1. El documento presenta los conceptos y procedimientos de reducción al primer cuadrante de ángulos. Esto implica expresar las razones trigonométricas de cualquier ángulo en función de un ángulo agudo del primer cuadrante. Se describen casos como ángulos entre 0° y 360°, mayores a 360°, negativos y ángulos relacionados. 2. Se presentan ejemplos numéricos de aplicación de las reglas de reducción al primer cuadrante para ángulos en diferentes cuadrantes. 3. Finalmente, se proponen

1. 1
Centro Preuniversitario de la UNS S-06 Ingreso Directo
).(T.RCo
220
90
R
).(T.R
360
180
R
)(RT





















UNIVERSIDAD NACIONAL DEL SANTA
CEPUNS
Ciclo 2018-II
TRIGONOMETRÍA
“Reducción al Primer Cuadrante”
Definición:
Es el procedimiento mediante el cual se determinan
las razones trigonométricas de un ángulo que no es
agudo, en función de otro que sí lo sea.
La conversión de una razón trigonométrica (R.T) de
un ángulo cualquiera en otra razón equivalente de un
ángulo del primer cuadrante se llama:”reducción al
primer cuadrante”
También reducir al primer cuadrante un ángulo
significa encontrar los valores de las RT de cualquier
ángulo en forma directa mediante reglas prácticas.
Casos:
I. Ángulos cuyas medidas están en
<90º ; 360º>: En este caso, el ángulo original "α"
se descompone como la suma o resta de un ángulo
cuadrantal (90º ; 180º ; 270º ó 360º) con un ángulo
que sea agudo; para luego aplicar :
Donde el signo (±) que deberá anteponerse al
resultado dependerá del cuadrante al que pertenezca
el ángulo original " α "
Por ejemplo; calculemos:
*
*
*
*
II. Ángulo cuya medida es mayor que 360º:
En este caso, se procede de la siguiente manera:
Por ejemplo, calculemos:
Si el ángulo estuviese expresado en radianes, se
procede de la siguiente manera:
*
Es decir, si fuese:
Se divide:
R.T.( ) R.T.( )
: no es agudo : sí es agudo
).(T.RCo
220
90
R
).(T.R
360
180
R
)(RT





















2
3
º30Cos)30º90(Senº120Sen
)(



2
1
º60Cos)º60º180(Cosº120Cos
)(



3º30Cot)º30º270(Tanº240Tan
)(



2º30Csc)º30º360(Cscº330Csc
)(



R.T. ( ) = R.T. ( ) ; donde 360º  
q
Residuo
2
3
º60Senº2580Sen  * Tan 3285º = Tan
2580º 360º
2520º 7
60º
3285º 360º
3240º 9
45º
133 4
132 33
1
127 6
126 21
1
1
2
1Sen
2
Sen133  Co
3
127Cos 
*
133 4
132 33
1
127 6
126 21
1
1
2
1Sen
2
Sen133 
2
1
3
1Cos
3
127Cos 
*
2ba;
b
a.T.R 




 
a 2b
q
r este residuo reemplaza al numerador "a"
Semana Nº 6

2. Lic. Rodolfo Carrillo Velásquez WWW.lobo-de-fama.blogspot.com Trigonometría.
2
Centro Preuniversitario de la UNS S-06 Ingreso Directo
*
III. Ángulos de medida negativa: Se
procede de la siguiente manera:
Por ejemplo, calculemos:
*
*
IV. Ángulos relacionados:
1.
2.
Por ejemplo, calculemos:
En esta expresión note que:
Luego:
Reduciendo, quedaría C = 0
PROBLEMA DE CLASE
1. Calcular el valor de W
2
119cos
2
51sen
7
8cos
7
2001cosW 
A) 0 B) –1 C) 1 D) 2 E) –2
2. Sabiendo que:
5
9sen
)123sec()
2
2001(tg
)
2
41cos()28csc(



Hallar la medida de θ sabiendo que está
en el tercer cuadrante y es positivo
menor que una vuelta.
A)
7𝜋
5
B)
13𝜋
10
C)
9𝜋
10
D)
6𝜋
5
E)
13𝜋
9
3. Reducir:
14
13cos
14
11cos
14
3cos
14
cos
7
5sen
7
4sen
7
3sen
7
2sen
Q
4444
4444



A) ½ B)
1
3
C)
1
4
D) 1 E)
1
6
4. Si
24
 y 
4
3
Resolver la siguiente expresión:
)(cos1
)tgtg(sencos
S
2 


A) -tg  B) ctg  C) -tg 
D) -ctg  E) tg(  +  )
5. Si cos=4sen
Calcular:
)
2
3(ctg)(sen)
2
3(tg
)cos()csc()4(sen
M



A) -4 B) 4 C)
4
3
D) −
4
3
E)
1
4
6. Sabiendo que  +  =  y  +  = 2
Calcular:
1315 8
51 164
35
3
1345
3
1345Sen 
*
4
3Tan
4
1315Tan 
Sen(-x) = -Senx Csc(-x) = -Cscx
Cos(-x) = Cosx Sec(-x) = Secx
Tan(-x) = - Tanx Cot(-x) = - Cotx
2
2
º45Sen)º45(Sen 
2
1º60Cos)º60(Cos 
3)º30Cot()º30º90(Tanº120Tan)º120(Tan
)(












TanyTanx
CosyCosx
SenySenx
180ºyx:Si










TanyTanx
CosyCosx
SenySenx
360ºyx:Si
7
6Cos
7
5Cos
7
4Cos
7
3Cos
7
2Cos
7
CosC 
7
6Cos
7
Cos
7
6
7

7
5Cos
7
2Cos
7
5
7
2 
7
4Cos
7
3Cos
7
4
7
3 
7
6Cos
7
5Cos
7
4Cos
7
4Cos
7
5Cos
7
6CosC 

3. Lic. Rodolfo Carrillo Velásquez WWW.lobo-de-fama.blogspot.com Trigonometría.
3
Centro Preuniversitario de la UNS S-06 Ingreso Directo
 x
2
cos
)x23(tgx
2
3
2
sen
k











A) –3 B) –2 C) –1 D) 1 E) 0
7. Si se cumple que:
𝑆 = 𝑠𝑒𝑛240°. 𝑡𝑔300°
𝑀 = 𝑐𝑜𝑠1200°. 𝑡𝑔1500°
Calcular: S + M
A) B) C) D) E)
8. En un triángulo ABC, Reducir:
𝑃 = 𝑠𝑒𝑛𝐴. 𝑐𝑠𝑐(𝐵 + 𝐶) + 𝑡𝑔𝐵. 𝑐𝑜𝑡 (𝐴 + 𝐶)
A) 0 B) 2 C)-2 D) sec2A E) -sec2A
9. Halle 𝛼 en el intervalo, si se cumple:
tg50°.cot230°.tg200° = cot 𝛼
A) 230° B) 240°C) 208° D) 250° E) 210°
10. Si
además y Halle el valor de:
A) 6 B) -4 C) -10 D) 14 E) -2
11. Reduzca:
x
A) 2 B) 1 C) -1
D) -2 E)
12. Si entonces al simplificar:
se obtiene:
A) 1 B) 2 C) 3
D) 4 E) 5
13. Si se cumple:
Calcular:
A) 5 B) -3 C) -2
D) -5 E)
14. Si se cumple que:
Calcule el valor de:
𝑁 = 𝑠𝑒𝑛(180° + 𝑥) . 𝑡𝑔(90° + 𝑥)
A) B) C)
D) E)
15. Si 𝛼 y 𝛽 son ángulos suplementarios,
calcule el valor de:
A) 1 B) 2 C) 3
D) -3 E) -1
16. Calcule el valor de “K”, a partir de:
A) 1 B) -1 C) 2
D) -2 E) 0
17. Reducir:
A) tgx B) -tgx C) 1
D) -1 E) 2
18. Calcule el valor de la siguiente
expresión:
3 3
3 3
2
3
2

3 3
2

3 3
4

tg 3sen 4cos 4cot 3 3    
IC IIC
E 10sec(180º ) 5sen( 270º)   
 E csc 2005 tg 2003
2
   
        
  
17 23
csc cot
2 2
      
        
    
x y
2

 
3secx.secy cos(8x 9y)
F
tgx tgy sen(9x 8y)

 
 
3 3
tg
2 2
 
  
 
 M 13 sen(2 ) cos( )   
IIC
1
13

x 2
cos
2 3

1
2
1
3
1
4
2
3
2
5
2tg sen
E
tg sen
 
 
 
3 4
cos cos Ksen
7 7 14
  
 
 
5
cot(2 x) tg x
2
M
3
tg x cot 2 x
2
 
    
 
 
    
 

4. Lic. Rodolfo Carrillo Velásquez WWW.lobo-de-fama.blogspot.com Trigonometría.
4
Centro Preuniversitario de la UNS S-06 Ingreso Directo
A) -1 B) 1 C) 0
D) 2 E) -2
19. Del gráfico calcular:
𝑀 = 𝑐𝑜𝑡𝛼 − 𝑐𝑜𝑡𝛽
A) 0 B) C) D) E)
20. Del gráfico mostrado halle:
F = 25[sen(–) + cos(–)] + 24 tg(–)
A) –38 B) – 24C) – 21 D) 21 E) 38
21. Si
4

  , calcule:
csc 73 .ctg 65 .ctg 417
2 2 2
F
35
cos .sen 27 .tg 111
2 2 2
       
          
     
       
          
     
A) – 8 2 B) – 4 2 C) – 2 2
D) 2 2 E) 2
22. Si: sen = – 3
5
   IIIC
cos = – 5
13
   IIC
Calcule:
 
   
sen 3 cos sec
2 2
F
3
ctg tg csc
2
    
           
   
 
          
 
A) 11
120
B) 31
120
C) 33
140
D) 41
120
E) 51
140
23. Al simplificar:
 
 
tg 99 x .cos 37 x .sec(90 x)
2
F
ctg 91 x .sen 40 x
2
 
     
 
 
   
 
Se obtiene:
A) – senx B) – secx C) – tgx
D) – ctgxE) – cosx
24. Reducir:
sen3130º.tg2680º.cos3550º.ctg3280º
F
cos2630º.sen2290º.sen1710º.sec2400º

A)
2
2
B) 3
2
C) – 3
2
D) –1/2
E) –1
25. Si : 𝑥 + 𝑦 = 
Reducir: 𝐹 = 𝑠𝑒𝑛(𝑐𝑜𝑠𝑥) + 𝑠𝑒𝑛(𝑐𝑜𝑠𝑦)
A) senx B) seny C) cosx
D) cosy E) 0
26. Al simplificar:
cos( x) ctg(180 x) sen(360º x)
F
cos(180º x) sen( x)
   
 
 
se obtiene:
A) – cscxB) cscxC) – secx D) secx E) – ctgx
27. Si a = sen2004º y b = cos2004º; entonces a
b
es:
A) ctg24º B) tg42º C) tg14º
D) ctg66º E) tg34º
28. Reducir 𝐹 = 𝑡𝑔(2𝐴 + 𝐵) 𝑐𝑡𝑔(𝐴 – 𝐶)
donde A y B son los ángulos de un triángulo.
A) ½ B) –1 C) 1
D) tg2B E) ctg2B
7
sen sen
12 12
P
7
cos cos
12 12
    
   
    
    
   
   
5
6
13
6
2
3

3
2
(–7; –24)

y
x