Este documento introduce las funciones de varias variables y los sistemas de coordenadas. Explica qué son las coordenadas y para qué sirven, y describe los sistemas de coordenadas cartesianas, cilíndricas, esféricas. También cubre conceptos como curvas de nivel, simetría, transformaciones entre sistemas de coordenadas, y geometría en el espacio, incluyendo superficies como la esfera, el cilindro, el paraboloide, el elipsoide e hiperboloide.
Este documento presenta información sobre sistemas de coordenadas. Explica qué son las coordenadas y cómo se usan para describir la posición de puntos en un espacio. Luego describe sistemas de coordenadas específicos como las coordenadas cartesianas, cilíndricas y esféricas. También cubre temas como la transformación entre sistemas de coordenadas y conceptos de simetría.
Este documento presenta información sobre funciones de varias variables y sistemas de coordenadas. Explica coordenadas cartesianas, cilíndricas y esféricas. También describe conceptos geométricos como superficies esféricas, cilíndricas, paraboloides, elipsoides e hiperboloides. Concluye que las funciones de varias variables se representan mediante puntos n-dimensionales relacionados con valores reales de la función.
Este documento trata sobre funciones de varias variables y sistemas de coordenadas. Explica conceptos como dominio, rango y gráficas de funciones de varias variables. También describe diferentes sistemas de coordenadas como cartesianas, polares, cilíndricas y esféricas. Incluye ejemplos de funciones de varias variables y transformaciones de coordenadas.
Este documento presenta conceptos fundamentales sobre vectores en el espacio, incluyendo sistemas de coordenadas cartesianas, cilíndricas y esféricas. Explica cómo expresar puntos, rectas y superficies como esferas, cilindros y paraboloides utilizando diferentes sistemas de coordenadas. También cubre temas como funciones de varias variables y su dominio.
El documento describe diferentes sistemas de coordenadas como las coordenadas cartesianas, cilíndricas, esféricas y su importancia para representar puntos en el espacio. Explica cómo transformar entre los sistemas de coordenadas usando matrices de direcciones cosenos. También introduce conceptos básicos sobre funciones de varias variables y sus representaciones gráficas en un espacio tridimensional.
Este documento describe los sistemas de coordenadas, incluyendo las coordenadas cartesianas y los sistemas de coordenadas unidimensionales, bidimensionales y tridimensionales. Explica conceptos como la pendiente de una recta, puntos medios, división de segmentos, rectas paralelas y perpendiculares. También cubre superficies como la cilíndrica y concluye destacando la importancia de los sistemas de coordenadas en aplicaciones como la geografía y la topografía.
El documento describe los diferentes sistemas de coordenadas utilizados en matemáticas, incluyendo coordenadas cartesianas, polares, cilíndricas y esféricas. Explica cómo cada sistema utiliza números para definir de manera única la posición de un punto en el espacio y las fórmulas para convertir entre sistemas.
Este documento presenta información sobre sistemas de coordenadas. Explica qué son las coordenadas y cómo se usan para describir la posición de puntos en un espacio. Luego describe sistemas de coordenadas específicos como las coordenadas cartesianas, cilíndricas y esféricas. También cubre temas como la transformación entre sistemas de coordenadas y conceptos de simetría.
Este documento presenta información sobre funciones de varias variables y sistemas de coordenadas. Explica coordenadas cartesianas, cilíndricas y esféricas. También describe conceptos geométricos como superficies esféricas, cilíndricas, paraboloides, elipsoides e hiperboloides. Concluye que las funciones de varias variables se representan mediante puntos n-dimensionales relacionados con valores reales de la función.
Este documento trata sobre funciones de varias variables y sistemas de coordenadas. Explica conceptos como dominio, rango y gráficas de funciones de varias variables. También describe diferentes sistemas de coordenadas como cartesianas, polares, cilíndricas y esféricas. Incluye ejemplos de funciones de varias variables y transformaciones de coordenadas.
Este documento presenta conceptos fundamentales sobre vectores en el espacio, incluyendo sistemas de coordenadas cartesianas, cilíndricas y esféricas. Explica cómo expresar puntos, rectas y superficies como esferas, cilindros y paraboloides utilizando diferentes sistemas de coordenadas. También cubre temas como funciones de varias variables y su dominio.
El documento describe diferentes sistemas de coordenadas como las coordenadas cartesianas, cilíndricas, esféricas y su importancia para representar puntos en el espacio. Explica cómo transformar entre los sistemas de coordenadas usando matrices de direcciones cosenos. También introduce conceptos básicos sobre funciones de varias variables y sus representaciones gráficas en un espacio tridimensional.
Este documento describe los sistemas de coordenadas, incluyendo las coordenadas cartesianas y los sistemas de coordenadas unidimensionales, bidimensionales y tridimensionales. Explica conceptos como la pendiente de una recta, puntos medios, división de segmentos, rectas paralelas y perpendiculares. También cubre superficies como la cilíndrica y concluye destacando la importancia de los sistemas de coordenadas en aplicaciones como la geografía y la topografía.
El documento describe los diferentes sistemas de coordenadas utilizados en matemáticas, incluyendo coordenadas cartesianas, polares, cilíndricas y esféricas. Explica cómo cada sistema utiliza números para definir de manera única la posición de un punto en el espacio y las fórmulas para convertir entre sistemas.
Este documento explica los diferentes sistemas de coordenadas como cartesianas, cilíndricas y esféricas. También describe las funciones de varias variables y cómo se definen el dominio y rango. Finalmente, introduce la transformación entre sistemas de coordenadas y conceptos como la simetría.
Este documento describe diferentes sistemas de coordenadas y funciones de varias variables. Explica las coordenadas cartesianas, cilíndricas, esféricas y cómo transformar entre ellas. También define conceptos como límites, dominio y continuidad de funciones de varias variables, así como curvas de nivel y mapas de contorno. Finalmente, describe superficies geométricas tridimensionales como esferas, cilindros, paraboloides, elipsoides e hiperboloides.
Este documento describe los diferentes sistemas de coordenadas que pueden usarse para definir la localización y direcciones en un modelo estructural. Explica que cada parte del modelo tiene su propio sistema de coordenadas local definido con respecto a un sistema de coordenadas global. También describe cómo se pueden definir sistemas de coordenadas alternativos y el uso de coordenadas rectangulares y polares.
Funciones de varias variables, sistemas de coordenadas Cartesianas, Cilíndricas, Esféricas, sus transformaciones entre los diferentes sistemas de coordenadas, su simetría, dominio de funciones de varias variables, geometría en el espacio, superficie cilíndricas, paraboloide, elipsoide, hiperboloide.
1) El documento introduce los sistemas de coordenadas cartesianas, cilíndricas y esféricas. 2) Describe cómo cada sistema asigna números a puntos en el plano o espacio para especificar su posición. 3) Incluye ejemplos de cómo calcular coordenadas y aplicar los sistemas a problemas geométricos.
Este documento presenta una introducción a los sistemas de coordenadas cartesianas, cilíndricas y esféricas. Explica que un sistema de coordenadas asigna números únicos a cada punto en el espacio para describir su posición. Luego describe cada sistema, incluyendo sus ejes, ángulos y rangos de valores. Finalmente, introduce conceptos como líneas y superficies de coordenadas y cómo cada sistema cumple con ser ortogonal.
El documento describe el uso de coordenadas cartesianas para representar puntos en un plano, incluyendo los ejes x e y, cuadrantes, y cómo se representan las coordenadas de un punto. También cubre tablas de datos, gráficas, y funciones.
Este documento describe diferentes sistemas de coordenadas. Explica que un sistema de coordenadas es un conjunto de valores que definen la posición de puntos en un espacio. Luego describe sistemas de coordenadas cartesianas, polares, cilíndricas, esféricas y geográficas. También cubre cambios de coordenadas y la definición del origen de coordenadas.
Este documento describe los diferentes sistemas de coordenadas, incluyendo coordenadas cartesianas, cilíndricas y esféricas. Explica cómo cada sistema define la posición de un punto en el espacio de diferentes maneras y cómo se pueden transformar entre sistemas. También cubre conceptos como simetría y funciones de varias variables.
El documento describe el plano cartesiano y sus componentes principales como los ejes x e y, el origen y los cuadrantes. Explica cómo usar coordenadas para ubicar puntos en el plano y representar funciones, distancias, circunferencias, parábolas, elipses e hipérbolas. Finalmente, resume brevemente el estudio de las cónicas desde la perspectiva de la geometría analítica.
El documento describe el plano cartesiano y sus componentes principales como los ejes x e y, el origen y los cuadrantes. Explica cómo se usan las coordenadas (x, y) para ubicar puntos en el plano y representar figuras geométricas como circunferencias, parábolas, elipses e hipérbolas. También resume brevemente cómo se derivan las ecuaciones que representan estas figuras en el plano cartesiano.
Este documento describe diferentes sistemas de coordenadas, incluyendo coordenadas rectangulares, polares, cilíndricas y esféricas. Explica cómo cada sistema asigna números únicos a puntos en un espacio para especificar su posición, y cómo convertir entre sistemas usando fórmulas matemáticas. También cubre ecuaciones polares y de más dimensiones.
Diapositivas funciones de varias variablesKenny Fereira
Este documento describe diferentes sistemas de coordenadas para representar puntos en un plano o espacio, incluyendo coordenadas cartesianas, polares, cilíndricas y esféricas. Explica cómo transformar entre sistemas de coordenadas y define conceptos como simetría. Incluye ejemplos para ilustrar cada sistema de coordenadas.
Este documento presenta los conceptos fundamentales del sistema de coordenadas polares y su aplicación en la resolución de problemas de ingeniería. Define el sistema de coordenadas polares, explica cómo convertir entre coordenadas polares y rectangulares, y cómo graficar ecuaciones y calcular el área de una región en coordenadas polares. También incluye ejemplos de gráficas comunes como rosas de cuatro, tres y ocho pétalos.
Este documento presenta conceptos sobre el sistema de coordenadas polares, incluyendo cómo definir la posición de un punto usando coordenadas polares de ángulo y distancia, cómo graficar ecuaciones en este sistema, y cómo calcular el área de una región plana usando integración en coordenadas polares. También muestra ejemplos de gráficas comunes como rosas de varios pétalos y cardioides.
El documento describe un sistema de coordenadas tridimensional compuesto por tres planos perpendiculares que se interceptan en los ejes x, y y z. Explica que la distancia en el eje x se llama abscisa, en y ordenada, y en z cota. Además, presenta un ejemplo de cómo calcular las coordenadas de un punto en un cubo y la longitud de sus diagonales aplicando el Teorema de Pitágoras.
Presentacion funciones de varias variables Andreina PerezAndrePrez4
El documento describe diferentes sistemas de coordenadas como cartesianas, cilíndricas y esféricas. Explica cómo se definen cada uno y las fórmulas para transformar entre ellos. También habla sobre funciones de varias variables y dominios de funciones.
Este documento trata sobre lugares geométricos y diferentes figuras geométricas como rectas, circunferencias, parábolas e hipérbolas. Explica conceptos como ecuaciones de rectas, paralelismo, perpendicularidad, tangentes a curvas y propiedades de las secciones cónicas. Incluye ejemplos para ilustrar estas nociones geométricas fundamentales.
Este documento presenta un resumen de las funciones de varias variables. Introduce los sistemas de coordenadas cartesianas, cilíndricas y esféricas. Explica cómo localizar puntos en un plano cartesiano y define conceptos como cuadrantes, dominio y rango. También cubre temas como simetría y funciones, incluyendo funciones de varias variables y cómo determinar su dominio.
Este documento describe los sistemas de coordenadas en el espacio, incluyendo coordenadas cartesianas, cilíndricas y esféricas. Explica las transformaciones entre estos sistemas y conceptos como simetría y funciones de varias variables. También cubre la geometría en el espacio, con figuras como la esfera, el cilindro, el paraboloide, el elipsoide y la hiperboloide.
Este documento explica los diferentes sistemas de coordenadas como cartesianas, cilíndricas y esféricas. También describe las funciones de varias variables y cómo se definen el dominio y rango. Finalmente, introduce la transformación entre sistemas de coordenadas y conceptos como la simetría.
Este documento describe diferentes sistemas de coordenadas y funciones de varias variables. Explica las coordenadas cartesianas, cilíndricas, esféricas y cómo transformar entre ellas. También define conceptos como límites, dominio y continuidad de funciones de varias variables, así como curvas de nivel y mapas de contorno. Finalmente, describe superficies geométricas tridimensionales como esferas, cilindros, paraboloides, elipsoides e hiperboloides.
Este documento describe los diferentes sistemas de coordenadas que pueden usarse para definir la localización y direcciones en un modelo estructural. Explica que cada parte del modelo tiene su propio sistema de coordenadas local definido con respecto a un sistema de coordenadas global. También describe cómo se pueden definir sistemas de coordenadas alternativos y el uso de coordenadas rectangulares y polares.
Funciones de varias variables, sistemas de coordenadas Cartesianas, Cilíndricas, Esféricas, sus transformaciones entre los diferentes sistemas de coordenadas, su simetría, dominio de funciones de varias variables, geometría en el espacio, superficie cilíndricas, paraboloide, elipsoide, hiperboloide.
1) El documento introduce los sistemas de coordenadas cartesianas, cilíndricas y esféricas. 2) Describe cómo cada sistema asigna números a puntos en el plano o espacio para especificar su posición. 3) Incluye ejemplos de cómo calcular coordenadas y aplicar los sistemas a problemas geométricos.
Este documento presenta una introducción a los sistemas de coordenadas cartesianas, cilíndricas y esféricas. Explica que un sistema de coordenadas asigna números únicos a cada punto en el espacio para describir su posición. Luego describe cada sistema, incluyendo sus ejes, ángulos y rangos de valores. Finalmente, introduce conceptos como líneas y superficies de coordenadas y cómo cada sistema cumple con ser ortogonal.
El documento describe el uso de coordenadas cartesianas para representar puntos en un plano, incluyendo los ejes x e y, cuadrantes, y cómo se representan las coordenadas de un punto. También cubre tablas de datos, gráficas, y funciones.
Este documento describe diferentes sistemas de coordenadas. Explica que un sistema de coordenadas es un conjunto de valores que definen la posición de puntos en un espacio. Luego describe sistemas de coordenadas cartesianas, polares, cilíndricas, esféricas y geográficas. También cubre cambios de coordenadas y la definición del origen de coordenadas.
Este documento describe los diferentes sistemas de coordenadas, incluyendo coordenadas cartesianas, cilíndricas y esféricas. Explica cómo cada sistema define la posición de un punto en el espacio de diferentes maneras y cómo se pueden transformar entre sistemas. También cubre conceptos como simetría y funciones de varias variables.
El documento describe el plano cartesiano y sus componentes principales como los ejes x e y, el origen y los cuadrantes. Explica cómo usar coordenadas para ubicar puntos en el plano y representar funciones, distancias, circunferencias, parábolas, elipses e hipérbolas. Finalmente, resume brevemente el estudio de las cónicas desde la perspectiva de la geometría analítica.
El documento describe el plano cartesiano y sus componentes principales como los ejes x e y, el origen y los cuadrantes. Explica cómo se usan las coordenadas (x, y) para ubicar puntos en el plano y representar figuras geométricas como circunferencias, parábolas, elipses e hipérbolas. También resume brevemente cómo se derivan las ecuaciones que representan estas figuras en el plano cartesiano.
Este documento describe diferentes sistemas de coordenadas, incluyendo coordenadas rectangulares, polares, cilíndricas y esféricas. Explica cómo cada sistema asigna números únicos a puntos en un espacio para especificar su posición, y cómo convertir entre sistemas usando fórmulas matemáticas. También cubre ecuaciones polares y de más dimensiones.
Diapositivas funciones de varias variablesKenny Fereira
Este documento describe diferentes sistemas de coordenadas para representar puntos en un plano o espacio, incluyendo coordenadas cartesianas, polares, cilíndricas y esféricas. Explica cómo transformar entre sistemas de coordenadas y define conceptos como simetría. Incluye ejemplos para ilustrar cada sistema de coordenadas.
Este documento presenta los conceptos fundamentales del sistema de coordenadas polares y su aplicación en la resolución de problemas de ingeniería. Define el sistema de coordenadas polares, explica cómo convertir entre coordenadas polares y rectangulares, y cómo graficar ecuaciones y calcular el área de una región en coordenadas polares. También incluye ejemplos de gráficas comunes como rosas de cuatro, tres y ocho pétalos.
Este documento presenta conceptos sobre el sistema de coordenadas polares, incluyendo cómo definir la posición de un punto usando coordenadas polares de ángulo y distancia, cómo graficar ecuaciones en este sistema, y cómo calcular el área de una región plana usando integración en coordenadas polares. También muestra ejemplos de gráficas comunes como rosas de varios pétalos y cardioides.
El documento describe un sistema de coordenadas tridimensional compuesto por tres planos perpendiculares que se interceptan en los ejes x, y y z. Explica que la distancia en el eje x se llama abscisa, en y ordenada, y en z cota. Además, presenta un ejemplo de cómo calcular las coordenadas de un punto en un cubo y la longitud de sus diagonales aplicando el Teorema de Pitágoras.
Presentacion funciones de varias variables Andreina PerezAndrePrez4
El documento describe diferentes sistemas de coordenadas como cartesianas, cilíndricas y esféricas. Explica cómo se definen cada uno y las fórmulas para transformar entre ellos. También habla sobre funciones de varias variables y dominios de funciones.
Este documento trata sobre lugares geométricos y diferentes figuras geométricas como rectas, circunferencias, parábolas e hipérbolas. Explica conceptos como ecuaciones de rectas, paralelismo, perpendicularidad, tangentes a curvas y propiedades de las secciones cónicas. Incluye ejemplos para ilustrar estas nociones geométricas fundamentales.
Este documento presenta un resumen de las funciones de varias variables. Introduce los sistemas de coordenadas cartesianas, cilíndricas y esféricas. Explica cómo localizar puntos en un plano cartesiano y define conceptos como cuadrantes, dominio y rango. También cubre temas como simetría y funciones, incluyendo funciones de varias variables y cómo determinar su dominio.
Este documento describe los sistemas de coordenadas en el espacio, incluyendo coordenadas cartesianas, cilíndricas y esféricas. Explica las transformaciones entre estos sistemas y conceptos como simetría y funciones de varias variables. También cubre la geometría en el espacio, con figuras como la esfera, el cilindro, el paraboloide, el elipsoide y la hiperboloide.
Este documento explica conceptos relacionados con los sistemas de coordenadas, incluyendo coordenadas cartesianas, cilíndricas y esféricas. También cubre funciones de varias variables, dominio y rango, y define superficies geométricas como la esférica y la cilíndrica. El documento proporciona ejemplos y ejercicios para ilustrar los conceptos.
El documento describe tres sistemas de coordenadas: coordenadas cartesianas, coordenadas cilíndricas y coordenadas esféricas. También discute brevemente las funciones de varias variables, incluidas sus características como dominio y rango.
Este documento presenta una introducción a los vectores en el espacio y diferentes sistemas de coordenadas tridimensionales, incluyendo coordenadas cartesianas, cilíndricas y esféricas. Explica cómo representar puntos en el espacio utilizando cada sistema y cómo convertir entre sistemas. También describe ecuaciones para líneas, superficies como esferas, cilindros y paraboloides, y funciones de varias variables.
Este documento describe las funciones de varias variables y los diferentes sistemas de coordenadas. Explica los sistemas de coordenadas cartesianas, polares, cilíndricas y esféricas, así como las transformaciones entre ellos. También cubre conceptos como la simetría y el dominio de las funciones de varias variables.
El documento describe diferentes sistemas de coordenadas para representar la posición y orientación de cuerpos en el espacio, incluyendo coordenadas cartesianas, polares, cilíndricas y esféricas para la posición, y matrices de rotación, ángulos de Euler y cuaterniones para la orientación. También introduce las matrices de transformación homogénea para representar transformaciones entre sistemas de coordenadas.
Este documento explica los sistemas de coordenadas cartesianas, cilíndricas y esféricas, así como las transformaciones entre ellos. También cubre la simetría y las funciones de varias variables, incluido su dominio. Finalmente, concluye que las funciones de varias variables son importantes para la arquitectura e ingeniería.
Este documento describe diferentes sistemas de coordenadas utilizados en geometría y física. Explica las coordenadas cartesianas, polares, cilíndricas, esféricas y geográficas, así como los cambios de coordenadas y el origen de coordenadas. También menciona las coordenadas curvilíneas generales y ortogonales.
Este documento describe funciones de varias variables y sistemas de coordenadas. Explica que las funciones de varias variables tienen más de una variable independiente que controlan el valor de la variable dependiente. También describe diferentes sistemas de coordenadas como cartesianas, polares, cilíndricas y esféricas, y cómo transformar entre ellos. Incluye ejemplos de funciones de varias variables y cómo calcular su dominio.
1) Existen varios métodos para representar la posición y orientación de un cuerpo rígido en el espacio, incluyendo coordenadas cartesianas, polares, cilíndricas y esféricas. 2) Las matrices de rotación son útiles para representar la orientación mediante la transformación de coordenadas de un sistema a otro. 3) Los cuaterniones también pueden usarse para representar rotaciones tridimensionales de una manera más compacta que las matrices.
El documento describe diferentes sistemas de coordenadas y figuras geométricas tridimensionales. Explica los sistemas de coordenadas cartesianas, polares y esféricas, y define figuras como la esfera, el cilindro, el paraboloide, el elipsoide y el hiperboloide. Concluye que estos conceptos son importantes en matemáticas y otras áreas y permiten representar relaciones y estructuras a través de planos bidimensionales y tridimensionales.
Este documento habla sobre funciones de varias variables, sistemas de coordenadas como coordenadas cartesianas, cilíndricas y esféricas, y geometría en el espacio. Explica que una función de varias variables relaciona conjuntos donde cada elemento del primer conjunto corresponde a un único elemento del segundo. También describe cómo transformar entre sistemas de coordenadas y define superficies geométricas como esféricas, cilíndricas, paraboloides, elipsoides e hiperboloides.
Este documento describe tres sistemas de coordenadas: coordenadas cartesianas, cilíndricas y esféricas. Explica que cada sistema utiliza números para identificar puntos en el espacio y describe las coordenadas, líneas y superficies de cada sistema. También resume las transformaciones entre los sistemas de coordenadas y describe el sistema de coordenadas polares, incluida su simetría.
Este documento presenta una introducción al análisis vectorial. Explica conceptos clave como campos vectoriales, operaciones vectoriales (gradiente, rotacional, divergencia, laplaciano), suma y multiplicación de vectores, sistemas de coordenadas cartesianas, vectores unitarios y campos vectoriales. También incluye ejemplos para ilustrar cómo calcular la suma y diferencia de vectores, obtener un vector unitario y la ecuación de un plano definido por tres puntos.
Este documento describe tres sistemas de coordenadas: cartesianas, cilíndricas y esféricas. Explica que las coordenadas cartesianas usan tres ejes ortogonales que se intersectan en un punto de origen, mientras que las coordenadas cilíndricas y esféricas usan coordenadas radiales, azimutales y de altura/colatitud para describir puntos en el espacio tridimensional. También discute las transformaciones entre diferentes sistemas de coordenadas.
Este documento describe los diferentes sistemas de coordenadas, incluyendo coordenadas polares, cilíndricas y esféricas. Explica cómo definir la posición de un punto en cada sistema y cómo convertir entre sistemas. También cubre cómo graficar ecuaciones y calcular áreas en coordenadas polares.
Este documento presenta conceptos fundamentales de sistemas de coordenadas y ecuaciones de figuras geométricas en el espacio. Introduce los sistemas de coordenadas cartesianas, cilíndricas y esféricas. Luego describe las ecuaciones generales de rectas, paraboloides, elipsoides e hiperboloides, y analiza algunos ejemplos. Finalmente, explica conceptos como dominio, rango, tangencia y sección de estas figuras.
El documento trata sobre ecuaciones paramétricas. Explica que las ecuaciones paramétricas permiten representar curvas y superficies mediante valores que varían en un intervalo, usando un parámetro. Proporciona ejemplos de sistemas de ecuaciones paramétricas para curvas como la recta y la cicloide. También explica cómo usar dos parámetros para describir superficies en el espacio tridimensional.
Examen de Selectividad. Geografía junio 2024 (Convocatoria Ordinaria). UCLMJuan Martín Martín
Examen de Selectividad de la EvAU de Geografía de junio de 2023 en Castilla La Mancha. UCLM . (Convocatoria ordinaria)
Más información en el Blog de Geografía de Juan Martín Martín
http://blogdegeografiadejuan.blogspot.com/
Este documento presenta un examen de geografía para el Acceso a la universidad (EVAU). Consta de cuatro secciones. La primera sección ofrece tres ejercicios prácticos sobre paisajes, mapas o hábitats. La segunda sección contiene preguntas teóricas sobre unidades de relieve, transporte o demografía. La tercera sección pide definir conceptos geográficos. La cuarta sección implica identificar elementos geográficos en un mapa. El examen evalúa conocimientos fundamentales de geografía.
José Luis Jiménez Rodríguez
Junio 2024.
“La pedagogía es la metodología de la educación. Constituye una problemática de medios y fines, y en esa problemática estudia las situaciones educativas, las selecciona y luego organiza y asegura su explotación situacional”. Louis Not. 1993.
2. Introduccion
El modelo matemático adecuado para expresar
una variable en función de otras variables es la
función de varias variables. Igual que ocurría
con las funciones de una variable, algunas de
las herramientas asociadas a este modelo nos
permiten abordar y expresar muchos aspectos
interesantes de la relación existente. Nos
centraremos en las herramientas mas sencillas:
curvas de nivel y la geometría en el espacio.
2
3. ¿Qué son las coordenadas?
> Las coordenadas son grupos de números que
describen una posición: posición a lo largo de
una línea, en una superficie o en el espacio.
> Así en el eje de los números reales, x=4 se
indica de la siguiente manera:
3
4. ¿Para que sirven las coordenadas?
> Además de su uso en matemáticas, la utilidad
cotidiana de las coordenadas cartesianas suele
ser localizar sitios en los mapas. Los planos
suelen estar divididos en sectores con ejes
horizontales y verticales. El mapa puede ser de
unas pocas calles, una ciudad o del globo
terráqueo entero. Así se puede saber dónde vive
un amigo, dónde te encuentras en la visita a una
ciudad o dónde está la atracción a la que quieres
ir.
4
5. Sistema de Coordenadas
Es un conjunto de valores que permiten definir
unívocamente la posición de cualquier punto de un
espacio geométrico respecto de un punto
denominado origen. El conjunto de ejes, puntos o
planos que confluyen en el origen y a partir de los
cuales se calculan las coordenadas de cualquier
punto constituyen lo que se denomina sistema de
referencia.
5
6. Coordenadas Cartesianas
“Son llamadas así en honor al
matemático francés René
Descartes que desarrolló su
conocida geometría analítica y que
utilizaba como eje central de la
misma a lo que se conoce como
origen de coordenadas.”
6
7. Coordenadas Cartesianas
Sistema de referencia que se utiliza para localizar y
colocar un punto concreto en un espacio
determinado, tomando como referencia lo que son
los ejes X, Y y Z.
7
“La coordenada X se
llama abscisa y la
coordenada Y recibe
el nombre de
ordenada.”
8. > En el sistema de coordenadas cilíndricas un
punto P del espacio se representa por un trío
ordenado (r, θ, z), tal que:
> (r, θ) es una representación polar de la
proyección de P en el plano XY.
> z es la distancia de (r, θ) a P.
> r puede tomar los valores desde 0 a ∞. Los
valores de q estarán entre 0 y 2π.
Coordenadas Cilíndricas
8
9. El nombre de
coordenadas cilíndricas
se origina del hecho de
que la gráfica r = c es un
cilindro circular recto.
Las coordenadas
cilíndricas se utilizan
con frecuencia en
aquellos problemas
reales en los que existe
un eje de simetría.
9
10. Coordenadas Esféricas
> Las coordenadas esféricas son un sistema de
coordenadas tridimensional basado en la misma idea
que las coordenadas polares, en este sistema la
ubicación de un punto en el espacio está determinada
por una distancia y dos ángulos.
10
11. Coordenadas Esféricas
El sistema de referencia está compuesto por tres ejes
perpendiculares entre sí y un punto «O», denominado
origen, que corresponde al punto de intersección de los
tres ejes. De esta forma un punto «P» queda representado
por el trió ordenado (r, θ, φ), donde «r» es la distancia de
«P» al origen, «θ» -colatitud- es el ángulo formado entre
el eje «z» y la recta «OP» y «φ» – azimut- es el ángulo
formado entre el eje «x» y la proyección de la recta «OP»
en el plano x-y.
11
12. Transformación entre los diferentes sistemas de
coordenadas.
Una transformación es una operación por la cual una
relación, expresión o figura se cambia por otra siguiendo
una ley dada. Analíticamente la ley se expresa mediante
una o más ecuaciones llamadas "ecuaciones de
transformación". Es importante elegir un sistema de
coordenadas, o referencia, adecuado con el objetivo que
el proceso de resolución sea lo más rápido posible. Ello
se realiza mediante la transformación de ejes
coordenados cuyo proceso está en dos movimientos,
rotación y traslación.
12
13. Formulas para la transformación de
coordenadas.
13
Cilíndricas a
cartesianas
Esféricas a
cartesianas
Cartesianas a
cilíndricas
Cartesianas a
esféricas
x= r cosθ x= ρ senϕ cosθ r= (x2+y2)1/2 ρ= (x2+y2+z2)1/2
y= r senθ y= ρ senϕ senθ θ=arctg(y/x) ϕ=arccos(z/(x2+y
2+z2)1/2)
z= z z= ρ cosθ z= z θ=arctg(y/x)
14. Mapa de Contorno
14
Un mapa de contorno traduce la variación de z respecto
de x e y gracias al espaciado entre las curvas de nivel.
Una separación grande entre las curvas significa que z
var´ıa lentamente, mientras que curvas de nivel muy
juntas quieren decir que z cambia muy deprisa.
15. Simetría
15
Se denomina simetría a la correspondencia exacta que se
registra en la disposición regular de las partes o puntos
que conforman un cuerpo o figura, considerado con
relación a un centro, eje o plano.
16. Tipos de Simetrías
> Simetría esférica: es aquella que ocurre bajo cualquier tipo de
rotación.
> Simetría axial (también llamada rotacional, radial o cilíndrica): es
aquella que ocurre a partir de un eje, lo que significa que cualquier
giro producido a partir de ese eje no conduce a ningún cambio de
posición en el espacio.
> Simetría reflectiva o especular: es aquella definida por la
existencia de un único plano donde una mitad es el reflejo de la otra.
> Simetría de traslación o traslacional: es aquella que se verifica en
un objeto o figura cuando este se repite a una distancia siempre
idéntica del eje y a lo largo de una línea que puede estar colocada
en cualquier posición y que puede ser infinita.
16
17. Las funciones de varias variables
son funciones como cualquier otra, cumplen la
misma definición de función; una relación. La
diferencia es que una variable dependiente
estará regida por más de
una variables independiente. Es muy común
trabajar con funciones de tres variables,
generalmente llamadas z = f(x,y).
18.
19. Como las funciones de una variable, funciones de
varias variables se pueden representar en forma
numérica (por medio de una tabla de valores), en
forma algebraica (por medio de una formula), y
en forma gráfica (por medio de una gráfica).
20. Dominio de funciones de varias
variables
20
Definiremos el dominio de una función de varias
variables f(x1,x2,x3,…,xn) como el conjunto de puntos
(x1,x2,x3,…,xn) para los que la función está definida.
21. Geometría del espacio
> Rama de la geometría que se ocupa de las
propiedades y medidas de figuras geométricas
en el espacio tridimensional. Entre estas
figuras, también llamadas sólidos, se
encuentran el cono, el cubo, el cilindro,
la pirámide, la esfera y el prisma.
21
22. Superficie esférica
> Es la superficie engendrada por una
circunferencia que gira sobre su diámetro. La
esfera también se puede describir como el
conjunto de puntos en el espacio
tridimensional que equidistan a un punto,
llamado centro.
> Esfera
> Es la región del espacio que se encuentra en
el interior de una superficie esférica.
22
23. Características
> Fórmula para calcular el área de esfera:
> Elementos de la Esfera:
> Fórmula para calcular el volumen de la esfera:
> Circunferencias en una esfera:
23
24. Superficie cilíndrica
> Son superficies generadas por una
recta, cuando se desplaza a través de
una curva plana, manteniéndose
siempre paralela a sí misma.
> A dicha recta se la llama generatriz de
la superficie y a la curva, directriz.
24
26. Paraboloide
> Es la superficie que se ha creado al
deslizar una parábola vertical con
la concavidad hacia abajo, a lo largo de
la otra, perpendicular a la primera; las
secciones horizontales son elipses
mientras que las verticales son
parábolas.
26
28. Elipsoide
> Es una superficie curva cerrada cuyas tres
secciones ortogonales principales son elípticas,
es decir, son originadas por planos que
contienen dos ejes cartesianos.
> El volumen de un elipsoide está dado por la
ecuación:
> V= 4/3 * π*a*b*c
28
29. Hiperboloide
> El hiperboloide es una superficie engendrada
por el desplazamiento de una elipse de manera
que los extremos de sus ejes principales se
mueven uniformemente sobre dos hipérbolas
dispuestas ortogonalmente entre sí. Cuenta con
tres ejes y tres planos de simetría, que
concurren en el centro de simetría del
hiperboloide
29
32. Conclusión
> La importancia de la utilización de las funciones de
varias variables radica en que gracias a ellas
podemos describir cualquier variación o cambio de
una cantidad. Es necesaria para explicar diferentes
procesos económicos como por ejemplo los costos y
ganancias que demandan determinados productos.
> Así mismo; la geometría en el espacio, las curvas de
nivel y los sistemas de coordenadas nos permiten
graficar de manera sencilla, las formulaciones que
queremos expresar.
32