Conveccion, TRANSFERENCIA DE CALOR

1.2. Converclón
l.
7
. ,
onv CI
El fenómeno de transferencia de calor por convección es un proceso de transpor
te de energía gue se lleva a cabo como consecuencia del movimiento de un fluido
(líquido o gas) en la vecindad de una superficie, y está íntimamente relacionado
con su movimiento. Para explicar esto, considérese una placa cL1ya sllperficie se
mantiene a una temperatura Ts (fig. 1 .4) y qlle disipa el calor hacia uo fluido cuya
temperatura es T"". La experiencia indica que el sistema disipa más calor cuando
se le hace pasar aire proveniente de Lln ventilador que cuando sólo está expues
to al aire ambiente; de ello se desprende que la velocidad del fluido tiene un efec
to importante sobre la transferencia de calor a lo largo de la soperficie. De mane
ra similar, la experiencia indica que el flujo de calor e� diferente si la placa e
enfría en agua o en aceite ,en vez de aire. De aquí que las propiedades del fluido
deben tener también una influencia importante en la tran ferencia de calor.
Puesto que la velocidad relativa del fluido con respecto a la placa es, en gene
ral, igual a cero en la interfase sólido-fluido (y = 0)/ el calor se transfiere total
mente por conducción sólo en este plano del fluido. Sin embargo, áun cuando er ·
calor disipado por la placa puede calcularse con la ecuación 1.1, el gractiente de
temperatura en el fluido depende de las características, a menudo compleja 1 del
flujo de éste. Por tanto, es más conveniente estimar el flujo de calor disipado por
el sistema en términos de la diferencia total de temperaturas entre su superficie y el
floido. Es decir,
q" = h(Ts - Too'
' ( l. )
* Esta suposición es válida excepto para gases muy diluidos, donde la trayectoria media libre de la moléculíS
es comparable con las dimensiones del sistema {flujo desliwme) o mucho mayor (flujo K111,dse11).

8
K L
Perfil de
velocidad
Figura 1.4. Placa expuesta a enfriamiento convectivo.
~erl;lde
temperatura
I
)1
l. Introducción
donde h es el coeficiente local de transferencia de calor o coeficiente de película.
Sus unidades en el SI son W/m2
K (watt por metro cuadrado kelvin). También se
emplean de manera indistinta las unidades W/m2°C. La ecuación 1.2 se conoce co-
mo la ley de Newton de enfriamiento. Cabe precisar que esta expresión, más que
una ley fenomenológica, define el coeficiente local de transferencia de calor 11.
Como su nombre lo indica, varía a lo largo de toda la superficie.
En la figura 1.5 se muestra la variación del coeficiente local de transferencia
de calor a lo largo del eje x.
I(
h
Perfil de
velocidad
~Perl"de~mperatura
I
L --------------~)I
hl----------~~-------------------
x
Figura 1.5. Variación del coeficiente local de transferencia de calor a lo largo de la
coordenada x.

1.2. Convección 9
Más importante que el coeficiente local es el coeficiente promedio -ambos- de
transferencia de calor, o simplemente coeficiente de transferencia de calor. Si se com-
binan las ecuaciones 1.1 y 1.2, tal coeficiente puede determinarse con la expresión
r_k
aT
) dx
_ o ay -o
h = y -
(r, - Too )
(1 .3)
Así, con esta definición nueva,
(l A)
donde A es el área de transferencia de calor por convección.
El fenómeno de transferencia de calor por convección suele clasificarse en dos
categorías:. convección forzada y convección libre o natural. En la primera se ha-
ce pasar el fluido por el sistema mediante la acción de algún agente externo, diga-
mos un ventilador, una bomba o agentes meteorológicos. Por su pru;te, en el segun-
do caso el movimiento del fluido es resultado de los gradientes en densidad que
experimenta éste, al estar en contacto con una superficie a mayor temperatura y en
presencia de un campo gravitacional (o centrífugo).
Un caso típico de convección forzada es el radiador en el sistema de enfda-
miento del motor de un automóvil u otro intercambiador de calor. De igual mane-
ra, ejemplos clásicos de convección libre son el calentamiento de agua en un reci-
piente antes de sufrir ebullición o el enfriamiento de equipo eléctrico (algunos
transformadores, transistores, etcétera).
El coeficiente de transferencia de calor en algunas geometrías sencillas puede
determinarse con la ecuación 1.3, la cual presupone que se conoce el perfil de la
temperatura en el fluido, que puede obtenerse analíticamente mediante la aplica-
ción de las ecuaciones de cambio, esto es, continuidad, movimiento y energía. En
el caso de geometrías más complejas, el coeficiente de transferencia de calor pue-
de evaluarse mediante correlaciones empídcas o recurriendo a la expedmentación.
El coeficiente de transferencia de calor (de aquí en adelante se le designará
con la letra h, a menos que se especifique lo contrario) para la convección forza-
da depende de vados parámetros; por ejemplo,
h =h(L, k, uoo, 11, p, cp' ...) (l .5)
y, para el caso de convección natural,
h =h[L, k, p, g, f3 (Ts - Too), 11, cp' ... ] (1.6)
donde L es una dimensión característica del sistema; por ejemplo, L es la longitud
en la placa de la figura lA, k la conductividad térmica del fluido, Uoo la velocidad

J ,
,,,
J. lntrod11cción
con la que se aproxima el fluido al sistema, µ la viscosidad del fluido, p la densidad
del fluido, cP el calor específico a presión constante del fluido, /3el coeficiente de
expansión volumétrica del fluido y g la aceleración de la gravedad u otra acelera
ción externa. Todas estas variables pueden reducirse a dos grandes parámetros: la
geometría del sistema y las propiedade físicas y características del flujo de fluido.
De lo anterior se desprende que incluso cuando la apariencia de la ecuación
1 A es muy sencilla, el proceso de transferencia de calor por convección es muy
complejo. En la tabla 1.3 se muestran algunos valores del orden de magnitud del
coeficiente de transferencia de calor h, y en la 1.4 algunos factores de conversión
para las unidades empleadas con más frecuencia.
' e bla 1.3. Valores típicos del coeficiente de transferencia de calor h.
Proceso h, W/m'K
Convección libre
Gases 2-25
Líquidos 50-1000
Convección forzada
Gases 25-250
Uquidos 50-20 000
Convección con cambio de fase
Ebullición o condensación 2500-100 000
Fuente: F. P. lncropera y D. I?. DeWítt, lmroduction 10 Heat Trwisfer, 3a, ed., Jobn Wiley, 1996.
Tab1 1.4. Factores de conversión para el coeficiente de transferencia de calor h.
cal/s cm2º
C 1 BTU/h pie2º
F 1·kcal/h m2º
C 1 W/cm1K
1 cal/s cm2ºC 7376 36000 4.186
1 BTU/h pie2º
f 1.356 X 10-4
l 4.8826 5.6785 X 10-4
1 kcal/h m2º
C 2.778 X 10-5
0.20489 1 1.163 X 10-4
l W/cm2 K 0.2391 1761 8 600 l
F11e111e: W. M. Rohsenow y J. P. Kanneu, flandbook offleat Trrmsfer. McGraw-liill. Nueva York. 197
.

6. Convección natural
Si fallamos en prepararnos,
nos estamos preparando
para fallar.
B. FRANKLIN
En el capítulo anterior se describió el fenómeno de la convección forzada, donde
el fluido se hace pasar por la superficie de transferencia de calor mediante la ac-
ción de algún agente externo al sistema. Sin embargo, a diferencia de la convección
forzada, el movimiento del fluido en la convección natural es consecuencia de las
fuerzas de empuje que se ejercen sobre él cuando disminuye su densidad, al en-
contrarse en la vecindad de la superficie de transferencia de calor y en presencia
de un campo gravitacional (o centrífugo en el caso de una máquina rotatoria).
Pese a que el coeficiente de transferencia de calor en convección natural es
relativamente bajo si lo comparamos con el de la convección forzada, varios
dispositivos dependen por completo de este modo de transferencia de calor para
funcionar correctamente. Tal es el caso de algunos transformadores eléctricos,
radiadores para la calefacción de edificios residenciales o transistores en equipos
electrónicos.
Aun cuando el coeficiente de transferencia de calor en convección natural
puede obtenerse de forma analítica mediant~ la solución simultánea de las ecuacio-
nes de cambio -continuidad, movimiento y energía- en geometrías relativamente
sencillas, la tarea es muy compleja. Esta dificultad estriba en que las distribu-
ciones de velocidad y temperatura están íntimamente relacionadas entre sí y son
interdependientes. Como este tipo de análisis rebasa el alcance de nuestro texto,
sólo determinaremos los parámetros adimensionales significativos que intervienen
en la convección natural y más adelante se presentará una síntesis de las correla-
ciones prácticas más comunes.
6.1. Parámetros adimensionales
Considérese una plaea vertical a una temperatura Ts Y expuesta a un fluido de
menor temperatura cuyo valor es T=- A diferencia de la convección forzada, la
velocidad del fluido es igual a cero en la interfase, aumenta hasta cierto valor
máximo y luego disminuye a cero en el extremo de la capa límite, como se mues-
209

210 6. Convección natural
tra en el esquema de la figura 6.1. Por otra parte, ha de mencionarse que el
desarrollo de la capa límite es inicialmente laminar, pero a medida que el fluido
progresa a lo largo de la placa empiezan a experimentarse perturbaciones y el flujo
sufre una transición al régimen turbuh~nto.
Un balance de materia en la capa límite laminar indica que si la densidad del
fluido se supone constante,
(6.1)
donde u es el componente de velocidad en la dirección del flujo y v el componente
perpendicular a la placa.
De manera análoga, un balance de cantidad de movimiento en la capa límite
indica que
(
du dU) dp d
2
uP u-+v- =---pg+/l-
~ ~ ~ ~2
(6.2)
donde el término pg representa la fuerza por unidad de volumen que ejerce el
campo gravitacional sobre el fluido y dp/dx se refiere al cambio de presión causa-
do por la diferencia en la altura a lo largo de la placa. Es decir,
(6.3)
q 1T,
y
Figura 6.1. Límite en convección natural.

6.1. Parámetros adimensionales 211
Al sustituir esta relación en la ecuación 6.2,
au au 8( ) ~uu- +v- =- P - P +v-
ax ay p 00 ai (6.4)
La relación de densidades (Poo - p)/p puede expresarse en términos del coefi-
ciente de expansión volumétrica 13. Utilizando su definición,
Por consiguiente,
(6.5)
La expresión anterior constituye la ecuación de movimiento para la capa límite la-
minar en convección natural. Por último, un balance de energía en la capa límite
indica que
(6.6)
Nótese que esta ecuación de energía, así como la de continuidad 6.1, tienen la
misma forma que las correspondientes a la convección forzada.
A fin de obtener los parámetros adimensionales significativos a la convección
natural, definiremos las variables siguientes:
* uu
* vv

* X
X
*y
L
y
L
donde Uo es una velocidad de referencia a la que no puede dársele una inter-
pretación física. En términos de estas variables adimensionales, la ecuación de
continuidad 6.1 queda
au* av*
--* +-* =0
ax ay
Del mismo modo, la ecuación de movimiento 6.2 se transforma en
(6.7)
Puesto que no se tiene una velocidad de referencia Uo significativa en el problema,
el último término del miembro derecho de la ecuación diferencial sugiere que
v
Uo = -
L
Así, al introducir este parámetro en la ecuación de movimiento se obtiene
* * 2 *
* au * au * au
u --* +v - -* =GrLT + --2
ax ay ay*
donde GrL es el número de Grashof, definido como
(6.8)
(6.9)
Este número adimensional puede interpretarse físicamente como el cociente de
fuerzas de empuje entre fuerzas viscosas en la convección natural.

6.2. Fórmulas para la transferencia de calor por convección natural en una placa vertical 213
Por último, la ecuación de energía 6.6 en forma adimensional puede escribirse
como
*aT* * aT* 1 a2
T*u - -* + v --* = - - -
ax ay Pr ay*2
(6.10)
Al analizar las ecuaciones 6.7, 6.8 Y6.10 se observa que
T* =T*(x*, y*, GrL' Pr) (6.11)
Por otra parte,
- - k il(aT*I ] *hL -- - - -* dx
L o ay y' =o
(6.12)
Al combinar esta expresión con la relación 6.11 se obtiene
(6.13)
Es decir, el número de Nusselt es una función de los números de Grashof y
Prandtl. Es conveniente mencionar ahora otro parámetro adimensional muy usado
en los textos que se conoce como número de Rayleigh, el cual se define como
gf3(~ - Too )L
3
RaL =GrL Pr =---'-- - '---
va
6.2. Fórmulas para la transferencia de calor
(6.14)
por convección natural en una placa vertical
6.2.1. Régimen laminar
Squire y colaboradores (véase la sección de bibliografía) obtuvieron una solución
aproximada de las ecuaciones que describen la convección natural en, una placa
vertical isotérmica, suponiendo perfiles apropiados de velocidad y temperatura en
las ecuaciones integrales de movimiento y de energía. El resultado de su análisis
es el siguiente:
1/4
_ Pr 1/4
Nux - 0.508 1/4 Rax
(0.592 + Pr)
(6.15)

Tal expresión concuerda con los resultados experimentales que se han obtenido.
Obsérvese que para valores grandes del número de Prandtl, el número de Nusselt
es sólo una función del número de Rayleigh. Por otra parte, debe señalarse que la
transición a régimen turbulento suele establecerse en Ra = 109.
La misma ecuación 6.15 puede emplearse para calcular el coeficiente de transfe-
rencia de calor en la superficie que da hacia abajo en una placa con una inclina-
ción arbitraria con relación a la vertical, siempre que se remplace la aceleración
gravitacional g por su componente en la dirección paralela a la superficie de la placa.
6.2.2. Régimen turbulento
Rohsenow y Hartnett (véase la sección de bibliografía) presentan la correlación si-
guiente para determinar el número de Nusselt local en una placa vertical isotérmica:
Nux
=0.0295Pr7/15Gr;/5(1+0.494
Pr2/3
r2
/
5
(6.16)
Esta expresión es inválida para fluidos cuyos números de Prandtl son muy grandes
o muy pequeños, por lo que su principal aplicación se efectúa en gases. Así, para
el aire (Pr = 0.72) la expresión anterior da
(6.17)
Para el caso de placas verticales también puede emplearse la correlación de
Churchill y Chu (véase la sección de bibliografía) para cualquier valor de Rai:.:
- 0.825 + 0.387Ra~6 827
¡ )
2
Nu¿= [1+(o;:2)"'T
6.3. Fórmulas para convección natural
en otras geometrías
(6.18)
Rehsenow y Hartnett (véase la sección de bibliografía) presentan la correlación
siguiente para calcular el número de Nusselt promedio en diferentes geometrías y
en el intervalo 104
< RaL < 109:
Nu - CRa1
/
4
lf 1 L
(6.19)

6.3 Fórmulas para convección natural en otras geometrías 215
donde el es una función de la geometría y del número de Prandtl. En la tabla 6.1
se muestran algunos valores.
Los mismos autores presentan la correlación siguiente aplicable para valores
de RaL > 109.
(6.20)
En el caso de gases, e2 también es independiente del número de Prandtl. En la
misma tabla 6.1 se muestran algunos valores.
Las propiedades del fluido en las relaciones anteriores se evalúan a la tempera-
tura de película.
Tabla 6.1. Constantes para usarse con las ecuaciones 6.18 y 6.19.
Geometría el e2
Cilindro horizontal 0.47 0.10
L =diámetro
Esfera 0.49
L =diámetro
Placa horizontal
Supeificie superior 0.54 0.14
si se calienta la placa
(superficie inferior
si se le enfría)
L =lado de la placa
si es cuadrada o el
lado más grande si es
rectangular
Supeificie inferior 0.27
si se calienta la placa
0.27 (superficie superior
si se le enfría)
L =lado de la placa
si es cuadrada o el lado
más grande si es rectangular
Superficie vertical 0.59 0.13
L =altura de la superficie

5. Fundamentos de convección
forzada
Nunca están solos aquellos
a quienes acompañan
pensamientos nobles.
PHILLlP SIDNEY
Hasta ahora se ha supuesto conocido el coeficiente de transferencia de calor h en
todos los análisis que hemos realizado. Sin embargo, con frecuencia la mera deter-
minación de tal coeficiente implica un problema complejo. Por ello en este capí-
tulo se examinan algunos métodos para predecir en una situación concreta el valor
del coeficiente de transferencia de calor en convección forzada. En primer lugar,
se destacará la relación física que hay entre el proceso de transferencia de energía
y el movimiento del fluido. Como resultado de este análisis de tipo fundamental
podremos desarrollar correlaciones analíticas para la determinación del coefi-
ciente h. No obstante, posteriormente será obvio que, dada la complejidad que
implican los procesos, no siempre pueden obtenerse soluciones analíticas para
numerosos problemas de interés práctico. Por consiguiente, en estos casos es me-
nester recurrir a diferentes correlaciones experimentales para obtener la informa-
ción necesaria. Tales correlaciones empíricas se expresan en forma de gráficas o
de expresiones matemáticas. Aquí sólo presentaremos algunas de las correlaciones
más comunes; sin embargo, para una mayor información el lector podrá acudir a
bibliografía especializada.
5.1. Transferencia de calor en una placa plana
con convección forzada en régimen laminar
Considérese el flujo de un fluido sobre una placa plana como se muestra en el
esquema de la figura 5.1. Ahí se observa que, como resultado de los efectos vis-
cosos, la velocidad relativa del fluido en la interfase es igual a cero. Por otra parte,
esta velocidad aumenta én forma progresiva conforme se incrementa la distancia
y, hasta un punto en que las fuerzas viscosas de corte son prácticamente insigni-
ficantes. La región próxima a la placa en donde se experimentan los efectos vis-
cosos se conoce como capa límite hidrodinámica. Por lo general, su espesor, que
171

172 5. Fundamentos de convección forzada
es muy pequeño, lo especifica la coordenada y, donde la velocidad del fluido
alcanza 99% de la velocidad de corriente libre Uooo
Este concepto de capa límite fue una aportación de Prandtl y en esencia divide
el campo de flujo en dos regiones: una capa muy delgada en donde las fuerzas vis-
cosas de corte son significativas y úna región exterior donde los efectos viscosos
son prácticamente despreciables.
Como en el caso de la capa límite hidrodinámica, los gradientes de tempe-
ratura en el fluido también se hallan confinados a una región próxima a la super-
ficie de la placa, por lo que puede definirse en forma análoga una capa límite tér-
mica como se muestra en la figura 5.2.
Inicialmente, el desarrollo de la capa límite a lo largo de la placa es laminar,
es decir, el fluido se desplaza a lo largo de láminas y sus partículas siguen una
sucesión ordenada y continua sin cruzarse unas con otras. Sin embargo, a cierta
distancia crítica Xc> que depende del campo de flujo y de las propiedades del fluido,
empiezan a experimentarse pequeñas perturbaciones que se amplifican a medida
que aumenta la distancia. Como consecuencia, se presenta un proceso de transi-
ción hasta que el flujo se toma completamente turbulento.
Esta transición de régimen laminar a turbulento no es abrupta y depende de las
condiciones de rugosidad de la superficie y del nivel de turbulencia en la corriente
libre del fluido. Por lo general, para una placa plana se establece como criterio de
transición para propósitos de análisis el que xcu~ piJ1 sea aproximadamente igual a
5 x lOs. Este grupo adimensional de variables que constituye un cociente de fuerzas
inerciales a fuerzas viscosas recibe el nombre de número de Reynolds. Esto es,
(5.1)
u (x, y)
Figura 5.1. Capa límite hidrodinámica.

-" ----- - --- ~-~~--~~-
5.1. Transferencia de calor en una placa plana con convección forzada en régimen laminar 173
T~
Figura 5.2. Capa límite térmica.
Debe hacerse hincapié en que la transición de régimen laminar a turbulento se
lleva físicamente a cabo en un amplio rango del número de Reynolds y no de mane-
ra drástica. En contraste con el flujo laminar que nos ocupa por el momento, donde la
transferencia de calor y la cantidad de movimiento se realizan por difusión
molecular entre láminas, en el régimen turbulento se presenta en forma irregular a
través de elementos macroscópicos de fluido que se desplazan de manera errátifa.
En virtud de la relación física tan estrecha que guardan el movimiento del fluido
y la transferencia de energía que ocurre, la determinación analítica del coeficiente
de transferencia de calor en régimen laminar implica conocimiento pleno de la dis-
tribución de la velocidad y de la temperatura en el fluido que rodea al sistema. Con
este fin, a continuación se desarrollan las ecuaciones de continuidad, cantidad de
movimiento y energía para una placa plana con régimen laminar.
5.1.1. Ecuación de continuidad
Considérese un volumen de control dentro de la capa límite como se muestra en
la figura 5.3. Un balance de materia indica que, en estado estable, el flujo de masa
que entra en el sistema es igual al que se sale de él.
Si se denota con u y v las componentes horizontal y vertical de la velocidad,
respectivamente, se obtiene
Al dividir esta expresiól! entre fu:i1y&, hacer que fu: y i1y tiendan a cero y
suponiendo que la densidad del fluido es constante se obtiene
(5.2)
La anterior constituye la ecuación de continuidad.

pt3.xt3.zVly + t.y
pt3.yMulx
. pt3.yt3.z
t3.y
t3.x
pt3.Xt3.ZVly
Figura 5.3. Balance de materia en un volumen de control.
5.1.2. Ecuación de movimiento
Considérese ahora el mismo volumen de control como se muestra en el esquema
de la figura 5.4. Para obtener la ecuación de movimiento en la dirección x debe-
mos recurrir a la segunda ley de Newton, que establece que la suma de fuerzas que
actúa sobre el sistema debe ser igual a la razón de cambio de la cantidad de
movimiento. Es decir,
donde los primeros dos términos del miembro izquierdo de la ecuación se refieren
a la cantidad de movimiento en la dirección x que entra y sale del sistema por las
superficies izquierda y derecha, respectivamente. Los términos tercero y cuarto
denotan la cantidad de movimiento que entra y sale del sistema por las superficies
inferior y superior correspondiente. De forma similar, los dos últimos términos
denotan las fuerzas viscosas de corte que actúan sobre el sistema, en donde r yx se
refiere al esfuerzo viscoso de corte que actúa sobre el sistema en la dirección x y
en un plano perpendicular a la coordenada y.
Si dividimos la expresión anterior entre LULly& y hacemos que LU y Lly tien-
dan a cero se obtiene
au2
auv aryX
p- +p- +--=üax ay ay
Reordenando la expresión anterior y sustituyendo la ecuación de continuidad 5.2
tenemos que
p(u au +vau)=_aryx
ax ay ay

El esfuerzo de corte 'fyx puede relacionarse con el gradiente de velocidad dU/dy
mediante la ley de Newton de viscosidad, esto es, para un fluido newtoniano,*
(5.3)
donde f.1 es la viscosidad del fluido. Si suponemos que es constante,
dU dU d2
U
u- +v - = v - -2
dX dy dY
(5.4)
donde v = J.1Ip es la viscosidad cinemática del fluido. La ecuación anterior consti-
tuye la ecuación de movimiento.
Las ecuaciones 5.2 y 5.4 representan dos expresiones que permiten determi-
nar las incógnitas u(x, y) y v(x, y). Las condiciones de frontera correspondientes a
estas ecuaciones de cambio pueden escribirse como:
U(x, O) =O
u(x, 00) =u""
v(x, O) =O
u(O, y) =u""
(5.5)
.(5.6)
(5.7)
(5.8)
Antes de intentar resolver este conjunto de ecuaciones es oportuno examinar las
expresiones para familiarizarse con el fenómeno físico. Aun cuando las fuerzas de
fricción pueden despreciarse con respecto a las inerciales fuera de la capa límite,
son del mismo orden de magnitud en el interior. Al analizar la ecuación de
movimiento se observa que la fuerza inercial por unidad de volumen es igual a
pUdU/dX, y para una placa de longitud L el gradiente dU/dX es proporcional a uJL.
En consecuencia, la fuerza inercial es proporcional a pu",,2/L. Por otra parte, la
fuerza de fricción es igual a f.1d2U/dy2. Como el gradiente de velocidad dU/dY en
la dirección perpendicular a la placa es del orden de uJ8, donde 8 es el espesor de la
capa límite hidrodinámica, la fuerza de fricción es del orden de f.1uJ82. Puesto que
ambas fuerzas, la de inercia y la de fricción, son del mismo orden de magnitud,
2
u"" u""p - - f.1 -
L 8
o, resolviendo para el espe§or de la capa límite hidrodinámica,
8- ~
~ u""
(5.9)
*Un fluido newtoniano es el que cumple con la ley de Newton de viscosidad. Todos los gases y la mayor parte de
los líquidos obedecen a la ecuación 5.3. Sin embargo, fluidos como pastas, polímeros, etc., son no-newtonianos.

pAxAzuVly+",y
/'I.x
/'1.Y f-------+
pAxAZUVly+ "'y
Figura 5.4. Balance de cantidad de movimiento en un volumen de control.
En forma adimensional,
(5.10)
donde ReL se refiere al número de Reynolds basado en la longitud L de la placa.
Si en vez de la longitud L se usa la distancia x, se observa que el espesor de la capa
límite hidrodinámica 8 es proporcional a xl
/
2
• Por otra parte, al examinar la
ecuación de continuidad se obtiene
v 8 (5.11)
Uoo L
5.1.3. Ecuación de energía
Consideremos el volumen de control que se muestra en el esquema de la figura
5.5. Para simplificar el análisis supóngase que la conducción de calor en la direc-
ción x y la disipación viscosa son despreciables. Por la primera ley de la termo-
dinámica se obtiene
donde H es la entalpía del fluido. Los primeros cuatro términos corresponden a la
energía acarreada por el fluido al entrar y salir del sistema. Del mismo modo, los
dos últimos términos se refieren al calor conducido a través del fluido en la direc-
ción perpendicular a la placa. Si dividimos la expresión entre LUL1y& y hacemos
que LU y L1y tiendan a cero se obtiene
a a aqN
p- (uH) +p- (vH)+ -Y =0
ax ay ay

Con la ecuación de continuidad 5.2 y notando que dH/dX = cpdT/dX y dH/dy =
cpdT/dy,
dT dT d2
T
u- +v- - a - -
dX dy - di
(5.12)
La expresión anterior constituye la ecuación de energía. Sus condiciones de fron-
tera correspondientes son:
T(x, O) = Ts
T(x,~) =T~
T(O, y) =T~
(5.13)
(5.14)
(5.15)
Conocer la distribución de la temperatura en el fluido es de suma importancia para
determinar el coeficiente de transferencia de calor, ya que
h =- kdTjdy ly=ü
x (5.16)
Cabe destacar la semejanza entre las ecuaciones de movimiento y energía. Al com-
parar las ecuaciones 5.4 y 5.12 se observa que la solución de ambas debe ser de la
misma forma cuando la viscosidad cinemática es igual a la difusividad térmica,
por lo que se espera que estas propiedades de transporte tengan gran influencia en
las magnitudes relativas de la transferencia de calor y de la cantidad de movimiento.
xóz y+ll.y
pvHÓXÓZly+Il.y
p uHóyózl x puHóy
~y
• ~x
q" óxózly y pvHÓXÓZly
Figura 5.5. Balance de energía en un volumen de control.

5.1.4. Método integral
Hay numerosas técnicas matemáticas para resolver las ecuaciones de cambio
descritas, por lo que se recomienda al lector la obra de Schi1cting para ampliar
la información. Sin embargo, las soluciones exactas presentan una dificultad ma-
temática considerable aun en el caso de geometrías sencillas, como la de la placa
plana que estamos analizando. En consecuencia, a menudo hemos de utilizar
métodos aproximados que nos llevan cuanto antes a una solución, pese a que su
exactitud sea inferior. A continuación se describe el método integral de Von
Karman.
Considérese ahora el sistema que se muestra en la figura 5.6. Un balance de
materia indica que
ro(x) I ro(x ) IJI pu(X, y)&dy - JI pu(X, y)&dy +meo =o
o x o x +Ax
(5.17)
donde meo denota el flujo de masa que entra por la parte superior del sistema. Del
mismo modo, un balance de cantidad de movimiento en el volumen de control que
se ilustra en la figura 5.7 nos dice que
ro(x) 2 I rO(x) 2 IJI pU &dy - JI pU &dy +meoueo +r sAx& =O
O x O x+Ax
(5.18)
Al combinar las ecuaciones 5.17 y 5.18, dividir entre Ax& y hacer que Ax tienda
a cero se obtiene
(5.19)
m~
j!-- - I:!x- ---li
Figura 5.6. Balance de materia en un volumen de control.

5.1. Transferencia de calor en una placa plana con convección forzada en régimen laminar
Tsl!.xl!.z
IE--- - l!.x-- ------>I
ó
179
La expresión anterior constituye la ecuación integral de movimiento. Al examinar esa
relación se deduce que, si se conociera el perfil adimensional de velocidad u/u=,
la relación funcional para este perfil podría sustituirse en la ecuación 5.19, con el
resultado de que podría determinarse el espesor de la capa límite hidrodinámica.
Para el análisis aproximado en estudio supóngase el perfil de velocidad siguiente:
(5.20)
donde a, b, c y d son constantes desconocidas por el momento. No obstante, este
perfil de velocidad debe satisfacer ciertas condiciones físicas. Por ejemplo, puesto
que la velocidad relativa del fluido es igual a cero en la interfase,
u = O en y =O (5.21)
Por otra parte, la condición de continuidad en la velocidad al pasar del perfil den-
tro de la capa límite a la velocidad de corriente libre requiere que
u =u= en (5.22)
Otra condición podría incluir la continuidad de la tangente en el extremo de la
capa límite, es decir,
au = 0
ay en (5.23)
Es posible obtener otra condición de importancia al analizar la ecuación de
movimiento 5.4. Puesto que u = v = Oen y = O,
en y =O (5.24)

180
~'
5. Fundamentos de convección forzada
Al sustituir las condiciones 5.21 a 5.24 en el perfil de velocidad supuesto
(ecuación 5.20) se obtiene que a =O, b =3/2, e =OYd =-112. Por tanto,
(5.25)
Si introducimos esta relación funcional en la ecuación integral de movimiento se
obtiene que, tras realizar la integración,
Separando variables,
Integrando,
Puesto que 8 =Ocuando x =O, se obtiene que el =O. Por tanto,
8=4.64~ VX
u""
o, en términos del número de Reynolds local,
8 4.64
x ~Rex
(5.26)
(5.27)
donde Rex = u""x/v. Cabe apuntar que las ecuaciones 5.25 y 5.26 especifican por
completo la distribución de velocidad u(x, y). Porotra parte, la relación funcional
de la ecuación 5.27 es de la misma forma que la de la ecuación 5.10 que se obtu-
vo antes con el análisis de orden de magnitud.
Como referencia histórica resulta interesante mencionar la solución numérica
que desarrolló Blasius a principios del siglo XX para su tesis doctoral en Gotinga
y que se muestra en la figura 5.8. En ella se observa que la velocidad adimensional
u/uoo alcanza un valor de 0.99 cuando la variable y(uoo /VX)1I2 es equivalente a 5.0. Por
consiguiente, el valor de la constante en la ecuación 5.27 que se obtiene mediante

5.1. Transferencia de calor en una placa plana con convección forzada en régimen laminar
1.0
....!!...
u~
0.5
0.332 x"
1.~
~¡'oo
Vo
o
1.4- x.d'l~+
..~vv
... /
x:J'-
I
[l/-o0+
ir: +
~~.I +
~B~asius u~ = 8 mis
2 3 4
r~puooX
X J1.
• ..... o.,.(j'
~x=1cm_
+ 2
x 2.5
• 4 . 0 -
• 5.0
O 7.5 -
O 10.0
• 12.5 -
.... 15.0
O 17.5-
5 6 7
181
Figura 5.8. Distribución de velocidad en la capa límite. (Fuente: A. J. Chapman, Heat
Transfer, Macmillan, 1984.)
una solución exacta es de 5.0. Pese a que el perfil de velocidad propuesto en la
ecuación 5.25 es hasta cierto punto arbitrario, el espesor de la capa límite obtenido
difiere en magnitud con el resultado exacto sólo por 7%. Gracias a la extraordi-
naria simplicidad del método integral respecto a la complejidad del método exac-
to, el resultado es satisfactorio.
Una vez calculada la distribución de la velocidad u(x, y) en el fluido, ahora
podemos determinar el perfil de la temperatura T(x, y). A fin de hacer más sencillo
el estudio, supondremos que /)> ~. Mediante un balance de energía en el volumen
de control de la figura 5.9 se obtiene
rPUH&dY! - rPUH&dY! +mTH= +q;fu& =O
o x o x + ~
(5.28)
donde
mT =rPU&dY! - rPU&dY!
o x +~ o x
(5.29)
Al combinar las ecuaciones 5.28 y 5.29, dividir entre && y hacer que & tienda
a cero se obtiene
~ r~pu(H= -H)dy =_q;l= kaTI
dxJo ay y=o
"
~
r
~
l'J
~
'.
"
rlit

182
.'
I
~
!'
.,
ji
l'
1,
ji
j'
,"
~I:l.
I
~i
nnnnn
Puesto que H~ - H =cp(T~ - T),
- u(T~ - T)dy = a-d iD. aTI
dx o ay y=o
(5.30)
La expresión anterior constituye la ecuación integral de energía. Ahora, para el
análisis térmico aproximado supóngase la distribución de la temperatura siguiente
en la capa límite térmica:
T__T;; =A+B(L)+c(L)2+D(L)3 (5.31)
T~ T;; L1 L1 L1
donde A, B, C y D son constantes. El perfil supuesto debe satisfacer ciertas condi-
ciones coherentes con el problema físico; por ejemplo,
T = Ts
T = T~
aT = 0
ay
y si recurrimos a la ecuación 5.12,
en y= O
en y =L1
en y =L1
a2
T
-2 = 0 en y=O
ay
(5.32)
(5.33)
z34)
(5.35)
Al sustituir las ecuaciones 5.32 a 5.35 en el perfil 5.31 se obtiene que A =O, B =3/2,
C =OYD =- 112. Por consiguiente,
(5.36)

Tal distribución de temperatura adimensional se muestra en el esquema de la figura
5.10.
Para calcular el espesor de la capa límite térmica ahora debemos remplazar las
distribuciones de velocidad y temperatura en la ecuación integral de energía.
Sustituyendo entonces las ecuaciones 5.25 y 5.36 en la 5.30 y realizar la inte-
gración se obtiene
U ~[8(~~2 _~~4)] -~
~ dx 20 280 2~8
(5.37)
donde ~ =I:!J8. Puesto que ~ < 8, el término que contiene ~ es insignificante en
comparación con el que contiene f .Por tanto,
Al hacer la diferenciación,
o
~u (28~d~ + ~2 d8) = ~
10 ~ dx dx ~8
Al sustituir el valor de 8 suministrado por la ecuación 5.26,
~3 +4X~2 d~ =.!.ia
dx 14 v
Pr> 1
u* = u
(5.38)
Figura 5.10. Distribuciones adimensionales de temperatura y velocidad en la capa límite.

Si observamos que
la ecuación anterior se simplifiéa a
(5.39)
Si empleamos el factor de integración 1 = x-3/4,
(5040)
Como la placa en cuestión no necesariamente se encuentra a una temperatura Ts a
lo largo de toda su superficie, supóngase que el calentamiento no principia sino
hasta una distancia Xo, como se muestra en la figura 5.11. Entonces, al integrar la
ecuación 5040 en estas condiciones se obtiene
En caso de que Xo =0,
donde
v cJl
Pr=-= - P-
a k
~---=~
L2: •
~~ Superficie a Ts
Figura 5.11. Placa plana en la que el calentamiento principia a una distancia xo.
(5041)
(5042)
(5043) (

se conoce como el número de Prandtl. Este parámetro relaciona las magnitudes
relativas de la transferencia de cantidad de movimiento y de calor en el fluido. Es
decir, asocia los espesores relativos de las capas límite hidrodinámica y térmica.
Así, para Pr ::::: 1 se obtiene que 8 ::::: Ll. Por otra parte, para Pr > 1 se tiene que
8 > Ll, Ypara Pr < 1, 8 < Ll. Cabe mencionar que un análisis exacto de la capa
límite da como resultado un valor de 1 en la constante de la ecuación 5.42.
El coeficiente de transferencia de calor h puede obtenerse a partir de la ecua-
ción 5.16 después de que se conoce la distribución de la temperatura en el fluido,
esto es,
- kdT/ dy! =0 3k 3k
h = y - - - - -
x ~ _ T~ 2Ll 2~8
(5.44)
donde hx denota el coeficiente local de transferencia de calor. Sustituyendo las
ecuaciones 5.42 y 5.27 en la expresión anterior tenemos que'
o, en forma adimensional,
hx =0.332~Re~2 Prl/3
x
(5.45)
(5.46)
donde Nux =hxxlk se conoce como el número de Nusselt. Para obtener el coefi-
ciente promedio de transferencia de calor
(5.47)
y por consiguiente,
(5.48)
Aun cuando la expresión anterior se dedujo para Pr > 1 (o 8> Ll), satisface para
cualquier fluido cuyo número de Prandtl sea aproximadamente mayor a 0.7. Por
fortuna, la mayor parte de los gases y líquidos pertenece a esta categoría, excepto
los metales líquidos, que tienen números de Prandtl del orden de 0.01. En la figu-
ra 5.12 se ilustra una comparación de la ecuación 5.48 con datos experimentales
' El valor exacto de la constante en la ecuación 5.45 es 0.3312. Sin embargo, el análisis exacto de la capa límite
aporta un valor de 0.332, el cual es esencialmente igual.

186 5. Fundamentos de co11vecciónforzada
1000
100
10
10'
.
.vyi('
..... /
Ecuaolón 5.48
Pr =0.73
• Dat¡
1Trirr10"
Re,
10"
Figura S.12. Comparación de la ecuación 5.48 con datos experimentales. (Fuente: A. J.
Chapman, Heat Transfer, Macmillan, 1984.)
obtenidos con aire para Pr = 0.73. En virtud de que el análisis antedor supuso
propiedades constante , e recomendable que e ta últimas se evalúen a la tem
peratura de película T¡
, definida como el promedio aritmético de la temperatura de
la superficie y del fluido. E decir,
(5.49)
(

5.2. Analogía entre la transferencia de calor y la fricción 187
L
L
q
5.2. Analogía entre la transferencia de calor
y la fricción
El análisis anterior demuestra con claridad la estrecha relación física entre el pro
ceso de transferencia de energía y el movimiento del fluido, por lo que puede
intuirse que la transferencia de calor también se relaciona con la fricción de éste.
Con el propósito de determinar esta posible relación ftsica es conveniente definir
el coeficiente local defricción.fr como
fr = 1:
0
?
pu;,
(5.50)
2
donde 1:0 es el esfuerzo viscoso de corte sobre la superficie de la placa. Al insertar
la ley de Newton de viscosidad en la expresión anterior tenemos que
f" = µou/oyly
=O
.
pu;,
2

188 5. Fundamento de conveación forzada
Por otra parte, si usamos la expresión para la distribución de la velocidad
(ecuación 5.25) en combinación con la del espesor de la capa límite hidrodinámi
ca (ecuación 5.26) se obtiene
o, por converuencia,
fr = 0.647Re�112
ft =0.323Re-1/2
2 X
Definiendo ahora el número de Stanton como
la ecuación 5.46 puede escribirse como
Stx Pr213
= 0.332Re�112
(5.5 )
(5.52)
(5.53)
Si e compara el miembro derecho de las ecuaciones 5.51 y 5.53, se- observa la
gran similitud que existe. Nótese que las constantes difieren entre sí por menos de
3%, una pequeña diferencia que obedece a la naturaleza aproximada del método
integral. Ante este hecho, ambas expresiones pueden igualarse, lo cual da como
resultado
St . Pr2
/3 = f-.:
.t
2
Esta relación entre la transferencia de calor y la fricción del fluido se conoce como
analogía de Reynolds. Al examinar la ecuación 5.54, se observa que el coeficiente
de película en una placa también puede determinarse en forma experimental sin
que haya transferencia de calor mediante una medición de la fuerza de arrastre.
Cabe apuntar que la analogía de Reynolds también es válida para el régimen
turbulento ell una placa.

5.3. Transferencia de calor en una placa con convecciónforzada en. régimen mrbulento
=
=
2 2
5.3. Transferencia de calor en una placa
con convección forzada en régimen
turbulento
189
Como ya se dijo, el flujo dentro de la capa límite permanece laminar por una cier
ta distancia que depende de las propiedades y la velocidad del fluido. Sin embar
go el cociente de fuerzas viscosas a fuerzas inerciales disminuye conforme
aumenta el espesor de la capa límite y el campo de flujo se hace turbulento. Aun
en esas condiciones persiste un movimiento casi laminar en la vecindad inmedia-

ta de la superficie, como se observa en la figura 5.13. Esta porción de la capa
límite turbulenta se conoce como subcapa laminar. Por otra parte, adentrándose
más en el campo del flujo, se observa una capa de transición entre la subcapa lami-
nar y la región turbulenta ~n donde se experimenta cierta turbulencia, pero la
transferencia de calor y cantidad de movimiento en el nivel molecular aún son
importantes.
Aunque varias investigaciones han contribuido de manera considerable a un
entendimiento fundamental del fluido turbulento, no han tenido éxito en la predic-
ción analítica de los coeficientes de transferencia de calor y de fricción sin recurrir
a la experimentación. Esta incapacidad estriba en la enorme complejidad del flujo
turbulento, pues las fluctuaciones irregulares de velocidad sobrepuestas al movi-
miento principal del fluido no pueden describirse en forma analítica; precisamente
estas fluctuaciones son las principales responsables de la transferencia de calor y
de la cantidad de movimiento en este régimen.
El coeficiente local de fricción para flujo turbulento en una placa plana está
dado por la expresión empírica siguiente:
Ix =O.0592Re~J/5 (5.55)
que concuerda con los resultados experimentales en el rango de números de Reynolds
de 5 x 105 a 5 x 107.* El coeficiente de transferencia de calor puede calcularse
Subcapa laminar
(a)
Id = Régión turbulenta
c:=Jc=2==:;~~~~00~t§capade transición
Subcapa laminar
(b)
Figura 5.13. Ca) Distintos regímenes de flujo en la capa límite de una placa plana. Ch)
Perfil de velocidad en la capa límite turbulenta.
* Una ecuación más complicada propuesta por Schultz-Grunow que cubre todos los números Reynolds es de la
forma:
f = 0.370
x (loglO Rex )2.584

5.3. Transferencia de calor en una placa con convección forzada en régimen turbulento 191
con facilidad mediante la analogía de Reynolds. Si se supone que la capa límite
turbulenta empieza en el extremo de la placa por donde el fluido incide u,
opcionalmente, se desprecia la existencia de la capa límite laminar, es decir,
L» XC' mediante la ecuación 5.54 se obtiene
Nu = Ix Re Pr1
/
3
x 2 x
(5.56)
(5.57)
En la ecuación 5.56 se observa que el coeficiente local de transferencia de calor
en régimen turbulento disminuye proporcionalmente a lIxO.2
con la distancia X,
mientras que en el régimen laminar disminuye proporcionalmente a lIx°.5. Esto es,
el coeficiente de transferencia de calor disminuye más rápido en el flujo laminar.
Por otra parte, para un valor determinado del número de Reynolds, el coeficiente
de transferencia de calor en régimen turbulento es mayor que en régimen laminar.
Cabe recordar que las ecuaciones 5.56 y 5.57 ignoran la existencia de la capa
límite laminar. Empero, ésta puede incluirse combinando las expresiones 5.51 y
5.55 en la analogía de Reynolds, es decir,
Al sustituir el valor de Xc =5 x 105 v/u= y hacer la integración se obtiene
(5.58)
Esta expresión es válida para 0.6 < Pr < 60, 5 X 105 < ReL < 108.
Debe apuntarse que las propiedades físicas del fluido en las ecuaciones 5.56 a
5.58 se evalúan a la temperatura de película T¡-
El espesor de la capa límite hidrodinámica puede calcularse fácilmente median-
te la ecuación integral de movimiento (5.19). Si se supone que la porción laminar
es insignificante, el perfil de velocidad (véase Shubauer, en la sección de bibliografía)

92 5. Fundamentos de convecciónforzada
es de la forma u/u..,= (.y/8)1 n y el e fuerzo viscoso de corte en la interfase es de
0.0233pu•.2 (vlu00 8)114 • El resultado que se obtiene es
o= 0.38x
Re1
¡sX
Queda como ejercicio que el lector demuestre esta expresión.
(5.59)
V
L 1
=

5.4. Transferencia de calor en un dueto circular con régimen laminar donde la densidad de calor es constante 193
5.4. Transferencia de calor en un dudo circular
con régimen laminar donde la densidad
de calor es constante
El calentamiento o enfriamiento de un fluido al circular por el interior de un tubo
constituye uno de los procesos de transferencia de calor más importantes. Normal-
mente los tubos se emplean en intercambiadores de calor, condensadores,
evaporadores, colectores de energía solar, etcétera.
Como se ilustra en la figura 5.14, el problema consiste en determinar mediante
un análisis el coeficiente de transferencia de calor en un tubo de sección transver-
sal circular donde el régimen es laminar y el campo de velocidad se ha desarrolla-
do por completo, es decir, el perfil de velocidad u(x, r) que se establece de manera
gradual a partir de la entrada del dueto como consecuencia de la capa límite, ya ha
alcanzado una forma tal u(r) que no varía con la distancia axial x. Por otra parte,
se supondrá que el flujo de calor por unidad de área en la superficie del tubo es
constante y el perfil de temperatura también se ha desarrollado en su totalidad. En
tales condiciones, un balance de cantidad de movimiento en el volumen de con-
trol que se muestra en la figura 5.15 indica que, en estado estable,
Al dividir esta expresión entre 2nl1rl1x y hacer que I1r y l1x tiendan a cero, se
obtiene
.!!..-(rr )=-r dp
dr rx dx
Integrando esta expresión con respecto al radio,
dp r el
r =--+-
rx dx2 r
q~ = constante
1. 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
rh ¡Rx
1 1 111 I 1 III I
(5.60)
Figura ?14. Ducto circular con régimen laminar donde la densidad de calor es constante.

/).x
Puesto que el esfuerzo viscoso de corte es de cero en el centro del tubo, o análoga-
mente la velocidad es máxima, la constante el debe ser igual a cero. Por tanto,
dp r
r =-- -
rx dx 2
(5.61)
En la figura 5.16 se muestra un esquema de la variación del esfuerzo viscoso de
corte como función de la distancia radial. En esa figura se observa que el esfuer-
zo es máximo en la interfase sólido-fluido.
La variación de la velocidad u con respecto al radio puede obtenerse susti-
tuyendo la ley de Newton de viscosidad en la ecuación 5.61, esto es
du dp r
- J.l- =---
dr dx 2
Al integrar esta expresión con respecto al radio,
dp r2
u= - -+C
dx 4J.l 2
Puesto que u =Oen r =R se obtiene
C
__ dp R2
2 -
dx 4J.l

5.4. Transferencia de calor en un ducto circular con régimen laminar donde la densidad de calor es constante 195
'tmáx
= _ dp!i
dx 2
Figura 5.16. Variación del esfuerzo viscoso de corte como función de la distancia radial.
En consecuencia,
(5.62)
Como la velocidad del fluido es máxima en el centro del tubo,
(5.63)
Una expresión para la velocidad promedio del fluido u puede obtenerse con senci-
llez mediante un balance macroscópico de materia en el tubo. Puesto que la den-
sidad del fluido es constante,
2 rR
nR U =Jo u2nrdr
Al hacer la integración y simplificar se obtiene
- Umáxu = ~-
2
(5.64)

Figura 5.17. Perfil de velocidad del fluido en el interior de un tubo.
En la figura 5.17 se muestra un diagrama del perfil de velocidad del fluido en el
interior del tubo. Hay que señalar que para tubos largos, donde los efectos de la
entrada no son importantes, el flujo es laminar cuando el número de Reynolds es in-
ferior a 2100, aproximadamente, esto es, Re =Dlil v < 2100 YD es el diámetro
interior del tubo.
Una vez que se ha determinado la distribución de la velocidad, se procede a
realizar un balance de energía en el volumen de control que se ve en el esquema
de la figura 5.18.
Recurriendo a la primera ley de la termodinámica,
p2rc!1ruHI - p2rcr!1ruHI A ~ +q;'2rcr!1x1 - q;2rcr!1x1 A =Ox X+UA r r+ur
donde H es la entalpía del fluido y q~ el calor por unidad de área conducido en la
dirección radial. En este balance de energía se ha supuesto que la conducción de calor
en la dirección axial, q~, es insignificante en comparación con la energía acarreada
por el fluido como consecuencia de su velocidad, puB. Esta suposición no es cierta
en el caso de fluidos lentos, cuando la conductividad térmica del fluido es muy alta o
cuando se presentan ambas condiciones, como en el caso de los metales líquidos.
Al dividir la expresión de arriba entre 2rc!1r!1x y hacer que !1r y !1x tiendan a
cero, se obtiene
aH a( ") O- pru- - - rqr =
ax ar
Puesto que aHlax = cpaTlax y q;= - kaT/ar,
(5.65)

q'''brrl'lxlr r+D.r
p2:rr.rl'lruHlx
I'lx
Puesto que el flujo de calor por unidad de área en la superficie del tubo q~ es cons-
tante y se ha supuesto que el perfil de temperatura está desarrollado por completo,
dI'
dx =constante (5.66)
lo que indica que laforma del perfil radial de temperatura no experimenta ningún
cambio a medida que se incrementa la distancia axial. Integrando la ecuación 5.65
con respecto al radio se obtiene
dT = umáxR dT [(!.-)_! (!.-)3]+ Cl
dr 2a dX R 2 R R
Puesto que dT/dr =°en r =0, la constante Cl debe ser igual a cero. Así,
dT =umáxR dT [(!.-)_! (!.-)3]dr 2a dX R 2 R
(5.67)
Al integrar de nuevo con respecto al radio,
(5.68)
La ecuación anterior expresa la variación de la temperatura del fluido como fun-
ción de la distancia radial r, en una posición x dada. Aun cuando se desconocen
.,

las constantes aTlax y C2, el coeficiente de transferencia de calor puede determi-
narse mediante la relación
(5.69)
donde Ts es la temperatura del fluido en la superficie interior del tubo y Tm es una
temperatura media definida con la expresión
iRuTrdr
T =-,-,0"--;0-__
m SORurdr
(5.70)
Esta temperatura media corresponde físicamente al valor de la temperatura que se
obtendría en un recipiente si se encontrara el tubo en una posición x y el fluido que
saliera se almacenara y mezclara perfectamente. Obsérvese que este valor de tem-
peratura difiere del valor promedio en cualquier sección transversal del tubo.
Al sustituir las ecuaciones 5.63 y 5.68 en la 5.70 y hacer las integraciones requeri-
das, se obtiene que la temperatura promedio está dada por la expresión siguiente:
T = 7 umáx
R2
aT +C (5.71)
m 96 a ax 2
Por otra parte, al sustituir r =R en la ecuación 5.68 se obtiene
T = 3 umáx
R2
aT +c
s 16 a ax 2
De manera similar, si sustituimos r = R en la ecuación 5.67 tenemos
(
aT) _ umáxR aT- - - -
ar R 4a ax
(5.72)
(5.73)
Por último, al sustituir las ecuaciones 5.71, 5.72 Y5.73 en la 5.69 obtenemos
h=24 ~
11R
o, en función del diámetro D del tubo,
Nu = hD = 48 =4.364
k 11
(5.74)

Cabe recordar que la expresión anterior implica que el régimen es laminar y que tanto
el perfil de velocidad como el de temperatura se encuentran completamente desarro-
llados. Por otra parte, y como se mostró antes, el desarrollo de la capa límite térmica
es muy diferente del de la hidrodinámica en el caso de fluidos cuyo número de
Prandtl difiere de manera considerable de la unidad. Así, en el caso de fluidos vis-
cosos en los que dicho número es muy superior a 1.0, la capa límite térmica se desa-
rrolla lentamente con la distancia x del tubo, lo cual da como resultado que el perfil
de temperatura se establezca en forma completa sólo a través de una parte significa-
tiva de la longitud total del ducto. En consecuencia, la ecuación 5.74 no concuerda de
forma apropiada con los resultados experimentales en estas circunstancias. Un análi-
sis detallado de la transferencia de calor en un tubo (véase Sellars, en la sección de
bibliografía) indica que la solución asintótica 5.74 es válida para valores de xlRPe
mayores o iguales a 0.25, donde la coordenada x se mide a partir del punto en que se
aplica el flujo de calor y Pe = RePr es el número de Pedet. En la tabla 5.1 se mues-
tran diferentes valores del número de Nusselt local para un ducto circular.
Para valores pequeños de x/RPe, Knudsen y Katz (véase Knudsen, en la sec-
ción de bibliografía) sugieren la aproximación para el número de Nusselt local que
se presenta en seguida:
Nux
=1.639(~)-1/3, ~ < 0.01
RPe RPe
(5.75)
Del análisis anterior se desprende que la determinación analítica del coeficiente de
transferencia de calor en un sistema dado constituye una tarea compleja en
extremo.
Tabla 5.1. Números de Nusselt para un tubo circular (q~ =C).
x/RPe Nux =hxD/k
O 00
0.002 12.00
0.004 9.93
0.010 7.49
0.020 6.14
0.040 5.19
0.100 4.51
00 4.36
(Fuente: W. M. Kays y M. E. Crawford, Convective heat and mass transfer, 3a. ed., McGraw-HiJl, Nueva York,
1993).

En virtud de que ya se tienen los fundamentos para determinar mediante análi-
sis el coeficiente de transferencia de calor en geometrías relativamente sencillas, a
continuación se presenta una síntesis de fórmulas prácticas de trabajo para el cálculo
del coeficiente de película, las s;uales se basan primordialmente en observaciones
experimentales.
5.5. Fórmulas empíricas para convección forzada
en tubos
5.5.1. Régimen laminar
En el caso de un tubo circular donde la temperatura de la pared es constante,
Hausen (véase sección de bibliografía) recomienda la expresión empírica sigu-
iente para calcular el valor promedio del número de Nusselt:
Nu = hD = 3.66 + 0.0668(DIL)Pe
k 1+0.04[(DIL)Pe]2/3
(5.76)
donde D es el diámetro interior del tubo y L su longitud. Obsérvese que la solu-
ción asintótica para longitudes suficientemente grandes es igual a 3.66. Las pro-
piedades físicas en la ecuación 5.76 se evalúan a la temperatura media del fluido.
5.5.2. Régimen turbulento
Para un flujo turbulento desarrollado por completo en tubos lisos, Dittus y Boelter
(véase sección de bibliografía) sugieren la correlación siguiente:
- hD 08
Nu = - = 0.023Re . Prn
k
(5.77)
Las propiedades en esta expresión se evalúan a la temperatura media del fluido y
el exponente n adquiere un valor de 0.4 para calentamiento o 0.3 para enfriamien-
to. De la ecuación 5.77 se observa que el coeficiente de transferencia de calor es
directamente proporcional a la velocidad pr.omedio del fluido elevada a la poten- '
cia 0.8, e inversamente proporcional al diámetro del tubo elevado a la 0.2. De aquí
que para un flujo de masa dado, un incremento en el diámetro del tubo reduce el
coeficiente de transferencia de calor proporcionalmente a l/D1.8. De lo anterior se
concluye que el uso de tubos de diámetro pequeño conduce a valores altos del coe-
ficiente de transferencia de calor. Sin embargo, los costos de bombeo también son
elevados en tales circunstancias.

5.5. Fórmulas empíricas para convección forzada en tubos 201
La ecuación 5.77 es aplicable a fluidos cuyos números de Prandtl varían entre
0.6 y 160, aproximadamente, yen situaciones donde la diferencia de temperaturas
entre la pared del tubo y el fluido es moderada. En la figura 5.19 se muestra una com-
paración de datos experimentales con los resultados aportados por la ecuación 5.77.
Para tener en cuenta las variaciones en las propiedades físicas del fluido cuan-
do la diferencia de temperaturas entre la pared del tubo y el fluido es grande,
Sieder y Tate (véase sección de bibliografía) recomiendan la expresión siguiente:
(5.78)
donde todas las propiedades se evalúan a la temperatura media del fluido, con
excepción de la viscosidad Jis' la cual se evalúa a la temperatura del tubo. Esta
relación es válida para ReD> 10 000 Y0.7 < Pr < 16700.
En el rango de números de Prandtl para gases, 0.5 a 1.0, Rohsenow y Hartnett
(véase sección de bibliografía) presentan las dos expresiones siguientes para situa-
ciones donde el flujo de calor por unidad de área o la temperatura de la superficie
del tubo son constantes. Respectivamente,
(5.79)
(5.80)
10'
~. o
>8" 0 - '"t)tO ---tI'"
10
0~ 'Í",
r;~
2
<:>,,'"V.
~v~ ,
0 9
o
10
,
103 10' 10S 10·
Re
Figura 5.19. Correlación de datos experimentales para convección forzada en tubos lisos
y con régimen turbulento. (Fuente: J. P. Holman, Heat Transfer, McGraw-Hill, Nueva
York, 1986.)
.'

Obsérvese que en este rango de números de Prandtl empieza a experimentarse una
diferencia susceptible de medir entre las dos condiciones de frontera, esto es, qs11 = C
o T8 = C. Por otra parte, para metales líquidos (números de Prandtl muy pequeños),
dos expresiones muy populares son la ecuación de Lyon paraflujo de calor cons
tante y la de Seban-Shimazaki para·temperatura constan
te en la superficie del tubo.
Éstas son, respectivamente,
�
08
Nur,=c=4.8+0.025Pe
(5.81)
(5.82)
En esas expresiones se evalúan las propiedades físicas del fluido a la temperatura
media.
Cabe mencionar que si el fluido fluye por un dueto de sección transversal no
circular, las correlaciones de transferencia de calor para un dueto circular de
diámetro interior D pueden extenderse con frecuencia a tales duetos si se emplea
el diámetro hidráulico D,,, definido como
D _ 4Ah - p L5.83)
don de A es el área de sección transversal al flujo y P es perímetro mojado por el
fluido.
(a)

5.6. Fórmulas empíricas para convecciónforzada sobre wbos
=
203
5.6. Fórmulas empíricas para convección forzada
sobre tubos
En el caso de gases y líquidos que fluyen en forma transversal por un cilindro de
diámetro exterior D, HÓlman (véase sección de bibliografía) indica que el coefi
ciente promedio de transferencia de calor puede determinarse mediante la relación
siguiente:
Nu
= hD
= CRe" Prl
/3
k
(5.84)

204
600
400
300
200
100
80
I~
60
40
20
10
8
6
4
2
1
0.8
0.6
0.4
0.3
donde Re = uooD/v; las constantes e y n aparecen tabuladas en la tabla 5.2. Las
propiedades físicas del fluido se evalúan a la temperatura de película. En la figu-
ra 5.20 se muestra la variación del número de Nusselt como función del número
de Reynolds para el aire.
Tabla 5.2. Constantes para usarse con la ecuación 5.84.
Re e n
0.4 - 4 0.989 0.330
4 40 0.911 0.385
40 - 4000 0.683 0.466
4000 40000 0.193 0.618
40000 400000 0.0266 0.805
Debido a la enorme cantidad de fórmulas empíricas de las que dispone el inge-
niero para calcular el coeficiente de transferencia de calor en una situación con-
creta, se sugiere consultar las referencias que aparecen al final del capítulo para
obtener una información detallada. En particular se recomiendan las obras de
,,9"
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o
o
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J/& ~ b'b
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o
<><JI>'
fI.2{!I ~~'
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o
.~
0.1 2 3 4 6 8 1.0 2 3 4 6 8 10 2 3 4 6 8 102 2 3 4 6 8 103 2 3 4 6 8 104 2 3 4 6 8 105 2 3
Re
Figura 5.20. Correlación de datos experimentales para aire sobre tubos.

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