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- 2. Introducción Enestetrabajoaprenderemosdiferentestiposdeproblemasmatemáticos,saliéndonosdelo basicocomolosonsuma,resta,división, multiplicación aunqueestassonbasesmatemáticas, enestaocasión estaremosenfocándonos en: Definición de Conjuntos. Operaciones con conjuntos. Números Reales Desigualdades. Definición de Valor Absoluto Desigualdades con Valor Absoluto nosadentraremosaunnuevomundomatemático,y aprenderernos,sobrediferentestipos deproblemas pararesolver.
- 3. En matemáticas, un conjunto es una colección de elementos considerada en sí misma como un objeto. Los elementos de un conjunto, pueden ser las siguientes: personas, números, colores, letras, figuras, etc. Se dice que un elemento (o miembro) pertenece al conjunto si está definido como incluido de algún modo dentro de él. Ejemplo: el conjunto de los colores del arcoíris es: AI = {rojo, naranja, amarillo, verde, azul, añil, violeta} Un conjunto suele definirse mediante una propiedad que todos sus elementos poseen. Por ejemplo, para los números naturales, si se considera la propiedad de ser un número primo, el conjunto de los números primos es: P = {2, 3, 5, 7, 11, 13, …} Un conjunto queda definido únicamente por sus miembros y por nada más. En particular, un conjunto puede escribirse como una lista de elementos, pero cambiar el orden de dicha lista o añadir elementos repetidos no define un conjunto nuevo. Por ejemplo: S = {lunes, martes, miércoles, jueves, viernes} = {martes, viernes, jueves, lunes, miércoles} AI = {rojo, naranja, amarillo, verde, azul, añil, violeta} = {amarillo, naranja, rojo, verde, violeta, añil, azul} definicion de conjuntos
- 4. Operaciones con conjuntos Ejemplo: La unión de los conjuntos A={1,2,3} y B={4,5,6} sería el conjunto C={1,2,3,4,5,6}, esto es: {1,2,3}∪{4,5,6}= {1,2,3,4,5,6} Ejemplo: La unión de personas que juegan al fútbol y de personas que juegan al baloncesto serían las personas que juegan a fútbol o baloncesto. union: El símbolo del operador de esta operación es: ∪, y es llamado copa. Es correspondiente a la formación de los elementos de dos conjuntos o incluso más conjuntos que pueden, partiendo de esto conformar una nueva forma de conjunto, en la cual los elementos dentro de este correspondan a los elementos de los conjuntos originales. Cuando un elemento es repetido, forma parte de una vez solamente; esto difiere del concepto de multiconjuntos en la concepción tradicional de la suma, en la cual los elementos comunes se consideran tantas veces como se encuentren en la totalidad de los conjuntos. Sean A y B dos conjuntos, la junta de ambos (A ∪ B) es el conjunto C el cual contiene a todos los elementos pertenecientes al conjunto A o al conjunto B. Un elemento x pertenece a la junta de los conjuntos A y B si, y sólo si, x pertenece al conjunto A o x pertenece al conjunto B, por lo tanto {displaystyle Acup B={x/xin Alor xin B}} Ejemplos[editar] En el Diagrama de Venn que se muestra en la imagen de la derecha se puede observar como es de forma gráfica, a continuación pondré también algunos ejemplos prácticos: Intersección: El símbolo del operador de esta operación es: ∩, y es llamado capa. Sean A y B dos conjuntos, la coincidencia de ambos (A ∩ B) es el conjunto C el cual contiene los elementos que están en A y que están en B. Un elemento x pertenece a la coincidencia de los conjuntos A y B si, y sólo si, x pertenece al conjunto A y x pertenece al conjunto B a la vez, por lo tanto {displaystyle Acap B={x/xin Aland xin B}}. Ejemplo: La coincidencia del conjunto de números pares y el conjunto de números impares sería el conjunto C={displaystyle emptyset } o sea serían disjuntos. Ejemplo: La coincidencia del conjunto de personas que juegan sólo al baloncesto y el conjunto de personas que juegan sólo al fútbol es el conjunto vacío. Por lo tanto son disjuntos. Ejemplo: La coincidencia de A={3,7,8} y B={1,2,9} sería C={displaystyle emptyset }, ya que {3,7,8}∩{1,2,9}={displaystyle emptyset } por lo tanto A y B son disjuntos. Ejemplos 1. 2. 3.
- 5. Ejemplo: El complementario del conjunto de números pares es el conjunto de números impares Ejemplo: El complementario del conjunto de personas que juegan a fútbol es el conjunto de personas que no lo juegan. Ejemplo: El complementario del conjunto de todos los números positivos mayores de 5 incluyendo el 5, es el conjunto {1,2,3,4} Complemento: El símbolo de esta operación es: A∁, o también se suele representar con el símbolo A Supongamos que U es el conjunto universal, en el cual se encuentran todos los elementos posibles, entonces el complementario de A con respecto a U se consigue restando a U todos los elementos de A. Ejemplos 1. 2. 3. Ejemplo: La diferencia de los conjuntos A {1,2,3,4} y B {1,3,5,7} es el conjunto C {2,4}, sin embargo la diferencia de los conjuntos B {1,3,5,7} y A {1,2,3,4} es el conjunto C{5,7}. Ejemplo: La diferencia del conjunto de las personas que juegan al fútbol y el conjunto de las personas que juegan a baloncesto es el conjunto de las personas que solo y exclusivamente juegan al fútbol. Diferencia El símbolo de esta operación es: . La diferencia consiste en eliminar de A todo elemento que esté en B, también se puede denotar con el símbolo de la resta A-B, por lo tanto, la diferencia de los conjuntos A y B es el conjunto C que tiene a todos los elementos que están en A, pero no en B. También se le puede llamar a la diferencia de A y B: complementario de B con respecto a A. Por lo tanto, un elemento pertenece a la diferencia de A y B si, y sólo si {displaystyle {x/xin Aland xnot in B}} Ejemplos 1. 2. Ejemplo: La diferencia simétrica del conjunto de personas que juegan a fútbol y el conjunto de personas que juegan a baloncesto es el conjunto de personas que juegan sólo a fútbol y sólo a baloncesto, pero no que jueguen a ambos a la vez. Diferencia simétrica: El símbolo de esta operación es: Δ. La diferencia simétrica de dos conjuntos A y B es otro conjunto el cual posee los elementos que o bien se encuentran en A, o bien se encuentran en B, pero no en los dos a la vez. A Δ B = C, donde C no tiene 1.
- 6. Ejemplo: El producto cartesiano de A={2,3} y B={a,b,c} es A×B={(2,a),(2,b),(2,c),(3,a),(3,b),(3,c)} Producto cartesiano: En un conjunto los elementos están desordenados y el orden es muy importante, por ello necesitamos algún tipo de estructura diferente para representar a los elementos ordenados, de ahí salen las n-tuplas ordenadas. La n-tupla ordenada {displaystyle (a_{1},a_{2},a_{3},dots ,a_{n})} es la colección ordenada dónde su primer elemento es {displaystyle (a_{1})}, {displaystyle (a_{2})} es su segundo elemento, ... y {displaystyle (a_{n})} el elemento n-ésimo. Se puede decir que dos n-tuplas ordenadas son iguales si, y sólo si, cada elemento numerado de cada par es igual, o sea, {displaystyle (a_{1},a_{2},a_{3},dots ,a_{n})} = {displaystyle (b_{1},b_{2},b_{3},dots ,b_{n})} esto sucede si, y sólo si {displaystyle (a_{i})}={displaystyle (b_{i})} para i= 1,2,3,...,n. Las 2-tuplas se llaman pares ordenados (a,b) y (c,d), estos son iguales si, y sólo si a=c y b=d. Ahora haciendo referencia al producto cartesiano de dos conjuntos: El símbolo de esta operación es: × El producto cartesiano de dos conjuntos A y B es el conjunto C, C = A × B, donde los pares ordenados (a,b) están formados por un primer elemento perteneciente a A y un segundo elemento perteneciente a B. {displaystyle A}×{displaystyle B={(a,b)/ain Aland bin B}} Ejemplos[editar] 1. Principio de inclusión-exclusión Es la generalización del resultado de las uniones de un número arbitrario de conjuntos, es una técnica muy importante que se usa principalmente en los problemas de enumeración. Sucede por ejemplo cuando queremos encontrar un cardinal de la unión de dos conjuntos y para encontrar dicho número de la unión de dos conjuntos finitos A y B, hay que tener en cuenta que en A∪B cada elemento de A está solo una vez en A, pero no en B, y viceversa, pero hay algunos elementos que pueden pertenecer a A y a B a la vez, por lo tanto el principio de inclusión-exclusión se basa en restar a la unión de dos conjuntos finitos la intersección de ambos. Matemáticamente: A∪B - A∩B
- 7. Los números reales son cualquier número que corresponda a un punto en la recta real y pueden clasificarse en números naturales, enteros, racionales e irracionales. En otras palabras, cualquier número real está comprendido entre menos infinito y más infinito y podemos representarlo en la recta real. Los números reales son todos los números que encontramos más frecuentemente dado que los números complejos no se encuentran de manera accidental, sino que tienen que buscarse expresamente. Los números reales se representan mediante la letra R ↓ numeros reales En matemáticas, el conjunto de los números reales (denotado por {displaystyle mathbb {R} }) incluye tanto los números racionales (positivos, negativos y el cero) como los números irracionales;1y en otro enfoque, a los trascendentes y a los algebraicos. Los irracionales y los trascendentes2no se pueden expresar mediante una fracción de dos enteros con denominador no nulo; tienen infinitas cifras decimales aperiódicas, tales como {displaystyle {sqrt {5}}}, π, o el número real {displaystyle log(2)}, cuya trascendencia fue enunciada por Euler en el siglo xviii.
- 8. Racionales e irracionales Un número real puede ser un número racional o un número irracional. Los números racionales son aquellos que pueden expresarse como el cociente de dos números enteros, tal como 3/4, -21/3, 5, 0, 1/2, mientras que los irracionales son todos los demás. Los números racionales también pueden describirse como aquellos cuya representación decimal es eventualmente periódica, mientras que los irracionales tienen una expansión decimal aperiódica: Ejemplos
- 9. Algebraicos y trascendentes Otra forma de clasificar los números reales es en algebraicos y trascendentes. Un número es algebraico si existe un polinomio de coeficientes racionales que lo tiene por raíz y es trascendente en caso contrario. Obviamente, todos los números racionales son algebraicos: si {displaystyle {frac {p}{q}}} es un número racional, con p entero y q natural, entonces es raíz de la ecuación {displaystyle qx=p}. Sin embargo, no todos los números algebraicos son racionales. Ejemplos
- 10. Desigualdad matemática Desigualdad matemática es una proposición de relación de orden existente entre dos expresiones algebraicas conectadas a través de los signos: desigual que ≠, mayor que >, menor que <, menor o igual que ≤, así como mayor o igual que ≥, resultando ambas expresiones de valores distintos. Por tanto, la relación de desigualdad establecida en una expresión de esta índole, se emplea para denotar que dos objetos matemáticos expresan valores desiguales. Algo a notar en las expresiones de desigualdad matemática es que, aquellas que emplean: mayor que > Menor que < Menor o igual que ≤ Mayor o igual que ≥ Estas son desigualdades que nos revelan en qué sentido la una desigualdad no es igual.
- 11. Menor que < Mayor que > Menor o igual que ≤ Mayor o igual que ≥ Ahora bien, los casos de aquellas desigualdades formuladas como: Son desigualdades conocidas como desigualdades “estrictas”. En tanto, que los casos de desigualdades formuladas como: Son desigualdades conocidas como desigualdades “no estrictas o más bien, amplias”. La desigualdad matemática es una expresión que está formada por dos miembros. El miembro de la izquierda, al lado izquierdo del signo igual y el miembro de la derecha, al lado derecho del signo de igualdad. Veamos el ejemplo siguiente: 3x + 3 < 9 La solución del enunciado anterior nos revela el planteamiento de desigualdad de las expresiones.
- 12. Si se multiplica ambos miembros de la expresión por el mismo valor, la desigualdad se mantiene. Si dividimos ambos miembros de la expresión por el mismo valor, la desigualdad se mantiene. Si restamos el mismo valor a ambos miembros de expresión, la desigualdad se mantiene. Si sumamos el mismo valor a ambos miembros de la expresión, la desigualdad se mantiene. Si se multiplica ambos miembros de la expresión por un número negativo, la desigualdad cambia de sentido. Si se divide ambos miembros de la expresión por un número negativo, la desigualdad cambia de sentido. Propiedades de la desigualdad matemática Hay que tener presente que las desigualdades matemáticas poseen también las siguientes propiedades: Para terminar, hemos de destacar que desigualdad matemática e inecuación son diferentes. Una inecuación se genera mediante una desigualdad, pero podría no tener solución o ser incongruente. Sin embargo, una desigualdad podría no ser una inecuación. Por ejemplo 3 < 5 Se cumple la desigualdad, ya que 3 es menor que 5. Ahora bien, no es una inecuación puesto que no tiene incógnitas.
- 13. Definición de Valor En el área de las matemáticas el significado de valor puede referirse a: Valor absoluto: como valor absoluto se denomina el valor que en sí posee un número sin considerar el signo junto el cual se encuentra. Valor posicional: se refiere a la capacidad que tienen los números para representar diferentes valores, dependiendo de su posición en la cifra. Es decir, por un lado, se considera el valor absoluto del número, el valor que tiene en sí, y por otro, el que tiene de acuerdo a la posición que ocupe dentro de una cifra. Entre más a la izquierda se sitúe, mayor será este. Valor relativo: es aquel valor que un número ostente en comparación con otro.
- 14. El valor de un número Cada número tiene un valor, sin embargo éste puede variar de acuerdo a ciertas características específicas. Esto quiere decir que un número puede cambiar su valor tomando su valor absoluto, posicional o relativo. Conocer estos datos al punto de poder reconocer el valor de un número con un vistazo rápido es muy importante. Esto porque nos puede ser muy útil al momento de realizar algunas operaciones matemáticas donde este conocimiento es requerido. Sin embargo, para saber el valor de un número existen algunos métodos que se pueden aplicar, dependiendo del valor que se desee calcular. Valor absoluto Se conoce también como módulo de número real que hace referencia a su valor numérico. En este sentido no se debe tomar en cuenta nada que se encuentre antes o después del número. Esto quiere decir que en el caso de presentarse un -5 o un +5 el valor de este siempre será 5. Este es un valor que se encuentra enlazado a otros términos como la distancia, magnitud y norma que se pueden presentar en diferentes contextos donde el número se encuentre ya sea de la matemática o de la física. Sin embargo en otros conceptos relacionados con la matemática, se puede tomar como un concepto general. Estos conceptos pueden ser los anillos ordenados, los cuaterniones y los espacios o cuerpos vectoriales. Como una definición un poco más técnica decimos entonces que el valor absoluto se establece dentro de los números enteros, número reales o números racionales. Esto se representa de la siguiente manera: a= a0 a= a< 0 Cómo calcular el valor absoluto Para poder calcular el valor absoluto de un número se deben considerar algunos criterios. Por ejemplo se debe tener claro que en el caso de que un número sea positivo, l resultado será el mismo número. En el caso de presentarse un número negativo, entonces el resultado será el número opuesto. Esto quiere decir que si el número es -4 entonces el opuesto es 4 y este sería su resultado. En el caso que el número sea cero, el resultado es el mismo cero. Cuando se usa una recta numérica, esto se puede observar de manera más gráfica. En el cálculo del valor absoluto de un número se encuentran también las definiciones equivalentes. Éstas dicen que cuándo se presente un número real, el valor absoluto de ese número será siempre uno real pero no negativo. Esto se puede representar como se muestra a continuación: a viene a ser igual al máximo de a, -a. Valor relativo El valor relativo de un número se define tomando en cuenta el valor que obtiene cada número que conforma una misma cifra. Es decir que si nos encontramos, por ejemplo, con el número 321, debemos entonces calcular el valor relativo de cada número. En este caso el valor relativo de 3, el valor relativo del 2 y el del 1. En este sentido decimos que el valor relativo de 1 es el mismo 1. El valor relativo del 2, en esta cifra, es de 20, esto es así porque el 2 se encuentra en la posición de las decenas. En el caso del 3 su valor relativo se dice que es el 300 pues está en el puesto de las centenas. Cómo calcular el valor relativo de un número Al tomar cualquier número entero podemos calcular su valor relativo al tratar de representarlo de formas diferentes como, por ejemplo, al descomponerlo o de una manera equivalente. Por ejemplo si tomamos el mismo 321 podemos representarlo de forma equivalente que sería de la siguiente manera 300 + 20 + 1. Así estaremos viendo el valor relativo de cada número por separado. Entonces el valor del primer número es 300, el del segundo número es 20 y el del tercer número es 1. En el caso de presentarse un número más grande, se procede de la misma manera. Por ejemplo en el caso de tener el 5.467, podemos representarlo así: 5.000 + 400 + 60 + 7.
- 15. Valor posicional En este caso hacemos referencia a ese valor que un número adquiere dependiendo del lugar o la posición que ocupe dentro de la cifra entera. Este valor puede ser de unidad, decena, centena, unidad de mil y algunos más. Estos términos ya deben estar bien claros puesto que es algo que hemos visto anteriormente. Por ejemplo, si tomamos la cifra 19, debemos descubrir el valor relativo de cada número que, en este caso son dos. Entonces debemos elaborar una tabla y colocar cada número en la casilla que corresponde, tal como se muestra a continuación: Entonces, vemos que al ubicar cada uno donde corresponde podemos entender que el 1 tiene un valor dentro de la decena y el 9 está dentro de la unidad. Esto quiere decir que el 1 tiene un valor relativo de 10 y el 9 tiene un valor absoluto de 9. Cada uno va de acuerdo al lugar que ocupa. Este valor es muy parecido a los que vimos anteriormente pero su forma de representar es diferente. Calcular el valor relativo de un número es un proceso realmente fácil que puede hacerse sin necesidad de emplear la tabla de valores. En este sentido es importante comprender los conceptos y métodos de los demás valores para así saber cómo proceder de la manera correcta. Esto implica una práctica de los métodos para calcular los diferentes valores de un número y así poder proceder obteniendo buenos resultados en las operaciones e se aplique.
- 16. DESIGUALDADES DE VALOR ABSOLUTO CONCLUSIÓN Si el valor absoluto de la variable es menor que el término constante, entonces la gráfica resultante será un segmento entre dos puntos. Si el valor absoluto de la variable es mayor que el término constante, entonces la gráfica resultante consistirá en dos rayos apuntando al infinito en direcciones opuestas.