Clases de Cálculo para Ingeniería

1. Introducción al Cálculo. Unidad 4: La Derivada Prof. Hugo Payahuala Vera
1
Unidad 4. La Derivada
Comentario inicial
El cálculo se desarrolló de acuerdo a los problemas que estaban trabajando los matemáticos
europeos en el siglo XVII, estos problemas básicamente eran cuatro:
1. La recta tangente
2. Velocidad y aceleración
3. Máximos y mínimos
4. Áreas
Para resolver estos problemas no eran suficientes los conocimientos matemáticos de la época, sin
embargo cada uno de ellos involucra el concepto de límite, de aquí nace el “Cálculo Diferencial e Integral”
En el cálculo diferencial, encontramos el concepto de derivada, la derivación y sus aplicaciones, que
permiten entre otras, resolver los tres primeros problemas, que son algunos de los objetivos de este curso.
Luego, en cursos posteriores se estudia el cálculo integral, el cual permite resolver entre otros el problema 4.
La derivada y el problema de la tangente
El primer problema que se presenta es ¿cómo definir una recta tangente a una curva en un punto?
Para el caso de una circunferencia, podemos decir que una recta tangente en un punto P , es aquella
que pasa por dicho punto y es perpendicular al radio con extremo en P . Se puede observar en este caso, que
dicha recta tangente corta a la circunferencia en un único punto.
Sin embargo, en una curva más general el problema se complica y por lo tanto, se requiere de una
definición más precisa.
El problema de encontrar la recta tangente a una curva en un punto P , se reduce a encontrar la
pendiente de dicha tangente en ese punto.
La forma de lograr lo anterior es a través de la pendiente de una recta secante a la curva que pasa por
el punto P y por otro punto arbitrario de la curva y “cercano” a P , como se muestra en la figura.
Así, si ))(,( 00 xfxP es el punto de tangencia y ))(,( 00 hxfhxQ ++ es el otro punto de la gráfica de
f , entonces la pendiente de la secante PQ a la curva es:
h
xfhxf
ms
)()( 00 −+
=
La expresión
h
xfhxf )()( 00 −+
se llama cuociente incremental o de diferencias.
El denominador h , que también se anota como x∆ es el cambio (o incremento) en x y el numerador,
que se denota por )()( 00 xfhxfy −+=∆ es el cambio (o incremento) en y (o en la función f ).

2. Introducción al Cálculo. Unidad 4: La Derivada Prof. Hugo Payahuala Vera
2
Se puede observar, que cuanto más cerca está el punto ))(,( 00 hxfhxQ ++ del punto de tangencia
))(,( 00 xfxP , entonces la secante PQ está cada vez más cerca de la tangente a la curva en el punto P . Por lo
tanto, la pendiente de la secante PQ , está muy próxima a la pendiente de la recta tangente a la curva en el
punto P , como se muestra en la figura.
Definición (Recta tangente con pendiente dada m )
Sea f una función definida en un intervalo abierto que contiene a 0x , tal que existe el límite
h
xfhxf
m
h
)()(
lim 00
0
−+
=
→
entonces, la recta que pasa por ))(,( 00 xfx y tienen pendiente m es la recta tangente a la gráfica de f en el
punto ))(,( 00 xfxP .
Observación
La pendiente de la recta tangente a la gráfica de f en el punto ))(,( 00 xfxP , se llama también
pendiente de la gráfica de f en 0xx = .
Ejemplo
Hallar la pendiente a la gráfica de 32)( −= xxf en el punto )1,2(P
Solución
En este caso 20 =x . La pendiente m de la gráfica de f , es la pendiente de la recta tangente a la
gráfica de f en el punto )1,2(P , para ello aplicamos la definición.
[ ] [ ] 2
)322(3)2(2
lim
)2()2(
lim
)()(
lim
00
00
0
=
−⋅−−+
=
−+
=
−+
=
→→→ h
h
h
fhf
h
xfhxf
m
hhh
Por lo tanto, la pendiente m de la recta tangente a la gráfica de f en el punto )1,2(P es 2, como se muestra
en la figura.

3. Introducción al Cálculo. Unidad 4: La Derivada Prof. Hugo Payahuala Vera
3
Ejemplo
Calcular las pendientes de las rectas tangentes a la gráfica de 1)( 2
+= xxf en los puntos )1,0(1P y
)2,1(2 −P , como se muestra en la figura.
Solución
Primero calcularemos la pendiente de la recta tangente a la gráfica de f en cualquier punto
))(,( xfxP .
[ ] [ ] x
h
xhx
h
xfhxf
h
xfhxf
m
hhh
2
)1(1)(
lim
)()(
lim
)()(
lim
22
000
=
+−++
=
−+
=
−+
=
→→→
Por lo tanto, la pendiente en el punto )1,0(1P es 0021 =⋅=m y la pendiente en el punto )2,1(2 −P es
2)1(22 −=−⋅=m .
Observación
La definición anterior de recta tangente no incluye el caso de una recta tangente vertical. En este caso
se debe usar la siguiente definición:
Definición (Recta tangente vertical)
Sea f una función continua en 0x , tal que
+∞=
−+
→ h
xfhxf
h
)()(
lim 00
0
o −∞=
−+
→ h
xfhxf
h
)()(
lim 00
0
entonces, la recta vertical 0xx = que pasa por ))(,( 00 xfx es una recta tangente vertical a la gráfica de f
en el punto ))(,( 00 xfxP . En la figura, se muestra una función con tangente vertical.
Ahora estamos en condiciones de definir uno de los conceptos más importantes del cálculo: la derivada
Definición (Derivada de una función)
Sea f una función y fDomx ∈0 , la derivada de f en 0x está dada y denotada por
h
xfhxf
xf
h
)()(
lim)(' 00
0
0
−+
=
→
, siempre que este límite exista.

4. Introducción al Cálculo. Unidad 4: La Derivada Prof. Hugo Payahuala Vera
4
Observación
La definición anterior de derivada, define una nueva función 'f , es decir, si f es una función de x
entonces 'f también es una función de x .
Observación (Interpretación geométrica de la derivada)
La función 'f da la pendiente de la recta tangente a la gráfica de f , en cualquier punto ))(,( xfxP ,
siempre que la gráfica de f tenga una recta tangente en dicho punto.
Definición (Derivación)
La derivación es el proceso de calcular la derivada de una función.
Definición (Función derivable)
Diremos que una función f es derivable en 0x , si existe la derivada en 0x .
Observación
Diremos que una función f es derivable en un intervalo abierto ] [ba, , si es derivable en todos y cada
uno de los puntos de dicho intervalo.
Observación
Si )(xfy = la derivada )(' xf , que se lee “f prima de x”, también se puede denotar como:
)(' xf ,
dx
dy
, 'y , [ ])(xf
dx
d
, )(yDx
Ejemplo
Calcular la derivada de xxxf 2)( 3
+=
Solución
Por la definición de derivada, tenemos
h
xfhxf
xf
h
)()(
lim)('
0
−+
=
→
[ ]
h
xxhxhx
h
)2()(2)(
lim
33
0
+−+++
=
→
h
xxhxhxhhxx
h
22233
lim
33223
0
−−+++++
=
→
h
hhxhhx
h
233
lim
322
0
+++
=
→
h
hxhxh
h
)233(
lim
22
0
+++
=
→
23)233(lim 222
0
+=+++=
→
xhxhx
h
Ejemplo
Hallar )(' xf , donde xxf =)( . Luego, calcular la pendiente de la recta tangente a la gráfica de f
en los puntos )1,1(1P y )2,4(2P . Además, analizar el comportamiento de la función f en el punto )0,0(O .
Solución
Por definición se tiene que,
h
xfhxf
xf
h
)()(
lim)('
0
−+
=
→

5. Introducción al Cálculo. Unidad 4: La Derivada Prof. Hugo Payahuala Vera
5
h
xhx
h
−+
=
→0
lim
xhx
xhx
h
xhx
h ++
++
⋅
−+
=
→0
lim
( )xhxh
xhx
h
++
−+
=
→
)(
lim
0
( )xhxh
h
h
++
=
→0
lim
xxhxh
2
11
lim
0
=
++
=
→
Nótese que 0>x .
Ahora, la pendiente de la recta tangente a la gráfica de f en el punto )1,1(1P , es
2
1
12
1
)1(' ==f y
la pendiente de la recta tangente a la gráfica de f en el punto )2,4(2P , es
4
1
42
1
)4(' ==f .
La pendiente de la recta tangente a la gráfica de f en el punto )0,0(O , NO existe (no está definida) y
por lo tanto, la recta 0=x (el eje y ) es una tangente vertical en )0,0(O , en la figura se muestra la función y
las rectas tangentes.
Ejemplo
Hallar la derivada de la función
t
y
2
= respecto de la variable t
Solución
Se hace )(tfy = y por la definición de derivada se tiene
h
tfhtf
tf
dt
dy
h
)()(
lim)('
0
−+
==
→
h
tht
h
22
lim
0
−
+=
→
h
tht
h
22
lim
0
−
+=
→
200
2
)(
2
lim
)(
222
lim
thtththt
htt
hh
−=
+
−
=
+
−−
=
→→

6. Introducción al Cálculo. Unidad 4: La Derivada Prof. Hugo Payahuala Vera
6
Definición (forma alternativa de la derivada)
Sea f una función y fDomx ∈0 , la derivada de f en 0x esta dada por
0
0
0
)()(
lim)('
0 xx
xfxf
xf
xx −
−
=
→
, siempre que este límite exista
Observación
En la definición anterior, para que la derivada exista, o sea, para que
0
0 )()(
lim
0 xx
xfxf
xx −
−
→
exista, deben
existir los límites laterales y deben ser iguales, o sea,
0
0 )()(
lim
0 xx
xfxf
xx −
−
−
→
=
0
0 )()(
lim
0 xx
xfxf
xx −
−
+
→
Definición (Derivadas laterales)
Los límites laterales de la observación anterior se llaman derivada por la izquiera y derivada por la
derecha, respectivamente.
Observación
Diremos que una función f es derivable en un intervalo cerrado [ ]ba, , si es derivable en el intervalo
abierto ] [ba, y si además, existen la derivada por la derecha en a y la derivada por la izquierda en b .
Observación
Si una función f no es continua en 0x , no puede ser derivable en 0x
Ejemplo
La función parte entera o mayor entero [ ]xxf =)( no es continua en 00 =x , en la figura se muestra
la función. Mostrar que, no es derivable en 00 =x .
Solución
Calculemos las derivadas por la derecha y la izquierda.
Derivada por la izquierda en )0(0 =x =
[ ] [ ] ∞=
−−
=
−
=
−
−
−−−
→→→ xx
x
x
fxf
xxx
01
lim
0
lim
0
)0()(
lim
000
Derivada por la derecha en )0(0 =x =
[ ] [ ] 00lim
00
lim
0
lim
0
)0()(
lim
0000
==
−
=
−
=
−
−
+−++
→→→→ xxxx xx
x
x
fxf
Por lo tanto, como las derivadas laterales no son iguales, se tiene que la función no es derivable en 00 =x .
Observación
Si una función es continua en 0x , no necesariamente es derivable en 0x .
Ejemplo
La función 2)( −= xxf cuya gráfica se muestra en la figura, es continua en 20 =x . Mostrar que no
es derivable en 20 =x .

7. Introducción al Cálculo. Unidad 4: La Derivada Prof. Hugo Payahuala Vera
7
Solución
Calculemos las derivadas por la derecha y la izquierda.
Derivada por la izquierda en )2(0 =x = 1
2
)2(
lim
2
02
lim
2
)2()(
lim
222
−=
−
−−
=
−
−−
=
−
−
−−−
→→→ x
x
x
x
x
fxf
xxx
Derivada por la derecha en )2(0 =x = 1
2
2
lim
2
02
lim
2
)2()(
lim
222
=
−
−
=
−
−−
=
−
−
+++
→→→ x
x
x
x
x
fxf
xxx
Ambas existen, pero no son iguales, por lo tanto, la función no es derivable en 20 =x .
Ejemplo
La función 3
1
)( xxf = es continua en 00 =x , en la figura se muestra la gráfica. Hallar la recta tangente
en 00 =x .
Solución
Se tiene que
∞==
−
=
−
−
=
→→→ 3
2
1
lim
0
lim
0
)0()(
lim)0('
0
3
1
00
x
x
x
x
fxf
f
xxx
O sea, la función no es derivable en 00 =x , pero tiene una recta tangente vertical en 00 =x .
Teorema 1 (Función derivable implica función continua)
Si f es una función derivable en 0x , entonces f es continua en 0x
Demostración
Basta probar que )()(lim 0
0
xfxf
xx
=
→
.
En efecto
Calculemos
[ ] 





−⋅
−
−
=−
→→
)(
)()(
lim)()(lim 0
0
0
0
00
xx
xx
xfxf
xfxf
xxxx
)(lim
)()(
lim 0
0
0
00
xx
xx
xfxf
xxxx
−⋅
−
−
=
→→
00)(' 0 =⋅= xf

8. Introducción al Cálculo. Unidad 4: La Derivada Prof. Hugo Payahuala Vera
8
Por lo tanto,
[ ] 0)()(lim)()(lim 00
00
=−=−
→→
xfxfxfxf
xxxx
Así,
)()(lim 0
0
xfxf
xx
=
→
Luego,
f es continua en 0x .
Reglas básicas de derivación
Las reglas de derivación permiten calcular derivadas de funciones, sin tener que recurrir a la definición
de derivada, mediante el límite.
1. Derivada de una función constante
La derivada de una función constante es 0 , es decir
[ ] 0=c
dx
d
Ejemplo
[ ] 03 =
dx
d
y [ ] 02
=r
dx
d
π
2. Derivada de una potencia
Si n es un número racional, entonces la función
n
xxf =)( es derivable y su derivada es
1
)( −
= nn
xnx
dx
d
Ejemplo
( ) 3
2
3
2
1
3
1
3
1
3
3
1
3
1
3
1
x
xxx
dx
d
x
dx
d
===



=
−−
Observación
De la regla de las potencias, se tiene que
1)( =x
dx
d
Ejemplo
Hallar la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función
2
)( xxf = , cuando 2−=x
Solución
Primero determinamos el punto sobre la gráfica de f , cuya abscisa es 2−=x
En efecto,
4)2()2( 2
=−=−f
Por lo tanto, debemos hallar la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función en el punto )4,2(−P ,
cuya pendiente es la derivada de la función, evaluada en 2−=x .
Así,
4)2('2)(' −=−⇒= fxxf
Por lo tanto, la ecuación de la recta tangente es
)2(44 +−=− xy

9. Introducción al Cálculo. Unidad 4: La Derivada Prof. Hugo Payahuala Vera
9
Es decir, la ecuación de la recta tangente al gráfico de la función en el punto )4,2(−P es 44 −−= xy , como
se muestra en la figura.
3. Derivada de una constante por una función
Si f es una función derivable y c es un número real, entonces cf también es derivable y
[ ] [ ] )(')()( xcfxf
dx
d
cxcf
dx
d
==
Ejemplos
1. Si
5
12
3
5
4
)(
5
4
5
4
)('
5
4
)(
2
23
33
t
tt
dt
dt
dt
d
tf
t
tf =⋅==





=⇒=
2. Si
x
xx
dx
d
x
dx
d
dx
dy
xy
1
2
1
2222 2
1
2
1
2
1
=







=



=



=⇒=
−
4. Derivada de la suma o diferencia de dos funciones
Si f y g son dos funciones derivables, entonces gf + y gf − son derivables y
[ ] [ ] [ ] )(')(')()()()( xgxfxg
dx
d
xf
dx
d
xgxf
dx
d
+=+=+
y
[ ] [ ] [ ] )(')(')()()()( xgxfxg
dx
d
xf
dx
d
xgxf
dx
d
−=−=−
Ejemplo
Si [ ] )2()3(
2
)(23
2
)( 3
4
3
4
x
dx
d
x
dx
dx
dx
d
xf
dx
d
xx
x
xf −+





−=⇒−+−=
292 23
−+−= xx
5. Derivadas de las funciones seno y coseno
Las funciones seno y coseno son derivables, y
xx
dx
d
cos)(sin = y xx
dx
d
sin)(cos −=

10. Introducción al Cálculo. Unidad 4: La Derivada Prof. Hugo Payahuala Vera
10
Ejemplo
1. Si
3
cos
cos
3
1
)(sin
3
1
3
sin
3
sin x
xx
dx
dx
dx
d
dx
dyx
y ===





=⇒=
2. Si xx
dx
d
x
dx
d
xx
dx
d
dx
dy
xxy sin1)(cos)()cos(cos −=+=+=⇒+=
Ritmos o velocidades de cambio
Además, de poder determinar la pendiente de una recta tangente al gráfico de una función, la derivada
permite determinar el ritmo de cambio de una variable respecto de otra, por ejemplo, se pueden determinar los
ritmos de crecimiento de poblaciones, de producción, del flujo de un líquido, de la velocidad y de la aceleración,
entre otras.
Un uso frecuente de los ritmos de cambio es cuando se describe el movimiento de un objeto que se
desplaza en línea recta, si lo hace hacia la derecha se considera una dirección positiva, si lo hace hacia la
izquierda se considera una dirección negativa, si lo hace hacia arriba se considera como dirección positiva y si es
hacia abajo se considera dirección negativa.
Definición (Función posición)
Si la función s representa la posición del objeto (respecto del origen) como función del tiempo, a esta
función se le llama función de posición o simplemente función posición.
Definición (Velocidad Media)
Si )(tss = es la función posición de un objeto que se desplaza en una línea recta y si en un cierto lapso
de tiempo t∆ cambia su posición en una cantidad )()( tsttss −∆+=∆ , entonces la velocidad media es
t
tstts
t
s
vm
∆
−∆+
=
∆
∆
==
)()(
tiempoelencambio
distancialaencambio
Ejemplo (Velocidad media de un objeto en caída libre)
Se deja caer una bola de billar desde una altura de 100 pies, su altura s en el instante t está dada por
la función posición 10016 2
+−= ts , donde s se mide en pies y t en segundos. Hallar la velocidad media para
cada uno de los siguientes intervalos de tiempo: a) [ ]2,1 b) [ ]5.1,1 c) [ ]1.1,1
Solución
a) Debemos calcular
t
tstts
t
s
vm
∆
−∆+
=
∆
∆
==
)()(
tiempoelencambio
distancialaencambio
, donde 1=t y 2=∆+ tt .
Por lo tanto,
1122 =−=−=∆ tt
84100116)1( 2
=+⋅−=s , o sea, en el primer segundo está a una altura de 84 pies y
36100216)2( 2
=+⋅−=s , o sea, después de dos segundos está a una altura de 36pies.
Así, la velocidad media es
48
1
8436)()(
−=
−
=
∆
−∆+
=
∆
∆
=
t
tstts
t
s
vm pies por segundo
b) Debemos calcular
t
tstts
t
s
vm
∆
−∆+
=
∆
∆
==
)()(
tiempoelencambio
distancialaencambio
, donde 1=t y 5,1=∆+ tt .
Por lo tanto,
5,015,15,1 =−=−=∆ tt

11. Introducción al Cálculo. Unidad 4: La Derivada Prof. Hugo Payahuala Vera
11
84100116)1( 2
=+⋅−=s , o sea, en el primer segundo está a una altura de 84 pies y
64100)5,1(16)5,1( 2
=+⋅−=s , o sea, después de 5,1 segundos está a una altura de 64 pies.
Así, la velocidad media es
40
5,0
8464)()(
−=
−
=
∆
−∆+
=
∆
∆
=
t
tstts
t
s
vm pies por segundo
c) Debemos calcular
t
tstts
t
s
vm
∆
−∆+
=
∆
∆
==
)()(
tiempoelencambio
distancialaencambio
, donde 1=t y 1,1=∆+ tt .
Por lo tanto,
1,011,11,1 =−=−=∆ tt
84100116)1( 2
=+⋅−=s , o sea, en el primer segundo está a una altura de 84 pies y
64,80100)1,1(16)5,1( 2
=+⋅−=s , o sea, después de 1,1 segundos está a una altura de 64,80
pies.
Así, la velocidad media es
6,33
1,0
8464,80)()(
−=
−
=
∆
−∆+
=
∆
∆
=
t
tstts
t
s
vm pies por segundo
Definición (Velocidad instantánea)
Si )(tss = es la función posición de un objeto que se desplaza en una línea recta, entonces su velocidad
en el instante 0tt = es
)('
)()(
lim)( 0
00
0
0 ts
t
tstts
tv
t
=
∆
−∆+
=
→∆
Observación
La función velocidad es la derivada de la función posición y puede ser positiva, negativa o cero.
Definición (Rapidez)
La rapidez de un objeto es el valor absoluto de su velocidad, o sea,
)()( 00 tvtr =
Observación
La función posición de un objeto en caída libre (despreciando la resistencia del aire) bajo la influencia de
la gravedad está dada por
00
2
2
1
)( stvtgts ++=
donde 0s es la altura inicial del objeto, 0v es la velocidad inicial y 





−= 2
8,9
seg
mts
g es la aceleración de
gravedad.
Ejemplo (Cálculo de la velocidad)
En el instante 0=t un saltador se lanza de un trampolín que está a 32 pies sobre el nivel del agua de
una piscina, como se muestra en la figura.

12. Introducción al Cálculo. Unidad 4: La Derivada Prof. Hugo Payahuala Vera
12
La posición del saltador durante la trayectoria está dada por la función posición
321616)( 2
++−= ttts , donde s se mide en pies y t en segundos.
a) Calcular el tiempo que demora el saltador en tocar el agua
b) Calcular la velocidad que adquiere el saltador en el instante que toca el agua.
Solución
a) En el momento que el saltador toca el agua, su altura es 0)( =ts y resolviendo esta ecuación se obtiene
103216160)( 2
−=⇒=++−⇔= tttts o 2=t
Se descarta la solución 1−=t , ya que 0≥t .
Por lo tanto, el saltador toca el agua después de 2=t segundos de haberse lanzado.
b) La velocidad en el instante en que toca el agua, es la derivada de la función posición, evaluada en 2=t
Se tiene que, 1632)(' +−= tts
Por lo tanto,
4816232)2(')2( −=+⋅−== sv pies por segundos.
6. Derivada de un producto de funciones
Si f y g son dos funciones derivables, entonces el producto gf ⋅ también es derivable y su derivada
es
[ ] [ ] [ ] )(')()(')()()()()()()( xfxgxgxfxf
dx
d
xgxg
dx
d
xfxgxf
dx
d
⋅+⋅=⋅+⋅=⋅
Observación (Derivada de un producto finito de factores)
La regla 6., se puede extender a un producto finito de funciones, para ello basta agrupar en dos los
factores del producto y aplicar la regla 6, las veces que sea necesario.
Ejemplo
Si xxxy sin2cos2 −= . Hallar
dx
dy
Solución
)sin2cos2( xxx
dx
d
dx
dy
−=
)sin2()cos2( x
dx
d
xx
dx
d
−=
)(sin2)2()(cos)(cos)2( x
dx
d
x
dx
d
xx
dx
d
x −





+=
[ ] xxxxxx sin2cos2)2)((cos)sin)(2( −=−+−=

13. Introducción al Cálculo. Unidad 4: La Derivada Prof. Hugo Payahuala Vera
13
7. Derivada de un cuociente de funciones
Si f y g son dos funciones derivables, entonces el cuociente
g
f
también es derivable 0)( ≠∋∀ xgx
y su derivada es
[ ] [ ]
[ ] [ ]22
)(
)(')()(')(
)(
)()()()(
)(
)(
xg
xgxfxfxg
xg
xg
dx
d
xfxf
dx
d
xg
xg
xf
dx
d ⋅−⋅
=
⋅−⋅
=





Ejemplo
Hallar la ecuación de la recta tangente a la gráfica de
5
1
3
)(
+
−
=
x
xxf en el punto )1,1(−P
Solución
La pendiente de la recta tangente en el punto )1,1(−P es )1(' −f .
Calculemos la derivada de f .






+
−
=





+
−
=












+
−
=












+
−
=
xx
x
dx
d
xx
x
dx
d
x
x
x
dx
d
x
x
dx
d
xf
5
13
)5(
13
5
13
5
1
3
)(' 2












+
+−−−+
= 22
22
)5(
)5()13()13()5(
xx
xx
dx
d
xx
dx
d
xx






+
+−−+
= 22
2
)5(
)52)(13()3)(5(
xx
xxxx
22
2
)5(
523
xx
xx
+
++−
=
Por lo tanto,
( )
0
)1(5)1(
5)1(2)1(3
)1(' 22
2
=
−+−
+−+−−
=−f
Así, la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función en el punto )1,1(−P , es
1)1(01 =⇒+=− yxy
O sea, la ecuación de la recta es 1=y que es una recta paralela al eje y , como se muestra en la figura.

14. Introducción al Cálculo. Unidad 4: La Derivada Prof. Hugo Payahuala Vera
14
8. Derivada de las funciones trigonométricas
Las funciones trigonométricas son derivables en sus dominios y sus derivadas son
xx
dx
d 2
sec)(tan = xx
dx
d 2
csc)(cot −=
xxx
dx
d
tansec)(sec = xxx
dx
d
cotcsc)(csc −=
donde =csc cosecante
Ejemplo
Se puede probar la identidad trigonométrica xx
x
x
cotcsc
sin
cos1
−=
−
. Calcular las derivadas de ambas
expresiones y verificar que ambas derivadas son idénticas.
Solución
Calculemos
x
x
dx
d
xx
dx
d
x
x
x
dx
d
2
sin
)(sin)cos1()cos1()(sin
sin
cos1
−−−
=




 −
x
xxxx
2
sin
))(coscos1())(sin(sin −−
=
x
x
2
sin
cos.1−
=
Ahora, calculemos
( ) )(cot)(csccotcsc x
dx
d
x
dx
d
xx
dx
d
−=−
xxx 2
csccotcsc +−=
Verifiquemos que las derivadas anteriores son idénticas
x
x
xx
x
xx
x
x
xxx 2222
2
sin
cos1
sin
1
sin
cos
sin
1
sin
cos
sin
1
csccotcsc
−
=+
−
=+⋅−=+−
Observación
Una vez que se aplican las reglas para calcular derivadas, se sugiere simplificar las expresiones
resultantes, de modo que no aparezcan términos semejantes ni exponentes negativos.
Derivadas de orden superior
Observación
Si )(xfy = es una función derivable, sabemos que
[ ])()('' xf
dx
d
dx
dy
xfy === , esto es la primera derivada
Las derivadas de orden superior, mediante un proceso iterativo son:
[ ])()('''')( 2
2
2
2
''
xf
dx
d
dx
yd
dx
dy
dx
d
xfyy ==





=== , esta es la segunda derivada

15. Introducción al Cálculo. Unidad 4: La Derivada Prof. Hugo Payahuala Vera
15
[ ])()('''''')( 3
3
3
3
2
2
'''
xf
dx
d
dx
yd
dx
yd
dx
d
xfyy ==





=== , esta es la tercera derivada
[ ])()()( 4
4
4
4
3
3
)4()4(''''
xf
dx
d
dx
yd
dx
yd
dx
d
xfyy ==





=== , esta es la cuarta derivada
y así sucesivamente,
[ ])()()( 1
1
)()(')1(
xf
dx
d
dx
yd
dx
yd
dx
d
xfyy n
n
n
n
n
n
nnn
==





=== −
−
−
, esta es la n -ésima derivada o derivada
de orden n .
Observación
Sabemos que si )(tss = es la función posición de un objeto que se mueve en línea recta, entonces la
velocidad en el instante t , es )(')( tstv = .
De la misma forma la función aceleración )(ta en el instante t está dada por la derivada de la función
velocidad, o bien, por la segunda derivada de la función posición, así,
)('')(')( tstvta ==
Ejemplo (Aceleración de gravedad)
El astronauta David Scott el año 1971, verificó que una pluma de ave y un martillo caen con la misma
velocidad en la superficie de la Luna, ya que ésta, al no tener atmósfera los objetos al caer no encuentran
resistencia del aire.
La función de posición para cada uno de estos objetos es
281,0)( 2
+−= tts
donde )(ts es la altura en metros y t es el tiempo en segundos. Hallar la razón entre la fuerza de gravedad de
la Tierra respecto a la de la Luna.
Solución
Para hallar la función aceleración en la Luna, debemos calcular la segunda derivada de la posición.
Así,
62,1)()(')(''62,1)()('281,0)( 2
−===⇒−==⇒+−= tatvtsttvtstts
Esto quiere decir que la aceleración de gravedad en la Luna es de 





− 2
62,1
seg
mts
y como la aceleración de
gravedad en la Tierra es de 





− 2
8,9
seg
mts
, entonces
049,6
62,1
8,9
≈
−
−
=
LunalaengravedaddeFuerza
TierralaengravedaddeFuerza

16. Introducción al Cálculo. Unidad 4: La Derivada Prof. Hugo Payahuala Vera
16
Regla de la Cadena
La regla de la cadena, permite calcular la derivada de funciones compuestas.
Teorema 2 (Regla de la Cadena)
Si )(ufy = es una función derivable de u y además )(xgu = es una función derivable de x ,
entonces ( ) ))(()( xgfxgfy o== es una función derivable de x y su derivada es
dx
du
du
dy
dx
dy
⋅=
o equivalentemente,
( )[ ] ( ) )(')(')( xgxgfxgf
dx
d
⋅=
Ejemplo
Calcular
dx
dy
, donde
32
)1( += xy
Solución
En este caso, x
dx
du
xu 212
=⇒+= ,
Por otro lado,
2223
)1(33 +==⇒= xu
du
dy
uy
Luego, por la Regla de la Cadena
)1(6)2()1(3 222
+=⋅+=⋅= xxxx
dx
du
du
dy
dx
dy
Usando la notación ( )[ ] ( ) )(')(')( xgxgfxgf
dx
d
⋅= , tenemos que
( ) 32
)1()( += xxgf , de donde
3
)( uuf = y 1)( 2
+= xxg
Luego,
2
3)(' uuf = y xxg 2)(' =
Así,
( )[ ] ( ) ( ) )1(6)2()1(3)2()(3)(')(')( 2222
+=⋅+=⋅=⋅= xxxxxxgxgxgfxgf
dx
d
Teorema 3 (Regla general de las potencias)
Sea [ ]n
xuy )(= , donde u es una función derivable de x y n es un número racional, entonces
[ ]
dx
du
xun
dx
dy n
⋅=
−1
)(
o equivalentemente,
'1
)( uunu
dx
d nn
⋅⋅= −
Ejemplo
Hallar la derivada de la función
42
)32()( xxxf −=
Solución
Sea
2
32 xxu −= , entonces
4
)( uxf =
Por el Teorema 3,
[ ] )62()32(4)62()32(4')()(' 321421
xxxxxxuxunxf
n
−−=−⋅−=⋅= −−

17. Introducción al Cálculo. Unidad 4: La Derivada Prof. Hugo Payahuala Vera
17
Ejemplo
Hallar los puntos de la gráfica de la función 3 22
)1()( −= xxf en los que 0)(' =xf y los puntos en
que )(' xf NO existe.
Solución
Primero calculemos )(' xf
En efecto
[ ] )1()1(
3
2
)1()1()(' 2
1
3
2
23
2
23 22
−⋅−=



 −=−=
−
x
dx
d
xx
dx
d
x
dx
d
xf
)2()1(
3
2 3
1
2
xx ⋅−=
−
3 2
13
4
−
=
x
x
Se tiene que
0040
13
4
0)('
3 2
=⇔=⇔=
−
⇔= xx
x
x
xf
Además,
)(' xf NO existe 101013 23 2
±=⇔=−⇔=−⇔ xxx
En la figura se muestran la gráfica de f y la de 'f .
Ejemplo
Hallar la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función xxxf 2cossin2)( += , en el punto
)1,(πP , como se muestra en la figura y luego, determinar todos los valores de x en el intervalo ] [π2,0 en los
que la gráfica de f tiene una tangente horizontal.
Solución
Primero calculemos )('
xf
En efecto.

18. Introducción al Cálculo. Unidad 4: La Derivada Prof. Hugo Payahuala Vera
18
xxx
dx
d
xxx
dx
d
x
dx
d
xf 2sin2cos2)2(2sincos2)2(cos)sin2()('
−=⋅−=+=
Por lo tanto, la pendiente de la recta tangente al gráfico de f en )1,(πP es
22sin2cos2)('
−=−= πππf
Luego, la ecuación de la recta tangente al gráfico de f en )1,(πP es
ππ 221)(21 +−=⇔−−=− xyxy
Los puntos x en el intervalo ] [π2,0 en los que la gráfica de f tiene una tangente horizontal,
corresponde a aquellos en que 0)('
=xf
Así,
02sin2cos20)('
=−⇔= xxxf
02sincos =−⇔ xx
0cossin2cos =−⇔ xxx
0)sin21(cos =−⇔ xx
0)sin21(0cos =−∨=⇔ xx
Si
2
3
,
2
0cos
ππ
=⇒= xx
Si
6
5
,
62
1
sin0sin21
ππ
=⇒=⇔=− xxx
Por lo tanto, f tiene una tangente horizontal en
6
5
,
2
,
6
πππ
=x y
2
3π
Observación
En el cálculo de derivadas, use el Formulario de las Reglas Básicas de Derivación
Derivación Implícita
La mayoría de las funciones que hemos estudiado están dadas en forma explícita, es decir, una de las
variables está (despejada) en función de la otra, por ejemplo xxxy ln313 2
++−= . Sin embargo, algunas
funciones solo se pueden dar en forma implícita, por ejemplo 352 32
=+− yyx , la que resulta muy difícil
despejar y como función explícita de x .
Cuando la función está dada en forma implícita, para encontrar la derivada de la función, se usa la
técnica de la derivación implícita, es decir, cuando se tenga que derivar términos que solo contienen x , la
derivación se hace en la forma habitual y cuando haya que derivar una expresión donde aparezca la función y ,
será necesario aplicar la regla de la cadena, ya que se supone que y está definida implícitamente como función
derivable de x .
Ejemplo
Si y es una función implícita de x , entonces
dx
dy
dx
dy
yxy
dx
d
y
dx
d
x
dx
d
yyx
dx
d
⋅+⋅−=+−=+− 562)5()2()()52( 23232
Observación
Para calcular la derivada
dx
dy
de una función y que está dada por una ecuación en forma implícita, se
sigue de la siguiente manera:

19. Introducción al Cálculo. Unidad 4: La Derivada Prof. Hugo Payahuala Vera
19
1. Se derivan ambos lados de la ecuación respecto de x
2. Se despeja del resultado anterior,
dx
dy
Ejemplo
Hallar
dx
dy
, dado 45 223
−=−−+ xyyy
Solución
1. Derivamos ambos lados de la ecuación con respecto a x
)4()5( 223
−=−−+
dx
d
xyyy
dx
d
02523 2
=−−+⇔ x
dx
dy
dx
dy
y
dx
dy
y
2. Ahora despejamos
dx
dy
( ) xyy
dx
dy
2523 2
=−+
Por lo tanto,
523
2
2
−+
=
yy
x
dx
dy
Ejemplo (pendiente de una gráfica implícita)
Calcular la pendiente de la recta tangente a la gráfica de 44 22
=+ yx en el punto 




 −
2
1
,2P , como
se muestra en la figura.
Solución
La pendiente de la recta tangente a la gráfica en el punto 




 −
2
1
,2P es 




 −
2
1
,2
dx
dy
.
Calculemos primero
dx
dy
.
En efecto,
( ) y
x
dx
dy
dx
dy
yx
dx
d
yx
dx
d
4
082)4(4 22 −
=⇔=+⇔=+
Por lo tanto, la pendiente de la recta tangente en el punto 




 −
2
1
,2P es
2
1
2
1
4
2
2
1
,2 =
−
−
=




 −
dx
dy
Ejemplo (Derivada implícita de la segunda derivada)
Dada la función implícita 2522
=+ yx . Calcular 2
2
dx
yd
Solución
Derivando ambos miembros de la ecuación respecto de x y despejando
dx
dy
, se tiene

20. Introducción al Cálculo. Unidad 4: La Derivada Prof. Hugo Payahuala Vera
20
y
x
dx
dy
−=
Para encontrar 2
2
dx
yd
debemos derivar
y
x
dx
dy
−= con respecto a x
Así,
222
2 )()(
y
dx
dy
xy
y
y
dx
d
xx
dx
d
y
dx
yd
−
−=
−
−=
Pero,
y
x
dx
dy
−=
Reemplazando en la igualdad anterior
3
22
22
2
y
yx
y
y
x
xy
dx
yd +
−=
+
−=
Pero, 2522
=+ yx y reemplazando en la última igualdad, tenemos que
32
2
25
ydx
yd
−=
Ejemplo
Hallar la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función cuya ecuación implícita es
2222
)( yyxx =+ en el punto








2
2
,
2
2
P , como se muestra en la figura.
Solución
La pendiente de la tangente a la gráfica en el punto








2
2
,
2
2
P es








2
2
,
2
2
dx
dy
Primero calculemos
dx
dy
.
En efecto,
[ ] dx
dy
yyxx
dx
dy
y
dx
d
yxx
dx
dy
2)()()( 2242222
=+⇔=+
dx
dy
yx
dx
d
yy
dx
d
xx 2)()(4 22223
=++⇔
dx
dy
yxy
dx
dy
yxx 2224 223
=++⇔
Despejando
dx
dy
y factorizando, tenemos que
)1(
)2(
2
22
xy
yxx
dx
dy
−
+
=

21. Introducción al Cálculo. Unidad 4: La Derivada Prof. Hugo Payahuala Vera
21
Por lo tanto, la pendiente de la tangente a la gráfica en el punto








2
2
,
2
2
P es
3
2
1
1
2
2
2
1
2
1
2
2
2
2
2
,
2
2
=




−






+





=







dx
dy
Luego, la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función en el punto








2
2
,
2
2
P es
23
2
2
3
2
2
−=⇔







−=− xyxy