METODOS NUMERICOS

1. Módulo 4 1
DERIVADAS NUMÉRICAS
Curso: Métodos Numéricos Para Ingeniería
INTRODUCCIÓN
El diseño de sistemas hidráulicos, circuitos deagua,
dinámica del sismo, requieren uso de derivadas,
para medir la rapidez del suceso. Sin embargo, es
imposible trabajar con la derivada simbólica
siempre, de allí que aparezca el concepto de la
diferencia finita, es decir pequeñas diferencias en
la función para puntos cercanos.
A continuación, se presentan algunas fórmulas
para el cálculo aproximado de derivadas.
DIFERENCIAS FINITAS DE DOS PUNTOS
Si (x0, f(x0)) y (x1, f(x1)) son dos puntos de la función
f(x), x1=x0+h, h tamaño de paso, la DERIVADA
numérica de f en x0 es:
Fórmula Progresiva:
   
1 0
0
1 0
( ) ( )
''
2
'
f x f x
f x
x x
h
f c




0 1
paraalgún ,
c x x

Fórmula Regresiva:
   
1 0
1
1 0
( ) ( )
''
2
'
f x f x
f x
x x
h
f d




0 1
para algún ,
d x x

Ejemplo 1:
Si f (x) está definida en la tabla, el valor de f ‘(2) por
la fórmula progresiva de los 2 puntos es:
x  
f x  
'
f x
1 f (1) 16
2 7  
' 2
f
3 f (3) 12
4 14
Solución:
x  
f x  
'
f x
1 f (1) 16
2 7  
' 2
f
3 f (3)  
14 3
12
1
f


4 14
Por la fórmula progresiva de 2 puntos:
 
14 3
12
1
f

 , entonces f (3) = 2
Luego  
2 7
' 2 5
1
f

  
DIFERENCIAS FINITAS DE TRES PUNTOS
Dada la partición 0 1 0 2 0 2
x x x h x x h
      ,
donde h tamaño de paso. Sean los puntos
 
   
   
 
0 0 1 1 2 2
, , , , ,
x f x x f x x f x , en
resumen:
x f (x)
x0 f x0 
x1  x0  h f x1 
x2  x0  2h f x2 
Este método se basa en las diferencias finitas:
Progresiva:
       
   
0 0 1 2
0 2
2
1
' 3 4 '
,
''
3
2
f x f x f x f x
h
c
h
f
x
c
x
   


Centrada:
     
   
2
1 0 2
0 2
'''
'
6
1
2
,
f x f x f
h
f
x
x x
d
h
d

  

Regresiva:

2. Módulo 4 2
       
   
2 0 1 2
0 2
2
'''
3
1
' 4 3
2
,
f x f x f x f x
h
m x
h
f m
x

  

Podemos notar en el grafico que estas fórmulas
son la aproximación a las derivadas en los puntos
indicados (rectas tangentes).
Ejemplo 2:
Sea f (x) desconocida, definida en [0.7, 1.6], cuya
información está dada en la siguiente tabla
xn
0.7 1.0 1.3 1.6
f (xn ) 0.12 1.22 2.53 1.49
Por las fórmulas de los tres puntos calcular f '(0.7),
f '(1) , f '(1.3) , f '(1.6)
Solución:
Tamaño de paso h  0.3
Fórmula progresiva
       
 
 
1
' 0.7 3 0.7 4 1 1.3
2
' 0.7 3.3167
f f f f
h
f
   

Fórmula centrada
     
 
1
' 1 0.7 1.3 4.0167
2
f f f
h
   
Fórmula centrada
     
 
1
' 1.3 1 1.6 0.45
2
f f f
h
   
Fórmula regresiva
A.
NOTA.
Para el punto x = 1, se puede usar también la
fórmula progresiva, sin embargo, mejor opción es
la fórmula centrada (de menor error).
Para el punto x = 1.3, se puede usar también la
fórmula regresiva, sin embargo, mejor opción es
la fórmula centrada (de menor error).
SEGUNDA DERIVADA
Dada la partición 0 1 0 2 0 2
x x x h x x h
      ,
donde h tamaño de paso. Sean los puntos
 
   
   
 
0 0 1 1 2 2
, , , , ,
x f x x f x x f x , la
SEGUNDA DERIVADA numérica de f en x0 es:
FÓRMULA PROGRESIVA
 
     
0 1 2
0 2
2
''
f x f x f x
f x
h
 

FÓRMULA REGRESIVA
 
     
0 1 2
1 2
2
''
f x f x f x
f x
h
 

NOTA.
Ambas fórmulas son deducidas a partir de la
fórmula de los dos puntos.
IMPLEMENTACIÓN NUMÉRICA
Programa  f3ptos.m
% Nombre de archivo "derivada.m"
function p=f3ptos(fun,x0,h,op)
% Fórm de los 3 ptos para el cálc de la deriv
% p=f3ptos(fun,x0,h,op)
% op=1 --> formula progresiva
% op=2 --> formula centrada
% op=3 --> formula regresiva
if op<1 | op>3, error('solo válidos 1, 2 ó
3'); end
f=inline(fun);
switch op
case 1 %Para fórmula progresiva
x=x0:h:x0+2*h;
y=f(x);
p=1/(2*h)*(-3*y(1)+4*y(2)-y(3));
case 2 %Para fórmula centrada
x=x0-h:h:x0+h;
y=f(x);
p=1/(2*h)*(-y(1)+y(3));
case 3 %Para fórmula regresiva
x=x0-2*h:h:x0;
y=f(x);
p=1/(2*h)*(y(1)-4*y(2)+3*y(3));
end
fprintf('k x f(x) n');
fprintf('----------------------n');
for k=1:3
fprintf('%d %.4f %.7fn',k,x(k),y(k));
end
end
%Para ejecutar el algoritmo
% derivada("fun",x0,h,op)

3. Módulo 4 3
NOTA.
Este programa permite escoger una de las tres
opciones, según el dato del 4to argumento:
op=1 --> formula progresiva
op=2 --> formula centrada
op=3 --> formula regresiva
Ejemplo 3:
Calcular la segunda derivada de la función  
f x
en el punto 0.6
x  por la fórmula centrada
usando la tabla:
x  
f x
0.4 0.4794
0.6 0.5646
0.8 0.6442
Solución:
Calculemos  
'' 0.6
f , para ello se necesita los
datos en: 0 1 2
0.4, 0.6, 0.8
x x x
   . Utilizando
la fórmula dediferencias centradas delos 3 puntos,
se tiene:
 
     
0 1 2
1 2
2
''
f x f x f x
f x
h
 

 
     
2
0.4 2 0.6 0.8
'' 0.6
0.2
f f f
f
 

 
 
2
0.4794 2 0.5646 0.6442
'' 0.6 0.14
0.2
f
 
  
RECOMENDACIÓN
En este módulo se recomienda tomar en cuente lo
siguiente:
1. Identificar la partición en la variable
independiente.
2. Definir que fórmula es la más apropiada a usar
para calcular la derivada.
3. Por facilidad puede usar el programa Octave
para la fórmula de los 3 puntos.
FUENTES BIBLIOGRÁFICAS
- Chapra, S., & R, C. (2007). Métodos Numéricos
para Ingenieros. La Ciudad de México, México:
McGranw-Hill.
- Guillem, N., & Galván, R. (2008). Cálculo
numérico con Octave. Fundación de Software
Libre.