Este documento describe varios sólidos geométricos tridimensionales. Explica que los sólidos geométricos tienen tres dimensiones (largo, ancho y profundo), a diferencia de las figuras planas que solo tienen dos dimensiones. Luego clasifica y describe los principales tipos de sólidos como poliedros, cuerpos redondos, pirámides y prismas, explicando sus características y cómo calcular sus medidas. Finalmente, menciona algunos teoremas relacionados a los poliedros.

2. Los Sólidos Geométricos
• Mientras que las figuras
geométricas planas tienen
dos dimensiones, largo y
ancho, los sólidos
geométricos tienen tres,
largo, ancho y profundo.
• En la vida cotidiana,
nosotros podemos
observar muchos de estos
sólidos, desde un dado
hasta un obelisco y hasta
el planeta en que vivimos.

3. Plan de Investigación
• En esta investigación
haré todo por la Web y
de esta manera
ampliaré mis
conocimientos sobre el
INTERNET
• Además explicaré
cada sólido
geométrico y lo
enviaré en una
presentación de
POWER POINT

4. Organización de los Sólidos
Geométricos
• Los cuerpos geométricos
se dividen en tres grandes
grupos:
• Los poliedros, que están
limitados por polígonos y
los cuerpos redondos
como la esfera, el cilindro
y el cono
• El resto son irregulares
como las pirámides, los
poliedros semirregulares,
los prismas y deltaedros.

5. Los Poliedros
• Es la unión de
polígonos en una
porción de espacio.
• Dentro de los
poliedros podemos
destacar a los:
• Ortoedros, tetraedros,
octaedros, icosaedros,
dodecaedros, cubos o
hexaedros, etc.

6. Partes del poliedro
A
• En un poliedro podemos destacar
los siguientes elementos:
• Caras: Cada polígono que limita al C D
poliedro (BCGF; DEIH; EBFI)
B E
• Aristas: Cada segmento generado
por la intersección de las caras
(BF; BE; HI)
• Vértices: punto de intersección de
dos aristas (F es vértice de B e I)
G H
• Angulo Diedro: ángulo formado
por dos caras con una arista común
(ABE y BEFI)
• Angulo Poliedro: ángulo formado
por varias caras con un vértice F I
común (BCA; BAE; DEA y DAC
con vértice A)

7. Poliedros Regulares
• Un poliedro es regular
cuando:
• Tiene ángulos diedros y
poliedros de igual medida
• Tiene caras en forma de
polígonos regulares
iguales
• Entre los poliedros
regulares encontramos a
los tetraedros, octaedros,
cubos, dodecaedros e
icosaedros.

8. Los Tetraedros
• Poseen cuatro caras en forma
de triángulo equilátero.
• Posee 6 aristas, 4 caras, 4
vértices, y 3 aristas
concurrentes.
• El área lateral se calcula
multiplicando el perímetro
de la base por la apotema*, y
luego dividiendo el producto Apotema
entre dos ((pb.a)/2) y el área
total se calcula sumando el Apotema*.- Perpendicular
área lateral (al) más el área trazada del centro de un
de la base (ab), (al+ab). polígono regular a uno de sus
lados.

9. Los Hexaedros o Cubos
• Posee seis caras en forma de
cuadrados.
• Es el único poliedro que tiene todas
sus caras cuadradas, ya que, cada
cara mide 90°, y si son cuatro
medirían 360°, por tanto es el único
poliedro con caras cuadradas.
• Posee 6 caras, 12 aristas, 8 vértices
y 3 aristas concurrentes.
• Su área lateral se calcula
multiplicando la arista por 4
elevada al cuadrado (6.a)2, y su
área total se calcula multiplicando
su arista por 6 al cuadrado, (4.a)2, y
su volumen se calcula elevando la
Los dados por ejemplo arista al cubo, (a3).
tienen forma de cubo

10. Los Octaedros
• Son sólidos que poseen 8
caras en forma de
triángulos equiláteros.
• Posee 6 vértices, 12 aristas
y 4 aristas concurrentes.
• Se calcula su área
multiplicando su base por
4 y luego por la altura
(4.b.h)
• Entre los objetos con esta
forma encontramos a los
diamantes

11. Los Dodecaedros
• Es un poliedro que posee
12 caras en forma de
pentágono regular.
• Además es el único
poliedro con todas sus
caras en forma de
pentágono regular
• Posee 20 vértices, 30
aristas, y 3 aristas
concurrentes.
• Su área se calcula de la
siguiente manera, 6.p.ap.

12. Los Icosaedros
• Tienen 20 caras en
forma de triángulos
equiláteros.
• Tiene 12 vértices, 30
aristas y 4 aristas
concurrentes.
• Su área se calcula
multiplicando 10 por
base por altura,
(10.b.h)

13. Los Caleidociclos o Calidociclos
• Los Caleidociclos son un
anillo de tetraedros unidos
por sus aristas con la
sorprendente propiedad de
que puede ser girado
continuamente, sin
romperse ni deformarse,
en torno a su centro.
• Incluso pueden construirse
caleidociclos de manera
que, al ser girados, los
tetraedros confluyan en un
punto.

14. Los Paralelepípedos u Ortoedros
• Son figuras con seis caras
paralelas e iguales de dos a dos.
• El ortoedro es un caso
particular de paralelepípedo,
con sus seis caras en forma de
rectángulo. El hexaedro
también es un ortoedro.
• El área lateral del ortoedro es el
perímetro por la altura, (p.h) y
el área total calculando el
perímetro por la altura + 2 .
Un cajón por ejemplo, ya sea el Lado 1 (a).lado2 (b),
instrumento criollo o el de una (p.h+2.a.b), y el volumen se
cómoda tiene forma de ortoedro calcula multiplicando el área
de la base por la altura, (Ab.h)

15. Los Prismas
• Están limitados por dos caras
iguales llamadas bases, y diversas
caras laterales, que son
paralelogramos.
• Recibe el nombre de la figura de
sus bases, por ejemplo, si sus
base tienen triángulos, entonces
es un prisma triangular.
• Si las aristas laterales son
perpendiculares a las bases,
entonces son prismas rectos, en
cambio si no lo son, son oblicuos.
• Además los prismas son
utilizados para la descomposición
de la luz

16. Los Prismas rectos
• Como dije antes un prisma recto
posee aristas laterales
perpendiculares a la base
• El número de aristas se calcula
depende de la forma, y los lados de
la forma se multiplican por tres, (si
es un ortoedro o prisma
rectangular, son 4 lados, así que 4.3
que es igual a 12 aristas), mientras
que el número de vértices se
calcula multiplicando el número de
lados de la base por 2, (#l.2)
• El área lateral se calcula
multiplicando el perímetro por la
altura, mientras que el área total
multiplicando el perímetro por la
altura más dos por el área de la
base.

17. Los Prismas oblicuos y los
antiprismas
• Los prismas oblicuos y
los antiprismas son
prismas, sólo que están
girados de manera que
la vértice de una base se
una a dos vértices de la
otra.
• Estos tienen una forma
extraña y pueden
inclinarse casi hasta
180º

18. Las Pirámides
• Limitada por una cara llamada base
y diversas caras laterales.
• La base tiene forma cuadrada,
mientras que las caras laterales son
triángulos equiláteros.
• Todas las caras laterales concurren
en un punto común llamado
Las Pirámides de Egipto, las vértice.
pirámides más grandes del mundo
• La recta perpendicular a la base
Si App* es apotema de la pirámide y Apb* que pasa por la vértice se le
es la apotema de la base de la pirámide denomina altura, mientras que la
altura de las caras laterales es la
Se calcula el área lateral de una pirámide apotema.
de la siguiente manera: P.App*/2
• La pirámide recibe el nombre de la
Se calcula el área total de una pirámide: P/ figura de su base.
2(App*+Apb*) • Se dice que es regular si su base es
Se calcula el volumen de la pirámide: un polígono regular y la altura va
1/3Ab.h desde el vértice al centro de la base

19. Tronco de Pirámide de bases
paralelas
• Es el sector de la pirámide siendo
eliminada la vértice y teniendo una base
menor en la parte superior
• Cuando tienen bases paralelas tiene
forma de un trapecio, ya que sus caras
laterales son trapecios isósceles
• El área lateral se calcula sumando el
perímetro de la base mayor más el
perímetro de la base menor por la
apotema del tronco de la pirámide, y el
área total se calcula dividiendo el
perímetro de la base mayor y
multiplicándolo por la apotema del
tronco de la pirámide más la apotema de
la base del tronco de la pirámide, luego
haciendo lo mismo con el perímetro de
la base menor y sumando los dos Algunas barras de chocolate tienen
resultados
forma de tronco de pirámides, al igual
• Y su volumen es h/3(B+b+ la raíz que los lingotes de oro
cuadrada de B.b)

20. Los Deltaedros y los poliedros
semirregulares
• Los deltaedros son
poliedros limitados por
triángulos equiláteros.
Aunque sus caras son
polígonos regulares, es
irregular porque sus
Algunas pelotas son ángulos diedros y/o
poliedros son de distinta
poliedros semirregulares,
medida
como la antigua pelota de
• Los poliedros
fútbol que tiene doce caras
semirregulares son
pentagonales, veinte caras aquellos que tienen caras
triangulares y treinta caras de distintas figuras.
cuadradas

21. Otros Poliedros Irregulares I
• En primer lugar están los poliedros
Arquimedianos, que como lo dice
su nombre fueron descubiertos por
Arquímedes.
• Estos poliedros se caracterizan
porque tienen todas sus caras
regulares y las vértices de igual
medida.
• Estos poliedros reciben el nombre
de las caras que tienen o de los
poliedros regulares que los
componen, por ejemplo si son siete
caras, heptaedro, si son catorce
caras, cuboctaedro (cubo: 6 caras,
octaedro: 8, 8+6:14), los poliedros
semirregulares, como el cubo
truncado y el rombicuboctahedro
son también arquimedianos al igual
que los deltaedros.

22. Otros Poliedros Irregulares II
1 2
• También están los poliedros
compuestos, ya sea por poliedros
regulares o irregulares. En la
imagen de la derecha se distingue
un compuesto de 5 octaedros y un
compuesto de 3 cubos. 4
• También existen los poliedros 3
Kleper-Poinsot, que en realidad son
regulares, y junto con los otros
cinco Cuerpos Platónicos* son los
únicos poliedros regulares. Existen
cuatro tipos de estos sólidos: el
1. Compuesto de Tres Cubos
Gran Dodecaedro Estrellado, el
2. Compuesto de cinco octaedros
Pequeño Icosaedro Estrellado, el
Gran Icosaedro Estrellado y el 3. Gran Dodecaedro
Pequeño Dodecaedro Estrellado. 4. Gran Icosaedro
Cuerpos Platónicos*.- Los cinco poliedros
regulares más conocidos y descubiertos por
Platón: Tetraedro, Octaedro, Cubo,
Dodecaedro e Icosaedro

23. Otros Poliedros Irregulares III
• También existen los poliedros
uniformes, que son poliedros
que tienen algunas de sus caras
hemisfericales o hundidas,
como los Tetrahemihexahedros,
los Octahemioctahedros y los
Cubohemioctahedros
• Además existen otros poliedros
irregulares tales como el
obelisco y el decaedro que por
su irregularidad supina no están
Vista parcial del obelisco
Tello, famoso obelisco en ningún grupo
Chavín descubierto por Julio
C. Tello

24. Los Teoremas
• Al descubrir una propiedad
en la geometría del
espacio, un matemático
muy conocido, Euler
planteó un teorema.
• El teorema de Euler dice lo
siguiente: “En todos los
poliedros convexos se
verifica siempre que el
número de caras más el
número de vértices es igual
al número de aristas más
dos”:
C+V=A+2

25. Los Cuerpos Redondos
• Existen 3 cuerpos
redondos básicamente:
el cilindro, que es
como un prisma
circular, el cono y la
esfera.
• A continuación
analizaremos cada uno
de ellos

26. La Esfera: Definición y partes I
• Es el cuerpo que se obtiene al hacer
girar un círculo alrededor de su
diámetro
• En una esfera podemos resaltar las
siguientes partes:
• Casquete Esférico.- Es la superficie
esférica obtenida al cortar a la
esfera de una manera perpendicular
al diámetro.
• Zona Esférica.- Es el sector de la
superficie esférica entre dos
paralelos perpendiculares al
diámetro.
• Huso Esférico.- Es la parte de la
superficie esférica entre dos planos
interceptados por el diámetro

27. La Esfera: Definición y partes II
• Segmento esférico de una base.-
Porción de volumen esférico limitado
por un plano perpendicular al plano y
el casquete esférico.
• Rebanada esférica.- Sector del
volumen esférico limitado por dos
planos y la zona esférica
correspondiente.
• Cuña esférica.- Es la parte del
volumen esférico dentro de dos
planos , está limitada por dichos
planos y el huso esférico
correspondiente
• Sector Esférico.- Porción de volumen
esférico formado por un segmento
esférico y un cono cuya generatriz es
el radio de la esfera y cuyo radio de
la base coincide con el del segmento.

28. La Esfera: Área y Volumen
• Para calcular el área de una esfera
se utiliza la siguiente fórmula: 4pr2
• Para calcular el área de las distintas
partes de la esfera se utilizan las
siguientes fórmulas:
• Casquete Esférico: 2p.r.h
• Huso esférico: (p.r2.x°) /90°
• Zona Esférica: 2p.r.h
• Para calcular el volumen de la
esfera y sus distintas partes se
utilizan las siguientes fórmulas:
• Esfera: 4pr2
Vs* es el volumen del sector, Vc* es • Segmento Esférico: Vs*-Vc*
el volumen del cono, Vs1* es el
• Rebanada Esférica: Vs1*-Vs2
volumen del segmento esférico 1 y
Vs2* es el volumen del segmento • Cuña Esférica: p.r3.x°/270°
esférico 2. • Sector Esférico: 2πr2.h/3

29. La Esfera: Coordenadas
Geográficas
• En la Tierra se utilizan las
coordenadas geográficos para
ubicar lugares.
• Para eso se divide la Tierra en
pequeños cuadrados al cruzarse
dos planos: los meridianos,
verticales, y los paralelos,
horizontales.
• Para eso se utilizan dos factores
en grados:
• Latitud.- Distancia entre
cualquier punto de la Tierra y el
paralelo de 0°, de norte a sur
• Longitud.- Distancia entre
cualquier punto de la Tierra y el
meridiano base, de oeste a este

30. El Cono
• El cono es el sólido engendrado
por un triángulo rectángulo al girar
en torno a uno de sus catetos.
• Un elemento notable en el cono es
la generatriz que es la línea que al
moverse genera la superficie de un
cuerpo.
• Para calcular el área el volumen, y
la generatriz del cono se utilizan
las siguientes fórmulas
• Área lateral: π.r.g (g: generatriz)
• Área total: π.r.g+π.r2
• Volumen: b.h/3
El cono de helado tiene • Generatriz: Raíz cuadrada de
forma cónica Ca2+Cb2 (C: catetos)

31. El Tronco de cono
• El tronco de cono es el
sólido que se forma al
eliminar el vértice
sustiyendola por una base
menor de forma circular.
• Para calcular el área del
tronco de cono utilizamos
las siguientes fórmulas:
• Área lateral: π(r+r’).g (r’:
radio de la base menor) La boca de un megáfono
• Área total: tiene forma de tronco de
π[(r+r’).g+r2+r’2] cono

32. El Cilindro
• El cilindro es el sólido
engendrado por un rectángulo
al girar en torno a uno de sus
lados.
• Al igual que el cono posee una
generatriz
• El área y le volumen se
calculan con las siguientes
fórmulas:
• Área lateral: 2.π.r.h
• Área Total: 2.π.r.h+2π.r2
• Volumen: π.r2.h
• Los tubos por ejemplo tienen
una forma cilíndrica, al igual
que un resorte

33. Otros Cuerpos Redondos
• Existen otros cuerpos redondos
tales como la semiesfera, que
tiene la forma de un
semicírculo tridimensional.
• Algunas vasijas tienen forma de
semiesfera, generalmente el
sopero y la dulcera.
• La ovo esfera es otro cuerpo
redondo irregular, también
llamada esfera ovalada, esta es
como un óvalo tridimensional.
• Los huevos, por ejemplo tienen
forma de ovo esfera.

34. Los demás Sólidos
• Existen muchísimos
más sólidos pero no
los podemos explicar
ya que son muchos.
• En otra oportunidad
explicaremos cada uno
de ellos y nos
profundizaremos en
los que ya hemos
explicado

35. Dos Acertijos por resolver
• El cubo soma fue inventado por
Piet Hein en 1936. Este cubo
consta de 7 piezas, 6 de ellas
poseen 4 cubos y una 3, es decir
en total 27 cubitos, el acertijo por
resolver es formar un cubo
grande con todas esas piezas.
Consta de 540 posibilidades
• El cubo mágico o de Rubik es un
desafío para cualquiera que lo
quiera resolver. Consta de
muchísimos cubito de distintos
colores y lo que se tiene que
hacer es colocar todos los cubitos
del mismo color en una cara.

36. Los Sólidos Geométricos en el Arte
• En la pintura y los inventos:
• Leonardo Da Vinci, hacía todas sus
pinturas e inventos a base de sólidos
geométricos
• Salvador Dalí, mezclaba su técnica
de surrealismo con la geometría del
espacio, obteniendo resultados
satisfactorios, especialmente en sus
grabados.
• En la arquitectura:
• La mayoría de los edificios están
construidos a base de prismas,
especialmente a base de ortoedros, ya
que son los más resistentes.
• Antoní Gaudí, utilizaba superficies
curvas para sus construcciones,
generalmente irregulares, aunque
también utilizaba esferas y cilindros. Stonehengen, Inglaterra; un ejemplo
• Otras construcciones estables fueron perfecto de la antigua arquitectura
las pirámides que sirvieron como utilizando sólidos geométricos
edificaciones importantes a muchas
culturas, como la egipcia.

37. Maqueta de “Baby’s Gym”
• Mi maqueta representa un taller e
psicomotricidad y estimulación
temprana para niños de 0 a 6 años.
• El material que se ha utilizado para
realizar todos los ejercicios para el
desarrollo psicomotor del niño han sido
sólidos geométricos de distintos colores
de tamaño
• La maqueta está dividida en tres
sectores básicamente: el área de 0 a 2 Materiales usados:
años con estímulos visuales y
Un cubículo hecho a base de “triplay” con ruedas
sensoriales, el área de 3 a 4 años con pequeñas
módulos para realizar ejercicios y
destrezas físicas y el área de 5 a 6 años Microporoso, cartulina plastificada, espejo,
que estimula la coordinación cuerda plástica, cañitas de color, cartón
oculomanual y podal, el balance corrugado, tecnopor, tela, madera (palitos de
corporal, equilibrio, destrezas de mayor helado), cañitas plásticas, tachuelas, pegamento,
pintura para madera, alambre, témpera,
precisión y creatividad “stickers” o pegatinas, zapatos y bebé de jugete,
cinta adhesiva y bolsa plástica

38. Conclusiones
• En este trabajo aprendí
a trabajar sólo por la
Web y el INTERNET
• Además aprendí
mucho de los sólido
geométricos
• Espero que haya más
trabajos como este
trabajo matemático

39. Bibliografía
• “Gran enciclopedia Visual
mi primaria” Editorial:
Lexus
• “Diccionario Encilopédico
El Comercio Tomo 3”
Editorial: Santillana
• www.google.com.pe
• Libro “El Mundo de las
Matemáticas 3” Editorial:
Oceano
• Lista de páginas dadas en la
pagina
www.santamaria.edu.pe