Este documento describe tres sistemas de coordenadas: cartesianas, cilíndricas y esféricas. Explica que las coordenadas cartesianas usan tres ejes ortogonales que se intersectan en un punto de origen, mientras que las coordenadas cilíndricas y esféricas usan coordenadas radiales, azimutales y de altura/colatitud para describir puntos en el espacio tridimensional. También discute las transformaciones entre diferentes sistemas de coordenadas.

1. República Bolivariana de Venezuela
Instituto Universitario Politécnico
“Santiago Mariño”
Sede Barcelona
Funciones de Varias
Variables
Profesor:
Pedro Beltrán Bachiller:
Jesus rosales
C.I.: 28.576.500
Fecha, Marzo de 2019

2. Introducción
El electromagnetismo clásico se describe mediante campos
vectoriales, esto es, vectores que tienen un valor diferente en cada
punto del espacio.
Las ecuaciones de Maxwell se describen de forma idónea mediante el
llamado espaciotiempo de Minkowski, en el cual las tres
dimensiones espaciales y el tiempo aparecen unidas en un solo
sistema de referencia. No obstante, para los contenidos de este curso
es suficiente con la descripción tradicional en la que por un lado
tenemos un espacio tridimensional y por otro una línea temporal.
Por ello, un paso previo a la definición de campo vectorial es la
caracterización del propio espacio. Supondremos igualmente un
espacio tridimensional euclídeo. Por ello, en cada punto del espacio
podemos definir un sistema de referencia con origen en dicho punto
y formado por tres ejes ortogonales que se extienden indefinidamente,
conservando su perpendicularidad.
El espacio se compone de puntos y para describir los puntos y
distinguirlos unos de otros necesitamos ponerle un nombre a cada
uno. Un sistema de nombres que identifica de forma individual a cada
punto del espacio se denomina un sistema de coordenadas. Existen
infinitos posibles sistemas de coordenadas. Sin embargo, para que un
sistema de coordenadas sea útil para el cálculo, debe cumplir una
serie de requisitos:
 Las coordenadas deben ser funciones numéricas de laposición.
 En el espacio tridimensional ordinario, una terna
de coordenadas debe corresponder de forma
unívoca a un punto.
 En la medida de lo posible, cada punto debe venir representado

3. por una sola terna de coordenadas.
 Las coordenadas deben ser funciones continuas y derivables de la
posición,
de forma que si un punto viene representado por la terna
, unpunto , infinitamente
próximo, vendrá representado
por
Aun con esas limitaciones, el número de sistemas posibles sigue
siendo infinito. Sin embargo, solo un subconjunto de ellos (los
denominados sistemas ortogonales) cumple algunas propiedades
adicionales que simplifican numerosos cálculos. Y dentro de las
coordenadas ortogonales, tres sistemas destacan por su

4. sencillez: las coordenadas cartesianas, las cilíndricas y las esféricas.
En lo que sigue, nos limitaremos a considerar exclusivamente estos
tres sistemas.

5. Coordenadas cartesianas
Las coordenadas cartesianas o coordenadas rectangulares (sistema
cartesiano) son un tipo de coordenadas ortogonales usadas en
espacios euclídeos, para la representación gráfica de
una relación matemática
(funciones matemáticas y ecuaciones de geometría analítica),
o del movimiento o posición en física,
caracterizadas por tener como referencia ejes ortogonales entre sí
que concurren en el punto origen. En las coordenadas cartesianas se
determinan las coordenadas al origen como la longitud de cada una de
las proyecciones ortogonales de un punto dado sobre cada uno de los
ejes. La denominación de 'cartesiano' se introdujo en honor de René
Descartes, quien las utilizó por primera vez de manera formal.
El sistema en sí es un sistema bidimensional, que se denomina plano
cartesiano. El punto de intersección de las rectas, por definición,
considera como el punto cero de las rectas y se conoce como origen
de coordenadas. Al eje verticales o de las abscisas se le asigna los
números reales de las equis ("y':); y al eje vertical o de las ordenadas
se le asignan los números reales de las yes ("y"). Al cortarse las dos
rectas, dividen al plano en cuatro regiones o zonas, que se conocen
con el nombre decuadrantes:
 Primer cuadrante "I": Región superior derecha
 Segundo cuadrante "II": Región superior izquierda
 Tercer cuadrante "III": Región inferior izquierda
 Cuarto cuadrante "IB": Región inferior derecha
El plano cartesiano se utiliza para asignarle una ubicación a
cualquier punto en el plano. En la gráfica se indica el punto +2 en las
abscisas y +3 en las ordenadas. El conjunto (2 , 3) se denomina "par

6. ordenado" y del mismo modo se pueden ubicar otros puntos.
Las coordenadas cartesianas se usan por ejemplo para definir un
sistema cartesiano o sistema de referencia respecto ya sea a un solo
eje (línea recta), respecto a dos ejes (un plano) o respecto a tres ejes
(en el espacio), perpendiculares entre sí (plano y espacio), que se
cortan en un punto llamado origen de coordenadas. En el plano,
las coordenadas cartesianas se denominan abscisa y ordenada. La
abscisa es la coordenada horizontal y se representa habitualmente por
la letra x, mientras que la ordenada es la coordenada vertical y se
representa por la y.

7. Se denominan coordenadas cartesianas en honor a René Descartes
(1596-1650), el célebre filósofo y matemático francés que quiso
fundamentar su pensamiento filosófico en el método de tomar un
«punto de partida» evidente sobre el que edificaría todo el
conocimiento.
Como creador de la geometría analítica, Descartes también comenzó
tomando un
«punto de partida» en esta disciplina, el sistema de referencia
cartesiano, para poder representar la geometría plana, que usa solo
dos rectas perpendiculares entre sí que se cortan en un punto
denominado «origen de coordenadas».

8. Coordenadas cilíndricas
El sistema de coordenadas cilíndricas es muy conveniente en aquellos
casos en que se tratan problemas que tienen simetría de tipo
cilíndrico o azimutal. Se trata de una versión en tres dimensiones de
las coordenadas polares de la geometría analítica plana.
Un punto en coordenadas cilíndricas se representa por (ρ,φ, ), donde:
 ρ: Coordenada radial, definida como la distancia del punto
al eje ,
o bien la longitudde la proyección del radiovector sobre el
plano
 φ: Coordenada azimutal, definida como el ángulo que
forma con el eje la proyección
del radiovector sobre el plano .
 : Coordenada vertical o altura, definida como la distancia,
con signo, desde el punto P al plano .

9. Los rangos de variación de las tres coordenadas son
La coordenada azimutal φ se hace variar en ocasiones desde -π a +π.
La coordenada radial es siempre positiva. Si reduciendo el valor de ρ
llega a alcanzarse el valor 0, a partir de ahí, ρ vuelve a aumentar, pero
φ aumenta o disminuye en π radianes.
Las líneas coordenadas son aquéllas que se obtienen variando una de
las coordenadas y manteniendo fijas las otras dos. Para las
coordenadas cilíndricas, éstas son:
 Líneas coordenadas ρ: Semirrectas horizontales partiendo del eje .
 Líneas coordenadas φ: Circunferencias horizontales.
 Líneas coordenadas : Rectas verticales.
Las superficies coordenadas son aquellas que se obtienen fijado
sucesivamente cada una de las coordenadas de un punto. Para este
sistema son:
 Superficies ρ=cte.: Semiplanos verticales.
 Superficies φ=cte.: Cilindros rectos verticales.

10.  Superficies =cte.: Planoshorizontales.
Las líneas y superficies coordenadas de este sistema son
perpendiculares dos a dos en cada punto. Por ello, éste es un sistema
ortogonal.

11. Coordenadas esféricas
El sistema de coordenadas esféricas se basa en la misma
idea que las coordenadas polares y se utiliza para determinar la
posición espacial de un punto mediante una distancia y dos ángulos.
En consecuencia, un punto Pqueda
representado por un conjunto de tres magnitudes: el radio ,
el ángulo polar o colatitud θ y el azimut φ.
Algunos autores utilizan la latitud, en lugar de colatitud, en cuyo
caso su margen es de -90° a 90° (de -π/2 a π/2 radianes), siendo el
cero el plano XY. También puede variar la medida del azimut, según
se mida el ángulo en sentido reloj o contrarreloj, y de 0° a 360° (0 a
2π en radianes) o de -180° a +180° (-π a π).

12. Se debe tener en cuenta qué convención utiliza un autor determinado.

13. La mayoría de los físicos, ingenieros y matemáticos no norteamericanos
escriben:
 φ ,el azimut : de 0° a 360°
 θ ,la colatitud: de 0° a 180°
Esta es la convención que se sigue en este artículo. En el sistema
internacional, los rangos de variación de las tres coordenadas son:
La coordenada radial es siempre positiva. Si reduciendo el valor de llega a
alcanzarse el valor 0, a partir de ahí, ; vuelve a aumentar, pero θ
pasa a valer π-θ y φ aumenta o disminuye en π radianes.
Las líneas coordenadas son aquellas que se obtienen variando una de
las coordenadas y manteniendo fijas las otras dos. Para las
coordenadas esféricas, estas son:
 Líneas coordenadas : Semirrectas radiales partiendo del
origen de coordenadas.

14.  Líneas coordenadas θ: Semicírculos verticales (meridianos)
 Líneas coordenadas φ: Circunferencias horizontales (paralelos).

15. Las superficies coordenadas son aquellas que se obtienen fijando
sucesivamente cada una de las coordenadas de un punto. Para este
sistema son:
 Superficies =cte.: Esferas con centro en el origen de coordenadas.
 Superficies θ=cte.: Conos rectos con vértice en el origen.
 Superficies φ=cte.: Semiplanos verticales.
Las líneas y superficies coordenadas de este sistema son
perpendiculares dos a dos en cada punto. Por ello, éste es un sistema
ortogonal.

16. Transformaciones entre los diferentes
sistemas de coordenadas
Transformación entre coordenadas horizontales,
ecuatoriales horarias y ecuatoriales absolutas
Consideremos un astro X de coordenadas
horizontales (A, h) y de coordenadas
ecuatoriales horarias (H, δ) y un lugar de la
Tierra de latitud φ. Sobre la esfera celeste se
forma un triángulo esférico, denominado
triángulo de posición o astronómico, cuyos
vértices son el polo norte celeste (P), el cénit
astronómico (Z) y el propio astro (X). El ángulo
de vértice P y determinado por el meridiano del
lugar y el meridiano celeste que pasa por el astro
depende del ángulo horario H, y del acimut A
depende el ángulo de vértice Z y determinado
por el vertical que pasa por el polo norte celeste
y el vertical que pasa por el astro. Los valores de
estos ángulos dependerán del lugar que ocupe el
astro y de la latitud del lugar.
El ángulo cuyo vértice es el astro y que está

17. determinado por el meridiano celeste y el
vertical que pasa por el astro se denomina
ángulo paraláctico (q). El lado P X es el arco del
meridiano celeste entre el polo norte celeste y el
astro, el lado ZX es el arco del vertical entre el
cénit y el astro y el lado PZ es el arco del
meridiano del lugar entre el polo norte celeste y
el cénit, siendo sus valores respectivos 90o − δ,
90o − h y 90o − φ, o equivalentemente, la
distancia polar, la distancia cenital y la colatitud.
Proposición 5.2 Sea φ la latitud de un lugar en el
hemisferio norte (φ > 0) y sea X un astro situado
en el hemisferio norte, occidental y visible, de
coordenadas horizontales (A, h) y coordenadas
ecuatoriales horarias (H, δ). Entonces las
coordenadas horarias y el ángulo paraláctico en
función de las coordenadas horizontales y la
latitud del lugar vienen dadas por:

19. Simetría
Sistema de coordenadas polares.
Definición:
Es un conjunto de circunferencias concéntricas a
un punto O llamado polo y un conjunto de rectas
que parten de O y que determinan el ángulo que
seforma a partir de la recta horizontal que parte
de O hacia la derecha, llamada eje polar.
Un punto en coordenadas polares, está definido
por:
Una distancia (módulo, r) medida respecto al
polo uorigen.
Un ángulo (argumento, Ɵ ) medido desde el eje
polar.
Tal y como se muestra en la siguiente figura.

20. Nota 1: Los ángulos positivos se miden en
sentido contrario a las manecillas del reloj.Nota
2: A diferencia del sistema de coordenadas
cartesiano, un punto en coordenadas polares
puede ser representado por más de un par de
valores de r, Ɵ.
Por ejemplo:
P(r, Ɵ) = P(r , +2n ) ; conn = 1, 2, 3, 4, …..
P(r, Ɵ) = P(-r , + (2n-1) ) ; con n = 1, 2, 3, 4,
…..
Simetría de puntos en coordenadas polares.
Para obtener el simétrico de un punto
cualquiera, respecto al eje polar, aleje a 90º, o al
polo, es necesario realizar lo que se establece a
continuación.
Simetría respecto al
La ecuación original no se altera cuando…
Eje polar

21. a) se sustituye Ɵ por -Ɵ
b) sesustituye Ɵ por π-Ɵ y r por -r
Eje a 90°
a) se sustituye Ɵ por π -Ɵ
b) se sustituye Ɵ por -Ɵ y r por -r
Polo
a) se sustituye Ɵ por π +Ɵ
b) se sustituye r por -r
Simetría respecto al eje polar.Gráficamente
podemos observar que la simetría respecto al eje
polar (0º), consiste en “reflejar” al punto
respecto a dicho eje.
El reflejo es vertical, por ejemplo, para un punto
a 45º a una distancia“r” del polo, su simétrico
respecto al eje polar estará a la misma distancia
“r” del polo, pero a 315º.
En general, para cualquier punto ubicado:
Entre 0º y 90º, su simétrico estará entre 360º

22. y270º.
Entre 90º y 180º, su simétrico estará entre 270º
y 180º.
Entre 180º y 270º, su simétrico estará entre 180º
y 90º.
Entre 270º y 360º, su simétrico estará entre 90º
y 0º.
El punto...
Rango y dominio
Las funciones de varias variables también se
someten a un rango y dominio, tal y como
ocurre en funciones de dos variables. Sin
embargo, la idea es la misma. El dominio es el
conjunto de valores que puede tomar el
argumento de la función sin que esta se indefina.
El rango es el conjunto de valores reales que
toma la función z en función del dominio.

23. El proceso para encontrar el dominio es similar
a el caso de funciones de dos variables, pero
ahora se debe encontrar en función de la
relación entre las variables del argumento. Es
decir, el dominio depende de como interactuan
estas variables. Por ejemplo:
Esta función es muy simple. El dominio es el
conjunto de valores de x y de y tal que ambas
variables pueden tomar cualquier valor de los
números reales, puesto que la función f jamás se
indefinirá. La manera formal de escribirlo es:
De tal manera que el rango de la función es el
conjunto de valores toma f o z, que en realidad
son todos los reales, pues nunca se indefine:

24. En funciones de varias variables, es posible
graficar el dominio. Esto da una idea de los
valores que toman x y y en un plano, en el caso
de una función de tres variables. Para la función
anterior, el gráfico del dominio es el siguiente:
Lo anterior se entiende como que un tapiz de
puntos. Todos los valores de x y de y son
permitidos, y es por eso que se marca todo el
plano cartesiano, en dos dimensiones solamente.
Para el siguiente ejemplo de función:

25. Esta función es algo más compleja. Existe una
raíz que afecta al argumento. El método para
encontrar dominios no es siempre el mismo. En
este caso, se sabe que argumento de una raíz
cuadrada no puede ser negativo, por lo que el
dominio queda de la siguiente forma:
Es bastante simple de anotar para cualquier
caso. Este dominio es el conjunto de puntos que
simplemente no indefinen a la función f. La
imagen se encuentra evaluando a la función
desde el punto en que comienza a definirse y el
punto donde se alcanza el valor máximo de f, si
es que lo hay:
Valor máximo

26. Valor mínimo
Ahora se escribe la imagen:
El dominio gráfico de la función se haya
encontrando una gráfica bidimensional que sirva
de frontera para la indefinición y evaluando un
punto por dentro y otro por fuera y así
determinar que región indefinie a f y cual no.
Esta función resulta ser una semiesfera que
abarca al eje z positivo. La circunferencia que
describe a la mitad es justamente la frontera del
dominio.

27. El último dominio que se puede graficar es el de
una función de cuatro variables. En estos caso,
el dominio es una gráfica tridimensional. Por
ejemplo:
El dominio se encuentra de la misma forma.
Aunque la función tenga tres variables en su
argumento, existe un conjunto de valores que
probablemente indefinan a f. La raíz cuadrada
del denominador no puede ser igual a 0. Así
mismo, su argumento no puede ser negativo. Por
la conjunción de ambas condiciones se tiene que
el dominio es:

28. La gráfica del dominio está en tres dimensiones:
El gráfico es pues una esfera. Es importante
notar que la superficie está punteada pues solo
el "contenido" es parte del dominio. Si las
variables del argumento de la función tomaran
valores de un punto de la superficie, f se
indefiniría.

29. Conclusión
Una función de valor real, f, de x, y, z, ... es una
regla para obtener un nuevo numero, que se
escribe como f(x, y, z, ...), a partir de los valores
de una secuencia de variables independientes (x,
y, z, ...).
La función f se llama una función de valor real
de dos variables si hay dos variables
independientes, una función de valor real de tres
variables si hay tres variables independientes, y
así sucesivamente.
Como las funciones de una variable, funciones
de varias variables se pueden representar en
forma numérica (por medio de una tabla de
valores), en forma algebraica (por medio de una
formula), y en forma gráfica (por medio de una
gráfica).

30. Bibliografía
https://www.youtube.com/watch?v=4OsXsr8IKgk
https://www.youtube.com/watch?v=iOKYrPxdUP0
https://www.youtube.com/watch?v=DZ82BzA-_a0