Este documento presenta la teoría básica de conjuntos. Introduce la notación y representación de conjuntos, incluyendo definiciones, formas de expresar conjuntos de manera extensiva y comprensiva, y el uso de diagramas de Venn. También explica conceptos como subconjuntos, complementos de subconjuntos, y operaciones básicas con conjuntos como la unión e intersección.

1. ÁLGEBRA BÁSICA
PRIMER SEMESTRE

2. UNIDAD I
TEORÍA DE CONJUNTOS
LE. SARA INÉS DE LA LLATA

3. 1.1 Notación y Representación de
Conjuntos
Cuando el hombre primitivo se agrupa en
sociedades, necesita distinguir entre lo que le
pertenece y lo que no es suyo y surge
entonces un elemento matemático :
COLECCIÓN O CONJUNTO DE OBJETOS

4. HISTORIA
La Teoría de Conjuntos fue
estudiada por el
Matemático Alemán
George Ferdinand
Cantor (1845 – 1918)
Otro matemático que
contribuyó a la Teoría
fue el Inglés John Venn
(1834 – 1923) a quien
se deben los diagramas
que llevan su nombre.

5. HISTORIA
La representación de los
conjuntos de forma
geométrica fue
ampliada por Augustus
de Morgan.
En tanto que George
Boole, introduce las
operaciones de Unión,
Intersección y
Complemento de
Conjuntos.

6. 1.1.1 DEFINICIÓN
• Conjunto:
• Colección de objetos bien definida que se
entiende se presentan juntos. Estos objetos
se llaman miembros o elementos.
• Colección de objetos, que tienen al menos
una propiedad común, por la cual se dice que
pertenecen a dicho conjunto específico.

7. Ejemplos
• A) El conjunto de los 12 meses del año; B)
Números pares menores que 10; C) Números de
tres dígitos, no repetidos, que se pueden formar
con los números 2, 6 y 7; D) Las letras del
abecedario, E) Los alumnos del primer semestre
de Bachillerato de UPAEP, F) Las partes del auto
que forman un Bora.
• Nótese que en algunos casos el conjunto
consiste en objetos físicos reales, en otros los
elementos son abstractos, es decir existen sólo
como ideas.

8. 1.1.2 NOTACIÓN: Expresión y
Representación de Conjuntos
Representación
• Usaremos letras mayúsculas
A, C, X, Z.
• Incluiremos sus elementos
dentro de llaves { }
separados por comas.
• El símbolo  significa “es
elemento de”.
• El símbolo  significa “no es
elemento de”
Expresión
• A = {2,4,6,8} o A = {2,8,6,4}
“Forma extensiva o
enumerativa”
• A = {x  x es un número par
menor que 10}
“Forma comprensiva”
• A
2 6
4
8
• “Diagrama de Venn ”

9. ¿CÓMO SE LEE LA FORMA COMPRENSIVA QUE
DESCRIBE LA ENUMERATIVA, TAMBIÉN LLAMADA
TABULAR?
A = {xx es un número par menor que 10}
“A es el conjunto formado por elementos x, tal
que x es un número par menor que 10”
B = {xx son números de tres dígitos diferentes,
que pueden formarse con 2, 6 y 7}
“B es el conjunto formado por elementos x, tal
que x, son números de tres dígitos diferentes
que pueden formarse con los números 2, 6 y 7”

10. PERMUTACIONES
El Conjunto B esta formado por Permutaciones
del número 267, es decir por aquellos números
que usan los tres dígitos en diferente posición,
por tanto también puede escribirse:
B = {xx son permutaciones del número 267}
“B es el conjunto formado por elementos x, tal
que x, son todas las permutaciones del número
267”

11. EJERCICIO DE COMPRENSIÓN
a) K = {xx son permutaciones del número 1357}
Escribirlo de forma enumerativa y cómo se lee.
Calculamos el número de elementos mediante el
factorial de los dígitos, es decir 4 y se escribe
como: 4! = 1 x 2 x 3 x 4 = 24
K = {1357, 1375, 1537, 1573, 1735, 1753, 3157, 3175,
3517, 3571, 3715, 3751, 5137, 5173, 5317, 5371,
5713, 5731, 7135, 7153, 7315, 7351, 7513, 7531}

12. Pertenencia
• Cuando un elemento
forma parte de un
conjunto, éste se
identifica mediante el
símbolo .
Ejemplo:
A = {2,4,6,8}
Por lo tanto 4  A
Se lee 4 es elemento de
A
• Si un elemento no
pertenece a un
conjunto, éste se
identifica mediante
el símbolo .
Ejemplo:
A = {2,4,6,8}
Por lo tanto 1  A
1 no es elemento de A

13. USANDO LA PERTENENCIA TAMBIÉN PODEMOS
LEER CONJUNTOS DE DIFERENTE MANERA
Existen conjuntos de números que son múltiplos de
otro, por ejemplo el conjunto de números múltiplos
de 2 o pares, se denota de la siguiente manera:

2 = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, …}
Sabiendo esto podemos reescribir el conjunto:
A = {x  x es un número par menor que 10} como:

A = {x  2  x < 10}
“A es el conjunto de elementos x que pertenecen a los
múltiplos de 2, tal que x es menor que 10”

14. EJERCICIO DE COMPRENSIÓN
a) M = {xx son permutaciones de la palabra amor}
Escribirlo de forma enumerativa y cómo se lee.

b) 3 = { }

c) 5 = { } Dibujar el
Diagrama de Venn.
d) “R es el conjunto de elementos x que pertenecen a
los múltiplos de 3, tal que x es menor que 360”
Escribirlo de forma enumerativa y comprensiva.

15. 1.2 DIAGRAMA DE VENN
• UNA DE LAS MÁS IMPORTANTES ES QUE NOS
PERMITEN RESOLVER PROBLEMAS DONDE SE
INVOLUCREN VARIOS CONJUNTOS.
SUPONGAMOS QUE UNA EDITORIAL HACE UNA
ENCUESTA DE PREFERENCIAS SOBRE SUS TRES
REVISTAS A LAS QUE LLAMAREMOS A, B , C.
LOS RESULTADOS DE LA ENCUESTA REVELARON
LOS SIGUIENTES DATOS:

16. RESULTADOS DE LA ENCUESTA
• SE ENCUESTARON 1000
PERSONAS.
• 600 LEEN LA REVISTA A
• 500 LA REVISTA B
• 500 LA REVISTA C
• 200 LAS REVISTAS B Y C
• 300 LA C Y LA A
• 300 LA A Y LA B
• 100 LA A, LA B Y LA C.
• VAMOS A RESOLVER CON
LA AYUDA DE DIAGRAMAS
DE VENN LAS SIGUIENTES
PREGUNTAS:
• 1) ¿CUÁNTOS LEEN DOS Y
SÓLO DOS REVISTAS?
• 2) ¿CUÁNTOS LEEN SÓLO
UNA REVISTA?
• 3) ¿CUÁNTOS NO LEEN
NINGUNA REVISTA?

17. DIAGRAMAS DE VENN
REGIÓNES QUE SE FORMAN
INTERPRETACIÓN DE LAS
REGIONES
• IV = LEEN LAS 3 REVISTAS SON 100
• IV Y V JUNTAS = PREFIEREN A Y C, QUE
SON 300, PERO COMO YA SABEMOS QUE
IV ES 100, ENTONCES V SERÁN 200
• IV Y VI JUNTAS = LEEN B Y C QUE SON
200, COMO IV ES 100, VI DEBEN SER 100
• IV Y II JUNTAS = PREFIEREN A Y B Y SON
300, IV ES 100, II ES ENTONCES 200.
• I, II, IV Y V = SÓLO LEEN A Y SON 600,
COMO YA SABEMOS QUE: II =200, IV =
100 Y V = 200, TENDREMOS QUE I=100
• II, III, IV Y VI = LEEN B Y SON 500,
CONOCEMOS QUE II = 200, IV = 100, Y VI
= 100, POR TANTO III = 100
• V, IV, VI Y VII = PREFIEREN C Y SON 500,
V= 200, IV = 100 Y VI = 100, VII = 100
A B
I II
IV
VII
C
III
V VI

18. DIAGRAMAS DE VENN
CANTIDADES EN LAS REGIONES RESPUESTAS A LAS PREGUNTAS
• 3) ¿CUÁNTOS NO LEEN
NINGUNA REVISTA?
• SI SUMAMOS LA
CARDINALIDAD DE CADA
REGIÓN:
n(I) + n(II) + n(III) + n(IV) + n(V) + n(VI) + n (VII)
100 + 200 + 100 + 100 + 200 +100 + 100 = 900
LAS 100 QUE FALTAN PARA 1000,
QUE FUERON LAS
ENCUESTADAS, SON LAS
PERSONAS QUE NO LEEN
NINGUANA DE LAS TRES
REVISTAS.
A B
100
200 100
C
100
200 100
100
I
II
IV
III
V VI
VII

19. BUSCANDO LAS DEMÁS RESPUESTAS
• 1) ¿CUÁNTOS LEEN DOS Y SÓLO DOS REVISTAS?
SON LOS QUE ESTAN EN LAS REGIONES II, V Y VI, ASÍ QUE
SUMANDO SUS CARDINALIDADES TENEMOS:
n(II) + n(V) + n(VI) = 200 + 200 + 100 = 500
• 2) ¿CÚANTOS LEEN SÓLO UNA REVISTA?
LOS QUE ESTAN EN LAS REGIONES I, III Y VII
n(I) + n(III) + n(VII) = 100 + 100 + 100 = 300
• ¿QUÉ CANTIDAD DE LECTORES COMPRAN LAS TRES REVISTAS?
LOS QUE ESTAN EN LA ZONA IV
n(IV) = 100

20. EJERCICIO DE TAREA
EN UNA SECUNDARIA CON 300 ALUMNOS, SE PRACTICAN
FUTBOL (F), ATLETISMO (A) Y VOLEIBOL (V), SI 74 PRACTICAN
V, 92 PRACTICAN A, 117 PRACTICAN F, ADEMÁS 24
PRACTICAN V Y F, 22 PRACTICAN F Y A, 19 PRACTICAN V Y A Y
9 LOS TRES DEPORTES. REALIZAR UN DIAGRAMA DE VENN Y
RESPONDER:
a) ¿CUÁNTOS ALUMNOS NO PRACTICAN ALGUNO DE ESTOS
TRES DEPORTES?
b) ¿CUÁNTOS PRACTICAN SÓLO F Y V?
c) ¿CUÁNTOS ALUMNOS PRACTICAN SÓLO UN DEPORTE?

21. Conjunto Universo y Conjunto Unitario
• Universo: Esta formado
por todos los elementos
que intervienen en una
situación dada.
Ejemplo:
U = x x es un Estado de la
República Mexicana
• Unitario: Consta de un
solo elemento.
Ejemplo:
M = x x es maestra de
Álgebra de Prepa UPAEP
Santiago de 1º B
A = x x es alumno de
primer semestre de
Bachillerato de UPAEP de
nombre René Santos
Gómez

22. Representación de Subconjuntos
Los representaremos ahora con un diagrama
de Venn.
K
1 3
7
2 6
10
5 8 9
4
M L

23. PROPIEDADES DE LOS SUBCONJUNTOS
1) Cualquier conjunto esta incluido en si mismo, es
decir es subconjunto de sí mismo. A  A
2) El conjunto vacio es un subconjunto de cualquier
conjunto.   A. ¿Por qué? Como el conjunto
no tiene elementos, si no fuera así, significaría
que alguno de sus elementos no esta en otro.
3) Al conjunto que contiene todos los elementos se
le denomina Conjunto Universal.

24. EJEMPLO
Sea Z = l, m, n
Escribir todos los posibles subconjuntos de Z:
, l, m, n, l, m, m, n, l, n, l, m, n

25. COMPLEMENTO DE UN
SUBCONJUNTO
Si tenemos un conjunto U = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 y
otro B = 3, 7, decimos que B es subconjunto
de U.
Los elementos 1, 2, 4, 5, 6 están en U pero no
están en B, este conjunto se representa como
Bc o B’ y se lee “complemento de B” o “B
prima”.
B’ = 1, 2, 4, 5, 6
Su notación sería B’ = x  U  x  B

26. Ejemplos de Complemento de un
Subconjunto
Si U = 1, 2, 3… 20 y A  U y sabemos que:
A = x  x es un número par menor o igual a 20,
encontrar A’
A = 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20
A’ = x  x es un número non menor a 20
A’ = 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19
A’ = x  U  x  A

27. Ejemplos de Complemento de un
Subconjunto
Si U = a, b, c, d, e, f, g, h, i, j y S  U y sabemos
que:
S = a, g, h, i, encontrar S’
S’ = b, c, d, e, f, j
S’ = x  U  x  S

28. OPERACIONES BÁSICAS CON
CONJUNTOS
Existen dos formas básicas para combinar
conjuntos: la Unión y la Intersección.
UNIÓN: Si L y M son dos conjuntos
entonces la unión de L con M es el
conjunto formado por los elementos de
L o de M o de ambos y se representa
como L  M.
L  M = x  L o x  M

29. UNIÓN
L = 1, 2, 3, 4 y M = 3, 4, 5, c, d
L  M = 1, 2, 3, 4, 5, c, d
Nótese que no se repiten los
elementos que están en ambos
conjuntos.

30. OPERACIONES BÁSICAS CON
CONJUNTOS
INTERSECCIÓN: Si L y M son dos conjuntos
entonces la intersección de L con M es el
conjunto formado por los elementos de L
que también lo son de M y se representa
como L  M.
L  M = x  L y x  M

31. INTERSECCIÓN
L = 1, 2, 3, 4 y M = 3, 4, 5, c, d
L  M = 3, 4
3 Y 4 SON LOS ÚNICOS ELEMENTOS
QUE LO SON TANTO DE L COMO
DE M

32. REPRESENTACIÓN GRÁFICA
UTILIZAREMOS EL MISMO DIAGRAMA DE VENN
PARA REPRESENTAR LAS OPERACIONES DE UNIÓN
E INTERSECCIÓN:
1 2 3 c
4 5 d
L M
LA UNIÓN ESTA REPRESENTADA POR EL CONTORNO
DE AMBOS CONJUNTOS Y LA INTERSECCIÓN POR
EL ÁREA EN QUE LOS CONJUNTOS SE UNEN.

33. OPERACIONES BÁSICAS CON
CONJUNTOS
Otra operación entre conjuntos es la:
DIFERENCIA: Si L y M son dos conjuntos,
entonces la diferencia del conjunto L con M es
el conjunto formado por los elementos que
pertenecen al conjunto L pero no pertenecen
al conjunto M.
L - M se lee “L diferencia con M” también suele
escribirse como L / M o L  M

34. DIFERENCIA
L = 1, 2, 3, 4 y M = 3, 4, 5, c, d
L - M = 1, 2
1 Y 2 SON LOS ELEMENTOS QUE SON DE L PERO
NO DE M.
M – L = 5, c, d
5, c Y d SON LOS ELEMENTOS QUE SON DE M
PERO NO DE L.

35. REPRESENTACIÓN GRÁFICA
EN EL SIGUIENTE DIAGRAMA DE VENN EULER SE
REPRESENTA LA OPERACIÓN DE DIFERENCIA.
L - M
3 c
L 1 2 4 5 d M

36. REPRESENTACIÓN GRÁFICA
AHORA EN EL DIAGRAMA DE VENN EULER SE
REPRESENTA LA OPERACIÓN DE DIFERENCIA.
M - L
3 c
L 4 5 d M 1 2

37. Ejercicios
DADOS LOS SIGUIENTES CONJUNTOS:
U = inglés, francés, alemán, italiano, portugués,
español, chino, ruso
I = inglés, francés, alemán, español, ruso
L = francés, alemán, portugués, chino, ruso
ENCONTRAR a) C = I – L y b) D = L – I
OBTÉN ADEMAS:
c) (L  C)’ – (L  D) ‘ y d) (D  L’)’ – C
e) Realiza los diagramas de Venn de a), b) y c)

38. CONJUNTOS DISJUNTOS O
MUTUAMENTE EXCLUYENTES
Son aquellos que no tienen elementos comunes.
Por ejemplo A = 1, 3, 7, 8 y B = 2, 4, 6 son
conjuntos disjuntos ya que ningún elemento
de A es elemento de B y viceversa.
También puede decirse que A  B = 
Otro ejemplo:
C = x  x es par y D = x  x es impar

39. CARDINALIDAD DE CONJUNTOS
Se define como el número de elementos de un
conjunto.
Si tenemos un conjunto V usaremos los símbolos
n(V) o #(V) para su representación.
Ejemplo:
Obtener la cardinalidad de:
P = x  x es par menor que 20
P = 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18 n(P) = 9

40. 1.3 ESPACIO MUESTRAL
Espacio Muestral Ω es el conjunto de todos los
posibles resultados que se pueden obtener en
el experimento.
Nuestro objetivo será determinar P(A) la
probabilidad de que al llevar a cabo el
experimento aleatorio ocurra el suceso A.
Suceso simple: Es un suceso que nada más tiene
un elemento.
Suceso A, B,… Es cualquier subconjunto del
espacio muestral.

41. EQUIVALENCIA ENTRE
PROBABILIDAD Y CONJUNTOS.
Ejemplos:
≻ El experimento: Tirar un dado.
• Espacio muestral Ω = {1,2,3,4,5,6}
– Sucesos simples: cada uno de los elementos de Ω
– Otros ejemplos de sucesos podrían ser,
• A = {par}
– A = {2,4,6}.
• B = {múltiplos de 3 }
– B = {3,6}

42. EQUIVALENCIA ENTRE
PROBABILIDAD Y CONJUNTOS.
– Tirar una moneda tres veces
• Espacio muestral
– Ω = {CCC, CCX, CXC, CXX, XCC, XCX, XXC, XXX}.
– Sucesos simples: cada uno de los elementos de Ω
– Otros ejemplos de sucesos podrían ser,
• A = {dos caras como mínimo}
– A = {CCC, CCX,CXC, XCC}.
• B = {dos cruces}
– B = {CXX, XCX,XXC}