζζ
ζζζ
ζζζ
)1(
22
)1(
22
2
2
)1(12
1
)1(12
1
1)(
−+−
−+−
−−−
−
−+−
+=
en este caso se tienen dos polos reales negativos y diferentes. Para una
entrada escalón, es
(3) Caso sobreamortiguado :)1( >ζ
)(sC
La transformada inversa de Laplace de la ecuación anterior es

8. Sistemas de segundo orden 111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111
Fig. Curvas de respuesta al escalón unitario.
0 2 4 6 8 10 12
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
sa1>ζ
ca1=ζ
0=ζ
2.0=ζ
4.0=ζ
7.0=ζ
8.0=ζ
Figura. Respuesta
al escalón de
diferentes sistemas
de segundo orden.

9. Sistemas de segundo orden 111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111
Respuesta impulsiva de sistemas de segundo orden
22
2
2
)(
nn
n
ss
sC
ωζω
ω
++
=
)10( <≤ ζ )0(1
1
)( 2
2
≥−
−
= −
ttsenetc n
tn n
ζω
ζ
ω ζω
)1( =ζ
)0(
1212
)( )1(
2
)1(
2
22
≥
−
−
−
= −−−−−−
teetc tntn nn ζωζζζωζζ
ζ
ω
ζ
ω
para
para
)1( >ζ
)0()( 2
≥= −
ttetc t
n
nω
ω
Utilizando transformada inversa obtenemos las siguientes soluciones de )(tc
para

10. Sistemas de segundo orden 111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111
0 2 4 6 8 10 12
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
sa1>ζ
ca1=ζ
0=ζ2.0=ζ
4.0=ζ
7.0=ζ
Figura. Respuesta
al impulso de
diferentes sistemas
de segundo orden.

11. Sistemas de segundo orden 111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111
Definición de los parámetros de la respuesta transitoria
Las características de desempeño de un sistema de control se comparan
basándose en el tiempo de la repuesta transitoria. La característica
transitoria de los sistemas dinámicos se presenta por la incapacidad de
responder de manera instantánea a las entradas o perturbaciones. La
respuesta transitoria es común clasificarla con base a los siguientes
parámetros.
1. Tiempo de retardo
2. Tiempo de crecimiento
3. Tiempo pico
4. Sobreimpulso máximo
5. Tiempo de establecimiento
rt
dt
pt
pM
st
a continuación se definen…
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
t
c(t)
1
0
st
pM
rt pt

12. Tiempo de retardo
, . Es el tiempo que tarda la respuesta en alcanzar la mitad del
valor final por primera vez.

13. Sistemas de segundo orden 2.- Tiempo de crecimiento
2.- Tiempo de crecimiento, . Es el tiempo requerido para que la respuesta
aumente de 0 a 100% para sistemas subamortiguados, del 5 al 95% o del
10 al 90% para sistemas críticamente amortiguados o sobreamortiguados.
rt
El tiempo de crecimiento se obtiene dando un valor de uno en la ecuación
de respuesta de un sistema de segundo orden ante una entrada escalón.
1)
1
(cos1)( 2
=
−
+−= −
rdrd
t
tsentetc rn
ω
ζ
ζ
ωζω
0
1
cos 2
=
−
+ rdrd tsent ω
ζ
ζ
ω

14. Sistemas de segundo orden 111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111
0tan
1
1costancos
1
cos 22
=





−
+=
−
+ rdrdrdrdrd ttttt ω
ζ
ζ
ωωω
ζ
ζ
ω
o bien
σ
ω
β
ω
βπ
σ
ω
ω
d
d
d
d
rt 11
tan,tan
1 −−
=
−
=





−
=
σ
ω
ζ
ζ
ω d
rdt =
−
−=
2
1
tan
el tiempo de crecimiento es
β
σ
dω

15. Sistemas de segundo orden 111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111
3.- Tiempo pico, . Es el tiempo requerido para que la respuesta alcance el
primer pico de sobreimpulso. El tiempo pico se obtiene derivando la ecuación
de respuesta c(t) e igualándola a cero, con lo que se obtiene
pt
0
1
)( 2
=
−
− pntn
pd etsen
ζω
ζ
ω
ω
d
ppd
pd
tt
sosobreimpulprimereleligese
sonecuaciónestasatisfacenquevaloreslostsen
ω
π
πω
πππ
ω
=⇒=
=
.,,3,2,,0
,0


16. Sistemas de segundo orden
SOBREPASO
1)( −= pp tcM








−
+−= −
d
d
d
d sene dn
ω
π
ω
ζ
ζ
ω
π
ωωπζω
2
)(
1
cos
( ) ( )πωσπωωζ ddn
ee −−
==
( )πζζ 2
1−−
= eM p
st
4. Es el valor pico máximo de la curva de respuesta medido desde la
unidad o valor deseado. El sobreimpulso máximo se obtiene de la
respuesta evaluada en el tiempo pico.
pM

17. 5.- Tiempo de establecimiento,
5.- Tiempo de establecimiento, . Es el tiempo mínimo donde la curva de
respuesta alcanza y se mantiene dentro de un rango de error preestablecido,
generalmente es del 2% o del 5%, el rango más común es el del 2%. Para
sistemas de primer y segundo orden, la respuesta se mantiene dentro del 2%
después de 4 constantes de tiempo:
σζω
44
4 ===
n
s Tt

18. Sistemas de segundo orden 111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111
Ejemplo: Definir los parámetros de respuesta transitoria del sistema
)34(
75
+ss
)(sR )(sC
Desarrollo:
La función de transferencia de lazo cerrado es
7534
75
)(
)(
2
++
=
sssR
sC
Se utiliza la siguiente igualdad
22
2
2
27534
75
nn
n
ssss ωζω
ω
++
=
++

19. Sistemas de segundo orden 111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111
se obtiene
3752
=nω
342 =nζω
375=nω
877876.0
3752
34
==ζ
17=σ
A partir de aquí se obtienen los parámetros de respuesta transitoria
segundost
d
r 2849.0=
−
=
ω
βπ
86=dω
.499.0tan 1
radd
== −
σ
ω
β
segundost
d
p 33876.0==
ω
π
( )
%315.000315.0 === − πωσ d
eM p
segundosts 23529.0
4
==
σ
Nota: Analizar porque prs ttt <<

20. Sistemas de segundo orden 111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111
Ejemplo: De los siguientes parámetros de respuesta transitoria obtener
la función de transferencia.
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
t
c(t)
127
0
142
0.75
Desarrollo: de la gráfica
1181.0
127
127142
=
−
=pM segundosts 75.0=
Estos dos
Parámetros
Son suficientes

21. Sistemas de segundo orden 111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111
De st
3333.5
44
==→=
s
s
t
t σ
σ
De y conociendopM σ
( )
84335.7
ln
=
−
=→= −
p
dp
M
eM d
σπ
ωπωσ
Entonces
3333.5=σ
84335.7=dω
48486.922
=+= dn ωσω
56229.0==→=
n
n
ω
σ
ζσζω
96256.89666.10
96256.89
2
)( 222
2
++
=
++
=
ssss
sG
nn
n
ωζω
ω