El documento describe diferentes sistemas de coordenadas como las coordenadas cartesianas, cilíndricas, esféricas y su importancia para representar puntos en el espacio. Explica cómo transformar entre los sistemas de coordenadas usando matrices de direcciones cosenos. También introduce conceptos básicos sobre funciones de varias variables y sus representaciones gráficas en un espacio tridimensional.

1. República Bolivariana de Venezuela.
Ministerio del Poder Popular para la Educación.
Instituto Universitario Politécnico “Santiago Mariño”.
Barcelona- Edo. Anzoátegui.
Cátedra: Matemática.
Facilitador: Integrante:
Pedro Beltran Raynier Fuentes C.I: 28576009
Barcelona, noviembre de 2020
Función de varias variables

2. INTRODUCCION
La asignatura de Ampliación de Matemáticas para el grado de
ingeniería, estudia entre otros apartados, la integración
múltiple (integrales dobles e integrales triples), Geometría
Diferencial (estudio de curvas y superficies) y las integrales de
línea y de superficie. Para una correcta comprensión de estos
temas es necesario poseer un conocimiento, si no profundo, sí
escogido, de la teoría de funciones de varias variables El
modelo matemático adecuado para expresar una variable en
función de otras variables es la función de varias variables.
Igual que ocurría con las funciones de una variable, algunas de
las herramientas asociadas a este modelo nos permiten
abordar y expresar muchos aspectos interesantes de la
relación existente. Nos centraremos en las herramientas más
sencillas: curvas de nivel y derivadas parciales.

3. Un sistema de coordenadas es un sistema que utiliza uno
o más números (coordenadas) para determinar
unívocamente la posición de un punto u objeto
geométrico.
Sistema de coordenadas
El orden en que se escriben las coordenadas es
significativo y a veces se las identifica por su posición en
una tupla ordenada; también se las puede representar
con letras, como por ejemplo (la coordenada-x). El
estudio de los sistemas de coordenadas es objeto de
la geometría analítica, permite formular los problemas
geométricos de forma "numérica"

4. Coordenadas cartesianas
Las coordenadas cartesianas o coordenadas
rectangulares (sistema cartesiano) son un tipo
de coordenadas ortogonales usadas en espacios
elucídelos, para la representación gráfica de una relación
matemática (funciones
matemáticas y ecuaciones de geometría analítica), o
del movimiento o posición en física.
Caracterizadas por tener como referencia
ejes ortogonales entre sí que concurren en el punto
origen. En las coordenadas cartesianas se determinan las
coordenadas al origen como la longitud de cada una de
las proyecciones ortogonales de un punto dado sobre
cada uno de los ejes. La denominación de 'cartesiano' se
introdujo en honor de René Descartes, quien las utilizó
por primera vez de manera formal.

5. Un sistema bidimensional, se denomina plano
cartesiano. El punto de intersección de las rectas,
por definición, se considera como el punto cero de
las rectas y se conoce como origen de las
coordenadas. Al eje horizontal o de las abscisas se le
asigna los números reales de las equis ("x"); y al eje
vertical o de las ordenadas se le asignan los
números reales de las ye ("y").
Al cortarse las dos rectas, dividen al plano en cuatro
regiones o zonas, que se conocen con el nombre de
cuadrantes:
•Primer cuadrante "I": Región superior derecha
•Segundo cuadrante "II": Región superior izquierda
•Tercer cuadrante "III": Región inferior izquierda
•Cuarto cuadrante "IV": Región inferior derecha
El plano cartesiano se utiliza para asignarle una ubicación
a cualquier punto en el plano
En la gráfica anterior se indica el punto +2 en las abscisas
y +3 en las ordenadas. El conjunto (2 , 3) se denomina
"par ordenado" y del mismo modo se pueden ubicar otros
puntos. el cuadrante tienes 4 puntos negativo y positivo
ya que el lado izquierdo se le llama negativo que es -x, -y
y lado derecho es positivo +x,+y.

6. Coordenadas cilíndricas
El sistema de coordenadas cilíndricas es muy conveniente en aquellos casos en que
se tratan problemas que tienen simetría de tipo cilíndrico o azimutal. Se trata de una
versión en tres dimensiones de las coordenadas polares de la geometría
analítica plana.
Un punto P en coordenadas cilíndricas se representa por (ρ,φ,z), donde:
ρ: Coordenada radial, definida como la distancia del punto, P al eje z o bien la
longitud de la proyección del radio vector sobre el plano XY.
φ: Coordenada azimutal, definida como el ángulo que forma con el eje X la
proyección del radio vector sobre el plano XY
Los rangos de variación de las tres coordenadas son

7. Teniendo en cuenta la definición del ángulo φ, obtenemos
las siguientes relaciones entre las coordenadas cilíndricas
y las cartesianas:
Las líneas coordenadas son aquellas que se obtienen
variando una de las coordenadas y manteniendo fijas las
otras dos. Para las coordenadas cilíndricas, éstas son:
• Líneas coordenadas ρ: Semirrectas horizontales
partiendo del eje Z
• Líneas coordenadas φ: Circunferencias horizontales.
• Líneas coordenadas z Rectas verticales.
Coordenadas cilíndricas y ejes
cartesianos relacionados.

8. Las superficies coordenadas son aquellas que se
obtienen fijado sucesivamente cada una de las
coordenadas de un punto. Para este sistema son:
•Superficies ρ=cte.: Cilindros rectos verticales.
•Superficies φ=cte.: Semiplanos verticales.
•Superficies z =cte.: Planos horizontales.
Las líneas y superficies coordenadas de este sistema son
perpendiculares dos a dos en cada punto. Por ello, éste
es un sistema ortogonal.

9. Las coordenadas cilíndricas son una extensión del sistema de coordenadas polares al
espacio tridimensional. Generalmente, en lugar de utilizar x, y y z, se usan r, el
ángulo theta y la variable z, x o y.
La última variable designa la extensión máxima de una superficie. Para elegir que
variable dejar intacta, hay que observar la gráfica de la función; la variable que no cambia
es aquella sobre cuyo eje abre la superficie.

10. El nombre de estas coordenadas proviene de la idea de que cada punto en el espacio es un
punto de la superficie de una infinita cantidad de cilindros circulares, todos con un radio
arbitrario de valor r.
Las integrales triples en este sistema de coordenadas se designan de la siguiente manera
En caso de empezar con una función en coordenadas cartesianas, estas se pueden convertir a
coordenadas polares:
r puede depender de y y de z siendo x la variable que no cambia.
Todo depende de la superficie con la que se trabaja. Por ejemplo
se pide encontrar el volumen del primer octante del cono cuya
ecuación es la siguiente, junto con otras restricciones:

11. El cono abre hacia el eje z, así que la región plana que se usa para
obtener el volumen está en el plano xy, y corresponde a una
circunferencia de radio 1. Por lo tanto, la integral se plantea así:
La integral se calcula igual que en cualquier integral
común, respetando el orden de integración.

12. Coordenadas esféricas
El sistema de coordenadas esféricas se basa en la misma idea que las coordenadas polares y se
utiliza para determinar la posición espacial de un punto mediante una distancia y dos ángulos. En
consecuencia, un punto P queda representado por un conjunto de tres magnitudes: el radio
R el ángulo polar o colatitud θ y el azimutal φ.
En Matemáticas y más específicamente, Geometría Analítica, dícese de la forma de identificar un
punto en el espacio tridimensional colocado en la superficie de una esfera con centro en el origen
y radio determinado mediante tres magnitudes: una distancia y dos ángulos o (r,a,b)

13. Coordenadas de un punto en coordenadas esféricas
Como acabamos de mencionar un punto P quedará definido mediante tres cantidades:
– La distancia o el radio, que denotamos por r (en algunas ocasiones también se denota por la letra griega
ρ), y que indica la distancia entre el origen O y el punto P, es decir, el módulo del vector de posición r.
– El ángulo polar, que se denota por la letra griega θ, y que nos indica, tal y como podemos ver en la
imagen, el ángulo que forma r con el eje positivo Z.
– El ángulo azimut, que denotamos por φ, que indica el ángulo que forma la proyección de r sobre el eje
XY y el eje positivo X.

14. Relación entre las coordenadas cartesianas y esféricas
Si nos fijamos en la imagen anterior, podemos deducir como realizar el cambio de coordenadas
para pasar de un sistema a otro.
-El radio de la esfera, como ya hemos dicho, es la distancia del punto al origen, por tanto, sería
análogo a aplicar el Teorema de Pitágoras, pero con tres dimensiones:
Por las relaciones trigonométricas del triángulo que se forma, podemos deducir que z= y∙cos θ,
luego
Utilizando una vez las relaciones trigonométricas, tenemos que la tag φ = y/x, luego:

15. También podemos deshacer el cambio, para ello tenemos que expresar el valor de x, y, z en función
de r, θ y φ, de tal forma que:
Este tipo de coordenadas se utiliza para la resolución de integrales triples, de tal forma que
también nos resulte más fácil el método para resolverlas. Pero no es el único sistema de
coordenadas que podemos utilizar para determinar puntos en el plano, todavía existe otro más, el
sistema de coordenadas cilíndricas, que ya veremos en otro momento.

16. Importancia
Aparte de la evidente relación con el sistema de coordenadas geográficas, aplicables a otros planetas
y cuerpos espaciales con forma esférica y el sistema de localización polar de los cuerpos estelares en
la bóveda celeste, el sistema de ubicación GPS; desde el punto de vista de la geometría analítica y la
precisión realista de los fenómenos que suceden en la superficie terrestre, donde la línea recta es
apenas un ideal geométrico, gana gran importancia para las ciencias de la naturaleza y las
propiedades espaciales de la trigonometría, especialmente la trigonometría esférica, donde por solo
citar un ejemplo los triángulos formados por líneas geodésicas no necesariamente la suma de sus
ángulos interiores es 1800.

17. La idea fundamental de obtener las coordenadas esféricas, es obtener un punto cualquiera
denominado P, la cual estará en apoyado sobre los siguientes parámetros, la idea es tener tres
números uniequivocos denominados coordenadas esféricas. Partes fundamentales en las que
están apoyadas las coordenadas esféricas del punto P
• Graficar una esfera
•Trazar un eje principal (asignando un punto A “polo norte”, un punto B “polo sur”
• Graficar un plano fundamental al medio de la esfera
• Asignar un centro de la esfera con la intersección del plano fundamental y el eje principal (C)
• Asignar un punto O en cualquier parte del plano fundamental ala que se le denominara origen
• Seguidamente graficar una esfera menor que pase exactamente por el punto O y los polos
• Seguidamente ubicar el punto P que se esta buscando, luego sobre ella dibujar una esfera principal que pase
por los polos
• Seguidamente ubicar el punto P´ en la intersección del plano fundamental
• De este origen se medirán ángulos (a)sobre el plano fundamental EJE (X,Y) hasta P´, luego el ángulo(b), a la
esfera principal en dirección y de P´a P, así se podrá ubicar las coordenas del mencionado punto P

18. Transformación entre los diferentes sistemas de coordenadas
Para transformar el sistema de coordenadas:
Transformación de coordenadas Una vez descritos los sistemas de coordenadas en los cuales se va a
trabajar es importante presentar cómo se realiza la transformación entre unos y otros, para ello existen
varios métodos que se presentarán a continuación.
La matriz de direcciones coseno es una matriz que permite cambiar un sistema de coordenadas
llamémosle “b” a otro marco coordenado “a”
Cada componente de esta matriz es uno de los cosenos de los ángulos entre los ejes de los dos
sistemas de coordenadas por lo que acaba siendo una matriz de cambio de coordenadas con la cual
para transformar un vector en el plano “b” a el plano “a” se realizaría lo siguiente:
Al igual que todas las matrices de cambio de coordenadas
cumple con un par de propiedades:

19. Simetría
Es un rasgo característico de formas geométricas, sistemas, ecuaciones y otros objetos materiales,
o entidades abstractas, relacionada con su invariancia bajo ciertas transformaciones, movimientos
o intercambios.
Existen cinco tipos de simetría claramente establecidos:
•De rotación. Es el giro que experimenta todo motivo de manera repetitiva hasta que finaliza
consiguiendo la posición idéntica que tenía al principio.
•De abatimiento. En este caso lo que se logra es dos partes iguales de un objeto concreto tras
llevarse a cabo un giro de 180º de una con respecto a la otra.
•De traslación. Este es el término que se utiliza para referirse al conjunto de repeticiones que lleva
a cabo un objeto a una distancia siempre idéntica del eje y durante una línea que puede estar
colocada en cualquier posición.
•De ampliación. Se emplea para dejar patente que dos partes de un todo son semejantes y es que
tienen la misma forma pero no un tamaño igual.
•Bilateral. Es la que permite que se obtenga un retrato bilateral que tiene como espina dorsal un eje
de simetría. A los lados de este aparecen formas iguales a la misma distancia de él que serán las
que permitan crear ese citado retrato.

20. Funciones en Varias Variables
Hemos estudiado funciones que de forma explícita, dependen de sólo una variable y aunque también
hemos estudiado funciones que definidas de forma implícita relacionan dos variables, no hemos
estudiado formalmente funciones que dependan de dos o más variables.
Para ir más allá, recurrimos a una nueva variable Z que dependerá enteramente de las variables X y
Y Notando que al definir una tercera variable, podemos hacer la representación gráfica de este tipo de
funciones tomando en cuenta que hasta ahora hemos construido nuestros espacios intersectando ejes
coordenados de forma perpendicular.
Esta vez no será diferente, así que considerando el plano cartesiano, intersectaremos a este en el origen
con un eje perpendicular a los Ejes Y y X generando así el espacio cartesiano que consta de tres ejes
coordenados X, Y, Z.

21. En este espacio podemos identificar tres planos principales, que se definen de la siguiente manera:
El plano X Y que contiene todos los puntos de la forma X,Y,0 , el plano XZ que contiene todos los
puntos de la forma X,0,Z y en el plano YZ que contiene todos los puntos de la forma 0,Y,Z.
De esta forma, podemos generalizar la definición de función que hasta ahora conocemos.
Formalmente, si R una región en el plano XY, entonces definimos una función f:R⟶Rcomo
una regla de correspondencia que corresponde a cada par ordenado de la región R con un único
número real Z = f(x, y).
A este tipo de funciones las llamaremos funciones de dos variables. Evaluamos este tipo de
funciones sustituyendo los valores de X y Y por sus valores correspondientes, y así, calculamos
sus imágenes. Veamos algunos ejemplos para entender como calcular imágenes.

22. Rango y dominio
Las funciones de varias variables también se someten a un rango y dominio, tal y como ocurre en
funciones de dos variables. Sin embargo, la idea es la misma. El dominio es el conjunto de valores
que puede tomar el argumento de la función sin que esta se indefina. El rango es el conjunto de
valores reales que toma la función z en función del dominio.
El proceso para encontrar el dominio es similar a el caso de funciones de dos variables, pero ahora se
debe encontrar en función de la relación entre las variables del argumento. Es decir, el dominio
depende de como interactúan estas variables. Por ejemplo
Esta función es muy simple. El dominio es el conjunto de valores de x y de y tal que ambas variables
pueden tomar cualquier valor de los números reales, puesto que la función f jamás se indefinirá. La
manera formal de escribirlo es:

23. De tal manera que el rango de la función es el conjunto de valores toma f o z, que en realidad son
todos los reales, pues nunca se indefine:
En funciones de varias variables, es posible graficar el dominio. Esto da una idea de los valores que
toman x y y en un plano, en el caso de una función de tres variables. Para la función anterior, el
gráfico del dominio es el siguiente:
Lo anterior se entiende como que un tapiz de puntos. Todos los valores de x y de y son permitidos,
y es por eso que se marca todo el plano cartesiano, en dos dimensiones solamente.

24. La geometría del espacio (también llamada geometría espacial) es la rama de la geometría que se
encarga del estudio de las figuras geométricas voluminosas que ocupan un lugar en el espacio; estudia
las propiedades y medidas de las figuras geométricas en el espacio tridimensional o espacio euclídeo.
Entre estas figuras, también llamadas sólidos, se encuentran el cono, el cubo, el cilindro, la pirámide,
la esfera, el prisma, los poliedros regulares (los sólidos platónicos, convexos, y los sólidos de Kepler-
Poinsot, no convexos) y otros poliedros.
Geometría del espacio
Llamamos cuerpos geométricos a las figuras que se han de representar en el
espacio tridimensional. Los cuerpos geométricos ocupan siempre un espacio.
La geometría espacial se basa en un sistema formado por tres ejes (X,Y,Z):
•Ortogonales (perpendiculares 2 a 2)
•Normalizados (las longitudes de los vectores básicos de cada eje son iguales).
•Dextrógiros (el tercer eje es producto vectorial de los otros dos).

25. La geometría del espacio amplía y refuerza las proposiciones de la geometría plana, y es la base
fundamental de la trigonometría esférica, la geometría analítica del espacio, la geometría descriptiva y
otras ramas de las matemáticas. Se usa ampliamente en matemáticas, en ingeniería y en ciencias
naturales.
El espacio es el conjunto de puntos en el cual hay algunos subconjuntos llamados rectas y otros
subconjuntos llamados planos.
Características de los subconjuntos llamados rectas
•Dos puntos determinan una recta y solo una.
•Por un punto pasan infinitas rectas.
•El conjunto de puntos de una recta se puede poner en correspondencia biunívoca con el conjunto de
los números reales, de manera que se conserva el orden.
•Si dos rectas tienen dos puntos en común son coincidentes.
Características de los subconjuntos llamados planos
•Por tres puntos del espacio, no situados en línea recta, pasa un plano y solo uno.
•si dos planos tienen un punto en común, entonces tienen una recta común que contiene a ese punto
(recta de intersección).
•Si una recta tiene dos puntos en un plano, entonces están contenida en dicho plano.

26. En geometría, una superficie esférica es una superficie de revolución formada por el conjunto de todos
los puntos del espacio que equidistan de un punto llamado centro.
Para los puntos cuya distancia es menor que la lo
La esfera, como sólido de revolución, se genera haciendo girar una superficie semicircular alrededor de
su diámetro
Como superficie
La esfera (superficie esférica) es el conjunto de los puntos del espacio
tridimensional que tienen la misma distancia a un punto fijo denominado centro;
tanto el segmento que une un punto con el centro, como la longitud del
segmento, se denomina radio.
La esfera (sólido esférico) es el conjunto de puntos del espacio tridimensional
que están, respecto del centro, a una distancia igual o menor que la longitud de
su radio. Este concepto coincide con la definición de bola cerrada en el análisis
real de ℝ3.

27. La superficie cilíndrica está conformada por rectas paralelas, denominadas generatrices, las
cuales contienen los puntos de una curva plana, denominada directriz del cilindro. La
superficie lateral cilíndrica se obtiene mediante el giro de una recta alrededor de un eje.
Las superficies cilíndricas pueden ser
•superficie cilíndrica de revolución: si todas las
generatrices equidistan de un eje, paralelo a ella.
•superficie cilíndrica de no revolución: si no existe un
eje que equidiste de las generatrices.
Área de la superficie cilíndrica
La superficie de un cilindro circular recto de radio R es la suma del área de las bases y
del área de la superficie latera.

28. Paraboloide elíptico. Es la superficie que se ha creado al deslizar una parábola vertical con
la concavidad hacia abajo, a lo largo de la otra, perpendicular a la primera; las secciones horizontales
son elipses mientras que las verticales son parábolas.
Paraboloide
Se denomina Paraboloide Elíptico a la superficie que en
un sistema de coordenadas cartesianos se determina por
la ecuación:
Las secciones de la cual son parabólicas o elípticas. El
caso de revolución se obtiene haciendo girar una
parábola alrededor de su eje de simetría y resulta ser el
lugar geométrico de los centros de las esferas que pasan
por un punto y son tangentes a un plano.

29. En matemática, es una cuádrica análoga a la elipse, pero en tres dimensiones.
Un elipsoide se obtiene al «deformar» una esfera, mediante una transformación homológica, en
la dirección de sus tres diámetros ortogonales.
Al rotar una elipse alrededor de uno de sus dos ejes se obtiene un elipsoide de revolución o
esferoide.
Elipsoide

30. La hiperboloide es la superficie de revolución generada por la rotación de
una hipérbola alrededor de uno de sus dos ejes de simetría. Dependiendo del eje elegido, el
hiperboloide puede ser de una o dos hojas.
Para entenderlo mejor, se considera a continuación el caso de la hipérbola de referencia, cuya
ecuación es
Hiperboloide
en el sistema de coordenadas O, I, J
La revolución alrededor del eje de simetría rojo genera un
hiperboloide conexo, mientras que la rotación alrededor
del eje azul, que atraviesa dos veces la hipérbola, da un
hiperboloide de dos hojas.

31. Bibliografía web
https://es.wikipedia.org/wiki/Sistema_de_coordenadas
https://pro.arcgis.com/es/pro-
app/help/mapping/properties/coordinate-systems-and-
projections.htm
http://bibing.us.es/proyectos/abreproy/12130/fichero/Cap%C3
%ADtulo+5.pdf
https://www.smartick.es/blog/matematicas/geometria/simetri
a/
http://www4.ujaen.es/~ajlopez/asignat/ampliacion/Tema%201
.pdf
https://sites.google.com/site/calculovectorialhakim/funciones-
de-varias-variables

32. https://www.ecured.cu/Geometr%C3%ADa_del_espacio
https://es.wikipedia.org/wiki/Geometr%C3%ADa_del_espacio
https://es.wikipedia.org/wiki/Cilindro#/media/Archivo:Revoluci
%C3%B3n_cilindro.gif
https://www.monografias.com/trabajos-pdf/funciones-reales-
variables/funciones-reales-variables.shtml
https://www.monografias.com/trabajos78/funciones-dominio-
rango-curva-nivel/funciones-dominio-rango-curva-nivel2.shtml
https://www.ecured.cu/Paraboloide_el%C3%ADptico