Diferenciacion numerica

1. METODOS NUMERICOS
1
Métodos Numéricos PARA
LA Ingeniería INDUSTRIAL.
Diferenciación Numérica
ING. PEDRO DE LA CRUZ LARA
INSTRUCTOR

2. METODOS NUMERICOS
2
DIFERENCIACION E
ITERACION NUMERICA
EDEN CANO RODRIGUEZ
CUARTO CUATRIMESTRE DOMINGOS
UNIVERSIDAD DE LOS ANGELES CAMPUS COMALCALCO
I N G E N I E R I A I N D U S T R I A L
2 0 1 5

3. METODOS NUMERICOS
3
C O N T E N I D O
 T E M A D E I V E S T I G A C I O N
1. Diferenciación numérica
 Aproximación a la primera derivada hacia atrás
 Aproximaciones a la primera derivada con diferencias centrales
 Aproximaciones a derivadas de orden más alto usando
diferencias finitas
 Fórmulas de exactitud para diferencias de orden superior
 Ejemplos
2. Formula de diferencia progresiva y regresiva
 Concepto de diferencia progresiva y regresiva
 Formula de diferencia progresiva y regresiva
 Ejemplos
3. Formula de tres puntos
 Concepto de la fórmula de los tres puntos
 Ejemplos
4. Formula de cinco puntos
 Concepto de fórmula de los cinco puntos
 Ejemplos
5. Bibliografía

4. METODOS NUMERICOS
4
DIFERENCIACION NUMERICA
A la ecuación 1 se le conoce con el nombre especial en el análisis numérico, se le
llama diferencias divididas finitas.
Se puede representar generalmente como:
O
Donde al diferencial se le conoce como la primera diferencia hacia adelante y a h
se le llama tamaño del paso, esto es, la longitud del intervalo sobre el cual se hace
la aproximación.
Se le llama diferencia " hacia adelante " ya que usa los datos (i) e (i+1) para
estimar la derivada.
Al termino completo (o sea, la diferencial entre h) se le conoce como primera
diferencia dividida finita.
Esta diferencia dividida hacia adelante no es sino una de tantas que se pueden
desarrollar mediante la serie de Taylor para la aproximación de derivadas
numéricas.
Por ejemplo, las aproximaciones a primeras derivadas, utilizando las diferencias
hacia atrás o las diferencias centrales se pueden desarrollar de una manera
similar a la de la ecuación 2.

5. METODOS NUMERICOS
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Las primeras usan a, mientras x con sub-índice i+1 que las segundas usan
información igualmente espaciada alrededor del punto donde está estimada la
derivada.
Las aproximaciones más exactas de la primera derivada se pueden desarrollar
incluyendo en la serie de Taylor términos de orden más alto.
Finalmente, todas las versiones anteriores se pueden desarrollar para derivadas
de segundo orden, tercer orden y órdenes superiores. Las siguientes secciones
analizan brevemente estos casos, ilustrando como se deriva cada una de ellos.
APROXIMACION A LA PRIMERA DERIVADA CON
DIFERENCIAS HACIA ATRÁS.
La serie de Taylor se puede expandir hacia atrás para calcular un valor anterior
sobre el valor actual, dado por:
Truncando la ecuación después de la primera derivada y ordenando los términos
se obtiene:
Donde los errores es 0 (h) y el diferencial indica la primer diferencia
dividida hacia atrás.

6. METODOS NUMERICOS
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APROXIMACIONES A LA PRIMER DERIVADA
CON DIFERENCIAS CENTRALES.
Una tercera forma de aproximar la primera derivada es restar la ecuación 4 de la
expansión en serie de Taylor hacia adelante:
Para obtener
Que se puede resolver para
O
La ecuación 9 es una representación de las diferencias centrales (o centradas) de
la primera derivada.
Nótese que el error de truncamiento es del orden de en contraste con las
diferencias divididas hacia adelante y hacia atrás, las cuales fueron de orden h.
Por lo tanto, el análisis de la serie de Taylor ha llevado a la información práctica de
que la diferencia central es la representación más exacta de la derivada.
Por ejemplo, si se parte el tamaño del paso a la mitad usando diferencias hacia
atrás o hacia adelante, el error se reducirá aproximadamente a la mitad, mientras
que para diferencias centrales, el error se reduce a la cuarta parte.

7. METODOS NUMERICOS
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APROXIMACIONES A DERIVADAS DE ORDEN MÁS
ALTO USANDO DIFERENCIAS FINITAS.
Junta a la primera derivada, la expansión de la serie de Taylor se puede usar para
una estimación numérica de las derivadas de orden superior.
Para hacerlo, se escribe una expansión en la serie de Taylor hacia adelante para
en términos de la siguiente forma:
La ecuación 8 se puede multiplicar por 2 y restarse de la ecuación 10 para
obtener:
Que se puede resolver para
A esta relación se le llama diferencias divididas finitas hacia adelante de segundo
orden. Se pueden usar procedimientos similares para obtener las versiones hacia
atrás y centrales.
Las aproximaciones a tercer orden de las diferencias divididas hacia adelante,
hacia atrás y centrales también pueden obtenerse (véase en fórmulas más
adelante). En todos los casos, las diferencias centradas dan una mejor
aproximación.

8. METODOS NUMERICOS
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FORMULAS DE EXACTITUD PARA DIFERENCIAS
DE ORDEN SUPERIOR
Todas las estimaciones anteriores truncaron las estimaciones dadas por la serie
de Taylor después de algunos términos. Las fórmulas de más exactitud se pueden
desarrollar incluyendo términos adicionales. Por ejemplo, la expansión hacia
adelante (Ecuación 6) se puede resolver para:
En contraste con la ecuación 2, se puede retener el término de segundo orden
sustituyendo la ecuación 12 en la ecuación 13 para obtener:
Agrupando términos
Nótese que la inclusión del término con segunda derivada ha dado una exactitud.
Se pueden desarrollar versiones mejoradas similares para diferencias hacia atrás
y centrales así como para las aproximaciones de derivadas de orden superior.

9. METODOS NUMERICOS
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GRAFICAS DE APROXIMACIONES CON DIFERENCIAS DIVIDIDAS FINITAS
DE LA PRIMERA DERIVADA.
El azul es de aproximación y el verde de la derivada verdadera
HACIA ADELANTE
.HACIA ATRAS

10. METODOS NUMERICOS
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.
CENTRALES
FORMULAS DE DIFERENCIAS DIVIDIDAS FINITAS HACIA ATRÁS.
SE PRESENTAN DOS VERSIONES PARA CADA DERIVADA.
LA SEGUNDA FORMA INCLUYE MAS TERMINOS DE LA SERIE DE TAYLOR
Y, POR LO TANTO ES MAS EXACTA

11. METODOS NUMERICOS
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FORMULAS DE DIFERENCIAS DIVIDIDAS FINITAS HACIA ADELANTE.
SE PRESENTAN DOS VERSIONES PARA CADA DERIVADA.
LA SEGUNDA FORMA INCLUYE MAS TERMINOS DE LA SERIE DE TAYLOR Y,
POR LO TANTO ES MAS EXACTA.

12. METODOS NUMERICOS
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FORMULAS DE DIFERENCIAS FINITAS CENTRALES.
SE PRESENTAN DOS VERSIONES PARA CADA DERIVADA.
LA SEGUNDA FORMA INCLUYE MAS TERMINOS DE LA SERIE DE
TAYLOR POR LO TANTO ES MAS EXACTA.

13. METODOS NUMERICOS
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14. METODOS NUMERICOS
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EJEMPLO DE APROXIMACIONES DE DERIVADAS
USANDO DIFERENCIAS DIVIDIDAS FINITAS...
Úsense aproximaciones de diferencias finitas hacia adelante y hacia atrás de 0(h)
y centradas, de 0(cuadrara), para estimular la primera derivada de:
en x=0.5 usando un tamaño de paso h=0.5. Repetir los cálculos usando h=0.25.
Nótese que la derivada se puede calcular directamente como:
y se puede usar para calcular el valor exacto de f (0.5)=-0.9125.
SOLUCIÓN.
Para h=0.5, se puede usar la función para determinar:
Estos datos se pueden usar para calcular la diferencia dividida hacia adelante
(Ecuación 2):
La diferencia dividida hacia atrás (Ecuación 5):

15. METODOS NUMERICOS
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y la diferencia dividida central ( Ecuación 7 ):
Para h=0.25, los datos son:
Que se pueden usar para calcular la diferencia dividida hacia adelante:
La diferencia dividida hacia atrás:
y la diferencia dividida central:>/P>

16. METODOS NUMERICOS
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METODO DE LA SECANTE POR MEDIO DE DIFERENCIA DIVIDIDA.
Un problema fuerte en la implementación del método de Newton-Raphson es el de
la evaluación de la derivada.
Aunque esto no es un inconveniente para los polinomios y para muchas otras
funciones, existen algunas de estas cuyas derivadas pueden ser extremadamente
difíciles de evaluar.
En estos casos, la derivada se puede aproximar mediante una diferencia dividida,
como se muestra en la siguiente figura:

17. METODOS NUMERICOS
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ESQUEMA GRAFICO DEL METODO DE LA SECANTE
UTILIZANDO UNA DIFERENCIA.
La ecuación 18 es la fórmula para el método de la secante. Nótese que el
planteamiento requiere de dos puntos iniciales de x.
Sin embargo, debido a que no se requiere de f (x) cambie de signo entre estos
valores, a este método no se le clasifica como aquellos que usan intervalo.
EJEMPLO DEL METODO DE LA SECANTE
USANDO DIFERENCIAS DIVIDIDAS.
Úsese el método de la secante para calcular la raíz de f (x)=.
Empiécese con los valores iniciales de x (sub-índice i-1) = 0 y x (sub-índice 0)=
1.0.
SOLUCIÓN. Recuérdese que la raíz real es 0.56714329….

18. METODOS NUMERICOS
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FORMULA DE DIFERENCIA PROGRESIVA Y REGRESIVA
El cálculo de la derivada de una función puede ser un proceso "difícil" ya sea por
lo complicado de la definición analítica de la función o por que esta se conoce
únicamente en un número discreto de puntos. (Este es el caso si la función
representa el resultado de algún experimento). En esta lección estudiaremos
técnicas para aproximar las derivadas de una función y veremos el análisis de
error de dichas formulas.
Fórmulas para la primera derivada: La definición de la derivada de una función f(x)
en el punto "x" está dada en términos del límite:
De esta definición podemos decir que si "h" es pequeño entonces:
(Note el símbolo de aproximación). Esto nos da inmediatamente la primera fórmula
numérica para aproximar la derivada:
Antes de ver algunos ejemplos donde usamos esta fórmula, tratemos de contestar
la pregunta de ¿cuán buena es esta aproximación de la derivada? Por el Teorema
de Taylor sabemos que:
Donde esta entre x y x+h. Si despejamos ahora en esta fórmula por f'(x) y
usamos la definición de tenemos que:
Esta fórmula nos dice que aproxima a f'(x) con un error proporcional a "h", i.e., O
(h).

19. METODOS NUMERICOS
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Fórmulas para la segunda derivada: El proceso de arriba se puede usar para
obtener fórmulas para las derivadas de orden mayor de uno de una función f(x).
Usamos este proceso para obtener una fórmula para la segunda derivada. Usando
el Teorema de Taylor, podemos escribir las expansiones:
Sumando estas dos expansiones y despejando para f''(x) obtenemos:
Donde
y esta entre [x-h,x+h]. Tenemos aquí una fórmula de orden dos para f"(x).
Diferenciación usando polinomios de interpolación: Suponga que son puntos
distintos y sea pn(x) el polinomio que interpola a f(x) en estos puntos. Entonces
aproximamos f '(x) por:
Suponga que. Se puede demostrar que aunque no discutiremos en más detalles
este método para aproximar derivadas, si mencionamos que las dos fórmulas que
discutimos para aproximar f '(x) se pueden obtener usando polinomios de
interpolación de grados uno y dos respectivamente.
Formula de diferencia progresiva y regresiva
Sólo se consideran normalmente tres formas: la anterior, la posterior y la central.
Una diferencia progresiva, adelantada o posterior es una expresión de la forma
Dependiendo de la aplicación, el espaciado h se mantiene constante o se toma el
limite h → 0. Una diferencia regresiva, atrasada o anterior.

20. METODOS NUMERICOS
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Finalmente, la diferencia central es la media de las diferencias anteriores y
posteriores. Viene dada por Relación con las derivadas.
La derivación de la función f en un punto x está definida por el límite
Si h tiene un valor fijado no nulo, en lugar de aproximarse a cero, el término de la
derecha es por lo tanto, la diferencia dividida por h aproxima a la derivada
cuando h es pequeño. El error de esta aproximación puede derivarse del teorema
de Taylor. Asumiendo que f es continuamente diferenciable, el error es la misma
formula es válida en la diferencia posterior:
Sin embargo, la diferencia central lleva a una aproximación más ajustada. Su error
es proporcional al cuadrado del espaciado (si f es dos veces continuamente
diferenciable).
Cálculo de diferencias finitas la diferencia anterior puede considerarse
un operador diferencial que hace corresponder la función f con Δf. El Teorema de
Taylor puede expresarse por la fórmula donde D denota el operador derivada, que
hace corresponder f con su derivada. Formalmente, invirtiendo la exponencial.
Esta fórmula sigue siendo válida en el sentido de que ambos operadores dan el
mismo resultado cuando se aplican a un polinomio. Incluso para funciones
analíticas, las series de la derecha no convergen con seguridad, sino que puede
tratarse de una serie asintótica. Sin embargo, pueden emplearse para obtener
aproximaciones más precisas de la derivada. Por ejemplo, Los dos primeros
términos de la serie llevan a:
El error de la aproximación es del orden de h2.
Las fórmulas análogas para los operadores posterior y central son
Derivadas de órdenes mayores De forma análoga se pueden obtener
aproximaciones en diferencias finitas para derivadas de orden mayor y operadores
diferenciales. Por ejemplo usando la fórmula de la diferencia central mostrada
anteriormente con un espaciado de h / 2 para y y aplicando la fórmula de
diferencia central a la derivada de en x, obtenemos la aproximación de la
diferencia central de la segunda derivada de f:

21. METODOS NUMERICOS
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Métodos de diferencias finitas
Otro aspecto importante es que las diferencias finitas aproximan cocientes
diferenciales a medida que h se acerca a cero. Así que se pueden usar diferencias
finitas para aproximar derivadas. Esta técnica se emplea a menudo en análisis
numérico, especialmente en ecuaciones diferenciales numéricas
ordinarias, ecuaciones en diferencias y ecuación en derivadas parciales. Los
métodos resultantes reciben el nombre de métodos de diferencias finitas.
Las aplicaciones habituales de los métodos de diferencias finitas son en los
campos de la computación y áreas de la ingeniería como ingeniería térmica o
mecánica de fluidos.
FORMULA DE TRES PUNTOS
Existen diferentes tratamientos temáticos simples para el cálculo de derivadas,
entre ellas existen las que se diferencian por el número de puntos necesarios para
el cálculo.
Sea una función f definida en el intervalo (a, b) y un punto arbitrario X0 en (a, b):
Se utiliza un punto h lo suficientemente pequeño para aproximar f(X0) y donde el
error ‫0ﻍ‬ se encuentra entre X0 y X0 + 2h.

22. METODOS NUMERICOS
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23. METODOS NUMERICOS
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FORMULA DE CINCO PUNTOS
En condiciones análogas al anterior caso se define una aproximación con cinco
puntos:

24. METODOS NUMERICOS
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25. METODOS NUMERICOS
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BIBLIOGRAFIA
Métodos Numéricos para la Física y la ingeniería – Vázquez Luis
Mc. Graw Hill de MA 2009.
Métodos Numéricos para la ingeniería – Chapra Steven
Mc. Graw Hill de MA 2007.
Métodos Numéricos aplicados a la ingeniería industrial – Akai Terence
Editorial LIMUSA 2008.