Funciones de varias variables

FUNCIONES DE VARIAS
VARIABLES
Martínez, Mirna CI: 10573254Prof. Pedro Beltrán
República Bolivariana de Venezuela.
Ministerio del Poder Popular para la Educación.
I.U.P. “Santiago Mariño”
Sede Barcelona
Ingeniería Industrial
Barcelona, Noviembre 2020

Introducción
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Un sistema de coordenadas es un conjunto de valores y puntos que permiten definir unívocamente
la posición de cualquier punto de un espacio euclídeo o más generalmente variedad diferenciable.
En física se usan normalmente sistemas de coordenadas ortogonales. Un sistema de referencia
viene dado por un punto de referencia u origen y una base vectorial orto normal, quedando así
definidos los ejes coordenados. La latitud es la distancia angular entre el ecuador y un punto
determinado del planeta medida a lo largo del meridiano desde ese mismo punto angular. La
longitud es la distancia que se encuentra entre dos puntos.
El deseo de abordar problemas del mundo real, nos conduce a tomar en
cuenta que, en general, cualquier situación o fenómeno requiere de más de
una variable para su precisa descripción. Por ejemplo, el volumen de un
cilindro depende del radio de la base y de su altura; la posición de un móvil
en un momento determinado requiere para su exacta especiación, además del
tiempo, de las tres coordenadas espaciales. Si adicionalmente se requiere la
velocidad a la cual se desplaza, tendremos una función vectorial f que a cada
vector de cuatro componentes (ubicación espacial y tiempo) le asigna la
velocidad.

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Sistema de coordenadas
Un sistema de coordenadas es un sistema que utiliza uno o
más números (coordenadas) para determinar unívocamente la
posición de un punto u objeto geométrico.
El orden en que se escriben las coordenadas es significativo
y a veces se las identifica por su posición en una tupla
ordenada; también se las puede representar con letras, como
por ejemplo «la coordenada-x».

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Coordenadas Cartesianas
Las coordenadas cartesianas o coordenadas rectangulares (sistema cartesiano) son un
tipo de coordenadas ortogonales usadas en espacios euclídeos, para la representación
gráfica de una relación matemática (funciones matemáticas y ecuaciones de
geometría analítica), o del movimiento o posición en física, caracterizadas por tener
como referencia ejes ortogonales entre sí que concurren en el punto origen.
El sistema en sí es un sistema bidimensional, que se denomina plano cartesiano. El
punto de intersección de las rectas, por definición, se considera como el punto cero de
las rectas y se conoce como origen de las coordenadas. Al eje horizontal o de las
abscisas se le asigna los números reales de las equis ("x"); y al eje vertical o de las
ordenadas se le asignan los números reales de las ye ("y").

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Al cortarse las dos rectas, dividen al plano en cuatro regiones o zonas, que se
conocen con el nombre de cuadrantes:
• Primer cuadrante "I":
Región superior derecha
•Segundo cuadrante "II":
Región superior izquierda
•Tercer cuadrante "III":
Región inferior izquierda
•Cuarto cuadrante "IV":
Región inferior derecha

𝐴𝐵 = 𝑥𝐵 − 𝑥𝐴 ⅈ+ 𝑦𝐵 − 𝑦𝐴 𝑗
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Aplicación del teorema de Pitágoras al triángulo rectángulo ABC.
Un vector cualquiera AB se definirá restando, coordenada a coordenada, las
del punto de origen de las del punto de destino:
Evidentemente, el módulo del vector AB será la distancia dAB entre los puntos
A y B antes calculada.

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Coordenadas Cilindricas
El sistema de coordenadas cilíndricas es muy conveniente en aquellos casos
en que se tratan problemas que tienen simetría de tipo cilíndrico o azimutal.
Se trata de una versión en tres dimensiones de las coordenadas polares de la
geometría analítica plana.
Un punto 𝞡 en coordenadas
cilíndricas se representa por (ρ,φ,z),
donde:
• ρ: Coordenada radial, definida como la distancia del punto 𝞡 al eje z, o
bien la longitud de la proyección del radiovector sobre el plano XY
• φ: Coordenada azimutal, definida como el ángulo que forma con el eje X
la proyección del radiovector sobre el plano XY.
• z: Coordenada vertical o altura, definida como la distancia, con signo,
desde el punto P al plano XY

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Coordenadas Esféricas
El sistema de coordenadas esféricas se basa en la misma idea que las coordenadas polares y se
utiliza para determinar la posición espacial de un punto mediante una distancia y dos ángulos.
Un punto P queda
representado por un conjunto
de tres magnitudes: el radio
r, el ángulo polar o colatitud
θ y el azimutal φ.
Algunos autores utilizan la
latitud, en lugar de colatitud, en
cuyo caso su margen es de -90°
a 90° (de -π/2 a π/2 radianes),
siendo el cero el plano XY.

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Diferenciales de línea, superficie y volumen

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Base vectorial en coordenadas esféricas
A partir de las coordenadas esféricas se define una
base ortonormal de vectores base, los cuales se
denotan por Ur, Uθ, Uφ. En la figura se muestran
estos tres vectores unitarios, los cuales tienen las
siguientes características:
Ur es el vector unitario
tangente a la recta radial
θ = ctte y φ = ctte;
Uθ es el vector unitario
tangente al arco φ = ctte y
r = ctte;
Uφ es el vector unitario
tangente al arco r = ctte
y θ = ctte.

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Transformación entre los diferentes
sistemas de coordenadas.
Después de definir el sistema de coordenadas coincidente con los
datos, es posible que quiera usar los datos en otro sistema de
coordenadas. Aquí es donde resultan útiles las transformaciones.
Las transformaciones convierten datos entre distintos sistemas de
coordenadas geográficas o entre diferentes sistemas de
coordenadas verticales. Si los datos no están alineados, le resultará
complicado llevar a cabo análisis y representaciones cartográficas
precisos sobre los datos no coincidentes.

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Coordenadas Cilindricas
Cambio de coordenadas
Es relativamente sencillo obtener las coordenadas
cartesianas (x, y, z) de un punto P a partir de sus
coordenadas cilíndricas (ρ, φ, z):
x = ρ cos(φ)
y = ρ sen(φ)
z = z
Pero también es posible obtener las coordenadas
polares (ρ, φ, z) partiendo del conocimiento de las
coordenadas cartesianas (x, y, z) de un punto P:
ρ = √(x2 + y2)
φ = arctan( y/x )
z = z

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Cambio de coordenadas
A continuación se darán las fórmulas que
permiten obtener las coordenadas cartesianas (x,
y, z) de un punto M suponiendo conocidas las
coordenadas esféricas del mismo (r, θ, φ) punto:
x = r Sen(θ)
Cos(φ)
y = r Sen(θ)
Sen(φ)
z = r Cos(θ)
De igual manera, es útil hallar las relaciones para
pasar de las coordenadas cartesianas (x, y, z) de
un punto dado a las coordenadas esféricas de
dicho punto:
r = √( x^2 + y^2 + z^2 )
θ = Arctan( √( x^2 + y^2) / z )
φ = Arctan( y / x )

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Transformación entre
los diferentes sistemas
de coordenadas.

18
de coordenadas.

19
de coordenadas.

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Simetría
Es un rasgo característico de formas geométricas, sistemas, ecuaciones y otros objetos
materiales, o entidades abstractas, relacionada con su invariancia bajo ciertas
transformaciones, movimientos o intercambios. Existen cinco tipos de simetría claramente
establecidos: Existen cinco tipos de simetría claramente establecidos:
De rotación:
Es el giro que
experimenta todo
motivo de
manera repetitiva
hasta que finaliza
consiguiendo la
posición idéntica
que tenía al
principio.
De abatimiento.
En este caso lo
que se logra es dos
partes iguales de
un objeto concreto
tras llevarse a
cabo un giro de
180º de una con
respecto a la otra.
De traslación. Este es
el término que se
utiliza para referirse al
conjunto de
repeticiones que lleva
a cabo un objeto a una
distancia siempre
idéntica del eje y
durante una línea que
puede estar colocada
en cualquier posición.
De ampliación. Se
emplea para dejar
patente que dos
partes de un todo
son semejantes y
es que tienen la
misma forma pero
no un tamaño
igual.
Bilateral. Es la
que permite que se
obtenga un retrato
bilateral que tiene
como espina
dorsal un eje de
simetría.

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Funciones de varias variables.
Las funciones de varias variables son funciones como cualquier otra,
cumplen la misma definición de función; una relación. La diferencia
es que una variable dependiente estará regida por más de una
variables independiente. Es muy común trabajar con funciones de tres
variables, generalmente llamadas z = f(x,y).
Existen diversas técnicas para graficar este tipo de funciones
definidas en varias variables, una de ellas es proyectar la superficie
que esta define en cada plano.

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Rango y Dominio de funciones de varias variables.
El dominio es el conjunto de valores que puede tomar el
argumento de la función sin que esta se indefina. El rango es
el conjunto de valores reales que toma la función z en
función del dominio.
Para hallar el dominio despejamos (y) y
analizamos el comportamiento de (x). Al hacer
este despeje podemos considerar dos casos:
1) La (x) hace parte del denominador de una
fracción. Dé un ejemplo.R: Sea la relación R =
{(x, y) / 2xy - 3y - 5 = 0} definida en los Reales.
2) Despejar(y)
¿Qué valores debe tomar (x) (en el
denominador) para que sea diferente de cero?
R/:

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Rango y Dominio de funciones de varias variables.
Para encontrar el Rango de una relación en los reales, despejamos (x), analizamos el comportamiento
de (y) y hacemos un análisis similar al que hicimos para encontrar el dominio.
Ejemplo: Sea la relación R = {(x, y) / 3x2 + 4y2 = 12}, para ésta hallar el dominio y rango.
Hallar el dominio.
Hallar el rango
La "y" hace parte de un
radical par. Por lo tanto:

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Ejercicios por youtube
https://www.youtube.com/watch?v=vOCrjJktY0k
https://www.youtube.com/watch?v=Xs7Wq6kqDrM
https://www.youtube.com/watch?v=LvKVd2lafno

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Conclusión En conclusión un sistema de coordenadas es un conjunto de
valores y puntos que permiten definir unívocamente la posición de
cualquier punto de un espacio euclídeo o más generalmente
variedad diferenciable.
Una función de varias variables es una relación entre dos conjuntos donde
a cada elemento del primer conjunto le corresponde un solo elemento del
segundo conjunto. Esta es la definición matemática de una función.
Existen funciones comunes que poseen una variable independiente (x)
que cambia libremente sin depender de ningún parámetro y una variable
dependiente (y) que cambia respecto a x. El cambio que sufre y está
definido por una expresión algebraica que funge como regla.

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(30 jul 2020). Wikipedia.
https://es.wikipedia.org/wiki/Simetr%C3%ADa_en_matem%C3%A1ticas#:~:text=Geom%C3%A9tricamente%20habl
ando%2C%20el%20gr%C3%A1fico%20de,)%20y%20cosh%20(x).
Vargas, G. (15 May 2015). Diario de Cálculo Vectorial. https://sites.google.com/site/calculovectorialhakim/funciones-
de-varias-variables#:~:text=Las%20funciones%20de%20varias%20variables,f(x%2Cy).
Montejo, A. (10 Sep 2012). GEOMETRIA ANALITICA. https://sites.google.com/site/maritareas/unidad-1/sistemas-
cordenados.
(17 nov 2020). Wikipedia.
https://es.wikipedia.org/wiki/Sistema_de_coordenadas#:~:text=Este%20sistema%20de%20coordenadas%20esf%C3
%A9ricas,alcanzar%20la%20posici%C3%B3n%20del%20punto.
Bibliografía

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