8. Indica que el resultado de la
operación binaria
debe pertenecer al conjunto que se
toma como referencia.
Propiedad
clausurativa
Propiedad
conmutativa
Indica que el orden de los
operandos no es
importante al realizar la operación
Indica que el orden de los
operandos no es importante al
realizar la operación indica que se
pueden agrupar en diferente forma
los elementos de la operación.
Propiedad
asociativa
Indica que al realizar
la operación entre cualquier elemento
del referencial y este elemento, o
viceversa, no lo modifica al primero..
Propiedad de
poseer elemento
neutro
(n)
Indica que al realizar la operación
entre cualquier elemento del
referencial y este elemento, o
viceversa, se obtiene el elemento
neutro. Esta propiedad sólo deberá
probarse en caso de existir elemento
neutro.
Propiedad de
poseer elemento
inverso (a)

9. Por definición, toda operación binaria cumple con la propiedad de cerradura.
Las restantes propiedades pueden o no cumplirse, según sea el caso, sin
perjuicio de que la operación sea binaria.
Se pueden
realizar
operaciones
binarias sobre
otros tipos de
conjuntos, no
necesariamente
numéricos, tal
como se lo ilustra
en el siguiente
ejemplo.

20. Factorizar una expresión algebraica consiste en escribirla como el
producto más simple de sus factores. Para llevarla a cabo, lo primero
que debe hacerse es poner en evidencia un factor común, si es que lo
hay, y luego analizar si el factor no común corresponde al desarrollo de
uno o más de los productos notables. Todas las expresiones
correspondientes a los productos notables pueden ser usadas como
expresiones de factorización si las leemos de derecha a izquierda.

21. EJEMPLO : (Hay factor común entre los números)
8a - 4b + 16c + 12d = 4. (2a - b + 4c + 3d)
El factor común es el número 4: El Máximo Común Divisor
entre los números.

22. Tratar desde el principio que nos queden iguales los
términos de los paréntesis nos hará mas sencillo el
resolver estos problemas.
2ax + 2bx - ay + 5a - by + 5b
Agrupo los términos que tienen un factor común
(2ax - ay + 5a ) + ( 2bx - by + 5b )
Saco el factor común de cada grupo
a ( 2x - y + 5 ) + b (2x - y + 5 )
Como las expresiones encerradas entre paréntesis son
iguales se tiene:
( 2x -y +5 )(a + b)
Que es nuestra respuesta.

23.  EJEMPLO : (Términos positivos)
x2 + 6x + 9 = (x + 3)2
x 3
2.3.x
6x
Busco dos términos que sean "cuadrado" de algo. Son: x2 y 9.
Entonces "bajo" la x y el 3 (las bases). Luego verifico 2.x.3 = 6x
("doble producto del primero por el segundo"). Dió igual que el otro
término. El polinomio es un cuadrado "perfecto". El resultado de la
factorización es la suma de las bases elevada al cuadrado: (x + 3)2

25.  Ejemplo: Factorar x^4 +x^2y^2 +y^4
1º) Comprobar si el trinomio es cuadrado perfecto:
raíz cuadrada de x^4 = x^2 ; Raíz cuadrada de y^4 = y^2
el 2º término debiera ser 2(x^2)(y^2) = 2x^2 y^2
Comparando 2º término (2x^2y^2) – (x^2y^2) = x^2y^2 lo que le falta
2º) Convirtiendo a trinomio cuadrado perfecto, sumando la diferencia
que falta al 2º término y restando la misma diferencia al trinomio dado,
así:
x^4 + x^2y^2 + y^4 (Trinomio original)
. + x^2y^2 - x^2y^2 (sumando y restando lo que le hace falta)
—————————————–
x^4 +2x^2y^2 +y^4 -x^2y^2 = (x^4 +2x^2y^2 +y^4) -x^2y^2 (resultado de
convertir el trinomio)
3º) Factorando el trinomio cuadrado perfecto Caso III:
(x^4 +2x^2y^2 +y^4) - x^2y^2 = (x^2 + y^2)^2 – x^2y^2
4º) Factorando la diferencia de cuadrados Caso IV:
(x^2 + y^2)^2 – x^2y^2 = (x^2 +y^2 +xy)(x^2y^2 -xy)
Ordenado sería = (x^2 +xy +y^2)(x^2 -xy+y^2) <– Solución

27. En este caso se deben buscar dos
números reales cuya suma algebraicasea
-13 y cuya multiplicación sea -90.
Descomponiendo -90 en factores más
elementales se obtienen los números -18
y 5.

28. Para factorarlo se extrae la raíz cúbica al primer
y cuarto términos, con las raíces formamos un
binomio; separando las raíces con (+) si todos
los términos del cubo son positivos y con ( - ) si
los términos del cubo son alternadamente
positivos y negativos; el binomio formado se
eleva al cubo.
Ejemplo: factorar
a3 + 3 a2b + 3 a b2 + b3 = (a + b)3
a3 + 3 a2 + 3 a + 1 = ( a + 1)3
8 - 36 X + 54 X2 - 27 X3 = ( 2 – 3X)3

29. Regla para La suma de dos potencias impares
iguales (m^5+n^5) es igual a dos factores:
el primero es la suma de las raíces de los
términos (m+n)
el segundo es el primer término elevado a la 5-
1=4, menos el 1º término elevado a la 5-2= 3 por
el 2º término elevado a la 1, más el 1º término
elevado a la 5-3=2 por el 2º término elevado al
cuadrado, menos el 1º término elevado a la 5-4=1
por el 2º término elevado al cubo, más el 2º
término elevado a la cuarta. (m^4 – m^3n +
m^2n^2 – mn^3 + n^4)

30. PROPIEDADES DEL VALOR ABSOLUTO

31. Una ecuación es una igualdad matemática entre dos
expresiones algebraicas, denominadas miembros,
en las que aparecen valores conocidos o datos, y
desconocidos o incógnitas, relacionados mediante
operaciones matemáticas. Los valores conocidos
pueden ser números, coeficientes o constantes; y
también variables cuya magnitud pueda ser
establecida a través de las restantes ecuaciones de
un sistema, o bien mediante otros procesos. Las
incógnitas, representadas generalmente por letras,
constituyen los valores que se pretende hallar.

39. Propiedades de las inecuaciones cuadraticas