Repaso_de_Matrices. Definición, propiedades y aplicaciones.

1
5. Repaso de matrices
(© Chema Madoz, VEGAP, Madrid 2009)

2
Elemento: aij
Tamaño: m  n
Matriz cuadrada: n  n
(orden n)
Elementos de la diagonal: ann
Matrices














mn
m
m
n
n
a
a
a
a
a
a
a
a
a





2
1
2
22
21
1
12
11














n
a
a
a

2
1
)
( 2
1 n
a
a
a 
Vector columna
(matriz n x 1)
Vector fila
(matriz 1 x n)

3



























2
1
1
5
3
9
8
7
4
,
5
10
6
6
4
0
3
1
2
B
A








































3
9
5
11
7
9
5
6
6
2
5
)
1
(
10
1
6
5
6
3
4
9
0
)
8
(
3
7
1
4
2
B
A
Suma:
n
m
ij
mn
m
m
n
n
a
k
ka
ka
ka
ka
ka
ka
ka
ka
ka
k 















 )
(
2
1
2
22
21
1
12
11





A
Multiplicación por un escalar:

4
Si A, B, C son matrices mn, k1 y k2 son escalares:
(i) A + B = B + A
(ii) A + (B + C) = (A + B) + C
(iii) (k1k2) A = k1(k2A)
(iv) 1 A = A
(v) k1(A + B) = k1A + k1B
(vi) (k1 + k2) A = k1A + k2A

5
(a)
(b)
Nota: En general, AB  BA





 








8
6
2
9
,
5
3
7
4
B
A




















34
57
48
78
6
5
)
2
(
3
6
5
9
3
8
7
)
2
(
4
6
7
9
4
．
．
．
．
．
．
．
．
AB





 













0
2
3
4
,
7
2
0
1
8
5
B
A







































6
6
3
4
15
4
0
7
)
3
(
2
2
7
)
4
(
2
0
0
)
3
(
1
2
0
)
4
(
1
0
8
)
3
(
5
2
8
)
4
(
5
．
．
．
．
．
．
．
．
．
．
．
．
AB
Multiplicación:

6















mn
n
n
m
m
T
a
a
a
a
a
a
a
a
a





2
1
2
22
12
1
21
11
A
Transpuesta de una matriz A:
(i) (AT)T = A
(ii) (A + B)T = AT + BT
(iii) (AB)T = BTAT
(iv) (kA)T = kAT
Nota: (A + B + C)T = AT + BT + CT
(ABC)T = CTBTAT

7

























0
0
0
0
0
0
,
0
0
0
0
,
0
0
0
0
0
Matriz cero
A + 0 = A
A + (–A) = 0
inferior
Triangular
superior
Triangular
1
4
3
2
15
0
2
1
1
1
0
0
3
9
8
0
0
0
6
1
0
0
0
0
2
1
0
0
0
9
8
0
0
7
6
5
0
4
3
2
1






























Matrices triangulares

8
Matriz cuadrada n  n, i ≠ j, aij = 0










1
0
0
0
0
0
0
7
2
1
Matriz diagonal:













1
0
0
1
5
5
0
0
5
A: m  n, entonces
Im A = A In = A
Matriz identidad:














1
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1






9
Una matiz A n × n es simétrica si AT = A.











4
6
7
6
5
2
7
2
1
A
A
A 











4
6
7
6
5
2
7
2
1
T

10
m
n
mn
m
m
n
n
n
n
b
x
a
x
a
x
a
b
x
a
x
a
x
a
b
x
a
x
a
x
a

















2
2
1
1
2
2
2
22
1
21
1
1
2
12
1
11














m
mn
m
m
n
n
b
a
a
a
b
a
a
a
b
a
a
a






2
1
2
2
22
21
1
1
12
11
Matriz aumentada
asociada, para resolver
el sistema de ecuaciones
lineales.
Resolución de sistemas de ecuaciones lineales:

11
2x1 + 6x2 + x3 = 7
x1 + 2x2 – x3 = –1
5x1 + 7x2 – 4x3 = 9 
























 
9
4
7
5
7
1
6
2
1
1
2
1
9
4
7
5
1
1
2
1
7
1
6
2
12
R
































14
1
3
0
1
0
1
1
2
1
14
1
3
0
9
3
2
0
1
1
2
1
2
9
2
3
5
2
2
2
1
3
1
2
1
R
R
R
R
R









 










 




5
1
0
0
1
0
1
1
2
1
0
0
1
0
1
1
2
1
2
9
2
3
2
55
2
11
2
9
2
3
3 3
11
2
3
2 R
R
R
5
2
9
2
3
1
2
3
3
2
3
2
1







x
x
x
x
x
x
x3 = 5, x2 = –3, x1 = 10

12
Resolver mediante el método de Gauss-Jordan
x1 + 3x2 – 2x3 = – 7
4x1 + x2 + 3x3 = 5
2x1 – 5x2 + 7x3 = 19




































































0
0
0
0
3
1
1
0
2
1
0
1
3
1
1
0
3
1
1
0
7
2
3
1
33
11
11
0
33
11
11
0
7
2
3
1
19
7
5
2
5
3
1
4
7
2
3
1
3
2
1
2
3
11
1
2
11
1
3
1
2
1
3
2
4
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
Entonces: x2 – x3 = –3
x1 + x3 = 2
Haciendo x3 = t, tenemos x2 = –3 + t, x1 = 2 – t.

13
Resolver: x1 + x2 = 1
4x1 − x2 = −6
2x1 – 3x2 = 8









 












 
16
0
0
2
1
0
1
0
1
8
3
2
6
1
4
1
1
1
0 + 0 = 16 !!  No tiene soluciones.

14
Vectores fila:
u1 = (a11 a12 … a1n),
u2 = (a21 a22, … a2n),…,
um = (am1 am2 … amn)















mn
m
m
n
n
a
a
a
a
a
a
a
a
a





2
1
2
22
21
1
12
11
A













































mn
n
n
n
m
m a
a
a
a
a
a
a
a
a




2
1
2
22
12
2
1
21
11
1 ,
,
, v
v
v
Vectores columna: El rango de una
matriz A m  n, es el
máximo número de
vectores fila
linealmente
independientes.








































 







0
0
0
0
2
1
0
3
1
1
1
1
4
2
0
2
8
4
0
3
1
1
1
8
7
5
3
8
6
2
2
3
1
1
1
2
1
3
2
2
4
1
3
2
2
1
3
1
2
1
R
R
R
R
R
R
R
A
rang A = 2.

15
AX = 0
Siempre hay soluciones
(consistente)
Solución única X = 0
(solución trivial)
rang(A) = n
Infinitas soluciones
Rang(A) < n
n – r parámetros

16
AX = B, B≠0
Inconsistente
rang(A) < rang(A│B)
Consistente
rang(A) = rang(A│B)
Solución única
rang(A) = n
Infinitas soluciones
rang(A) < n
n – r parámetros

17
21
12
22
11
22
21
12
11
det a
a
a
a
a
a
a
a



A
.
det
33
21
12
32
23
11
31
22
13
32
21
13
31
23
12
33
22
11
33
32
31
23
22
21
13
12
11
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a







A
Determinantes
32
31
22
21
13
33
31
23
21
12
33
32
23
22
11
det
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a 











A
Expansión por cofactores a lo largo de la primera fila.

18
32
31
22
21
13
33
31
23
21
12
33
32
23
22
11
a
a
a
a
C
a
a
a
a
C
a
a
a
a
C 



33
32
31
23
22
21
13
12
11
det
a
a
a
a
a
a
a
a
a

A
det A = a11C11 + a12C12 + a13C13
El cofactor de aij es
Cij = (–1)i+ j Mij
donde Mij se llama menor.
... O por la tercera fila:
det A = a31C31 + a32C32 + a33C33
Podemos expandir por filas o columnas.

19











3
5
1
3
0
6
7
4
2
A 13
12
11 7
4
2
3
5
1
3
0
6
7
4
2
det C
C
C 



A
3
5
3
0
)
1
(
3
5
1
3
0
6
7
4
2
)
1
( 1
1
1
1
11






C
3
1
3
6
)
1
(
3
5
1
3
0
6
7
4
2
)
1
( 2
1
2
1
12






C
5
1
0
6
)
1
(
3
5
1
3
0
6
7
4
2
)
1
( 3
1
3
1
13






C

20
120
)]
1
(
0
)
5
(
6
[
7
)]
1
(
3
)
3
(
6
[
4
)]
5
(
3
)
3
(
0
[
2
5
1
0
6
)
1
(
7
3
1
3
6
)
1
(
4
3
5
3
0
)
1
(
2
det 3
1
2
1
1
1












 


A
13
12
11 7
4
2
3
5
1
3
0
6
7
4
2
det C
C
C 



A
120
)
6
(
3
)
23
(
6
5
1
4
2
)
1
(
3
3
5
7
4
)
1
(
6
3
0
6
det
3
2
2
1
23
22
21














C
C
C
A
Más corto desarrollando por la segunda fila...

21
238
)]
2
(
5
)
4
(
6
[
7
4
2
5
6
)
1
)(
7
(
0
4
2
7
8
1
0
5
6
)
1
)(
7
(
0
)
7
(
0
0
4
2
7
8
1
0
5
6
det
3
2
3
2
33
23
13






















C
C
C
A














0
4
2
7
8
1
0
5
6
A

22
det AT = det A
41
4
3
7
5
det 



A 41
4
7
3
5
det 



T
A
Si dos filas (columnas) de una matriz A de n × n
son idénticas, entonces det A = 0.











2
2
9
2
2
4
2
2
6
A 0
2
2
9
2
2
4
2
2
6
det 

A

23
Si todos los elementos de una fila (columna) de una
matriz A de n × n son cero, entonces det A = 0.
Si B es la matriz obtenida por intercambio de
dos filas (columnas) de una matriz A n × n,
entonces:
det B = −det A
A
B det
3
1
2
7
0
6
9
1
4
9
1
4
7
0
6
3
1
2
det 







24
Si B se obtiene de una matriz A n × n multiplicando
una fila (columna) por un número real k, entonces:
det B = k det A
A
B
A
det
)
(
det
fila
ésima
-
la
de
largo
lo
a
cofactores
por
det
de
expansión
2
2
1
1
2
2
1
1
k
C
a
C
a
C
a
k
C
ka
C
ka
C
ka
i
in
in
i
i
i
i
in
in
i
i
i
i













 




 



80
)
2
1
(
80
1
2
1
1
2
8
5
2
4
1
1
8
5
16
4
8
1
5
16
20
8
5







．
．
．

25
Si A y B son matrices n × n, entonces
det AB = det A  det B.

















5
3
4
3
,
1
1
6
2
B
A









9
6
22
12
AB
det AB = −24, det A = −8, det B = 3,
det AB = det A  det B.

26
det A = 45 = det B = 45.
B
A 
























 


2
4
11
7
0
3
2
1
5
4
1
4
7
0
3
2
1
5
3
1
3 R
R
Si B se obtiene como combinaciones lineales de
filas o columnas de una matriz A n × n, entonces:
det B = det A

27











33
32
31
22
21
11
0
0
0
a
a
a
a
a
a
A
33
22
11
32
33
22
11
33
32
22
11
)
．
0
(
0
det
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a




A

















2
4
2
7
0
4
9
5
0
0
6
2
0
0
0
3
A
144
)
2
(
．
)
4
(
．
6
．
3
2
4
2
7
0
4
9
5
0
0
6
2
0
0
0
3
det







A











4
0
0
0
6
0
0
0
3
A 72
4
6
)
3
(
4
0
0
0
6
0
0
0
3
det 




 ．
．
A
matriz diagonal
matriz triangular inferior

28
Supongamos que A es una matriz n  n.
Si ai1, ai2, …, ain son los elementos de la i-ésima fila
y Ck1, Ck2, …, Ckn son los cofactores de la k-ésima
fila, entonces:
ai1 Ck1 + ai2 Ck2 + …+ ain Ckn = 0, para i  k
Igualmente, si a1j, a2j, …, anj son los elementos de la
j-ésima columna y C1k, C2k, …, Cnk son los
cofactores de la k-ésima columna, entonces:
a1j C1k + a2j C2k + …+ anj Cnk = 0, para j  k

29
Demostración
Sea B la matriz que obtenemos de A al
cambiarle los elementos de la i-ésima fila por los
de su k-ésima fila:
bi1 = ak1, bi2 = ak2, …, bin = akn
B tendrá entonces dos filas idénticas de modo
que det B = 0, y:
kn
in
k
i
k
i
kn
kn
k
k
k
k
C
a
C
a
C
a
C
a
C
a
C
a











2
2
1
1
2
2
1
1
det
0 B

30













8
4
2
2
3
4
7
2
6
A
0
)
10
(
7
)
40
(
2
)
25
(
6
3
4
2
6
7
2
4
7
6
2
2
3
7
2
6
33
13
32
12
31
11























 C
a
C
a
C
a

31
Inversa de un matriz
Sea A una matriz n  n. Si existe una matriz
n  n B tal que
AB = BA = I
donde I es la matriz identidad n  n, entonces
se dice que A es una matriz no singular o
invertible. Y B es la matriz inversa de A.
Si A carece de inversa, se dice que es una
matriz singular.
Sean A, B matrices no singulares.
(i) (A-1)-1 = A
(ii) (AB)-1 = B-1A-1
(iii) (AT)-1 = (A-1)T

32
Sea A una matriz n × n. La matriz formada por
la transpuesta de la matriz de cofactores
correspondientes a los elementos de A:
se llama adjunta de A y se denota por adj A.





























nn
n
n
n
n
T
nn
n
n
n
n
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C










2
1
2
22
12
1
21
11
2
1
2
22
21
1
12
11
Matriz adjunta

33
A
A
A adj
det
1
1








































A
A
A
A
A
det
0
0
0
det
0
0
0
det
)
adj
(
33
23
13
32
22
12
31
21
11
33
32
31
23
22
21
13
12
11
C
C
C
C
C
C
C
C
C
a
a
a
a
a
a
a
a
a
Encontrar la matriz inversa:
Sea A una matriz n × n. Si det A  0, entonces:
Para n =3:

34







10
2
4
1
A



















2
1
1
1
2
5
1
2
4
10
2
1
A




































1
0
0
1
5
4
10
10
2
2
4
5
1
2
5
10
2
4
1
2
1
1
AA




































1
0
0
1
5
4
1
1
20
20
4
5
10
2
4
1
1
2
5
2
1
1
A
A

35












1
0
3
1
1
2
0
2
2
A
6
1
2
2
2
2
1
2
0
2
2
1
1
0
2
6
0
3
2
2
2
1
3
0
2
2
1
0
0
2
3
0
3
1
2
5
1
3
1
2
1
1
0
1
1
33
32
31
23
22
21
13
12
11






























C
C
C
C
C
C
C
C
C





























2
1
2
1
4
1
6
1
6
1
12
5
6
1
6
1
12
1
1
6
6
3
2
2
5
2
2
1
12
1
A

36













6
5
5
4
3
2
1
0
2
A






































1
0
5
0
0
1
1
5
3
0
0
0
0
1
1
0
0
6
5
5
0
1
0
4
3
2
0
0
0
1
1
0
0
6
5
5
0
1
0
4
3
2
0
0
1
1
0
2
2
5
2
17
2
1
2
1
5
2
2
1
2
1
3
1
2
1
1
2
1
R
R
R
R
R















1
0
0
0
1
0
0
0
1
)
|
(
2
1
2
22
21
1
12
11










nn
n
n
n
n
a
a
a
a
a
a
a
a
a
I
A

37





































6
10
5
1
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
1
0
0
1
0
0
0
0
1
3
1
3
1
3
5
2
1
2
1
30
5
1
3
1
6
1
30
1
3
1
3
1
3
5
2
1
2
1
5
1
2
1
10
17
3
1
3
1
3
5
2
1
2
1
3
3
2
3
5
1
2
3
1
R
R
R
R
R




















6
10
5
1
0
0
10
17
8
0
1
0
3
5
2
0
0
1
2
3
3
5
1
3
2
1
R
R
R
R

















6
10
5
10
17
8
3
5
2
1
A

38














3
0
6
5
4
2
2
1
1
A






























1
0
0
3
0
6
0
1
2
9
6
0
0
0
1
2
1
1
1
0
0
3
0
6
0
1
0
5
4
2
0
0
1
2
1
1
2
1
2 R
R



































1
1
4
0
0
0
0
1
2
9
6
0
0
0
1
2
1
1
1
0
6
9
6
0
0
1
2
9
6
0
0
0
1
2
1
1
3
2
3
1
6
R
R
R
R
Singular

39
m
n
mn
m
m
n
n
n
n
b
x
a
x
a
x
a
b
x
a
x
a
x
a
b
x
a
x
a
x
a

















2
2
1
1
2
2
2
22
1
21
1
1
2
12
1
11
,
2
1
2
22
21
1
12
11















mn
m
m
n
n
a
a
a
a
a
a
a
a
a





A ,
2
1















n
x
x
x

X















m
b
b
b

2
1
B
AX = B
Si m = n, y A es no singular, entonces:
X = A-1B

40
16
6
3
15
9
2
2
1
2
1




x
x
x
x


















 
16
15
6
3
9
2
2
1
x
x
0
39
6
3
9
2
















 

2
3
9
6
39
1
6
3
9
2
1






































3
1
6
13
234
39
1
16
15
2
3
9
6
39
1
2
1
x
x
3
/
1
,
6 2
1 

 x
x

41
4
4
3
2
1
6
5
5
2
2
3
2
1
3
2
1
3
1










x
x
x
x
x
x
x
x













6
5
5
4
3
2
1
0
2
A










































































36
62
19
1
4
2
6
10
5
10
17
8
3
5
2
1
4
2
6
5
5
4
3
2
1
0
2
1
3
2
1
x
x
x
36
,
62
,
19 3
2
1 


 x
x
x

42






















































nn
n
n
n
n
n
n
n
n
nn
n
n
n
n
c
b
C
b
C
b
c
b
C
b
C
b
c
b
C
b
C
b
b
b
b
C
C
C
C
C
C
C
C
C










2
2
1
1
2
22
2
12
1
1
21
2
11
1
2
1
2
1
2
22
12
1
21
11
det
1
det
1
A
A
B
A
X 1
-
A
A
A
det
det
det
2
2
1
1
k
nk
n
k
k
k
C
b
C
b
C
b
x






Regla
de
Cramer

43
0
0
0
2
2
1
1
2
2
22
1
21
1
2
12
1
11












n
mn
m
m
n
n
n
n
x
a
x
a
x
a
x
a
x
a
x
a
x
a
x
a
x
a





Un sistema homogéneo de n ecuaciones
lineales, AX = 0 tiene solo la solución trivial
(ceros) si y solo si A es no singular.
Un sistema homogéneo de n ecuaciones
lineales, AX = 0 tiene una solución no trivial
si y solo si A es singular.

44
Problemas de autovalores
Sea A una matriz n  n. Un número  se dice
que es un autovalor de A si existe una solución
vector K, distinto de cero para:
AK = K
El vector solución K es el autovector
correspondiente al autovalor .
DEFINICIÓN
Autovalores y autovectores
Los autovalores de una matriz triangular,
inferior o superior, o de una matriz diagonal son
los elementos de la diagonal.

45
Verifica que es el autovector de la
matriz:
Solución












1
1
1
K














1
1
2
3
3
2
3
1
0
A
K
AK )
2
(
1
1
1
)
2
(
2
2
2
1
1
1
1
1
2
3
3
2
3
1
0





















































Autovalor

46
• Podemos escribir AK = K como:
(A – I)K = 0
Que es lo mismo que un sistema de ecuaciones lineales
homogéneo. Si queremos que K sea una solución
distinta de cero, debería ocurrir que:
det (A – I) = 0
Observa que det (A – I) nos proporcionará un
polinomio de grado n, que llamaremos ecuación
característica.

47
Encuentra los autovalores y autovectores de:















1
2
1
0
1
6
1
2
1
A
0
1
2
1
0
1
6
1
2
1
)
det( 












I
A
–3 – 2 + 12 = 0
 ( + 4) ( – 3) = 0
 = 0, −4, 3.
Ahora encontraremos los
autovectores para cada
autovalor.
(A – I)K = 0

48
(i) 1 = 0

























































0
0
0
0
0
1
0
0
0
1
0
0
0
0
0
1
0
0
1
2
1
0
0
0
0
0
6
13
0
0
1
2
1
0
1
2
1
0
0
1
6
0
1
2
1
)
|
0
(
13
6
13
1
2
13
6
6
1
2
2
13
1
3
1
2
1
R
R
R
R
R
R
R
0
I
A
3
2
3
1
13
6
,
13
1
k
k
k
k 



Tomando k3 = −13












13
6
1
1
K
(A – 1I)K = 0

49
(ii) 2 = −4






















 





















0
16
8
0
0
18
9
0
0
3
2
1
0
1
2
5
0
0
3
6
0
3
2
1
0
3
2
1
0
0
3
6
0
1
2
5
)
|
4
(
3
1
2
1
13
3
5
6
R
R
R
R
R
R
0
I
A























 







0
0
0
0
0
2
1
0
0
1
0
1
0
2
1
0
0
2
1
0
0
3
2
1 3
2
1
2
3
8
1
2
9
1
2
2
R
R
R
R
R
R
k1 = −k3 , k2 = 2k3. Tomando k3 = 1:











1
2
1
2
K
(A – 2I)K = 0

50
(iii) 3 = 3


























 
0
0
0
0
0
1
0
0
1
0
1
0
4
2
1
0
0
4
6
0
1
2
2
)
|
3
( 2
3
0
I
A












2
3
2
3
K
k1 = – k3, k2 = –(3/2) k3. Y tomando k3 = –2,
(A – 3I)K = 0

51
1 = 2 = 5 es un autovalor de multiplicidad 2.
A partir de (A – 5I|0), tenemos:








7
1
4
3
A
0
)
5
(
7
1
4
3
)
det( 2







 


I
A
0
2
0
4
2
2
1
2
1






k
k
k
k
Encuentra los autovalores y autovectores de:
Tomando k2 = 1, tenemos
k1 = 2, y entonces







1
2
1
K

52
1 = 11, 2 = 3 = 8 (multiplicidad 2).











9
1
1
1
9
1
1
1
9
A
0
)
8
)(
11
(
9
1
1
1
9
1
1
1
9
)
det( 2









 




I
A
Encuentra los autovalores
y autovectores de:

53
(i) 1 = 11, por el método de Gauss-Jordan:


























 
0
0
0
0
0
1
1
0
0
1
0
1
0
2
1
1
0
1
2
1
0
1
1
2
)
|
11
( 0
I
A











1
1
1
1
K
k1 = k3, k2 = k3. Si k3 = 1, entonces:

54
(ii) 2 = 8,





















 
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
1
0
1
1
1
0
1
1
1
0
1
1
1
)
|
8
( 3
0
I
A
,
0
1
1
2











K











1
0
1
3
K
k1 + k2 + k3 = 0. Podemos elegir dos de ellos de manera
arbitraria. Tomemos k2 = 1, k3 = 0:
Y k2 = 0, k3 = 1:

55
AK = K,
Sea A una matriz cuadrada de elementos reales.
Si  =  + i,   0, es un autovalor complejo de A,
entonces su conjugado es también un
autovalor de A.
Si K es un autovector correspondiente a , entonces
el autovector conjugado es un autovector
correspondiente a .
Autovalores y autovectores complejos


 i


K

,
K
K
A 
 K
K
A 

Demostración:

56
1 = 5 + 2i





 

4
5
1
6
A
0
29
10
4
5
1
6
)
det( 2








 



I
A
i
i 2
5
,
2
5 1
2
1 



 


0
)
2
1
(
5
0
)
2
1
(
2
1
2
1






k
i
k
k
k
i
Encuentra los autovalores
y autovectores de:
k2 = (1 – 2i) k1, tomando k1 = 1: 







i
2
1
1
1
K









i
2
1
1
1
2 K
K
,
2
5
1
2 i


 

(A – 1I)K = 0

57
Potencias de una matriz
Sea A, una matriz n × n. Definimos la
potencia m-ésima de A como:




 
factores
m
m
A
AAA
A 

58
Teorema de Cayley-Hamilton
0
I
A
A
A 




 
 0
1
1
1
)
1
( c
c
c n
n
n
n

0
)
1
( 0
1
1
1 




 
 c
c
c n
n
n
n


 
Una matriz A satisface su propia
ecuación característica:
Ecuación característica: det (A – I) = 0

59









3
1
4
2
A
Observa que entonces: A2 = A + 2I y 2 =  + 2
Y podemos escribir las sucesivas potencias
de A como:
A3 = AA2 = A(A+ 2I ) = A2 + 2A = 3A+ 2I
A4 = AA3 = A (3A+2I) = 3A2+2A = 5A+ 6I
A5 = 11A + 10I
A6 = 21A + 22I
... Am = c1A + c0I ... m = c1 + c0
2 −  – 2 = 0.
Y por el teorema de Cayley-
Hamilton:
A2 − A – 2I = 0
Comprobarlo con:

60
O sea que podemos escribir:
Am = c1A + c0I y m = c1  + c0
2 −  – 2 = 0; 1 = −1 , 2 = 2:











)
2
(
2
)
1
(
)
1
(
1
0
1
0
c
c
c
c
m
m
]
)
1
(
2
[
1/3
],
)
1
(
2
2
[
1/3 1
0
m
m
m
m
c
c 























 
]
)
1
(
2
[
]
)
1
(
2
[
]
)
1
(
2
[
]
)
1
(
4
2
[
2
3
1
3
1
3
4
3
1
m
m
m
m
m
m
m
m
m
A

61
Am = c0I + c1A + c2A2 +…+ cn–1An–1
m = c0 + c1  + c2  2 +…+ cn–1  n–1
donde los ck (k = 0, 1,…, n–1), dependen de m.
Y en general, para una matriz de orden n:

62
Solución
3 + 2 2 +  – 2 = 0, = –1, 1, 2.
Am = c0I + c1A +c2A2
m = c0 + c1 + c2 2
Con 1 = –1, 2 = 1, 3 = 2, obtenemos:
(–1)m = c0 – c1 + c2
1 = c0 + c1 + c2
2m = c0 +2c1 + 4c2














1
1
0
1
2
1
2
1
1
A
Calcula Am para:
]
2
)
1
(
3
[
],
)
1
(
1
[
2
],
2
)
1
(
3
[
1
6
1
2
1
3
1
0













m
m
m
m
m
c
c
c

63
Puesto que Am = c0I + c1A +c2A2, tenemos:



































]
)
1
(
7
2
3
[
]
)
1
(
2
[
]
)
1
(
2
3
[
1
2
2
2
1
]
)
1
(
7
2
9
[
]
)
1
(
2
[
]
)
1
(
2
9
[
1
6
1
3
1
1
6
1
1
6
1
3
1
1
6
1
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
A














342
341
341
1023
1024
1023
341
341
340
10
A
Por ejemplo, para m = 10

64
Por el teorema de Cayley-Hamilton:
A2 – A – 2I = 0,
I = (1/2)A2 – (1/2)A,
Multiplicando a ambos lados por A–1 podemos
encontrar la inversa:
A–1 = (1/2)A – (1/2)I









3
1
4
2
A


































1
2
1
0
0
1
2
1
3
1
4
2
2
1
3
1
4
2
2
1
2
3
1

65
Una matriz A n  n es simétrica si A=AT
Si A es simétrica con elementos
reales, entonces los autovalores de
A son reales.
AK = K, ,
K
K
A 
 K
K
A 

K
K
AK
K T
T


Transponiendo y multiplicando por K por la derecha:
K
KT
)
(
0 
 

0
)
|
|
|
|
|
|
( 2
2
2
2
1 



 n
T
k
k
k 
K
K
real.
es
0 

 




66
Al igual que definimos el producto escalar
entre vectores:
x  y = x1 y1 + x2 y2 + … + xn yn
podemos definirlo con matrices (vectores fila
o columna):
X  Y  XT Y = x1 y1 + x2 y2 + … + xn yn
2
2
2
2
1
||
|| n
T
x
x
x 



 
X
X
X
Autovectores ortogonales
Veamos que si A es una matriz n × n simétrica, los
autovectores correspondientes a distintos
(diferentes) autovalores son ortogonales.

67
Demostración
Sean 1,, 2 dos autovalores distintos
correspondientes a los autovectores K1 y K2.
AK1 = 1K1 , AK2 = 2K2
(AK1)T = K1
TAT = K1
TA = 1K1
T
K1
TAK2 = 1K1
TK2 AK2 = 2K2,
K1
TAK2 = 2K1
TK2
0 = 1K1
TK2 − 2K1
TK2
0 = (1 − 2) K1
TK2
Como 1  2, entonces K1
TK2 = 0.

68
 = 0, 1, −2 y














0
1
0
1
1
1
0
1
0
A
,
1
0
1
1











K ,
1
1
1
2











K












1
2
1
3
K
0
)
1
(
1
2
0
1
1
1
2
1
)
1
0
1
(
0
)
1
(
1
1
0
)
1
(
1
1
1
1
)
1
0
1
(
3
1
2
1


































．
．
．
．
．
．
K
K
K
K
T
T
0
)
1
(
1
2
1
1
)
1
(
1
2
1
)
1
1
1
(
3
2 

















 ．
．
．
K
KT

69
Matriz ortogonal:
Una matriz A n × n no singular es ortogonal si:
A-1 = AT
A es ortogonal si ATA = I.











1
0
0
0
1
0
0
0
1
I ITI = II = I













3
2
3
1
3
2
3
1
3
2
3
2
3
2
3
2
3
1
A
I
A
A 




































1
0
0
0
1
0
0
0
1
3
2
3
1
3
2
3
1
3
2
3
2
3
2
3
2
3
1
3
2
3
1
3
2
3
1
3
2
3
2
3
2
3
2
3
1
T

70






























1
0
0
0
1
0
0
0
1
2
1
2
2
2
1
2
1
2
1
1
1










n
T
n
T
n
T
n
n
T
T
T
n
T
T
T
T
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
A
A
Una matriz A n × n es ortogonal si y solo si sus
vectores columnas X1, X2, …, Xn forman un
conjunto ortonormal.
Es decir si: Xi
TXj = 0, i  j , i, j =1, 2, …, n
Xi
TXi = 1, i =1, 2, …, n
Los Xi forman un conjunto ortonormal.

71
,
3
2
3
2
3
1
1












X ,
3
1
3
2
3
2
2











X ,
3
2
3
1
3
2
3











X













3
2
3
1
3
2
3
1
3
2
3
2
3
2
3
2
3
1
A
0
9
2
9
2
9
4
)
(
0
9
4
9
2
9
2
)
(
0
9
2
9
4
9
2
)
(
3
2
3
1
3
2
3
1
3
2
3
2
3
2
3
2
3
1
3
2
3
2
3
2
3
1
3
1
3
1
3
2
3
2
3
2
3
2
3
1
2
1


















































X
X
X
X
X
X
T
T
T

72
Y los vectores son unitarios, ortonormales:
1
9
4
9
1
9
4
)
(
1
9
1
9
4
9
4
)
(
1
9
4
9
4
9
1
)
(
3
2
3
1
3
2
3
2
3
1
3
2
3
3
3
1
3
2
3
2
3
1
3
2
3
2
2
2
3
2
3
2
3
1
3
2
3
2
3
1
1
1

















































X
X
X
X
X
X
T
T
T

73
,
1
0
1
1











K ,
1
1
1
2











K












1
2
1
3
K
,
2
||
|| 1
1
1 
 K
K
K T
,
3
||
|| 2
2
2 
 K
K
K T
6
||
|| 3
3
3 
 K
K
K T
,
2
1
0
2
1
















,
3
1
3
1
3
1

































6
1
6
2
6
1



















6
1
3
1
2
1
6
2
3
1
0
6
1
3
1
2
1
P
Verifica que PT = P-1.














0
1
0
1
1
1
0
1
0
A
Vimos

74
Autovalor dominante
Sean los autovalores
de una matriz A n × n. El autovalor se
llama autovalor dominante de A si:
Un autovector asociado se denomina
autovector dominante de A.
n
k 


 ,
,
,
,
, 2
1 

k

n
i
i
k ,
,
3
,
2
,
1
,
|
|
|
| 

 

k









4
0
0
4
A
2
,
2 2
1 

 

5
0
0
1
5
0
0
0
2











A
5
,
2 3
2
1 

 



75
Método de las potencias

,
3
,
2
,
1
,
1 
  i
i
i AX
X
0
1
0
2
1
2
0
1
X
A
AX
X
X
A
AX
X
AX
X
m
m
m 






Supongamos que
A tiene un autovalor
dominante.
Vector n 1
Supongamos que |1| > |2|  …  |n| con K1, K2, …, Kn
autovectores asociados linealmente independientes. Entonces:
n
n
c
c
c K
K
K
X 


 
2
2
1
1
0
Como AKi = iKi , entonces:
AX0 = c1AK1 + c2AK2 + … + cnAKn
n
n
c
c
c K
K
K
AX n
2
2
2
1
1
1
0 

 


 

76
Multiplicando por A sucesivamente:
n
n
n
n
n
c
c
c
c
c
c
K
K
K
AK
AK
AK
X
A
2
2
2
2
2
1
2
1
1
n
2
2
2
1
1
1
0
2
















n
m
n
n
m
m
m
c
c
c K
K
K
X
A 

 


 
2
2
2
1
1
1
0























 n
m
n
n
m
m
c
c
c K
K
K
1
2
1
2
2
1
1
1




 
1
1
1
0 K
X
A c
m
m


Como |1| > |i|, i = 2, 3, …, n; cuando m  ,
podemos aproximar:
(...)

77
Observemos que un autovector multiplicado por una
constante sigue siendo un autovector. De modo que
podemos escribir:
Am X0 = Xm
De modo que Xm será una aproximación al autovector
dominante.
Puesto que AK = K, AKK= KK
que nos da una aproximación al autovalor dominante.
K
K
K
AK




m
m
m
m
X
X
X
AX



1

1
1
1
0 K
X
A c
m
m


Cociente de Rayleigh.

78








1
3
2
4
A







1
1
0
X 











































16
28
2
6
1
3
2
4
2
6
1
1
1
3
2
4
1
2
0
1
AX
X
AX
X
6
Xi
7
5
4
3
i






68
144






364
712






1772
3576






8956
17848






44588
89304









4933
.
0
1
89304
7
X
1
1
1
0 K
X
A c
m
m



79





















5007
.
2
9986
.
4
4993
.
0
1
1
3
2
4
7
AX
2493
.
1
4993
.
0
1
4993
.
0
1
2472
.
6
4993
.
0
1
5007
.
2
9986
.
4
7
7
7
7




























T
T
X
X
X
AX
．
．
0006
.
5
2493
.
1
2472
.
6
7
7
7
7
1 


X
X
X
AX
．
．

,
2
,
5 2
1 

 
 














3
1
,
5
.
0
1
2
1 K
K

80
Si existe una matriz P, tal que P-1AP = D sea
diagonal, entonces decimos que A es
diagonalizable.
Si A es una matriz n × n que tiene n autovectores
K1, K2, …, Kn linealmente independientes, entonces
A es diagonalizable.
TEOREMA
Condición suficiente de diagonalizabilidad
Matriz diagonalizable

81
Demostración
• Puesto que P = (K1, K2, K3) es no singular,
entonces existe P-1 y
Así que P-1AP = D.
PD
K
K
K
K
K
K
AK
AK
AK
AP














3
2
1
3
2
1
3
3
2
2
1
1
3
2
1
0
0
0
0
0
0
)
(
)
(
)
(







82
Si A es una matriz n  n con n autovalores
distintos, entonces es diagonalizable.
Condición suficiente de diagonalización








7
1
4
3
A







1
2
1
K
Tenemos que  = 5, 5.
Y solo podemos encontrar un autovector.
La matriz no puede diagonalizarse.

83









10
6
9
5
A
)
4
)(
1
(
4
5
10
6
9
5
)
det( 2












 





I
A
,
2
3
1 






K 






1
1
2
K
,
1
2
1
3
)
( 2
1 






 K
K
P 









3
2
1
1
1
P
D
AP
P 































4
0
0
1
1
2
1
3
10
6
9
5
3
2
1
1
1
Diagonaliza:
 = 1, 4.

84















1
2
1
0
1
6
1
2
1
A







































2
3
2
,
1
2
1
,
13
6
1
,
3
,
4
,
0
3
2
1
3
2
1
K
K
K


















2
1
13
3
2
6
2
1
1
)
( 3
2
1 K
K
K
P















21
2
7
1
21
8
28
3
7
2
28
9
12
1
12
1
1
0
P
D
AP
P























































3
0
0
0
4
0
0
0
0
2
1
13
3
2
6
2
1
1
1
2
1
0
1
6
1
2
1
0
21
2
7
1
21
8
28
3
7
2
28
9
12
1
12
1
1

85











1
0
0
0
0
1
0
1
0
A












0
1
1
1
K









 













 
0
0
0
0
0
0
0
1
1
0
0
0
0
1
1
0
1
1
)
|
( 0
I
A
 = −1, 1, 1.  = −1
 = 1
,
0
1
1
2











K











1
0
0
3
K












1
0
0
0
1
1
0
1
1
P











1
0
0
0
1
0
0
0
1
D
junto con K1, forman tres vectores
linealmente independientes. Luego la
matriz es diagonalizable.
P-1AP = D

86
• Si existe una matriz P ortogonal que puede
diagonalizar a A, decimos que A es
ortogonalmente diagonalizable.
• Una matriz A n x n es ortogonalmente
diagonalizable si y solo si es simétrica.
P diagonaliza a A: P-1AP = D, A = PDP-1.
P es ortogonal: P-1 = PT, entonces:
A = PDPT.
AT = (PDPT)T = PDTPT = PDPT = A
Luego A es simétrica.

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