Geometria

P T-Bachiller
Matemáticas II: Geometría y Trigonometría
Todas las Carreras I
Profesional Técnico-Bachiller
Manual Teórico Práctico del
Módulo Autocontenido Integrador:
MATEMÁTICAS II: GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA
Capacitado por:
Educación-Capacitación
Basadas en Competencias
Contextualizadas
e-cbcc

P T-Bachiller
Todas las CarrerasII
Carreras y Claves del Módulo de
Matemáticas II: Geometría y Trigonometría (I-MATE2-00)
1
01 Electricidad y electrónica
Carrera de Profesional Técnico-Bachiller en Clave
Electricidad Industrial I10112030446MATE200
Electrónica Industrial I10212030446MATE200
Mecatrónica I10312030446MATE200
Redes de Distribución Eléctrica I10412030446MATE200
Sistemas Electrónicos de Aviación I10512030446MATE200
02 Mantenimiento e Instalación
Automotriz I20112030446MATE200
Electromecánica I20212030446MATE200
Mantenimiento de Motores y Planeadores I20312030446MATE200
Motores a Diesel I20412030446MATE200
Mantenimiento de Sistemas Automáticos I20512030446MATE200
Refrigeración y Aire Acondicionado I20612030446MATE200
1 Un mismo siglema para un módulo, significa que tiene el mismo programa de estudios, la clave cambia en
otros dígitos de acuerdo a la carrera, semestre en que se imparte y posición del módulo en el plan de estudios.

P T-Bachiller
Todas las Carreras III
03 Procesos de Producción y Transformación Física
Carrera de Profesional Técnico-
Bachiller en
Clave
Construcción I30112030446MATE200
Control de Calidad I30212030446MATE200
Industria del Vestido I30312030446MATE200
Máquinas Herramienta I30412030446MATE200
Metalmecánica I30512030446MATE200
Producción de Calzado I30612030446MATE200
Productividad Industrial I30712030446MATE200
Textil I30812030446MATE200
04 Procesos de Producción y Transformación Químico Biológicos
Carrera de Profesional Técnico-Bachiller Clave
Artes Gráficas I40112030446MATE200
Control de la Contaminación Ambiental I40212030446MATE200
Curtiduría I40312030446MATE200
Metalurgia I40412030446MATE200
Minero Metalurgista I40512030446MATE200
Plásticos I40612030446MATE200
Procesamiento Industrial de Alimentos I40712030446MATE200
Producción y Transformación de Productos Acuícolas I40812030446MATE200
Químico Industrial I40912030446MATE200
05 Tecnologías de la Información
Carrera de Profesional Técnico-Bachiller
en
Clave
Informática I50112030446MATE200

P T-Bachiller
Todas las CarrerasIV
Mantenimiento de Equipo de Cómputo
y Control Digital
I50212030446MATE200
Telecomunicaciones I50312030446MATE200
06 Contaduría y Administración
Administración I60112030446MATE200
Asistente Directivo I60212030446MATE200
Contaduría I60312030446MATE200
07 Turismo
01 Alimentos y Bebidas I70112030446MATE200
02 Hospitalidad Turística I70212030446MATE200
08 Salud
01 Dental I80112030446MATE200
02 Enfermería General I80212030446MATE200
03 Optometría I80312030446MATE200
04 Salud Comunitaria I80412030446MATE200
05 Terapia Respiratoria I80512030446MATE200

P T-Bachiller
Todas las Carreras V
PARTICIPANTES
Coordinadores
Suplente del Director General Joaquín Ruiz Nando
Secretario Académico Marco Antonio Norzagaray
Director de Diseño Curricular de la
Formación Ocupacional
Gustavo Flores Fernández
Coordinadores de Área Ma. Cristina Martínez Mercado
Rubén Ramírez Arce
Jaime Gustavo Ayala Arellano
Revisor Contenidos Ana Elizabeth García Hernández
Revisor Pedagógico Patricia Toledo Márquez
Revisores de la Contextualización Agustín Valerio
Armando Guillermo Prieto Becerril
Centro de Procuración
y de Servicios, S.C.
Directora General Ma. del Carmen Padilla Longoria
Matemáticas II:
Geometría y Trigonometría
Manual Teórico-Práctico del
Programa de Estudios de las
Carreras de Técnico-Bachiller.
D.R. © 2003 CONALEP.
Prohibida la reproducción total o parcial
de esta obra, incluida la portada, por
cualquier medio sin autorización por
escrito del CONALEP. Lo contrario
representa un acto de piratería intelectual
perseguido por la ley penal.
E-CBCC
Av. Conalep n° 5, Col. Lázaro Cárdenas, C.P. 52140
Metepec, Estado de México.

P T-Bachiller
Todas las CarrerasVI
ÍNDICE
PÁG.
I Mensaje al Alumno 1
II Como utilizar este manual 2
III Imágenes de referencia 4
IV Propósito del Módulo Integrador 5
V Normas Técnicas de Competencia Laboral 6
VI Especificaciones de evaluación 7
VII Mapa curricular del Módulo 8
Capítulo 1 Solución de problemas reales utilizando la geometría 9
1.1.1 Elementos geométricos básicos 11
• Segmento rectilíneo
• Rayo
• Ángulos
• Planos
1.1.2 Mediciones de ángulos 13
• Grados
• Radianes
• Transformación de grados a radianes
1.1.3 Tipos de ángulos 16
• Ángulo recto
• Ángulo agudo
• Ángulo llano
• Rectas perpendiculares
• Ángulos suplementarios
• Ángulos complementarios
• Ángulos verticales
• Ángulos adyacentes
• Recta transversal
• Ángulos externos
• Ángulos internos
• Ángulos alternos
• Ángulos externos alternos
• Ángulos internos alternos
• Ángulos correspondientes
• Teorema de los ángulos
1.2.1 Triángulos 22
• Definición
• Clasificación propiedades de los triángulos
• Definición de igualdad de triángulos
• Mediana de un triángulo
• Centroide de un triángulo
• Fórmula de Herón de la altura de un triángulo
• Área de un triángulo

P T-Bachiller
Todas las Carreras VII
PÁG.
• Teorema de Pitágoras
1.2.2 Polígonos 27
• Cuadrilátero
• Definición y clasificación de cuadriláteros
• Áreas y perímetros de cuadriláteros
• Definición y clasificación de polígonos de más de 5 lados
• Propiedades de los ángulos en un polígono
• Ángulos exteriores
• Propiedades de los ángulos de los polígonos
• Área y perímetro de los polígonos
1.2.3 Círculos y circunferencias 33
• Definición de circunferencia
• Elementos de la circunferencia
• Ángulos
• Arcos
• Relación entre dos circunferencias
• Circunferencia y área de un círculo
1.3.1 Prismas y pirámides 37
• Definición de prisma
• Clasificación de prismas
• Áreas y volúmenes de prismas
• Definición de pirámides
• Clasificación de pirámides
• Áreas y volúmenes de pirámides
1.3.2 Esferas cilindros y conos 40
• Definición de cono
• Área y volumen del cono
• Definición de cilindro
• Área y volumen del cilindro
• Definición de la esfera
• Área y volumen del esfera
Resultados de ejercicios 43
Prácticas y Listas de Cotejo 45
Resumen 69
Capítulo 2 Solución de problemas de la vida cotidiana usando funciones
trigonométricas
70
2.1.1 Funciones definidas de un triangulo rectángulo 72
• Razón
• Definición de las funciones trigonométricas
• Funciones trigonométricas inversas
• Funciones trigonométricas de ángulos complementarios
• Signos de las funciones trigonométricas
• Círculo trigonométrico

P T-Bachiller
Todas las CarrerasVIII
PÁG.
• Resolución de triángulos rectángulos
• Gráficas de las funciones trigonométricas
2.1.2 Identidades trigonométricas 84
• Del teorema de Pitágoras
• De la suma de ángulos
• De la diferencia de ángulos
• Del doble de un ángulo
• De la mitad de un ángulo
• Del triple de un ángulo
• Suma y diferencia de seno y coseno
• Cálculo de ángulos en función de ángulos conocidos
• Procedimiento para mostrar que una ecuación es una identidad
2.2.1 Ecuaciones trigonométricas 91
• Solución de ecuaciones trigonométricas usando identidades
• Solución de ecuaciones trigonométricas usando calculadora
2.2.2 Triángulos oblicuángulos 93
• Ley de los senos
• Ley de los cosenos
• Resolución de triángulos oblicuángulos
Resultados de los ejercicios 99
Prácticas y Listas De Cotejo 101
Resumen 114
Autoevaluación de Conocimientos 115
Respuestas de Autoevaluación de Conocimientos 118
Referencias Documentales 120

P T-Bachiller
Todas las Carreras 1
I. MENSAJE AL ALUMNO
¡CONALEP TE DA LA BIENVENIDA AL
CURSO-MÓDULO AUTOCONTENIDO
INTEGRADOR MATEMÁTICAS II!
EL CONALEP, a partir de la Reforma
Académica 2003, diseña y actualiza sus
carreras, innovando sus perfiles, planes
y programas de estudio, manuales
teórico-prácticos, con los avances
educativos, científicos, tecnológicos y
humanísticos predominantes en el
mundo globalizado, acordes a las
necesidades del país para conferir una
mayor competitividad a sus egresados,
por lo que se crea la modalidad de
Educación y Capacitación Basada en
Competencias Contextualizadas, que
considera las tendencias internacionales
y nacionales de la educación
tecnológica, lo que implica un reto
permanente en la conjugación de
esfuerzos.
Este manual teórico práctico que apoya
al módulo autocontenido integrador, ha
sido diseñado bajo la Modalidad
Educativa Basada en Competencias
Contextualizadas, con el fin de ofrecerte
una alternativa efectiva para el
desarrollo de conocimientos, habilidades
y actitudes que contribuyan a elevar tu
potencial productivo y, a la vez que
satisfagan las demandas actuales del
sector laboral, te formen de manera
integral con la oportunidad de realizar
estudios a nivel superior.
Esta modalidad requiere tu participación
e involucramiento activo en ejercicios y
prácticas con simuladores, vivencias y
casos reales para promover un
aprendizaje integral y significativo, a
través de experiencias. Durante este
proceso deberás mostrar evidencias que
permitirán evaluar tu aprendizaje y el
desarrollo de competencias laborales y
complementarias requeridas.
El conocimiento y la experiencia
adquirida se verán reflejados a corto
plazo en el mejoramiento de tu
desempeño laboral y social, lo cual te
permitirá llegar tan lejos como quieras
en el ámbito profesional y laboral.

P T-Bachiller
Todas las Carreras2
II. CÓMO UTILIZAR ESTE MANUAL
Las instrucciones generales que a
continuación se te pide que cumplas,
tienen la intención de conducirte a
vincular las competencias requeridas por
el mundo de trabajo con tu formación
de profesional técnico.
• Redacta cuáles serían tus objetivos
personales al estudiar este curso-
módulo autocontenido integrador.
• Analiza el Propósito del curso-
módulo autocontenido integrador
que se indica al principio del
manual y contesta la pregunta ¿Me
queda claro hacia dónde me dirijo
y qué es lo que voy a aprender a
hacer al estudiar el contenido del
manual? Si no lo tienes claro,
pídele al docente te lo explique.
• Revisa el apartado Especificaciones
de evaluación, son parte de los
requisitos por cumplir para aprobar
el curso-módulo. En él se indican
las evidencias que debes mostrar
durante el estudio del mismo para
considerar que has alcanzado los
resultados de aprendizaje de cada
unidad.
• Es fundamental que antes de
empezar a abordar los contenidos
del manual tengas muy claros los
conceptos que a continuación se
mencionan: competencia laboral,
competencia central, competencia
básica, competencia clave, unidad
de competencia (básica, genéricas
específicas), elementos de
competencia, criterio de
desempeño, campo de aplicación,
evidencias de desempeño,
evidencias de conocimiento,
evidencias por producto, norma
técnica de institución educativa,
formación ocupacional, módulo
autocontenido integrador, módulo
autocontenido integrador, unidad
de aprendizaje, y resultado de
aprendizaje. Si desconoces el
significado de los componentes de
la norma, te recomendamos que
consultes el apartado Glosario, que
encontrarás al final del manual.
• Analiza el apartado Normas
Técnicas de Competencia Laboral,
Norma Técnica de Institución
Educativa.
• Revisa el Mapa Curricular del
curso–módulo autocontenido
integrador. Esta diseñado para
mostrarte esquemáticamente las
unidades y los resultados de
aprendizaje que te permitirán
llegar a desarrollar paulatinamente
las competencias laborales
requeridas por la ocupación para la
cual te estás formando.
• Revisa la Matriz de Competencias
del curso-módulo autocontenido
integrador. Describe las
competencias laborales, básicas y
claves que se contextualizan como
parte de la metodología que
refuerza el aprendiza lo integra y lo
hace significativo

P T-Bachiller
• Analiza la Matriz de
contextualización del curso-módulo
autocontenido integrador. Puede
ser entendida como la forma en
que, al darse el proceso de
aprendizaje, el sujeto establece una
relación activa del conocimiento y
sus habilidades sobre el objeto
desde un contexto científico,
tecnológico, social, cultural e
histórico que le permite hacer
significativo su aprendizaje, es
decir, el sujeto aprende durante la
interacción social, haciendo del
conocimiento un acto individual y
social.
• Realiza la lectura del contenido de
cada capítulo y las actividades de
aprendizaje que se te recomiendan.
Recuerda que en la educación
basada en normas de competencia
laborales la responsabilidad del
aprendizaje es tuya, pues eres
quien desarrolla y orienta sus
conocimientos y habilidades hacia
el logro de algunas competencias
en particular.
• En el desarrollo del contenido de
cada capítulo, encontrarás ayudas
visuales como las siguientes, haz lo
que ellas te sugieren. Si no lo haces
no aprendes, no desarrollas
habilidades, y te será difícil realizar
los ejercicios de evidencias de
conocimientos y los de
desempeño.

P T-Bachiller
Todas las Carreras4
III. IMÁGENES DE REFERENCIA
Estudio individual Investigación documental
Consulta con el docente Redacción de trabajo
Comparación de resultados
con otros compañeros
Repetición del ejercicio
Trabajo en equipo Sugerencias o notas
Realización del ejercicio Resumen
Observación
Consideraciones sobre
seguridad e higiene
Investigación de campo Portafolios de evidencias

P T-Bachiller
IV. PROPÓSITO DEL CURSO-MÓDULO AUTOCONTENIDO INTEGRADOR
Al finalizar el curso-módulo, el Alumno utilizará la geometría y la
trigonometría, para la solución de problemas científicos, laborales y
personales mediante procedimientos y estrategias matemáticas.

P T-Bachiller
Todas las Carreras6
V. NORMAS TÉCNICAS DE COMPETENCIA LABORAL
Para que analices la relación que
guardan las partes o componentes de la
NTCL o NIE con el contenido del
programa del curso–módulo
autocontenido de la carrera que cursas,
te recomendamos consultarla a través
de las siguientes opciones:
• Acércate con el docente para que
te permita revisar su programa de
estudio del curso-módulo
autocontenido de la carrera que
cursas, para que consultes el
apartado de la norma requerida.
• Visita la página WEB del CONOCER
en www.conocer.org.mx en caso
de que el programa de estudio del
curso - módulo ocupacional esta
diseñado con una NTCL.
• Consulta la página de Intranet del
CONALEP http://intranet/ en caso
de que el programa de estudio del
curso - módulo autocontenido está
diseñado con una NIE

P T-Bachiller
VI. ESPECIFICACIONES DE EVALUACIÓN
Durante el desarrollo de las prácticas de
ejercicio también se estará evaluando el
desempeño. El docente, mediante la
observación directa y con auxilio de una
lista de cotejo, confrontará el
cumplimiento de los requisitos en la
ejecución de las actividades y el tiempo
real en que se realizó. En éstas quedarán
registradas las evidencias de
desempeño.
Las autoevaluaciones de conocimientos
correspondientes a cada capítulo,
además de ser un medio para reafirmar
los conocimientos sobre los contenidos
tratados, son también una forma de
evaluar y recopilar evidencias de
conocimiento.
Al término del curso-módulo deberás
presentar un Portafolios de Evidencias2,
el cual estará integrado por las listas de
cotejo correspondientes a las prácticas
de ejercicio, las autoevaluaciones de
conocimientos que se encuentran al
final de cada capítulo del manual y
muestras de los trabajos realizados
durante el desarrollo del curso-módulo,
con esto se facilitará la evaluación del
aprendizaje para determinar que se ha
obtenido la competencia laboral.
Deberás asentar datos básicos, tales
como: nombre del Alumno, fecha de
evaluación, nombre y firma del
evaluador y plan de evaluación
2
El portafolios de evidencias es una compilación de documentos que le permiten al evaluador, valorar los conocimientos,
las habilidades y las destrezas con que cuenta el Alumno, y a éste le permite organizar la documentación que integra los
registros y productos de sus competencias previas y otros materiales que demuestran su dominio en una función
específica (CONALEP. Metodología para el diseño e instrumentación de la educación y capacitación basada en
competencias, Pág. 180).

P T-Bachiller
Todas las Carreras8
VII. MAPA CURRICULAR
1.1. Manejar elementos geométricos básicos de acuerdo con sus
propiedades
15 h
1.2. Manejar elementos geométricos bidimensionales de acuerdo
con sus propiedades
15 h
1.3 Manejar prismas, pirámides cilindros, conos y esferas, así como
elementos geométricos relacionados de acuerdo con sus
características y propiedades
7 h
2.1 Manejar funciones trigonométricas y sus identidades de acuerdo
con sus características y propiedades
20 h
2.2 Solucionar ecuaciones trigonométricas y triángulos oblicuángulos
usando funciones trigonométricas, identidades trigonométricas y
propiedades de los triángulos
17 h
Módulo
Unidad de
Aprendizaje
Matemáticas
II: Geometría y
Trigonometría
72h
Resultados de
Aprendizaje
2. Solución de problemas
de la vida cotidiana
usando funciones
trigonométricas
37 h
usando la geometría
37 h

P T-Bachiller
SOLUCIÓN DE PROBLEMAS REALES UTILIZANDO LA GEOMETRÍA
Este capítulo se ha elaborado con la
finalidad de manejar un lenguaje
matemático- gráfico que permita al
Alumno identificar el tipo de operación
necesaria para resolver un problema
abstracto

P T-Bachiller
Todas las Carreras10
propiedades
15 h
con sus propiedades
15 h
7 h
20 h
2.2 Solucionar ecuaciones trigonométricas y triángulos oblicuángulos
17 h
Módulo
Unidad de
Aprendizaje
Matemáticas
II: Geometría y
Trigonometría
72h
Resultados de
Aprendizaje
usando funciones
trigonométricas
37 h
37 h

P T-Bachiller
1.1.1 Elementos geométricos básicos.
• Punto
Un punto indica el cruce de varias líneas, el punto
no tiene dimensiones sólo indica posición.
En la siguiente figura, cada uno de las dos rectas
es un conjunto de puntos y su intersección
contiene exactamente un punto.
A las rectas y a los planos se les considera un
conjunto de puntos. De hecho, todas las figuras
geométricas se consideran como un conjunto de
puntos.
• Recta
La línea recta no tiene límites, es decir no se
conoce su punto inicial ni su punto final.
• Segmento rectilíneo
A la parte de una línea recta comprendida entre
dos puntos se le llama segmento rectilíneo o
simplemente segmento. Los dos puntos se llaman
extremos del segmento. La longitud del segmento
AB se representa por AB . El segmento AB esta
dirigido de A hacia B ; el punto A se llama
origen o punto inicial y al punto B se llama
extremo o punto final.
Al estar indicada la dirección por la ubicación de
cada punto en el segmento, podemos deducir que
la suma de un segmento AB a un segmento BC
es igual al segmento.
AB BC AC+ =
• Rayo o semirrecta
Si en una recta, se determina un punto O, que se
llama origen, al conjunto formado por este punto
y todos los que le siguen se le llama rayo o
semirrecta.
Si los puntos están sobre una misma recta se dice
que estos puntos son colineales, en la siguiente
figura A, B y C son colineales.

P T-Bachiller
• Planos
Tres puntos no colineales determinan un y sólo un
plano. Su extensión es ilimitada
La intersección entre dos planos es una recta.
En la siguiente figura los puntos E, F y G
determinan un plano
• Rectas paralelas
A dos rectas que están en un mismo plano y no se
intersecan, se les llama rectas paralelas.
En la siguiente figura se muestran a las rectas
paralelas AB y MN, este hecho se expresa como:
• Ángulos
Un ángulo está formado por dos semirrectas que
tienen el mismo origen. Este origen común se
llama vértice del ángulo y las dos semirrectas se
llaman lados.

P T-Bachiller
Este ángulo tiene varios nombres posibles:
θ∠ , AOD∠ , DOA∠ , donde el símbolo ∠
significa ángulo.
Estudio individual
Competencia lógica.
Identificar las figuras de los
elementos geométricos básicos con su
representación.
El Alumno:
1. Realizará un plano donde esquematice el
trayecto de su casa a la escuela.
2. Identificará los elementos geométricos
que intervienen.
3. Los representará en el esquema.
Estudio individual
Identificar las figuras de los
elementos geométricos básicos con su
representación.
El Alumno:
1. Analizará la figura tridimensional de un
refresco tetrapack.
2. Marcará puntos sobre sus caras,
3. Realizará un dibujo de la figura
tridimensional donde indique las líneas y
planos que se forman.
1.1.2 Mediciones de ángulos
Los ángulos se miden usando diferentes sistemas.
Las dos unidades más comunes son el grado y el
radián.
• Grados
Una forma de pensar en un ángulo es concebirlo
como generado mediante el movimiento de una
semirrecta de una posición inicial a una posición
final. Si este ángulo generado estaba situado
dentro de un círculo, con su origen en el centro del
círculo.
lado
final
lado inicial
270º
180º
90º
0º (360º)
Un grado es el ángulo que corresponde a dividir la
circunferencia en 360 partes y cada grado se divide
en 60 partes llamadas minutos y el minuto en
otras 60 partes que son los segundos.
La herramienta para medir ángulos en forma
manual es el transportador, el centro o referencia
de inicio debe partir del punto de intersección y
alinearse a algún segmento rectilíneo.
Los grados se miden desde el punto de
intersección de las dos rectas que forman el ángulo
Para medir un ángulo mediante el uso del
transportador se debe poner la marca central
sobre el vértice.

P T-Bachiller
Comparación de resultados con otros
compañeros
Competencia para la vida
Identificar ángulos en su vida
cotidiana y laboral
El Alumno:
1. Realizará un plano de su plantel.
2. Medirá con ayuda de un transportador los
ángulos que intervienen.
3. Los representará en el plano.
Investigación de campo
Competencia emprendedora
Graficará las devaluaciones de los
últimos 10 años.
El Alumno:
1. Investigará las devaluaciones del peso en
los últimos 10 años
(www.banxico.gob.mx).
2. Trazará una gráfica, usando un par de ejes
a 90°, colocando en el eje horizontal x el
año y en el eje vertical y, el valor del peso.
3. Indicará los puntos y los unirá con una
línea.
4. Indicará si hay ángulos de elevación o de
depresión y los medirá.
5. Comentará sus conclusiones.
• Radianes
Radian: Es el ángulo central subtendido por un
arco igual a la longitud del radio de una
circunferencia.
El ángulo de una vuelta completa es igual a
2 radπ ; de manera que la medida en radianes del
ángulo que subtiende una circunferencia es el
número 2π .
π es el valor resultante de dividir el valor de la
circunferencia entre el valor de su diámetro.
3.1416
perímetro
diámetro
π =
.
lado
final
lado inicial
270º= 3π/2
180º= π
90º= π/2
0º (360º=2π)
• Transformación de grados a radianes y
viceversa.
Para cambiar de radianes a grados, multiplique el
número de radianes por
180º
π
o sea,
180º 180º
1 rad 57.296º
3.1416π
= ≈ =
Para cambiar de grados a radianes, multiplique
por
180º
π
Es decir,

P T-Bachiller
3.1416
1º 0.01745 rad
180º 180º
π
= =
Ejemplo:
Cambie 40º, 60º, 90º, 120º, 150º, 180º a
radianes:
2
40º 40º rad
180º 9
π π
= =
60º 60º rad
180º 3
π π
= =
90º 90º rad
180º 2
π π
= =
2
120º 120º rad
180º 3
π π
= =
5
150º 150º rad
180º 6
π π
= =
180º 180º rad
180º
π
π= =
Cambie
5
6
π
,
3
4
π
,
12
π
, 1.8 radianes a grados:
5 5 180º
rad 150º
6 6
π π
π
= =
3 3 180º
rad 135º
4 4
π π
π
= =
180º
rad 15º
12 12
π π
π
= =
180º
1.8 rad 1.8 103.13º
3.1416
= =
Realización del ejercicio
Competencia Analítica
Expresar ángulos en grados y en
radianes
El Alumno:
1. Escribirá la ecuación de conversión
radianes a grados.
2. Convertirá a grados los ángulos
siguientes:
a) rad
4
π
b) rad
6
π
c) 2 radπ
3. Realizará un dibujo, donde grafique cada
uno de los ángulos anteriores
expresándolos en grados y en radianes.
4. Escribirá la ecuación de conversión grados
a radianes.
5. Convertirá a radianes los ángulos
siguientes:
a) 135°
b) 270°
c) 45°
6. Realizará un dibujo, donde grafique cada
uno de los ángulos anteriores
expresándolos en grados y en radianes.
Competencia Tecnológica
Convertir ángulos de radianes a
grados y viceversa, usando la
calculadora.
El Alumno:
1. Redactará la estrategía a seguir para
convertir de grados a radianes en su
calculadora, indicando las teclas que debe
presionar para realizar las operaciones.
2. Usará su calculadora para cambiar: a) 120º
y b) 83º a radianes.
3. Realizará un dibujo con los ángulos
anteriores y su representación en grados y
en radianes.
convertir de grados a radianes en su
calculadora, indicando las teclas que debe
presionar para realizar las operaciones.
5. Usará su calculadora para cambiar: a)
9
rad
8
π
y b) 3.98 rad a grados.
6. Realizará un dibujo con los ángulos

P T-Bachiller
anteriores y su representación en grados y
en radianes.
convertir de grados a radianes en la
computadora usando el Softaware Excel.
8. Elaborará una tabla en una hoja de cálculo
(Excel) de 0º a 360º con paso de 10º y sus
conversiones a radianes,
convertir de radianes a grados en la
computadora usando el Softaware Excel.
10. Elaborará una tabla en una hoja de cálculo
(Excel) de 0 a 2 radπ con paso de
rad
16
π
y sus conversiones a grados.
Investigación documental
Competencia tecnológica
Identificar instrumentos que sirven
para la medición ángulos con gran precisión.
El Alumno:
1. Investigará en libros y en el Internet cómo
esta constituido un teodolito.
2. Realizará un reporte ilustrado acerca del
manejo del teodolito.
3. Indicará en que actividades se usa
comúnmente el teodolito.
4. Realizará una exposición al grupo resultado
de su investigación.
Competencia Científico teórica
Resolver problemas de física usando
elementos geométricos..
El Alumno:
1. Identificará a que parte de la física se
refiere cada uno de los problemas
siguientes.
2. Realizará un esquema para cada uno de
los problemas.
3. Usando sus conocimientos geométricos
resolverá cada uno de los problemas.
4. Escribirá sus conclusiones para cada uno
de los problemas, en base a su solución
numérica.
5. Realizará un escrito breve donde señale la
ayuda de la geometría en la solución de
problemas.
Problemas:
a) Determinará la velocidad angular
del cuerpo y la velocidad tangencial
del cuerpo. Si se sabe que un
cuerpo realiza un movimiento
circular de 8 cm de radio, ejecuta 2
rev/s, Nota: En un movimiento
circular la velocidad la relación
entre la velocidad angular y la
velocidad tangencial es v rω= .
b) Determinará la frecuencia angular
si se sabe que la frecuencia es de
60 Hz. Nota: La frecuencia angular
ω de una corriente alterna es
2 fω π= .
c) Determinará la velocidad angular
de una rueda de engrane que gira
285º en 10 s. Nota: La velocidad
angular está relacionada con el
desplazamiento angular a través de
la relación t
θ
ω =
, para un
movimiento circular uniforme.
d) Determinará la velocidad angular
de una rueda de engrane que gira
3
4
π en 5 s.
1.1.3 TIPOS DE ÁNGULOS
Los ángulos se clasifican y denominan en función
de la medida de sus grados.
Ángulo agudo es un ángulo cuya
medida está entre 0º y 90º.

P T-Bachiller
Ángulo recto es un ángulo que mide
90º.
Ángulo obtuso es un ángulo que mide
más de 90º, pero menos de 180º
Ángulo colineal o llano es un ángulo
que mide 180º
Ángulo cóncavo o entrante es un
ángulo mayor de 180° y menor de 360°
Ángulo perigonal es un ángulo que
mide 360°
• Ángulos consecutivos, complementarios,
suplementarios y conjugados
• Consecutivos:
Dos ángulos son consecutivos cuando tienen un
lado en común y están en un mismo plano.
• Complementarios:
Son dos ángulos que suman 90º

P T-Bachiller
• Suplementarios:
• Conjugados:
• Ángulos adyacentes y opuestos por el
vértice
Si dos rectas de un plano se cruzan en un punto,
se forman cuatro ángulos que de acuerdo con su
posición reciben el nombre de adyacentes y
opuestos por el vértice.
• Adyacentes
Son pares de ángulos consecutivos, cuya suma es
igual a 180º, además estos ángulos son
suplementarios.
En la figura son consecutivos:
y
y
y
y
α γ
γ β
β θ
θ α
Por tanto:
180º
180º
180º
180º
α γ
γ β
β θ
θ α
+ =
+ =
+ =
+ =
• Opuestos por el vértice
Son los ángulos que comparten el vértice y quedan
el uno frente al otro. Además estos ángulos son
iguales.
De la figura son opuestos por el vértice:
y
y
α β
θ γ
Entonces:
α β
θ γ
=
=
Demostración:
Sabemos que:

P T-Bachiller
180º
180º
α γ
γ β
+ =
+ =
Entonces:
α γ γ β α β+ = + ⇒ =
y
180º
180º
γ β
β θ
+ =
+ =
Entonces:
γ β β θ γ θ+ = + ⇒ =
• Líneas perpendiculares
Las líneas perpendiculares son dos líneas que se
cortan en ángulo recto. El símbolo ⊥ significa
perpendicularidad.
La perpendicular es la mediatriz de un segmento,
es la perpendicular al segmento que pasa por el
punto medio del segmento.
Trabajo en equipo
Competencia lógica
Identificar las definiciones verbales con cada tipo
de ángulo.
El Alumno:
1. Realizará un recorrido por su escuela y
medirá los ángulos de las tuberías y
ventanas.
2. Realizará un esquema donde indique los
ángulos.
3. Identificará el tipo de ángulo.
• Ángulos formados por dos rectas y una
transversal que se cortan:
Las paralelas y la transversal forman ocho ángulos.
Cuatro son internos por estar situados en el
espacio comprendido entre las paralelas:
Y cuatro son externos por estar situados en el
espacio externo a las paralelas:
Ángulos correspondientes:
Son dos ángulos , uno interno y otro externo, que
están situados de un mismo lado de la transversal
y en distinta paralela:

P T-Bachiller
Son correspondientes:
yβ φ ,
se puede ver que son iguales al efectuar una
traslación rectilínea, tomando a la transversal
como la directriz:
β φ=
entonces:
α ε=
entonces:
χ γ=
entonces:
δ η=
Los ángulos correspondientes son iguales.
Ángulos alternos internos:
Son dos ángulos internos situados a uno y otro
lado de la transversal y en distinta paralela.
Los ángulos alternos internos son iguales.
χ φ
ε δ
=
=
Demostración de la igualdad:
χ φ=

P T-Bachiller
Por ser opuestos por el vértice:
χ β=
y por ser correspondientes
β φ=
entonces:
χ φ=
Ángulos alternos externos:
Son dos ángulos externos situados a uno y otro
Los ángulos alternos externos son iguales.
α η
β γ
=
=
α η=
Por ser opuestos por el vértice:
α δ=
y por ser correspondientes
δ η=
entonces:
α η=
Ángulos colaterales internos:
Son dos ángulos internos situados en un mismo
Ángulos colaterales externos son dos ángulos
externos situados en un mismo lado de la
transversal y en distinta paralela.

P T-Bachiller
Los ángulos paralelos son suplementarios
180ºδ φ+ =
De la figura:
180ºβ δ+ =
Pero:
β φ=
por ser correspondientes
entonces:
180ºδ φ+ =
Competencia de calidad
Diseñar métodos y algoritmos para
calcular variables.
El Alumno:
1. Identificará ángulos difíciles de
medir.
2. Usará rectas paralelas y
transversales.
3. Determinará ángulos
desconocidos usando las
propiedades de los ángulos.
Ejemplo:
Un soldador debe unir las piezas, como se muestra
en la figura. ¿Cuánto mide el ángulo x?
1.2.1 TRIÁNGULOS
Polígonos
El polígono es una figura geométrica limitada por
una línea cerrada compuesta de varios segmentos.
Clasificación:
Los polígonos se pueden clasificar de acuerdo con
su número de lados y de ángulos
Triángulo: 3 ángulos y 3 lados
Cuadrilátero: 4 ángulos y 4 lados
Pentágono: 5 ángulos y 5 lados
Hexágono: 6 ángulos y 6 lados
Heptágono: 7 ángulos y 7 lados
Octágono: 8 ángulos y 8 lados
Eneágono: 9 ángulos y 9 lados
Decágono:: 10 ángulos y 10 lados
Examinemos como primer punto a los triángulos.
• Definición
El triángulo es una figura geométrica limitada por
una línea cerrada compuesta por tres segmentos.

P T-Bachiller
AB , BC y AC son los lados de un triángulo
ABC ABCΔ , ˆa ,
ˆb y ˆc son los ángulos
interiores del ABCΔ y
ˆd , ˆe y
ˆf son los ángulos
exteriores del ABCΔ .
• Clasificación de los triángulos por la
magnitud de sus lados:
Equilátero: los tres lados del triángulo tienen la
misma magnitud.
Isósceles: Dos de sus lados son iguales y el otro
desigual.
Escaleno: los tres lados del triángulo tienen
diferente longitud.
• Clasificación de los triángulos por la
magnitud de sus ángulos:
Rectángulo: Uno de los ángulos del triangulo es
recto. (Se denota por un pequeño rectángulo
donde está el ángulo recto).
Oblicuángulo: El triángulo no tiene ningún ángulo
recto.
Los triángulos oblicuángulos pueden ser:
Acutángulo: Si tiene tres ángulos agudos.
Obtusángulo: Si tiene un ángulo agudo.

P T-Bachiller
• Rectas y puntos notables de un triángulo
Alturas: La distancia que existe desde el vértice de
un triángulo hasta la recta del lado opuesto se
llama altura del triangulo correspondiente a ese
lado.
Ortocentro: es el punto donde se intersecan las
alturas.
En un triángulo obtusángulo es necesario
prolongar los lados para obtener las alturas.
Medianas: El segmento de recta que une a un
vértice con el punto medio del lado opuesto se
llama mediana correspondiente a ese lado.
Baricentro o centroide: es el nombre del punto
donde se intersecan las medianas.
Mediatrices: La mediatriz correspondiente a un
lado es la perpendicular de los lados que pasa por
el punto medio del mismo.
Circuncentro: es el punto donde se intersecan las
mediatrices de un triángulo y es el centro de la
circunferencia cincunscrita.
Bisectriz: La bisectriz correspondiente a un ángulo
es la recta que une al vértice con un punto que
indica la mitad del ángulo.
Incentro: es el punto donde se intersecan las
bisectrices de un triángulo y es el centro de la
circunferencia inscrita en el triángulo.
En un triángulo equilátero el centroide, el
circuncentro y el ortocentro son el mismo punto.

P T-Bachiller
En un triángulo isósceles la mediana, la mediatriz y
la altura de A serán la misma línea.
Comparación de resultados con otros
compañeros
Competencia Analítica.
Verificar propiedades de los
triángulos.
El Alumno:
1. Dibujará tres triángulos de la forma que
desee y con medidas aleatorias.
2. Medirá sus tres ángulos con ayuda de un
transportador y los sumará.
3. Comparará con sus compañeros y
observará que no importa cuantos
triángulos diferentes realicen siempre sus
ángulos suman 180º.
Competencia Laboral
Usar la geometría para resolver
problemas laborales.
El Alumno:
1. Dibujará un plano de un terreno triangular
de lados 140 m, 140 m y 140 m
2. Determinará geométricamente, el punto
equistante a los tres vértices de con el fin
colocar una antena.
3. Identificará a este punto por su nombre.
• Igualdad de triángulos
Un triangulo es congruente o igual a otro, si tienen
todos sus lados y ángulos respectivamente iguales
a los lados y ángulos de otro.
• Triángulos semejantes
Los triángulos semejantes son los que tienen sus
ángulos respectivamente iguales y sus lados
correspondientes proporcionales.
En la siguiente figura los triángulos ACB y EDF son
semejantes ya que sus lados correspondientes de
los triángulos son proporcionales:
12 9 6
3
4 3 2
= = =
Competencia Laboral
El Alumno:
1. Identificará un problema laboral a resolver.
2. Usando propiedades de los triángulos lo
resolverá.
3. Realizará un escrito con sus conclusiones.
Ejemplo:
Calculará la altura de una torre de televisión
que proyecta una sombra que tiene 150 m de
longitud, sabiendo que a la misma hora, un
poste vertical que tiene 1.5 m de altura
proyecta una sombra de 1.2 m de longitud.

P T-Bachiller
Perímetro de un triángulo
El perímetro de un triángulo de lados a , b y c
es igual: P a b c= + +
Área de un triángulo
El área de un triángulo se determina mediante la
siguiente fórmula:
2
bh
A =
donde h es la altura del triangulo y b el lado
opuesto, llamado la base del triángulo.
• Fórmula de Herón
Cuando no se conoce la altura. Se puede
determinar el área de un triángulo usando la
fórmula de Herón de Alejandría:
( )( )( )A s s a s b s c= − − −
donde :
2
a b c
s
+ +
=
y a , b y c , son los lados del triangulo.
Competencia Laboral
El Alumno:
1. Identificará terreno triangular en su
comunidad.
2. Medirá sus lados con ayuda de un flexo
metro.
3. Calculará su área, usando la fórmula de
Herón.
Ejemplo:
Calculará el área de un terreno triangular cuyos
lados son a = 51.75 pies, b = 42.75 pies y c =
82.5 pies.
Triángulos rectángulos
Los lados del triangulo que forman el ángulo recto
reciben el nombre de catetos y el lado opuesto al
ángulo recto se llama hipotenusa.
• Teorema de Pitágoras
Pitágoras fue un político, filósofo y matemático
griego que vivió en el siglo VI A. de C.
El teorema de Pitágoras establece que: En todo
triangulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa
es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.
2 2 2
c a b= +
Demostración:
Por construcción
CD AB⊥

P T-Bachiller
Puesto que son ACD y ACB son triángulos
semejantes:
c b
b x
=
entonces:
2
cx b= (1)
Y como ACB y CDB son triángulos semejantes:
c a
a y
=
entonces:
2
cy a= (2)
Sumando las ecuaciones (2) y (1)
2 2
cy cx a b+ = +
Factorizando a c :
( ) 2 2
c y x a b+ = +
Pero por construcción:
c x y= +
Entonces
2 2 2
c a b= +
El teorema de Pitágoras también se puede
expresar como:
2 2
c a b= +
A partir de esta ecuación se pueden determinar los
catetos
2 2
2 2 2
2 2
b c a
c a b
a c b
⎧⇒ = −⎪
= + ⎨
⇒ = −⎪⎩
Ejemplo:
Usando el teorema de Pitágoras determinar el
cateto b:
2 2
b c a= −
Sustituyendo valores:
2 2
5 4 25 16 9 3b = − = − = =
Competencia Laboral
El Alumno:
1. Identificará un problema laboral que
involucre triángulos rectángulos.
2. Resolverá el problema usando el teorema
de Pitágoras.
3. Realizará un reporte escrito del problema y
sus resultados.
Ejemplo:
Una casa tiene 10 m de ancho y el caballete del
tejado es 4 m más alto que las paredes laterales. Si
las vigas, r, se extienden 0.5 m más allá de los
costados de la casa, ¿cuál es la longitud de las
vigas?
1.2.2 POLÍGONOS
• Cuadriláteros
Es todo polígono de cuatro lados.
• Clasificación de cuadriláteros
Los cuadriláteros se dividen en:
PARALELOGRAMOS
TRAPECIOS
Los paralelogramos son cuadriláteros cuyos lados
opuestos son paralelos.
Cuadrado: es un paralelogramo de lados iguales y
ángulos rectos.
Rectángulo: es un paralelogramo de lados
contiguos desiguales y ángulos rectos.

P T-Bachiller
Rombo: es un paralelogramo de lados iguales y
ángulos oblicuos.
Romboide: es un paralelogramo de lados
contiguos desiguales y dos ángulos oblicuos.
Los trapecios son cuadriláteros que sólo tienen
dos lados paralelos.
Trapecio: es un cuadrilátero de dos lados
paralelos.
Trapecio rectángulo, es un trapecio con dos
ángulos rectos.
Trapecio isósceles, es un trapecio en el cual los
lados paralelos son iguales.
Trapezoide, es un trapecio que no tiene ningún
lados paralelo a su opuesto.
Propiedades de los paralelogramos:
1. La suma de los ángulos de un
cuadrilátero es igual a 360º.
Demostración:
Por construcción, se forman dos triángulos
ABCΔ y ACDΔ . El segmento AC es común

P T-Bachiller
para los triángulos ABCΔ y ACDΔ .
La suma de cada uno de los ángulos interiores
de un es de 180º entonces la suma de los
ángulos de los triángulos ABCΔ y ACDΔ , es
de 360º
2. Los lados opuestos de un
paralelogramo son iguales
Demostración:
Por ser ángulos alternos internos:
α β
γ δ
=
=
Por tener ángulos iguales, los triángulos ABCΔ y
CDAΔ son iguales, entonces:
AB DC
AD BC
=
=
Puesto que:
α β
γ δ
=
=
En un paralelogramo los ángulos opuestos son
iguales.
θ α γ β δ θ= + = + =
Los ángulos contiguos son suplementarios.
180ºθ φ+ =
3. Las diagonales de un paralelogramo
se cortan en un punto medio
Demostración:
Demostración:
Por ser lados opuestos de un paralelogramo.
AD BC=
Por ser ángulos alternos internos:
β δ
α γ
=
=
entonces
AOD BOCΔ = Δ
entonces
OA OC
OD OB
=
=
4. Las diagonales de un rectángulo son
iguales
Demostración:
Por ser lados opuestos de un paralelogramo.
AD BC=

P T-Bachiller
entonces
AB DC=
Por la definición de un rectángulo
90ºDAB ABC∠ = ∠ =
entonces los triángulos ABC DABΔ = Δ
por tanto:
AC BD=
Propiedades de los trapecios
1. Los lados contiguos a cada uno de los
lados no paralelos de un trapecio son
suplementarios.
Demostración:
Por ser colaterales internos:
180º
180º
α δ
χ β
+ =
+ =
2. Los lados contiguos a una misma
base de un trapecio isósceles son
iguales.
Demostración:
Por definición de trapecio isósceles:
AD BC=
y puesto que los puntos MDCN forman un
rectángulo
DM CN=
Entonces por tener hipotenusa y un cateto
respectivamente iguales
AMD BNCΔ = Δ
entonces
α β=
Y por ser los suplementos de α y β
ADC BCD∠ = ∠
Perímetros y áreas de cuadriláteros
Paralelogramo
El perímetro de un paralelogramo es igual a la
suma de sus lados: 1 2 3 4P l l l l= + + +
El área de un paralelogramo cualquiera es igual al
producto de su base por su altura_ A bh=
Cuadrado:
Perímetro: 4P l=
Área:
2
A l=
En términos de la diagonal, el área del cuadrado
también se puede expresar como:
2
2
d
A =
Rombo:
Perímetro: 4P l=

P T-Bachiller
Área:
'
2
dd
A =
Trapecio:
Perímetro: 2 'P l b b= + +
Área:
'
2
b b
A h
+⎛ ⎞
= ⎜ ⎟
⎝ ⎠
Polígonos de cinco o más lados
Polígonos regulares
Un polígono es regular cuando todos sus lados son
iguales.
Centro
El centro de un polígono regular es el punto
interior del mismo en el que se intersecan las
diagonales. El centro equidista de todos los
vértices y de todos los lados.
Apotema
La apotema de un polígono regular es la
perpendicular bajada desde el centro a uno
cualquiera de los lados, es decir es la altura de uno
de los triángulos iguales en que se puede
descomponer el polígono considerando el lado
como base.
Área del polígono regular
El área de un polígono regular es la igual a la
mitad del producto de la apotema por el
perímetro.
2
anl
A =
Polígonos irregulares
Un polígono es irregular, tiene lados desiguales.
Área de un polígono irregular
Para determinar el área de un polígono irregular,
se divide el polígono en triángulos, se determina el
área de cada triángulo y la suma de las áreas es
igual al área del polígono.
Propiedades de los ángulos en un polígono
1. A todo polígono regular corresponde
una circunferencia circunscrita y otra
inscrita que tienen el mismo centro.

P T-Bachiller
2. La suma de los ángulos centrales de
un polígono regular es igual a 360º
α
α
α α
α
360º
360ºn
n
α α= ⇒ =
3. La suma de los ángulos interiores de
un polígono de n lados es
( )180º 2n −
Demostración:
Por construcción
AD y AC son diagonales
En cualquier polígono se forman 2n −
triángulos.
La suma de los ángulos del polígono es igual a
la suma de los ángulos de los triángulos
ABCΔ , ACDΔ y ADEΔ
Y puesto que la suma de los ángulos de un
triangulo es igual a 180º, en este caso se
forman tres triángulos , entonces la suma de
los ángulos de los triángulos será de 3(180º) =
540º, en general, se forman n-2 polígonos y la
suma de los ángulos interiores de un polígono
irregular es 180º(n-2).
También podemos afirmar que para un
polígono regular de n lados, cada ángulo
interior es igual a
( )180º 2n
n
−
.
4. La suma de los ángulos exteriores es
360º
Demostración:
Cada ángulo exterior es suplemento de su
correspondiente ángulo interior.
Entonces la suma total de los ángulos
interiores y exteriores es igual a 180ºn . Pero
ya hemos demostrado que la suma de los
ángulos interiores es igual a ( )180º 2n − .
Entonces la suma de los ángulos exteriores es
igual a:
( ) ( )180º 2 180º 2 180º 360ºn n− − = =
5. El número de diagonales de un
polígono de n lados es igual a la
mitad del producto de n por 3n −

P T-Bachiller
Demostración:
De cada vértice del polígono se pueden trazar
3n − diagonales. Hay n vértices y las
diagonales están repetidas 2 veces, el total de
diagonales es:
( )
( )
2 3
3
2
n n n
n n
n
= −
−
=
Un polígono regular es equilátero y
equiángulo a la vez.
Competencia analítica.
Determinar áreas y perímetros de un polígono.
El Alumno:
1. Aplicará las fórmulas del área y del perímetro
de polígonos para resolver los siguientes
problemas:
a) Calculará el perímetro y área de un
octágono, donde cada lado mide 12.5 cm
y la apotema 15.1 cm.
b) Obtendrá el perímetro y área de un
rectángulo de 7 cm de largo por 5 cm de
ancho.
2. Realizará un reporte escrito de los problemas
con los datos, las fórmulas empleadas, un
esquema para cada problema y sus resultados.
1.2.3 CÍRCULO Y CIRCUNFERENCIA
Circunferencia es una curva plana y cerrada, cuyos
puntos equidistan de un punto interior llamado
centro.
Círculo es la superficie plana limitada por la
circunferencia.
• Elementos de la circunferencia
Radio: es la recta que une el centro de un punto
cualquiera de la circunferencia.
Diámetro: Recta que pasa por el centro y une dos
puntos de la circunferencia.

P T-Bachiller
Cuerda: Recta que une dos puntos de la
circunferencia .
Arco: es una parte de la circunferencia en la figura.
Tangente: es una recta que interseca a la
circunferencia en un punto.
Secante: es una recta que interseca a la tangente
en dos puntos.
• Ángulos en la circunferencia
Los ángulos que se trazan en una circunferencia
reciben diferentes nombres de cuerdo con la
posición que presenta el vértice.
Ángulo central: tiene su vértice en el centro de la
circunferencia y sus lados son radios.

P T-Bachiller
Ángulo inscrito: su vértice coincide con cualquier
punto de la circunferencia y sus lados pasan por
dos puntos de la circunferencia.
Ángulo excéntrico: esta dentro de la
circunferencia pero su vértice no coincide con el
centro.
Ángulo exterior: su vértice se encuentra en la
parte exterior a la circunferencia sus lados pueden
ser secantes o tangentes .
Ángulo semi-inscrito: su vértice está sobre una
tangente y una cuerda de la circunferencia.
Arcos
El arco es una sección de un círculo que con
frecuencia se le describe en términos del tamaño
de su ángulo central. Como ya hemos mencionado
un arco de longitud igual al radio es 1 rad.
Un ángulo central divide al arco en un arco menor
y en un arco mayor.
Longitud del arco
Un arco formado por un círculo de radio r y un
ángulo central de θ rad tiene una longitud de

P T-Bachiller
arco:
s rθ=
Propiedades de los círculos
1. Si una recta es perpendicular a un radio en
el extremo de éste, la recta es tangente al
círculo.
Demostración:
En C el segmento AD es perpendicular al
segmento OD y OC es el radio del círculo.
Por construcción B es un punto cualquiera de la
recta AD distinto de C .
Puesto que la perpendicular es la distancia más
corta entre un punto y una recta
OC OB<
Y como la distancia desde el punto B al centro es
mayor que la longitud del radio, el punto B es un
punto externo al círculo.
C es el único punto común de AD y el círculo,
por tanto AD es tangente al círculo.
Como consecuencia de esta propiedad podemos
afirmar también que:
Toda tangente a un círculo es perpendicular al
radio en el punto de contacto.
La perpendicular a una tangente en el punto de
contacto pasa por el centro del círculo.
2. La perpendicular trazada por el centro de
un círculo a una cuerda, biseca la cuerda y
los arcos subtendidos.
Demostración:
OA y OC son radios. Puesto que OA y OC son
radios del mismo círculo.
OA OC=
Por construcción el segmento OE es lado común
a los triángulos rectángulos OEAΔ y OECΔ .
Los triángulos OEAΔ y OECΔ .son triángulos
iguales, por tener lados hipotenusa y catetos
iguales.
OEA OECΔ = Δ
entonces
AE EC=
y
AOB BOC∠ = ∠
entonces concluimos que:
En un mismo círculo, ángulos centrales iguales
intersecan arcos iguales, entonces
El arco AB es igual al arco BC .
3. En todo círculo, dos paralelas intersecan
arcos iguales
Demostración:
CD , AB y EG son paralelas. Por construcción

P T-Bachiller
F es tangente al círculo y FP es el diámetro. Y
sabemos que la perpendicular trazada por el
centro de una cuerda, biseca la cuerda y los arcos
subtendidos entonces:
FC FD
FA FB
=
=
Entonces:
FC FA FD FB− = −
Pero por construcción:
FC FA AC− =
y
FD FB BD− =
entonces:
AC BD=
Circunferencia y área de los círculos
Las fórmulas para la circunferencia (perímetro de
un círculo) y el área de un círculo implican el uso
del número irracional π . La circunferencia C de
un círculo es:
2C d rπ π= =
donde d es la longitud de un diámetro y r es la
longitud del radio.
El área de un círculo es:
2
2
4
d
A r
π
π= =
Determinar áreas y perímetros del círculo.
1. Aplicará las fórmulas del área y del
perímetro de polígonos para
resolver los siguientes problemas:
a) Calculará la cantidad de tela que se lleva
un mantel circular de 1.5 m de diámetro.
b) Calculará el perímetro de un anillo de 0.5
cm. de radio.
2. Realizará un reporte escrito de los
problemas con los datos, las
fórmulas empleadas, un esquema
para cada problema y sus
resultados.
1.3.1 PRISMAS Y PIRÁMIDES
El espacio que ocupa un sólido se llama volumen y
con frecuencia se obtiene usando fórmulas en las
que intervienen sus dimensiones.
• Prismas
Un prisma es un cuerpo geométrico cuyas bases
son dos polígonos iguales y paralelos y sus caras
laterales son paralelogramos.

P T-Bachiller
• Clasificación de los prismas
Por la forma de su base los prismas pueden ser:
Triangulares
Cuadrangulares
Pentagonales
Hexagonales.
• Magnitudes de un prisma
Altura: La altura de un prisma es la perpendicular
bajada de una base a la otra o su prolongación en
caso de que el prisma no sea recto.
Área: es la suma de las áreas de todas las caras del
prisma:
De las dos bases.
Y de las caras laterales.
El área total es la suma de todas las áreas de las
caras del prisma.
Ejemplo:
Determinar el volumen de un prisma recto
triangular cuya altura es 20 cm; el lado del
triangulo de la base es igual a 15 cm y la altura del
triangulo es de 13 cm.
1. Determinamos el área de la base
( )( ) 215 cm 13 cm
97.5 cm
2 2
b
bh
A = = =
2. El área de cada una de las tres caras
laterales es:
( )( ) 2
15 cm 20 cm 300 cmlA bh= = =
3. El área total es entonces:
2 2 2
2 3 195 cm 900 cm 1095 cmt b lA A A= + = + =
Volumen: es el producto de su altura multiplicada
por su base. Entonces si V representa el volumen,
B el área de la base y h la altura :
V Bh=
Ejemplo:
Calcular el volumen del prisma triangular anterior.
( )( )2 3
97.5 cm 20 cm 1950 cmV Bh= = =
Determinar áreas y volúmenes de
prismas.
El Alumno:
1. Aplicará las fórmulas del área y del
perímetro de polígonos para
a) Determinará el área lateral, el área superficial
total y el volumen de los sólidos de las
siguientes figuras.

P T-Bachiller
2. Realizará un reporte escrito con los
datos de cada figura, las fórmulas
empleadas, un esquema para cada
figura y sus resultados.
• Pirámides
Son cuerpos geométricos cuya base es un
polígono cualquiera y sus caras laterales son
triángulos que concurren a un mismo punto
llamado vértice de la pirámide.
• Clasificación de las pirámides
Por su forma de su base las pirámides pueden ser:
Se clasifican en función de la forma de la base y en
consiguiente el número de caras.
Triangulares
Cuadrangulares
Pentagonales
Hexagonales.
Magnitudes de una pirámide
Altura: La altura de una pirámide es la
perpendicular bajada desde el vértice de la
pirámide a la base o su prolongación.
Área: es la suma de las áreas de todas las caras de
la pirámide:
De la base y de las caras laterales.
El área total es la suma de todas las áreas de las
caras de la pirámide.
Volumen: es un tercio del producto de su altura
multiplicada por su base. Entonces si V
representa el volumen, B el área de la base y h la
altura :
3
Bh
V =
Trabajo en equipo
.
Identificar construcciones con formas de prismas
y pirámides.
Calcular áreas laterales y volúmenes de prismas y
pirámides.
El Alumno:
• Realizará un recorrido por su comunidad
e identificará construcciones con formas
de prismas y pirámides.
• Tomará medidas.
• Calculará el área lateral y volumen de
dichas construcciones.
Competencia Tecnológica.
Usar la calculadora o la computadora para la

P T-Bachiller
solución de problemas geométricos.
El Alumno:
1. Aplicará las fórmulas del volumen
y del área de pirámides para
a) Determinar el volumen de un prisma
pentagonal que tiene 3 cm de apotema, 5
cm de lado y 8 cm de altura.
b) Con el mismo polígono por base y la
misma altura ¿qué tendrá mayor volumen
un prisma o una pirámide?
2. Usará la calculadora para realizar
sus cálculos.
datos de cada problema, las
para cada problema y sus
resultados.
Investigación de campo
Competencia de calidad
Usar elementos geométricos para
maximizar recursos.
El Alumno:
1. Aplicará las fórmulas del volumen y del área
de pirámides para calcular el volumen y el
área total de dos muestras de envases con
la misma base y altura, la primera es un
prisma cuadrangular y la segunda una
pirámide cuadrangular, para regalar
muestras de un nuevo producto de
limpieza:
2. Redactará sus conclusiones en las que
responderá las siguientes preguntas: ¿qué
cuerpo ocupa menos material para su
fabricación?, ¿Qué envase tiene menor
volumen?
1.3.2 ESFERAS, CILINDROS Y CONOS
• Cilindro
El cilindro de revolución o cilindro circular recto es
el cuerpo engendrado por la revolución de un
rectángulo alrededor de uno de sus lados.
El cilindro de la figura ha sido engendrado por el
rectángulo ABOO’ girando alrededor del segmento
OO’.
• Magnitudes de un cilindro:
Eje: El segmento OO’ es el eje del cilindro.
Altura: El segmento OO’ también representa la
altura del cilindro, la que también puede definirse
como la distancia entre las dos bases.
Radio: El segmento O’A es el eje del cilindro.
Generatriz: el segmento AB es la generatriz del
cilindro, los lados AO’ y BO son los radios iguales
de las bases del cilindro, cuando el cilindro es recto
la magnitud de la generatriz es igual a la altura.
Área: es la suma de las áreas de las dos bases más
el área lateral del cilindro.

P T-Bachiller
Área lateral: 2 rhπ
Área de una de las bases:
2
rπ
Área total:
2
2 2r rhπ π+
Volumen: es el producto de su base que es un
círculo por la altura del cilindro
Entonces si V representa el volumen, B el área
de la base y h la altura :
2
V Bh r hπ= =
• Cono
El cono de revolución o cono circular recto es el
cuerpo geométrico engendrado por la revolución
de un triangulo rectángulo alrededor de uno de
sus catetos.
El cono de la figura ha sido engendrado por la
revolución de un triángulo rectángulo SOA
alrededor del cateto SO.
• Magnitudes de un cono:
Vértice: El punto S es el vértice del cono.
Radio: El cateto OA es el radio del círculo de la
base.
Generatriz: la hipotenusa SA es la generatriz del
cono.
Altura: La altura del cono es el segmento SO, que
se puede definir como la perpendicular bajada
desde su eje.
Área: es la suma del área de la base más el área
lateral del cono.
El área lateral del cono esta dada por: lA rsπ=
donde:
r es el radio de la base del cono
s es la altura oblicua del cono.
Y el área de la base es:
2
bA rπ= .
El área total es:
2
tA rs rπ π= + .
Volumen: es un tercio del producto de su base
que es un círculo por la altura del cono. Entonces
si V representa el volumen, B el área de la base y
h la altura:
2
3 3
Bh r h
V
π
= =
• Esfera
Es el cuerpo geométrico engendrado por la
revolución completa de un semicírculo alrededor
de su diámetro.
• Magnitudes de una esfera:

P T-Bachiller
Radio: Los segmentos OB, OA , ó OC es el radio de
la esfera.
Centro: Su centro es el punto O..
Área: su área es igual a:
2
4A rπ=
Volumen:
34
3
V rπ=
Determinar áreas y volúmenes de cilindros, conos
y esferas.
El Alumno:
1. Calculará las fórmulas del volumen y del área
, del área lateral, del área superficial total y
del volumen de las figuras que se muestran:
2. Determinará el área y el volumen de una
esfera de 10 cm de radio.
3. Realizará un reporte escrito con los datos de
cada figura, las fórmulas empleadas, un
esquema para cada figura y sus resultados.
Competencia laboral
Aplicar modelos geométricos para resolver
problemas del área de su especialidad.
El Alumno:
1. Investigará problemas del área de
su especialidad en las que se
calculen áreas y volúmenes de
prismas pirámides, cilindros,
esferas.
2. Realizará un reporte escrito con
los datos de cada problema, las
para cada problema e identificará
el área de su especialidad donde
aparece dicho problema.
Ejemplos:
1. ¿Cuál es la capacidad de
almacenamiento de un tanque cilíndrico
de gas que tiene un radio de 48 pies y
una altura de 140 pies?
2. ¿Cuánta sopa puede contener el bote
(en mm3
)? y ¿Cuántos milímetros
cuadrados de papel son necesarios para
elaborar la etiqueta si los extremos se
traslapan 5 mm? Para un bote cilíndrico
de sopa tiene un diámetro de 66 mm y
una altura de 100 mm.
3. ¿Qué cantidad de aire contiene una
pelota cuyo diámetro es de 20 cm?
4. ¿Cuál es la densidad del azúcar? Si se
sabe que un terrón de azúcar de 3 cm
por 2 cm y por 1 cm pesa 9.6 g . Nota la
densidad es igual a masa sobre
volumen.

P T-Bachiller
5. ¿Cuál es la masa de un pedestal? Si se
sabe que es una columna de mármol
cuya densidad es de 2.7 kg/m3
, que
tiene la forma de un prisma regular de
base octagonal y que la altura del
pedestal es de 5 m, el perímetro de la
base es de 198.82 cm y la apotema de
la base es de 30 cm.
Respuestas Unidad I
1.1.2
Transformación de grados a radianes y viceversa.
3.
a) 45°
b) 30°
c) 360°
4.
a)
3
4
π
b)
3
2
π
c) 4
π
Competencia tecnológica
1. 2.0944 rad, 1.4486 rad
2. 3.5343°, 228.04°
3.
0 0
10 0.17453333
20 0.34906667
30 0.5236
40 0.69813333
50 0.87266667
60 1.0472
70 1.22173333
80 1.39626667
90 1.5708
100 1.74533333
110 1.91986667
120 2.0944
130 2.26893333
140 2.44346667
150 2.618
160 2.79253333
170 2.96706667
180 3.1416
190 3.31613333
200 3.49066667
210 3.6652
220 3.83973333
230 4.01426667
240 4.1888
250 4.36333333
260 4.53786667
270 4.7124
280 4.88693333
290 5.06146667
300 5.236
310 5.41053333
320 5.58506667
330 5.7596
340 5.93413333
350 6.10866667
360 6.2832
1.
0π 0
0.125π 22.5
0.25π 45
0.375π 67.5
0.5π 90
0.625π 112.5
0.75π 135
0.875π 157.5

P T-Bachiller
1π 180
1.125π 202.5
1.25π 225
1.375π 247.5
1.5π 270
1.625π 292.5
1.75π 315
1.875π 337.5
2π 360
Competencia científico teórica
1.
rad
2
s
π ,
cm
16
s
π
2.
rad
120
s
π
3.
19 rad
120 s
π
4.
3 rad
20 s
π
1.1.3
150°
1.2.1
Está a 80.827m de cada vértice.
120 m
16748ft2
6.9031 m
1.2.2
1. P=100 cm; A=750cm2
2. P=24 cm; A=35cm2
1.2.3
1. 1.77 m2
3.1415 cm
a) Al =735 cm2
; At =2049.9 cm2
; V =13807
cm3
;
b) Al =144 cm2
; At =288 cm2
; V =288 cm3
;
Pirámides
1. 60 cm3
2. Un prisma
3. Investigación de campo
4. Prisma>pirámide
1.3. 2
1.
a) Al =678.58 cm2
; At = 904.78 cm2
; V =2035.8 cm3
;
b) Al =427.6 cm2
; At =628.32 cm2
; V =1005.3 cm3
;
2. A = 1256.6 cm2
; V =4188.8 cm3
;
1. 1013400 ft3
2. 342120 mm3
, 21235 mm2
;
3. V =4188.8 cm3
;
4. 16g/ cm3
;
5. 4.0262 kg;

P T-Bachiller
PRÁCTICAS Y LISTAS DE COTEJO
DESARROLLO DE LA PRÁCTICA
Unidad de aprendizaje 1
Práctica número 1
Nombre de la práctica Medición de ángulos
Propósito de la
práctica
Al finalizar la práctica el Alumno medirá ángulos y los expresará en diferentes
sistemas de unidades usando las fórmulas de conversión
Escenario Aula
Duración 2 h
Materiales Maquinaria y equipo Herramienta
• Bitácora
• Lápiz
• Papel
• Juego de geometría
• Calculadora

P T-Bachiller
Procedimiento
Aplicar las medidas de seguridad e higiene en el desarrollo de la práctica.
• Limpiar el área de trabajo.
• Evitar la manipulación de líquidos y alimentos cerca de los documentos de trabajo.
En ésta práctica se van medir ángulos y a representarlos en los diferentes sistemas de medición.
1. Usar el juego de geometría para construir un ángulo recto, un ángulo agudo, un ángulo obtuso y un
ángulo llano.
2. Medir el ángulo recto con el transportador.
3. Medir el ángulo agudo con el transportador.
4. Medir el ángulo obtuso con el transportador.
5. Medir un ángulo llano con el transportador.
6. Transformar las medidas del ángulo recto, agudo, obtuso y llano de grados a grados centesimales.
7. Transformar las medidas del ángulo recto, agudo, obtuso y llano de grados a radianes.
NOTA: 90º sexagesimales equivalen a 100 grados centesimales.
NOTA: Sabemos que la longitud de una circunferencia es igual a 2 rπ por lo que aceptamos que subtiende un
ángulo central de 2π radianes así como también sabemos que la circunferencia subtiende un ángulo de 360º,
convierte los ángulos que mediste a radianes.
8. Registrar resultados en una tabla.
9. Elaborar de manera individual el reporte escrito de la práctica que deberá incluir las conclusiones de la
misma.
Utilizar las hojas por ambas caras y las de desecho colocarlas en el recipiente destinado para su posterior
envió a reciclaje.

P T-Bachiller
LISTA DE COTEJO DE LA PRÁCTICA NÚMERO 1:
Medición de Ángulos
Portafolios de evidencias
Fecha: ______________
Nombre del Alumno: ______________________________________________________________
Instrucciones: A continuación se presentan los criterios a verificar en el desempeño del Alumno.
De la siguiente lista marque con una aquellas actividades que hayan sido cumplidas por el
Alumno durante su desempeño.
Desarrollo Si No No
Aplica
Aplicó las medidas de seguridad e higiene en el desarrollo de la práctica
• Limpió el área de trabajo
• Evitó la manipulación de líquidos y alimentos cerca de los documentos de
trabajo
1. Uso el juego de geometría para construir un ángulo recto, un ángulo agudo,
un ángulo obtuso y un ángulo llano
2. Midió el ángulo recto con el transportador
3. Midió el ángulo agudo con el transportador
4. Midió el ángulo obtuso con el transportador
5. Midió el ángulo llano con el transportador
6. Transformó las medidas de los ángulos de grados a grados centesimales
7. Transformó las medidas de los ángulos de grados a radianes
8. Registro sus resultados en una tabla
9. Elaboró de manera individual el reporte escrito de la práctica que deberá
incluir las conclusiones de la misma
Colocó las hojas desechables en el recipiente destinado para las mismas
Observaciones:
PSA:
Hora de inicio:
Hora de término:
Evaluación:

P T-Bachiller
Práctica número 2
Nombre de la práctica Determinación de ángulos
Propósito de la
práctica
Al finalizar la práctica el Alumno determinará ángulos de acuerdo con sus
propiedades en diferentes configuraciones.
Escenario Aula
Duración 2 h
• Bitácora
• Lápiz
• Papel

P T-Bachiller
Procedimiento
1. Medir con el transportador el ángulo 1 de la siguiente figura.
2. Determinar el valor de los demás ángulos, justificar su respuesta.
3. Registrar los valores en la bitácora.
4. Medir con el transportador el ángulo EOA de la siguiente figura.
5. Determinar el valor de los demás ángulos, justifica tu respuesta
6. Calcular el ángulo T de la siguiente figura en la que AB || CD, EI es una transversal, GH es la
bisectriz del ángulo AGI; el ángulo AGH = 35º.

P T-Bachiller
Procedimiento
7. Responder las siguientes preguntas usando la figura siguiente, en donde AB || GH, IJ es una
transversal. ¿Cuáles son los ángulos alternos internos y como son entre si? ¿Cuáles son los
correspondientes?
8. Presentar conclusiones por equipo.
9. Exponer al grupo los resultados.
10. Resolver dudas en grupo.
11. Elaborar de manera individual el reporte escrito de la práctica que deberá incluir las conclusiones
de la misma.
envió a reciclaje.

P T-Bachiller
Determinación de Ángulos
Fecha: ______________
De la siguiente lista marque con una aquellas actividades que hayan sido cumplidas por el Alumno
durante su desempeño.
Desarrollo Si No No
Aplica
trabajo
1. Midió con el transportador el ángulo1
2. Determinó el valor de los demás ángulos y justificó su respuesta
3. Registró los valores en la bitácora
4. Midió con el transportador el ángulo EOA
5. Determinó el valor de los demás ángulos y justificó su respuesta
6. Calculó el ángulo T
7. Respondió las preguntas
8. Presentó conclusiones por equipo
9. Expuso al grupo los resultados
10. Resolvió dudas en grupo
11. Elaborar de manera individual el reporte escrito de la práctica que deberá
Observaciones:
PSA:
Hora de inicio:
Hora de término:
Evaluación:

P T-Bachiller
Práctica número 3
Nombre de la práctica Determinación de ángulos en triángulos
Propósito de la
práctica
Al finalizar la práctica el Alumno determinará los ángulos de diferentes triángulos,
de acuerdo con sus propiedades
Escenario Aula
Duración 4 h
• Bitácora
• Lápiz
• Papel

P T-Bachiller
Determinación de Ángulos en Triángulos
Fecha: ______________
De la siguiente lista marque con una aquellas actividades que hayan sido cumplidas por el Alumno durante
su desempeño.
Desarrollo Si No No
Aplica
trabajo
1. Calculó el valor de los ángulos A y B de la figura 1
2. Calculó el valor de los ángulos A y B de la figura 2
3. Calculó la distancia A B de la figura 3
4. Expuso sus conclusiones, utilizando sus cartulinas para una explicación con el
material de tipo mural
5. Estableció conclusiones en grupo
Observaciones:
PSA:
Hora de inicio:
Hora de término:
Evaluación:

P T-Bachiller
Práctica número 4
Nombre de la práctica Determinación de rectas y puntos notables de un
triángulo
Propósito de la
práctica
Al finalizar la práctica el Alumno determinará gráficamente al incentro,
circuncentro, ortocentro y gravicentro en un triángulo de acuerdo con sus
definiciones
Escenario Aula
Duración 2 h
• Bitácora
• Lápiz
• Papel

P T-Bachiller
Procedimiento
1. Realizar el triangulo PQR que se muestra en la figura 1.
Figura 1
2. Determinar el incentro. El incentro es el centro de la circunferencia inscrita en el triángulo, cuyos lados
son tangentes a la circunferencia para esto traza las bisectrices de los tres ángulos, el punto de
concurrencia de la bisectrices es el incentro.
3. Realizar el dibujo que se muestra en la figura 2:
Figura 2

P T-Bachiller
Procedimiento
4. Determinar el circuncentro, el circuncentro es el punto de intersección de las mediatrices de los lados del
triángulo. El circuncentro es el centro de la circunferencia circunscrita al triángulo, de tal manera que los
tres vértices del triangulo tocan la circunferencia. ¿Dónde se encuentra el circuncentro dentro o fuera del
triángulo?
5. Realizar un dibujo como el que se muestra en la figura 3?
Figura 3
6. Determinar el circuncentro. ¿Dónde se encuentra el circuncentro dentro o fuera del triángulo?
7. Realizar un dibujo como el que se muestra en la figura 4.
Figura 4
8. Determinar las alturas del triangulo. La altura del triangulo es el segmento que se traza desde un vértice
perpendicularmente a su lado opuesto.
9. Determinar el ortocentro. El ortocentro es el punto de concurrencia de las tres alturas del triangulo.

P T-Bachiller
Procedimiento
10. Realizar un dibujo como el que se muestra en la figura 5:
Figura 5
11. Determinar las medianas del triangulo. La mediana del triangulo es el segmento que se traza desde un
vértice al punto medio del lado opuesto.
12. Determinar el gravicentro. El gravicentro es el punto de concurrencia de las tres medianas del triangulo.
13. Exponer sus resultados, al término del tiempo fijado por el PSA., utilizando las cartulinas para una
explicación con el material de tipo mural.
14. Presentar conclusiones por equipo.
misma.
envió a reciclaje.

P T-Bachiller
Determinación de rectas y puntos notables de un triángulo
Fecha: ______________
su desempeño.
Desarrollo Si No No
Aplica
trabajo
1. Realizó el triangulo PQR que se muestra en la figura 1
2. Determinó el incentro del triángulo de la figura 1
3. Realizó el dibujo que se muestra en la figura 2
4. Determinó el circuncentro, del triángulo que se muestra en la figura 3
5. Realizó el dibujo que se muestra en la figura
6. Determinó las alturas del triangulo del triángulo de la figura 4
7. Determinó el ortocentro del triángulo de la figura 4
8. Realizó el dibujo que se muestra en la figura 5
9. Determinó las alturas del triángulo de la figura 5
10. Determinó el ortocentro de la figura 5
11. Determinó el gravicentro de la figura 5
12. Determinó las medianas del triángulo
13. Determinó el gravicentro
14. Cada equipo nombró un relator
15. Participó en el establecimiento de conclusiones grupales
16. Elaborar de manera individual el reporte escrito de la práctica que deberá
Observaciones:
PSA:
Hora de inicio:
Hora de término:
Evaluación:

P T-Bachiller
Práctica número 5
Nombre de la práctica Identificación de propiedades, postulados y
teoremas de los círculos
Propósito de la
práctica
Al finalizar la práctica el Alumno identificará las propiedades, postulados y
teoremas de los círculos mediante su construcción
Escenario Aula
Duración 4 h
• Bitácora
• Lápiz
• Papel

P T-Bachiller
Procedimiento
1. Trazar 10 círculos de diferentes radios con ayuda del compás.
2. Colocar un hilo a lo largo de cada uno de los círculos.
3. Medir la longitud de cada hilo
4. Realizar una cuadrícula sobre cada uno de los círculos, lo más fina que sea posible.
5. Contar el número de cuadros N .
6. Calcular el área de cada uno de los cuadros cA
7. Calcular las cantidades 2P rπ= y
2
A rπ= para cada uno de los valores del radio.
8. Registrar datos en la siguiente tabla
r l 2 rπ cNA 2
rπ
9. Escribir las definiciones de los elementos de la circunferencia: radio, diámetro, cuerda, arco, tangente y
secante.
10. Ilustrar los elementos de la circunferencia.
11. Escribir las definiciones de: ángulo central, ángulo inscrito, ángulo excéntrico, ángulo exterior, ángulo
semi-inscrito
Ilustrar en un círculo estos ángulos.
12. Comprobar mediante construcción los siguientes postulados del círculo:
Postulado 1: Dos círculos son iguales si tienen radios iguales.
Postulado 2: Los radios de un mismo círculo son iguales.
Postulado 3:Dos arcos son iguales cuando tienen los mismos los mismos radios y coinciden sus extremos.

P T-Bachiller
Procedimiento
13. Comprobar mediante construcción los teoremas del círculo:
Teorema 1. Si una recta es perpendicular a un radio en el extremo de éste, la recta es tangente al círculo.
Teorema 2. La perpendicular trazada por el centro de un círculo a una cuerda, bisecta la cuerda y los arcos
subtendidos.
Teorema 3. En todo círculo, dos paralelas intersecan arcos iguales, se presentan 3 casos: a) dos secantes, dos
tangentes, tangente y secante.
14. Exponer resultados, al término del tiempo fijado por el PSA., utilizando las cartulinas para una explicación
con material de tipo mural.
15. Presentar conclusiones.
misma.
envió a reciclaje.

P T-Bachiller
Identificación de propiedades, postulados y teoremas de los círculos
Fecha: ______________
su desempeño.
Desarrollo Si No No
Aplica
trabajo
1. Trazó 10 círculos de diferentes radios con ayuda del compás
2. Coloco un hilo a lo largo de cada uno de los círculos
3. Midió la longitud de cada hilo
4. Realizó una cuadrícula sobre cada uno de los círculos
5. Contó el número de cuadros N
6. Calculó el área de cada uno de los cuadros cA
7. Calculó las cantidades 2P rπ= y
2
A rπ= para cada uno de los valores del
radio
8. Registró datos en la siguiente tabla
9. Escribió las definiciones de los elementos de la circunferencia: radio,
diámetro, cuerda, arco, tangente y secante
10. Ilustró los elementos de la circunferencia
11. Escribió las definiciones de: ángulo central, ángulo inscrito, ángulo
excéntrico, ángulo exterior, ángulo semi-inscrito
12. Ilustró en un círculo estos ángulos
13. Comprobó mediante construcción los postulados del círculo
14. Comprobó mediante construcción los teoremas del círculo
15. Expuso resultados, al término del tiempo fijado por el PSA., utilizando las
cartulinas para una explicación con material de tipo mural
16. Presentó conclusiones

P T-Bachiller
Desarrollo Si No No
Aplica
Observaciones:
PSA:
Hora de inicio:
Hora de término:
Evaluación:

P T-Bachiller
Práctica número 6
Nombre de la práctica Determinación de áreas y volúmenes de sólidos
Propósito de la
práctica
Al finalizar la práctica el Alumno determinará áreas superficiales y volúmenes de
sólidos usando fórmulas
Escenario Aula
Duración 2 h
• Bitácora
• Lápiz
• Papel
• Cartulina
• Resistol

P T-Bachiller
Procedimiento
En ésta práctica se van a identificar determinar superficies y volúmenes de sólidos.
1. Redactar las definiciones de las siguientes figuras: prisma, pirámide cilindro, cono y esfera.
2. Construir con la cartulina prismas: triangular, cuadrangular, pentagonal, hexagonal.
3. Construir con la cartulina pirámides: triangular, cuadrangular, pentagonal, hexagonal.
4. Construir con la cartulina un cilindro, cono.
5. Registrar para los prismas: su altura y los lados de su base
6. Registrar para las pirámides: su altura y los lados de su base.
7. Registrar para el cilindro: su altura (generatriz), y el radio del círculo
8. Registrar para el cono; su altura y su radio.
9. Responder las siguientes preguntas: para los prismas ¿A qué es igual el área lateral?, ¿a qué es igual el
área total? Y ¿a qué es igual su volumen?
10. Indicar la fórmula para el cálculo del área lateral, del área total y del volumen para prismas.
11. Indicar la fórmula para el cálculo del área lateral, del área total y del volumen para las pirámides.
12. Calcular el área lateral, el área total y el volumen para los prismas y piramidales construidas.
13. Registrar resultados.

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Procedimiento
14. Indicar la fórmula para el cálculo del área lateral, del área total y del volumen para el cilindro.
15. Calcular el área lateral, el área total y el volumen para el cilindro construido.
17. Responder las preguntas ¿Qué es la generatriz? , ¿por qué recibe ese nombre?
18. Indicar la fórmula para el cálculo del área lateral, del área total y del volumen, para el cono,.
19. Calcular el área lateral, el área total y el volumen del cono.
21. Elaborar el reporte individual de la práctica.
envió a reciclaje.

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Determinación de áreas y volúmenes de sólidos
Fecha: ______________
su desempeño.
Desarrollo Si No No
Aplica
trabajo
1. Redactó las definiciones de las siguientes figuras: prisma, pirámide cilindro,
cono y esfera
2. Construyó con la cartulina prismas: triangular, cuadrangular, pentagonal,
hexagonal
3. Construyó con la cartulina pirámides: triangular, cuadrangular, pentagonal,
hexagonal
4. Construyó con la cartulina un cilindro, cono
5. Registró para los prismas: su altura y los lados de su base
6. Registró para las pirámides: su altura y los lados de su base
7. Registró para el cilindro: su altura (generatriz), y el radio del círculo
8. Registró para el cono; su altura y su radio
9. Respondió las siguientes preguntas: para los prismas
10. Indicó la fórmula para el cálculo del área lateral, del área total y del volumen
para prismas
para las pirámides
12. Calculó el área lateral, el área total y el volumen para los prismas y
piramidales construidas
13. Registró resultados
para el cilindro
15. Calculó el área lateral, el área total y el volumen para el cilindro construido
17. Respondió las preguntas para el cilindro

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Desarrollo Si No No
Aplica
1. Indicó la fórmula para el cálculo del área lateral, del área total y del
volumen, para el cono
2. Calculó el área lateral, el área total y el volumen del cono
Observaciones:
PSA:
Hora de inicio:
Hora de término:
Evaluación:

P T-Bachiller
RESUMEN
A lo largo de esta unidad el Alumno ha
aprendido a reconocer los elementos de la
geometría
Como punto, segmento, ángulo y plano
cartesiano para analizar y trabajar las figuras
geométricas y los cuerpos geométricos. La
compresión de estos elementos por su forma y
el uso de sus perímetros áreas y volúmenes es
una
herramienta muy valiosa para diseñar, cotizar y
fabricar toda clase de productos en diversos
materiales, para pasar del patrón en dos
dimensiones a la prenda en tres dimensiones,
saber seguir una indicación o un plano, elaborar
un nuevo empaque o evaluar las dimensiones de
un contenedor y sacar su volumen para
identificar su capacidad de carga.

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SOLUCIÓN DE PROBLEMAS
REALES UTILIZANDO FUNCIONES
TRIGONOMÉTRICAS
.
Este capítulo se ha elaborado con la
finalidad de utilizar las identidades
trigonométricas y sus funciones como
una valiosa herramienta en diversas
áreas de la vida profesional y cotidiana

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propiedades
15 h
con sus propiedades
15 h
7 h
20 h
2.2 Solucionar ecuaciones trígonométricas y triángulos oblicuángulos
17 h
Módulo
Unidad de
Aprendizaje
Matemáticas
II: Geometría y
Trigonometría
72h
Resultados de
Aprendizaje
usando funciones
trigonométricas
37 h
37 h

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2.1.1 FUNCIONES DEFINIDAS EN UN
TRIÁNGULO RECTÁNGULO
• Razón
Al cociente de un número entre otro distinto de
cero se le llama razón.
En un triangulo rectángulo hay seis razones
posibles para un ángulo dado. A estas razones se
les conoce como funciones trigonométricas.
• Funciones trigonométricas
Como ya se mencionó en el tema 1.2.1 los lados
del triangulo que forman el ángulo recto reciben
el nombre de catetos y el lado opuesto al ángulo
recto se llama hipotenusa.
Denotando por co al cateto opuesto, por ca al
cateto adyacente y por h a la hipotenusa Las seis
funciones trigonométricas se definen como:
sen
co a
h c
θ = =
cos
ca b
h c
θ = =
tan
co a
ca b
θ = =
cot
ca b
co a
θ = =
sec
h c
ca b
θ = =
csc
h c
co a
θ = =
• Funciones trigonométricas reciprocas
La cotangente es la función recíproca de la
tangente:
1
cot
tan
b
a
θ
θ
= =
La secante es la función recíproca del coseno:
1
sec
cos
c
b
θ
θ
= =
La cosecante es la función recíproca del seno:
1
csc
sen
c
a
θ
θ
= =
• Identidades trigonométricas básicas
Una identidad es una igualdad, a partir de las
definiciones de las funciones trigonométricas se
tienen las siguientes identidades trigonométricas.
sen
tan
cos
θ
θ
θ
=
tan cot 1θ θ =
cos sec 1θ θ =
sen csc 1θ θ =
• Funciones trigonométricas de ángulos
complementarios
Los ángulos α y β son complementarios, es
decir 90ºα β+ = .
De la figura:
sen cos
a
c
α β= =
cos sen
b
c
α β= =
Puesto que
90ºα β+ = :
( )sen cos 90ºα α= −
( )cos sen 90ºα α= −
De la figura:

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tan cot
a
b
α β= =
cot tan
b
a
α β= =
Puesto que 90ºα β+ = :
( )tan cot 90ºα α= −
( )cot tan 90ºα α= −
De la figura:
sec csc
c
b
α β= =
csc sec
c
a
α β= =
Puesto que 90ºα β+ = :
( )sec csc 90ºα α= −
( )csc sec 90ºα α= −
En conclusión:
( )sen cos 90ºα α= −
( )cos sen 90ºα α= −
( )tan cot 90ºα α= −
( )cot tan 90ºα α= −
( )sec csc 90ºα α= −
( )csc sec 90ºα α= −
• Funciones trigonométricas inversas
La función inversa del seno es la función arco cuyo
seno es y se denota por arcsen o por
1
sen−
.
La función inversa del coseno es la función arco
cuyo coseno es y se denota por arccos o por
1
cos−
.
La función inversa de la tangente es la función
arco cuyo tangente es y se denota por arctan o
por
1
tan−
.
La función inversa de la cotangente es la función
arco cuyo cotangente es y se denota por arccot o
por
1
cot−
.
La función inversa de la secante es la función arco
cuyo secante es y se denota por arcsec o por
1
sec−
.
La función inversa de la cosecante es la función
arco cuyo cosecante es y se denota por arccsc. o
por
1
csc−
.
Generalmente en las calculadoras las funciones
arco de las funciones trigonométricas se denotan
como:
-1
-1
-1
sen arcsen
cos arccos
tan arctan
θ θ
θ θ
θ θ
=
=
=
Competencia tecnológica.
Usar la calculadora o la
computadora para la solución de
problemas trigonométricos.
El Alumno:
1. Resolverá los siguientes ejercicios:
a) Obtener los valores de las funciones
trigonométricas del ángulo α ,
considerando que a = 20 y b = 30. Obtenga
el valor del ángulo α en grados y en
radianes.
b) Calcular el valor de β si α mide 48.35º.
c) Determinar el valor de la hipotenusa si, α
es de 40° y el cateto adyacente es de 20.
d) Determinar el valor de la cosecante si el
valor del seno es de 0.9702.
2. Realizará un reporte escrito con los datos
de cada ejercicio, las fórmulas o conceptos

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empleados, un esquema para cada
ejercicio y sus resultados.
Sugerencias o Notas
Competencia Científico-teórica
Identificar el uso de las funciones trigonométricas
para calcular variables en física.
El Alumno:
1. Analizará la siguiente nota:
En ausencia de fricción el ángulo de peralte
apropiado de una carretera depende de la
velocidad del automóvil y de la curvatura del
camino.
2
tan
v
Rg
θ =
donde v es la velocidad del automóvil R el radio
de la curva y
2
m
9.81
s
g =
, la aceleración de la
gravedad.
2. Identificará la dependencia de las variables
físicas con la función trigonométrica.
Competencia Científico-teórica
Determinar variables físicas usando
funciones trigonométricas.
El Alumno:
1. Determinará el ángulo de peralte para una
carretera con una radio de la curva de 100 m y una
velocidad del automóvil de 60 km/h.
2. Redactará sus conclusiones.
Competencia laboral
Resolver problemas laborales
usando funciones trigonométricas
El Alumno:
1. Investigará problemas del área de
su especialidad en los que se usen
para su solución funciones
trigonométricas.
datos de cada problema, las
funciones empleadas, un esquema
para cada problema e identificará
el área de su especialidad donde
aparece dicho problema.
Ejemplos:
El Alumno:
1. Determinará la altura de una torre. Si una
persona esta parada a 60 m de la base de una
torre, la persona mide 1.6 m y el ángulo de
elevación es de 70º (El ángulo de elevación es
el ángulo, medido desde la horizontal, al que
una persona tendría que elevar su línea de
visión para ver un objeto}
2. Determinará la longitud de un cable que se
debe tender desde la azotea de un edificio a
un punto en el suelo que está a 30 m en línea
recta. Si una persona acostada sobre la azotea
observa el punto con un ángulo de depresión
de 70° (el ángulo de depresión, es el ángulo,
medido desde la horizontal, al que una
persona tendría que bajar su línea de visión
para ver un objeto).
• Sistema coordenado cartesiano
Para obtener una gráfica en un plano, se necesitan
dos rectas dirigidas. Las dos rectas son
perpendiculares entre sí y se intersecan en el
número cero, al punto de intersección se le llama
origen. A la línea horizontal se le llama eje de las x,

P T-Bachiller
o de las abscisas y a la línea vertical se le llama eje
de las y ó de las ordenadas. Al conjunto se le
conoce como sistema de coordenadas cartesiano o
sistema de coordenadas rectangulares.
En el eje de las abscisas, los números positivos se
encuentran a la derecha del origen y los números
negativos a la izquierda. En el eje de las ordenadas
los números positivos se encuentran arriba del
origen y los valores negativos debajo de él. Los dos
ejes dividen al plano en cuatro regiones llamadas
cuadrantes. Un punto P en este plano se determina
con las dos coordenadas (x, y).
• Círculo trigonométrico
Con la finalidad de recordar con facilidad los
signos que tienen las funciones trigonométricas en
los cuatro cuadrantes y de observar las variaciones
de las funciones en estos cuatro cuadrantes, se
construye el círculo trigonométrico.
Este es un círculo de radio uno que se traza de
manera de que su centro coincida con el origen de
las coordenadas.
En el primer cuadrante:
Aplicando las definiciones de las funciones sen,
cos, tan, cot, y puesto que:
OC = OB = OA = 1, se tiene que:
En el triángulo BOD:
BD BD
sen BD
OB 1
OD OD
cos OD
OB 1
α
α
= = =
= = =
En el triángulo COT:
CT CT
tan CT
OC 1
α = = =
En el triángulo AOR:
AR AR
cot AR
OA 1
α = = =
De lo anterior, la representación de estas
funciones por líneas queda como se muestra a
continuación:
En el segundo cuadrante:

P T-Bachiller
BD BD
sen BD
OB 1
OD OD
cos OD
OB 1
α
α
= = =
= = =
CT CT
tan CT
OC 1
α = = =
AR AR
cot AR
OA 1
α = = =
continuación:
En el tercer cuadrante:
BD BD
sen BD
OB 1
OD OD
cos OD
OB 1
α
α
= = =
= = =
CT CT
tan CT
OC 1
α = = =
AR AR
cot AR
OA 1
α = = =
continuación:
En el cuarto cuadrante:

Geometria

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