Este documento presenta 8 problemas de cálculo integral para ser resueltos por los estudiantes. Los problemas cubren temas como la dilatación de una lámina, errores en mediciones, integración de funciones, integración por partes, crecimiento poblacional, enfriamiento de Newton, biomasa pesquera y crecimiento poblacional proporcional. Los estudiantes deben trabajar en grupos de hasta 5 personas y entregar las soluciones en la fecha del primer examen.

1. 1 TALLER DE CALCULO INTEGRAL
UNIVERSIDAD DEL MAGDALENA
´AREA DE MATEM ´ATICAS
TALLER No 1 (Valor 15 puntos)
2015-2
Asiganatura: C´alculo Integral Dependencia: Facultad De Ingenier´ıa
.
1) Una lamina delgada con forma de tri´angulo equil´atero se dilata por la acci´on del
calor. Si la longitud del lado cambia de 10cm a 10.2cm, calcule el crecimiento
aproximado del ´area.
2) La medida del radio de un tronco ha dado 28cm, con un margen de error de 1
4 cm
Usar diferenciales para determinar el error que se encontrar´a al calcular con este
dato el ´area de la secci´on del tronco.
Soluci´on 5
8 πm3
3) Emplee las t´ecnicas de integraci´on para resolver las siguientes integrales:
A =
ln(x +
√
1 + x2)
1 + x2
dx B =
ex − 1
ex + 1
dx
C =
dx
√
1 + e2x
D =
sen(x).cos(x)dx
sen4(x) + cos4(x)
E =
tan(x)dx
cos(x) · − sec2(x) + 2 sec(x) + 1
F = x.ln
1 + x
1 − x
dx
G =
xeacrtanx
dx
(1 + x2)
3
2
4) Emplee la integraci´on por partes para demostrar que:
• secn
(x)dx =
1
n − 1
.senn−2
(x)tan(x) +
n − 2
n − 1
senn−2
(x)dx
• cosn
(x)dx =
1
n
.cosn−1
(x)sen(x) +
n − 1
n
cosn−2
(x)dx si n ∈ Z+
5) La poblaci´on de estados era de 75 millones en 1900 y de 150 millones en 1950.
Suponiendo que la tasa de crecimiento es en cualquier instante proporcional al
tama˜no de la poblaci´on,determine el tama˜no de la poblaci´on en un instante t.
(Considere a 1900 como t = 0). ¿Cu´al es la poblaci´on proyectada para el 2005?
C ´ALCULO INTEGRAL 1 de ?? Docentes ´Area de Matem´aticas
Facultad De Ingenieria

2. 1 TALLER DE CALCULO INTEGRAL
6) La Ley del Enfriamiento de Newton viene dada por la ecuaci´on
dT
dt
= k(T − Ts),
donde T es la temperatura del cuerpo en el instante t y Ts es la temperatura
ambiente, demuestre que la soluci´on de la ecuaci´on est´a dada por T − Ts = A.ekt
.
7) En una zona pesquera del Pac´ıfico la masa total de los peces y(t)(biomasa) se mide
con la ecuaci´on diferencial: dy
dt = ky 1 − y
r , donde y se mide en kg y t en a˜nos.La
capacidad de contenci´on se estima que es, r = 8 × 107
kg, encuentre la biomasa un
a˜no despu´es.
a) Encuentre y(t)
b) Si y(0) = 2 × 107
kg, encuentre la biomasa un a˜no despues.
c) ¿Cu´anto tiempo pasar´a para que la biomasa llegue a 4 × 107
kg
8) Se sabe que la poblaci´on de cierta comunidad aumenta con una raz´on proporcional
a la cantidad de personas que tiene en cualquier momento. Si la poblaci´on se
duplic´o en cinco a˜nos, ¿en cuanto tiempo se triplicar´a y cuadruplicar´a?
INDICACIONES: Entregarlo el dia del primer examen a lo m´as en grupo de cinco
estudiantes.
C ´ALCULO INTEGRAL 2 de ?? Docentes ´Area de Matem´aticas
Facultad De Ingenieria