Este documento describe los sistemas de coordenadas rectangulares, cilíndricas y esféricas. Explica cómo cada punto en un espacio de una, dos o tres dimensiones puede ser representado mediante números (coordenadas) que indican su posición relativa a ejes perpendiculares. También cubre conceptos como vectores base, coeficientes métricos y expresiones para longitud, volumen y transformación entre sistemas de coordenadas.

1. Coordenadas Rectangulares
En es un sistema de referencia respecto a un eje (recta), dos ejes
perpendiculares (plano), o tres ejes perpendiculares entre si (en el
espacio)
Sistema de coordenadas lineal
Un punto cualquiera de una recta puede asociarse y representarse
con un número real, positivo si está situado a la derecha de un Punto O,
y negativo si esta a la izquierda. Dicho punto se llama centro de
coordenadas O (letra O) y se asocia al valor 0 (cero).
Este sistema de coordenadas es un espacio vectorial de dimensión
uno, y se le pueden aplicar todas las operaciones correspondientes a
espacios vectoriales; en ocasiones también se llama recta real.
Sistema de coordenadas plano
Con un sistema de referencia conformado por dos rectas
perpendiculares que se cortan en el origen, cada punto del plano puede
nombrarse mediante dos números: (x, y) las coordenadas del punto,
llamadas abscisa y ordenada, las distancias ortogonales a los ejes
cartesianos.
La ecuación del eje x es y = 0, y la del eje y es x = 0, rectas que
se cortan en el origen O, cuyas coordenadas son, obviamente, (0, 0).

2. Los ejes dividen el espacio en cuatro cuadrantes en los que los
signos de las coordenadas alternan de positivo a negativo (por ejemplo,
las dos coordenadas del punto A serán positivas, mientras que las del
punto B serán ambas negativas).
Las coordenadas de un punto cualquiera vendrán dadas por las
proyecciones del segmento entre el origen y el punto sobre cada uno de
los ejes.
Sistema de coordenadas espacial
Si tenemos un sistema de referencia formado por tres rectas
perpendiculares entre sí (X, Y, Z), que se cortan en el origen (0, 0, 0),
cada punto del espacio puede nombrarse mediante tres números: (x, y,
z) denominados coordenadas del punto, que son las distancias
ortogonales a los tres planos principales: los que contienen las parejas
de ejes YZ, XZ e YX, respectivamente.
Los planos de referencia XY (z = 0); XZ (y = 0); e YZ (x = 0) dividen el
espacio en ocho cuadrantes en los que como en el caso del plano los
signos de las coordenadas pueden ser positivos o negativos.
Las leyes del electromagnetismo son independientes del sistema
de coordenadas, para la resolución de problemas prácticos se requiere
qué las expresiones derivadas de esta leyes se expresen en un sistema
de coordenadas apropiado para la geometría del problema
Coordenadas Rectangulares
Un punto P(x,y,z) en coordenadas Cartesianas( Rectangulares) es
la intersección de tres planos especificando por x= , y= , z= ,
como se ilustra en la figura 1

3. Figura 1
Los tres vectores mutuamente perpendiculares, , y en
dirección de las tres coordenadas, se denominan vectores base. En el
caso de un sistema de mano derecha (Ver Figura 2) tenemos las
siguientes propiedades cíclicas.
x =
x =
x =
Las siguientes relaciones se deducen directamente
. = x = x =0
. = x = x =1

4. Figura 2
El vector de posición del punto P ( , , ) es el vector trazado desde
el origen O hasta P y sus componentes en las direcciones , ,
son, y sus magnitudes respectivamente , ,
= + +
Podemos escribir un vector A en coordenadas cartesianas con
componentes , ,y
Vector en coordenadas A= + +
Cartesianas
Longitud diferencial vectorial dl = + +
Diferencial de Volumen dv =

5. Producto escalar de A y B A.B= + +
Producto vectorial de A y B
AXB=
Coordenadas Cilíndricas
En coordenadas Cilíndricas, un punto P(ri, Φ1, z1), es la
intersección de una superficie cilíndrica circular r= r1, un plano con el
eje z como arista y que forma un ángulo Φ = Φ1, con el plano xy, y un
paralelo al plano xy en z =z1. Tenemos que:
(u1, u2, u3) = (r, Φ, z)
Como se ilustra en la figura 3, r es la distancia radial medida desde el
eje z y el ángulo Φ se mide a partir del eje x positivo. El vector es
tangente a la superficie cilíndrica. Las direcciones y cambian de
acuerdo con las posiciones del plano P. La siguiente relación de la mano
derecha se aplica a , ,
x =
x =
x =
Figura 3.a

6. Figura 3.b
Dos de los tres coordenadas r y z (u1, u3) son longitudinales,
pero Φ (u2) es un ángulo, por lo que se requiere de un coeficiente de
multiplicación (un coeficiente métrico) r para convertir un cambio
diferencial de ángulo en un cambio diferenciar de longitud como se
ilustra en la figura 4
Los coeficientes métricos para y son unitarios. Si denotamos
los coeficientes métricos en tres direcciones , , con h1, h2, h3,
respectivamente tenemos que para las coordenadas cilíndricas h1= 1,
h2= r, h3= 1, esto se indica en la tabla. Los coeficientes métricos en
coordenadas cartesianas en los tres direcciones de coordenadas
unitarias (h1 = h2= h3 = 1), ya que las tres coordenadas (x, y, z) son
longitudinales.
La expresión general para una longitud diferencial vectorial en
coordenadas cilíndricas es la suma vectorial de los cambios
diferenciales en longitud en las tres direcciones de coordenadas

7. Figura 4
Longitud diferencial vectorial en coordenadas cilíndricas
=
Diferencia de volumen en coordenadas cilíndricas
Un volumen es el producto de los cambios diferenciales en
longitud en las tres Direcciones de coordenadas.
= r .
Vector A en coordenadas cilíndricas
Las coordenadas cilíndricas son importantes con corrientes o con
largas líneas de carga y en lugares donde existen contornos cilíndricos
o circulares.
A=

8. Los vectores expresados en coordenadas cilíndricas pueden
transformarse y expresarse en coordenadas cartesianas, y viceversa.
Supongamos que queremos expresar A = , en
coordenadas cartesianas; es decir queremos escribir A como
A = + + y determinar , , . En primer
lugar, observamos que la componente de z de A, no cambia con la
transformación de coordenadas cilíndricas a cartesianas. Para encontrar
, igualamos los productos punto de ambas expresiones de A con ,
Así,
=A∙
= + (1)
El término que contiene desaparece por que = 0.
Remitiéndonos a la figura 5 donde se muestran las posiciones relativas
de los vectores base , , en el plano xy
Figura 5

9. = (2)
Y que
= =- (3)
Al sustituir la ecuación 2,3 en 1, obtenemos
= -
En forma similar, para hallar A, tomamos los puntos de ambas
expresiones de A con
=A∙
= +
A partir de la figura tenemos que
= = (4)
Y = (5)
De 4, 5 obtenemos
=
Transformación de las componentes de un vector de coordenadas
cilíndricas a coordenadas cartesianas
x= r
y= r
z=z
Coordenadas Esféricas
Un punto p ( , , ) en coordenadas esféricas se especifica
como la intersección de las tres superficies siguiente: una esférica en el
origen con radio R = ; Un cono circular recto con vértice en el origen,

10. su eje coincidente con el eje +z y con un ángulo θ = y un semiplano
con el eje z como arista y que forma un ángulo Φ = , con el plan zx.
Tenemos
( , , ) = (R, θ, Φ)
Las tres superficies se ilustran en la figura 6. Observe que el
vector base en P es radial desde el origen y bastante diferente de ,
en coordenadas cilíndricas, ya que este último es perpendicular al eje z.
El vector base está en el plano Φ = y es tangencial a la
superficie esférica, mientras que el vector base es el mismo que en
las coordenadas cilíndricas. Los vectores base se ilustra en la figura 4.
En un sistema de la mano derecha tenemos
x =
x =
x =
Las coordenadas esféricas son importantes en problemas que
comprenden fuentes puntuales y regiones con contornos esféricos.
Cuando un observador está muy lejos de una región fuente puede
considerarse aproximadamente como un punto. Por lo tanto, podría
elegirse como origen de un sistema de coordenadas esféricas para que
se pueda efectuar aproximaciones apropiadas que simplifiquen el
problema. Es por esto que se usan coordenadas esféricas para resolver
problemas de antenas en el campo lejano.
Vector en coordenadas esféricas
A=
Longitud diferenciar vectorial en coordenadas esféricas
=

11. Figura 6
En coordenadas esféricas R es una longitud. Las otras dos
coordenadas θ y Φ son ángulos, en la figura 7 se muestra un elemento
volumen diferencial típico, vemos que se requieren los coeficientes
métricos = R y = R para convertir , respectivamente,
longitudes diferenciales (R) y (R ) la expresión general es:
=
Diferencia en volumen en coordenadas esféricas
Un volumen diferenciar es el producto de los cambios diferenciales
en longitud en las tres direcciones de coordenadas
=

12. Figura 7
En la tabla 1, se presenta los vectores base, los coeficientes
métricos y las expresiones para un volumen diferenciar en los tres
sistemas básicos de coordenadas ortogonales.
Transformación de un punto en coordenadas esféricas a
coordenadas cartesianas.
En la figura 8 se muestra la interrelación de las variables
espaciales (x,y,z), (r,Φ,z) y (R,θ,Φ) que especifican la situación de un
punto P
x= R
y= R
z=R

13. Figura 8
Tabla 1: Sistema Básico de Coordenadas Ortogonales
Coordenadas Coordenadas Coordenadas
Cartesianas Cilíndricas Esféricas
(x,y,z) (r, Φ, z) (R, θ,Φ)
Vector
base
Coeficiente
métrico
Diferencial
de = = r =
volumen
.