1. El documento trata sobre los conceptos de límites, continuidad y derivadas parciales de funciones de varias variables. Explica cómo calcular límites laterales y determinar la continuidad de funciones racionales. También cubre el cálculo de derivadas parciales de primer y segundo orden de funciones de dos y tres variables.

1. REPUBLICABOLIVARIANADE VENEZUELA
MINISTERIODE LPODER POPULARPARALAEDUCACION
I.U.PSANTIAGOMARIÑO
ASIGNATURA:MATEMATICASIII
SECCION:S1
LIMITES,CONTINUIDAD Y DE
DERIVADAS DE FUNCIONES
(VECTORES).
PROFESOR: BACHILLER:
BELTRAN PEDRO BRITO, Andrea
Barcelona, 29 de marzo del 2019

2. Introducción
• Las operaciones matemáticas fundamentales del Cálculo son la diferenciación y la
integración y estas operaciones se basan en la determinación de la derivada y la
integral, que a su vez se basan en el concepto de límite.
• Dado que la derivada de una función se define como un límite, es importante
comprender lo que es un límite y aprender a evaluar límites. También vemos aquí la
relación que hay entre los conceptos de límite y continuidad siendo ésta la propiedad
de una función de no presentar roturas en su grafica, utilizan métodos de derivación
de varia variables, también cabe a destacar que las derivadas parciales son útiles en
cálculo vectorial y geometría diferencial.

3. • límite
• El limite de una función en un punto es obtener el valor al que se va
aproximando esa función cuando x tiende a un determinado punto, pero sin
llegar a ese punto.
• Se representa de la siguiente manera:
• Que significa, tal y como te acabo de decir, que cuando X tiende al punto Xo,
el valor de la función se va aproximando a L, por tanto, el límite de esa función
cuando X tiende a Xo es L. Gráficamente quedaría de la siguiente manera:

4. • Si te das cuenta, conforme nos vamos aproximando al valor Xo en el eje x, en
el eje y, el valor de la función se va a aproximando al valor L.
• x puede tender a cualquier valor, desde menos infinito hasta más infinito
(ambos incluidos) y el límite de una función también puede ser desde menos
infinito hasta infinito (ambos incluidos).
• No hay que confundir el límite de una función con el valor de una función en
punto, que es el valor que tiene la función justo en ese punto. Mucho cuidado
porque pueden no coincidir (lo veremos más adelante).
• Vamos a verlo con un ejemplo.
• Cuál es el límite de la siguiente función:
• cuando x tiende a -1?
• El límite de la función cuando x tiende a -1 se escribe:

5. • Para que entiendas como el valor de la función se va a aproximando a un
valor determinado, mientras que x va tendiendo a -1, vamos a ir viendo cuál
es el valor de la función para los puntos que próximos a -1 y cada vez nos
vamos a ir acercando más a -1.
• Primero nos vamos a ir acercando cada vez más a -1 por la izquierda a ver
qué pasa.
• Cuando x=-1,3, el valor de la función es:
• Cuando x=-1,2, el valor de la función es:
• Cuando x=-1,1, el valor de la función es:

6. • Si te das cuenta, conforme nos vamos acercando a -1, el valor de la función
se va aproximando a 0.
• Vamos hacer lo mismo ahora, pero acercándonos al 1 por la derecha.
• Cuando x=-0,7, el valor de la función es:
• Cuando x=-0,8, el valor de la función es:
• Cuando x=-0,9, el valor de la función es:
• Como puedes observar, conforme nos vamos acercando a x=-1 por la
derecha, la función se va aproximando cada vez más a 0.
• Si lo vemos en una gráficamente, vemos como la gráfica de la función se
aproxima al punto 0 en el eje y, cuando los valores de x se van a aproximando
al punto -1 en el eje x:

7. • Por tanto, el límite de la función cuando x tiende a -1 es igual a 0:
• Para resolver un límite no es necesario realizar este procedimiento que
acabamos de hacer. Tan solo lo he hecho para que fueras viendo cómo poco
a poco el valor de la función se va aproximando a un punto.
• Resolver el límite de esa función es mucho más sencillo y es lo que te voy a
explicar en el siguiente apartado.

8. • En los casos donde el dominio de la función es todo R (la función es
continua en todo R), como por ejemplo en polinomios, el límite de la función
en un punto se va a calcular igual que el valor de la función en ese punto,
es decir, sustituyendo el valor por la x.
• Vamos a resolver el límite de la función anterior cuando x tiende a -1:
• Para resolverlo, tenemos que sustituir la x por -1 y operar:
• Y obtenemos el resultado del límite que es 0.
• Date cuenta cuando sustituimos el valor al que tiende la x por la x, el límite
desaparece.
• En este caso, el límite de la función cuando x tiende a -1, y el valor de la
función en -1 coinciden, pero no tiene por qué ser así.
• En funciones que no son continuas (el dominio no es todo R), hay puntos
donde el límite tenga un valor y sin embargo, la función en ese punto no
exista o el valor de la función tenga otro valor distinto.

9. • Por ejemplo, en la siguiente función
• El límite cuando x tiende a -1 es igual a 0, pero sin embargo el valor de la
función en x=-1 es igual a 2:
• O el caso de esta otra función:

10. • Vamos a ver qué pasa si calculamos el límite de la función cuando x tiende a
1:
• Sustituimos la x por el 1:

12. Continuidad

13. Continuidad de funciones de varias variables

15. • Limites laterales

16. 1.-
Como es una función racional, el
dominio es todos los reales excepto
los valores para los que se anula en
denominador (no se puede dividir
entre 0), es decir, el dominio es:
Y la función es continua en todos su
dominio, es decir, en
Notemos que el punto donde se anula el
denominador la función crece (o decrece)
hacia infinito. Esto se debe a que cada vez el
denominador es más pequeño y, por tanto,
el cociente es cada vez mayor (o menor, si el
denominador es negativo).

17. • 2.-
• Puesto que es una función racional, el dominio es todos los reales excepto
donde se anula en denominador, es decir, excepto los puntos que cumplen
• Por tanto, el dominio es
• La función es continua en todo su dominio.
• Cuando x se aproxima a los
puntos donde el denominador
se anula, crece (o decrece):

18. • 3.-
• Puesto que es una función racional, el dominio es todos los reales excepto
donde se anula en denominador. Para ello, factorizamos los polinomios del
numerador y del denominador
• Por tanto,

19. • Con lo que podemos escribir la función como:
• Esto nos permite simplificar la expresión de la función y, podemos observar
que, de este modo, para x = -2 el denominador no se anula.
• El dominio es:
• La función es continua en todo su dominio por ser racional:

20. • 4.-
• La función es una raíz cuadrada, por tanto, el radicando (el interior de la raíz)
tiene que ser no negativo.
• Fácilmente podemos escribir el radicando como:
• Lo cual nos permite deducir que el radicando siempre es no negativo y, por
tanto, el dominio es todos los reales.
• Además podemos escribir la función como:
• La función es continua en todo su dominio

21. • El ángulo que aparece en x = -1 se debe al valor absoluto: es en este punto
donde el argumento del valor absoluto cambia de signo.
• Si escribimos la función como una función a trozos:
• Es más fácil de comprender el ángulo: para x < -1 tenemos una recta distinta
que para x > -1

22. Derivadas parciales
Primero:

23. • Segundo:
• Tercero:

24. • Cuarto:

25. Ejercicios en los que tenemos que hallar las
derivadas de primero y segundo orden

30. • FUNCIONES DE TRES VARIABLES INDEPENDIENTES
• Ejercicios en los que tenemos que hallar las derivadas de
• primero y segundo orden.

37. Conclusión
• El limite y continuidad permite alcance un conocimiento claro del concepto
y de sus aplicaciones así como como también en el desarrollo de la
derivación de varias variables también estudia lo que es una derivada
parcial de una función de diversas variables, es su derivada respecto a
una de esas variables manteniendo las otras como constantes. Las
derivadas parciales son útiles en cálculo vectorial y geometría diferencial.

38. Bibliografía
• Colley, S. J. (2013). Cálculo vectorial. México: PEARSON EDUCACIÓN.
• Larson, R., & Edwards, B. (2017). Matemáticas 3. Cálculo de varias variables.
México: CENGAGE Learning.
• R. Spiegel, M. (1967). Análisis vectorial. México: McGRAW – HILL.
• https://temasdecalculo.com/2017/12/04/4-2-limites-y-continuidad-calculo-
vectorial/
• https://derivadas.es/derivadas-parciales/
• https://ekuatio.com/limites-de-funciones-que-son-y-como-se-resuelven-limites-
laterales/