SISTEMA DE COORDENADAS.pdf

http://migueltarazonagiraldo.com/ mtarazona@unfv.edu.pe Semestre 2022 - II
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Escuela profesional de Ingeniería Telecomunicaciones
Curso: Cálculo Integral
Mg.: Miguel Ángel Tarazona Giraldo
Unidad II
Diciembre del 2022
Sistema de coordenadas
Sistemas de coordenadas
En este curso se hace un uso intenso de tres sistemas
de coordenadas: cartesianas, cilíndricas y esféricas.
Naturalmente estos sistemas serán de utilidad en
situaciones físicas con simetría rectangular,
cilíndrica y esférica. Veremos en esta sección su
definición y algunos resultados de interés que siguen
de estas definiciones.
Coordenadas cartesianas
Para describir vectores en este sistema de
coordenadas se introduce la triada de vectores
unitarios (𝑥
̂, 𝑦
̂, 𝑧̂) a lo largo de las direcciones de los
ejes cartesianos. Un vector cualquiera 𝐴
⃗ tiene
proyecciones a lo largo de las direcciones asociadas
a dichos vectores unitarios. Estas proyecciones o
componentes se denotan: 𝐴𝑥, 𝐴𝑦 𝑦 𝐴𝑧 y ellas se
obtienen mediante el producto punto entre el vector
𝐴
⃗ y el vector unitario asociado:
𝐴𝑥 = 𝐴
⃗ ∙ 𝑥
̂
𝐴𝑦 = 𝐴
⃗ ∙ 𝑦
̂
𝐴𝑧 = 𝐴
⃗ ∙ 𝑧̂
En este sistema entonces un vector cualquiera 𝐴
⃗ se
escribe
𝐴
⃗ = 𝐴𝑥𝑥
̂ + 𝐴𝑦𝑦
̂ + 𝐴𝑧𝑧̂.
y su norma, definida como la raíz cuadrada del
producto punto del vector consigo mismo (el
producto entre dos vectores 𝐴
⃗ y 𝐵
⃗⃗ es 𝐴
⃗ ∙ 𝐵
⃗⃗ = 𝐴
⃗𝑥𝐵
⃗⃗𝑥 +
𝐴
⃗𝑦𝐵
⃗⃗𝑦 + 𝐴
⃗𝑧𝐵
⃗⃗𝑧 ), es
‖𝐴
⃗‖ = √𝐴𝑥
2 + 𝐴𝑦
2 + 𝐴𝑧
2

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Un caso particular es el del vector de posición 𝑟
⃗
asociado a un punto: la posición de un punto en este
sistema está definida por la triada de coordenadas (x,
y, z) y en consecuencia, el vector de posición queda
dado por:
𝑟
⃗ = 𝑥𝑥
̂ + 𝑦𝑦
̂ + 𝑧𝑧̂
En este caso se tiene:
𝑟𝑥 = 𝑟
⃗ ∙ 𝑥
̂ = 𝑥
𝑟𝑦 = 𝑟
⃗ ∙ 𝑦
̂ = 𝑦
𝑟𝑧 = 𝑟
⃗ ∙ 𝑧̂ = 𝑧
y su norma es:
‖𝑟
⃗‖ = √𝑟
⃗ ∙ 𝑟
⃗ = √𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2
Coordenadas cilíndricas
El sistema de coordenadas cilíndricas está basado en
la geometría del cilindro. Se ubica un cilindro
imaginario con su eje axial concéntrico al eje z de un
sistema de coordenadas cartesiano.
Un punto se define sobre este cilindro por una
coordenada de altura z (la altura del cilindro), una
coordenada de distancia radial 𝜌 (el radio del
cilindro) y una coordenada de posición angular 𝜙 (el
ángulo que substiende el punto respecto del eje x,
medido a lo largo de la superficie del cilindro). A lo
largo de las direcciones en que crecen 𝜌, 𝜙 𝑦 𝑧 se
definen vectores unitarios 𝜌
̂, 𝜙
̂ 𝑦 𝑧̂.
Este sistema está definido entonces por la triada de
coordenadas (𝜌, 𝜙 𝑦 𝑧), y por los correspondientes
vectores unitarios asociados (𝜌
̂, 𝜙
̂ 𝑦 𝑧̂) (ver Fig.)
En estas coordenadas las variables 𝜌, 𝜙 𝑦 𝑧 varían
entre:
{
𝝆: 0 ≤ 𝜌 < +∞
𝝓: 0 ≤ 𝜙 ≤ 2𝜋
𝒛: − ∞ < 𝒛 < +∞
Un vector cualquiera 𝐴
⃗ tendrá proyecciones sobre las
direcciones definidas por dichos vectores unitarios.
Los valores de dichas proyecciones (las componentes
del vector) se denotan correspondientemente por 𝐴𝜌,
𝐴𝜙, y 𝐴𝑍 (ver fig.) Ellos se obtienen de la manera
usual:
𝐴𝜌 = 𝐴
⃗ ∙ 𝜌
̂
𝐴𝜙 = 𝐴
⃗ ∙ 𝜙
̂
𝐴𝑧 = 𝐴
⃗ ∙ 𝑧̂
Un vector cualquiera se escribe en consecuencia:
𝐴
⃗ = 𝐴
⃗𝜌𝜌
̂ + 𝐴
⃗𝜙𝜙
̂ + 𝐴
⃗𝑧𝑧̂

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‖𝐴
⃗‖ = √𝐴
⃗ ∙ 𝐴
⃗ = √𝐴𝜌
2 + 𝐴𝜙
2
+ 𝐴𝑧
2
En el caso particular del vector de posición (que
naturalmente parte del origen del sistema de
coordenadas y por lo tanto tiene sólo componentes a
lo largo del plano definido por 𝜌
̂ 𝑦 𝑧̂)
se tiene:
𝑟
⃗ = 𝜌𝜌
̂ + 𝑧𝑧̂
y su norma es:
‖𝑟
⃗‖ = √𝜌2 + 𝑧2.
Destacamos nuevamente que el vector de posición 𝑟
⃗
no tiene componente o proyección sobre el vector
unitario 𝜙
̂ (esto es 𝜌 ∙ 𝜙 = 0), pero un vector
cualquiera 𝐴
⃗ si podría tenerla (esto es 𝐴
⃗ ∙ 𝜙 ≠ 0).
Proyectando 𝜌
⃗ = 𝜌𝜌
̂ sobre los ejes 𝑶𝑿 y 𝑶𝒀 del
sistema de coordenadas cartesiano asociado se
obtiene la transformación de coordenadas que nos
lleva de las coordenadas cilíndricas a las cartesianas:
𝑥 = 𝜌𝑐𝑜𝑠𝜙
𝑦 = 𝜌𝑠𝑖𝑛𝜙
𝑧 = 𝑧
y usando que 𝑡𝑎𝑛𝜙 =
𝑦
𝑥
y que 𝜌2
= 𝑥2
+ 𝑦2
sigue
que, para el primer cuadrante, la transformación
inversa en el caso del I cuadrante es:
𝜙 = arctan
𝑦
𝑥
𝜌 = √𝑥2 + 𝑦2
𝑧 = 𝑧.
Hay que tener cierto cuidado para otros cuadrantes,
pues por ejemplo en el caso del tercer cuadrante,
donde ambos x e y son negativos, el cociente 𝑦/𝑥 da
el mismo valor que para el primer cuadrante y la
transformación anterior no resulta válida. En este
caso se tiene:
𝜙 = arctan
𝑦
𝑥
+ 𝜋
𝜌 = √𝑥2 + 𝑦2
𝑧 = 𝑧.
Coordenadas esféricas
El sistema de coordenadas esféricas es muy similar
al sistema de coordenadas que permiten ubicar un

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punto geográfico sobre la superficie de la Tierra. Se
define una superficie esférica imaginaria de radio r,
concéntrica al origen de un sistema de coordenadas
cartesiano. La distancia de un punto en la superficie
al origen es la coordenada r. La ubicación del
meridiano que contiene el punto se realiza mediante
un ángulo 𝜙 medido, en el plano de las XY, a lo largo
de la intersección de la superficie esférica con el
meridiano. Finalmente, la ubicación del paralelo que
determina la ubicación del punto se realiza mediante
un ángulo azimutal medido desde el eje z hasta el
punto mismo a lo largo del meridiano que lo
contiene.
Para describir vectores en este sistema de
coordenadas se asigna una triada de vectores
unitarios (𝑟̂, 𝜙
̂, 𝜃
̂) a lo largo de las direcciones en que
crecen 𝑟, 𝜙 𝑦 𝜃. Un vector cualquiera 𝐴
⃗ tiene
proyecciones sobre dichos ejes que se denotan
𝐴𝑟, 𝐴𝜙, 𝐴𝜃 respectivamente.
𝐴𝑟 = 𝐴
⃗ ∙ 𝑟̂
𝐴𝜃 = 𝐴
⃗ ∙ 𝜃
̂
𝐴𝜙 = 𝐴
⃗ ∙ 𝜙
̂
De modo que dicho vector se escribe:
𝐴
⃗ = 𝐴
⃗𝑟𝑟̂ + 𝐴
⃗𝜙𝜙
̂ + 𝐴
⃗𝜃𝜃
̂
y su normal
‖𝐴
⃗‖ = √𝐴
⃗ ∙ 𝐴
⃗ = √𝐴𝑟
2 + 𝐴𝜙
2
+ 𝐴𝜃
2
.
Un punto en dicho sistema de coordenadas queda
determinado por las coordenadas de posición
(𝑟, 𝜙, 𝜃). Si embargo el vector de posición mismo
queda dado simplemente por la expresión: 𝑟
⃗ = 𝑟𝑟̂ ya
que dicho vector no tiene componentes a lo largo de
las direcciones 𝜙
̂ ni 𝜃
̂. La norma del vector posición
es simplemente: ‖𝑟
⃗‖ = √𝑟2 = 𝑟.
En estas coordenadas las variables r,  y  varían
entre
𝑟: 0 ≤ 𝑟 < +∞
𝜙: 0 ≤ 𝜙 ≤ 2𝜋
𝜃: 0 ≤ 𝜃 ≤ 𝜋
La transformación que nos lleva de las coordenadas
esféricas a las cartesianas es:
𝑥 = (𝑟𝑠𝑒𝑛𝜃)𝑐𝑜𝑠𝜙
𝑦 = (𝑟𝑠𝑒𝑛𝜃)𝑠𝑒𝑛𝜙
𝑧 = 𝑟𝑐𝑜𝑠𝜃.

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como sigue del hecho que la proyección del vector
de posición 𝑟
⃗ sobre el plano de las 𝑋𝑌 es 𝑟𝑠𝑒𝑛𝜃 (ver
figura).
Dependiendo del signo de 𝑥 𝑦 𝑦 𝑧, hay ocho sectores
denominados octantes. En el primer octante (𝑥 >
0, 𝑦 > 0, 𝑥 > 0) la transformación inversa es:
𝜙 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 (
𝑦
𝑥
)
𝑟 = √𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2
𝜃 = 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠 (
𝑧
√𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2
)
y al igual que en el caso cilíndrico hay que tener los
correspondientes cuidados de diferencia angular al
calcular 𝜙 en otros octantes.
Elementos infinitesimales de área
A partir de los resultados expuestos es posible
deducir elementos de superficie dS para algunas
situaciones geométricas.
Elemento de superficie sobre un disco plano.
Como se aprecia en la figura
𝑑𝑆 = 𝑙𝑎𝑟𝑔𝑜 𝑥 𝑎𝑛𝑐ℎ𝑜
𝑑𝑆 = (𝑑𝜌)(𝜌𝑑𝜙)
𝑑𝑆 = 𝜌𝑑𝜌𝑑𝜙.
Elemento de superficie sobre el manto de un
cilindro.
𝑑𝑆 = 𝑙𝑎𝑟𝑔𝑜 𝑥 𝑎𝑛𝑐ℎ𝑜
𝑑𝑆 = (𝑑𝑧)(𝜌𝑑𝜙)
𝑑𝑆 = 𝜌𝑑𝜙𝑑𝑧.

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Elemento de superficie sobre la superficie curva
de una esfera.
𝑑𝑆 = (𝑟𝑠𝑒𝑛𝜃𝑑𝜙)(𝑟𝑑𝜃)
𝑑𝑆 = 𝑟2
𝑠𝑒𝑛𝜃𝑑𝜃𝑑𝜙.
Elementos infinitesimales de volumen
A partir de los elementos infinitesimales de
superficie (ver figuras previas) se pueden obtener
elementos infinitesimales de volumen para cada
sistema de coordenadas. Estos son:
𝑑𝑉 = 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 cartesianas
𝑑𝑉 = 𝜌𝑑𝜌𝑑𝜙𝑑𝑧 cilíndricas
𝑑𝑉 = 𝑟2
𝑠𝑒𝑛𝜃𝑑𝜙𝑑𝜃 esféricas

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Ejemplos
01. Cálculo del volumen de un cilindro de radio R y
altura h.
Solución
𝑉 = ∫ 𝑑𝑉 = ∭ 𝜌𝑑𝜌𝑑𝜙𝑑𝑧
𝑉 = ∫ ∫ ∫ 𝜌𝑑𝜌𝑑𝜙𝑑𝑧
𝜌=𝑅
𝜌=0
𝜙=2𝜋
𝜙=0
𝑧=ℎ
𝑧=0
𝑉 = ∫ ∫
𝑅2
2
𝑑𝜙𝑑𝑧
𝜙=2𝜋
𝜙=0
𝑧=ℎ
𝑧=0
𝑉 = ∫
𝑅2
2
2𝜋𝑑𝑧
𝑧=ℎ
𝑧=0
𝑉 = ℎ
𝑅2
2
2𝜋
𝑉 = 𝜋ℎ𝑅2
.
Es decir, es el área de un círculo de radio R por la
altura h.
02. Cálculo del volumen de una esfera de radio R.
Solución
𝑉 = ∫ 𝑑𝑉 = ∭ 𝑟2
𝑠𝑒𝑛𝜃𝑑𝑟𝑑𝜙𝑑𝜃
𝑉 = ∫ ∫ ∫ 𝑟2
𝑠𝑒𝑛𝜃𝑑𝑟𝑑𝜙𝑑𝜃
𝜃=𝜋
𝜃=0
𝜙=2𝜋
𝜙=0
𝑟=𝑅
𝑟=0
𝑉 = ∫ ∫ 2𝑟2
𝑠𝑒𝑛𝜃𝑑𝑟𝑑𝜙
𝜙=2𝜋
𝜙=0
𝑟=𝑅
𝑟=0
𝑉 = ∫ 4𝜋𝑟2
𝑑𝑟
𝑟=𝑅
𝑟=0
𝑉 =
4
3
𝜋𝑅3
que efectivamente es el volumen de una esféra.
Elementos diferenciales de camino
a cada elemento de volumen se le puede asociar un
vector desplazamiento infinitesimal 𝑑𝑟
⃗. Este
elemento de camino es el que interviene el cálculo
del trabajo que realiza una fuerza para mover un
punto material desde un lugar a otro, el cálculo de la
diferencia de potencial entre dos puntos. En esos
cálculos aparecen integrales de camino de la forma
∫ 𝐹
⃗ ∙ 𝑑𝑟
⃗.
En estas integrales figura el elemento vectorial de
camino 𝑑𝑟
⃗ (o vector desplazamiento infinitesimal).
Elemento de camino en coordenadas cartesianas:
De la Fig. es directo apreciar que:

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𝑑𝑟
⃗ = 𝑑𝑥𝑥
̂ + 𝑑𝑦𝑦
̂ + 𝑑𝑧𝑧̂
03. Cálculo de trabajo: Considere la fuerza
𝐹
⃗ = 𝐹0
𝑥2
𝑦
𝐿3
𝑥
̂ + 𝐹0
𝑥𝑦
𝐿2
𝑦
̂
que actúa sobre una partícula que se mueve sobre una
trayectoria parabólica dada por 𝑦 = 𝐾𝑥2
, partiendo
desde el origen 𝐴(0,0) hasta una posición final
𝐵(𝐿, 𝐾𝐿2
) Determine el trabajo que realiza esta
fuerza sobre la partícula.
Solución
Como 𝑦 = 𝐾𝑥2
sigue que 𝑑𝑦 = 2𝐾𝑥𝑑𝑥. Luego
𝑑𝑟
⃗ = 𝑑𝑥𝑥
̂ + 𝑑𝑦𝑦
̂ = 𝑑𝑥𝑥
̂ + 2𝐾𝑥𝑑𝑥𝑦
̂. La fuerza
evaluada sobre la trayectoria es:
𝐹
⃗ = 𝐹0
𝑥2
(𝐾𝑥2
)
𝐿3
𝑥
̂ + 𝐹0
𝑥(𝐾𝑥2
)
𝐿2
𝑦
̂
𝐹
⃗ = 𝐹0𝐾 (
𝑥4
𝐿3
𝑥
̂ +
𝑥3
𝐿2
𝑦
̂)
El trabajo resulta:
𝑊𝐵𝐴 = ∫ 𝐹
⃗ ∙ 𝑑𝑟
⃗
𝑊𝐵𝐴 = ∫ 𝐹0𝐾 (
𝑥4
𝐿3
𝑥
̂ +
𝑥3
𝐿2
𝑦
̂) ∙ (𝑑𝑥𝑥
̂ + 2𝐾𝑥𝑑𝑥𝑦
̂)
𝑊𝐵𝐴 = 𝐹0𝐾 [
1
𝐿3
∫ 𝑥4
𝑑𝑥 +
1
𝐿2
∫ 2𝐾𝑥4
𝑑𝑥
𝐿
0
𝐿
0
]
𝑊𝐵𝐴 =
𝐹0𝐾𝐿2
5
(1 + 2𝐾𝐿)
Nota: También aparecen integrales de camino en el
cálculo de otras cantidades de interés para este curso
tales como la diferencia de potencial eléctrico, y la
fuerza electromotriz o f.e.m. debida a campos de
inducción magnética variables generadas por cables
que llevan corriente.
Elemento de camino en coordenadas cilíndricas:
Es directo apreciar que:

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Elemento de camino en coordenadas esféricas:
De la Fig. es directo apreciar que:
𝑑𝑟
⃗ = 𝑑𝑟𝑟
⃗ + 𝑟𝑠𝑒𝑛𝜃𝑑𝜙ϕ
̂ + 𝑟𝑑𝜃𝜃
̂
04. Encuentre el trabajo realizado por el campo de
fuerzas 𝐹
⃗(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (𝑦 − 𝑥2)𝑖̂ + (𝑧 − 𝑦2)𝑗̂ + (𝑥 −
𝑧2)𝑘
̂, para mover un objeto desde (0,0,0) hasta
(1,1,1) a lo largo de la curva paramétrica C definida
por 𝑟
⃗(𝑡) = 𝑡𝑖̂ + 𝑡2
𝑗 + 𝑡3
𝑘.
Solución
El trabajo de una fuerza 𝐹
⃗ a lo largo de una curva C
está definido como
𝑊 = ∫ 𝐹
⃗ ∙ 𝑑𝑟
⃗
𝐶
para lo cual calculamos
𝐹
⃗(𝑟
⃗(𝑡)) = (𝑡2
− 𝑡2
)𝑖̂ + [𝑡3
− (𝑡2
)2]𝑗
+ [𝑡 − (𝑡3
)2]𝑘
𝐹
⃗(𝑟
⃗(𝑡)) = (𝑡3
− 𝑡4)𝑗 + (𝑡 − 𝑡6)𝑘,
𝑟
⃗′(𝑡) = 𝑖̂ + 2𝑡𝑗̂ + 3𝑡2
𝑘
̂.
Notamos que el punto inicial de la curva corresponde
a 𝑡 = 0 y el punto final a 𝑡 = 1. Luego resulta
𝑊 = ∫ 𝐹
⃗ ∙ 𝑑𝑟
⃗
𝐶
𝑊 = ∫ 𝐹
⃗(𝑟
⃗(𝑡)) ∙ 𝑟′(𝑡)𝑑𝑡 =
1
0
𝑊 = ∫[(𝑡3
− 𝑡2)2𝑡 − (𝑡 − 𝑡2)3𝑡2]𝑑𝑡
1
0
𝑊 = ∫(2𝑡4
− 2𝑡5
+ 3𝑡3
− 3𝑡8)𝑑𝑡
1
0
𝑊 =
29
60
expresado en Joules (1 𝐽 = 1 𝑁𝑚) en el sistema
MKS de unidades.
Resultados importantes de algebra vectorial
En esta sección se requiere ciertos conocimientos del
Algebra Lineal y como repaso recordamos como se
definen estos productos cuando los vectores se
escriben en sistemas de coordenadas cartesianas, y
algunas propiedades (que ud. debe preocuparse de
saber demostrar) que siguen de estas definiciones.
Producto escalar o producto punto: 𝑨
⃗⃗⃗ ∙ 𝑩
⃗⃗⃗
Se mezclan dos vectores para obtener un escalar. Se
define mediante:
𝐴
⃗ ∙ 𝐵
⃗⃗ = 𝐴𝑥𝐵𝑥+𝐴𝑦𝐵𝑦 + 𝐴𝑧𝐵𝑧
Este producto es conmutativo:
𝐴
⃗ ∙ 𝐵
⃗⃗ = 𝐵
⃗⃗ ∙ 𝐴
⃗.

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El módulo del producto punto se relaciona con los
módulos de cada uno de los vectores que intervienen
y el coseno del ángulo  que substienden entre ellos:
|𝐴
⃗ ∙ 𝐵
⃗⃗| = ‖𝐴
⃗‖‖𝐵
⃗⃗‖|𝑐𝑜𝑠𝜃|
Producto vectorial o producto cruz: 𝑨
⃗⃗⃗𝒙𝑩
⃗⃗⃗
Aquí se mezclan dos vectores para obtener un nuevo
vector. Una receta mnemotécnica práctica que da un
resultado equivalente a la definición formal es la que
hace uso del determinante de una matriz de 3x3 en
que las filas son construidas con los vectores
unitarios (𝑥
̂, 𝑦
̂, 𝑧̂), las componentes cartesianas del
vector 𝐴
⃗ y las componentes cartesianas del vector 𝐵
⃗⃗:
𝐴
⃗𝑥𝐵
⃗⃗ = 𝑑𝑒𝑡 |
𝑥
̂ 𝑦
̂ 𝑧̂
𝐴𝑥 𝐴𝑦 𝐴𝑧
𝐵𝑥 𝐵𝑦 𝐵𝑧
|
𝐴
⃗𝑥𝐵
⃗⃗ = (𝐴𝑦𝐵𝑧 − 𝐵𝑦𝐴𝑧)𝑥
̂ + (𝐴𝑥𝐵𝑧 − 𝐵𝑥𝐴𝑧)𝑦
̂ +
+(𝐴𝑥𝐵𝑦−𝐵𝑥𝐴𝑦)𝑧̂
Propiedades
- El producto cruz es anti-conmutativo 𝐴
⃗𝑥𝐵
⃗⃗=-𝐵
⃗⃗𝑥𝐴
⃗
- El módulo de vector 𝐴
⃗𝑥𝐵
⃗⃗ se relaciona con los
módulos de cada uno de los vectores que intervienen
y el seno del ángulo  que substienden entre ellos:
|𝐴
⃗𝑥𝐵
⃗⃗| = ‖𝐴
⃗‖‖𝐵
⃗⃗‖|𝑠𝑒𝑛𝜃|
- Una propiedad que sigue de lo anterior es:
𝐴
⃗𝑥𝐴
⃗ = 0
Lo mismo ocurre para el producto cruz de dos
vectores paralelos.Ejercicios
Demuestre, usando las definiciones y del producto
escalar y producto vectorial, que:
i. 𝐴
⃗ ∙ 𝐵
⃗⃗ = 𝐵
⃗⃗ ∙ 𝐴
⃗
ii. 𝐴
⃗𝑥𝐵
⃗⃗=-𝐵
⃗⃗𝑥𝐴
⃗
iii. 𝐴
⃗𝑥𝐴
⃗ = 0
iv. 𝐴
⃗ ∙ (𝐵
⃗⃗𝑥𝐶
⃗) = (𝐴
⃗𝑥𝐵
⃗⃗) ∙ 𝐶
⃗
v. 𝐴
⃗𝑥(𝐵
⃗⃗𝑥𝐶
⃗) = (𝐴
⃗ ∙ 𝐶
⃗)𝐵
⃗⃗ − (𝐴
⃗ ∙ 𝐵
⃗⃗)𝐶
⃗
Nociones de Campo Escalar y Campo Vectorial
Campo Escalar
Entenderemos por un campo escalar a una aplicación
de ℛ3
→ ℛ. Es decir una aplicación que combina 3
valores reales para dar 1 valor real.
Para los efectos prácticos de este curso un campo
escalar es una función real cuyo valor depende del
punto 𝑟
⃗ = (𝑥, 𝑦, 𝑧) del espacio de coordenadas que
se considere:
𝑓(𝑟
⃗) = 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) coordenadas cartesianas
𝑓(𝑟
⃗) = 𝑓(𝜌, 𝜙, 𝑧) coordenadas cilíndricas o
𝑓(𝑟
⃗) = 𝑓(𝑟, 𝜃, 𝜙) coordenadas esféricas
Ejemplos familiares de campo escalar son la
temperatura sobre la superficie del globo terráqueo
𝑇 = 𝑇(𝑟, 𝜃, 𝜙), de la cual nos informamos
diariamente en los programas sobre el clima en
televisión. En esos mismos programas se habla de
zonas de presión alta y baja. Asociado a ellos están
el campo de presión 𝑝 = 𝑝(𝑟, 𝜃, 𝜙), que también es
un escalar. En estos ejemplos las coordenadas r toma
el valor de radio terrestre y las coordenadas 𝜃 𝑦 𝜙

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son la localización geográfica de un punto sobre la
superficie terrestre.
Otros campos escalares importantes son:
La densidad de número 𝒏 = 𝒏(𝒓
⃗⃗) definida como la
cantidad de partículas dN que hay por unidad de
volumen dV del espacio:
𝑛 = 𝑛(𝑥, 𝑦, 𝑧) = lim
∆𝑉→0
∆𝑁
∆𝑉
=
𝑑𝑁
𝑑𝑉
,
La densidad de masa 𝝆𝒎, definida como la cantidad
de masa que hay por unidad de volumen 𝑑𝑉 del
espacio:
𝜌𝑚 = 𝜌𝑚(𝑥, 𝑦, 𝑧) = lim
∆𝑉→0
∆𝑀
∆𝑉
=
𝑑𝑀
𝑑𝑉
,
un campo escalar importante en este curso es la
densidad de carga eléctrica, definida como la
cantidad de carga dQ que hay por unidad de volumen
dV del espacio:
𝜌𝑞 = 𝜌𝑞(𝑥, 𝑦, 𝑧) = lim
∆𝑉→0
∆𝑄
∆𝑉
=
𝑑𝑄
𝑑𝑉
.
Que estas funciones son campos se aprecia porque
ellas toman distinto valor dependiendo de la posición
𝑟
⃗ del espacio que se considere.
Ejemplos
Campo que varía uniformemente con la dirección
x. Considere un campo escalar f cuya dependencia en
(x, y) sólo se da a través de la variable x. Veamos una
gráfica de dicho campo escalar. En la gráfica las
densidades más bajas se representan en colores más
oscuros y las densidades más altas en colores más
claros:
𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥
Campo escalar que varía tanto con x como con y.
Un campo que varía lo largo de planos inclinados en
45º respecto del eje y:
𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥 + 𝑦

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La densidad del aire que rodea la tierra puede
describirse en coordenadas esféricas
aproximadamente por una expresión de la forma:
𝜌𝑚(𝑟, 𝜃, 𝜙) = 𝜌0𝑒−(𝑟−𝑅𝑇)/𝐿
.
en que 𝑅𝑇 = 6000 [𝑘𝑚] es el radio terrestre, y L es
una distancia característica en que varía la densidad.
Considere que 𝐿 ≈ 10 [km] y evalúe cuanto
disminuye la densidad a una distancia de 1 radio
terrestre sobre la superficie del suelo.
El campo de temperatura en torno a un cable caliente
recto, ubicado a lo largo del eje z y sometido a
temperatura 𝑇0, calienta el espacio en torno de él.
Este calentamiento está dado aproximadamente por
la siguiente expresión evaluada en un cierto instante
de tiempo:
𝑇(𝑟
⃗) = 𝑇0𝑒−𝜌2/𝐿2
= 𝑇0𝑒
−
𝑥2+𝑦2
𝐿2
La longitud L es una función del tiempo que mide la
distancia característica que ha alcanzado a calentar el
cable en torno de él. Un gráfico de la distribución de
temperatura en torno al cable corresponde a la
siguiente figura, para el caso 𝐿 = 1:
La figura siguiente corresponde a una las curvas de
iso-temperatura (misma temperatura) en
coordenadas cilíndricas:
Campos vectoriales
Entenderemos por campo vectorial a una función de
ℛ3
→ ℛ3
. Es decir una aplicación que combina 3
valores reales para dar 3 valor reales. Para los efectos
prácticos de este curso un campo vectorial es una
función vectorial cuyo valor depende del punto 𝑟
⃗ =
(𝑥, 𝑦, 𝑧) del espacio que se considere. Por ejemplo,
en coordeandas cartesianas:
𝑓
⃗(𝑟
⃗) = 𝑓
⃗(𝑥, 𝑦, 𝑧)
= 𝑓
𝑥(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑥
̂ + 𝑓
𝑦(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑦
̂ + 𝑓
𝑧(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑧̂
Note que a partir de la definición anterior queda claro
que un campo vectorial tiene por componentes 3
campos escalares (en este caso los campos
𝑓
𝑥, 𝑓
𝑦 𝑦 𝑓
𝑧).
Similarmente si el campo vectorial está descrito en
coordenadas cilíndricas:

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𝑓
⃗(𝑟
⃗) = 𝑓
⃗(𝜌, 𝜙, 𝑧)
= 𝑓𝜌(𝜌, 𝜙, 𝑧)𝜌
̂ + 𝑓𝜙(𝜌, 𝜙, 𝑧)𝜙
̂ + 𝑓
𝑧(𝜌, 𝜙, 𝑧)𝑧̂
y similarmente si está descrito en coordenadas
esféricas:
𝑓
⃗(𝑟
⃗) = 𝑓
⃗(𝑟, 𝜙, 𝜃)
= 𝑓
𝑟(𝑟, 𝜙, 𝜃)𝑟̂ + 𝑓𝜙(𝑟, 𝜙, 𝜃)𝜙
̂ + 𝑓𝜃(𝑟, 𝜙, 𝜃)𝜃
̂
Ejemplos
Un ejemplo familiar de campo vectorial es el campo
de velocidades de un fluido. La figura de a
continuación muestra el caso del llamado flujo de
Poiseuille, o flujo en un canal de sección uniforme:
Este flujo está descrito por la expresión
𝑓
⃗ = 4
𝑣0
𝐿2
𝑦(𝑦 − 𝐿)𝑥
̂
en que 𝑣0 es la rapidez del fluido al centro del canal
y L la separación entre las paredes del canal. En este
caso las paredes del canal corresponden a los bordes
superior e inferior del dibujo.
Otras situaciones posibles y que exhiben el tipo de
campos que serán de interés son:
Un sumidero:
𝑓
⃗(𝑟
⃗) = −𝑟
⃗ = −𝜌𝜌
̂ = −𝑥𝑥
̂ − 𝑦𝑦
̂
Una fuente:
𝑓
⃗(𝑟
⃗) = 𝑟
⃗ = 𝜌𝜌
̂ = 𝑥𝑥
̂ + 𝑦𝑦
̂

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Un vórtice:
𝑓
⃗ = 𝑧
⃗𝑥𝑟
⃗ = −𝑦𝑥
̂ + 𝑥𝑦
̂
Elementos de masa y carga
Elemento de masa dM. A partir de la densidad de
masa y los elementos de volumen en los diferentes
sistemas de coordenadas se obtiene:
𝑑𝑀 = 𝜌𝑚𝑑𝑉
𝑑𝑀 = 𝜌𝑚𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 (cartesianas)
𝑑𝑀 = 𝜌𝑚𝜌𝑑𝜌𝑑𝜙𝑑𝑧 (cilíndricas)
𝑑𝑀 = 𝜌𝑚𝑟2
𝑠𝑒𝑛𝜃𝑑𝑟𝑑𝜃𝑑𝜙 (esférica)
Elemento de carga dQ. A partir de la densidad de
carga y los elementos de volumen en los diferentes
sistemas de coordenadas se obtiene:
𝑑𝑄 = 𝜌𝑞𝑑𝑉
𝑑𝑄 = 𝜌𝑞𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 (cartesianas)
𝑑𝑄 = 𝜌𝑞𝜌𝑑𝜌𝑑𝜙𝑑𝑧 (cilíndricas)
𝑑𝑄 = 𝜌𝑞𝑟2
𝑠𝑒𝑛𝜃𝑑𝑟𝑑𝜃𝑑𝜙 (esférica)
Derivadas parciales de campos escalares
Conviene enfatizar aquí la notación que se usará en
cuanto a derivación parcial.
Cartesianas: Entendemos por derivada parcial, en el
punto (𝑥, 𝑦, 𝑧), respecto a la variable x de una
función escalar 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) a:
𝜕𝑓
𝜕𝑥
= lim
∆𝑥→0
𝑓(𝑥 + ∆𝑥, 𝑦, 𝑧) − 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧)
∆𝑥
.
Del mismo modo la derivación parcial respecto de la
variable
y sería:
𝜕𝑓
𝜕𝑦
= lim
∆𝑦→0
𝑓(𝑥, 𝑦 + ∆𝑦, 𝑧) − 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧)
∆𝑦
.
Sigue en forma natural una relación similar para la
derivación respecto de la variable z.
𝜕𝑓
𝜕𝑧
= lim
∆𝑧→0
𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧 + ∆𝑧) − 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧)
∆𝑧
.
Cilíndricas: La derivación respecto de la variable 
(coordenadas cilíndricas) de una función
escalar 𝑓(𝜌, 𝜙, 𝑧) está definida como:
𝜕𝑓
𝜕𝜌
= lim
∆𝜌→0
𝑓(𝜌 + ∆𝜌, 𝜙, 𝑧) − 𝑓(𝜌, 𝜙, 𝑧)
∆𝜌
.

Página 15 de 16
Del mismo modo la derivación parcial respecto de la
variable  sería:
𝜕𝑓
𝜕𝜙
= lim
∆𝜙→0
𝑓(𝜌, 𝜙 + ∆𝜙, 𝑧) − 𝑓(𝜌, 𝜙, 𝑧)
∆𝜙
.
La derivación respecto de la variable z no cambia
respecto de la definición en cartesianas.
𝜕𝑓
𝜕𝑧
= lim
∆𝑧→0
𝑓(𝜌, 𝜙, 𝑧 + ∆𝜙) − 𝑓(𝜌, 𝜙, 𝑧)
∆𝑧
.
Esféricas: La derivación respecto de la variable r
(coordenadas esféricas) de una función escalar
𝑓(𝑟, 𝜃, 𝜙) está definida como:
𝜕𝑓
𝜕𝑟
= lim
∆𝑟→0
𝑓(𝑟 + ∆𝑟, 𝜃, 𝜙) − 𝑓(𝑟, 𝜃, 𝜙)
∆𝑟
.
Del mismo modo la derivación parcial respecto de
la variable 𝜃 sería:
𝜕𝑓
𝜕𝜃
= lim
∆𝜃→0
𝑓(𝑟, 𝜙, ∆𝜃 + 𝜃) − 𝑓(𝑟, 𝜃, 𝜙)
𝜃∆
.
La derivación respecto de la variable  toma la
misma forma que en cilíndricas:
𝜕𝑓
𝜕𝜙
= lim
∆𝜙→0
𝑓(𝑟, 𝜃, 𝜙 + Δ𝜙) − 𝑓(𝑟, 𝜃, 𝜙)
𝜙∆
.
Ejercicios y ejemplos
Cálculo de la derivada de 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥𝑦2
respecto
de la coordenada x:
𝜕𝑓
𝜕𝑥
=
𝜕
𝜕𝑥
(𝑥𝑦2)
𝜕𝑓
𝜕𝑥
= (
𝜕𝑥
𝜕𝑥
) 𝑦2
+ 𝑥 (
𝜕
𝜕𝑥
𝑦2)
𝜕𝑓
𝜕𝑥
= 1𝑦2
+ 𝑥0
𝜕𝑓
𝜕𝑥
= 𝑦2
Cálculo de la derivada de
𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = √𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 respecto de z:
𝜕𝑓
𝜕𝑧
=
1
2√𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2
𝜕
𝜕𝑥
(𝑥2
+ 𝑦2
+ 𝑧2)
𝜕𝑓
𝜕𝑧
=
1
2√𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2
𝜕
𝜕𝑥
(2𝑧)
𝜕𝑓
𝜕𝑧
=
𝑧
√𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2
Calcule las derivadas:
𝜕𝑥
𝜕𝑥
= ?
𝜕𝑥
𝜕𝑦
= ?
𝜕𝜌
𝜕𝜃
= 𝑐𝑖𝑙í𝑛𝑑𝑟𝑖𝑐𝑎
𝜕𝜙
𝜕𝑧
= 𝑐𝑖𝑙í𝑛𝑑𝑟𝑖𝑐𝑎
𝜕𝜙
𝜕𝜃
= 𝑒𝑠𝑓é𝑟𝑖𝑐𝑎
𝜕𝑟
𝜕𝜃
= 𝑒𝑠𝑓é𝑟𝑖𝑐𝑎

Página 16 de 16
En el caso que se mezcla coordenadas hay que tener
cierto cuidado. Por ejemplo, vea lo que pasa cuando
se desea calcular
𝑑𝑟
𝑑𝑥
. Aquí usamos que
𝑟
⃗ = ‖𝑟
⃗‖ = √𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 y se hace:
𝜕𝑟
𝜕𝑥
=
𝜕
𝜕𝑥
√𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2
𝜕𝑟
𝜕𝑥
=
𝑥
√𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2
𝜕𝑟
𝜕𝑥
=
𝑥
𝑟
.
Calcule las derivadas (usando que 𝑟
⃗ = ‖𝑟
⃗‖ =
√𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2) de:
𝜕𝑟
𝜕𝑦
= ?
𝜕𝑟
𝜕𝑧
= ?
𝜕
𝜕𝑦
1
𝑟
= ?
𝜕
𝜕𝑧
𝑟2
= ?
𝜕
𝜕𝑥
𝑙𝑛𝑟 = ?
Derivadas parciales de campos vectoriales
La derivada parcial respecto de una variable x de
una función vectorial
𝑓
⃗ = 𝑓𝑥(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑥
̂ + 𝑓𝑦(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑦
̂ + 𝑓𝑧(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑧̂
es:
𝜕
𝜕𝑥
𝑓
⃗ =
𝜕
𝜕𝑥
(𝑓𝑥𝑥
̂ + 𝑓𝑦𝑦
̂ + 𝑓𝑧𝑧̂)
𝜕
𝜕𝑥
𝑓
⃗ =
𝜕
𝜕𝑥
(𝑓𝑥𝑥
̂) +
𝜕
𝜕𝑥
(𝑓𝑦𝑦
̂) +
𝜕
𝜕𝑥
(𝑓𝑧𝑧̂)
𝜕
𝜕𝑥
𝑓
⃗ =
𝜕𝑓𝑥
𝜕𝑥
𝑥
̂ +
𝜕𝑓𝑦
𝜕𝑥
𝑦
̂ +
𝜕𝑓𝑧
𝜕𝑥
𝑧̂
Idem si se deriva 𝑓
⃗ respecto de y:
𝜕
𝜕𝑦
𝑓
⃗ =
𝜕𝑓𝑥
𝜕𝑦
𝑥
̂ +
𝜕𝑓𝑦
𝜕𝑦
𝑦
̂ +
𝜕𝑓𝑧
𝜕𝑦
𝑧̂
Notar que al hacer estas derivadas los vectores
unitarios se consideraron como constantes.
Hay que tener un cierto cuidado cuando se hace
derivadas de este tipo para otros sistemas de
coordenadas, por ejemplo, al derivar el vector
𝑟
⃗ respecto de la variable 𝜙 en coordenadas
cilíndricas:
𝜕𝑟
⃗
𝜕𝜙
=
𝜕
𝜕𝜙
(𝜌𝜌
̂ + 𝑧𝑧̂)
𝜕𝑟
⃗
𝜕𝜙
=
𝜕
𝜕𝜙
(𝜌𝜌
̂) +
𝜕
𝜕𝜙
(𝑧𝑧̂)
𝜕𝑟
⃗
𝜕𝜙
= (
𝜕
𝜕𝜙
𝜌
̂ + 𝜌
𝜕
𝜕𝜙
) +
𝜕
𝜕𝜙
(𝑧𝑧̂)
𝜕𝑟
⃗
𝜕𝜙
= (0𝜌
̂ + 𝜌
𝜕𝜌
̂
𝜕𝜙
) + 0𝑧̂
Bibliográficas
• Dino E. Risso, Departamento de Física, Facultad
de Ciencias, Universidad del Bío-Bío.
• Colley, S. J. (2013). Cálculo vectorial. México:
PEARSON EDUCACIÓN.
• Stewart, James, Lothar Redlin y Saleem Watson
Precálculo. Matemáticas para el cálculo -
Quinta edición
• Larson, R., & Edwards, B. (2017). Matemáticas
3. Cálculo de varias variables. México:
CENGAGE Learning.
https://calculo21.com/campos-vectoriales/
http://migueltarazonagiraldo.com/

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