Este documento presenta las fórmulas para modelar sistemas de colas M/M/1. Explica que λ representa la tasa de llegada de clientes y μ la tasa de servicio. Proporciona fórmulas para calcular la probabilidad de que no haya clientes en el sistema, la cantidad promedio de clientes en cola, el tiempo promedio que un cliente pasa en el sistema y otras métricas clave.

1. Formulario M/M/1:
SIENDO:
𝝀 = 𝑽𝒆𝒍𝒐𝒄𝒊𝒅𝒂𝒅 𝒅𝒆 𝒍𝒍𝒆𝒈𝒂𝒅𝒂𝒔
𝒄𝒍𝒊𝒆𝒏𝒕𝒆𝒔
𝒕𝒊𝒆𝒎𝒑𝒐
𝝁 = 𝑽𝒆𝒍𝒐𝒄𝒊𝒅𝒂𝒅 𝒅𝒆 𝒔𝒆𝒓𝒗𝒊𝒄𝒊𝒐𝒔
𝒄𝒍𝒊𝒆𝒏𝒕𝒆𝒔
𝒕𝒊𝒆𝒎𝒑𝒐𝒔
𝟏
𝝀
𝒕𝒊𝒆𝒎𝒑𝒐 𝒆𝒏𝒕𝒓𝒆 𝒍𝒍𝒆𝒈𝒂𝒅𝒂𝒔
𝟏
𝝁
𝒕𝒊𝒆𝒎𝒑𝒐 𝒆𝒏𝒕𝒓𝒆 𝒔𝒆𝒓𝒗𝒊𝒄𝒊𝒐𝒔
Factor de utilización
𝝆 =
𝝀
𝝁
Probabilidad de que no haya unidades en el sistema.
𝚸𝒐 = 𝟏 − 𝝆
Probabilidad de que haya n unidades en el sistema.
𝚸𝒏 = ( 𝟏 −
𝝀
𝝁
)(
𝝀
𝝁
)
𝒏
Numero promedio de unidades en cola
𝑳 𝒒 =
𝝀 𝟐
𝝁( 𝝁 − 𝝀)
Numero promedio de unidades en el sistema:
𝑳 𝒔 =
𝝀
𝝁 − 𝝀
Tiempo promedio que una unidad pasa en una cola:
𝑾 𝒒 =
𝑳 𝒒
𝝀
Tiempo promedio que una unidad pasa en el sistema:
𝑾 𝒔 =
𝟏
𝝁 − 𝝀

2. Formulario de mms
1. Probabilidad de que no haya unidades en el sistema
𝑷 𝟎 =
𝟏
∑
(
𝝀
𝝁
) 𝒏
𝒏!
+
(
𝝀
𝝁
) 𝑺
𝑺!
(
𝑺 ∗ 𝝁
𝑺( 𝝁)− 𝝀
)𝒌=𝟏
𝒏=𝟎
2. Cantidad de unidades promedio en la línea de espera
𝑳 𝒒 = (
(
𝝀
𝝁
) 𝑺+𝟏
( 𝑺 − 𝟏)! ( 𝑺 −
𝝀
𝝁
) 𝟐
)( 𝑷 𝟎)
3. Tiempo promedio de espera una unidad por servidor
𝑾 𝒒 = 𝑾 𝒔 −
𝟏
𝝁
4. Tiempo promedio que una unidad está en el sistema
𝑾 𝒔 =
𝑳 𝒔
𝝀
5. Probabilidad de tener que esperar por el servicio
𝑷 𝑾 = (
(
𝝀
𝝁
) 𝑺
𝑺!
)(
𝑺 ∗ 𝝁
( 𝑺 ∗ 𝝁) − 𝝀
)( 𝑷 𝟎)
6. Cantidad de unidades promedio en el sistema.
𝑳 𝒔 =
( 𝝀 ∗ 𝝁)(
𝝀
𝝁
) 𝒔( 𝑷 𝟎)
( 𝒔 − 𝟏)! (( 𝒔 ∗ 𝝁)−𝝀 𝟐)
7. Probabilidad de n unidades en el sistema.
𝑷 𝒏 =
(
𝝀
𝝁
) 𝟐
𝒏!
∗ ( 𝑷 𝟎) 𝑷𝑨𝑹𝑨 𝒏 ≤ 𝑺
UNIDADES
L Clientes, Unidades etc.
P %
W Tiempo