Mate II

1. Castagnola, Juan Luis
ACTIVIDAD Nº3
9.
𝑓( 𝑥) =
𝑥2
+ 3𝑥 − 10
𝑥 − 2
 Calcule lim
𝑥→2
𝑓( 𝑥) .
lim
𝑥→2
𝑥2
+ 3𝑥 − 10
𝑥 − 2
Tenemos aquí el límite de una función racional. Lo primero que hacemos es sustitución
directa en el denominador:
2 − 2 = 0
Habiendo comprobado que el denominador se anula, no podemos aplicar la propiedad
de sustitución directa en esta función.
Factorizamos el numerador:
𝑓( 𝑥) =
𝑥2
+ 3𝑥 − 10
𝑥 − 2
=
( 𝑥 − 2)( 𝑥 + 5)
𝑥 − 2
Si 𝑥 ≠ 2 simplificando 𝑥 − 2 de la expresión anterior tenemos la función:
𝑔( 𝑥) = 𝑥 + 5 𝑞𝑢𝑒 𝑒𝑠 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙 𝑎 𝑓( 𝑥) 𝑠𝑎𝑙𝑣𝑜 𝑒𝑛 𝑥 = 2
Tenemos entonces dos funciones iguales salvo en un punto, y queremos saber el límite
de una de ellas justamente en “ese” punto. Podemos calcular el límite de la otra
función, dicho límites serán iguales. Entonces:
lim
𝑥→2
𝑥2
+ 3𝑥 − 10
𝑥 − 2
= lim
𝑥→2
( 𝑥 − 2)( 𝑥 + 5)
𝑥 − 2
= lim
𝑥→2
𝑥 + 5
Ahora podemos realizar sustitución directa:
2 + 5 = 7
Por lo cual concluimos que:
lim
𝑥→2
𝑥2
+ 3𝑥 − 10
𝑥 − 2
= 7

2. Castagnola, Juan Luis
 Calcule lim
𝑥→−2
𝑓( 𝑥).
lim
𝑥→−2
𝑥2
+ 3𝑥 − 10
𝑥 − 2
Tenemos aquí el límite de una función racional. Lo primero que hacemos es sustitución
directa en el denominador:
−2 − 2 ≠ 0
Habiendo controlado la condición de que el denominador no se anula, procedemos a
hacer sustitución directa en toda la función.
lim
𝑥→−2
𝑥2
+ 3𝑥 − 10
𝑥 − 2
=
(−2)2
+ 3(−2)− 10
−2 − 2
= 3
Entonces concluimos que:
lim
𝑥−−2
𝑥2
+ 3𝑥 − 10
𝑥 − 2
= 3

3. Castagnola, Juan Luis
 Analizamos la continuidad en 2 de:
𝑓( 𝑥) =
𝑥2
+ 3𝑥 − 10
𝑥 − 2
Como 2  Df resulta de inmediato que 𝑓 no es continua en 𝑥 = 2
A partir de la teoría sabemos que:
𝑓 es continua en a si y sólo si lim
𝑥→𝑎
𝑓( 𝑥) = 𝑓(𝑎).
Entonces para todo a  Df resulta que:
𝑓( 𝑎) =
𝑎2
+ 3𝑎 − 10
𝑎 − 2
lim
𝑥→𝑎
𝑓( 𝑥) = lim
𝑥→𝑎
𝑥2
+ 3𝑥 − 10
𝑥 − 2
=
𝑎2
+ 3𝑎 − 10
𝑎 − 2
Por lo que concluimos que: 𝑓 es continua para todo punto de su dominio
También se puede decir que: 𝑓 es continua en ℜ − {2}
 Analizamos la continuidad en -2 de:
𝑓( 𝑥) =
𝑥2
+ 3𝑥 − 10
𝑥 − 2
Por lo analizado anteriormente, sabemos que:
𝑓 es continua para todo punto de su dominio
Como el valor -2 pertenece al Dominio de la función, concluimos que:
𝑓 es continua en -2

4. Castagnola, Juan Luis
 Calcule los límites al infinito.
lim
𝑥→∞
𝑥2
+ 3𝑥 − 10
𝑥 − 2
A partir de la teoría sabemos que:
𝑆𝑖 𝑓( 𝑥) =
𝑎 𝑛 𝑥 𝑛
+ ⋯ + 𝑎1 𝑥 + 𝑎0
𝑏 𝑚 𝑥 𝑚 + ⋯+ 𝑏1 𝑥 + 𝑏0
𝑐𝑜𝑛 𝑎 𝑛 ≠ 0 𝑦 𝑏 𝑚 ≠ 0
𝐸𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 lim
𝑥→∞
𝑓( 𝑥) = lim
𝑥→∞
𝑎 𝑛 𝑥 𝑛
𝑏 𝑚 𝑥 𝑚
𝑦 lim
𝑥→∞
𝑓( 𝑥) = lim
𝑥→−∞
𝑎 𝑛 𝑥 𝑛
𝑏 𝑚 𝑥 𝑚
Entonces:
lim
𝑥→∞
𝑥2
+ 3𝑥 − 10
𝑥 − 2
=
𝑥2
𝑥
= ∞
 Calculamos el límite al infinito:
Por lo establecido anteriormente concluimos que:
lim
𝑥→−∞
𝑥2
+ 3𝑥 − 10
𝑥 − 2
=
𝑥2
𝑥
= −∞

5. Castagnola, Juan Luis
 Gráfico de la función:
𝑓( 𝑥) =
𝑥2
+ 3𝑥 − 10
𝑥 − 2
f(x)=(x^2+3x-10)/(x-2)
-5.5 -5 -4.5 -4 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
7
8
x
y

6. Castagnola, Juan Luis
19.
𝑔( 𝑥) =
𝑥2
− 9
𝑥 − 3
 Analice de manera explícita la continuidad de x=3. En caso de no serlo ¿Cómo
la re definiría para que lo sea?
Como 3  Df resulta de inmediato que 𝑔 no es continua en 𝑥 = 3
A partir de la teoría sabemos que:
𝑓 es continua en a si y sólo si lim
𝑥→𝑎
𝑓( 𝑥) = 𝑓(𝑎).
Entonces para todo a  Df resulta que:
𝑔( 𝑎) =
𝑎2
− 9
𝑎 − 3
lim
𝑥→𝑎
𝑔( 𝑥) = lim
𝑥→𝑎
𝑥2
− 9
𝑥 − 3
=
𝑎2
− 9
𝑎 − 3
Por lo que concluimos que: 𝑔 es continua para todo punto de su dominio
También se puede decir que: 𝑔 es continua en ℜ − {3}
Entonces decimos que:
𝑔( 𝑥) =
𝑥2
− 9
𝑥 − 3
𝑒𝑠 𝑑𝑖𝑠𝑐𝑜𝑛𝑡𝑖𝑛𝑢𝑎 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑥 = 3
La teoría establece que:
𝑆𝑒𝑎 𝑓 𝑢𝑛𝑎 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖ó𝑛, 𝑓 𝑑𝑖𝑠𝑐𝑜𝑛𝑡𝑖𝑛𝑢𝑎 𝑒𝑛 𝑎
𝑆𝑖 lim
𝑥→𝑎
𝑓( 𝑥) 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒 𝑑𝑒𝑐𝑖𝑚𝑜𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝑎 𝑒𝑠 𝑢𝑛 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑑𝑖𝑠𝑐𝑜𝑛𝑡𝑖𝑛𝑢𝑑𝑎𝑑 𝑒𝑣𝑖𝑡𝑎𝑏𝑙𝑒.

7. Castagnola, Juan Luis
Entonces evaluamos:
lim
𝑥→3
𝑥2
− 9
𝑥 − 3
Tenemos aquí el límite de una función racional. Lo primero que hacemos es sustitución
directa en el denominador:
3 − 3 = 0
Habiendo comprobado que el denominador se anula, no podemos aplicar la propiedad
de sustitución directa en esta función.
Factorizamos el numerador:
𝑔( 𝑥) =
𝑥2
− 9
𝑥 − 3
=
( 𝑥 − 3)( 𝑥 + 3)
𝑥 − 3
Si 𝑥 ≠ 3 simplificando 𝑥 − 3 de la expresión anterior tenemos la función:
𝑓( 𝑥) = 𝑥 + 3 𝑞𝑢𝑒 𝑒𝑠 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙 𝑎 𝑔( 𝑥) 𝑠𝑎𝑙𝑣𝑜 𝑒𝑛 𝑥 = 3
Tenemos entonces dos funciones iguales salvo en un punto, y queremos saber el límite
de una de ellas justamente en “ese” punto. Podemos calcular el límite de la otra
función, dicho límites serán iguales. Entonces:
lim
𝑥→3
𝑥2
− 9
𝑥 − 3
= lim
𝑥→3
( 𝑥 − 3)( 𝑥 + 3)
𝑥 − 3
= lim
𝑥→3
𝑥 + 3
Ahora podemos realizar sustitución directa:
3 + 3 = 6
Por lo cual concluimos que:
lim
𝑥→3
𝑥2
− 9
𝑥 − 3
= 6
Entonces podemos concluir que:
𝐴𝑙 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑖𝑟 lim
𝑥→𝑎
𝑓( 𝑥) 𝑑𝑒𝑐𝑖𝑚𝑜𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝑎 𝑒𝑠 𝑢𝑛 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑑𝑖𝑠𝑐𝑜𝑛𝑡𝑖𝑛𝑢𝑑𝑎𝑑 𝑒𝑣𝑖𝑡𝑎𝑏𝑙𝑒.
La función redefinida sería:
𝑓( 𝑥) = 𝑥 + 3 𝑐𝑜𝑛 𝑥 ≠ 3

8. Castagnola, Juan Luis
 Analice de forma explícita la existencia de asíntotas.
Analizamos la existencia de asíntotas horizontales:
La teoría establece que:
La recta 𝑦 = 𝐿
Es una asíntota horizontal de la curva 𝑦 = 𝑓( 𝑥)
Si se cumple cualquiera de las dos condiciones siguientes:
lim
𝑥→∞
𝑓( 𝑥) = 𝐿 ó lim
𝑥→−∞
𝑓( 𝑥) = 𝐿
𝑔( 𝑥) =
𝑥2
− 9
𝑥 − 3
Entonces verificamos si el límite de la función cumple alguna de las condiciones
anteriores:
lim
𝑥→∞
𝑥2
− 9
𝑥 − 3
=
(∞2
− 9)
∞ − 3
= ∞
Entonces concluimos que no posee asíntota horizontal.
Analizamos la existencia de asíntota vertical:
La teoría establece que:
La recta 𝑥 = 𝑐
Es una asíntota vertical de la curva 𝑦 = 𝑓( 𝑥)
Si y solo si se cumple cualquiera de las tres condiciones siguientes:
lim
𝑥→𝑐
𝑓( 𝑥) = +∞ ó lim
𝑥→𝑐
𝑓( 𝑥) = −∞ ó lim
𝑥→𝑐
𝑓( 𝑥) = ∞

9. Castagnola, Juan Luis
𝑔( 𝑥) =
𝑥2
− 9
𝑥 − 3
Al ser 𝑔(𝑥) una función racional su denominador deber ser distinto a 0, para que esto
ocurra debe ser:
𝑥 ≠ 3
Entonces verificamos si la recta x=3 es una asíntota vertical:
lim
𝑥→3
𝑥2
− 9
𝑥 − 3
= 3
Por lo cual concluimos que no posee asíntota vertical.
 Calcule los límites al infinito.
lim
𝑥→∞
𝑥2
− 9
𝑥 − 3
A partir de la teoría sabemos que:
𝑆𝑖 𝑓( 𝑥) =
𝑎 𝑛 𝑥 𝑛
+ ⋯ + 𝑎1 𝑥 + 𝑎0
𝑏 𝑚 𝑥 𝑚 + ⋯+ 𝑏1 𝑥 + 𝑏0
𝑐𝑜𝑛 𝑎 𝑛 ≠ 0 𝑦 𝑏 𝑚 ≠ 0
𝐸𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 lim
𝑥→∞
𝑓( 𝑥) = lim
𝑥→∞
𝑎 𝑛 𝑥 𝑛
𝑏 𝑚 𝑥 𝑚
𝑦 lim
𝑥→∞
𝑓( 𝑥) = lim
𝑥→−∞
𝑎 𝑛 𝑥 𝑛
𝑏 𝑚 𝑥 𝑚
Entonces:
lim
𝑥→∞
𝑥2
− 9
𝑥 − 3
=
𝑥2
𝑥
= ∞

10. Castagnola, Juan Luis
 Calculamos el límite al infinito:
Por lo establecido anteriormente concluimos que:
lim
𝑥→−∞
𝑥2
− 9
𝑥 − 3
=
𝑥2
𝑥
= −∞
 Gráfico de la función:
𝑔( 𝑥) =
𝑥2
−9
𝑥−3