Vectores en el Espacio. Matemática III

1. REPUBLICA BOLIVARIA DE VENEZUELA
MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA EDUCACION
I.U.P SANTIAGO MARIÑO
ESCUALA: ARQUITECTURA
MATERIA: MATEMATICAS III
SECCION: S1
VECTORES EN EL
ESPACIO
Profesor: Bachiller:
BELTRAN, Pedro Mui, Cristina
Barcelona, 22 de Marzo del 2019

2. INTRODUCCION
 La asignatura de Ampliación de Matemáticas para el grado de ingeniería, estudia entre otros apartados, la integración
múltiple (integrales dobles e integrales triples), Geometría Diferencial (estudio de curvas y superficies) y las integrales de
linea y de superficie. Para una correcta comprensión de estos temas es necesario poseer un conocimiento, si no profundo,
sí escogido, de la teoría de funciones de varias variables.
 Para trabajar con los dominios de este tipo de funciones necesitaremos una pequeña iniciación a la topología del espacio
euclídeo que nos permita conocer los conceptos de conjunto abierto, conjunto cerrado, interior de un conjunto, ..., que
tanto aparecen en toda la bibliografía que el alumno va a encontrar de la asignatura. A lo largo de estos temas serán muy
frecuentes los casos en que sea necesario derivar funciones de varias variables y, más precisamente, derivar la
composición de funciones de este tipo.

3. Vector en el espacio
 SIATEMAS DE COORDENADAS
 En geometría, un sistema de coordenadas es un sistema que utiliza uno o más números (coordenadas) para
determinar unívocamente la posición de un punto u objeto geométrico. El orden en que se escriben las coordenadas
es significativo y a veces se las identifica por su posición en una tupla ordenada; también se las puede representar
con letras, como por ejemplo «la coordenada-x». El estudio de los sistemas de coordenadas es objeto de la
geometría analítica, permite formular los problemas geométricos de forma "numérica".
 Un ejemplo corriente es el sistema que asigna longitud y latitud para localizar coordenadas geográficas. En física,
un sistema de coordenadas para describir puntos en el espacio recibe el nombre de sistema de referencia.

4.  El plano cartesiano se utiliza para asignarle una ubicación a cualquier punto en el plano. En la gráfica se indica
el punto +2 en las abscisas y +3 en las ordenadas. El conjunto (2 , 3) se denomina "par ordenado" y del mismo
modo se pueden ubicar otros puntos.
 Las coordenadas cartesianas se usan por ejemplo para definir un sistema cartesiano o sistema de referencia
respecto ya sea a un solo eje (línea recta), respecto a dos ejes (un plano) o respecto a tres ejes (en el espacio),
perpendiculares entre sí (plano y espacio), que se cortan en un punto llamado origen de coordenadas. En el
plano, las coordenadas cartesianas se denominan abscisa y ordenada. La abscisa es la coordenada horizontal y
se representa habitualmente por la letra x, mientras que la ordenada es la coordenada vertical y se representa
por la y.

5. SISTEMAS DE COORDENADAS
CARTESIANAS
 Las coordenadas cartesianas o coordenadas rectangulares (sistema cartesiano) son un tipo de coordenadas ortogonales
usadas en espacios euclídeos, para la representación gráfica de una función, en la geometría analítica , o del movimiento
o posición en física, caracterizadas porque usa como referencia ejes ortogonales entre sí que se cortan en un punto
origen. Las coordenadas cartesianas se definen así como la distancia al origen de las proyecciones ortogonales de un
punto dado sobre cada uno de los ejes. La denominación de 'cartesiano' se introdujo en honor de René Descartes, quien lo
utilizó de manera formal por primera vez.
 Si el sistema en sí es un sistema bidimensional, se denomina plano cartesiano. El punto de corte de las rectas se hace
coincidir con el punto cero de las rectas y se conoce como origen del sistema. Al eje horizontal o de las abscisas se le
asigna los números enteros de las equis ("x"); y al eje vertical o de las ordenadas se le asignan los números enteros de las
yes ("y"). Al cortarse las dos rectas, dividen al plano en cuatro regiones o zonas, que se conocen con el nombre de
cuadrantes:
 Primer cuadrante "I": Región superior derecha
 Segundo cuadrante "II": Región superior izquierda
 Tercer cuadrante "III": Región inferior izquierda
 circunferencia.
 Cuarto cuadrante "IV": Región inferior derecha

6. Sistemas coordenadas cilíndricas
 Las coordenadas cilíndricas son una extensión del sistema de coordenadas polares al espacio
tridimensional. Generalmente, en lugar de utilizar x, y y z, se usan r, el ángulo theta y la
variable z, x o y. La última variable designa la extensión máxima de una superficie. Para
elegir que variable dejar intacta, hay que observar la gráfica de la función; la variable que no
cambia es aquella sobre cuyo eje abre la superficie.

7.  El nombre de estas coordenadas proviene de la idea de que cada punto en el espacio es un punto de la superficie de una
infinita cantidad de cilindros circulares, todos con un radio arbitrario de valor r. Las integrales triples en este sistema de
coordenadas se designan de la siguiente manera:
 En caso de empezar con una función en coordenadas cartesianas, estas se pueden convertir a coordenadas polares:
 Nuevamente se hace énfasis en que el sistema puede cambiar. Por ejemplo, r puede depender de y y de z siendo x la variable
que no cambia. Todo depende de la superficie con la que se trabaja. Por ejemplo se pide encontrar el volumen del primer
octante del cono cuya ecuación es la siguiente, junto con otras restricciones:

8.  El cono abre hacia el eje z, así que la región
plana que se usa para obtener el volumen está en
el plano xy, y corresponde a una circunferencia
de radio 1. Por lo tanto, la integral se plantea así:
 La integral se calcula igual que en cualquier
integral común, respetando el orden de
integración.
Ejemplo 1:
 El punto P(6, 30º, 4) está expresado en
coordenadas cilíndricas. Halla sus coordenadas
cartesianas.

9. Ejemplo 2:
El punto P(-2, -2, 3) está expresado en coordenadas cartesianas. Halla sus
coordenadas cilíndricas.

10. Sistemas de coordenadas esféricas
 Es la forma de identificar un punto en el espacio tridimensional colocado
en la superficie de una esfera con centro en el origen y radio determinado
mediante tres magnitudes: una distancia y dos ángulos o (r,a,b) donde r,
el radio de la esfera; a, la longitud y la latitud es b ambos últimos
expresados en radianes de forma parecida a como se hace con las
coordenadas terrestres.
 El sistema de coordenadas esféricas es un cambio total de las variables en
el espacio tridimensional. El cambio se da por las siguientes fórmulas:
Las nuevas variables anteriores representan la posición de
un punto respecto a la distancia que hay entre este y el
origen y los ángulos que se forman entre ese vector y el eje
z y la proyección del mismo vector y el eje x. Al igual que
en coordenadas cilíndricas, el sistema de referencia puede
cambiar.
A la inversa, es posible pasar de coordenadas
esféricas a coordenadas cartesianas:

11.  Toda integral en coordenadas esféricas se representa de la siguiente
manera:
Por ejemplo, se pide investigar el volumen del ejemplo usado para
explicar la integración en coordenadas cilíndricas. Para ello la
conversión a coordenadas esféricas se hace de la siguiente formal:
 Finalmente, la integral triple para
encontrar el volumen se escribe
como:
 De igual forma, esta integral se
resuelve como cualquier integral
iterada.

12. Ecuación Generales
 Expresar una recta en forma
vectorial, paramétricas,
continua y general en el
espacio.
 Ejemplos de cómo pasar de
unas ecuaciones a otras.
 Ejemplos de rectas
 Cuando conocemos un punto
y un vector director

13. Ecuación de la recta en forma
general o implícita
 Esta ecuación está definida
como intersección de dos
planos.
 Para pasar a las otras ecuaciones
tenemos dos maneras:
 - Obtener por separado un
punto y un vector director.
 - Pasar directamente a
ecuaciones paramétricas
resolviendo el sistema
compatible indeterminado.
Forma general obteniendo por
separado punto y vector director
Ejemplo

14. Pasar de forma general a paramétricas
 Analíticamente resolviendo el sistema compatible indeterminado,
ordenamos las soluciones y ya tenemos las ecuaciones de la recta
en paramétricas.

15. Funciones de varias variables
 Gráfica de una función de varias variables y curvas de nivel.
 Como en el caso de las funciones de una sola variable, se puede saber mucho acerca del comportamiento de una
función de dos variables dibujando se gráfica. La gráfica de una función fde dos variables es el conjunto de todos
los puntos (x,y,z) para los que z=f(x,y) y (x,y) está en el dominio de f.
 Una segunda manera de visualizar una función de dos variables es como un campo escalar que asigna al punto (x,y)
el escalar Z=f(x,y).
 Un campo escalar se caracteriza por sus curvas de nivel ó líneas de contorno a lo largo de las cuales el valor f(x,y)
es constante.
Ejemplos.
 Un mapa meteorológico muestra las curvas de nivel de igual presión, llamadas isobaras.
 También en los mapas meteorológicos , las curvas de nivel que representan puntos de igual temperatura se llaman
isotermas.
 En la representación de campos de potencial eléctrico reciben el nombre de curvas equipotenciales.
 pendiente es fuerte.

16. Dominio de funciones de varias variables.
 Para hallar el dominio despejamos (y) y analizamos el comportamiento de (x). Al hacer este despeje podemos considerar tres
casos:
 i. La (x) hace parte del denominador de una fracción. Dé un ejemplo.R: Sea la relación R = {(x, y) / 2xy - 3y - 5 = 0} definida
en los Reales.ii. Despejar(y)
 ¿Qué valores debe tomar (x) (en el denominador) para que sea diferente de cero?R/:
 Cómo se halla el dominio de una relación, cuando la (x) queda en el denominador al despejar (y).R: Si al despejar (y) en una
expresión (en una relación), encontramos que la (x) hace parte del denominador de una fracción, entonces para determinar el
dominio de dicha relación hay que hacer que el denominador sea diferente de cero y se despeja la (x).

17. Superficie esférica.
 Ecuación de una esfera
 Una esfera o superficie esférica es el lugar
geométrico de los puntos de coodenadas (x,
y, z) del espacio cuya distancia a un punto
fijo C(a, b, c) que es el centro de la esfera,
es una cantidad constante r > 0 , es decir, el
radio de la esfera.
 Posiciones relativas de recta y esfera
 Una recta respecto a una esfera puede estar situada:
• Exterior: Si no tienen ningún punto en común
• Tangente: cuando la recta toca a la esfera en un único punto
• Secante: cuando la recta corta a la esfera en dos puntos

18.  Posiciones relativas de plano y esfera
 Un plano respecto a una esfera puede estar situado:
• Exterior: Si no tienen ningún punto en común
• Tangente: cuando el plano toca a la esfera en un único punto
• Secante: cuando el plano corta a la esfera en una circunferencia
Para averiguar cuál de las tres posiciones se tiene
hay que calcular el valor d del centro de la esfera al
plano y lo comparamos con el radio r de la misma:
Si d>r es exterior
Si d=r es tangente
Si d< r es secante
Ejemplo 1.

19. Superficie cilíndrica.
 Las superficies cilíndricas son superficies generadas por una recta, cuando se desplaza a través de una curva plana,
manteniéndose siempre paralela a sí misma.
 A dicha recta se la llama generatriz de la superficie y a la curva, directriz.
La ecuación de una superficie cilíndrica de directriz
G y generatriz d (paralela a u → (u1, u2, u3) y que
corta a la directriz en P0(x0, y0, z0)) se obtiene
reemplazando en la ecuación de la curva directriz
las coordenadas de P0, despejadas de la ecuación de
d. Entonces, si las ecuaciones de G y d son:

20.  despejando las coordenadas de P0 y reemplazándolas en la ecuación de G se obtiene:
Eliminando t de las ecuaciones anteriores se obtiene la ecuación de la superficie
cilíndrica.

21. Paraboloide
 Los paraboloides son cuádricas sin centro de simetría.
 Si el eje del paraboloide es el eje z, entonces la ecuación del paraboloide elíptico es:
 y la ecuación del paraboloide hiperbólico es:

22. Paraboloide elíptico
 Sea el paraboloide elíptico de ecuación:
 El paraboloide elíptico no es simétrico respecto al origen de
coordenadas.
 El origen de coordenadas es el vértice del paraboloide elíptico.
 El paraboloide elíptico es simétrico respecto al eje z.
 El paraboloide elíptico es simétrico respecto a los planos x-z e y-z.
 Las secciones con planos paralelos a los coordenados y al eje del
paraboloide son parábolas.
 Las secciones con planos perpendiculares al eje del paraboloide
elíptico son elipses.
 El paraboloide elíptico se extiende para todo x, y, y z ≥ 0.
 Una ecuación paramétrica de este paraboloide elíptico es:
Paraboloide hiperbólico
Sea el paraboloide hiperbólico de ecuación:
 El paraboloide hiperbólico no es simétrico respecto al origen de
coordenadas.
 El paraboloide hiperbólico es simétrico respecto al eje z.
 El paraboloide hiperbólico es simétrico respecto a los planos x-z
e y-z.
 Las secciones con planos paralelos a los coordenados y al eje del
paraboloide hiperbólico son parábolas
 Las secciones con planos perpendiculares al eje del paraboloide
hiperbólico son hipérbolas.
 El paraboloide hiperbólico se extiende infinitamente.
 Una ecuación paramétrica de este paraboloide hiperbólico es:

23. Ejemplo 1. Analizar la superficie de ecuación:
Ge) x2 + z2 = y
 Es un paraboloide elíptico
 El paraboloide elíptico corta a los ejes de coordenadas
en el origen: V(0, 0, 0)
 Las secciones con planos paralelos a los coordenados
son:
con planos paralelos al x - y (z = k): parábolas de la forma:
Ge) x2 = y - k2, z = k
en las que k puede asumir cualquier valor real.
con planos paralelos al x - z (y = k): circunferencias de la
forma:
Ge) x2 + z2 = k, y = k
en las que k puede asumir cualquier valor no negativo
(|k| ≥ 0).
con planos paralelos al z - y (x = k): parábolas de la forma:
Ge) z2 = y - k2 , x = k
en las que k puede asumir cualquier valor real.
 El gráfico de este paraboloide hiperbólico es:
Ejemplo 2. Analizar la superficie de ecuación:
Ge) y2 - x2 = z
 Es un paraboloide hiperbólico
 El paraboloide hiperbólico corta a los ejes de
coordenadas en el origen: O(0, 0, 0)
 Las secciones con planos paralelos a los coordenados
son:
 con planos paralelos al x - y (z = k): hipérbolas de la
forma:
Ge) - x2 + y2 = k, z = k
en las que k puede asumir cualquier valor real. El eje focal
de estas hipérbolas depende del signo de k.
con planos paralelos al x - z (y = k): parábolas de la
forma:
Ge) x2 = - z + k2, y = k
en las que k puede asumir cualquier valor real.
con planos paralelos al z - y (x = k): parábolas de la
forma:
Ge) y2 = z + k2, x = k
en las que k puede asumir cualquier valor real.
 El gráfico de este paraboloide hiperbólico es:

24. Elipsoide Y Hiperboloide
Un elipsoide con centro en el origen y cuyos ejes coinciden con los ejes
de coordenadas tiene de ecuación:
Donde a, b y c son los semiejes dele elipsoide.
Plano Sección
Paralelo al plano
xy
Elipse
Paralelo al plano
xz
Elipse
Paralelo al plano
yz
Elipse
Ejemplo 1:

25.  Hiperboloide de una hoja
 Un hiperboloide de una hoja con centro en el
origen y cuyos ejes coinciden con los ejes de
coordenadas tiene de ecuación:
Donde a, b y c son los semiejes del hiperboloide.
Plano Sección
Paralelo al
plano xy
Elipse
Paralelo al
plano xz
Hipérbola
Paralelo al
plano yz
Hipérbola
Ejemplo 2:

26.  Hiperboloide de dos hojas
 Un hiperboloide de dos
hojas con centro en el origen y
cuyos ejes coinciden con los ejes
de coordenadas tiene de ecuación:
Donde a, b y c son los semiejes del hiperboloide
Plano Sección
Paralelo al
plano xy
Elipse
Paralelo al
plano xz
Hipérbola
Paralelo al
plano yz
Hipérbola
Ejemplo 3:

27. CONCLUSION
 SIATEMAS DE COORDENADAS
 En geometría, un sistema de
coordenadas es un sistema que utiliza
uno o más números (coordenadas)
para determinar unívocamente la
posición de un punto u objeto
geométrico.
 El plano cartesiano se utiliza para
asignarle una ubicación a cualquier
punto en el plano. En la gráfica se
indica el punto +2 en las abscisas y +3
en las ordenadas. El conjunto (2 , 3) se
denomina "par ordenado" y del mismo
modo se pueden ubicar otros puntos.
 SISTEMAS DE COORDENADAS
CARTESIANAS
 Las coordenadas cartesianas o
coordenadas rectangulares (sistema
cartesiano) son un tipo de coordenadas
ortogonales usadas en espacios
euclídeos, para la representación
gráfica de una función, en la geometría
analítica , o del movimiento o posición
en física, caracterizadas porque usa
como referencia ejes ortogonales entre
sí que se cortan en un punto origen.
Sistemas coordenadas
cilíndricas
Las coordenadas cilíndricas son una extensión
del sistema de coordenadas polares al espacio
tridimensional. Generalmente, en lugar de
utilizar x, y y z, se usan r, el ángulo theta y la
variable z, x o y.
Sistemas de coordenadas
esféricas
Es la forma de identificar un punto en el espacio
tridimensional colocado en la superficie de una esfera
con centro en el origen y radio determinado mediante
tres magnitudes: una distancia y dos ángulos o (r,a,b)
donde r, el radio de la esfera; a, la longitud y la latitud
es b ambos últimos expresados en radianes de forma
parecida a como se hace con las coordenadas
terrestres.
Ecuación Generales
Expresar una recta en forma
vectorial, paramétricas, continua
y general en el espacio.

28. BIBLIOGRAFIA
 Weisstein, Eric W. «Coordinate System». En Weisstein, Eric W. MathWorld (en inglés). Wolfram Research.
 Weisstein, Eric W. «Coordinates». En Weisstein, Eric W. MathWorld (en inglés). Wolfram Research.
 «Cartesian Coordinate System». Cut the knot (en inglés).
 https://sites.google.com/site/calculovectorialhakim/coordenadas-cilindricas-y-esfericas
 https://www.vadenumeros.es/segundo/ecuaciones-de-la-recta.htm
 https://sites.google.com/site/calculovectorialhakim/funciones-de-varias-variables
 https://www.monografias.com/trabajos78/funciones-dominio-rango-curva-nivel/funciones-dominio-rango-curva-
nivel2.shtml
 http://calculo.cc/temas/temas_geometria_analitica/curvas_superf/teoria/s_esferica.html
 http://www.frsn.utn.edu.ar/gie/superficies/sup_cilin.html
 http://www.frsn.utn.edu.ar/gie/superficies/paraboloides.html
 http://calculo.cc/temas/temas_geometria_analitica/curvas_superf/teoria/cuadricas.html