Mate 3 segundo tema sistemas de coordenadas

República Bolivariana de Venezuela.
Instituto Universitario Politécnico.
“Santiago Mariño"
Extensión Barcelona
Escuela de “Ingeniería de Sistemas”
Sistemas de
Coordenadas
Bachiller:
Remache, José
C.I:24.983.497
Profesor:
Pedro Beltrán

Se conoce como sistema de coordenadas al conjunto de los valores que permiten
identificar de manera inequívoca la posición de un punto en un espacio euclídeo (un
tipo de espacio geométrico). Los sistemas de coordenadas más simples se definen
sobre espacios planos. Un ejemplo corriente es el sistema que asigna longitud y
latitud para localizar coordenadas geográficas
Introducción
Entre los sistema de coordenadas podemos encontrar los sistemas de
coordenadas cartesianas, de coordenadas cilíndricas, de coordenadas esféricas.
“Coordenada” es un concepto que se utiliza en la geometría y que permite nombrar
a las líneas que se emplean para establecer la posición de un punto y de los planos o
ejes vinculados a ellas

Sistemas de coordenadas
Coordenadas cartesianas:
Se llaman cartesianas porque las ideó el matemático y filósofo René Descartes a
quien también se llamaba Cartesio. Es famoso por la frase "Pienso, luego existo".

Para localizar un punto en el plano utilizamos dos rectas perpendiculares entre sí,
llamadas ejes, uno horizontal que llamamos de “abscisas” y otro vertical de
“ordenadas”, que se cortan en un punto “el origen de coordenadas”, llamado O.
Cada punto P viene determinado por un par de números: (abscisa, ordenada), que
llamamos coordenadas cartesianas del punto P. Convenimos en nombrar a la
abscisa con la letra X, y a la ordenada conY.

La dirección izquierda-derecha (horizontal) se
suele llamar X y arriba-abajo (vertical) se suele
llamarY.
Cuando x (la primera coordenada) aumenta, el punto se mueve a la
derecha. (Si disminuye, el punto va a la izquierda.)
Cuando y (la segunda coordenada) aumenta, el punto se mueve arriba.
(Si disminuye, el punto va abajo.)

Los ejes se dividen en segmentos de igual longitud y a cada marca del segmento se
le asigna un número entero.
En la recta horizontal (llamada "eje de abscisas" o "eje de las x"), al punto de corte
con la otra recta se le asigna el 0 y hacia la derecha el 1, 2,...; y hacia la izquierda el -1,
-2,... y así sucesivamente en ambas direcciones.
De forma análoga se procede con la recta vertical (llamada "eje de ordenadas" o "eje
de las y"), al punto de corte se le asigne el 0 y hacia arriba el 1,2,....; y hacia abajo el -
1,-2,... etc.

Las coordenadas siempre se escriben en el mismo orden: la dirección horizontal
primero, después la vertical. Esto se llama un "par ordenado". Normalmente los
números se separan con una coma, y se rodean con paréntesis así: (3,2)
De este modo cada punto del plano se localiza mediante dos números, uno
correspondiente a cada eje, que se escriben encerrados entre paréntesis y separados
por una coma (,) . Dicho par de números se llaman coordenadas.
Ejemplo de 2
puntos en el
plano, el verde
(2,3) y el
morado (-3,2)

Los ejes dividen al plano en cuatro regiones que llamaremos cuadrantes.
El punto (0,0) tiene el nombre especial de "el origen", y a veces se le llama con la
letra "O".

En el espacio 3D, la posición de un punto en coordenadas cartesianas, vendrá dada
por un trío ordenado de números que nos indicarán los valores de x, y y z, en ese
orden:
Diferentes puntos representados en el espacio recordando que se representan (x,y,z)

Coordenadas Cilíndricas:
Las coordenadas cilíndricas son una extensión del sistema de coordenadas polares
al espacio tridimensional. Generalmente, en lugar de utilizar x, y y z, se usan r, el
ángulo theta y la variable z, x o y. La última variable designa la extensión máxima de
una superficie. Para elegir que variable dejar intacta, hay que observar la gráfica de
la función; la variable que no cambia es aquella sobre cuyo eje abre la superficie.

Coordenadas Cilíndricas:
Uno de los ejemplos más sencillos de uso de las coordenadas cilíndricas lo
proporcionan las grúas. Para controlar la posición de la carga, es preciso indicar el
ángulo de giro de la ﬂecha (el brazo de la grúa), dado por ℓ, la altura a la que se sube
la carga (z), y cuanto hay que desplazarla a lo largo de la flecha ρ.

Coordenadas Circulares:
COORDENADAS DE UN PUNTO EN COORDENADAS ESFÉRICAS
Como acabamos de mencionar un punto P quedará definido mediante tres
cantidades:
– La distancia o el radio, que denotamos por r (en algunas ocasiones también se
denota por la letra griega ρ), y que indica la distancia entre el origen O y el punto P,
es decir, el módulo del vector de posición r.
– El ángulo polar, que se denota por la letra griega θ, y que nos indica, tal y como
podemos ver en la imagen, el ángulo que forma r con el eje positivo Z.
– El ángulo azimut, que denotamos por φ, que indica el ángulo que forma la
proyección de r sobre el eje XY y el eje positivo X.

Transformaciones
RELACIÓN ENTRE LAS COORDENADAS CARTESIANASY ESFÉRICAS
-El radio de la esfera, como ya hemos dicho, es la distancia del punto al origen, por
tanto, sería análogo a aplicar elTeorema de Pitágoras, pero con tres dimensiones:
Por las relaciones trigonométricas del triángulo que se forma, podemos deducir que
z= y∙cos θ, luego:

Transformaciones
RELACIÓN ENTRE LAS COORDENADAS CARTESIANASY ESFÉRICAS
Utilizando una vez las relaciones trigonométricas, tenemos que la tag φ = y/x,
luego:
También podemos deshacer el cambio, para ello tenemos que expresar el valor
de x, y, z en función de r, θ y φ, de tal forma que:

Transformaciones
RELACIÓN ENTRE LAS COORDENADAS CARTESIANASY CILÍNDRICAS
Las fórmulas de conversión entre los sistemas cilíndrico y cartesiano son simples.
Dada la coordenada cilíndrico (r,a,z) su equivalente cartesiano (x,y,z) vendría dado
por la relación:
X = r cos (a)
Y = r sen (a)
Z = z
Cilíndrico a
Cartesiano
Cartesiano a
Cilíndrico:
z=z

Transformaciones
RELACIÓN ENTRE LAS COORDENADAS ESFERICASY CILÍNDRICAS
Cilíndricas a esféricas (r> 0):
P= √r2 + z2, ө = ө, Ф = arcos (z / √r2 + z2).

Transformaciones
Ejemplos deTransformaciones
Ejemplo 1: Cilíndrica a Rectangular:
Expresar en coordenadas rectangulares el punto (r, ө, z) =
(4,5π/6,3).
Solución:
Con las formulas de conversión de cilíndricas a rectangulares
obtenemos.
X = 4 cos 5 π / 6 = 4 (-√3 / 2) = -2 (√3).
Y = 4 sen 5 π/ 6 = 4 (1/2) = 2
Z = 3
Así pues, en coordenadas rectangulares ese punto es (x, y, z) =
(-2)( √ 3, 2, 2).

Transformaciones
Ejemplo 2:
Hallar ecuaciones en coordenadas cilíndricas para las superficies
cuyas ecuaciones rectangulares se especifican a continuación:
a) x2 + y2 =4z2
x2 +y2 =4z2 ecuación en coordenadas rectangulares.
r2 = 4z2 ecuación en coordenadas cilíndricas.
Tg Ø= 4𝑧2 −𝑦2
4𝑧2 −𝑥2
Z = Z

Transformaciones
Ejemplo 3:
Hallar una ecuación en coordenadas esféricas parar las superficies cuyas
ecuaciones en coordenadas rectangulares se indican.
a) x2 + y2 = z2
haciendo las sustituciones adecuadas para x, y, z en la
ecuación dada se obtiene:
p2 sen2 Ф cos2ө + p2 sen2Ф sen2ө =p2 cos2Ф
p2 sen2 Ф (cos2ө + sen2ө) =p2 cos2Ф
p2 sen2 Ф = p2 cos2 Ф
sen2 Ф/ cos2 Ф = 1 p> 0
tg2 Ф = 1 Ф = π /4 o Ф = 3π/4

Simetría
Como simetría se denomina la correspondencia exacta que se verifica en la forma,
el tamaño y la posición de las partes de un objeto considerado como un todo.
Para poder explicar lo que es la simetría necesitamos un eje, una línea recta
imaginaria. Sólo existe la simetría respecto a un eje:

Simetría
Así, se verifican distintos tipos de simetrías:
Simetría esférica: es aquella que ocurre bajo cualquier tipo de rotación.
Simetría axial (también llamada rotacional, radial o cilíndrica): es aquella que
ocurre a partir de un eje, lo que significa que cualquier giro producido a partir de
ese eje no conduce a ningún cambio de posición en el espacio.
Simetría reflectiva o especular: es aquella definida por la existencia de un único
plano donde una mitad es el reflejo de la otra.
Simetría de traslación o traslacional: es aquella que se verifica en un objeto o
figura cuando este se repite a una distancia siempre idéntica del eje y a lo largo de
una línea que puede estar colocada en cualquier posición y que puede ser infinita.

Simetría
Esférica y Reflectiva
Axial yTraslacional

Función de Varias variables
Una función es una relación entre dos conjuntos donde a cada elemento del
primer conjunto le corresponde un solo elemento del segundo conjunto. Esta es
la definición matemática de una función. Existen funciones comunes que poseen
una variable independiente (x) que cambia libremente sin depender de ningún
parámetro y una variable dependiente (y) que cambia respecto a x. El cambio que
sufre y está definido por una expresión algebraica que funge como regla.
Se puede entender a una función como una máquina por la que entra algo y sale
algo diferente, procesado:

La imagen anterior lo ilustra perfectamente. La función genera resultados para y =
f(x) dependiendo el valor que tome x. En el mundo real, estas funciones describen
fenómenos que dependen de solo una variable.
Sin embargo, existen fenómenos de la naturaleza cuyo comportamiento no
depende únicamente de un solo factor. Estas son funciones de varias variables.
cumplen la misma definición de función; una relación. La diferencia es que una
variable dependiente estará regida por más de una variables independiente. Es muy
común trabajar con funciones de tres variables, generalmente llamadas z = f(x,y). La
idea de relación es más compleja puesto que el valor de z depende no solo del valor
de x o de y, sino de puntos coordenados a los que les corresponde un valor de z.

Rango y dominio de funciones de varias variables
Las funciones de varias variables también se someten a un rango y dominio, tal y
como ocurre en funciones de dos variables. Sin embargo, la idea es la misma. El
dominio es el conjunto de valores que puede tomar el argumento de la función sin
que esta se indefina. El rango es el conjunto de valores reales que toma la función z
en función del dominio.
El proceso para encontrar el dominio es similar a el caso de funciones de dos
variables, pero ahora se debe encontrar en función de la relación entre las variables
del argumento. Es decir, el dominio depende de como interactúan estas variables.
Por ejemplo:

Esta función es muy simple. El dominio es el conjunto de valores de x y de y tal
que ambas variables pueden tomar cualquier valor de los números reales, puesto
que la función f jamás se indefinirá. La manera formal de escribirlo es:
De tal manera que el rango de la función es el conjunto de valores toma f o z, que
en realidad son todos los reales, pues nunca se indefine:

En funciones de varias variables, es posible graficar el dominio. Esto da una idea de
los valores que toman x y y en un plano, en el caso de una función de tres variables.
Para la función anterior, el gráfico del dominio es el siguiente:

Lo anterior se entiende como que un tapiz de puntos. Todos los valores de x y de y
son permitidos, y es por eso que se marca todo el plano cartesiano, en dos
dimensiones solamente.
Para el siguiente ejemplo de función:
Esta función es algo más compleja. Existe una raíz que afecta al argumento. El
método para encontrar dominios no es siempre el mismo. En este caso, se sabe que
argumento de una raíz cuadrada no puede ser negativo, por lo que el dominio queda
de la siguiente forma:

Es bastante simple de anotar para cualquier caso. Este dominio es el conjunto de
puntos que simplemente no indefinen a la función f. La imagen se encuentra
evaluando a la función desde el punto en que comienza a definirse y el punto donde
se alcanza el valor máximo de f, si es que lo hay:
Valor máximo
Valor mínimo

Ahora se escribe la imagen:
El dominio gráfico de la función se haya encontrando una gráfica bidimensional
que sirva de frontera para la indefinición y evaluando un punto por dentro y otro
por fuera y así determinar que región indefine a f y cual no.

Conclusión
Las coordenadas cartesianas, cilíndricas y esféricas representan, puntos bajo sus
propias formas de determinar sus posiciones.
Independientemente del objeto que se esté estudiando, puede hacerse su calculo y
gráfica usando cualquier tipo de coordenada indiferentemente la forma que tenga.
Todos los tipos de coordenadas son posiblemente transformables, existen formulas
que definen cada punto para poder hallarse en sus otros tipos.
La simetría puede indicar; cuando un objeto tiene ambas mitades idénticas, cuando
es el mismo objeto solo que trasladado, cuando un objeto gira perfectamente sobre
un eje fijo y cuando un objeto gira en 180° bajo cualquier eje de un punto.
Las funciones pueden estar expresadas en varias variables, dichas funciones tendrán
un dominio y rango que se comporte y compruebe de forma similar a las funciones
de una variable.

Anexos
https://www.youtube.com/watch?v=W0NiGCp
vCPs
https://www.youtube.com/watch?v=beq1odpZXd
g

Anexos
https://www.youtube.com/watch?v=b_Affw5ArMY

Bibliografía
Maculet A.(2019). Simetría: qué es dentro y fuera de las matemáticas
Smartick matemáticas a un clic. Recuperado de:
https://www.smartick.es/blog/matematicas/geometria/simetria/
Funciones de varias variables. Diario de Cálculo Vectorial.
Recuperado de :
https://sites.google.com/site/calculovectorialhakim/funciones-de-
varias-variables
(2011). Coordenadas cartesianas. Disfruta de las matemáticas.
Recuperado de
https://www.disfrutalasmatematicas.com/graficos/coordenadas-
cartesianas.html
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