Matemática. Dirección de Evaluación de la Calidad Educativa. DGE. 2014.

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2014 1
Operaciones: resolver problemas y operar en el conjunto de los números
racionales
Dentro del núcleo estructurante “Operaciones” uno de los saberes básicos
fundamentales que se ha observado tienen dificultades los alumnos es respecto a
resolver problemas y operar en el conjunto de los números racionales.
Este saber básico está incluido en los saberes que se proponen promover desde los
Núcleos de Aprendizajes Prioritarios de séptimo grado, en Relación con el Número y
las Operaciones, en donde se puntualiza:
El reconocimiento y uso de las operaciones entre números naturales, fracciones y
expresiones decimales y la explicitación de sus propiedades en situaciones
problemáticas que requieran:
*operar con cantidades y números seleccionando el tipo de cálculo (mental y
escrito, exacto y aproximado, con y sin uso de la calculadora) y la forma de
expresar los números involucrados que resulte más conveniente en función de
la situación, y evaluando la razonabilidad del resultado obtenido
*producir cálculos que combinen varias operaciones en relación con un
problema y un problema en relación con un cálculo, y resolverlos con o sin uso
de la calculadora
*argumentar sobre la validez de un procedimiento o el resultado de un cálculo
mediante las propiedades de la suma, la resta, la multiplicación y la división.
A continuación se muestran algunos ítems de evaluación que obtuvieron en general
menos del 50% de respuestas correctas. Por ejemplo en la evaluación de 2013 el ítem
correspondiente a este saber obtuvo un 45,28% de aciertos.
Los ejercicios dados corresponden a varios operativos de evaluación (provinciales,
nacionales e internacionales) porque en ellos, a pesar de ser poblaciones distintas y
de distintos años, los alumnos repiten los mismos errores.
Es importante recordar que cada uno de los distractores que aparecen NO han sido
puestos al azar, son posibles formas de razonar que tienen los alumnos, o un
aprendizaje incompleto que en algunos casos les resulta válido. Por ello en evaluación
sistemática se los llama “distractores válidos”, al elegirlos queda claro el error que
tienen los alumnos.
[1]
Juan, Pedro Luis y José salieron hacia el
club. Algunos se pararon a descansar en
el camino. Juan iba en bicicleta. Pedro en
moto. Luis corriendo y José caminando.
Juan recorrió
6
5
del camino; Pedro
3
2
;
Luis
2
1
y José
12
11
del camino. ¿Quién
está más cerca del club?
a) Pedro
b) Juan
c) José
[2]
En un grupo de niños, 16 cumplen años
durante la primera mitad del año y los 14
restantes cumplen años durante la
segunda mitad del año. ¿Qué fracción del
grupo cumple años durante la primera
mitad del año?. Considera al año con 12
meses.
a)
30
14
b)
16
14

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d) Luis
c)
14
16
d)
30
16
e)
12
16
f)
12
14
[3]
A Mario le regalaron 3 láminas de fútbol, 4
láminas de autitos y 2 láminas de
animales. ¿Qué fracción representan las
láminas de fútbol del total de láminas?
a)
6
3
b)
3
9
c)
9
3
d)
3
6
[4]
Lee atentamente:
En un barrio de 30 casas,
30
14
de las
casas tienen calefón. Esto quiere decir
que:
a) 14 casas tienen calefón y 30 casas no
lo tienen.
b) 14 casas tienen calefón y 16 casas no
lo tienen.
c) 16 casas tienen calefón y 14 casas no
lo tienen.
5
Andrés, Luca, Ignacio y Gabriel
enterraron postes idénticos de madera en
la tierra.
Andrés enterró
6
5
del poste; Luca
3
2
;
Ignacio
2
1
y Gabriel
12
9
del poste.
¿Qué poste quedó más afuera? El que
enterró:
1) Luca
2) Andrés
3) Gabriel
4) Ignacio
[6]
Aldana compró
3
1
de un kg de sal,
4
1
de
un kg de pimienta,
6
1
de un kg de ají
molido y
12
1
de un kg de ajo en polvo.
¿De cuál de las especies compró la mayor
cantidad?
a) sal
b) pimienta
c) ají molido
d) ajo en polvo

3. Dirección de Evaluación de la Calidad Educativa
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[7]
¿Cómo se calculan los 2/5 de 120?
a) dividiendo 120 por 2 y multiplicando
luego por 5
b) dividiendo 120 por 5
c) dividiendo 120 por 5 y multiplicando
luego por 2
d) dividiendo 120 por 2
[8]
En una bolsa hay bolitas de cristal y de
piedra. Si
6
1
de ellas son de cristal, ¿a
través de qué operación se puede saber
qué parte de las bolitas son de piedra?
a)
6
1
1
b)
6
1
1
c)
6
1
1
d)
6
1
1
[9] (Ítem abierto)
La tercera parte de las mesas de la escuela de Antonio son verdes y el resto son
azules. Si la escuela tiene en total 360 mesas, ¿cuántas hay de cada color?
Escribir dentro de este recuadro todos los cálculos y dibujos necesarios para resolver
el problema.
Respuesta: …………….
[10]
Dada la siguiente suma:
La respuesta correcta es:
1) 34,39% *
2) 7,82%
3) 51,37%
4) 4,21%
Sr: 2,29 %
Cuando los niños comienzan a abordar el estudio sistemático de las fracciones en la
escuela, tienen ya una amplia experiencia con los números naturales. Esa experiencia
será para ellos el punto de apoyo a partir del cual extenderán progresivamente el

4. Dirección de Evaluación de la Calidad Educativa
2014 4
campo numérico, pero al mismo tiempo se constituirá en el mayor obstáculo frente al
desafío de comprender el funcionamiento de estos nuevos números. ¿Qué nos lleva a
hacer una afirmación tan drástica? El aprendizaje de los números racionales –escritos
en forma decimal o fraccionaria– supone una ruptura fundamental con lo que el niño
sabe hasta el momento: los números ya no tienen siguiente, la multiplicación no puede
–salvo cuando se multiplica un natural por una fracción– ser interpretada como una
adición reiterada, en muchos casos el producto de dos números es menor que cada
uno de los factores, el resultado de una división puede ser mayor que el dividiendo, un
número –la fracción– se representa a través de dos números naturales. En fin, un
edificio de certezas construido durante años, parece derrumbarse.
Al abordar las fracciones, la idea de “parte” no siempre está vinculada explícitamente
con la división. Apoyarse en los conocimientos que los niños tienen sobre ella permite
iniciar el trabajo con fracciones y ligarlas al resultado exacto de una división entre
números naturales, presentando situaciones en las que las fracciones expresan el
resultado de un reparto; por ejemplo, cuando 4 niños deciden compartir 3 chocolates.
Esto también permite trabajar a la vez con fracciones mayores que uno.
Tal como ocurre con cualquier noción matemática, el sentido de la noción de número
racional se construye a partir de los problemas que van enfrentando los alumnos y que
no pueden ser resueltos usando los números naturales.
La enseñanza de las fracciones es una de las tareas más difíciles en la educación
general básica. Dicha dificultad se manifiesta en el alto porcentaje de niños que
fracasan en aprender este contenido.
Los números fraccionarios son una estructura de una riqueza y complejidad que
encuentra aplicaciones en una multiplicidad de contextos: la ciencia, la técnica, el arte
y la vida cotidiana. En cada uno de estos contextos las fracciones se presentan con
una diversidad de significados.
Uno de los aspectos que determinan el fracaso es la falta de tratamientos de los
diferentes campos conceptuales relativos al objeto matemático fracción.
Campo conceptual es un espacio de problemas, cuyo tratamiento implica conceptos y
procedimientos de varios tipos en estrecha conexión entre sí. El espacio de
problemas correspondiente a un campo conceptual está dado por el tipo de
operaciones o de relaciones que demanda.
La construcción y la comprensión de un campo conceptual es un proceso complejo,
que se extiende durante un largo período, produciéndose en esta construcción
aproximaciones sucesivas al concepto. Según algunos autores como Sallán (2005) se
deben tener en cuenta cinco significados de la fracción:
 La fracción como relación parte-todo. La interpretación de las fracciones como
relación parte-todo se produce cuando un todo (continuo o discreto) se divide
en partes iguales.
Por ejemplo, en un envase de 12 huevos hay 5 que están cascados. ¿Qué fracción de
huevos del envase está cascada? ¿Qué fracción de huevos del envase no está
cascada?
 La fracción como cociente. En la interpretación de las fracciones como cociente
se asocia la fracción a la operación de dividir un número natural por otro.
Por ejemplo,
5
3
podría representar la acción de dividir 3 litros entre 5 personas.

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 La fracción como razón. En la interpretación de las fracciones como razón, la
fracción aparece como razón de una proporción.
Por ejemplo, la razón como escala, en una comparación de longitudes.
 La fracción como operador. En el caso de la fracción como operador, la
fracción actúa como transformación, como función. El conjunto original puede
ser un conjunto numérico o una magnitud.
Por ejemplo, si de 20 alumnos,
5
4
aprobaron el examen de ciencias. ¿Cuántos
alumnos no aprobaron?
Tomemos algunos ejemplos de tipos de problemas que le dan sentido a las fracciones.
En primer lugar analicemos los problemas de reparto, en los que tiene sentido indagar
una situación de partes equitativas, los cuales pueden dar lugar a una diversidad de
procedimientos.
Los niños pueden recurrir a distintas formas de repartir y distribuir porciones y discutir
acerca de la noción de equivalencia de las partes. Por ejemplo:
En una mesa de un bar se sientan 4 personas y piden, para compartir, tres
pizzas chicas. En otra mesa, piden 4 pizzas chicas pero son 5 comensales.
¿En qué mesa come más cada persona?
Esto también puede dar lugar a considerar la relación entre las pizzas repartidas y el
número de comensales, así como el tamaño y número de las partes. Más adelante,
esta reflexión será un punto de apoyo para interpretar
b
a
como el resultado del
cociente entre el número a y el número b.
Para el caso de las expresiones fraccionarias, es frecuente que el trabajo comience
usando la idea de partes de un todo dividido en porciones iguales: esto permite
abordar las relaciones entre el tamaño y el número de las partes con fracciones
menores que uno; pasar luego a la suma y a la resta con fracciones del mismo
denominador y, después, a las de distinto denominador.
En los problemas en contextos de medida esta progresión es prescindible, ya que el
uso de equivalencias y de estrategias de cálculo mental permite resolver, sin conocer
los algoritmos para operar con fracciones de distinto denominador.
Por ejemplo es posible calcular ll
2
1
4
3

,
pensando que l
4
3
equivale a ll
2
1
4
1
 ; o a 3
veces l
4
1
, y que l
2
1
litro son dos cuartos litros, teniendo control sobre el resultado. Es
más, incluso se pueden presentar problemas que involucran distintas operaciones y/o
diferentes significados de las mismas, con el objeto de analizar los límites de la
utilización de cada una de ellas.
Otro problema en el contexto de la medida puede ser el siguiente:

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a) En una panadería quedaron 4 bolsas de kg
2
1
de pan y 9 bolsitas de
kg
4
1
.El pan que sobra es envasado en bolsas de 5 kg para secar y usar
en otras preparaciones. ¿Alcanza con lo que tienen o necesitan más
para llenar una bolsa de 5 kg?
b) Otro día, habían quedado del día anterior 7 bolsas de kg
4
3
, ¿les alcanza
para completar los 5 kg?
c) El ayudante que arma las bolsas tiene una bolsa de kg
4
3
, otra de kg
2
1
,
otra de 1 kg y una chiquita de kg
4
1
. ¿Cuánto le falta para completar los
5 kilos?
En estos casos, es posible resolver apoyándose en la suma, y retomar un significado
de la multiplicación con el que los alumnos ya están familiarizados, para ir
construyendo los primeros procedimientos de cálculo de dobles o mitades, triples,
entre otros.
También habrá que considerar situaciones de partición en las que, dado el valor de
cada parte es necesario averiguar la cantidad de partes en las que puede subdividirse
el total; como, por ejemplo, cuando hay que determinar cuántas botellas de l
4
3
pueden llenarse con 5 litros. Otro ejemplo podría ser:
En un almacén se vende aceite que viene en bidones de 5 litros,
fraccionándolo en botellas de l
4
3
. ¿Cuántas botellas se deberán utilizar
por cada bidón?
También es posible presentar varias preguntas que requieran considerar
nuevas fracciones y expresiones decimales. Por ejemplo:
En un establecimiento en el que producen aceite de oliva hay un tanque
con 35 litros de aceite. Para su venta, se decide usar distintos envases.
¿Cuántos son necesarios para envasar esa cantidad de aceite si usan
envases de l
4
3
, de l
2
1
, de l
4
1
o de 0,2 litro?
Resulta interesante considerar con los alumnos qué cálculos conviene realizar
antes que otros, para apoyarse en los resultados obtenidos, lo que permite
explicitar relaciones entre fracciones o entre fracciones y expresiones
decimales.
La ampliación del trabajo sobre la medida, con actividades que requieran medir
o construir segmentos, y con propuestas en las que haya que trabajar sobre la
recta numérica, y el estudio de situaciones en las que las fracciones expresen
constantes de proporcionalidad, permitirá ir conociendo la multiplicidad de
significados del número racional. Dado que estos significados no pueden ser

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abordados al mismo tiempo, será importante articular el tratamiento de los
mismos en los distintos grados de la escuela.
Pueden ser propuestas actividades que involucran mediciones de longitudes y
de áreas, en las que la cantidad elegida como unidad no esté contenida un
número entero de veces en la cantidad a medir, lo que lleva a explicitar la
insuficiencia de los números naturales para expresar los resultados. Por
ejemplo:
Si el segmento AB es la unidad que se usa para medir, ¿cuál es la medida de
CD y de MN?
Dibujar segmentos cuyas medidas resulten:
a)
4
1
2 y de AB
b)
4
5
1 y de AB
Dibujar el segmento unidad, sabiendo que el segmento BC mide
3
1
de la unidad.
Dibujar el segmento unidad, sabiendo que el segmento BC mide
2
1
2 y de la unidad.
Marcar en la recta numérica
3
1
,
2
1
,
4
1
,
4
3
,
2
1
1
¿A qué número corresponde A? ¿y B y C?
Al resolver estos problemas los alumnos suelen medir con la regla, sin tener en
cuenta que, en algunos casos, es posible obtener la unidad repitiendo la parte
conocida como dato, y sin conocer su longitud.
Al trabajar con actividades donde lo pedido es representar en la recta
numérica, hay que tener en cuenta si la longitud del segmento unidad (ya sea
en cm o en ‘cuadraditos’, en caso de usar papel cuadriculado) es o no múltiplo
de los denominadores de las fracciones que se quiere representar, y si están

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dadas las posiciones del 0 y el 1, ó del 0 y otro número, ya que la dificultad
podría ser muy distinta en un caso u otro.
A propósito de las pizzas y de las tortas, es usual que la escuela adopte el
modelo de partir pizzas y tortas para “presentar” el concepto de fracción. Tan
natural resulta esta opción que muchas veces el modelo suele confundirse con
el concepto mismo, sin que se tenga demasiada conciencia de la cantidad de
puntos de vista vinculados al concepto de fracción que quedan afuera del
esquema “partir un todo en partes iguales”. ¿Qué queremos decir con esto?
Por ejemplo, es frecuente, ante la tarea de decidir si, por ejemplo, la parte
rayada del siguiente dibujo representa 1/3 de la unidad, los niños contestan que
no “porque no está partida en partes iguales”. El problema de evaluar una
medida se reduce entonces a una cuestión de percepción que no pone en
juego el concepto de fracción.
Este ejemplo muestra algunos inconvenientes que surgen al identificar el
concepto de fracción con la subdivisión real del todo en partes iguales.
Estos inconvenientes se ponen también de manifiesto frente a la tarea de medir
un objeto mayor que una unidad.
Las consideraciones anteriores no intentan ser una prédica contra el recurso de
utilizar tortas y pizzas para enseñar fracciones, apuntan más bien, a identificar
cuáles son los aspectos que esta presentación no aborda y, por lo tanto, a
señalar las limitaciones que surgen cuando se la concibe como primer, único y
excluyente modelo para la enseñanza de las fracciones.
En el apartado de propuestas de enseñanza, hay sugerencias y actividades para
poder ir sorteando estos obstáculos.