respuesta transitoria

1. Hoja 1 de 9
SISTEMAS DE CONTROL
ANÁLISIS DE LA RESPUESTA TRANSITORIA
En general los sistemas físicos reales, poseen inercias que les impiden seguir la señal de entrada de
manera instantánea. Ésto implica la existencia de un período transitorio que es necesario conocer,
así como el tiempo requerido para llegar al estado estacionario.
Veremos cómo responden un sistema de primer orden y otro de segundo orden sometidos a distin-
tas entradas de prueba (Se supondrán condiciones iniciales nulas).
SISTEMAS DE PRIMER ORDEN
Entrada escalón unitario
Sea la transferencia de un sistema de primer orden:
“T” es la constante de tiempo del sistema y para un valor de 5 veces T, la respuesta es práctica-
mente igual a la entrada; por lo que si t→∞ el error (diferencia entre las señales de entrada y sali-
da) tiende a cero.

2. Hoja 2 de 9
Entrada rampa unitaria
Sea:
SISTEMAS DE SEGUNDO ORDEN
Los sistemas de segundo orden continuos son aquellos que responden a una ecuación diferencial
lineal de segundo orden:
Sin pérdida de generalidad se analizará un caso muy común donde:
Que corresponde al siguiente sistema de segundo orden:
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
2
1
2
2
0
2
1
2
2
0 t
r
b
dt
t
dr
b
dt
t
r
d
b
t
c
a
dt
t
dc
a
dt
t
c
d
a 




.
0
,
,
,
1 1
0
2
2
1
0 




 b
b
K
b
a
p
a
a

3. Hoja 3 de 9
Donde K es una constante que representa una ganancia y p es otra constante real que representa al
polo del sistema.
Su función de transferencia de lazo cerrado es:
Como se aprecia, los polos de lazo cerrado pueden ser de tres tipos:
1. Reales diferentes si:
2. Reales iguales si:
3. Complejos si:
Para facilitar el análisis se realiza el siguiente cambio de variables:
Por lo que la transferencia de lazo cerrado de un sistema de segundo orden se puede expresar co-
mo:
Ahora el comportamiento dinámico del sistema de segundo orden se describe en términos de los
parámetros  y n.
)
( p
s
s
K

)
(s
R )
(s
C
)
(s
E
2
n
K 
 
 2
2 
 n
p
K
ps
s
K
s
R
s
C


 2
)
(
)
(























K
p
p
s
K
p
p
s
K
s
R
s
C
4
2
4
2
)
(
)
(
2
2
K
p

4
2
K
p

4
2
K
p

4
2
2
2
2
2
)
(
)
(
n
n
n
s
s
s
R
s
C






= atenuación = .n

4. Hoja 4 de 9
Entrada escalón unitario
(1) Caso subamortiguado
en este caso:
donde:
se denomina frecuencia natural amortiguada.
Si R(s) es una entrada escalón, entonces:
Utilizando fracciones parciales:
y conociendo que:
Se obtiene la salida en el tiempo:
(2) Caso de amortiguamiento crítico
En este caso se tienen dos polos reales iguales y C(s), ante un escalón es:
su transformada inversa es:
3) Caso sobreamortiguado
En este caso se tienen dos polos reales negativos y diferentes. Para una entrada escalón:
)
1
0
( 

)
)(
(
)
(
)
( 2
d
n
d
n
n
j
s
j
s
s
R
s
C










2
1 

 
 n
d
s
s
s
s
C
n
n
n
)
2
(
)
( 2
2
2






2
2
2
2
)
(
)
(
1
)
(
d
n
n
d
n
n
s
s
s
s
s
C














t
e
s
s
d
t
d
n
n n



 
cos
)
( 2
2











1
-
L t
sen
e
1
)
s
(
.
d
t
2
2
d
2
n
n n






 











1
-
L
)
1
( 

s
s
s
C
n
n
2
2
)
(
)
(




)
0
(
)
1
(
1
)
( 


 
t
t
e
t
c n
t
n


)
1
( 

s
s
s
s
C
n
n
n
n
n
)
1
)(
1
(
)
( 2
2
2














)
1
(cos
1
)
(
2 r
d
r
d
t
t
sen
t
e
t
c r
n








 

5. Hoja 5 de 9
La transformada inversa de Laplace de la ecuación anterior es:
En la figura anterior se ve la incidencia del parámetro  en la forma de la respuesta, según sea  el
sistema será subamortiguado, amortiguado crítico ó sobre-amortiguado.
Se estudia la respuesta de un sistema de segundo orden ante una entrada escalón unitario ya que
este tipo de entrada es lo bastante drástica como para probar la bondad del sistema en régimen
transitorio. Además, si se conoce la respuesta ante este tipo de entrada, se puede calcular en forma
analítica la respuesta ante cualquier tipo de entrada.
Entrada impulso unitario
Utilizando transformada inversa obtenemos las siguientes soluciones de c(t):
0 2 4 6 8 10 12
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
sa
1


ca
1


0


2
.
0


4
.
0


7
.
0


8
.
0


)
1
0
( 
 
Para
)
1
( 
 )
0
(
1
2
1
2
)
( )
1
(
2
)
1
(
2
2
2




 





t
e
e
t
c t
n
t
n n
n 









Para
)
1
( 

Para
t
t
n
n
e
e
t
c












)
1
(
2
2
)
1
(
2
2
2
2
)
1
(
1
2
1
)
1
(
1
2
1
1
)
(















2
2
2
2
)
(
n
n
n
s
s
s
C






)
0
(
)
( 2

 
t
te
t
c t
n
n


)
0
(
1
1
)
( 2
2



 
t
t
sen
e
t
c n
t
n n



 

6. Hoja 6 de 9
DESEMPEÑO DE SISTEMAS DE CONTROL
Las características de desempeño de un sistema de control se comparan basándose en el tiempo de
la repuesta transitoria. La característica transitoria de los sistemas dinámicos se presenta por la
incapacidad de responder de manera instantánea a las entradas o perturbaciones. La respuesta tran-
sitoria es común clasificarla con base a los siguientes parámetros definidos a partir de la respuesta
de un sistema de 2º orden ante una entrada escalón unitario:
Siendo:
td = tiempo de retardo
tr = tiempo de crecimiento, levantamiento ó alcance
tp = tiempo de pico, tomado hasta el primer pico de sobre-impulso
Mp = sobre-impulso, sobre-error ó sobrepaso máximo, medido desde la referencia (escalón unita-
rio)
ts = tiempo de establecimiento ó asentamiento, para el cual la respuesta difiere del valor final en un
rango de 2~5% (en valor absoluto)
td: Es el tiempo que tarda la respuesta en alcanzar la mitad del valor final por primera vez.
tr: Es el tiempo requerido para que la respuesta aumente de 0 a 100% para sistemas subamortigua-
dos, del 5 al 95% o del 10 al 90% para sistemas críticamente amortiguados o sobreamortiguados.
El tiempo de crecimiento se obtiene dando un valor de 1 en la ecuación de respuesta de un sistema
de segundo orden ante una entrada escalón.
0 2 4 6 8 10 12
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
sa
1


ca
1


0


2
.
0


4
.
0


7
.
0



7. Hoja 7 de 9
Según lo visto anteriormente (hoja 4):
o bien:
el tiempo de crecimiento es entonces:
tp: Es el tiempo requerido para que la respuesta alcance el primer pico de sobre-impulso. El tiem-
po pico se obtiene derivando la ecuación de respuesta c(t) e igualándola a cero, con lo que se ob-
tiene:
Mp: Es el valor pico máximo de la curva de respuesta medido desde la unidad o valor deseado. El
sobre-impulso máximo se obtiene de la respuesta evaluada en el tiempo pico.
ts: Es el tiempo mínimo donde la curva de respuesta alcanza y se mantiene dentro de un rango de
error preestablecido, generalmente es del 2% o del 5%, el rango más común es el del 2%. Para
n


d

1
)
1
(cos
1
)
( 2




 
r
d
r
d
t
t
sen
t
e
t
c r
n





0
1
cos 2


 r
d
r
d t
sen
t 



0
tan
1
1
cos
tan
cos
1
cos 2
2











 r
d
r
d
r
d
r
d
r
d t
t
t
t
t 












 d
r
d t 




2
1
tan









d
d
d
d
r
t 1
1
tan
,
tan
1 












0
1
)
( 2


 p
nt
n
p
d e
t
sen














p
d
p
d
t
.
impulso
sobre
primer
el
elige
se
,
,
3
,
2
,
,
0
son
ecuación
esta
satisfacen
que
valores
los
,
0
t
sen

1
)
( 
 p
p t
c
M 










 
d
d
d
d sen
e d
n











2
)
(
1
cos    





 d
d
n
e
e 



 

 2
1

 e
M p
d
p
t




8. Hoja 8 de 9
sistemas de primer y segundo orden, la respuesta se mantiene dentro del 2% después de 4 constan-
tes de tiempo:
Para concluir comentaremos que es deseable que la respuesta sea rápida y amortiguada; para ello 
debe estar en un rango de 0,4~0,8.
Valores pequeños de  producen sobre impulso excesivo mientras que valores altos hacen que la
respuesta sea lenta.
Ejemplos:
1) Definir los parámetros de respuesta transitoria del siguiente sistema:
Desarrollo:
La función de transferencia de lazo cerrado es:
Comparándola con la expresión general:
Se obtiene:
A partir de aquí se obtienen los parámetros de respuesta transitoria:
)
s
(
s 34
375

)
(s
R )
(s
C
375
2
n 

34
2 n 

365
,
19
375
n 


877876
.
0
375
2
34


 27
,
9
86
1 2
n
d 






17
n 



375
s
34
s
375
)
s
(
R
)
s
(
C
2



2
n
n
2
2
n
2
s
2
s
375
s
34
s
375








.
rad
499
.
0
tan d
1




 
segundos
285
.
0
t
d
r 







4
4
4 


n
s T
t

9. Hoja 9 de 9
2) De los siguientes parámetros de respuesta transitoria obtener la función de transferencia:
Desarrollo:
De la gráfica:
Como:
De Mp y conociendo :
Entonces:
Por consiguiente:
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
t
c(t)
127
0
142
0.75
3333
.
5


84335
.
7
d 

48486
.
9
2
d
2
n 





56229
.
0
n
n 








segundos
33876
.
0
t
d
p 



 
%
315
.
0
00315
.
0
e
M d
p 

 



segundos
23529
.
0
4
ts 


1181
.
0
127
127
142
Mp 


segundos
75
.
0
ts 
3333
.
5
t
4
4
t
s
s 





 
84335
.
7
M
ln
e
M
p
d
p
d






 



96256
.
89
s
666
.
10
s
96256
.
89
s
2
s
)
s
(
G 2
2
n
n
2
2
n








