Proyecto maestria

Comprensión del Problema del Cálculo de la Medida del Volumen de Sólidos de Revolución,
en el Marco de las Situaciones Didácticas Utilizando los Ambientes Informáticos como
Medio
Julián Andrés Rincón Penagos
Agosto del 2015
Universidad del Quindío
Facultad de Educación
Maestría en Ciencias de la Educación

Comprensión del Problema del Cálculo de la Medida del Volumen de Sólidos de Revolución,
en el Marco de las Situaciones Didácticas Utilizando los Ambientes Informáticos como
Medio
Trabajo dirigido por
Mgs. Efraín Alberto Hoyos Salcedo
Agosto del 2015
Universidad del Quindío
Facultad de Educación
Maestría en Ciencias de la Educación

III
Copyright c por Julián Andrés Rincón Penagos. Todos los Derechos Reservados

IV
Dedicatoria
A Jesucristo que es el Ser más Grande del Universo

V
Agradecimientos
Agradezco a Dios por darme la oportunidad de estudiar esta maestría. No podemos saber cuáles
son los propósitos que él tiene con nosotros.
A mis padres que me han apoyado para lograr este meta.
A mi esposa Milena que ha estado a mi lado el último año.
Al Profesor Efraín Hoyos que me ha acompañado en este proceso tan importante.
A cada profesor que a aportado algo para hacer posible este proyecto.

VI
Abstract
En ésta investigación que quizo indagar sobre, las dificultades que tienen los estudiantes en la
comprensión del problema del cálculo de la medida del volumen de los sólidos de revolución. Se
ha realizado en el marco de las situaciones didácticas utilizando los ambientes informáticos como
medio. Esto en el marco metodológico de la ingeniería didáctica. Para determinar las dificultades
se ha realizado un análisis según la teoría de Van Hiele que comprende la identificación de algunas
variables que permiten la categorización del nivel de la comprensión de los estudiantes en el
problema de estudio. Estas variables tienen que ver con las propiedades que definen a los sólidos
de revolución y al problema del cálculo de la medida del volumen. Estas se clasifican en cada uno
de los niveles de la teoría de Van Hiele.
Como resultado de esta investigacion se obtuvo, una secuencia didáctica, diseñada desde el marco
de las situaciones didácticas. Un software y una cartilla para trabajar con el problema de la
investigación y las dificultades que presentan los estudiantes en la comprensión del cálculo de
la medida del volumen de un sólido de revolución.

VII
Prefacio
La presente es una investigación en educación matemática, desarrollada desde la Maestría
en Ciencias de la Educación de la Universidad del Quindío. El problema de investigación que se
trabajo en ésta fue la comprensión del problema del cálculo de la medida del volumen de los sólidos
de revolución, en estudiantes que cursan el espacio académico de cálculo integral del programa de
Ingeniería Electrónica, de la Universidad del Quindío.
El objetivo de esta investigación es determinar, cuáles son las diﬁcultades que presentan los
estudiantes en el cálculo de la medida del volumen de los sólidos de revolución. Para tal efecto se
han adaptado algunos marcos teóricos de la educación matemática a ésta.
En primer lugar para el desarrollo de la investigación se optó por la Ingeniería Didáctica,
porque ofrece un marco metodológico muy completo y adecuado para este tipo de investigación,
donde se destacaban sus cuatro fases: (a) Análisis Preliminar, (b) Análisis a priori, (c)
Experimentación y (d) Análisis a posteriori.
J En la primera fase, Análisis Preliminar, se hizo un análisis en libros y artículos que dieran
cuenta de la historia de las matemáticas en cuanto al problema de la medida del volumen de
los sólidos de revolución, esto es según la ingeniería didáctica la dimensión epistemológica
tratada en esta fase. También en la dimensión cognitiva, se realizó una prueba diagnóstico
a dos grupos de estudiantes del programa de ingeniería electrónica, para determinar cuáles
son los conocimientos previos que los estudiantes tienen, antes y después de ver el tema

VIII
a tratar en esta investigación. Finalmente en esta fase, se buscarón algunos libros guías
que el docente usa en la enseñanza del cálculo y se hizo un análisis del contenido en
cuanto al problema del cálculo de la medida del volumen, para determinar como modifica la
comprensión de este problema.
En la segunda fase, Análisis a priori, después de revisar los Análisis Preliminares, se tomarón de
allí algunas conclusiones: (a) el tratamiento del cálculo de la medida del volumen, se dío en muchos
momentos en la historia, logrando en pocos de ellos el tratamiento infinitesimal que se tiene hoy
en día, (b) la enseñanza de este problema, está centrada en la integral definida y (c) pocos1 libros
hacen un tratamiento analítico del cálculo de la medida del volumen.
Observando estas conclusiones tomadas de la primera fase, se decide entonces diseñar
secuencias didácticas que permitan la compresión del problema, primero de forma análitica y
luego de forma métrica. Es necesario entonces incluir un marco teórico que permita tal efecto,
es así como se incluyeron las situaciones didácticas. Estas permiten dentro de su composición una
interacción entre el estudiante, un problema y un medio para resolver el problema. Este proceso
es constantemente validado por el mismo estudiante hasta adquirir el conocimiento buscado. Se
denomina a este proceso aprendizaje por adaptación.
Seguidamente se formula la pregunta, ¿cómo medir el nivel de la comprensión del problema
del cálculo en los estudiantes?. Esta pregunta permite la inclusión de los niveles de Van Hiele,
dentro del marco teórico permitiendo determinar en que nivel de la comprensión del problema se
encuentran los estudiantes. Van Hiele propone cinco niveles: (a) Reconocimiento, (b) Análisis, (c)
Clasificación, (d) Deducción formal y (e) Rigor.
El problema de investigación se descompone en los niveles mencionados anteriormente,
1Vease, Análisis Preliminar

IX
permitiendo identificar el nivel de comprensión de cada estudiante. Pero ¿cómo determinar las
dificultades en la comprensión de este problema?.
Se cuenta con las situaciones a-didácticas, un aprendizaje por adaptación. Este como ya se
mencionó, presenta un proceso de validación en el cual el estudiante para resolver el problema
crea unas acciones sobre el medio y evalua si lo que a hecho lo lleva a la solución del problema.
Cuando la validación no es correcta existe un problema y el proceso debe continuar. Allí, en ese
punto donde se origino el problema hay una dificultad.
Para determinar tales dificultades se realizarón tareas que permiten identificar ese punto de
ruptura y clasificarlas como posibles dificultades. Estas tareas son: (a) grabación de video de la
pantalla del computador de cada estudiante explicando como resolver los problemas planteados en
la secuencia didáctica, (b) pruebas escritas. Durante la grabación (video) los estudiantes usaron
un lenguaje poco técnico, donde expresaban el procedimiento utilizado para dar respuesta a
los problemas propuestos, que a su vez permitió evaluar el nivel de comprensión en que se
encontraban.
Por otra parte, las pruebas escritas, permitieron determinar si el conocimiento se había
adquirido. Gran porcentaje de estas pruebas muestran que los estudiantes adquirieron la
comprensión del problema de la medida del cálculo del volumen de los sólidos de revolución.
Parte de lo anterior se dío en la cuarta fase, Análisis a posteriori, en donde se validó si los
estudiantes habian adquirido la comprensión del problema del cálculo de la medida del volumen.
En esta fase, se desarrolló un instrumento según los niveles de Van Hiele que permite determinar
en que nivel se clasifican los estudiantes en el momento de la experimentación.
Este instrumento se basó en once propiedades que se elaborarón en la fase dos, Análisis a

X
priori, que describen la composición de los sólidos de revolución y el cálculo de la medida de su
volumen. Estas propiedades se transformaron en la fase cuatro, en logros que permitieron evaluar
el desempeño del estudiante en la fase tres, la Experimentación. El instrumento permitió un análisis
de los videos resultantes de cada estudiante y el análisis de las pruebas escritas. La comparación de
estos análisis da como resultado: (a) el nivel de la comprensión en la que los estudiantes quedaron,
(b) las diﬁcultades obtenidas en el proceso de la validación de las situaciones didácticas.
Finalmente, se hace un análisis general basado en los resultados obtenidos durante todo el
proceso investigativo, dando paso a una serie de conclusiones, que consecuentemente dan respuesta
a los objetivos propuestos.

XI
Índice general
Resumen VI
Prefacio VII
Introducción 2
Planteamiento y formulación del problema 5
Objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
Justiﬁcación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1. Estado del Arte 13
1.1. Diﬁcultades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.2. Comprensión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.3. Visualización . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.4. Ambientes Informáticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2. Marco teórico 23
2.1. Ingeniería Didáctica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.2. Situaciones Didácticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.3. Modelos de aprendizaje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.4. Teoría de los Niveles de Van Hiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.5. Visualización . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.6. Ambientes informáticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

XII
2.7. Volumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.8. Comprensión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.9. Volúmenes de Sólidos Mediante los Métodos de Discos . . . . . . . . . . . . . . . 46
3. Metodología 51
4. Análisis Preliminar 55
4.1. El problema del cálculo de la medida del volumen de los sólidos de revolución en
la historia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
4.2. Problemas en el aula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
4.3. Análisis de libros de texto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
5. Concepción y análisis a priori 73
5.1. Situación a-didáctica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
5.2. Posibles diﬁcultades que se encontrarán en la experimentación . . . . . . . . . . . 87
5.3. Cálculo de la medida del volumen de sólidos de revolución . . . . . . . . . . . . . 88
5.4. Prueba diagnóstico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
6. Análisis a posteriori 101
6.1. Información de Pruebas y Videos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
6.2. Instrumento de Clasiﬁcación del Nivel de la Comprensión . . . . . . . . . . . . . 161
6.3. Análisis de los resultados obtenidos en la experimentación . . . . . . . . . . . . . 166
6.4. Conclusiones del Análisis a posteriori y la Evaluación . . . . . . . . . . . . . . . . 188
7. Diseño y Desarrollo del Software 193
7.1. Herramientas para el desarrollo del software . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
7.2. CorelDraw X6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194
7.3. Lazarus Free Pascal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194

XIII
8. Cartilla del Software SolyRev 197
8.1. Descripción del Software . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
8.2. Nuevo sólido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198
8.3. Notación de las funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
8.4. Lista de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200
8.5. Exportar lista de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
8.6. Importar lista de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
8.7. Guardar imagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202
8.8. Ventanas del software . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
8.9. La ventana 3D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
8.10. Conﬁguración del sólido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
8.11. Cálculo aproximado de la medida y visualización del volumen de un sólido de
revolución . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208
8.12. Tipos de sólidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212
8.13. Sólido entre dos funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223
9. Resultados 225
9.1. Otros resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226
10. Conclusiones 229
Lista de Referencias 231
Bibliografía 233
A. Prueba Diagnostico 239
B. Prueba de conocimiento adquirido 243
B.1. Actividad II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244

1
C. Secuencia Didáctica I: Sólidos de Revolución 245
C.1. Instrucciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245
C.2. ¿Qué es un sólido de revolución? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245
C.3. Actividad I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245
C.4. Actividad II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246
C.5. Actividad III . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247
C.6. Actividad IV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247
D. Secuencia Didáctica II: Volumen de sólidos de revolución 249
D.1. Instrucciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249
D.2. ¿Qué es el volumen? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249
D.3. Actividad V . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252
D.4. Actividad VI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253

3
Introducción
El Cálculo integral es una rama de las matemáticas donde se estudian aplicaciones que
implican la utilización de las funciones que son objeto de estudio en el cálculo diferencial. Una de
estas aplicaciones es el cálculo de la medida del volumen de los sólidos de revolución.
Este tema tan interesante, inicia con la concepción de que una función real en un intervalo
dado, gira alrededor de un eje, denominado eje de revolución. Para llegar a este resultado es
necesario una transformación del pensamiento, es decir tomar los elementos abstractos del medio
y concebir una imagen formada del sólido de revolución.
En esta práctica el estudiante presenta algunas diﬁcultades evidenciadas desde el aula de clase
y la evaluación. Un objetivo de la investigación es determinar cuáles son estas diﬁcultades. Para
dar paso a este objetivo, se incorpora a la investigación la teoría de las situaciones didácticas, que
presenta una interacción estudiante-medio, en donde el medio, en este caso es una herramienta
informática que permita al estudiante visualizar un sólido de revolución y un método que permita
el cálculo de la medida de su volumen.
En esta interacción, el docente-investigador propone al estudiante mediante secuencias
didácticas problemas al estudiante, el cual debe resolver por medio de la herramienta informática,
dando lugar al proceso de acción-retroacción que da lugar a un aprendizaje por adaptación. En
medio de esta interacción existen bucles, es decir repeticiones que el estudiante debe hacer, ya
sea porque el medio no le dio la respuesta que el estudiante buscaba, o porque la respuesta no

4
le satisface. En medio de esta interacción surgen las diﬁcultades, que solo pueden ser vistas por
medio de una observación, por parte del docente-investigador en el contexto estudiante-medio.
De esta forma, se ha hecho uso de la metodología de la Ingeniería Didáctica, que ofrece
cuatro fases para la ejecución de la investigación: (a) análisis preliminar, (b) análisis apriori,
(c) experimentación y (d) análisis aposteriori. En la primera fase se busca el contraste entre la
epistemología del objeto matemático, los métodos tradicionales de la enseñanza y la concepción
que tienen los estudiantes acerca del objeto. En la segunda fase, apartir de la información
recolectada en la primera fase, de las debilidades encontradas en el contraste hecho, y usando las
situaciones didácticas como herramienta para determinar las diﬁcultades presentes en el proceso de
aprendizaje por adaptación, se busca, desarrollar secuencias de clase, y un plan para ejecutar en la
experimentación. En la tercera fase, se ponen en marcha el conjunto de actividades y planeacciones
que se desarrollaron en la fase anterior. En esta fase, también de hace una observación del trabajo
que los estudiantes van desarrollando. En la cuarta y última fase, se hace una evaluación, un
contraste entre lo que se planeo y se predijo en la segunda fase, y los resultados obtenidos durante
la experimentación.
Finalmente, este trabajo es producto de la ejecución antes mencionada, y se compone de los
siguientes capítulos: (1) estado del arte, (2) marco teórico, (3) metodología, (4) análisis preliminar,
(5) concepción y análisis apriori, (6) análisis aposteriori, (7) diseño y desarrollo del software, (8)
cartilla del software solyrev, (9) resultados y (10) conclusiones. También, se encuentran la lista
de referencias y la bibliografía usada y los anexos, como las pruebas diagnostico, las secuencias
didácticas.

5
Planteamiento y formulación del problema
El problema del cálculo de la medida del volumen de los sólidos de revolución, se hace un
problema de investigación en educación matemática, porque en las aulas de clase, los estudiantes
están preocupados por mecanizar2 los métodos de resolución de esta aplicación, y no dan lugar
al proceso analítico de encontrar un método mediante la deducción de formulas, que permitan
encontrar la medida del volumen.
La enseñanza del concepto de volumen trae consigo muchas dificultades para los estudiantes,
sobre todo si requiere hacer en el tratamiento de los sólidos de revolución, dado que los estudiantes
vienen con un proceso mental métrico, donde se requiere hacer cálculos a través de fórmulas.
En un cuestionario hecho a estudiantes que cursan cálculo diferencial, curso previo al cálculo
integral, expresan: que para calcular el volumen de un sólido de revolución, es necesario conocer
las dimensiones del sólido, conocer la masa y la densidad (relación que no es propia de las
matemáticas), conocer la fuerza y la velocidad, midiendo todos los lados. Estas son ideas que
reflejan las dificultades en los estudiantes en la comprensión del concepto de la medida del volumen
de un sólido de revolución.
Recientemente se han estudiado los sólidos de revolución, estableciendo un tratamiento
distinto al que se viene dando desde la antigüedad, y es calcular la medida del volumen mediante
la suma de pequeñas capas cilíndricas a las cuales se les conoce la medida del volumen. Tal como
2este análisis se deduce desde el análisis preliminar en esta investigación. Ver en la página 69

6
lo concebía Demócrito de Abdera (460 a.c, 370 a.c), “Concebía los sólidos como una suma de
un número infinito de capas planas paralelas unas a otras, infinitamente delgadas, infinitamente
próximas”, (Caicedo, A., Aristizábal, J. y García, J., 2011: 79).
Este problema ya no se puede resolver como se planteo anteriormente, ahora hay que dar
paso al uso del calculo infinitesimal, además de la potencia de la visualización. “como la habilidad
para representar, transformar, generar, comunicar, documentar y reflejar información visual en el
pensamiento y lenguaje del que aprende”, (Cantoral, R y Montiel, G., 2005: 1). En otras palabras un
problema que implica la comprensión, que según Font, (2007), “se ha comprendido en la medida
en que se han desarrollado una variedad de representaciones internas apropiadas, junto con las
relaciones funcionales entre ellas, que permiten producir representaciones externas adecuadas para
la resolución de tareas propuestas en las que dicho objeto sea determinante”
Por otra parte, Álvarez Mejía, (2010), argumenta en su libro que existe una problemática en
la academia, tanto por la falta de estrategias didácticas como también por la poca interacción entre
el objeto y el sujeto:
En algunos casos, una de las principales problemáticas que se viven dentro de la academia
es la carencia de estrategias didácticas en la orientación de nuestras asignaturas y su respectiva
transposición didáctica para alcanzar ambientes gratos de aprendizajes, significativos y perdurables
alejados de las concepciones logocéntricas que por tanto tiempo marcaron la educación tradicional.
El comprender ocurre cuando el ser humano ha estado en contacto permanente con el objeto.
Podríamos decir que ha vivido, pensando, trabajado, existido, producido y hasta haber sido el
creador del objeto y teniendo en cuenta la relación intensa que tiene con el objeto, la persona
ha penetrado intelectualmente la realidad del mismo. El comprender puede asumir y asumirse en
la cosa, en el sujeto, en el objeto mismo. Comprender es entender la realidad de cada parte de

7
la misma cosa, y poder así responder a cada pregunta que surja de la inquietud intelectual que
tienen el sujeto por “existir” junto al elemento en cuestión, ¿qué es?, ¿cómo está compuesto?,
¿cómo se hace?, ¿cuáles son sus diferencias? Y así sucesivamente, cada pregunta elaborada, estará
aprendiendo más y más fuerte su relación con la cosa, estará comprendiendo y comprendiéndose,
se estará amalgamando intensamente con la cosa en una misma realidad.
Así se puede decir que el comprender es trabajar con un objeto (propio de una materia)
descomponerlo y entender cómo funciona cada parte, seguidamente en la recomposición de los
elementos formándose así un esquema que al someterse a situaciones de la realidad se entienden
nuevos conceptos que se irán integrando en el mismo esquema.(Álvares Mejía, D., 2010 )
Se quiere buscar un medio por medio del cual se de la comprensión y el estudiante pueda
manipular el objeto. Esto permite a los docentes incorporar nuevas estrategias didácticas en el aula
para lograr una comprensión, esto es la tecnología o ambientes informáticos. Antes es necesario
examinar algunos cuestionamientos que hace (Anido, M., López, R. y Rubio, H., 2006 : 339)
¿Cuál sería, en tal proceso el aporte del medio computacional, adecuadamente utilizando,
al aprendizaje y el pensamiento matemático? ¿Cómo hacer que se establezcan sistemáticamente
lazos entre la teoría general abstracta y su contrapartida intuitiva y visual, de tal manera que
las herramientas informáticas, sirvan para un conocimiento signiﬁcativo de la geometría? ¿Cómo
inducir a aprovechar la herramienta computacional sin perder el rol fundamentalmente formativo
del pensamiento de la geometría? ¿Que auxilios didácticos y tecnológicos utilizar y con que
ﬁnalidad? ¿Los distintos tipos de software que se usan para el trazado de curvas o la representación
tridimensional favorecen el proceso de conceptualización y sistematización del conocimiento
geométrico?
Por medio de este planteamiento se quiere realizar una pregunta que modela al problema de

8
investigación: ¿Cuáles son las diﬁcultades que tienen los estudiantes de Ingeniería Electrónica en
el espacio académico de cálculo integral en la comprensión del concepto de volumen de sólidos de
revolución usando un software educativo?.

9
Objetivo general
J Determinar las dificultades que tienen los estudiantes del espacio académico de cálculo
integral del programa de Ingeniería Electrónica de la Universidad del Quindío, en la
comprensión del problema del cálculo de la medida del volumen de sólidos de revolución,
en el marco de las situaciones didácticas utilizando software educativo.
Objetivos específicos.
J Realizar un estudio de las dificultades en la comprensión del problema del cálculo de la
medida del volumen de sólidos de revolución en estudiantes que cursan cálculo integral del
programa de Ingeniería Electrónica de la Universidad del Quindío.
J Determinar la relación que existe entre el registro de representación visual y el registro de
representación algebraico, en la generación del sólido de revolución y el cálculo de la medida
del volumen.
J Diseñar una secuencia didáctica a través de la teoría de las situaciones didácticas teniendo
como medio un software educativo.
J Diseñar desde los niveles de Van Hiele, una secuencia que permita determinar dentro de la
secuencia didáctica mediada por el software, los puntos de ruptura y dificultad en el problema
del cálculo de la medida del volumen del sólido de revoución.
J Diseñar y desarrollar un software educativo para la visualización y el cálculo de la medida
aproximado del volumen de los sólidos de revolución.

10
Justificación
Esta investigación ofrece principalmente conocer cuáles son las dificultades que los
estudiantes tienen cuando se enfrentan a la comprensión del problema del cálculo de la medida
del volumen de sólidos de revolución. El conocimiento de estas dificultades permitirá diseñar e
implementar estrategias didácticas que ocasionen una mejor comprensión del concepto matemático
asociado a esta, o hacer modificaciones a la propuesta didáctica aquí establecida para grupos de
estudiantes y contextos diferentes.
Según Saucedo (2009), el concepto de volumen tiene importancia en nuestra vida diaria
porque nos movemos en un mundo tridimensional y en más de una ocasión hemos necesitado
medir el volumen de determinados cuerpos. Sin embargo al revisar el tratamiento escolar que se da
a las magnitudes se encuentra que el volumen parece ser una de las más descuidadas en cuanto a
las actividades que se realizan, ya que no sólo se dejan de lado algunas de sus variadas relaciones
con otros temas, si no que muchas veces se confunde la propiedad que se mide (volumen) con su
medida. Y esto se debe en parte a la influencia que tiene el Sistema Métrico Decimal (SMD), en
el currículo escolar, ya que medir se le asocia al trabajo con SMD, dando por supuesto que ya se
sabe que es el volumen.
Hemos analizado que la mayoría de la bibliografía escolar hace tratamiento prioritario del
SMD dando por supuesto que se sabe lo que es la magnitud que a de ser medida, en este caso el
volumen. Si bien el SMD ofrece una gran ventaja no hay que perder la vista que un uso prematuro
de tal sistema lleve aparejado la incomprensión.
Tanto la construcción del concepto de área como de volumen son procesos complejos que
no se adquieren inmediatamente si no en forma gradual. Se debe construir el concepto de unidad
entre otras cosas, y hacer uso de la interacción de la misma para asignar un número al objeto que

11
se mide y la dificultad radica fundamentalmente que ese número generalmente no es natural y se
confunde la medida entera con la medida exacta.
Por su parte, Ramírez, et al (2010), argumentan que: En una revisión posterior, Presmag
(2006) subraya la escasez de estudios sobre la visualización. Apunta que los estudiantes apenas
usan el razonamiento visual y que se trabaja poco en clase, a pesar de su gran poder para
argumentar, comenta las dificultades que tiene los alumnos para utilizar las imágenes en su
razonamiento analítico y que hay pocos aportes empíricos que ayudan a los profesores a diseñar
actividades que colaboran a desarrollar la visualización a superar las dificultades visuales, o a hacer
un buen uso de las cualidades visualizadores.
La visualización aparece de modo natural tanto en el pensamiento matemático como en el
descubrimiento de nuevas relaciones entre los objetos matemáticos.
Partimos de que la visualización es una componente fundamental para el razonamiento,
especialmente para el geométrico, y percibimos en la literatura de investigación que es necesario
diseñar acciones docentes que la desarrollen,(Ramírez, R., Flores, P. y Castro, E., 2010 : 502).
Mediante el diseño de una secuencia didáctica a través de la teoría de las situaciones
didácticas, teniendo como medio los ambientes informáticos y guiada por el modelo de Van Hiele
se pretende categorizar a los estudiantes y determinar en que nivel de comprensión se encuentran
después de haber adquirido los conocimientos dados del objeto matemático durante la fase de la
experimentación, y así determinar ¿cuáles son las dificultades que ellos tienen para calcular la
medida del volumen de un sólido de revolución?.

13
Capítulo 1
Estado del Arte
En la búsqueda de investigaciones y textos científicos, además atendiendo al objetivo de la
investigación, que es determinar las dificultades que tienen los estudiantes en el espacio académico
de cálculo integral en la comprensión del problema del cálculo de la medida del volumen de sólidos
de revolución, en el marco de las situaciones didácticas utilizando los ambientes informáticos como
medio, se ha encontrado en cuanto a:
Dificultades
Se han identificado dificultades en investigaciones, que dependen del entorno cultural,
además se manifiesta que algunas posibles soluciones no ayudan al estudiante.
Los procesos de enseñanza aprendizaje que dependen parcialmente de los entornos
culturales y sociales en los que se desarrollan, hasta cierto punto, los resultados que
se obtienen dependen, de esta forma, del espacio y del tiempo; su campo de validez
es necesariamente limitado. Sin embargo, estos límites no son generalmente fáciles de
identificar (Reflexión a Artigue p117 2003).
Estas similitudes, presentadas en diferentes entornos culturales, podrían hacernos
pensar que la aplicación de recetas es la vía de solución. Sin embargo, sabemos que en
educación las recetas no son adaptables a cualquier contexto. Todo por el contrario,
consideramos que así como debemos planificar cuidadosamente nuestras prácticas

14
intentando dotar de significatividad a las construcciones matemáticas que se llevan
a acabo en el aula, también debemos hacerlo atendiendo al saber cultural de nuestros
alumnos para lograr un rediseño efectivo del discurso matemático escolar. (Có, P., Del
Sastre, M y Panella, E., 2011 p.12-13)
Otras dificultades dependen de la no planeación estratégica de las clases por parte de los profesores.
Según Guillen et al (2009), varios autores argumentan que, los docentes suelen
acomodar sus programaciones objetivos, contenidos, metodología e incluso evaluación
a partir del manual elegido. Nuestro estudio ha constatado que las propuestas que se
hacen en los textos analizados desarrollados a partir de los sólidos de revolución tienen
carencias para reflejar aspectos de la enseñanza/aprendizaje de la geometría que se han
destacado en varias investigaciones.
Cabe destacar algunas:
J Se presta poca atención a actividades que pueden conducir a que se expresen
ideas genéticas, basadas en cómo se hace una forma, que puedan concluir
después a diferentes definiciones de los sólidos considerados.
J Los ejemplos que se muestran no explotan todo lo posible en estos niveles.
J Apenas se refleja la multitud de relaciones que hay entre los objetos geométricos
que se consideran y no se muestra el estudio de la geometría de manera
dinámica, con un continuo paso de la geometría de 3 dimensiones a la de menos
dimensiones ( y a la inversa) y explotando las posibilidades que ofrece centrar la
atención en lo que ocurre al realizar la transformación correspondiente.
J Apenas se contemplan actividades para la exploración experimental, para la
elaboración de conjeturas, interpretación de éstas, para la verificación.

15
J Si bien algunas problemáticas se consideran en diferentes contextos y en tiempos
diferentes, no se subrayan las conexiones, ni se centra la atención en lo que
se conocía o aparece de nuevo, no se remarca cómo se están usando los
conocimientos que ya se tenían para descubrir otros resultados.
Los autores señalan algunos libros que han tomado como referencia para llevar a cabo la
investigación y resaltan las dificultades encontradas.
Cabe señalar que este estudio se ha realizado con los libros de texto mencionados1
y no pretende extender más allá los resultados obtenidos. Pero a partir de él nos
planteamos de nuevo una problemática más general, que hemos expresado ya en
otros trabajos, cómo se puede incidir para que resultados de la investigación y
propuestas que se vean reflejadas en libros de texto muy usados por los profesores
para preparar sus clases posiblemente en ese caso, se mejorara el panorama actual
de la enseñanza/aprendizaje de la geometría en los niveles escolares. (Guillén, G.,
Gonzáles, E. y García, M., 2009 p.1)
Comprensión
La comprensión vista desde la educación matemática abarca muchas dimensiones, aquí se
tomara la concepción de algunos autores desde el cálculo. Según (Esteban, P etal, 2006):
[...] las ideas, conceptos y métodos de las matemáticas presentan una gran
riqueza de contenidos visuales, representables intuitivamente, geométricamente, cuya
utilización resulta muy provechosa, tanto en las tareas de tales conceptos y métodos
como la manipulación con ellos para la resolución de los problemas del campo.
El cálculo es un lenguaje que permite la interpretación de diferentes formas de
representar conceptos matemáticos que están relacionados con la realidad, como el
1Los textos de la ESO se seleccionaron mediante muestreo estratificado de una lista proporcionada por la
Consellería de Educación y Cienci de la Comunitat Valenciana.

16
de razón de cambio, desde el cual se define la velocidad, la aceleración, la pendiente
de una recta tangente a una curva plana en uno de sus puntos, entre otras. Por tanto,
para los alumnos, el cálculo debe ayudarles, por un lado, a desarrollar la capacidad
de ver y de transformar lo observado en ecuaciones con un significado propio; y por
otro, a partir de formulas que se pueden representar gráficamente, a relacionarlas con
fenómenos de la naturaleza; de esta forma, la visualización potencia la comprensión
de conceptos matemáticos.
Visualización
Coincidimos con (Có, P., Del Sastre, M y Panella, E., 2011) en decir que: “sólo puede
accederse a un objeto matemático a través de alguna de sus posibles representaciones, “dado
que cada representación es parcial con respecto al concepto que representa, debemos considerar
como absolutamente necesaria la interacción entre diferentes tipos de representación del objeto
matemático para lograr su aprehensión conceptual” (p .185).”
Otra apreciación la hace (Cantoral, R., Montiel, G., 2004): “Entendemos por visualización
la habilidad para representar, transformar, generar, comunicar, documentar y reflejar información
visual en el pensamiento de quien aprende.”
Por su parte. Ramírez et al (2010) Explorando la variedad de objetos y conocimientos
que se ponen en juego ante tareas que requieren visualización y razonamiento espacial usando
las herramientas teóricas que Godino y Colaboradores vienen desarrollando desde hace varios
años, y que describen como “Enfoque Ontosemiótico” (EOS) del conocimiento y la instrucción
matemática (Godino, Batanero y Font, 2007).
El EOS puede aportar un punto de vista complementario para abordar cuestiones tales como:
J ¿Qué diversidad de conocimientos se ponen en juego en la realización de tareas de

17
visualización espacial?
J ¿Por qué ciertas tareas que requieren visualización y razonamiento espacial presentan una
dificultad elevada para determinados estudiantes?
Considerando que la visualización es una cualidad que puede desarrollarse, según se deduce de
las teorías de Gardner (2001) es interesante que los niños con talento la mejoren y utilicen en un
razonamiento matemático.
Partiendo de estas premisas, estamos interesados en estudiar cómo se desarrolla la
visualización en niños con talento, analizando qué componentes visualizadores utilizan durante
sesiones de enriquecimiento curricular, con la intención de diseñar buenas prácticas docentes para
que estos niños amplíen sus cualidades matemáticas.(Ramírez, R., Flores, P. y Castro, E., 2010
p.500)
También Gutierrez 1991, En un proyecto de investigación que hemos realizado durante este
curso (Guillén y Otros 1989), parte del trabajo ha consistido en diseñar y experimentar varias series
de actividades para el desarrollo de las habilidades de visualización espacial comentadas antes:
Conservación de la percepción, reconocimiento de posiciones en el espacio, reconocimiento de
relaciones espaciales y discriminación visual. Los estudiantes tuvieran que utilizar los dos procesos
IFI2 y VP3, éste último en su componente de transformación de imágenes visuales ya formadas
pues todo el trabajo se hizo utilizando diferentes sólidos y pasando de unos tipos de representación
de los mismos a otros.
Estas series de actividades intentaban integrar los tres contextos en los que usualmente se
estudia la geometría espacial en la actualidad: Cuerpos físicos, representaciones dinámicas en el
2Interpretación de información figurativa (IFI). Este es el proceso de comprensión e interpretación que contienen.
Por lo tanto, este proceso puede verse como el inverso del anterior.
3Procesamiento visual (VP). Este es el proceso de conversión de información abstracta o no figurativa en imágenes
visuales y también el proceso de transformación de unas imágenes visuales ya formadas en otras.

18
ordenador.
Los principales tipos de actividades son:
1. Identiﬁcar representaciones planas de sólidos: Dados un sólido (real o en el ordenador) y
varias representaciones planas de ese sólido y de otros parecidos, los estudiantes tenían que
determinar qué representaciones correspondían a dicho sólido y cuáles no.
2. Mover sólidos: Los estudiantes debían mover un sólido (real o en el ordenador) desde su
posición actual a una posición dada por otra copia (real, ordenador o en papel) de ese sólido.
3. Dibujar representaciones planas de sólidos: Los estudiantes debían dibujar sobre papel
representaciones de sólidos dados (reales o del ordenador).
4. Construir sólidos: Los niños debían construir con cubos encajables diversos módulos a partir
de alguna de las diferentes representaciones planas mencionadas antes, presentadas en papel
en el ordenador.(Gutierrez, A., 1991 p.49)
Ambientes Informáticos
En la actualidad, los cursos que se apoyan en la virtualidad requieren de equipos de trabajo
interdisciplinarios para diseñar las experiencias de aprendizaje que serán expuestas a los alumnos
pedagogos, ingenieros, diseñadores de software, matemáticos entre otros.
Los ambientes virtuales ayudan a promover la interacción entre los alumnos que construyen
un mismo conocimiento, permitiendo múltiples formas de comunicación, de visualización y
de aprendizaje, creando nuevas dimensiones cognitivas que amplían sus capacidades mentales.
(Esteban, P., Trefftz, H. y Restrepo, T., 2006 p.124)
Estas experiencias, matemáticas serán fructíferas siempre que se tenga en cuenta la
complejidad del contenido matemático a enseñar, la complejidad de los procesos cognitivos

19
involucrados en el aprendizaje de las matemáticas y el papel fundamental que deben jugar los
diseñadores del currículo y los profesores en el diseño e implantación de situaciones que, teniendo
en cuenta las dificultades y las necesidades de los estudiantes, aprovechen la tecnología para crear
espacios en los que el estudiante pueda construir un conocimiento matemático más amplio y más
potente. El principal aporte de la tecnología consiste en que la interacción entre ella, el profesor
y el estudiante está cambiando la visión que los actores tienen del contenido matemático y del
proceso didáctico. (Esteban, P., Trefftz, H. y Restrepo, T., 2006 p.124)
Se ha buscaron aproximar respuestas al campo de cuestiones que integran el problema de
investigación, al indagar en la potencialidad de la representación computarizada para comprender
la relación entre una superficie y su gráfica, algo muy difícil para formación matemática. La
potencia de una herramienta C.A.S4 en cuanto a la rapidez de respuesta del ordenador permitió
la obtención y estudio computarizado de múltiples familias de interés en una facultad de ingeniería
para el diseño constructivo e industrial.
J Razonamientos basados en la intuición geométrica que llevan al desarrollo de un
pensamiento anticipado.
J Abstracciones por analogía y generalizaciones (razonamientos plausibles e intuición).
J Ampliación de la estructura cognitiva del alumno por la construcción de generalizaciones
que conducían desde las cuádricas a las superficies.
J El estimulo del pensamiento visual, en el sentido de Alsina (1997), en cuanto a las
abstracciones que exige entender cómo se provocan, desde las expresiones analíticas,
deformaciones en objetos ya abstractos, como las superficies cuádricas y teóricas. (Anido,
M., López, R. y Rubio, H., 2006 p.353)
4Computer Algebraic System

20
Por otra parte Zaragoza (2006), propone es si investigación sobre sólidos de revolución, como
objetivo principal SolRev permite construir paso a paso el modelo didáctico de sólidos de
revolución. Para la conceptualización del modelo, la herramienta retoma disciplinas como la
geometría analítica, el álgebra y el cálculo. Al final del proceso de creación permite mostrar el
sólido de revolución producto de la rotación de un determinado número de funciones alrededor
de un eje principal o paralelo a ellos, así como una vista esquemática en tres dimensiones de los
métodos utilizados para generar los sólidos: el método de discos o arandelas y el método de capas
cilíndricas.
El nivel de detalle de los modelos se puede configurar para mejorar las vistas, siendo posible
rotar y posicionar el modelo, para apreciarlo desde distintos ángulos se puede también configurar
el estilo de la vista tridimensional como un modelo de alambre o tres dimensiones. Para todos los
elementos del modelo didáctico se puede elegir colores diferentes dándole impacto visual. El color
del fondo de la pantalla. También se puede escoger el color, con el propósito de que el sólido de
revolución se aprecie de la mejor manera.
Cabe mencionar que herramientas comerciales de tipo SAC (Sistemas Aritméticos
Computacionales), tales como MathCAD, MathLab, Mathematica, entre otros, también permiten
generar sólidos de revolución (MathSoft,2001) pero su fin no es claramente didáctico, debido a que
estas herramientas se enfocan en la obtención del resultado y no del proceso de la construcción de
los sólidos de revolución. Es por esto, que a juicio de los autores se consideró que era necesario
contar con una herramienta que no solo obtenga el sólido de revolución, si no que paso a paso
el alumno comprenda y rescate todos los conocimientos necesarios para construir el modelo.
(Zaragoza, G., López, S. y Díaz, R., 2006 p.54)
También Mena et al, argumenta que para impartir la clase de superficies que está en el
programa de geometría analítica en el área de C.I se creó un método e instrumento de trabajo

21
propio debido a la complejidad que este tema representa para los alumnos y el cual expuesto de
manera tradicional les resulta además aburrido.
La utilización de un software de tipo informativo mejoró la comprensión y la visualización
de sólidos de revolución. (Mena, R. y Ruiz, D., 2002 p.124)

23
Capítulo 2
Marco teórico
Según lo descrito en el planteamiento del problema y dada la justiﬁcación del trabajo, se debe
profundizar y sustentar algunas bases teóricas fundamentales. Por lo anterior el marco teórico se
presenta en ocho momentos, la ingeniería didáctica, las situaciones didácticas, los niveles de Van
Hiele, la comprensión, el volumen, la visualización, los ambientes informáticos y los sólidos de
revolución.
La ingeniería didáctica aporta el marco metodológico para desarrollar la investigación. Por
otra parte la teoría de las situaciones didácticas fundamentan a la investigación para alcanzar el
objetivo, en el diseño de secuencias didácticas utilizando los ambientes informáticos como medio.
Y en correlación con el método a seguir y el fundamento de las secuencias didácticas, aparece
la teoría de Van Hiele, que aporta la base para el diseño de un instrumento de clasiﬁcación en
la comprensión del cálculo de la medida del volumen. Éste último permite elaborar secuencias
didácticas en las cuales se puede determinar el nivel de comprensión.
En cuanto a la visualización, la comprensión y el objeto matemático, son complementos que
sirven de conectores para tejer las conexiones de las teorías antes descritas.

24
Ingeniería Didáctica
El término Ingeniería Didáctica designa un conjunto de secuencias de clase concebidas,
organizadas y articuladas en el tiempo de forma coherente por un profesor ingeniero para efectuar
el proyecto de aprendizaje de un contenido matemático dado para un grupo concreto de alumnos.
A lo largo de los intercambios entre el profesor y los alumnos, el proyecto evoluciona bajo
las reacciones de los alumnos en función de las decisiones y elecciones del profesor. Así, la
ingeniería Didáctica es, al mismo tiempo, un producto, resultante de un análisis a priori, y un
proceso, resultante de una adaptación de la puesta en funcionamiento de un producto acorde con
las condiciones dinámicas de una clase. (Có, P., Del Sastre, M y Panella, E., 2011 p.241)
Situaciones Didácticas
Brousseau desarrolla su teoría de las situaciones didácticas reformulando ciertos ideas
generadas por Piaget, considera que un individuo aprende en la medida en que construye o
resigniﬁca un concepto, incorporándolo a sus estructura cognitiva, por medio de un proceso de
asimilación y acomodación, a un medio que es factor de desequilibrios y diﬁcultades en su proceso
de construcción del conocimiento. Se considera entonces, que el conocimiento es una construcción
personal, en tanto que el saber proviene de una elaboración cultural, siendo motivo de interés la
génesis, en cuanto a su historia del saber.
El conocimiento proviene en buena parte del hecho que el alumno la adquiere en su
adaptación a situaciones didácticas que le son propuestas, en este sentido, aparece la idea de
“devolución”, acto seguido, por el cual el profesor hace que el alumno acepte la responsabilidad de
una situación de aprendizaje (a-didáctica) o de un problema y acepte él mismo las consecuencias
de tal transferencia.

25
La devolución es la esencia del acto de comunicación entre el profesor y el alumno frente a
un objeto de conocimiento, produciéndose la misma en ambos sentidos.
Se considera que el alumno se ha apropiado del conocimiento, cuando es capaz de
utilizarlo fuera del contexto de enseñanza, y en momentos donde no haya inducción intencional,
denominándose a estos “situaciones no didácticas”. están regidas por el contrato didáctico, es decir,
por las obligaciones implícitas que se establecen entre los autores del sistema didáctico, esto es la
triada docente-alumno-conocimiento.(Sánchez, J., De la Cruz, J. y Urrutia, C., sf p.3)
La situación a-didáctica es una parte de la situación más amplia, a la que Brousseau denomino
situación didáctica, que comprende las relaciones establecidas explicita o implícitamente entre los
alumnos, un cierto medio (incluyendo instrumentos y objetos) y el profesor, con el objetivo de que
los alumnos aprendan el conocimiento matemático.
En la situación o fase a-didáctica: La no intencionalidad contenida en este concepto se
refiere a que el alumno debe relacionarse con el problema respondiendo al mismo en base a sus
conocimientos, motivado por el problema y no por satisfacer un deseo del docente, y sin que el
docente intervenga directamente ayudándolo a encontrar una solución.
Las situaciones didácticos son objetos teóricos cuya finalidad es estudiar el conjunto de
condiciones y relaciones propios de un conocimiento bien determinado puede variarse a voluntad
del docente, y constituyen una variable didáctica usando según los valores que toman modifican las
estrategias de resolución y en consecuencia el conocimiento necesario para resolver la situación.
Situaciones a-didácticas de acción. Una buena situación de acción puede permitir al alumno
juzgar el resultado de su acción y ajustarlo sin la intervención del profesor gracias a la retroacción

26
por parte del medio de la situación que son percibidas por el alumno como sanciones o refuerzos
de su acción.
En una situación de acción se produce un diálogo entre el alumno y la situación. Tal dialéctica
de la acción le permite construir mejor su modelo implícito, pues tiene reacciones que no puede
todavía formular, probar, ni mucho menos organizar en una teoría. En todo caso, la situación a-
didáctica provoca un aprendizaje por adaptación, según la teoría de Piaget (Chevallard et al 1997)
Situación a-didácticas de formulación. Con el ﬁn de que el alumno pueda explicitar su modelo
implícito y que esta formulación tenga sentido para él, es necesario que pueda utilizarla a ﬁn de que
obtenga o haga obtener a alguien un resultado. En las situaciones a-didácticas de formulación, el
alumno intercambia información con una o varias personas, o bien comunica lo que ha encontrado
a un interlocutor o a un grupo de alumnos, que le devuelve la información (Chevallard et al 1997).
Situaciones a-didácticas de validación. En la dialéctica de la validación, el alumno debe
demostrar por qué el modelo que ha creado es válido. Sin embargo, para que construya una
demostración y tenga sentido para él tiene que construirla en una situación, llamada de validación,
donde es necesario convencer a otra persona. Una situación a-didáctica de validación da la ocasión
de someter el mensaje matemático modelo explícito de la situación, como una aseveración a un
interlocutor (oponente). El oponente puede solicitar explicaciones suplementarias, rechazar las
que no comprende o aquellas con las que no está de acuerdo, dando sus argumentos (Chevallard et
al 1997).
¿Qué situaciones a-didácticas se observan en el laboratorio?. Con respecto al modo de
aprobación de los contenidos por parte de los alumnos, es posible distinguir tres momentos
estrechamente vinculados entre si:

27
Primer momento: La curiosidad suscitada por el impacto de las primeras imágenes actúa en
principio como fuente de motivación. En este predominan las situaciones a-didácticas de acción,
donde los alumnos interactúan con la computadora.
Segundo momento: Tiene lugar a partir del diálogo, la discusión y el intercambio de
información entre pares de alumnos frente al computador, con intervenciones ocasionales de los
docentes y compañeros de otros grupos. Predominan las situaciones a-didácticas de formulación,
en las que ocurren los primeros intentos para interpretar, identificar y definir lo que se observa en
la pantalla, es decir las respuestas que devuelve la computadora.
Tercer momento: Puede distinguirse situaciones a-didácticas de validación a medida que
transcurren las clases de laboratorio, ya que los alumnos utilizan nociones analíticas previas
relativas a las superficies y sólidos de revolución y conceptos incluso del análisis matemático
que atañen al comportamiento de determinadas funciones para explicar al compañero o al docente
ciertas deformaciones.
Metodología de la Ingeniería Didáctica. Como metodología de investigación la ingeniería
didáctica se caracteriza:
1. Por un esquema experimental basado en las “realizaciones didácticas” en el aula, es decir
sobre la concepción, observación y análisis de secuencias de enseñanza.
2. Por el registro de los estudiantes de caso y por la validación que es esencialmente interna,
basada en la confrontación entre el análisis a priori y a posteriori.
En el primer caso se distinguen, por lo general, dos niveles de ingeniería didáctica, dependiendo
de la importancia de la realización didáctica involucrada en la investigación.

28
J Nivel de micro-ingeniería: Las investigaciones a este nivel son los que tienen por objeto
el estudio de un determinado tema. Ellas son locales y toman en cuenta principalmente la
complejidad de los fenómenos del aula.
J Nivel de macro-ingeniería: Son las que permiten componer la complejidad de las
investigaciones de micro-ingeniería con las de fenómenos asociados a la duración de las
relaciones entre enseñanza y aprendizaje.
Para llevar a termino una ingeniería didáctica se siguen las siguientes fases:
Análisis preliminares . Según (Rios, Y., 2007 p.134), los análisis se realizan bajo la dimensión
didáctica, cognitiva y epistemológica:
1. La didáctica: Toca todo aquello que tiene que ver con la enseñanza del contenido.
2. La cognitiva: Toma en cuenta el componente cognitivo de la población que va ser sometida a
la ingeniería didáctica especificando las concepciones que tienen los estudiantes, las cuales
son de dos tipos: Las concepciones espontáneas o a priori desarrolladas antes de que el sujeto
haya sido sometido al aprendizaje oficial y las concepciones desarrolladas en el contexto del
proceso de aprendizaje.
3. La epistemológica: Toma en cuenta la evolución histórica de los conceptos matemáticos
(pues estos se conciben susceptibles de evolución y que los mismos han surgido debido a
ciertos problemas), la historicidad de las nociones meta-matemáticas y proto-matemáticas,
diferenciadas entre el saber científico y el saber enseñado y los obstáculos epistemológicos
(estos definen como las dificultades que se presentan al enseñarse mal algún concepto):
cuáles pueden evitarse, cuáles no deben evitarse y cómo superarlas.
Todo lo anterior se realiza teniendo en cuenta los objetivos de la investigación, y como comenta
Artigue a pesar de que esta serie de análisis no se evidencia en las publicaciones, los trabajos que el
investigador a realizado son pilares de una ingeniería que retornan y profundizan en el transcurso

29
de las diferentes fases de la misma, en función de las necesidades sentidas. Por lo tanto, los estudios
preliminares tan sólo mantienen su calidad de “preliminares” en un primer nivel de elaboración.
Según Artigue, en los trabajos publicados, con frecuencia no intervienen de manera explicita
todas las diferentes componentes de análisis mencionadas anteriormente y que un excelente
ejercicio de didáctica consiste en identificar, en un trabajo específico, las dimensiones privilegiadas
y tratar de buscarles su significación didáctica a posteriori.
Análisis a priori. En esta segunda fase el investigador toma la decisión de actuar sobre un
determinado número de variables del sistema que no estén fijados por las restricciones. Estas son
las variables de comando que él percibe como pertinentes con relación al problema estudiado.
Artigue distingue dos tipos de variables de comando:
J Variables macro-didácticas o globales: Concernientes a la organización global de la
ingeniería.
J Variables micro-didácticas locales: Concernientes a la organización local de la ingeniería, o
sea la organización de una secuencia o fase.
Ambas variables pueden ser generales o bien dependientes del contenido didáctico en el que se
enfoca la enseñanza. Es importante resaltar que las selecciones globales, aunque se presenten
separadas de las selecciones locales, no son independientes de ellas.
La validación en la ingeniería didáctica es esencialmente interna. Desde la fase de concepción
se inicia el proceso de validación, por medio del análisis a priori de las situaciones didácticas de la
ingeniería. Este análisis a priori se debe concebir como un análisis de control de significados. Esto
quiere decir que: Si la teoría constructivista sienta el principio de la participación del estudiante en
la construcción de sus conocimientos a través de la interacción de un medio determinado, la teoría

30
de las situaciones didácticas que sirve de referencia a la metodología de la ingeniería ha pretendido,
desde su origen, constituirse en una teoría de control de las relaciones entre el signiﬁcado y las
situaciones (Artigue 1998, p:44)
Por lo tanto, el objetivo del análisis a priori es determinar en qué las selecciones hechas
permitan controlar poscomportamientos de los estudiantes y su signiﬁcado.
Por lo anterior, este análisis se basa en un conjunto de hipótesis. La validación de las mismas
está indirectamente en juego en la confrontación que se lleva a cabo en la fase cuatro, entre el
análisis a priori y el análisis a posteriori.
Artigue argumenta que tradicionalmente este análisis a priori comprende una parte descriptiva
y una predictiva, y se debe:
J Describir las selecciones del nivel local (relacionándolas con las selecciones globales) y las
características de la situación didáctica que en ellas se desprenden.
J Analizar qué podría ser lo que está en juego en esta situación para un estudiante en función
de las posibilidades de acción de selección, de decisión, que él dispone, una vez puesta en
práctica en un funcionamiento casi aislado del profesor.
J Proveer los campos de comportamiento posibles demostrar cómo el análisis realizado
permite controlar, en particular, que los comportamientos esperados, sean resultado de la
puesta en práctica del conocimiento contemplado por el aprendizaje.
En el análisis a priori el estudiante es tomado en cuenta en ambos niveles, descriptivo y predictivo,
mientras que el profesor no interviene, unicamente esta describiendo lo que puede suceder en
la fase de la experimentación. Así, el estudiante es el actor principal del sistema en el análisis
a priori, el profesor cumple un papel importante durante las situaciones de devolución y de
institucionalización . Artigue menciona que, de alguna forma la noción de contrato didáctico

31
permite recuperar en parte el papel del profesor, pero que no se puede negar que hasta el momento
el profesor ocupa siempre un papel marginal en la teorización didáctica.
Experimentación. En la fase de la realización de la ingeniería con cierta población de estudiantes.
Esa etapa se inicia en el momento en que se da el contacto investigador/profesor/observador con la
población de los estudiantes objeto de la investigación.
La experimentación supone:
J La explicitación de los objetivos y condiciones de realización de la investigación a los
estudiantes que participaron de la experimentación;
J El establecimiento del contracto didáctico;
J La aplicación de los instrumentos de investigación;
J El registro de observaciones realizadas durante la experimentación.
Es recomendable, cuando la experimentación tarda más de una sesión, hacer un análisis a posteriori
local, confrontando con el análisis a priori, con el ﬁn de hacer las correcciones necesarias.
Durante la experimentación se busca respetar las selecciones y deliberaciones hechas en los
análisis a priori.
Análisis a posteriori y evaluación.. Esta es la última fase de la ingeniería didáctica. Esta fase
se basa en el conjunto de datos recolectados a lo largo de la experimentación, es decir, las
observaciones realizadas de las secuencias de enseñanza, al igual que las producciones de los
estudiantes en el aula o fuera de ella.
Estos datos se contemplan con otros obtenidos mediante la utilización de metodologías
externas, cuestionarios, entrevistas individuales en pequeños grupos, realizados durante cada

32
sección de la enseñanza.
La validación o refutación de las hipótesis formadas en la investigación se fundamentan en la
confrontación de los análisis, a priori y a posteriori.
Según Artigue, “En la mayoría de las textos publicados concernientes a ingenierías, la
confrontación de los análisis, a priori y a posteriori, permite la aparición de distorsiones. Estas están
lejos de ser siempre analizadas en términos de validación”; esto es, no se busca en las hipótesis
formuladas aquello que las distorsiones constantes invalidan. Con frecuencia, los autores se limitan
a proponer modificaciones de ingeniería que pretenden reducirlas sin comprometerse en realidad
con un proceso de validación.
Las hipótesis mismas que se formulan explicitamente en los trabajos de ingeniería son a
menudo hipótesis relativamente globales que ponen en juego procesos de aprendizaje a largo plazo.
Por esto, la amplitud de la ingeniería no permite necesariamente involucrarse en verdad en un
proceso de validación. (De Faria, E., 2006 p.5)
Modelos de aprendizaje
Previamente al describir algunos modelos de aprendizaje es conveniente conocer el concepto
de contrato didáctico. Brousseau lo define como el conjunto de comportamientos del maestro que
son esperados por el alumno, y de comportamientos del alumno que son esperados por el maestro.
Estos comportamientos regulan el funcionamiento de la clase, definiendo así los roles de cada uno
y distribuyendo las tareas. Este contrato posee componentes explícitos e implícitos.
Las relaciones de enseñanza se puede observar a través de las interrelaciones entre el maestro,
el alumno y el saber, sin dejar de analizar el contexto. No se puede dejar de conocer cual es el lugar

33
que ocupa el saber dentro de la institución educativa para el profesor y para los alumnos.
Es importante destacar que ningún docente utiliza sólo un modelo, en realidad utiliza
elementos de cada uno de ellos (expuestos a continuación), pero consciente o no privilegia a alguno
en particular.
Modelo centrado en el contenido. Este modelo se conoce también con el nombre de normativo.
En este caso la pedagogía es el arte de comunicar un saber. Podemos pensar como submodelos a los
dogmáticos. El maestro introduce los conceptos y provee los ejemplos, mientras tanto el alumno
escucha, aprende, ejercita y ﬁnalmente aplica. El saber ya está construido.
Contexto
Saber
Maestro ······ Alumno
En este modelo el problema es tomado como criterio de aprendizaje, es por esto que se
estudian diferentes tipos de problemas. Cuando al alumno se le da un problema él determina si
ya ha trabajado con otro problema del mismo tipo.
En este modelo subyace la idea de que es necesario partir de lo más fácil a lo más difícil y
que todo aprendizaje debe ir de lo concreto a los abstracto.
Modelo centrado en el alumno. Este modelo es llamado iniciativo, la estructura propia del
saber pasa a un plano secundario, el saber esta relacionado a las necesidades de la vida del alumno.
Dentro de este modelo se encuentran los “métodos activos”.
En un principio se pregunta al alumno sobre sus propios intereses y/o necesidades, mientras
el maestro lo escucha le despierta curiosidad, lo ayuda a usar fuentes de información, lo remite

34
a herramientas de aprendizaje, responde a sus requerimientos y busca mejorar la motivación.
Finalmente el alumno recolecta información, la organiza, estudia y aprende.
Contexto
Alumno
Maestro ······ Saber
En este modelo se utiliza al problema como motor del aprendizaje. Se deja al alumno el
papel de ávido demandante de conocimientos. En realidad las situaciones naturales son demasiado
complejas para que él pueda construir por si mismo las herramientas necesarias, además estas
herramientas suelen depender demasiado de lo ocasional del problema.
Modelo centrado en la construcción del saber por el alumno. Este modelo, conocido también
como aproximativo, parte de concepciones que el alumno ya posee y las pone a prueba para
mejorarlas o bien para construir otros nuevos. En este caso el maestro propone y organiza una
seria de situaciones con diversos obstáculos, como así también las fases de investigación. También
es el responsable de la comunicación de la clase. El alumno en tanto ensaya, propone y compara
sus soluciones, con las de sus compañeros. Al saber se lo toma con su lógica propia.
Contexto
Saber
Maestro ······ Alumno
Para este modelo el problema es un recurso de aprendizaje. La resolución de problemas
interviene desde el comienzo del aprendizaje. El docente elige una seria de problemas y el alumno
construye su saber resolviéndolos en interacción con sus compañeros.

35
Teoría de los Niveles de Van Hiele
Según (Fouz, 2006)1, “El aprendizaje de la geometría se hace pasando por unos determinados
niveles de pensamiento y conocimiento”, que no van asociados a la edad, y que sólo alcanzando
un nivel se puede pasar al siguiente”.
Por su parte, (Vargas & Gamboa, 2013)2, dicen:
El modelo de Van Hiele ayuda a explicar cómo, en el proceso de aprendizaje de la
geometría, el razonamiento geométrico de los estudiantes transcurre por una serie de
niveles. Para dominar el nivel en que se encuentra y así poder pasar al nivel inmediato
superior, el estudiante debe cumplir ciertos procesos de razonamiento, secuenciales y
ordenados.
Los niveles de Van Hiele son cinco, algunos autores, los numeran del 0 al 4, estos niveles son los
siguientes:
1. Nivel 0: Reconocimiento
2. Nivel 1: Análisis
3. Nivel 2: Clasiﬁcación
4. Nivel 3: Deducción formal
5. Nivel 4: Rigor
Según (Fouz, 2006), los niveles de Van Hiele se describen de la siguiente forma:
1Fouz, F. (2006). Test Geométrico aplicando el modelo de Van Hiele, Revista Sigma, vol 28, pag 33
2Vargas, G & Gamboa, R. (2013). El Modelo de Van Hiele y la Enseñanza de la Geometría. Revista UNICIENCIA,
vol 27, pag 81

36
Nivel 0: Reconocimiento. Tres son las características fundamentales de este nivel:
1. Los objetos se perciben en su totalidad como una unidad, sin diferenciar sus atributos y
componentes.
2. Se describen por su apariencia física mediante descripciones meramente visuales y
asemejándolas a elementos familiares del entorno (parece una rueda, es como una ventana,
etc) No hay lenguaje geométrico básico para llamar a las figuras por su nombre correcto.
3. No reconocen de forma explícita componentes y propiedades de los objetos motivo de trabajo
Nivel 1: Análisis.
1. Se perciben los componentes y propiedades (condiciones necesarias) de los objetos y figuras.
Esto lo obtienen tanto desde la observación como de la experimentación.
2. De una manera informal pueden describir las figuras por sus propiedades pero no de
relacionar unas propiedades con otras o unas figuras con otras. Como muchas definiciones
en Geometría se elaboran a partir de propiedades no pueden elaborar definiciones.
3. Experimentando con figuras u objetos pueden establecer nuevas propiedades.
4. Sin embargo no realizan clasificaciones de objetos y figuras a partir de sus propiedades
Nivel 2: Clasificación.
1. Se describen las figuras de manera formal, es decir, se señalan las condiciones necesarias y
suficientes que deben cumplir. Esto es importante pues conlleva entender el significado de
las definiciones, su papel dentro de la Geometría y los requisitos que siempre requieren.
2. Realizan clasificaciones lógicas de manera formal ya que el nivel de razonamiento
matemático ya está iniciado. Esto significa que reconocen cómo unas propiedades derivan
de otras, estableciendo relaciones entre propiedades y las consecuencias de esas relaciones.

37
3. Siguen las demostraciones pero, en la mayoría de los casos, no las entienden en cuanto a su
estructura. Esto se debe a que su nivel de razonamiento lógico son capaces de seguir pasos
individuales de un razonamiento pero no de asimilarlo en su globalidad. Esta carencia les
impide captar la naturaleza axiomática de la Geometría.
Nivel 3: Deducción formal.
1. En este nivel ya se realizan deducciones y demostraciones lógicas y formales, viendo su
necesidad para justificar las propuestas planteadas.
2. Se comprenden y manejan las relaciones entre propiedades y se formalizan en sistemas
axiomáticos, por lo que ya se entiende la naturaleza axiomática de las Matemáticas.
3. Se comprende cómo se puede llegar a los mismos resultados partiendo de proposiciones
o premisas distintas lo que permite entender que se pueden realizar distintas formas de
demostraciones para obtener un mismo resultado.
Nivel 4: Rigor.
1. Se conoce la existencia de diferentes sistemas axiomáticos y se pueden analizar y comparar
permitiendo comparar diferentes geometrías.
2. Se puede trabajar la Geometría de manera abstracta sin necesidad de ejemplos concretos,
alcanzándose el más alto nivel de rigor matemático.
Visualización
La visualización se caracteriza por complejos procesos de interacción entre las
representaciones pictóricas externas (gráficas, figuras, etc) y la formación de imágenes mentales en
el individuo. Ahora bien, la capacidad de visualizar cualquier concepto matemático requiere de la
habilidad de interpretar y entender la información figurativa sobre el concepto mismo, manipularla
mentalmente y expresarla mediante un soporte material. (Có, P., Del Sastre, M y Panella, E., 2011

38
p.5)
Es la habilidad para representar, transformar, generar, comunicar, documentar y reflejar
información visual en el pensamiento y el lenguaje del que aprende.
De modo que al realizar la actividad de visualización se requiere de la utilización de nociones
matemáticas asociadas a los ámbitos numéricos, gráficos, algebraicos o verbales, pero exige
también del uso del lenguaje común para explicar ciertos fenómenos e incluso para describir
experiencias vivenciales, se requiere del ámbito de lo gestual.
La visualización no es una visión inmediata de las relaciones, si no una interpretación de los
que se presenta a nuestra contemplación que solamente podemos realizar eficazmente si hemos
aprendido a leer adecuadamente al tipo de comunicación que la sustenta. (Cantoral, R., Montiel,
G., 2005 p.2)
La visualización, “entendida como la capacidad para llevar a cabo operaciones mentales
específicas con sensaciones o imágenes” (Font, 2001: 32), no es un nuevo descubrimiento; a través
de la historia, siempre se ha recurrido a ella para explicar a otros, o así mismos, los conceptos
propios de la matemática o de la geometría. En la actualidad, con los avances en computación, es
posible diseñar experiencias de aprendizaje significativas que permitan comprender los conceptos
matemáticos con ayuda de la visualización. (Esteban, P., Trefftz, H. y Restrepo, T., 2006 p.122)
La visualización ha sido un tema estudiado intencionalmente por la didáctica, desde el arribo
de las máquinas con capacidades de graficación a los sistemas educativos. Se abre así la una
oportunidad para el aprendizaje ya que los alumnos pueden comparar las distintas soluciones a un
mismo problema (encontrar un código que corresponda a una figura dada) y llegan al entendimiento
que los problemas de matemáticas no tiene solución única y que la decisión sobre la elección de la

39
mejor solución deberá hacerse sobre criterios que puedan discutirse en el salón de clases. (Moreno,
L. 2002 p.91)
Se trata de evaluar los procesos y capacidades de los sujetos para realizar ciertas tareas que
requieren “ver” o “imaginar” mentalmente los objetos geométricos espaciales, así como relacionar
los objetos y realizar determinados operaciones o transformaciones geométricas con los mismos.
(Fernández, T., Carajaville, J. y Godino, J., 2007 p.190 )
Ahora bien, las posibilidades gráficas y visuales tienen una apreciable influencia en las formas
de aprender de los educandos, al cumplir diferentes funciones. (Anido, M., López, R. y Rubio, H.,
2006 p.337)
J Función motivadora: Mediante el impacto y la riqueza de las imágenes (color, volumen, etc).
J Función problematizadora: Al permitir la creación de nuevas figuras y relaciones espaciales,
abriendo paso a numerosas experimentaciones o interrogantes.
J Función facilitadora de un aprendizaje significativo: Como vía de familiarización con los
diversos objetos matemáticos, a través de la identificación comparación, interpretación,
aproximación y comprensión por analogía de su representación.
Dimensiones de la Visualización. Una relación bastante detallada de los habitantes que pueden
integrar la percepción espacial de un individuo es la que proporciona Del Grande (1990), obtenida
uniendo las propuestas de diversos autores y que se refiere a un contexto más amplio que el de la
geometría.
1. Coordinación motriz de los ojos. Es la habilidad para seguir con los ojos el movimiento de
los objetos de forma ágil y eficaz.
2. Identificación Visual. Es la habilidad para reconocer una figura aislándola de su contexto se
utiliza, por ejemplo, cuando la figura esta formada por varias partes, como en los mosaicos,

40
o cuando hay varias figuras superpuestas.
3. Conservación de la percepción. Es la habilidad par reconocer que un objeto mantiene su
forma aunque deje de verse total o parcialmente, por ejemplo porque haya girado o se haya
ocultado.
4. Reconocimiento de las relaciones espaciales. Es la habilidad que permite identificar
correctamente las características de relaciones entre diversos objetos situados en el espacio.
Por ejemplo, que estan girados, son perpendiculares simétricas, etc.
5. Discriminación visual. Es la habilidad que permite comprar varios objetos identificando sus
semejanzas y diferencias visuales.
6. Memoria visual. Es la habilidad para recordar las características visuales y de posición en un
momento dado con un cojunto de objetos que estaban a la vista pero que ya no se ven o que
han sido cambiadas de posición.(Gutierrez, A., 1991 p.47)
También, (Ramírez, R., Flores, P. y Castro, E., 2010 ), cita estas dimensiones en sus
investigaciones:
1. Coordinación ojo-motor: Coordinar la visión con el movimiento del cuerpo.
2. Percepción figura-contexto: Reconocer una figura aislandola de s contexto, en el que aparece
camuflado o distorcionada por la superposición de otros elementos gráficos.
3. Conservación de la percepción: Reconocer que un objeto mantiene determinados
propiedades (forma, tamaño, textura...) aunque cambie posición y deje de verse por
completo.
4. Percepción de la posición en el espacio: Relacionar un objeto en el espacio y respecto a uno
mismo identificar figuras congruentes bajo translaciones, giros y volteos.

41
5. Percepción de las relaciones espaciales: Identificar correctamente las relaciones entre varios
objetos, situados simúltaneamente en el espacio (equidistancia, simetría, perpendicularidad,
posición relativa, etc).
6. Discriminación visual: Identificar las semejanzas y diferencias entre varios objetos
independientemente de su posición.
7. Memoria visual: Recordar con exactitud objetos o propiedades y relacionarlos con otros.
Memoria fotográfica.
La visualización aparece de modo natural tanto en el pensamiento matemático como en el
descubrimiento de nuevas relaciones entre los objetos matemáticos.
El elemento básico central en todas las concepciones de percepción visual son las imágenes
mentales es decir, las representaciones mentales que las personas podemos hacer de objetos físicos,
relaciones, conceptos, etc. En el contexto de las matemáticas, Presmeg (1986) ha encontrado
diversos tipos de imágenes mentales.
J Imágenes concretas pictóricas: Se trata de imágenes figurativas de objetos físicos.
J Imágenes de fórmulas: Consisten en la visualización mental de fórmulas o relaciones
esquemáticas de la misma manera como se las vería, por ejemplo en el libro de texto.
J Imágenes de Patrones: Son imágenes de esquemas visuales correspondientes a relaciones
abstractas. A diferencia del tipo anterior, no se visualizará la relación propiamente dicha
(una fórmula generalmente), si no alguna representación gráfica de su significado.
J Imágenes cinéticas: Se trata de imágenes en parte físicas y en parte mentales, ya que en ellas
tiene un papel importante el movimiento de manos, cabeza, etc.
J Imágenes dinámicas: Son imágenes mentales en las que los objetos o algunos de sus
elementos se desplazan.

42
De acuerdo con la distinción que hace Bishop (1989), las imágenes visuales/físicas o mentales)
son los objetos que se manipulan en la actividad de visualización manipulación que para Bishop,
se realizan según dos tipos de procesos:
J Proceso de Información figurativa.
Este es el proceso de comprensión e interpretación de representaciones visuales para extraer
la información que contienen, por lo tanto, este proceso puede verse como el inverso del
anterior.
J Procesamiento visual (VP)
Este es el proceso de conversión de información abstrata o no figurativa en imágenes visuales
y también el proceso de transformación de unas imágenes visuales ya formadas en otras.
(Gutierrez, A., 1991 p.45)
Ambientes informáticos
Una herramienta cognitiva es todo aquel instrumento del que pueden servirse las personas
para amplificar su capacidad de comprender y operar en el mundo. Tal cualidad no es intrinseca
a un instrumento. En el caso de la computadora, no es por si sola un medio cognitivo; para que
llegue a serlo tiene que ser ulizada dentro de un cierto dominio conceptual, de manera que ayude
al usuario a comprenderlo mejor y actuar con mayor eficacia en él.
Los modelos constructivistas del aprendizaje se preocupan de crear ambientes donde el
alumno participe activamente en la comprensión del mundo externo y refleje sus interpretaciones,
aquí, la función de las herramientas cognitivas es guiar al alumno en la organización y
representación del conocimiento cuando el estudiante trabaja con tecnología computacional, en
lugar de ser controlado por ella, debe ser estimulado a aprovechar las posibilidades del computador
para potenciar su pensamiento. (Anido, M., López, R. y Rubio, H., 2006 p.337)

43
Utilizando en esta forma el computador es una herramienta del aprendizaje. Esto nos lleva a
una concepción de la herramienta computacional como “herramienta cognitiva” en un proceso de
aprendizaje que compromete activamente al que aprenda y refleja su comprensión y concepción de
la información más que la reproducción del conocimiento del profesor.
Una herramienta cognitiva es todo aquel instrumento del que pueden servirse las personas
para ampliar su capacidad de comprender y operar en el mundo. La cualidad de herramienta
cognitiva no es intrínseca a un instrumento. En el caso de la computadora tenemos que ésta no
es por sí sola un medio cognitivo, para llegar a serlo tiene que ser utilizada dentro de un cierto
dominio conceptual de manera que apoye al usuario a comprender mejor dicho dominio y actuar
con mayor eficacia en el mismo si consideramos a la geometría como un dominio conceptual,
entonces utilizar la computadora como herramienta cognitiva en la enseñanza y aprendizaje de
esta disciplica significa que la máquina se utiliza en formas que ayudan a comprender y operar en
este dominio conceptual. (Anido, M., López, R. y Rubio, H., 2008 p.62)
Volumen
Es importante que el docente tenga acceso a distintas bibliografias y seleccione una definición
sobre el tema a tratar, esto lo ayudará no solo a hacer un uso coherente del concepto si no también
a buscar situaciones didácticas que permitan a sus alumnos formar el objeto mental volumen.
El concepto de volumen que toma Sánchez Mármol (1947), quién expresa que siendo los
cuerpos porciones del espacio limitados por superficies cerradas, intuitivamente concebimos que
dos cuerpos, teniendo formas geométricas distintas, puedem encerrar en su contorno porciones
iguales en el espacio, tener igual extensión. A estos cuerpos de les denomina equivalentes.
Define el volumen como: La medida de un cuerpo con relación a la unidad elegida se

44
denomina volumen del cuerpo. La unidad elegida es el volumen del cubo que tiene por arista
la unidad de longitud. Es evidente que: Dos cuerpos iguales o equipotentes o equivalentes, tienen
igual volumen.
Durante el proceso de construcción de las unidades es necesario la comprobación con el
instrumento de medida. Una primera aproximación es dar los objetos y pedir que realicen la
estimación, una segunda es dar la medida y solicitar objetos que su medida se aproximen a la
dada y por último estimar medidas utilizando unidades que ya han sido interiorizadas.
Según Saucedo (2009) Interpretar el volumen como magnitud tridimensional corresponde a
tratarlo como un modelo multiplicativo, lo que puede acarrear ciertas dificultades al haber trabajado
anteriormente modelos aditivos (perímetro) según este autor deben trabajarse coordinadamente los
aspectos unidimensionales y tridimensionales, para lo cual son útiles las actividades de rellenado.
Comprensión
Los conceptos son de especial importancia en el aprendizaje de la Matemática porque,
constituyen la naturaleza con que opera el pensamiento matemático. Su formación contribuye a
la consecución del importante objetivo de esta rama del conocimiento: representar la relación de la
matemática y la realidad objetiva.
La comprensión conceptual de significados matemáticos posibilita y favorece:
J La comprensión de relaciones matemáticas.
J La aplicación de conceptos,procedimientos y leyes matemáticas de forma creativa.
J El adiestramiento lógico matemático.
J La formación de convicciones idelógicas, éticas, morales, científicas, investigativas,
contribuyendo al desarrollo de una personalidad acorde al profesional del Ciencias Exactas.

45
J Enfrentar el aprendizaje a través del problema y con enfoque problémico.
J Aprender a estudiar matemática desde la complejidad, la interdisciplinariedad y la
transdiciplinariedad.
J La elaboración de juicios y razonamientos como formas esenciales del pensamiento
abstracto.
J La representación de objetos matemáticos convertidos en signos y otorgarles significado.
(Montenegro, E., et al, 2012 p.186)
Entender la comprensión como proceso complejo, que evoluciona gradualmente; un proceso que,
partiendo de la intuición, puede dar lugar a un conocimiento estructurado.
Una representación estructural o conceptualmente ordenada, de las relaciones entre las partes
de la información que se debe aprender, y entre dicha información e ideas y nuestra base de
conocimientos y experiencia.
Se define la comprensión en términos del modo en que la información se representa y
estructura. La comprensión se puede evaluar contrastando el modelo conceptual estándar frente al
modo en que un subjeto concreto estructura y organiza los elementos constituyentes de la noción
matemática en cuestión. Comprender algo significa animarlo dentro de un esquema adecuado
(Skemp, 1980 pag: 50).
El grado de comprensión viene determinado por el número y la fuerza de las conexiones
(de una red de representaciones). Una idea matemática, hecho o procedimiento se entiende
completamente si está conectado con redes previas (Castro, E. y Rico, L., 1994 )
Básicamente hay dos maneras de entender la “comprensión”: como proceso mental o como
competencia.

46
La comprensión como proceso mental: Cuando se considera la comprensión básicamente
como “proceso mental”, se ha comprendido en la medida en que se han desarrollado una variedad
de representaciones internas apropiadas, junto con las relaciones funcionales entre ellas, que
permiten producir representaciones externas adecuadas para la resolución de las tareas propuestas
en las que dicho objeto sea determinante. Este punto de vista considera que la comprensión está
relacionada con la construcción estructurada e integrada de representaciones internas, las cuales
son la causa que produce en el alumno un dominio de los sistemas de representación externas que
le permite resolver las tareas escolares propuestas.
La comprensión como competencia: Este punto de vista considera que la “comprensión”
o el “saber” un objeto matemático consiste en ser capaz de reconocer sus propiedades y
representaciones caracteristicas, relacionando con los restantes objetos matemáticos y usar este
objeto en toda la variedad de situaciones problemáticas prototípos que son propuestas en el aula.
Se basa en la suposición de que los sistemas matemáticos de signos que se manipulan en el aula
adquieren significado para los alumnos al ser usandos en el aula. (Font, V., 2007 p.430)
Volúmenes de Sólidos Mediante los Métodos de Discos
La definición del área de una región plana condujo a la definción de la integral definida. En
este proceso se empleó la fórmula de la geometría plana para el área de un rectángulo. Ahora se
utilizará un proceso semejante con el propósito de obtener volúmenes de algunos tipos particulares
de sólidos. Uno de estos es el cilindro recto.
Si el área de la base de un cilindro recto es A unidades cuadradas y su altura es h unidades y
si V unidades cúbicas es su volumen, entonces
V = Ah

47
Se utilizará esta fórmula a fin de obtener un método que proporcione la medida del volumen
de un solido para el cual el área de cualquier sección plana (región plana formada por la
intersección de un plano y el sólido) perpendicular a un eje es una función de la distancia
perpendicular de la sección plana desde un punto fijo del eje. Sea A(x) unidades cuadradas el
área de la sección plana de S perpendicular al eje x en x. Se requiere que A sea continua es [a,b].
Sea ∆ una partición del intervalo cerrado [a,b] dada por
a = x0 < x1 < x2 < ... < xn = b
Entonces existen n subintervalos de la forma [xi−1,xi], donde i = 1,2,...,n, donde la longitud
del i-ésimo subintervalo ∆ix = xi − xi−1. Elija cualquier número wi, con xi−1 ≤ wi ≤ xi, en cada
subintervalo, y construya los cilindros rectos de alturas ∆ix unidades y áreas de secciones planas de
A(wi) unidades cuadradas. Si ∆iv unidades cúbicas es el volumen del i-ésimo elemento, entonces
∆iV =
n
∑
i=1
A(wi)∆ix
la cual es una suma de Riemann. Esta suma es una aproximación de lo que intuitivamente
pensamos como el número de unidades cúbicas del volumen del sólido. Cuanto más pequéña
se tome la norma ∆ de la partición, tanto más será mayor el valor de n, de modo que dicha
aproximación estará más cerca del número V que deseamos asignar a la medida del volumen.
Definición del volumen de un sólido. Sea S una sólido tal que S está entre dos planos
perpendiculares al eje x en a y b. Si la medida del área de la sección plana S, perpendicular al
eje xen x, está dada por A(x), donde A es continua en [a,b], entonces la medida del volumen de S
está dado por
V = l´ım
∆ →0
n
∑
i=1
A(wi)∆ix
=
ˆ b
a
A(x)dx

48
ahora se mostrara como aplicar la deﬁnción anterior a ﬁn de calcular el volumen de un sólido
de revolución, el cual es un sólido que se obtiene al girar una región de un plano alrededor de una
recta del plano, llamada eje de revolución, el cual puede intersectar o no la región. Por ejemplo,
si la región limitada por una semicircunferencia y su diamétro se gira alrededor del diametro, se
genera una esfera. Si la región limitada por un triángulo rectángulo se gira alrededor de uno de sus
catetos, se obtiene un cono circular recto.
Considere primero el caso en el que el eje de revolución es un límite de la región que se girará.
Sea f la función continua en el intervalo cerrado [a,b], y suponga que f (x) ≥ 0 para toda x en [a,b].
Sea R la región límitada por la curva y = f (x), el eje x se obtiene un elemento de volumen el cual
es un disco cuya base es un círculo de radio f (w1) unidades y cuya altura mide ∆ix unidades. Si
∆iV unidades cúbicas es el volumen de este disco, entonces
∆iV = π [f (wi)]2
∆ix
como existen n rectángulos, se obtienen n discos de esta manera, y la suma de las medidas de los
volúmenes de estos n discos es
n
∑
i=1
∆iV =
n
∑
i=1
π [f (wi)]2
∆ix
Esta es una suma de Riemann, donde A(wi) = π [f (wi)]2
∆ix. Por tanto, si V unidades cúbicas
es el volumen del sólido de revolución, se deduce que V es el límite de esta suma de Riemann
cuando ∆ se aproxima a cero. Este límite existe porque f2 es continua en [a,b], ya que se supuso
que f es continua en ese intervalo. Entonces se tiene el siguiente teorema.
Sea f una función continua en el intervalo cerrado [a,b], y suponga que f (x) ≥ 0 para toda x
en [a,b]. Si S es el sólido de revolución obtenido al girar alrededor del eje x la región limitada por
la curva y = f (x), el eje x y las rectas x = a y x = b, y si V unidades cúbicas es el volumen de S,

49
entonces
V = l´ım
∆ →0
n
∑
i=1
π [f (wi)]2
∆ix
= π
ˆ b
a
[f (x)]2
dx

51
Capítulo 3
Metodología
Esta investigación se desarrollo con un grupo de estudiantes correspondientes a treinta
estudiantes de ingeniería electrónica de la Universidad del Quindío de tercer semestre que
oscilaban entre los 18 y los 25 años de edad. Esta investigación se ha desarrollado usando el marco
teórico de la ingeniería didáctica que posee en si mismo una metodología de investigación. Esta
consiste en las siguientes fases:
1. Análisis preliminar:
En este análisis se desarrollan las actividades:
a) Búsqueda epistemológica del problema del cálculo de la medida del volumen de los
sólidos de revolución.
b) Análisis y concepción de los estudiantes en cuanto al objeto matemático.
c) Análisis de libros de texto
2. Análisis a priori
Este análisis se hizo mediante la teoría de las situaciones didácticas que plantea al estudiante
un problema y con el uso de un medio provocar una situación.
Se integro dentro de este análisis los niveles de Van Hiele que permiten categorizar el nivel
de comprensión que los estudiantes adquieren mediante el proceso de la experimentación en

52
la ingeniería didáctica.
Este análisis busca predecir como se comportan los estudiantes en el momento de la
experimentación y cuáles podrían ser sus respectivas reacciones frente a cada actividad
propuesta.
De esta forma, la teoría de las situaciones didácticas ofrece un medio de interacción por
medio del cual el estudiante resuelve cada problema propuesto por el investigador.
3. La Experimentación
En esta fase se llevo a los estudiantes a una sala de computadores para hacer uso del software
que sirvió como medio de aprendizaje. Allí se desarrollaron las secuencias I y II anexas
a este trabajo. Que consiste en la visualización de los sólidos de revolución, y el cálculo
aproximado de la medida del volumen mediante el particionado del volumen en discos. Se
busca aquí determinar si existe una relación entre la interpretación gráfica y el cálculo de la
medida del volumen del sólido de revolución.
De igual manera se realizó una recopilación de videos grabados por los estudiantes, en donde
explican como resolver las actividades de las secuencias. Esta actividad permite identificar,
cuál es el punto de vista del estudiante acerca del tema que esta trabajando. La grabación de
un video de la pantalla del computador e integrando la cámara del mismo permite tal efecto,
allí el estudiante explica como funciona el software, y como se resuelven los problemas
planteados por el investigador en las secuencias didácticas.
Para terminar la fase de la experimentación se llevo a cabo una prueba final, en donde se
resume a modo general algunos conocimientos adquiridos por los estudiantes.
4. Análisis a posteriori

53
En este análisis se realizó una comparación de los resultados predichos en el análisis apriori
y la experimentación.

55
Capítulo 4
Análisis Preliminar
El análisis preliminar busca integrar algunas dimensiones tales como la dimensión
epistemológica, la dimensión cognitiva y la dimensión didáctica.
En esta investigación se realizó una recopilación histórica de las matemáticas en donde se ve
el trabajo hecho con el problema del cálculo de la medida del volumen.
Se ha realizado también una prueba diagnóstico a un grupo de estudiantes para determinar
cómo procedían al problema de calcular la medida del volumen de un sólido en particular de un
sólido de revolución.
Finalmente, se realizó un análisis de los libros de texto, de la forma como los autores
presentan este problema.
El problema del cálculo de la medida del volumen de los sólidos de revolución en la historia
Se han encontrado una serie de acontecimientos históricos que muestran la forma como se
fue originando lo que hoy se conoce como el cálculo de la medida del volumen de los sólidos de
revolución.
De modo general se ha encontrado que se estudiaron algunos sólidos como los sólidos
regulares, y otros como la esfera, el cilindro el cono, troncos de pirámides a los cuales se les

56
calculó la medida del volumen usando relaciones y comparaciones con sólidos a los cuales ya se
les conocía la medida del volumen.
Otras atribuciones muestran una introducción al cálculo integral, viendo a los sólidos de
revolución como una composición de capas muy delgadas aunque no se llego a una fórmula como
tal a un método exacto.
Geometría Egipcia. Muchos de los problemas contenidos en los papiros de Moscú y de Rhind
conciernen a la geometría; hay 26 problemas geométricos, los que hacen referencia a fórmulas de
medición y que son necesarias para evaluar áreas de figuras planas, así como ciertos volúmenes.
El área del triángulo isósceles se obtiene multiplicando la mitad de la base por la altura. Sabían
calcular el volumen de cilindros y prismas.(Ortiz, A., 2005 p.39)
A la época de 1850 A.C pertenece el papiro de Moscú, un texto matemático que contiene 25
problemas que ya eran antiguos cuando fueron escritos; estamos en la época de Abraham. En 1893
este papiro fue adquirido en Egipto por el coleccionista ruso Golenischev y ahora se encuentra
en el Museo de Bellas Artes de Moscú. Entre tales problemas, el problema 10 contiene el primer
ejemplo sobre la determinación del área de una superficie curva (se calcula el área de la superficie
lateral de un semicilindro de altura igual al diámetro de la base). En el problema 14 se calcula
correctamente el volumen de la pirámide truncada de base cuadrada.(Ortiz, A., 2005 p.39)
Los escribas egipcios sólo estaban interesados en el cálculo de los volúmenes que se
presentaban en la vida real: pirámide, tronco de pirámide, cilindro, etc. En el papiro de Moscú,
problema 14 se lee lo siguiente:
“Si se os dice: una pirámide truncada de h=6 y de base 4 y 2; debéis tomar el
cuadrado de 4 que es 16, después doblar 4 para obtener 8, tomar el cuadrado de 2
que es 4, sumar 16, 8 y 4 para obtener 28; calcular un tercio de 6 que es 2, multiplicar

57
28 por 2 que da 56; veis, es 56”
Se evidencia que el escriba conocía la fórmula V =
1
3
h a2 +ab+b2 para hallar el volumen de
un tronco de pirámide de base cuadrada, donde a es el lado de la base inferior y b el lado de la
base superior, h la altura. No se tiene evidencia cómo fue descubierta dicha fórmula.(Caicedo, A.,
Aristizábal, J. y Garcia, J., 2011 p.72)
¿Cómo obtuvieron los egipcios tal fórmula? ... Por otro lado, si b = 0 se obtiene el volumen
de la pirámide completa. En relación al problema 14 y a la fórmula mencionada ahí, se tiene la
sentencia: Si se os dice: una pirámide truncada de h = 6 y de base 4 y 2; debéis tomar el cuadrado
de 4 que es 16, después doblar 4 para obtener 8, tomar el cuadrado de 2 que es 4, sumar 16, 8 y 4
para obtener 28; calcular
1
3
de 6 que es 2, multiplicar 28 por 2, que da 56.
Lo dicho describe nítidamente a la fórmula
V =
1
3
h a2
+ab+b2

58
Esta fórmula es genuina en la matemática egipcia; no dieron su demostración y es curioso
pensar que en ella está la idea del cálculo integral; tal resultado es un caso de extraordinaria
inducción; por algo la citada fórmula está relacionada a la gran pirámide egipcia.(Ortiz, A., 2005
p.40)
Geometría Babilónica . La geometría en Babilonia está aún en la etapa de un conjunto de reglas
para efectuar medidas prácticas; así, entre los años 2000 a 1600 A.C. ya les era familiar algunas
reglas generales para calcular: el área de un rectángulo, de un triángulo rectángulo, de un triángulo
isósceles; el área de un trapezoide teniendo un lado perpendicular a los lados paralelos; el volumen
de un paralelepípedo rectangular, el volumen de un prisma recto con base trapezoidal.
Los babilonios sabían que el volumen de un cilindro circular recto era el producto del área de
la base por su altura; incorrectamente determinaban el volumen de un cono truncado multiplicando
la altura por la semi-suma de las áreas de las bases.
La geometría babilónica se caracteriza por su carácter algebraico; los problemas geométricos
son llevados al lenguaje algebraico, muchas veces de un modo no-trivial. Así, por ejemplo, en una
tablilla de Yale (1600 A.C.) se discute los volúmenes de troncos de pirámides a los cuales se les
asocia el sistema
z x2
+y2
= A; z = ay+b, x = c
de donde surge una ecuación cúbica general, ecuación no trivial de resolver. (Caicedo, A.,
Aristizábal, J. y Garcia, J., 2011 p.258)
Demócrito de Abdera (ca. 460a.C. 370 a.C). Desarrolló una teoría atomista de orientación
materialista, cuya inﬂuencia ha perdurado hasta nuestra época. Sus conocimientos matemáticos
los adquirió en Atenas, Egipto, Mesopotamia y Etiopía.

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