1. 1
Centro Preuniversitario de la UNS S-08 Ingreso Directo
1xCscxCot
1xCotxscC
Zn;nRx;1xCotxCsc
1xSecxTan
1xTanxSec
Zn;
2
1)(2nRx;1xTanxSec
xSen1xCos
xCos1xSen
Rx;1xCosxSen
22
22
22
22
22
22
22
22
22
UNIVERSIDAD NACIONAL DEL SANTA
CEPUNS
Ciclo 2018-III
TRIGONOMETRÍA
“Identidades Trigonométricas de Arcos
Compuestos”
Objetivos:
Discrimar información relevante, sintetizar y construir conocimientos para resolver
problemas con Identidades trigonométricas.
Aplicar técnicas de comprobación en diversas identidades trigonométricas.
En el presente capítulo realizaremos el estudio de las
razones trigonométricas de aquellos ángulos que a su
vez están constituidas por la suma o resta de otros 2
ángulos. Iniciaremos el estudio del presente capitulo
con la demostración de las principales Identidades para
ángulos compuestos que son:
* Sen( + ) = Sen.Cos + Cos.Sen
* Cos( + ) = Cos.Cos-Sen.Sen
Demostración:
A partir del gráfico:
Se observa:
Sen ( + ) = MP = PS + SM = QR + SM; (PS = QR)
En el OQR QR = ORSen = Sen.Cos;
(OR = Cos)
En el MSR SM = RMCos = Cos.Sen;
(RM = Sen)
Reemplazando
Sen (+) = Sen Cos + Cos.Sen …….. Demostrado
También observamos:
Cos(+) = OP = OQ - PQ = OQ - SR; (PQ = SR)
En el OQR OQ = ORCos = Cos.Cos; (OR = Cos)
En el MSR SR = MRSen = Sen.Sen; (MR = Sen)
Reemplazamos:
Cos(+) = Cos. Cos - Sen.Sen .......(Demostrado)
Procedemos ahora a obtener la Tg(+) de la siguiente
manera:
Sabemos que:
Tg(+) =
sen sen sen
sen sen
cos
cos cos
cos cos
Dividimos a la expresión por (Cos.Cos)
Tg(+) =
sen sen
sen sen
cos
cos cos
cos
cos cos
cos cos
cos cos cos cos
Simplificando obtendremos:
Tg(+) =
sen sen
sen sen
Tg Tg
Tg Tg
cos cos
cos
.
cos
.
1 1
* Tg(+) =
Tg
Tg Tg
+ Tg
1 . (Demostrado)
Tomaremos en cuenta para las demás razones
trigonométricas que:
Ctg
Tg
Sec
Cos
Csc
Sen
1
1
1
1 S
R
P Q A X
Y
M
B
Semana Nª 8
0
2. Lic. Rodolfo Carrillo Velásquez Trigonometría.
2
Centro Preuniversitario de la UNS S-08 Ingreso Directo
Identidades Trigonométricas para la Diferencia de
Ángulos:
Usando las Identidades para la suma de ángulos (ya
demostrados), deducimos las identidades para la
diferencia de ángulos, utilizando el siguiente artificio.
* Sen( - ) = sen(+(-))
Sen(+(-)) =
sen sen
sen
cos cos
cos
sen sen sen cos cos
Demostrado
* Cos(-) = Cos(+(-))
Cos(+(-)) = Cos . Cos(-) - SenSen(-)
Cos - Sen
cos cos cos sen sen
(Demostrado)
* Tg(-) =
TgTg
TgTg
.1
De igual manera tomar en cuenta que:
Ctg
Tg
Sec
Cos
Csc
Sen
1
1
1
Algunas Propiedades de Importancia
a) Sen( + ).Sen(-) = Sen² - Sen²
b) Tg + Tg + Tg(+).Tg.Tg = Tg(+)
c) Si: + + = 180° Tg + Tg+ Tg = Tg.Tg.Tg
d) Si: + + = 90° Tg.Tg +Tg.Tg + Tg.Tg = 1
e) Cos( + ).Cos(-) = cos² - Sen²
f) Si: + + =180°Ctg.Ctg+Ctg.Ctg+Ctg.Ctg=1
g)
1
2
.
22
.
22
.
2
C
tg
B
tg
C
tg
A
tg
B
tg
A
tg
h)
2
.
2
.
2222
C
Ctg
B
Ctg
A
Ctg
C
Ctg
B
Ctg
A
Ctg
i) Tg - Tg - Tg( - ).Tg.Tg = Tg( - )
j)
yx
yxsen
tgyTgx
cos.cos
)(
k)
SenySenx
yxsen
CtgyCtgx
.
)(
l)
SenyCosx
yxCos
Ctgytgx
.
)(
m) )(... 22
xSenbaCosxbsenxa
Donde:
22
ba
b
Sen
22
ba
a
Cos
n) Si: Rxxbsenxaxf ;cos..)(
Se cumple: 2222
)( baxfba
PROBLEMAS DE CLASE
1. Si 𝐴𝐵 = 2√3 𝑦 𝐶𝐷 = 7, calcule BD.
A)3 B) √3 C) 4 D) 6 E) 7
2. Si se cumple
2𝑠𝑒𝑛𝑥 = 𝑠𝑒𝑐𝑦
3𝑠𝑒𝑛𝑦 = 𝑠𝑒𝑐𝑥
calcule el valor de 𝑠𝑒𝑛(𝑥 + 𝑦)𝑐𝑠𝑐(𝑥 – 𝑦).
A) 1 B) 2 C) 4 D) 5 E) 6
3. Calcule el valor de
3. Lic. Rodolfo Carrillo Velásquez Trigonometría.
3
Centro Preuniversitario de la UNS S-08 Ingreso Directo
[
𝑠𝑒𝑛(𝑥 + 𝜃) + 𝑠𝑒𝑛(𝑥 − 𝜃)
𝑐𝑜𝑠(𝑥 + 𝜃)
] (𝑐𝑜𝑡𝑥 − 𝑡𝑎𝑛𝜃)
A) 1/2 B) 2/3 C) 1 D) 2 E) 3
4. Si A y B pertenecen al primer cuadrante,
simplifique la siguiente expresión.
√1+𝑡𝑎𝑛2 𝐴+𝑡𝑎𝑛2 𝐵+𝑡𝑎𝑛2 𝐴𝑡𝑎𝑛2 𝐵
1−𝑡𝑎𝑛𝐴𝑡𝑎𝑛𝐵
A) 𝑠𝑒𝑐(𝐴 – 𝐵) B) 𝑐𝑜𝑠(𝐴 – 𝐵) C) 𝑠𝑒𝑛(𝐴 + 𝐵)
D) 𝑐𝑜𝑠(𝐴 + 𝐵) E) 𝑠𝑒𝑐(𝐴 + 𝐵)
5. Calcule el valor de
√2
4
𝑡𝑎𝑛
5𝜋
12
− 𝑠𝑒𝑛
𝜋
12
A)
√2
4
B)
√2
2
C) √2 D)
3√2
8
E)
3√2
4
6. Si 𝑡𝑎𝑛𝑥 + 𝑡𝑎𝑛2𝑥 = 3𝑡𝑎𝑛3𝑥, calcule
tanxtan2x.
A) – 2 B) – 1 C) 1 D) 2 E) 3
7. Si √2𝑠𝑒𝑛(𝑥 + 45º) = 𝑠𝑒𝑛𝑥𝑠𝑒𝑐2
𝑥, calcule
𝑡𝑎𝑛3
𝑥 + 𝑐𝑜𝑡3
𝑥.
A) – 2 B) 2 C) 4 D) 8 E) 16
8. En el gráfico, calcule AB si 𝐶𝐷 = 4, 𝐷𝐸 =
6 𝑦 𝐵𝐸 = 2.
A) 2 B)2√3 C)2√6 4√6 E)6√6
9. Según el gráfico, 𝐴𝐷 = 𝐵𝐸 = 2 𝑦 𝐵𝐷 =
𝐸𝐶 = 3. Calcule 𝑡𝑎𝑛𝜃.
A)
3
19
B)
25
19
C)
15
19
D)
19
25
E)
19
15
10. Si 𝑡𝑎𝑛2𝑥 = 𝑎 𝑦 𝑡𝑎𝑛(𝑥 – 𝑦) = 𝑏,
calcule (
1+𝑎𝑏
𝑎−𝑏
) 𝑡𝑎𝑛(𝑥 + 𝑦).
A) – 1 B) ½ C) – 2 D) 1 E) 2
11. Si 𝑡𝑎𝑛(𝑥 + 32º) = 2 𝑦 𝑥 + 𝑦 = 30º,
calcule (
13
5√3+6
)𝑡𝑎𝑛(2𝑥 + 𝑦 − 13)
A) – 2 B) – 1 C) 1 D) 2 E) 4
12. Si 𝑐𝑜𝑠(𝑥 + 𝑦) + 𝑠𝑒𝑛(𝑥 − 𝑦) =
√3𝑠𝑒𝑛𝑥𝑠𝑒𝑛𝑦 , calcule
(1+𝑡𝑎𝑛𝑥)(1−𝑡𝑎𝑛𝑦)
𝑡𝑎𝑛𝑥𝑡𝑎𝑛𝑦
A)
√3
3
B)
√3
2
C) 1 D) √3 E) 2√3
13. En el gráfico se cumple que 𝐴𝐵 =
3 𝑦 𝐵𝐶 = 2. Calcule el área de la región
triangular ACD.
A) 10 B) 11 C) 12 D) 13 E)
39
2
14. En el gráfico se cumple que
𝑀𝐶
3
=
𝐶𝐵
4
=
𝐴𝐵
8
y 𝑀𝐶 = 𝑀𝐷. Calcule tanx.
A) 11/7 B) 15/7 C) 17/7 D)
22
7
E) 24/7
15. En el gráfico, se cumple que
𝐴𝑀 = 3, 𝑀𝑁 = 2 𝑦 𝐵𝑁 = 1. Calcule 𝑡𝑎𝑛𝑥.
4. Lic. Rodolfo Carrillo Velásquez Trigonometría.
4
Centro Preuniversitario de la UNS S-08 Ingreso Directo
A) ¼ B) ½ C) 2/3 D) 3/4 5/6
16. Si 𝑠𝑒𝑛(𝑦 + 2𝑡) =
4
5
;
𝑠𝑒𝑛𝑦 =
𝑥
5
;
𝜋
2
< 𝑦 + 2𝑡 < 𝜋
exprese x en términos de 𝑠𝑒𝑛2𝑡 𝑦 𝑐𝑜𝑠2𝑡.
A) 4𝑐𝑜𝑠2𝑡 + 3𝑠𝑒𝑛2𝑡 B) 3𝑐𝑜𝑠2𝑡 – 4𝑠𝑒𝑛2𝑡
C) 𝑐𝑜𝑠2𝑡 – 𝑠𝑒𝑛2𝑡 D) 2𝑠𝑒𝑛2𝑡 – 3𝑐𝑜𝑠2𝑡
E) 3𝑠𝑒𝑛2𝑡 – 4𝑐𝑜𝑠2𝑡
17. Si
𝑐𝑜𝑠(𝑥 – 𝑦)𝑠𝑒𝑛(𝑧 – 45º) = 𝑐𝑜𝑠(𝑥 + 𝑦)𝑠𝑒𝑛(𝑧 + 45º),
calcule 𝑐𝑜𝑡𝑥𝑐𝑜𝑡𝑦𝑐𝑜𝑡𝑧.
A) – 1 B) – 1/2 C) 1 D) 2 E) 4
18.Calcule el valor de
√3𝑐𝑜𝑠70º
𝑐𝑜𝑠25º−𝑠𝑒𝑛25º
A)
√6
6
B)
√6
4
C)
√6
3
D)
√6
2
E)
√3
2
19.Si 𝑥 + 𝑦 =
𝜋
6
, calcule el valor de
𝑠𝑒𝑛(𝑥+𝑦)
𝑐𝑜𝑠𝑥𝑐𝑜𝑠𝑦
+
𝑡𝑎𝑛( 𝑥+𝑦)
𝑐𝑜𝑡𝑥𝑐𝑜𝑡𝑦
A)
√3
2
B)
√3
3
C)−
√3
2
D) 1 E) √3
20.Simplifique.
(𝑠𝑒𝑛20º – 𝑡𝑎𝑛60º𝑐𝑜𝑠20º)𝑠𝑒𝑐50º
A) – 2 B) – 1 C) ½ D) 1 E) √2
21.Calcule el máximo valor de
1−4𝑐𝑜𝑠2 𝑥
𝑠𝑒𝑛𝑥+√3𝑐𝑜𝑠𝑥
A) 1 B)
√2
2
C) √2 D) 2 E) 2√2
22.Obtenga el equivalente de
𝑠𝑒𝑛(30º+𝛼 )𝑠𝑒𝑛(30º−𝛼 )+𝑠𝑒𝑛230º
𝑠𝑒𝑛(45º−𝛼 )
A) 𝑠𝑒𝑛(45º – 𝛼) B) 𝑠𝑒𝑛(45º + 𝛼)
C) 𝑠𝑒𝑛(30º + 𝛼) D) 𝑠𝑒𝑛(30º – 𝛼)
E) 𝑠𝑒𝑛(60º – 𝛼)
23.Si 𝑠𝑒𝑛3𝑥 =
2√5
5
, donde 3x es un ángulo
agudo, calcule
𝑡𝑎𝑛4𝑥 – 𝑡𝑎𝑛𝑥 – 𝑡𝑎𝑛𝑥𝑡𝑎𝑛3𝑥𝑡𝑎𝑛4𝑥 + 𝑐𝑜𝑡3𝑥.
A) 3/2 B) 5/2 C) 7/2 D) 9/2 E) 5
24.Calcule el valor de
(√3+1)𝑡𝑎𝑛
𝜋
12
+1
𝑡𝑎𝑛
𝜋
24
+𝑡𝑎𝑛
𝜋
24
𝑡𝑎𝑛
5𝜋
24
+𝑡𝑎𝑛
5𝜋
24
A)√3 − 1 B) √3 C) √3 + 1 D)2√3 E) 4
25.Si 𝛼 + 𝛽 + 𝜃 =
𝜋
4
, calcule el valor de
𝑡𝑎𝑛2𝛼+𝑡𝑎𝑛2𝛽
𝑐𝑜𝑡2𝜃
+
1
𝑐𝑜𝑡2𝛼𝑐𝑜𝑡2𝛽
A) 1/4 B) 1/2 C) ¾ D) 1 E) 2
26.Reduzca
√3
3
𝑐𝑜𝑡10º𝑐𝑜𝑡20º−𝑡𝑎𝑛70º
1+√3𝑐𝑜𝑡10º
A)√3𝑐𝑜𝑡10º B) 𝑐𝑜𝑡10º C) √3𝑡𝑎𝑛10º D)
√3
3
E) √3
27.En un triángulo ABC se cumple que
6𝑡𝑎𝑛𝐴 = 3𝑡𝑎𝑛𝐵 = 2𝑡𝑎𝑛𝐶.
Calcule 𝑡𝑎𝑛𝐴 + 2𝑡𝑎𝑛𝐵 + 3𝑡𝑎𝑛𝐶.
A) 12 B) 13 C) 14 D) 15 E) 16
28.Si √6(𝑐𝑜𝑠8º − 𝑠𝑒𝑛8º) + √2(𝑐𝑜𝑠8º +
𝑠𝑒𝑛8º) = 4𝑠𝑒𝑛𝑥 . además, 𝑥 ∈ 〈
𝜋
2
; 𝜋〉 ,
calcule 𝑠𝑒𝑛(𝑥 − 23º) + √2𝑠𝑒𝑛(𝑥 + 22º).
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
29.Reduzca la expresión
√3𝑐𝑜𝑠10º + 3𝑠𝑒𝑛10º + 2𝑐𝑜𝑠40º
A) 2cos20º B) cos40º C) 2cos50º
D) cos50º E) 4cos20º
30.Encuentre el equivalente de
𝑠𝑒𝑛40º
𝑐𝑜𝑠30º 𝑐𝑜𝑠10º
−
1
𝑐𝑜𝑠10º
A) tan20º – tan30º B) tan30º – tan40º
C) tan40º – tan30º D) tan30º – tan20º
E) tan30º – tan10º
31.En un triángulo ABC, recto en C, Calcule
(1 + tan
𝐴
2
) (1 + tan
𝐵
2
) (1 + tan
𝐶
2
)
A) 2 B) 4 C) 6 D) 8 E) 10
32.Simplifique la expresión.
𝑠𝑒𝑛2
𝐴 + 𝑠𝑒𝑛2(𝐴 + 𝐵) − 𝑠𝑒𝑛2
𝐵
𝑐𝑜𝑠2 𝐴 + 𝑠𝑒𝑛2(𝐴 + 𝐵) − 𝑐𝑜𝑠2 𝐵
A) 𝑡𝑎𝑛𝐴𝑐𝑜𝑡𝐵 B) 𝑡𝑎𝑛𝐵𝑐𝑜𝑡 𝐴 C) – 𝑡𝑎𝑛𝐴𝑐𝑜𝑡𝐵
D) – 𝑡𝑎𝑛𝐵𝑐𝑜𝑡 𝐴 E) 𝑡𝑎𝑛𝐴𝑡𝑎𝑛𝐵