La presentación "Transformación de Coordenadas" introduce los principios matemáticos esenciales para trasladar la descripción de objetos y fenómenos entre diferentes sistemas de referencia, una habilidad fundamental en física e ingeniería. Exploraremos cómo mediante matrices, ecuaciones y operaciones algebraicas podemos convertir coordenadas entre sistemas cartesianos, polares, cilíndricos y esféricos, adaptándonos a la geometría particular de cada problema. Veremos que estas transformaciones no solo simplifican cálculos matemáticos, sino que revelan relaciones intrínsecas en los datos, permitiendo resolver problemas de mecánica, electromagnetismo y gráficos por computadora con mayor elegancia y eficiencia. La exposición destacará aplicaciones prácticas que van desde el trazado de órbitas planetarias y el análisis de campos electromagnéticos hasta el rendering de escenas 3D en animación digital, demostrando cómo el cambio de perspectiva matemática puede convertir problemas complejos en soluciones manejables.

1. TRANSFORMACION DE
SISTEMAS DE COORDENADAS
UNIVERSIDAD NACIONAL PEDRO RUIZ GALLO
FACULTAD DE INGENIERIA MECANICA ELECTRICA
M.Sc. Lic. EGBERTO SERAFIN GUTIERREZ ATOCHE
sgutierrez@unprg.edu.pe
TEORIA DE LOS CAMPOS ELECTROMAGNETICOS

2. Sistemas de coordenadas y su transformación
En problemas de electromagnetismo, nos encontraremos muy frecuentemente
con geometrías que contengan cilindros o esferas. La geometría del sistema de
coordenadas cartesianas no es el más adecuado para tratar geometrías esféricas
y cilíndricas. En especial, se pueden obtener simplificaciones considerables en los
cálculo si se usan otros sistemas de coordenadas.
Estas coordenadas pueden ser obtenidas a partir del sistema de coordenadas
Cartesiano mediante una transformación que es invertible en cada punto.
Esto significa que podemos convertir un punto dado en coordenadas Cartesianas
a un sistema curvilíneo y viceversa.

3. SISTEMAS DE COORDENADAS CARTESIANAS
El sistema de coordenadas
cartesianas (𝑥, 𝑦, 𝑧) es el que
tomaremos como sistema básico.
Este sistema se define como el
conjunto de distancias (con
signo) a tres planos ortogonales.
• La coordenada x es la
distancia al plano YZ.
• La coordenada y es la
distancia al plano XZ.
• La coordenada z es la
distancia al plano XY.
Si x, y y z son constantes es un punto cartesiano

4. Coordenadas cartesianas
Sea el punto P(𝑥, 𝑦, 𝑧) 𝑿 ⊥ 𝒀 ⊥ 𝒁
𝒂𝑥, 𝒂𝑦, 𝒂𝑧; vectores unitarios en la
direction de X, Y y Z, respectivamente
Los ejes se propagan en:
−∞ < 𝑋 < +∞
−∞ < 𝑌 < +∞
−∞ < 𝑍 < +∞
𝑨(𝑥,𝑦,𝑧) = 𝑨𝑥, 𝑨𝑦, 𝑨𝑧 = 𝐴𝑥𝒂𝑥 + 𝐴𝑦𝒂𝑦 + 𝐴𝑧𝒂𝑧
𝐴𝑥 = 𝐴𝑐𝑜𝑠𝜃 𝐴𝑦 = 𝐴𝑐𝑜𝑠𝛽 𝐴𝑧 = 𝐴𝑐𝑜𝑠𝛾
𝒄𝒐𝒔𝟐𝜽 + 𝒄𝒐𝒔𝟐𝜷 + 𝒄𝒐𝒔𝟐𝜸 = 𝟏
𝐴 = 𝐴𝑥
2
+ 𝐴𝑦
2
+ 𝐴𝑧
2 Modulo del vector
Vector Cartesiano

5. LINEAS CARTESIANAS
Si, partiendo de un punto P variamos x, manteniendo fijos “y” y z, lo
que hacemos es seguir una línea recta, paralela al eje X.
Análogamente ocurre si variamos “y” o si variamos “z”. Como cada
coordenada se extiende desde, estas rectas se entienden
indefinidamente en los dos sentidos. Por tanto, las líneas coordenadas
en cartesianas que pasan por un punto P son tres rectas ortogonales
entre sí y paralelas a los ejes de coordenadas.
a
Si se mantiene dos de las
tres parámetros cartesianos
constantes, y el tercero
varia, se tiene una línea
cartesiana
𝑦 = 𝑐𝑡𝑒, 𝑥 = 𝑐𝑡𝑒,−∝< 𝑧 <∝
𝑦 = 2, 𝑥 = 3, −1 < 𝑧 < 4

6. 𝑦 = 𝑐𝑡𝑒, 𝑥 = 𝑐𝑡𝑒,−∝< 𝑧 <∝
𝑦 = 2, 𝑥 = 5, −1 < 𝑧 < 4
X
Y
Z
X
Y
Z

7. SUPERFICIES CARTESIANAS
La superficie z = cte. En donde variamos los valores de “x” y “y”, obtenemos
un plano horizontal.
Del mismo modo, la superficie y = cte. (al variar los valores de “x” y “z” y la
superficie x = cte. (al variar los valores de “y” y “z”) son planos verticales,
ortogonales entre sí.
Las superficies cartesianas en cada punto P, por tanto, son planos ortogonales
dos a dos, y paralelos a los planos coordenados.
Si se tiene un parámetro
cartesiano constante y las dos
variables, se tendría un plano o
superficie cartesiano.
𝑥 = 𝑐𝑡𝑒,−∝< 𝑦 <∝,−∝< 𝑧 <∝
z= −1, −2 < 𝑥 < 3, 2 < 𝑦 < 5

8. 𝑥 = 𝑐𝑡𝑒,−∝< 𝑦 <∝,−∝< 𝑧 <∝
z= −1, −2 < 𝑥 < 3, 2 < 𝑦 < 5
X
Y
Z

9. VOLUMEN CARTESIANO
Los parámetros x, y, z ; son variable, nos da una figura
volumétrica, también llamada paralepipedo, si los valores son
iguales tendremos un cubo.
a ≤ 𝑥 ≤ 𝑏
c ≤ 𝑦 ≤ 𝑑
e ≤ 𝑧 ≤ 𝑓

10. Graficar el siguiente lugar geométrico:
−3 ≤ 𝑥 ≤ 1
−2 ≤ 𝑦 ≤ 5
1 ≤ 𝑧 ≤ 4

11. SISTEMAS DE COORDENADAS CARTESIANAS
El sistema de coordenadas cartesianas (𝑥, 𝑦, 𝑧)
Si x, y y z son constantes es un punto
cartesiano
Si se mantiene dos de las tres parámetros
cartesianos constantes, y el tercero varia, se
tiene una línea cartesiana
𝑒𝑗. 3,4,5 ; (2, −4,5)
𝑒𝑗. 𝑥 = 2; −2 ≤ 𝑦 ≤ 7; 𝑧 = 4 ;
(−1 ≤ 𝑥 ≤ 3; 𝑦 = −1; 𝑧 = 5)

12. −1 ≤ 𝑥 ≤ 3; 2 ≤ 𝑦 ≤ 3; 2 ≤ 𝑧 ≤ 5
Si se tiene las tres variables, se tendría
un volumen cartesiano.
Si se tiene un parámetro cartesiano constante y las dos
variables, se tendría un plano o superficie cartesiano.
𝑒𝑗. 𝑥 = 3; 2 ≤ 𝑦 ≤ 4; 0 ≤ 𝑧 ≤ 5
0 ≤ 𝑥 ≤ 3; 𝑦 = −3; 1 ≤ 𝑧 ≤ 5

13. SISTEMAS DE COORDENADA CILINDRICAS
Las coordenadas cilíndricas constituyen una generalización de las coordenadas
polares del plano, a base de extenderlas al espacio paralelamente a una recta (el
eje Z), perpendicular al plano XY, como sigue:
• La coordenada radial, ρ, es la distancia ⊥ del punto P al eje Z.
• La coordenada acimutal, Φ, es el ángulo que la proyección del vector de
posición sobre el plano XY forma con el eje Y.
• La coordenada vertical, z, es la distancia (con signo) al plano XY.

14. Coordenadas cilindricas: Sea el punto(𝜌, 𝜙, 𝑧)
Planos mutuamente ⊥ 𝜌, 𝜙, z; cte
𝒂𝜌 ⊥ 𝒂𝜙 ⊥ 𝒂𝑧
Los ejes se propagan en:
0 < 𝜌 < +∞
0 ≤ 𝜙 ≤ 2𝜋
−∞ < 𝑍 < +∞
𝑨(𝜌,𝜙,𝑧) = 𝑨𝜌, 𝑨𝜙, 𝑨𝑧 = 𝐴𝜌𝒂𝜌 + 𝐴𝜙𝒂𝜙 + 𝐴𝑧𝒂𝑧
𝐴 = 𝐴𝜌
2
+ 𝐴𝜙
2
+ 𝐴𝑧
2
𝑥 = 𝜌𝑐𝑜𝑠𝜙 𝑦 = 𝜌𝑠𝑒𝑛𝜙 𝑧 = 𝑧
𝜌 = 𝑥2 + 𝑦2 𝜙 = 𝑎𝑟𝑐 𝑡𝑔
𝑦
𝑥
Vector Cilíndrico
Modulo del vector
𝑃 1,2,3 = 𝑃 5, 63,44°, 3

15. LINEAS CILINDRICAS
•La coordenada vertical, z, es la misma que en cartesianas, y lo mismo ocurre
con su línea coordenada, que será una recta vertical que pasa por P.
•Para la coordenada radial ρ, al mover esta coordenada nos acercamos o
alejamos del eje Z sin variar la altitud ni la dirección. Las líneas serán entonces
semirrectas horizontales que parten del eje Z y pasan por P. 𝜌 ≥ 0
•Al variar la coordenada Φ cambiamos el ángulo con el eje X, sin modificar ni
la distancia al eje ni la altura. Por tanto, las líneas coordenadas Φ son
circunferencias horizontales
P
Si se mantiene dos de las
tres parámetros cilíndricos
constantes, y el tercero
varia, se tiene una línea
cilíndrica
𝜌 = 𝑐𝑡𝑒, 𝜙 = 𝑐𝑡𝑒,−∝< 𝑧 <∝
𝜌 = 5, 𝜙 = 30°, 2 < 𝑧 < 6
𝜌 = 3, 𝑧 = 3, 45° < 𝜙 < 70°

16. 𝜌 = 5, 𝜙 = 30°, 2 < 𝑧 < 6
𝜌 = 3, 𝑧 = 3, 45° < 𝜙 < 70°

17. 𝜙 = 30°, 𝑧 = 3, 5 < 𝜌 < 7
𝜙 = 30°
𝑧 = 3

18. SUPERFICIES CILINDRICAS
• Las superficies z = cte. son, como en cartesianas, planos horizontales.
• Las superficies ρ = cte. están formadas por los puntos situados a la misma
distancia ⊥ del eje Z. Estos puntos forman un cilindro circular con esta recta
como eje.
• Si fijamos Φ (Φ = cte.) nos movemos sobre una superficie que forma un ángulo
constante con el plano XZ. Esto viene a ser como una puerta que gira un cierto
ángulo respecto a su eje. La superficie coordenada es un semiplano vertical con
borde en el eje Z.
Si se tiene un parámetro cilíndricos
constante y las dos variables, se tendría un
plano o superficie cilíndrica.
𝑧 = 𝑐𝑡𝑒, 20° < 𝜙 < 60°, 2 < 𝜌 < 6
𝜌 = 6,30° < 𝜙 < 70°, 2 < 𝑧 < 7

19. 𝑧 = 𝑐𝑡𝑒, 20° < 𝜙 < 60°, 2 < 𝜌 < 6
𝜌 = 6,30° < 𝜙 < 70°, 2 < 𝑧 < 7

20. 𝜙 = 60°, 2 ≤ 𝜌 ≤ 6; 2 ≤ 𝑧 ≤ 5
X
Y
Z
𝝓 = 𝟔𝟎°
2
6
2
5

21. VOLUMEN CILINDRICO
Los parámetros 𝜌, 𝜙, 𝑧 ; son variable, nos da una figura
volumétrica.
3 ≤ 𝜌 ≤ 7,20° ≤ 𝜙 ≤ 75°, 2 ≤ 𝑧 ≤6
𝟑 𝟕
𝟔
𝟐
𝟐𝟎°
𝟕𝟓°

22. TAREA ACADEMICA SEMANA 01
3. Realizar la graficas de
𝑧 = −5, 30° ≤ 𝜙 ≤ 50°, 3 ≤ 𝜌 ≤ 5
4. Realizar la graficas de
−4 ≤ 𝑧 ≤ 5, 30° ≤ 𝜙 ≤ 50°, 𝜌 = 5

23. SISTEMAS DE COORDENADA ESFERICAS
Las coordenadas esféricas
constituyen otra generalización
de las coordenadas polares del
plano, a base de girarlas
alrededor de un eje:
• La coordenada radial r:
distancia del punto al
origen
• La coordenada polar θ:
ángulo que el vector de
posición forma con el eje Z.
• La coordenada acimutal
• Φ: ángulo que la
proyección sobre el
plano XY forma con el
eje X.

24. Coordenadas esfericas: 𝑃(𝑟, 𝜃, 𝜙)
Planos mutuamente ⊥ 𝑟, 𝜃, ϕ; cte
𝒂𝑟 ⊥ 𝒂𝜃 ⊥ 𝒂𝜙
Los ejes se propagan en:
0 < 𝑟 < +∞
0 ≤ 𝜃 ≤ 𝜋
0 ≤ 𝜙 ≤ 2𝜋
𝑨(𝑟,𝜃,𝜙) = 𝑨𝑟, 𝑨𝜃, 𝑨𝜙 = 𝐴𝑟𝒂𝑟 + 𝐴𝜃𝒂𝜃 + 𝐴𝜙𝒂𝜙
𝐴 = 𝐴𝑟
2
+ 𝐴𝜃
2
+ 𝐴𝜙
2
𝑥 = 𝜌𝑐𝑜𝑠𝜙 𝑦 = 𝜌𝑠𝑒𝑛𝜙
𝑧 = 𝑟𝑐𝑜𝑠𝜃
𝜌 = 𝑟𝑠𝑒𝑛𝜃
𝑥 = 𝑟𝑠𝑒𝑛𝜃𝑐𝑜𝑠𝜙 𝑦 = 𝑟𝑠𝑒𝑛𝜃𝑠𝑒𝑛𝜙
𝑟2 = 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 𝜙 = 𝑎𝑟𝑐 𝑡𝑔
𝑦
𝑥
𝜃 = 𝑐𝑜𝑠−1 Τ
𝑧
𝑟
Modulo del vector
Vector Esférico
𝑃 −2,3, −4 = 𝑃 29; 137,97°; 56,31° = 𝑃(3,61; 56,31°; −4)

25. Si r es cte es una esfera,
con centro en el origen
Si 𝜃 es cte es un cono circular con el eje Z
Como eje y el origen como su vertice
Si 𝜙 es cte es el
plano semiinfinito

26. LINEAS ESFERICAS
• Para la coordenada Φ obtenemos, de
nuevo circunferencias horizontales, lo
que en la superficie terrestre
corresponde a los paralelos.
• Al variar θ modificamos la latitud en la
superficie esférica, por lo que resultan
semicircunferencias verticales
(los meridianos). y no circunferencias
completas porque la colatitud solo llega
hasta 𝜋.
• Al alejarnos o acercarnos al origen de
coordenadas, variando r, nos
movemos sobre una semirrecta
(no una recta) que, partiendo del
origen de coordenadas, pasa por el
punto P.
𝑟 = 𝑐𝑡𝑒; 𝜃 = 𝑐𝑡𝑒; 0 ≤ 𝜙 ≤ 2𝜋
𝑟 = 𝑐𝑡𝑒; 𝜙 = 𝑐𝑡𝑒; 0 ≤ 𝜃 ≤ 𝜋
𝜃 = 𝑐𝑡𝑒; 𝜙 = 𝑐𝑡𝑒; 0 ≤ 𝑟 ≤ ∞

27. 𝑟 = 3; 𝜃 = 60°; 30° ≤ 𝜙 ≤ 45°
𝒓 = 𝟑
𝒛 = 𝒓𝒄𝒐𝒔𝜽
𝝆 = 𝒓𝒔𝒆𝒏𝜽

28. 𝒓 = 𝟓; 𝝓 = 𝟔𝟎°; 𝟑𝟕° ≤ 𝜽 ≤ 𝟓𝟑°
𝒛 = 𝒓𝒄𝒐𝒔𝜽

29. 𝝓 = 𝟓𝟑°; 𝜽 = 𝟔𝟎°; 𝟑 ≤ 𝒓 ≤ 𝟓
𝟑
𝟓
𝒛 = 𝒓𝒄𝒐𝒔𝜽

30. SUPERFICIES ESFERICAS
• La superficie r = cte. la forman los
puntos situados a la misma
distancia del origen de coordenadas.
Esto, es una superficie esférica.
• La superficie Φ = cte. es, como en
cilindricas, un semiplano con borde
el eje Z.
• Para construir la superficie θ =
cte. podemos partir de las líneas
coordenadas r, que son semirrectas
que parten del origen de
coordenadas y forman un ángulo fijo
con el eje Z. Si ahora permitimos
que varíe Φ lo que hacemos es girar
estas semirrectas en torno al
eje Z manteniendo constante el
ángulo con este eje. El resultado es
una superficie cónica de semiángulo
en el vértice θ.
𝑟 = 𝑐𝑡𝑒; 0 ≤ 𝜃 ≤ 𝜋; 0 ≤ 𝜙 ≤ 2𝜋
𝜃 = 𝑐𝑡𝑒; 0 ≤ 𝑟 ≤ ∞; 0 ≤ 𝜙 ≤ 2𝜋
𝜙 = 𝑐𝑡𝑒; 0 ≤ 𝑟 ≤ ∞; 0 ≤ 𝜃 ≤ 𝜋

31. 𝟐 ≤ 𝒓 ≤ 𝟔; 𝜽 = 𝟔𝟎°; 𝟑𝟎° ≤ 𝝓 ≤ 𝟒𝟓°
𝒛 = 𝒓𝒄𝒐𝒔𝜽
𝟐
𝟔

32. 𝟑 ≤ 𝒓 ≤ 𝟓; 𝝓 = 𝟔𝟎°; 𝟑𝟕° ≤ 𝜽 ≤ 𝟓𝟑°
𝒛 = 𝒓𝒄𝒐𝒔𝜽
𝟑 𝟓

33. VOLUMEN ESFERICO
Los parámetros 𝑟, 𝜃, 𝜙 ; son variable, nos da una figura
volumétrica.
Los tres parámetros varían:
0 < 𝑟 < +∞
0 ≤ 𝜃 ≤ 𝜋
0 ≤ 𝜙 ≤ 2𝜋
𝒓𝟏
𝒓𝟐

34. Determine el grafico de la Región:
1 ≤ 𝑟 ≤ 5, 45° ≤ 𝜃 ≤ 60°, 20° ≤ 𝜙 ≤ 110°
𝟐𝟎°
𝟏𝟏𝟎°
𝟒𝟓°
𝟔𝟎°
1
5
𝒛 = 𝒓𝒄𝒐𝒔𝜽

35. 1. Dado el campo vectorial H = 𝑟2
𝒂𝑟 + 𝑠𝑒𝑛𝜃𝑐𝑜𝑠𝜙𝒂𝜃 + 𝑐𝑜𝑠𝜃𝒂𝜙;
determine el modulo en el punto P(2,2,-4)
H = 𝑟2𝒂𝑟 + 𝑟𝑠𝑒𝑛𝜃𝑐𝑜𝑠𝜙𝒂𝜃 + 𝑟𝑐𝑜𝑠𝜃𝒂𝜙
P(2,2,-4)
𝑟2
= 𝑥2
+ 𝑦2
+ 𝑧2 𝜙 = 𝑎𝑟𝑐 𝑡𝑔
𝑦
𝑥
𝜃 = 𝑐𝑜𝑠−1 Τ
𝑧
𝑟
𝑟 = ? 𝜙 = ? ° 𝜃 = ? °
H = 𝐸𝑟𝒂𝑟 + 𝐸𝜃𝒂𝜃 + 𝐸𝜙𝒂𝜙 𝐸 = ?
PROBLEMA

36. 𝑃 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝑃 2,30°, 5 = 𝑃(𝑟, 𝜃, 𝜙)
𝑥 = 𝜌𝑐𝑜𝑠𝜙 𝑦 = 𝜌𝑠𝑒𝑛𝜙
𝑧 = 𝑟𝑐𝑜𝑠𝜃
𝜌 = 𝑟𝑠𝑒𝑛𝜃
𝑥 = 𝑟𝑠𝑒𝑛𝜃𝑐𝑜𝑠𝜙 𝑦 = 𝑟𝑠𝑒𝑛𝜃𝑠𝑒𝑛𝜙
𝑟2
= 𝑥2
+ 𝑦2
+ 𝑧2 𝜙 = 𝑎𝑟𝑐 𝑡𝑔
𝑦
𝑥
𝜃 = 𝑐𝑜𝑠−1 Τ
𝑧
𝑟
Relación entre los distintos sistemas de coordenadas
𝑇(3,45°, −3)

37. ⋅ 𝒂𝝆 𝒂𝝓 𝒂𝒛
𝒂𝒙 𝑐𝑜𝑠𝜙 −𝑠𝑒𝑛𝜙 0
𝒂𝒚 𝑠𝑒𝑛𝜙 𝑐𝑜𝑠𝜙 0
𝒂𝒛 0 0 1
⋅ 𝒂𝒙 𝒂𝒚 𝒂𝒛
𝒂𝒓 𝑠𝑒𝑛𝜃𝑐𝑜𝑠𝜙 s𝑒𝑛𝜃𝑠𝑒𝑛𝜙 𝑐𝑜𝑠𝜃
𝒂𝜽 𝑐𝑜𝑠𝜃𝑐𝑜𝑠𝜙 𝑐𝑜𝑠𝜃𝑠𝑒𝑛𝜙 −𝑠𝑒𝑛𝜃
𝒂𝝓 −𝑠𝑒𝑛𝜙 𝑐𝑜𝑠𝜙 0
∙ 𝒂𝝆 𝒂𝝓 𝒂𝒛
𝒂𝒓 𝑠𝑒𝑛𝜃 0 𝑐𝑜𝑠𝜃
𝒂𝜽 𝑐𝑜𝑠𝜃 0 −𝑠𝑒𝑛𝜃
𝒂𝝓 0 1 0
Transformación
de Sistemas de
Coordenadas
con doble
entrada
Cartesiana-Cilindricas-Esfericas

38. Convertir 𝑨(𝜌,𝜙,𝑧) = 𝐴𝜌𝒂𝜌 + 𝐴𝜙𝒂𝜙 + 𝐴𝑧𝒂𝑧, a coordenadas
𝑨(𝑥,𝑦,𝑧) = 𝐴𝑥𝒂𝑥 + 𝐴𝑦𝒂𝑦 + 𝐴𝑧𝒂𝑧
𝐴𝑥 = A⋅ 𝒂𝒙 = (𝐴𝜌𝒂𝜌 + 𝐴𝜙𝒂𝜙 + 𝐴𝑧𝒂𝑧)⋅ 𝒂𝑥
𝐴𝑦= A⋅ 𝒂𝒚= (𝐴𝜌𝒂𝜌 + 𝐴𝜙𝒂𝜙 + 𝐴𝑧𝒂𝑧)⋅ 𝒂𝑦
𝐴𝑧= A⋅ 𝒂𝒛 = (𝐴𝜌𝒂𝜌 + 𝐴𝜙𝒂𝜙 + 𝐴𝑧𝒂𝑧)⋅ 𝒂𝑧
Convertir 𝑨(𝑥,𝑦,𝑧) = 𝐴𝑥𝒂𝑥 + 𝐴𝑦𝒂𝑦 + 𝐴𝑧𝒂𝑧 , a coordenadas
𝑨(𝜌,𝜙,𝑧) = 𝐴𝜌𝒂𝜌 + 𝐴𝜙𝒂𝜙 + 𝐴𝑧𝒂𝑧
𝐴𝜌= A⋅ 𝒂𝝆 = (𝐴𝑥𝒂𝑥 + 𝐴𝑦𝒂𝑦 + 𝐴𝑧𝒂𝑧)⋅ 𝒂𝜌
𝐴𝜙= A⋅ 𝒂𝝓 = (𝐴𝑥𝒂𝑥 + 𝐴𝑦𝒂𝑦 + 𝐴𝑧𝒂𝑧)⋅ 𝒂𝜙
𝐴𝑧= A⋅ 𝒂𝒛 = (𝐴𝑥𝒂𝑥 + 𝐴𝑦𝒂𝑦 + 𝐴𝑧𝒂𝑧)⋅ 𝒂𝑧
Cartesiana-Cilindricas

39. 1. Convertir el B = (2 + 𝜌2)𝒂𝜌 + 𝜌𝑧𝒂𝜙 + 2𝑧𝒂𝑧 𝑒𝑛 𝑢𝑛 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟
𝑐𝑎𝑟𝑡𝑒𝑠𝑖𝑎𝑛𝑜 𝑒𝑛 𝑃 −2,1, −3
𝜙 = 𝑎𝑟𝑐 𝑡𝑔
𝑦
𝑥
= −26.57°
𝑩(𝑥,𝑦,𝑧) = 𝐵𝑥𝒂𝑥 + 𝐵𝑦𝒂𝑦 + 𝐵𝑧𝒂𝑧
𝜌 = 𝑥2 + 𝑦2 = 5
B = 7𝒂𝜌 − 3 5𝒂𝜙 − 6𝒂𝑧
𝐵𝑥= (7𝒂𝜌 − 3 5𝒂𝜙 − 6𝒂𝑧)⋅ 𝒂𝑥 = 7𝒂𝜌 ⋅ 𝒂𝑥 − 3 5𝒂𝜙 ⋅ 𝒂𝑥 − 6𝒂𝑧 ⋅ 𝒂𝑥 = 3.26
𝐵𝑦= (7𝒂𝜌 − 3 5𝒂𝜙 − 6𝒂𝑧)⋅ 𝒂𝑦 = 7𝒂𝜌 ⋅ 𝒂𝑦 − 3 5𝒂𝜙 ⋅ 𝒂𝑦 − 6𝒂𝑧 ⋅ 𝒂𝑦 = −9.13
𝐵𝑧= (7𝒂𝜌 − 3 5𝒂𝜙 − 6𝒂𝑧)⋅ 𝒂𝑧 = 7𝒂𝜌 ⋅ 𝒂𝑧 − 3 5𝒂𝜙 ⋅ 𝒂𝑧 − 6𝒂𝑧 ⋅ 𝒂𝑧 = −6
B = 3.26𝒂𝒙 − 9.13𝒂𝒚 − 6𝒂𝒛
⋅ 𝒂𝝆 𝒂𝝓 𝒂𝒛
𝒂𝒙 𝑐𝑜𝑠𝜙 −𝑠𝑒𝑛𝜙 0
𝒂𝒚 𝑠𝑒𝑛𝜙 𝑐𝑜𝑠𝜙 0
𝒂𝒛 0 0 1
𝐵𝑥 = B⋅ 𝒂𝒙 𝐵𝑦= B⋅ 𝒂𝒚 𝐵𝑧= B⋅ 𝒂𝒛
𝑩 = 𝟏𝟑𝟎 = 𝟏𝟏. 𝟒𝟎𝟐
𝑩 = 𝟏𝟏. 𝟒𝟎𝟐

40. Convertir 𝑨(𝑟,𝜃,𝜙) = 𝐴𝑟𝒂𝑟 + 𝐴𝜃𝒂𝜃 + 𝐴𝜙𝒂𝜙, a coordenadas
𝑨(𝑥,𝑦,𝑧) = 𝐴𝑥𝒂𝑥 + 𝐴𝑦𝒂𝑦 + 𝐴𝑧𝒂𝑧
𝐴𝑥= A⋅ 𝒂𝒙 = (𝐴𝑟𝒂𝑟 + 𝐴𝜃𝒂𝜃 + 𝐴𝜙𝒂𝜙)⋅ 𝒂𝑥
𝐴𝑦= A⋅ 𝒂𝒚 = (𝐴𝑟𝒂𝑟 + 𝐴𝜃𝒂𝜃 + 𝐴𝜙𝒂𝜙)⋅ 𝒂𝑦
𝐴𝑧= A⋅ 𝒂𝒛 = (𝐴𝑟𝒂𝑟 + 𝐴𝜃𝒂𝜃 + 𝐴𝜙𝒂𝜙)⋅ 𝒂𝑧
Convertir 𝑨(𝑥,𝑦,𝑧) = 𝐴𝑥𝒂𝑥 + 𝐴𝑦𝒂𝑦 + 𝐴𝑧𝒂𝑧 , a coordenadas
𝑨(𝑟,𝜃,𝜙) = 𝐴𝑟𝒂𝑟 + 𝐴𝜃𝒂𝜃 + 𝐴𝜙𝒂𝜙
𝐴𝑟= A⋅ 𝒂𝒓 = (𝐴𝑥𝒂𝑥 + 𝐴𝑦𝒂𝑦 + 𝐴𝑧𝒂𝑧)⋅ 𝒂𝑟
𝐴𝜃= A⋅ 𝒂𝜽 = (𝐴𝑥𝒂𝑥 + 𝐴𝑦𝒂𝑦 + 𝐴𝑧𝒂𝑧)⋅ 𝒂𝜃
𝐴𝜙= A⋅ 𝒂𝝓 = (𝐴𝑥𝒂𝑥 + 𝐴𝑦𝒂𝑦 + 𝐴𝑧𝒂𝑧)⋅ 𝒂𝜙
Cartesiana-Esfericas

41. 2. Convertir el H = 𝑟𝒂𝑟 + 𝑠𝑒𝑛𝜃𝒂𝜃 + 𝑟2
𝒂𝜙 𝑒𝑛 𝑢𝑛 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟
𝑐𝑎𝑟𝑡𝑒𝑠𝑖𝑎𝑛𝑜 𝑒𝑛 𝑃 0,4, −3
⋅ 𝒂𝒙 𝒂𝒚 𝒂𝒛
𝒂𝒓 𝑠𝑒𝑛𝜃𝑐𝑜𝑠𝜙 s𝑒𝑛𝜃𝑠𝑒𝑛𝜙 𝑐𝑜𝑠𝜃
𝒂𝜽 𝑐𝑜𝑠𝜃𝑐𝑜𝑠𝜙 𝑐𝑜𝑠𝜃𝑠𝑒𝑛𝜙 −𝑠𝑒𝑛𝜃
𝒂𝝓 −𝑠𝑒𝑛𝜙 𝑐𝑜𝑠𝜙 0
𝜙 = 𝑎𝑟𝑐 𝑡𝑔
𝑦
𝑥
= 90°
𝜃 = 𝑐𝑜𝑠−1 Τ
𝑧
𝑟 = 126.87°
H = 𝟓𝒂𝑟 + 0.8𝒂𝜃 + 25𝒂𝜙
𝐻𝑥= (𝟓𝒂𝑟 + 0.8𝒂𝜃 + 25𝒂𝜙)⋅ 𝒂𝑥 = 𝟓𝒂𝑟 ⋅ 𝒂𝑥+0.8𝒂𝜃 ⋅ 𝒂𝑥+25𝒂𝜙 ⋅ 𝒂𝑥 = −25
𝐻𝑦= (𝟓𝒂𝑟 + 0.8𝒂𝜃 + 25𝒂𝜙)⋅ 𝒂𝑦 = 𝟓𝒂𝑟 ⋅ 𝒂𝑦+0.8𝒂𝜃 ⋅ 𝒂𝑦+25𝒂𝜙 ⋅ 𝒂𝑦= 3.52
𝐻𝑧= (𝟓𝒂𝑟 + 0.8𝒂𝜃 + 25𝒂𝜙)⋅ 𝒂𝑧 = 𝟓𝒂𝑟 ⋅ 𝒂𝑧+0.8𝒂𝜃 ⋅ 𝒂𝑧+25𝒂𝜙 ⋅ 𝒂𝑧 = −3.64
H = −25𝒂𝑥 + 3.52𝒂𝑦 − 3.64𝒂𝑧
𝐻𝑥= H⋅ 𝒂𝒙 𝐻𝑦= H⋅ 𝒂𝒚 𝐻𝑧= H ⋅ 𝒂𝒛
𝑟 = 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 = 5
𝐻 = 25.50
𝐻 = 25.50

42. Convertir 𝑨(𝑟,𝜃,𝜙) = 𝐴𝑟𝒂𝑟 + 𝐴𝜃𝒂𝜃 + 𝐴𝜙𝒂𝜙, a coordenadas
𝑨(𝜌,𝜙,𝑧) = 𝐴𝜌𝒂𝜌 + 𝐴𝜙𝒂𝜙 + 𝐴𝑧𝒂𝑧
𝐴𝜌= A⋅ 𝒂𝝆 = (𝐴𝑟𝒂𝑟 + 𝐴𝜃𝒂𝜃 + 𝐴𝜙𝒂𝜙)⋅ 𝒂𝜌
𝐴𝜙= A⋅ 𝒂𝝓 = (𝐴𝑟𝒂𝑟 + 𝐴𝜃𝒂𝜃 + 𝐴𝜙𝒂𝜙)⋅ 𝒂𝜙
𝐴𝑧= A⋅ 𝒂𝒛 = (𝐴𝑟𝒂𝑟 + 𝐴𝜃𝒂𝜃 + 𝐴𝜙𝒂𝜙)⋅ 𝒂𝑧
Convertir 𝑨(𝜌,𝜙,𝑧) = 𝐴𝜌𝒂𝜌 + 𝐴𝜙𝒂𝜙 + 𝐴𝑧𝒂𝑧, a coordenadas
𝑨(𝑟,𝜃,𝜙) = 𝐴𝑟𝒂𝑟 + 𝐴𝜃𝒂𝜃 + 𝐴𝜙𝒂𝜙
𝐴𝑟= A⋅ 𝒂𝒓 = (𝐴𝜌𝒂𝜌 + 𝐴𝜙𝒂𝜙 + 𝐴𝑧𝒂𝑧)⋅ 𝒂𝑟
𝐴𝜃= A⋅ 𝒂𝜽 = (𝐴𝜌𝒂𝜌 + 𝐴𝜙𝒂𝜙 + 𝐴𝑧𝒂𝑧)⋅ 𝒂𝜃
𝐴𝜙= A⋅ 𝒂𝝓= (𝐴𝜌𝒂𝜌 + 𝐴𝜙𝒂𝜙 + 𝐴𝑧𝒂𝑧)⋅ 𝒂𝜙
Cilindricas-Esfericas

43. 3. Convertir el B = 𝜌2𝒂𝜌 + 𝑧𝒂𝜙 + 2𝜌𝑧𝒂𝑧 𝑒𝑛 𝑢𝑛 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟
𝑒𝑠𝑓𝑒𝑟𝑖𝑐𝑜 𝑒𝑛 𝑅(−1,3,4)
𝜃 = 𝑐𝑜𝑠−1 Τ
𝑧
𝑟 =38.33°
𝜌 = 𝑥2 + 𝑦2 = 10
B = 10𝒂𝜌 + 4𝒂𝜙 + 8 10𝒂𝑧
𝐴𝑟= (10𝒂𝜌 + 4𝒂𝜙 + 8 10𝒂𝑧)⋅ 𝒂𝑟 = 10𝒂𝜌 ⋅ 𝒂𝑟+ 4𝒂𝜙 ⋅ 𝒂𝑟+8 10𝒂𝑧 ⋅ 𝒂𝑟 = 26.047
𝐴𝜃= (10𝒂𝜌 + 4𝒂𝜙 + 8 10𝒂𝑧)⋅ 𝒂𝜃 = 10𝒂𝜌 ⋅ 𝒂𝜃+ 4𝒂𝜙 ⋅ 𝒂𝜃+8 10𝒂𝑧 ⋅ 𝒂𝜃 = −7.845
𝐴𝜙= (10𝒂𝜌 + 4𝒂𝜙 + 8 10𝒂𝑧)⋅ 𝒂𝜙 = 10𝒂𝜌 ⋅ 𝒂𝜙+ 4𝒂𝜙 ⋅ 𝒂𝜙+8 10𝒂𝑧 ⋅ 𝒂𝜙 = 4
B = 26.047𝒂𝑟 − 7.845𝒂𝜃 + 4𝒂𝜙
∙ 𝒂𝝆 𝒂𝝓 𝒂𝒛
𝒂𝒓 𝑠𝑒𝑛𝜃 0 𝑐𝑜𝑠𝜃
𝒂𝜽 𝑐𝑜𝑠𝜃 0 −𝑠𝑒𝑛𝜃
𝒂𝝓 0 1 0
𝐴𝑟= A⋅ 𝒂𝒓 𝐴𝜃= A⋅ 𝒂𝜽 𝐴𝜙= A⋅ 𝒂𝝓 𝐵 = 27.495
𝐵 = 27.495

44. 4. Convertir el J = 𝑥2𝑦𝒂𝑥 + 𝑦𝑧𝒂𝑦 + 𝑦2𝒂𝑧 𝑒𝑛 𝑢𝑛 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟
𝑒𝑠𝑓𝑒𝑟𝑖𝑐𝑜 𝑒𝑛 𝑇 4,3,2
𝜙 = 𝑎𝑟𝑐 𝑡𝑔
𝑦
𝑥
= 37°
𝜃 = 𝑐𝑜𝑠−1 Τ
𝑧
𝑟 = 68.2°
J = 48𝒂𝑥 + 6𝒂𝑦 + 9𝒂𝑧
𝐴𝑟= (48𝒂𝑥 + 6𝒂𝑦 + 9𝒂𝑧)⋅ 𝒂𝑟 = 48𝒂𝑥 ⋅ 𝒂𝑟+ 6𝒂𝑦 ⋅ 𝒂𝑟+9𝒂𝑧 ⋅ 𝒂𝑟 = 42.288
𝐴𝜃= (48𝒂𝑥 + 6𝒂𝑦 + 9𝒂𝑧)⋅ 𝒂𝜃 = 48𝒂𝑥 ⋅ 𝒂𝜃+ 6𝒂𝑦 ⋅ 𝒂𝜃+ 9𝒂𝑧 ⋅ 𝒂𝜃 = 7.221
𝐴𝜙= (48𝒂𝑥 + 6𝒂𝑦 + 9𝒂𝑧)⋅ 𝒂𝜙 = 48𝒂𝑥 ⋅ 𝒂𝜙+ 6𝒂𝑦 ⋅ 𝒂𝜙+ 9𝒂𝑧 ⋅ 𝒂𝜙 = −24.095
J = 42.288𝒂𝑟 + 7.221𝒂𝜃 − 24.095𝒂𝜙
⋅ 𝒂𝒙 𝒂𝒚 𝒂𝒛
𝒂𝒓 𝑠𝑒𝑛𝜃𝑐𝑜𝑠𝜙 s𝑒𝑛𝜃𝑠𝑒𝑛𝜙 𝑐𝑜𝑠𝜃
𝒂𝜽 𝑐𝑜𝑠𝜃𝑐𝑜𝑠𝜙 𝑐𝑜𝑠𝜃𝑠𝑒𝑛𝜙 −𝑠𝑒𝑛𝜃
𝒂𝝓 −𝑠𝑒𝑛𝜙 𝑐𝑜𝑠𝜙 0
𝐴𝑟= A⋅ 𝒂𝒓 𝐴𝜃= A⋅ 𝒂𝜽 𝐴𝜙= A⋅ 𝒂𝝓 𝐽 = 3 269 = 𝟒𝟗. 𝟐𝟎
𝐽 = 𝟒𝟗. 𝟐𝟎

45. ∙ 𝒂𝝆 𝒂𝝓 𝒂𝒛
𝒂𝒓 𝑠𝑒𝑛𝜃 0 𝑐𝑜𝑠𝜃
𝒂𝜽 𝑐𝑜𝑠𝜃 0 −𝑠𝑒𝑛𝜃
𝒂𝝓 0 1 0
5. Convertir el B = 20𝑟𝑠𝑒𝑛𝜃𝒂𝑟 + 10𝑟𝑐𝑜𝑠𝜃𝒂𝜙 𝑒𝑛 𝑢𝑛 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟
𝑐𝑖𝑙𝑖𝑛𝑑𝑟𝑖𝑐𝑜 𝑒𝑛 𝑅(−2,3,5)
𝜃 = 𝑐𝑜𝑠−1 Τ
𝑧
𝑟 = 35.80°
𝑟 = 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 = 38
B = 72.12𝒂𝑟 + 50𝒂𝜙
𝐵𝜌= B⋅ 𝒂𝝆 𝐵𝜙= B⋅ 𝒂𝝓 𝐵𝑧= B⋅ 𝒂𝒛
𝐵𝜌= B⋅ 𝒂𝝆 = (72.12𝒂𝑟 + 50𝒂𝜙)⋅ 𝒂𝜌 = 72.12𝒂𝑟 ⋅ 𝒂𝜌+50𝒂𝜙 ⋅ 𝒂𝜌 = 42.19
𝐵𝜙= B⋅ 𝒂𝝓 = (72.12𝒂𝑟 + 50𝒂𝜙)⋅ 𝒂𝜙 = 72.12𝒂𝑟 ⋅ 𝒂𝜙+50𝒂𝜙 ⋅ 𝒂𝜙 = 50
𝐵𝑧= B⋅ 𝒂𝒛 = (72.12𝒂𝑟 + 50𝒂𝜙)⋅ 𝒂𝑍 = 72.12𝒂𝑟 ⋅ 𝒂𝒁+50𝒂𝜙 ⋅ 𝒂𝒁 = 58.49
𝑩(𝜌,𝜙,𝑧) = 42.19𝒂𝜌 + 50𝒂𝜙 + 58.49𝒂𝑧
𝐵 = 87.76
𝐵 = 87.76

46. TAREA ACADEMICA SEMANA 02
1. Dado el campo vectorial G = 2𝜌2
𝒂𝜌 + 3𝜌𝑠𝑒𝑛𝜙𝒂𝜙 + (2𝜌 − 4𝑧2
)𝒂𝑧;
determine el vector G en coordenadas esféricas en el punto
S(2,0,-4)
2. Se tiene los vectores A = 3𝜌𝒂𝜌 + (2𝑧2 − 4)𝒂𝜙 + 2𝑠𝑒𝑛𝜙𝒂𝑧 y
B = 2𝜌𝑠𝑒𝑛𝜙𝒂𝜌 + 3𝑐𝑜𝑠𝜙𝒂𝜙 + 4𝑍2𝒂𝑧; determine el modulo de la
resultante en T(-3,4,-5)

47. 𝐴𝜌
𝐴𝜙
𝐴𝑧
=
𝑐𝑜𝑠𝜙 𝑠𝑒𝑛𝜙 0
−𝑠𝑒𝑛𝜙 𝑐𝑜𝑠𝜙 0
0 0 1
𝐴𝑥
𝐴𝑦
𝐴𝑧
𝐴𝜌 = 𝐴𝑥𝑐𝑜𝑠𝜙 + 𝐴𝑦𝑠𝑒𝑛𝜙
𝐴𝜙 = −𝐴𝑥𝑠𝑒𝑛𝜙 + 𝐴𝑦𝑐𝑜𝑠𝜙
𝐴𝑧 = 𝐴𝑧
𝐴𝑥
𝐴𝑦
𝐴𝑧
=
𝑐𝑜𝑠𝜙 −𝑠𝑒𝑛𝜙 0
𝑠𝑒𝑛𝜙 𝑐𝑜𝑠𝜙 0
0 0 1
𝐴𝜌
𝐴𝜙
𝐴𝑧
𝐴𝑥 = 𝐴𝜌𝑐𝑜𝑠𝜙 − 𝐴𝜙𝑠𝑒𝑛𝜙
𝐴𝑦 = 𝐴𝜌𝑠𝑒𝑛𝜙 + 𝐴𝜙𝑐𝑜𝑠𝜙
𝐴𝑧 = 𝐴𝑧
Transformación de
Sistemas de
Coordenadas
Cartesiana-Cilindricas
⋅ 𝒂𝝆 𝒂𝝓 𝒂𝒛
𝒂𝒙 𝑐𝑜𝑠𝜙 −𝑠𝑒𝑛𝜙 0
𝒂𝒚 𝑠𝑒𝑛𝜙 𝑐𝑜𝑠𝜙 0
𝒂𝒛 0 0 1
Transformación de
Sistemas de Coordenadas

48. 6. Convertir 𝑨(𝜌,𝜙,𝑧) = 𝜌𝑧2𝒂𝜌 + (𝜌 − 1)𝒂𝜙 + 𝑧𝒂𝑧, a coordenadas
𝑨(𝑥,𝑦,𝑧) = 𝐴𝑥𝒂𝑥 + 𝐴𝑦𝒂𝑦 + 𝐴𝑧𝒂𝑧 en el punto 𝑃(4,60°, 45°)
𝑨(𝑥,𝑦,𝑧) = 7.93𝒂𝑥 + 11.669𝒂𝑦 + 2𝒂𝑧
𝑧 = 𝑟𝑐𝑜𝑠𝜃
𝜌 = 𝑟𝑠𝑒𝑛𝜃
𝑨(𝜌,𝜙,𝑧) = 𝑟𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑟𝑐𝑜𝑠𝜃 2
𝒂𝜌 + (𝑟𝑠𝑒𝑛𝜃 − 1)𝒂𝜙 + 𝑟𝑐𝑜𝑠𝜃 𝒂𝑧
𝑨(𝜌,𝜙,𝑧) = 8 3 𝒂𝜌 + 2.464𝒂𝜙 + 2𝒂𝑧
𝐴𝑥
𝐴𝑦
𝐴𝑧
=
𝑐𝑜𝑠𝜙 −𝑠𝑒𝑛𝜙 0
𝑠𝑒𝑛𝜙 𝑐𝑜𝑠𝜙 0
0 0 1
8 3
2.464
2
𝐴𝑥 = 8 3 cos 45° − 2.464𝑠𝑒𝑛 45° = 7.93
𝐴𝑦 = 8 3𝑠𝑒𝑛(45°) + 2.464cos(45°) = 11.669
𝐴𝑧 = 2

49. 𝐴𝑥
𝐴𝑦
𝐴𝑧
=
𝑠𝑒𝑛𝜃𝑐𝑜𝑠𝜙 𝑐𝑜𝑠𝜃𝑐𝑜𝑠𝜙 −𝑠𝑒𝑛𝜙
𝑠𝑒𝑛𝜃𝑠𝑒𝑛𝜙 𝑐𝑜𝑠𝜃𝑠𝑒𝑛𝜙 𝑐𝑜𝑠𝜙
𝑐𝑜𝑠𝜃 −𝑠𝑒𝑛𝜃 0
𝐴𝑟
𝐴𝜃
𝐴𝜙
𝐴𝑥 = 𝐴𝑟𝑠𝑒𝑛𝜃𝑐𝑜𝑠𝜙 + 𝐴𝜃𝑐𝑜𝑠𝜃𝑐𝑜𝑠𝜙 − 𝐴𝜙𝑠𝑒𝑛𝜙
𝐴𝑦 = 𝐴𝑟𝑠𝑒𝑛𝜃𝑠𝑒𝑛𝜙 + 𝐴𝜃𝑐𝑜𝑠𝜃𝑠𝑒𝑛𝜙 + 𝐴𝜙𝑐𝑜𝑠𝜙
𝐴𝑧 = 𝐴𝑟𝑐𝑜𝑠𝜃 − 𝐴𝜃𝑠𝑒𝑛𝜃
Transformación
de Sistemas de
Coordenadas
Cartesiana-
Esfericas
𝐴𝑟
𝐴𝜃
𝐴𝜙
=
𝑠𝑒𝑛𝜃𝑐𝑜𝑠𝜙 𝑠𝑒𝑛𝜃𝑠𝑒𝑛𝜙 𝑐𝑜𝑠𝜃
𝑐𝑜𝑠𝜃𝑐𝑜𝑠𝜙 𝑐𝑜𝑠𝜃𝑠𝑒𝑛𝜙 −𝑠𝑒𝑛𝜃
−𝑠𝑒𝑛𝜙 𝑐𝑜𝑠𝜙 0
𝐴𝑥
𝐴𝑦
𝐴𝑧
𝐴𝑟 = 𝐴𝑥𝑠𝑒𝑛𝜃𝑐𝑜𝑠𝜙 + 𝐴𝑦𝑠𝑒𝑛𝜃𝑠𝑒𝑛𝜙 + 𝐴𝑧𝑐𝑜𝑠𝜃
𝐴𝜃 = 𝐴𝑥𝑐𝑜𝑠𝜃𝑐𝑜𝑠𝜙 + 𝐴𝑦𝑐𝑜𝑠𝜃𝑠𝑒𝑛𝜙 − 𝐴𝑧𝑠𝑒𝑛𝜃
𝐴𝜙 = −𝐴𝑥𝑠𝑒𝑛𝜙 + 𝐴𝑦𝑐𝑜𝑠𝜙
Transformación de
Sistemas de Coordenadas

50. 07. Convertir el H = 𝒓𝒂𝑟 + 𝑠𝑒𝑛𝜃𝒂𝜃 + 𝑟2𝒂𝜙 𝑒𝑛 𝑢𝑛 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟
𝑐𝑎𝑟𝑡𝑒𝑠𝑖𝑎𝑛𝑜 𝑒𝑛 𝑃 −2,3, −2
𝝓 = 𝒂𝒓𝒄 𝒕𝒈
𝒚
𝒙
=-56.31°
𝜽 = 𝒄𝒐𝒔−𝟏 Τ
𝒛
𝒓 = 𝟏𝟏𝟗, 𝟎𝟐°
𝒓 = 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 + 𝒛𝟐 = 𝟒, 𝟏𝟐𝟑
H = 4,123𝒂𝑟 + 0.874𝒂𝜃 + 17𝒂𝜙
𝐻𝑥 = 4,123𝑠𝑒𝑛 119,02° cos −56,31° + 0.874𝑐𝑜𝑠 119.02° 𝑐𝑜𝑠 −56,31° − 17𝑠𝑒𝑛 −56.31° = 15.91
𝐻𝑦 = 4,123𝑠𝑒𝑛 119,02° 𝑠𝑒𝑛 −56.31° + 0.874𝑐𝑜𝑠 119.02° 𝑠𝑒𝑛 −56.31° + 17cos −56.31° = 6,791
𝐻𝑧 = 4,123 cos 119,02° − 0.874𝑠𝑒𝑛 119,02° = −2,764?
H = 𝟏𝟓. 𝟗𝟏𝒂𝑥 + 6,791𝒂𝒚 − 2.764𝒂𝒛
𝐻𝑥
𝐻𝑦
𝐻𝑧
=
𝑠𝑒𝑛𝜃𝑐𝑜𝑠𝜙 𝑐𝑜𝑠𝜃𝑐𝑜𝑠𝜙 −𝑠𝑒𝑛𝜙
𝑠𝑒𝑛𝜃𝑠𝑒𝑛𝜙 𝑐𝑜𝑠𝜃𝑠𝑒𝑛𝜙 𝑐𝑜𝑠𝜙
𝑐𝑜𝑠𝜃 −𝑠𝑒𝑛𝜃 0
𝐻𝑟
𝐻𝜃
𝐻𝜙
𝐻𝑥 = 𝐻𝑟𝑠𝑒𝑛𝜃𝑐𝑜𝑠𝜙 + 𝐻𝜃𝑐𝑜𝑠𝜃𝑐𝑜𝑠𝜙 − 𝐻𝜙𝑠𝑒𝑛𝜙
𝐻𝑦 = 𝐻𝑟𝑠𝑒𝑛𝜃𝑠𝑒𝑛𝜙 + 𝐻𝜃𝑐𝑜𝑠𝜃𝑠𝑒𝑛𝜙 + 𝐻𝜙𝑐𝑜𝑠𝜙
𝐻𝑧 = 𝐻𝑟𝑐𝑜𝑠𝜃 − 𝐻𝜃𝑠𝑒𝑛𝜃
𝐻𝑥
𝐻𝑦
𝐻𝑧
=
𝑠𝑒𝑛𝜃𝑐𝑜𝑠𝜙 𝑐𝑜𝑠𝜃𝑐𝑜𝑠𝜙 −𝑠𝑒𝑛𝜙
𝑠𝑒𝑛𝜃𝑠𝑒𝑛𝜙 𝑐𝑜𝑠𝜃𝑠𝑒𝑛𝜙 𝑐𝑜𝑠𝜙
𝑐𝑜𝑠𝜃 −𝑠𝑒𝑛𝜃 0
4,123
0.874
17
𝐻 = 17,515
𝐻 = 17,518

51. Matrices de
Transformación
Cilindricas-
Esfericas
𝐴𝑟
𝐴𝜃
𝐴𝜙
=
𝑠𝑒𝑛𝜃 0 𝑐𝑜𝑠𝜃
𝑐𝑜𝑠𝜃 0 −𝑠𝑒𝑛𝜃
0 1 0
𝐴𝜌
𝐴𝜙
𝐴𝑧
𝐴𝑟 = 𝐴𝜌𝑠𝑒𝑛𝜃 + 𝐴𝑧𝑐𝑜𝑠𝜃
𝐴𝜃 = 𝐴𝜌𝑐𝑜𝑠𝜃 − 𝐴𝑧𝑠𝑒𝑛𝜃
𝐴𝜙 = 𝐴𝜙
𝐴𝜌
𝐴𝜙
𝐴𝑧
=
𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑐𝑜𝑠𝜃 0
0 0 1
𝑐𝑜𝑠𝜃 −𝑠𝑒𝑛𝜃 0
𝐴𝑟
𝐴𝜃
𝐴𝜙
𝐴𝜌 = 𝐴𝑟𝑠𝑒𝑛𝜃 + 𝐴𝜃𝑐𝑜𝑠𝜃
𝐴𝜙 = 𝐴𝜙
𝐴𝑧 = 𝐴𝑟𝑐𝑜𝑠𝜃 − 𝐴𝜃𝑠𝑒𝑛𝜃
Transformación de Sistemas de Coordenadas

52. 8. Convertir el B = 𝜌2𝒂𝜌 + 𝑧𝒂𝜙 + 2𝜌𝑧𝒂𝑧 𝑒𝑛 𝑢𝑛 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟
𝑒𝑠𝑓𝑒𝑟𝑖𝑐𝑜 𝑒𝑛 𝑅(4, −3,1)
𝜃 = 𝑐𝑜𝑠−1 Τ
𝑧
𝑟 = 78,7°
𝜌 = 𝑥2 + 𝑦2 = 5
𝐵𝑟
𝐵𝜃
𝐵𝜙
=
𝑠𝑒𝑛𝜃 0 𝑐𝑜𝑠𝜃
𝑐𝑜𝑠𝜃 0 −𝑠𝑒𝑛𝜃
0 1 0
𝐵𝜌
𝐵𝜙
𝐵𝑧
B = 25𝒂𝜌 + 𝒂𝜙 + 10𝒂𝑧
𝐵𝑟
𝐵𝜃
𝐵𝜙
=
𝑠𝑒𝑛𝜃 0 𝑐𝑜𝑠𝜃
𝑐𝑜𝑠𝜃 0 −𝑠𝑒𝑛𝜃
0 1 0
25
1
10
𝐵𝑟 = 25𝑠𝑒𝑛(78,7) + 10cos(78.7°) = 26,475
𝐵𝜃 = 25cos(78.7°) − 10𝑠𝑒𝑛(78.7°) = -4,907
𝐵𝜙 = 1
𝑩(𝑟,𝜃,𝜙) = 26,475𝒂𝑟 − 4,907𝒂𝜃 + 𝒂𝜙
𝐵 = 26,944
𝐵 = 26,944

53. 3. Dado el campo vectorial
H = (1 − 𝜌2)𝒂𝜌 + 𝜌𝑠𝑒𝑛𝜙𝒂𝜙 + (2 − 𝑧)𝒂𝑧;
determine el vector H en coordenadas cartesianas en
el punto P(3,40°,50°). utilice las matrices de
transformación.
TAREA ACADEMICA SEMANA 02

54. TAREA ACADEMICA SEMANA 02
4. Sean loa campos vectoriales:
𝑨 = 𝜌 𝑧2 − 1 𝒂𝝆 + 𝜌𝑧𝑐𝑜𝑠𝜙𝒂𝜙 + 𝜌2𝑧2𝒂𝑧
𝑩 = 𝑟2
𝑐𝑜𝑠𝜙𝒂𝑟 + 2𝑟𝑠𝑒𝑛𝜃𝒂𝜙
en el punto Q(1,2,1), calcule:
(a) A + B,
(b) el ángulo entre A y B
(c) la componente de A a lo Largo de B en Q

55. M.Sc. Lic. Egberto Serafin Gutierrez Atoche
sgutierrez@unprg.edu.pe
GRACIAS
TEORIA DE LOS CAMPOS
ELECTROMAGNETICOS