Este documento describe un estudio sobre el desarrollo de las estrategias matemáticas en niños de 4-6 años para resolver problemas aditivos y multiplicativos. Los investigadores evaluaron a los niños dos veces, observando que tenían altos niveles de éxito y usaban principalmente estrategias de representación directa. Las estrategias variaban dependiendo del tipo de operación y momento de evaluación, y los cambios de estrategia eran graduales en lugar de abruptos.
"LA FUNCIONALIDAD DE LAS SUCESIONES FIGURATIVAS Y NUMÉRICAS"eymr123
El documento describe las sucesiones figurativas y numéricas, que implican secuencias de objetos o números que aumentan en volumen o cantidad. Estas sucesiones ayudan a desarrollar el razonamiento lógico-matemático en los estudiantes y a resolver problemas de la vida diaria. Sin embargo, la sociedad actual no está completamente preparada para este enfoque de educación, ya que los padres esperan que la escuela enseñe operaciones básicas de forma mecánica. Los maestros deben trabajar para cambiar esta perspectiva cultural
Este documento describe estrategias para enseñar conceptos matemáticos como suma, resta y multiplicación a niños de preescolar. Explica que es importante que los niños entiendan el concepto de número y cómo se relaciona con operaciones aritméticas básicas. También discute estrategias que los maestros pueden usar como observar a los estudiantes, presentar diferentes tipos de problemas matemáticos y crear ambientes de aprendizaje significativo. El objetivo final es que los estudiantes aprendan los significados aritmétic
Este documento trata sobre la resolución de problemas matemáticos y las competencias necesarias para enseñar, aprender y hacer matemáticas en la educación preescolar. Explica que los niños desarrollan nociones numéricas, espaciales y temporales desde una edad temprana y que durante la preescolar aprenden conceptos matemáticos básicos a través del canto y el juego. También destaca la importancia de partir de lo concreto hacia lo abstracto en la enseñanza de las matemáticas y los objetivos
LA FUNCIONALIDAD DE LAS SUCESIONES FIGURATIVAS Y NUMÉRICASeymr123
Las sucesiones figurativas y numéricas implican secuencias de objetos o números que aumentan de volumen o cantidad. Estas sucesiones ayudan a desarrollar el razonamiento lógico-matemático en los estudiantes para que puedan resolver problemas de la vida diaria de manera autónoma, comunicando y justificando matemáticamente sus soluciones de manera eficiente. Sin embargo, la sociedad aún ve las matemáticas de forma mecánica en lugar de enfocarse en el desarrollo del pensamiento crítico, por lo que los ma
Este documento discute la capacidad innata de los niños para razonar sobre cantidades numéricas desde una edad temprana. Explica que los bebés pueden distinguir y cuantificar pequeñas cantidades a través de mecanismos como la subitización, aunque sus primeros conceptos numéricos son intuitivos y basados en la percepción. En la etapa preescolar, los niños desarrollan habilidades como el conteo y las operaciones matemáticas básicas. El papel del maestro es aprovechar el potencial matemá
Este documento presenta varias estrategias para el desarrollo del pensamiento matemático. Describe las inteligencias múltiples y la inteligencia lógico-matemática. Explica conceptos como la competencia matemática, la matematización y los procesos generales como la comunicación, modelación, razonamiento y resolución de problemas. También presenta estrategias de enseñanza, aprendizaje y cognitivas para fomentar el pensamiento matemático.
Este documento describe un enfoque centrado en la resolución de problemas para la enseñanza de las matemáticas. Se presenta una situación problemática en el aula donde los niños deben encontrar una manera de que todos puedan lavarse las manos. Los niños proponen soluciones que desarrollan su competencia matemática y capacidades como contar y comparar.
"LA FUNCIONALIDAD DE LAS SUCESIONES FIGURATIVAS Y NUMÉRICAS"eymr123
El documento describe las sucesiones figurativas y numéricas, que implican secuencias de objetos o números que aumentan en volumen o cantidad. Estas sucesiones ayudan a desarrollar el razonamiento lógico-matemático en los estudiantes y a resolver problemas de la vida diaria. Sin embargo, la sociedad actual no está completamente preparada para este enfoque de educación, ya que los padres esperan que la escuela enseñe operaciones básicas de forma mecánica. Los maestros deben trabajar para cambiar esta perspectiva cultural
Este documento describe estrategias para enseñar conceptos matemáticos como suma, resta y multiplicación a niños de preescolar. Explica que es importante que los niños entiendan el concepto de número y cómo se relaciona con operaciones aritméticas básicas. También discute estrategias que los maestros pueden usar como observar a los estudiantes, presentar diferentes tipos de problemas matemáticos y crear ambientes de aprendizaje significativo. El objetivo final es que los estudiantes aprendan los significados aritmétic
Este documento trata sobre la resolución de problemas matemáticos y las competencias necesarias para enseñar, aprender y hacer matemáticas en la educación preescolar. Explica que los niños desarrollan nociones numéricas, espaciales y temporales desde una edad temprana y que durante la preescolar aprenden conceptos matemáticos básicos a través del canto y el juego. También destaca la importancia de partir de lo concreto hacia lo abstracto en la enseñanza de las matemáticas y los objetivos
LA FUNCIONALIDAD DE LAS SUCESIONES FIGURATIVAS Y NUMÉRICASeymr123
Las sucesiones figurativas y numéricas implican secuencias de objetos o números que aumentan de volumen o cantidad. Estas sucesiones ayudan a desarrollar el razonamiento lógico-matemático en los estudiantes para que puedan resolver problemas de la vida diaria de manera autónoma, comunicando y justificando matemáticamente sus soluciones de manera eficiente. Sin embargo, la sociedad aún ve las matemáticas de forma mecánica en lugar de enfocarse en el desarrollo del pensamiento crítico, por lo que los ma
Este documento discute la capacidad innata de los niños para razonar sobre cantidades numéricas desde una edad temprana. Explica que los bebés pueden distinguir y cuantificar pequeñas cantidades a través de mecanismos como la subitización, aunque sus primeros conceptos numéricos son intuitivos y basados en la percepción. En la etapa preescolar, los niños desarrollan habilidades como el conteo y las operaciones matemáticas básicas. El papel del maestro es aprovechar el potencial matemá
Este documento presenta varias estrategias para el desarrollo del pensamiento matemático. Describe las inteligencias múltiples y la inteligencia lógico-matemática. Explica conceptos como la competencia matemática, la matematización y los procesos generales como la comunicación, modelación, razonamiento y resolución de problemas. También presenta estrategias de enseñanza, aprendizaje y cognitivas para fomentar el pensamiento matemático.
Este documento describe un enfoque centrado en la resolución de problemas para la enseñanza de las matemáticas. Se presenta una situación problemática en el aula donde los niños deben encontrar una manera de que todos puedan lavarse las manos. Los niños proponen soluciones que desarrollan su competencia matemática y capacidades como contar y comparar.
Competencias matemáticas y resolucion de problemasAriel Córdova
El documento describe las competencias matemáticas y la resolución de problemas. Explica que las competencias matemáticas implican la capacidad de analizar y resolver problemas matemáticos en diversos contextos utilizando habilidades matemáticas. También describe que la resolución de problemas es crucial para desarrollar competencias matemáticas ya que activa capacidades como comprender, analizar y aplicar estrategias. Finalmente, señala que los docentes deben enfocarse en la resolución de problemas para ayudar a los estudiantes a desarrollar competencias matem
La actualidad de la educación matemática en el sistema escolar, particularmente en El Salvador, ha puesto en evidencia debilidades tanto en la enseñanza como en el aprendizaje de la misma.
Este ensayo propone estrategias metodológicas para mejorar la enseñanza de la estadística en las escuelas, incluyendo la implementación de proyectos de investigación estadística y experimentación con fenómenos aleatorios. Argumenta que el pensamiento estadístico es importante para que los estudiantes puedan interpretar la gran cantidad de información en el mundo actual. También sostiene que los docentes deben aplicar herramientas metodológicas como la evaluación de pre-saberes de los estudiantes para mejorar la compre
1) El documento describe la importancia del desarrollo de competencias matemáticas en la primera infancia, específicamente en relación con el número, la lógica y la resolución de problemas. 2) Se explican conceptos como clasificación, seriación y correspondencia como operaciones lógicas fundamentales y se proveen ejemplos. 3) Se describen cuatro competencias matemáticas específicas relacionadas con la construcción del número que deben desarrollarse en la primera infancia.
Rutas de aprendizaje 2015: Referentes, desarrollo y perspectivasApinema
El documento describe los componentes fundamentales de un enfoque basado en competencias para la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas. Se enfoca en desarrollar el pensamiento y las acciones matemáticas de los estudiantes a través de la resolución de problemas en diversos contextos. Describe cuatro competencias matemáticas clave, procesos de enseñanza y aprendizaje, y elementos curriculares como unidades didácticas y mapas de progresión de aprendizaje.
Aprendizaje de las competencias matematicasGabii Chelita
Este documento presenta un proyecto de investigación que busca determinar los factores que intervienen en el aprendizaje de las competencias matemáticas tempranas en niños de 5 años de la Unidad Educativa "Aloasí". El proyecto incluye la presentación del problema de investigación, los objetivos, las preguntas de investigación, la justificación, el marco teórico, el diseño metodológico y el alcance de la investigación.
Las matemáticas son importantes para la vida cotidiana y el desarrollo del pensamiento. Como futuros maestros, debemos despertar en los niños el interés y la curiosidad por las matemáticas y acercarlos a ejercicios que fortalezcan su razonamiento lógico a través de sucesiones de números y figuras. Esto les permitirá pensar de manera holística y encontrar diferentes soluciones a los problemas.
Este documento describe la importancia de la resolución de problemas matemáticos en la
educación preescolar. Explica que los niños adquieren conocimientos matemáticos a través de
experiencias en su vida cotidiana y con la ayuda de los adultos. También destaca que la resolución
de problemas implica un proceso cognitivo complejo y que los errores comunes incluyen falta de
comprensión lectora. Finalmente, enfatiza el papel del docente en desarrollar competencias
matemáticas en
Resolución de Problemas, competencias para enseñar, aprender y hacer Matemáti...Karen Loya
Este documento presenta un ensayo sobre la resolución de problemas matemáticos en la etapa preescolar. Explica que es importante desarrollar competencias como conocimientos, habilidades, destrezas, valores y actitudes en los niños para facilitar el aprendizaje de las matemáticas. También destaca la importancia de plantear problemas atractivos para los niños que les permitan buscar nuevos procedimientos para resolverlos por sí mismos.
Este documento discute el desarrollo del pensamiento numérico desde la educación preescolar hasta la educación básica. Explica que el pensamiento numérico involucra comprender los números, usarlos de maneras flexibles para tomar decisiones matemáticas, y desarrollar estrategias para trabajar con números. También describe cómo el pensamiento numérico se desarrolla gradualmente a partir de las primeras interacciones de los niños con los números, y cómo la escuela puede promover este desarrollo a través de situaciones significativas que involucren números.
Este documento discute estrategias para enseñar conceptos matemáticos como suma, resta y multiplicación a estudiantes de preescolar. Explica que es importante que los maestros exploren el entorno de los estudiantes y apliquen estrategias creativas como problemas simples para desarrollar el pensamiento cuantitativo de una manera significativa. También analiza diferentes clasificaciones de problemas y la importancia de que los maestros comprendan conceptos como el número para poder enseñar operaciones aritméticas de manera efectiva.
Este documento describe la importancia de las sucesiones numéricas y figurativas en la enseñanza de álgebra en la educación primaria. Explica que las sucesiones permiten reconocer patrones que ayudan a predecir el siguiente término. También destaca la necesidad de que los maestros motiven a los estudiantes a construir nuevos conocimientos matemáticos basados en su comprensión previa y les ayuden a encontrar significado en la vida cotidiana.
Este documento presenta información sobre la primera exposición de la maestra Hercy Báez Cruz con el grupo 1° "B" de la licenciatura en Educación Preescolar. Incluye detalles sobre la maestra, la alumna y el equipo de trabajo. Además, aborda conceptos como el enfoque pedagógico, orientaciones didácticas, currículo, ejes temáticos y aprendizajes esperados.
Este documento presenta la problemática de enseñanza de los números reales en la educación secundaria y en la formación de profesores. El objetivo general del estudio es construir, experimentar y evaluar una nueva praxeología matemática para la enseñanza de los números reales que supere los problemas actuales y permita un uso funcional de los números reales.
Este documento presenta una propuesta pedagógica para desarrollar el pensamiento numérico y lógico en niños de primeros niveles educativos a través de actividades manuales. Incluye cuatro unidades que abordan conceptos como clasificación, relaciones espaciales, números, suma y medición. La propuesta busca que los niños construyan de manera lúdica conceptos matemáticos básicos que les permitan comprender progresivamente ideas matemáticas más complejas.
El documento discute la investigación sobre el aprendizaje de las matemáticas desde diferentes perspectivas teóricas a lo largo de la historia. Describe dos enfoques principales: la teoría de la absorción, que ve el aprendizaje como la adquisición pasiva de datos, y la teoría cognitiva, que considera que el conocimiento se construye activamente a través de relaciones significativas. También analiza el desarrollo del pensamiento matemático de los niños y los factores que influyen en la adquisición de conceptos numéricos.
Este documento presenta los lineamientos generales para la enseñanza de las matemáticas en la escuela primaria. Describe que las matemáticas se construyen a partir de experiencias concretas y la resolución de problemas. También presenta seis ejes temáticos y los contenidos que se abordarán en cada grado, dando más énfasis a la resolución de problemas y construcción de conceptos a partir de experiencias concretas. Finalmente, explica los principales cambios realizados respecto al programa anterior.
Este documento discute los cambios en las justificaciones para la formación matemática y las nuevas visiones sobre la naturaleza de las matemáticas. Se argumenta que la formación matemática debe contribuir a fines culturales, sociales y políticos, no solo al desarrollo del razonamiento lógico. También se incorporan nuevos propósitos sociales como el uso ampliado de las matemáticas en el mundo moderno y el conocimiento matemático necesario para la ciudadanía. Estos cambios requieren una nueva visión de las matemá
Competencias matemáticas y resolucion de problemasAriel Córdova
El documento describe las competencias matemáticas y la resolución de problemas. Explica que las competencias matemáticas implican la capacidad de analizar y resolver problemas matemáticos en diversos contextos utilizando habilidades matemáticas. También describe que la resolución de problemas es crucial para desarrollar competencias matemáticas ya que activa capacidades como comprender, analizar y aplicar estrategias. Finalmente, señala que los docentes deben enfocarse en la resolución de problemas para ayudar a los estudiantes a desarrollar competencias matem
La actualidad de la educación matemática en el sistema escolar, particularmente en El Salvador, ha puesto en evidencia debilidades tanto en la enseñanza como en el aprendizaje de la misma.
Este ensayo propone estrategias metodológicas para mejorar la enseñanza de la estadística en las escuelas, incluyendo la implementación de proyectos de investigación estadística y experimentación con fenómenos aleatorios. Argumenta que el pensamiento estadístico es importante para que los estudiantes puedan interpretar la gran cantidad de información en el mundo actual. También sostiene que los docentes deben aplicar herramientas metodológicas como la evaluación de pre-saberes de los estudiantes para mejorar la compre
1) El documento describe la importancia del desarrollo de competencias matemáticas en la primera infancia, específicamente en relación con el número, la lógica y la resolución de problemas. 2) Se explican conceptos como clasificación, seriación y correspondencia como operaciones lógicas fundamentales y se proveen ejemplos. 3) Se describen cuatro competencias matemáticas específicas relacionadas con la construcción del número que deben desarrollarse en la primera infancia.
Rutas de aprendizaje 2015: Referentes, desarrollo y perspectivasApinema
El documento describe los componentes fundamentales de un enfoque basado en competencias para la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas. Se enfoca en desarrollar el pensamiento y las acciones matemáticas de los estudiantes a través de la resolución de problemas en diversos contextos. Describe cuatro competencias matemáticas clave, procesos de enseñanza y aprendizaje, y elementos curriculares como unidades didácticas y mapas de progresión de aprendizaje.
Aprendizaje de las competencias matematicasGabii Chelita
Este documento presenta un proyecto de investigación que busca determinar los factores que intervienen en el aprendizaje de las competencias matemáticas tempranas en niños de 5 años de la Unidad Educativa "Aloasí". El proyecto incluye la presentación del problema de investigación, los objetivos, las preguntas de investigación, la justificación, el marco teórico, el diseño metodológico y el alcance de la investigación.
Las matemáticas son importantes para la vida cotidiana y el desarrollo del pensamiento. Como futuros maestros, debemos despertar en los niños el interés y la curiosidad por las matemáticas y acercarlos a ejercicios que fortalezcan su razonamiento lógico a través de sucesiones de números y figuras. Esto les permitirá pensar de manera holística y encontrar diferentes soluciones a los problemas.
Este documento describe la importancia de la resolución de problemas matemáticos en la
educación preescolar. Explica que los niños adquieren conocimientos matemáticos a través de
experiencias en su vida cotidiana y con la ayuda de los adultos. También destaca que la resolución
de problemas implica un proceso cognitivo complejo y que los errores comunes incluyen falta de
comprensión lectora. Finalmente, enfatiza el papel del docente en desarrollar competencias
matemáticas en
Resolución de Problemas, competencias para enseñar, aprender y hacer Matemáti...Karen Loya
Este documento presenta un ensayo sobre la resolución de problemas matemáticos en la etapa preescolar. Explica que es importante desarrollar competencias como conocimientos, habilidades, destrezas, valores y actitudes en los niños para facilitar el aprendizaje de las matemáticas. También destaca la importancia de plantear problemas atractivos para los niños que les permitan buscar nuevos procedimientos para resolverlos por sí mismos.
Este documento discute el desarrollo del pensamiento numérico desde la educación preescolar hasta la educación básica. Explica que el pensamiento numérico involucra comprender los números, usarlos de maneras flexibles para tomar decisiones matemáticas, y desarrollar estrategias para trabajar con números. También describe cómo el pensamiento numérico se desarrolla gradualmente a partir de las primeras interacciones de los niños con los números, y cómo la escuela puede promover este desarrollo a través de situaciones significativas que involucren números.
Este documento discute estrategias para enseñar conceptos matemáticos como suma, resta y multiplicación a estudiantes de preescolar. Explica que es importante que los maestros exploren el entorno de los estudiantes y apliquen estrategias creativas como problemas simples para desarrollar el pensamiento cuantitativo de una manera significativa. También analiza diferentes clasificaciones de problemas y la importancia de que los maestros comprendan conceptos como el número para poder enseñar operaciones aritméticas de manera efectiva.
Este documento describe la importancia de las sucesiones numéricas y figurativas en la enseñanza de álgebra en la educación primaria. Explica que las sucesiones permiten reconocer patrones que ayudan a predecir el siguiente término. También destaca la necesidad de que los maestros motiven a los estudiantes a construir nuevos conocimientos matemáticos basados en su comprensión previa y les ayuden a encontrar significado en la vida cotidiana.
Este documento presenta información sobre la primera exposición de la maestra Hercy Báez Cruz con el grupo 1° "B" de la licenciatura en Educación Preescolar. Incluye detalles sobre la maestra, la alumna y el equipo de trabajo. Además, aborda conceptos como el enfoque pedagógico, orientaciones didácticas, currículo, ejes temáticos y aprendizajes esperados.
Este documento presenta la problemática de enseñanza de los números reales en la educación secundaria y en la formación de profesores. El objetivo general del estudio es construir, experimentar y evaluar una nueva praxeología matemática para la enseñanza de los números reales que supere los problemas actuales y permita un uso funcional de los números reales.
Este documento presenta una propuesta pedagógica para desarrollar el pensamiento numérico y lógico en niños de primeros niveles educativos a través de actividades manuales. Incluye cuatro unidades que abordan conceptos como clasificación, relaciones espaciales, números, suma y medición. La propuesta busca que los niños construyan de manera lúdica conceptos matemáticos básicos que les permitan comprender progresivamente ideas matemáticas más complejas.
El documento discute la investigación sobre el aprendizaje de las matemáticas desde diferentes perspectivas teóricas a lo largo de la historia. Describe dos enfoques principales: la teoría de la absorción, que ve el aprendizaje como la adquisición pasiva de datos, y la teoría cognitiva, que considera que el conocimiento se construye activamente a través de relaciones significativas. También analiza el desarrollo del pensamiento matemático de los niños y los factores que influyen en la adquisición de conceptos numéricos.
Este documento presenta los lineamientos generales para la enseñanza de las matemáticas en la escuela primaria. Describe que las matemáticas se construyen a partir de experiencias concretas y la resolución de problemas. También presenta seis ejes temáticos y los contenidos que se abordarán en cada grado, dando más énfasis a la resolución de problemas y construcción de conceptos a partir de experiencias concretas. Finalmente, explica los principales cambios realizados respecto al programa anterior.
Este documento discute los cambios en las justificaciones para la formación matemática y las nuevas visiones sobre la naturaleza de las matemáticas. Se argumenta que la formación matemática debe contribuir a fines culturales, sociales y políticos, no solo al desarrollo del razonamiento lógico. También se incorporan nuevos propósitos sociales como el uso ampliado de las matemáticas en el mundo moderno y el conocimiento matemático necesario para la ciudadanía. Estos cambios requieren una nueva visión de las matemá
El documento describe los diferentes planos anatómicos y términos direccionales. Explica que los planos anatómicos son referencias espaciales que describen la disposición de los tejidos, órganos y sistemas. Define los planos sagital, coronal y transversal y cómo dividen el cuerpo. También describe la posición anatómica estándar y varios términos como anterior, posterior, proximal y distal.
Este documento presenta un estudio sobre el perfil socio-laboral de los trabajadores móviles en empresas de tecnología en Caracas para el año 2005. Expone que debido a la globalización y el desarrollo de las TIC, el teletrabajo se ha convertido en una realidad que genera cambios en la organización laboral. Sin embargo, en Venezuela no existían estudios sobre las características de los teletrabajadores. Por ello, la investigación buscó identificar los aspectos demográficos, educativos, laborales, econó
Este documento trata sobre el teletrabajo. Define el teletrabajo y explica sus características, ventajas e inconvenientes. También describe los diferentes tipos de teletrabajadores y cómo el teletrabajo puede brindar nuevas oportunidades laborales para personas con discapacidad. Finalmente, resume brevemente la ley peruana que regula el teletrabajo.
Este documento presenta una tesis sobre la conciliación obligatoria en los procedimientos laborales en México. Se divide en cuatro capítulos. El primer capítulo describe la evolución histórica de los tribunales de trabajo en México, desde el periodo preconstitucional hasta la actualidad. El segundo capítulo explica el procedimiento laboral ordinario y especial. El tercer capítulo analiza las diferentes formas de solución de conflictos laborales. Y el cuarto capítulo se enfoca específicamente en la conciliación obligatoria dentro de los procedimientos laborales en México
Este documento proporciona instrucciones de seguridad para el uso de una carretilla elevadora de obra. Detalla consideraciones generales sobre la máquina y requisitos para su operador. Explica medidas preventivas para antes, durante y después del uso de la carretilla elevadora, incluyendo comprobaciones diarias, uso de equipos de protección, circulación con carga y sin ella, y mantenimiento básico. El objetivo es asegurar la seguridad del operador y de otros trabajadores durante las operaciones con la maquinaria.
El documento trata sobre la música en la psicología y la musicoterapia. Explica que la psicología de la música estudia temas como la emoción musical, la memoria musical y los usos terapéuticos de la música. También describe cómo la musicoterapia usa actividades musicales como cantar y tocar instrumentos para mejorar el desarrollo cognitivo, social y emocional de los niños. Finalmente, discute los orígenes de la musicoterapia en la antigua Grecia y Egipto, donde se empezó a recon
This document provides an overview of the casual wear market in India and the consumer decision making process for casual wear purchases. It discusses the objectives of the research project, which are to study the consumer decision making process and factors influencing purchase decisions for casual wear among 15-25 year olds in Delhi. It then provides context on the size and growth of the casual wear market in India. The document summarizes the various types of casual wear, and outlines the current market scenario, including competitive and fashion trends that influence consumers. It also gives a brief overview of the textiles industry in India.
Este documento presenta dos actividades evaluables para un curso en línea sobre estrategias de docencia. La primera actividad implica que los estudiantes elaboren un problema y lo discutan con un compañero para encontrar soluciones. La segunda actividad requiere que los estudiantes completen un andamio cognitivo sobre las características de los tipos de memoria basándose en un texto. Ambas actividades deben entregarse en las fechas indicadas siguiendo los criterios de evaluación provistos.
Este documento describe varias posiciones anatómicas comunes para pacientes encamados, incluyendo posiciones de decúbito supino, lateral, y prono. También describe posiciones como Fowler, Sims, litotomía, Trendelenburg, Morestin y genupectoral. Los cambios frecuentes de posición son importantes para prevenir úlceras por presión y mejorar el confort y tratamiento del paciente.
Este documento presenta el decreto por el cual se expide la Ley General de Transparencia y Acceso a la Información Pública en México. La ley establece los principios, bases y procedimientos para garantizar el derecho ciudadano de acceso a la información pública generada por las autoridades gubernamentales. Además, crea el Sistema Nacional de Transparencia para coordinar a los organismos federales y estatales encargados de velar por la aplicación de la ley y promover una cultura de transparencia en el gobierno.
El documento presenta el portafolio de evidencias de la asignatura de Metodología de la Investigación impartida en el sexto semestre del Colegio de Bachilleres Emsad Chan-Chen I. Incluye la planeación del primer bloque sobre la importancia de la investigación científica y su impacto social, así como evidencias como una evaluación diagnóstica, cuadros comparativos, exposiciones y una evaluación objetiva realizadas por los estudiantes. Finalmente, presenta rubricas de evaluación utilizadas para calificar el desempeño de los
Para crear una aplicación multiplataforma con PhoneGap y jQuery Mobile, se necesita instalar Eclipse, el SDK de Android, el plugin ADT y PhoneGap. Luego, se crea un proyecto de Android en Eclipse y se agregan las carpetas y archivos necesarios de PhoneGap, como cordova.js y cordova.jar. Finalmente, se modifica el código para heredar de DroidGap en lugar de Activity y se prueba la aplicación en el emulador.
Este documento presenta la Política Nacional Logística de Colombia. Su objetivo es mejorar el sistema logístico nacional para aumentar la competitividad del país. Describe los antecedentes jurídicos y la justificación de la política. Define conceptos clave como logística, corredores logísticos y plataformas logísticas. Incluye un diagnóstico de problemas logísticos y establece objetivos como mejorar la infraestructura, facilitar el comercio exterior y fomentar el uso de TIC en la logística.
PRESENTACIÓN DIVERDENTIX 1ª evaluación finaldiverdentix
Este documento presenta la idea de negocio de una empresa llamada Diverdentix S.L. Propone crear una empresa solidaria en el sector de la odontología. Explica que su forma jurídica será una sociedad limitada y describe los pasos para constituirla legalmente. También incluye un organigrama con los diferentes departamentos de la empresa y una sección sobre los costes de los recursos humanos.
Este documento presenta un proyecto para desarrollar un nuevo empaque y etiqueta para el producto "Tajaditas de Plátano" de la empresa Tajaditas Familiar. El objetivo es ampliar el mercado objetivo a estudiantes universitarios de 18 a 35 años. El plan incluye un análisis del mercado, competidores, precio, distribución, comunicaciones y marketing para el lanzamiento del nuevo empaque y etiqueta con información nutricional.
Síntesis y comentarios a la Ley Federal de Protección de Datos Personales en ...Joel A. Gómez Treviño
Este documento resume la Ley Federal de Protección de Datos Personales en Posesión de Particulares de México. Establece principios como el consentimiento, información y calidad de datos para el tratamiento de información personal. Otorga a los ciudadanos derechos como acceso, rectificación y cancelación de sus datos. Además, crea un instituto para difundir los derechos de privacidad y vigilar el cumplimiento de la ley.
Este documento trata sobre la gestión del conocimiento dentro de las empresas. En particular, analiza la relación entre el aprendizaje individual y el aprendizaje organizativo, revisando la literatura existente sobre este tema. El objetivo es conceptualizar estos términos y establecer su ámbito de aplicación e intersección, con el fin de contribuir al desarrollo profesional de los estudiantes en el ámbito empresarial.
Las matemáticas son importantes en la vida cotidiana y para el desarrollo del pensamiento. Son necesarias para medir el tiempo, organizar calendarios y horarios, y para comprender y analizar información. Las sucesiones de figuras y números ayudan a los niños a desarrollar su razonamiento lógico matemático al identificar patrones y resolver problemas de varias maneras. Como maestros, debemos despertar el interés de los niños por las matemáticas y enseñarles a pensar de forma holística y no lineal.
Este documento presenta los principales enfoques y objetivos del programa de matemáticas para la escuela primaria. Se enfatiza que las matemáticas deben enseñarse a través de la resolución de problemas basados en experiencias concretas, y promoviendo el diálogo y la construcción colaborativa de conceptos. Los contenidos se organizan en seis ejes como números, medición, geometría, procesos de cambio, tratamiento de información y predicción/azar. El objetivo general es que los estudiantes utilicen las matemáticas como her
Este documento presenta los principales enfoques y objetivos del programa de matemáticas para la escuela primaria. Se explica que las matemáticas se construyen a partir de experiencias concretas y la resolución de problemas. El programa se organiza en torno a seis ejes como números, medición y geometría. El objetivo es que los estudiantes utilicen las matemáticas para resolver problemas de la vida cotidiana.
El documento describe los resultados de México en las evaluaciones PISA de 2006, 2009 y 2012, enfocándose en matemáticas. México ha mejorado gradualmente, con puntajes más altos en 2012 que en 2006, pero sigue estando por debajo del promedio de la OCDE. Además, existe una brecha significativa en los resultados entre estudiantes de contextos socioeconómicos altos y bajos.
El desarrollo de las competencias matemáticas en la primera infanciaMelissa Garcia
Este documento describe la importancia del desarrollo de competencias matemáticas en la primera infancia. Explica que las matemáticas son fundamentales para la resolución de problemas y la generación de conocimiento. Describe varias competencias matemáticas clave para los niños en edad preescolar, incluidas aquellas relacionadas con números, forma, espacio y medida. También discute la importancia del desarrollo lógico como base para las competencias matemáticas y propone un enfoque basado en situaciones didácticas para enseñar
Este documento discute la importancia de descomponer y componer números en operaciones aritméticas como la suma y la resta para estudiantes de preescolar. Explica que usar materiales concretos ayuda a los estudiantes a desarrollar modelos matemáticos constructivistas y aprendizajes significativos. También identifica desafíos comunes que enfrentan los estudiantes, como la transición de objetos homogéneos a heterogéneos, y las ventajas de enseñarles a reconocer diferentes formas de llegar al mismo resultado
on el presente proyecto de investigación se pretenden proponer algunas estrategias didácticas
en la perspectiva de potenciar el pensamiento variacional en estudiantes de 0ctavo y Noveno
grados, de Educación Básica, a través de situaciones problemas. El estudio se realiza en tres
Instituciones Educativas de carácter Público, del municipio de Sincelejo, Colombia.
El documento presenta el programa curricular anual de matemáticas para el primer grado avanzado de una institución educativa. Describe cuatro competencias matemáticas que los estudiantes desarrollarán a través de situaciones significativas relacionadas a cantidades, regularidad y cambio, forma y movimiento, y gestión de datos. También incluye los campos temáticos abordados y la matriz de programación anual con cuatro unidades que cubren dichas competencias y campos a lo largo de 10 sesiones.
El documento analiza los resultados de México en las pruebas PISA, enfocándose en matemáticas. Explica que PISA evalúa competencias más que conocimientos. México se ubica debajo del promedio de la OCDE y ha tenido resultados mixtos, mejorando en 2009 pero retrocediendo después. Esto sugiere que las reformas educativas en México no han funcionado y se necesitan cambios para mejorar la calidad de la educación.
Dificultades de aprendizaje de las matemáticasNathalyFritz
El documento describe las dificultades de aprendizaje de las matemáticas. Explica que existen factores externos relacionados con la disciplina y su enseñanza, así como factores internos como la discalculia. Señala que la investigación cognitiva ha estudiado procesos como la numeración, el cálculo y la resolución de problemas, y que el aprendizaje matemático se construye gradualmente de lo concreto a lo abstracto. Finalmente, resume los principales contenidos matemáticos básicos que deben enseñarse.
Los programas de educación preescolar y primaria comparten un enfoque basado en competencias para promover el desarrollo de los estudiantes. Ambos programas buscan que los estudiantes resuelvan problemas de manera autónoma, comuniquen información matemática y validen sus procedimientos y resultados. Mientras que el programa preescolar se enfoca en seis campos formativos de desarrollo infantil, el programa de primaria presenta objetivos para la asignatura de matemáticas.
Los programas de educación preescolar y primaria comparten un enfoque basado en competencias para promover el desarrollo de los estudiantes. Ambos programas buscan que los estudiantes resuelvan problemas de manera autónoma, comuniquen información matemática y validen sus procedimientos y resultados. Mientras que el programa preescolar se enfoca en seis campos formativos de desarrollo infantil, el programa de primaria presenta objetivos para la asignatura de matemáticas. Ambos programas enfatizan el aprendizaje basado en
Los programas de educación preescolar y primaria comparten un enfoque basado en competencias para promover el desarrollo de los estudiantes. El programa preescolar se centra en seis campos formativos evaluados sistemáticamente, mientras que el programa de primaria se enfoca principalmente en matemáticas. Ambos programas enfatizan la resolución autónoma de problemas, la comunicación de ideas y la validación de resultados a través de la investigación y el trabajo colaborativo.
Este documento describe una investigación que busca hacer las matemáticas más atractivas y fáciles de aprender para estudiantes de segundo grado de primaria utilizando el juego como estrategia de enseñanza. El objetivo principal es desarrollar en los estudiantes el gusto por las operaciones básicas a través de un aprendizaje significativo que les permita tener éxito académico y usar las matemáticas como herramienta en la vida. El documento analiza las teorías del aprendizaje significativo y proporciona de
Este documento describe las competencias que se busca promover en la educación preescolar y primaria en México. Identifica cuatro competencias clave en resolución de problemas, comunicación de información matemática, validación de procedimientos y resultados, y manejo eficiente de técnicas. También describe seis campos formativos en educación preescolar, incluyendo pensamiento matemático con aspectos de número, forma, espacio y medida. Compara el programa de educación preescolar con el de primaria, destacando similitudes en el enfoque por
Este ensayo discute la importancia de enseñar sumas, restas y multiplicaciones en preescolar para desarrollar el pensamiento matemático de los niños. Explica que se debe usar material concreto y crear situaciones de aprendizaje para que los niños se familiaricen con estas operaciones de una manera significativa. También destaca la necesidad de desarrollar primero habilidades numéricas básicas como el conteo antes de enseñar los conceptos y procedimientos matemáticos formales.
“RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS DE SUMA, RESTA Y MULTIPLICACIÓN EN PREESCOLAR, UN PU...Isabo Fierro
“RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS DE SUMA, RESTA Y MULTIPLICACIÓN EN PREESCOLAR, UN PUNTO DE PARTIDA PARA EL DESARROLLO DEL PENSAMIENTO MATEMÁTICO AUNADO A LAS ESTRATEGIAS DE ENSEÑANZA.”
2. El desarrollo de las estrategias infantiles. Un estudio sobre el razonamiento aditivo y multiplicativo 241
to, los niños disponen de múltiples estrategias para resolver no sólo diferentes problemas, sino un mismo problema (ver, por ejemplo, Siegler, 2003). Asimismo, el cambio de estrate- gias puede ser gradual o abrupto, esto es, cuando la variabi- lidad de las estrategias es mayor, los cambios son graduales y, por el contrario, si la variabilidad es menor o interviene un proceso de instrucción los cambios suelen ser abruptos (ver Alibali, 1999). Como señalan Lemaiere y Siegler (1995) la va- riabilidad es la característica más destacada del pensamiento infantil porque permite su adaptación a las condiciones cambiantes del medio. Además, la variabilidad se ha obser- vado no sólo en el ámbito de la aritmética, sino también en otros ámbitos del desarrollo, como el recuerdo serial o el ra- zonamiento moral, y reconocerla puede ser muy importante para comprender cómo aprenden los niños.
Descendiendo a un nivel más concreto, en el estudio de las estrategias se plantean cuestiones como las siguientes: ¿cuáles son los procedimientos que utilizan los niños de E.I. en la resolución de los problemas aritméticos? ¿existen se- mejanzas/diferencias entre ellos? ¿qué cambios experimen- tan antes de recibir enseñanza explícita sobre los algoritmos de adición, sustracción, multiplicación y división? Intentar responder a estos interrogantes constituyó el objetivo prin- cipal de este estudio.
En general, las investigaciones realizadas sobre las opera- ciones aritméticas elementales ponen de manifiesto que los niños, antes de recibir enseñanza formal sobre los algorit- mos, construyen por sí mismos un amplio abanico de estra- tegias. Por ejemplo, Baroody y Tiilikainen (2003), a partir del modelo de elección de estrategias que se apoya en las teorías del procesamiento de la información y en la teoría de es- quemas, han establecido seis estrategias de adición: (1) contar todo con objetos concretos (i.e., representan secuencialmente am- bos sumandos y cuentan el total), (2) contar todo con objetos con- cretos utilizando atajos (i.e., representan simultáneamente -- con los dedos de cada mano-- los sumandos y cuentan la canti- dad representada), (3) conteo concreto de la cantidad añadida (i.e., representan indirectamente la cantidad inicial y directamente la cantidad añadida con objetos, de modo simultáneo o se- cuencial, antes de contar el total), (4) conteo abstracto (i.e., des- cubren que la representación de los dos sumandos puede hacerse simultáneamente con el recuento total, lo que re- quiere un proceso de registro de la cantidad añadida), (5) con- tar todo empezando por el sumando mayor (i.e., es semejante a la anterior, pero en ésta la suma se inicia por el sumando ma- yor) y (6) contar desde el sumando mayor (i.e., comienzan el con- teo con el cardinal que representa al sumando mayor y pro- siguen añadiendo el menor). Igualmente, Baroody y Coslick (1998) encontraron las siguientes estrategias de sustracción: (1) quitar de (i.e., representan con objetos la cantidad corres- pondiente al minuendo y retiran de ese conjunto una canti- dad de objetos equivalente al sustraendo), (2) añadir a (i.e., representan el sustraendo, añaden objetos hasta alcanzar el minuendo y cuentan la cantidad añadida) y (3) emparejamiento (i.e., representan el minuendo e inmediatamente debajo el sustraendo y finalmente, cuentan los objetos que no están emparejados).
Los estudios sobre las estrategias de multiplicación y di- visión guardan ciertos paralelismos con los de adición y sus- tracción. En concreto, revelan que los niños pequeños recu- rren a estrategias informales como: (1) el recuento unitario (p.e., en un problema de multiplicación, hacen grupos de “x” ele- mentos y cuentan todos los objetos), (2) el doble recuento (i.e., integran dos secuencias de conteo; por ejemplo, en un pro- blema de división, generan la secuencia de números corres- pondiente al dividendo, de forma simultánea llevan la cuenta de los grupos que forman según el tamaño del divisor, sien- do la respuesta el número de grupos contados) y (3) el conteo de transición (i.e., calculan la respuesta utilizando una secuen- cia de conteo basada en múltiplos de un mismo factor) (p.e., Anghileri, 1999; Caballero, 2006; Carpenter, Fennema, Fran- ke, Levi y Empson, 1999; Wright, Mulligan y Gould, 2000).
No obstante, los datos empíricos sobre las estrategias empleadas por los niños pequeños en la resolución de pro- blemas de multiplicación y división son especialmente esca- sos y, en su mayoría, proceden de alumnos que si bien han iniciado la Educación Primaria no han recibido instrucción formal sobre estos conceptos (p.e., Empson y Turner, 2006; Kouba, 1989; Mulligan, 1992; Mulligan y Michelmore, 1997; Steel y Funnell, 2001). Una notable excepción la constituyen los trabajos de Carpenter y colaboradores (p.e., Carpenter, Ansell, Franke, Fennema y Weisbeck, 1993; Carpenter et al.,1999), que fueron realizados con niños de E.I. En concre- to, Carpenter et al. (1993) observaron que 60 niños de los 70 que participaron en su estudio emplearon estrategias correc- tas en el problema de multiplicación (i.e., 46 la representa- ción directa y 14 el conteo), aunque sólo 50 obtuvieron el re- sultado correcto. En el problema de división de medida (i.e., división por el multiplicando), 51 niños utilizaron estrategias adecuadas y 50 dieron la respuesta numérica correcta (i.e., 50 niños recurrieron a la representación directa y 1 a las de con- teo). Por último, en el problema de división partitiva (i.e., di- visión por el multiplicador) 49 emplearon una estrategia vá- lida, que en todos los casos condujo a una respuesta numéri- ca correcta (i.e., 39 niños utilizaron la representación directa, 1 la de conteo y 9 otras estrategias). Este alto rendimiento pudo deberse a que los profesores habían sido entrenados previamente en el programa CGI (i.e., Instrucción Cogniti- vamente Guiada) y, por tanto, habían recibido instrucción específica sobre la necesidad de trabajar los conceptos ma- temáticos en el ámbito de los problemas. Por ese motivo, lle- vamos a cabo un estudio de réplica, con la salvedad de que ni los profesores ni los niños habían formado parte de nin- gún programa de entrenamiento previo (Lago, Rodríguez y Caballero, 1999). Los resultados corroboraron los hallados por Carpenter et al. (1993), ya que los porcentajes de éxito, derivados fundamentalmente de la aplicación de estrategias de representación directa, alcanzaron el 86% en problemas de multiplicación y el 72% y 70% en los de división partitiva y de medida (i.e., división por el multiplicando), respectiva- mente.
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3. 242 Purificación Rodríguez et al.
En otro orden de cosas, hay que tener en cuenta que la resolución de los problemas aritméticos depende tanto de factores externos como internos al individuo (ver Geary, 2006). Entre los primeros se incluyen la estructura semántica del problema, el lugar de la incógnita, el tamaño de las canti- dades y la presencia o no de objetos para representar las re- laciones entre las cantidades descritas en el problema (ver, por ejemplo, Bermejo y Rodríguez, 1987; Carpenter y Mo- ser, 1982, 1984; Lago y Rodríguez, 1999; Lago, Rodríguez, Dopico y Lozano, 2001). Los internos hacen referencia, por ejemplo, a la capacidad de la memoria de trabajo, el conoci- miento conceptual y procedimental, la habilidad para formar representaciones viso-espaciales de las relaciones entre los problemas y la perseveración a la hora de resolver los pro- blemas (p.e., Carr y Hettinger, 2003; Fuchs, Fuchs, Prentice, Burch, Hamlett, Owen y Schroeter, 2003; Tronsky y Royer, 2002).
Finalmente, la revisión de la literatura sobre las compe- tencias aritméticas de los niños pequeños pone de manifiesto la falta de investigaciones transversales y especialmente lon- gitudinales, que analicen simultáneamente las cuatro opera- ciones. Como señalábamos unas líneas más arriba, el estudio de Carpenter et al. (1993) representa un hito en este sentido. Uno de los datos más destacados de dicho trabajo es que el rendimiento de los niños en la resolución de problemas de adición, sustracción, multiplicación y división era similar. Además, en todos los problemas, independientemente de la operación, los niños aplicaban habitualmente estrategias que consistían en representar con objetos las acciones y relacio- nes descritas en los enunciados. A los datos anteriormente mencionados sobre multiplicación y división, hemos de aña- dir que 56 niños usaban una estrategia correcta en adición y 62 en sustracción.
Teniendo en cuenta todo lo dicho hasta el momento, hemos realizado un estudio longitudinal, con niños de 4 a 6 años, para determinar su conocimiento acerca de las opera- ciones aritméticas de adición, sustracción, multiplicación y división mediante problemas verbales. Esta meta se ha con- cretado, a su vez, en dos objetivos específicos. El primero consistía en establecer si las cuatro operaciones aritméticas representaban para los niños niveles semejantes de comple- jidad, como quedó patente en el estudio de Carpenter et al. (1993), o si se producía un proceso gradual de adquisición, como sugerían Wright, Mulligan y Gould (2000), habida cuenta de que la adición y sustracción implican cantidades extensivas que se pueden representar directamente, mientras que la multiplicación y la división entrañan cantidades exten- sivas e intensivas (i.e., cantidades que se derivan de otras cantidades: tres sacos en cada casa) que podrían precisar de una cierta experiencia previa con las anteriores. El segundo obje- tivo era analizar los procedimientos de resolución con un doble propósito: (1) establecer los tipos de estrategias utili- zadas por los niños y (2) determinar la frecuencia de uso, es- tabilidad y variabilidad de las mismas, teniendo en cuenta el tipo de operación y el momento de medición.
Método
Participantes
El estudio se desarrolló a lo largo de dos cursos escola- res. En el primer año se entrevistó a 15 niños de 2º de E.I., con edades comprendidas entre los 4-5 años (M: 4;7 años), y en el segundo se realizó el seguimiento a estos mismos niños cuando cursaban 3º de E.I. y tenían 5-6 años (M: 5;7 años).
Material y procedimiento
Todos los participantes tuvieron a su disposición distin- tos materiales para resolver los problemas. En concreto, te- nían 8 casas de diferentes colores (i.e., 2 rojas, 2 verdes, 2 azules y 2 amarillas), 20 gallinas de plástico duro (iguales en tamaño, color y forma) y 20 sacos de trigo confeccionados con tela de color amarillo y rellenos de algodón (del mismo color, tamaño y forma). Además, se utilizó una marioneta de guante (“la vaca Paca”), que era la encargada de formular los problemas a los niños. Se han incluido fotografías de estos materiales en las representaciones de las estrategias, que apa- recen en las distintas figuras a lo largo del artículo.
Todos los participantes resolvieron problemas con es- tructura semántica de Cambio (dos de adición y dos de sus- tracción) y de Grupos Iguales (dos de multiplicación y dos de división partitivos). Los problemas de Cambio hacen re- ferencia a un suceso que introduce modificaciones en una cantidad inicial. Los de Grupos Iguales, como los que apare- cen en la Tabla 1, implican tres cantidades: (a) el número de grupos (p.e., la casa verde, la casa azul y la casa amarilla), (b) el número de objetos en cada grupo (p.e., 3 sacos de trigo) y (c) el número total de objetos (p.e., 9 sacos de trigo). Cualquiera de estas cantidades puede constituir el elemento desconocido, de tal manera que los problemas que implican encontrar la cantidad final son los de multiplicación y aquéllos en los que el elemento desconocido es la segunda cantidad son los pro- blemas de división partitivos (i.e., división por el multiplica- dor). En este trabajo hemos formulado los problemas de Grupos Iguales especificando la naturaleza concreta de cada uno de los grupos (p.e., la casa verde, la casa azul y la casa amari- lla), pero no el papel que desempeñaban en la resolución de los problemas. Esta transformación se realizó para simplifi- car el proceso de representación de las cantidades del pro- blema.
Es importante señalar que ninguno de los participantes había recibido instrucción explícita sobre estos contenidos.
En ambos cursos escolares, las pruebas fueron aplicadas en dos sesiones individuales, para evitar el cansancio de los niños. Asimismo, el orden de presentación fue establecido al azar y se mantuvo constante.
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4. El desarrollo de las estrategias infantiles. Un estudio sobre el razonamiento aditivo y multiplicativo 243
Tabla 1: Ejemplos de uno de los ensayos en cada tipo de problema.
ADICIÓN
CAMBIO
En la casa azul hay 3 gallinas, y otras 5 van a jugar con ellas. ¿Cuántas gallinas hay ahora en la casa azul?
SUSTRACCIÓN
CAMBIO
En la casa verde hay 6 gallinas y 2 gallinas se van de paseo. ¿Cuántas gallinas se quedan en la casa verde?
MULTIPLICACIÓN
GRUPOS IGUALES
Las gallinas preparan la cena, colocan en la casa azul, en la casa roja y en la casa amarilla 3 sacos de trigo en cada una. ¿Cuántos sacos de trigo han colocado en total para la cena?
DIVISIÓN PARTITIVA
GRUPOS IGUALES
Tenemos 12 gallinas que hay que guardar entre la casa azul, la amarilla y la verde. En todas las casas tiene que haber el mismo número de gallinas. ¿Cuántas gallinas metemos en cada una?
En cuanto al tamaño de las cantidades, cuando los niños cursaban 2º de E.I., tanto los términos como los resultados de las diferentes operaciones aritméticas no excedieron en ningún caso de 7 (p.e., 3+3, 6-2, 3x2, 6÷3), mientras que en 3º de E.I. podían llegar hasta 12 (p.e., 3+5, 8-4, 3x3, 12÷3). En las dos mediciones se emplearon cantidades pequeñas para asegurarnos de que los niños eran capaces de contar con soltura hasta dichas cantidades y evitar que pudieran constituir una dificultad añadida. Sin embargo, las cantidades se elevaron en la segunda medición para que tuvieran oca- sión de aplicar un mayor número de estrategias.
Por último, todas las sesiones fueron grabadas en vídeo para su análisis posterior.
Las respuestas a los problemas se consideraron apropia- das siempre que los niños aplicasen una estrategia adecuada de resolución, (a) tanto cuando ejecutaban correctamente los cálculos requeridos como (b) cuando cometían algún error de ejecución (p.e., un error al contar). Se consideraron res- puestas propiamente erróneas aquellas derivadas de errores conceptuales, pero dada su escasa incidencia no van a ser te- nidas en cuenta en el análisis de los datos
Resultados y discusión
¿Existen diferencias en el rendimiento de los niños en función del tipo de operación aritmética?
Para responder a esta cuestión, hemos realizado un ANOVA 2 (Momento de Medición: Medición 1 vs. Medi- ción 2) x 4 (Tipo de Operación: Adición vs. Sustracción vs. Multiplicación vs. División) con medidas repetidas en los dos factores y ejecutado con el programa SPSS 15. El análi- sis reveló que no eran significativos los efectos principales de los factores Medición y Tipo de Operación, pero sí la in- teracción de estos dos factores (F3,42 = 2.95, p < .05, ηp2 = 0.174) (ver Tabla 2).
La interacción Momento de Medición x Tipo de Opera- ción puso de manifiesto que el rendimiento de los niños, en las dos mediciones, variaba dependiendo de la operación implicada en los problemas. Como más adelante tendremos ocasión de ver en el análisis de los procedimientos de reso- lución, los niños experimentaron importantes cambios en su comprensión aritmética en la segunda medición, pero los efectos no siempre se trasladaron al ámbito cuantitativo. En efecto, estas mejoras se apreciaron tan sólo en los problemas de adición y división (ver Tabla 2). Sin embargo, en los pro- blemas de multiplicación alcanzaron niveles de éxito simila- res en ambas mediciones y en los de sustracción incluso re- gistraron un retroceso durante la segunda medición (ver Ta- bla 2). Este retroceso fue debido a que 2 de 15 niños, que habían empleado estrategias correctas en los dos ensayos de la primera medición, resolvieron los problemas de sustrac- ción como si se tratasen de problemas de adición en uno de los ensayos de la segunda medición, y otro hizo lo mismo en los dos ensayos.
Tabla 2: Medias y Desviaciones Típicas (entre paréntesis) de las respuestas correctas en los cuatro Tipos de Operación, según el Momento de Medición.
Medición 1
Medición 2
Adición
1.47 (0.83)
1.87 (0.35)
Sustracción
1.73 (0.70)
1.47 (0.83)
Multiplicación
1.60 (0.74)
1.67 (0.72)
División
1.27 (0.88)
1.53 (0.83)
La puntuación máxima posible es 2.00
Asimismo, el hecho de que no resultasen significativos los efectos principales de los dos factores estudiados indica, por un lado, que la dificultad de todas las operaciones era similar para los niños de E.I., ratificando el planteamiento defendido por Carpenter et al. (1993) y Carpenter et al. (1999). Muy probablemente, debido a que los niños carecían de un conocimiento formal acerca de las operaciones aritmé- ticas, las situaban todas en el mismo plano de dificultad y afrontaban los problemas representando con objetos las re- laciones descritas entre los conjuntos, con independencia de que se tratase de cantidades intensivas o extensivas. Por otro, sugiere que si bien el rendimiento de los niños mejoró globalmente en el transcurso de un año, como señalábamos unas líneas más arriba, no fue suficiente para alcanzar la sig- nificación. En general, como ya había encontrado Carpenter et al. (1993) y Lago et al. (1999) el rendimiento fue muy ele- vado y en este caso, además, en las dos mediciones (i.e., el 60% de los niños resolvían 7 u 8 problemas correctamente en la primera medición y el 73.3% lo hacían en la segunda medición).
Tipos de estrategias de resolución
En este apartado se describen exhaustivamente los pro- cedimientos de resolución empleados en los diferentes pro- blemas, ya que apenas existen trabajos sobre las estrategias de multiplicación y división de los niños pequeños, ni estu-
anales de psicología, 2008, vol. 24, nº 2 (diciembre)
5. 244 Purificación Rodríguez et al.
dios longitudinales en los que se analicen simultáneamente las cuatro operaciones aritméticas.
El análisis de los datos ha permitido diferenciar la pre- sencia de tres tipos de estrategias: representación directa, conteo y conocimientos numéricos (i.e., conocimientos deri- vados y memorísticas). No obstante, antes de proceder a ex- plicar dichos procedimientos conviene resaltar, como vere- mos en el siguiente apartado, que la mayoría de los niños uti- lizaron estrategias informales basadas en la representación de las cantidades con objetos, independientemente del momen- to de medida y el tipo de operación implicada, mientras que mostraron escaso conocimiento de otros procedimientos más evolucionados como las estrategias de conteo y las de conocimientos numéricos.
En los problemas de adición los niños ponían en mar- cha un total de tres estrategias de representación directa: (1) representar todo y contar todo; (2) representar y contar a la vez; (3) re- presentar un único término y contar. Dos de conteo: (1) contar todo sin objetos; (2) contar a partir del primer sumando y las memorísticas.
En el primer caso, representaban y contaban el primer sumando, procedían de la misma forma con el segundo su- mando y finalmente, para responder a la pregunta del pro- blema, llevaban a cabo un nuevo recuento final de todos los elementos (ver Figura 1). En la segunda estrategia el avance que se producía tenía que ver con que los niños no necesita- ban volver a contar, sino que representaban y contaban al mismo tiempo (ver Figura 2). En la tercera, representaban el primer sumando pero en esta ocasión el conteo proseguía con el segundo sin necesidad de representarlo físicamente. Por ejemplo, en el problema de adición que figura en la Ta- bla 1, los niños representaron tres gallinas y seguían contan- do “cuatro, cinco, seis, siete y ocho”, sin recurrir a los obje- tos para representarlas. La estrategia en la que cuentan todo sin objetos consistía en que los niños representaban mentalmente los elementos a ser contados. Por ejemplo, uno de los parti- cipantes resolvió el problema de adición de la Tabla 1 indi- cando: “cuento primero tres y después cinco, en total son ocho”, sin dar muestras en ningún momento de que hubiese utilizado los dedos o cualquier otra forma de representación. La estrategia de contar a partir del primer sumando tenía menos carga cognitiva que las anteriores porque los niños no nece- sitaban contar los dos sumandos. Por ejemplo, un niño res- pondió al mismo problema: “Son ocho, tengo tres y cuento cinco más y son ocho”. Por último, las respuestas en las que los niños conocían el resultado de memoria fueron categori- zadas como memorísticas.
En la casa azul hay 3 gallinas, y otras 5 van a jugar con ellas. ¿Cuántas gallinas hay ahora en la casa azul?
Figura 1: Estrategia 1 de adición: representar todo y contar todo.
En la casa azul hay 3 gallinas, y otras 5 van a jugar con ellas. ¿Cuántas gallinas hay ahora en la casa azul?
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Figura 2: Estrategia 2 de adición: representar y contar a la vez.
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6. El desarrollo de las estrategias infantiles. Un estudio sobre el razonamiento aditivo y multiplicativo 245
En los problemas de sustracción aplicaron dos estrate- gias de representación directa: (1) quitar de y (2) añadir a; una de conteo (contar hacia atrás) y las de conocimientos derivados. En la estrategia quitar de los niños representaban con objetos el minuendo y retiraban una cantidad de objetos equivalente al sustraendo, contando finalmente los que quedaban (ver Fi- gura 3).
2
1
En la casa verde hay 6 gallinas y 2 gallinas se van de paseo. ¿Cuántas gallinas se quedan en la casa verde?
Figura 3: Estrategia 1 de sustracción: quitar de.
La estrategia añadir a se basaba en la adición porque im- plicaba transformar el problema de sustracción “a – b = ?” en uno de adición “a + ? = b”. Como en el procedimiento anterior, representaban las dos cantidades pero comenzaban con el sustraendo e iban añadiendo elementos hasta igualarlo con el minuendo, respondiendo con el número de elementos añadidos. En la estrategia de contar hacia atrás contaban desde el minuendo hasta el sustraendo y respondían con el último término de la secuencia de conteo. Por ejemplo, en el pro- blema de sustracción de la Tabla 1, uno de los participantes indicó lo siguiente: “quito la seis, quito la cinco y quedan cuatro”. Por último, también estuvieron presentes las estra- tegias de conocimientos derivados. Así, en el problema “En la ca- sa verde hay 8 gallinas y 4 se van de paseo. ¿Cuántas gallinas se quedan en la casa verde?” la respuesta de uno de los niños fue: “cuatro, porque cuatro y cuatro son ocho”. De hecho, los dos niños que optaron por las estrategias de conocimien- tos numéricos se basaron en sus conocimientos sobre la adi- ción y no en la sustracción. En este sentido, Barrouillet, Mignon y Thevenot (2008) sugieren que los procedimientos de resolución de la sustracción (p.e., contar hacia atrás) suelen ser lentos e imprecisos, de ahí que si llegan a generar asocia- ciones entre el problema y la respuesta, éstas son débiles. Es- tos autores observaron además que algunas estrategias de sustracción (p.e., añadir a) contribuyen a reforzar el recuerdo de los conocimientos derivados en la adición, pero no en la sustracción.
En cuanto a las estrategias de multiplicación, los niños aplicaron cuatro estrategias de representación directa: (1) adi- ción repetida con representación uno-a-uno; (2) adición repetida con re- a-uno sin recuento final; (4) adición repetida representando un único factor sin recuento final. También recurrieron a las estrategias de conocimientos derivados. En la estrategia de
presentación por múltiplos; (3) adición repetida con representación uno-adición
repetida con representación uno-a-uno
cre
el problema “Las gallinas preparan la cena, colocan en la ca-
aban con objetos un conjunto equivalente al multiplican- do y, a continuación, les asignaban sucesivamente, uno-a- uno, los elementos correspondientes al multiplicador. Por úl- timo, contaban todos los elementos asignados (ver Figura 4). A diferencia de la anterior, en la estrategia de adición repe-
tida con representación por múltiplos asignaban simultáneamente los elementos correspondientes a cada uno de los objetos del multiplicando (ver Figura 5). Como en las dos estrategias precedentes los niños que recurrían a la estrategia de adición repetida con representación uno-a-uno sin recuento final construyeron el multiplicando con objetos y añadieron los elementos del multiplicador al tiempo que los iban contando, de modo que no necesitaban volver a contar para responder. Por ejemplo, en el problema de la Tabla 1, representaron tres casas y des- pués fueron asignando a cada una tres sacos de trigo al tiem- po que los contaban: “uno, dos, tres, cuatro, cinco, seis, siete, ocho, nueve”. La estrategia de adición repetida con repre- sentación de un único factor sin recuento final fue empleada por un único participante en un ensayo durante la segunda medi- ción. Representó con objetos sólo el multiplicando y añadió mentalmente los elementos del multiplicador. En concreto, la aplicó en el problema de la Tabla 1 y después de coger las tres casas añadió tres sacos en cada una y contó: “uno, dos, tres…cuatro, cinco, seis…siete, ocho, nueve”. Finalmente, las estrategias de conocimientos derivados se basaban en el reper- torio de sumas de dobles que ya conocían. Por ejemplo, en
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sa roja y en la casa verde 4 sacos de trigo en cada una. ¿Cuántos sacos de trigo han colocado en total para la cena?” los niños respondían: “cuatro aquí y cuatro aquí, son ocho”. En la división, hemos encontrado tres estrategias de re- presentación directa: (1) reparto por ensayo y error; (2) reparto de
uno en uno; y (3) reparto por múltiplos. Los niños también em- plearon algunas veces las estrategias de conocimientos derivados. En la estrategia de reparto por ensayo y error, representaban el dividendo, luego el divisor repartiendo al azar los elemen-
tos correspondientes al dividendo entre los del divisor. A continuación, redistribuían los elementos hasta igualar los conjuntos y, finalmente, contaban cada uno de los conjuntos formados (ver Figura 6). En la estrategia de reparto de uno en uno realizaban los mismos pasos que en la anterior, pero la asignación de los elementos del dividendo a los del divisor se efectuaba secuencialmente y de uno en uno, procediendo por último a contar separadamente cada uno de los conjun- tos formados (ver Figura 7). En el procedimiento de reparto por múltiplos seguían los pasos iniciales de las precedentes, pe- ro ahora asignaban los elementos del divisor en función de un múltiplo conocido (p.e., de tres en tres) y posteriormente redistribuían los elementos que aún quedaban. La respuesta la obtenían, como en el caso anterior, contando.
Las gallinas preparan la cena, colocan en la casa azul, en la casa roja y en la casa amarilla 3 sacos de trigo en cada una.
Figura 4
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¿Cuántos sacos de trigo han colocado en total para la cena? : Estrategia 1 de multiplicaciónción repetida con representación uno a uno.
: adi
Las gallinas preparan la cena, colocan en la casa azul, en la casa roja y en la casa amarilla 3 sacos
de trigo en cada una. ¿Cuántos sacos de trigo han colocado en total para la cena? Figura 5: Estrategia 2 de multiplicación: adición repetida con representación por múltiplos.
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8. El desarrollo de las estrategias infantiles. Un estudio sobre el razonamiento aditivo y multiplicativo 247
Tenemos 12 gallinas que hay que guardar entre la casa azul, la amarilla y la verde. En todas las casas tiene que haber el mismo número de gallinas. ¿Cuántas gallinas metemos en cada una?
Figura 6: Estrategia 1 de división: reparto por ensayo y error.
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9. 248 Purificación Rodríguez et al.
Tenemos 12 gallinas que hay que guardar entre la casa azul, la amarilla y la verde. En todas las casas tiene que haber el mismo número de galli- nas. ¿Cuántas gallinas metemos en cada una?
Figura 7: Estrategia 2 de división: reparto de uno en uno.
Las estrategias de conocimientos derivados parecen respaldar el planteamiento de Barrouillet, Mignon y Thevenot (2008), ya que no sólo hacen uso de las asociaciones aditivas sino que además las refuerzan. Por ejemplo, en el problema “Te- nemos 8 gallinas que hay que guardar entre la casa azul y la amarilla. En todas las casas tiene que haber el mismo núme- ro de gallinas. ¿Cuántas gallinas metemos en cada una?” uno de los niños respondió: “tiene que haber cuatro, porque cua- tro y cuatro son ocho”.
Frecuencia de uso, estabilidad y variabilidad de las estrategias
Con respecto a la frecuencia de uso de las estrategias, los datos de este estudio concuerdan con los de otras investiga- ciones (p.e., Carpenter et al., 1993; Geary, 2006). Como pue- de observarse en la Tabla 3, en la primera medición, los ni- ños claramente recurrieron a estrategias basadas en la repre- sentación directa de las cantidades con objetos, independien- temente del tipo de operación implicada (i.e., 95.5%, 92.3%, 95.8% y 100% de los ensayos correctos, respectivamente en los problemas de adición, sustracción, multiplicación y divi- sión). En la segunda medición, descendió notablemente la aplicación de estos procedimientos en los problemas de mul- tiplicación (i.e., 76% de los ensayos correctos) y de división (i.e., 73.9% de los ensayos correctos), debido a la aparición de la estrategia de conocimientos derivados. En concreto, en la segunda medición el 40% de los niños comenzaron a utili- zar la estrategia de conocimientos derivados en multiplica- ción y división. Por último, en los problemas de adición y sustracción comenzaron a emplear estrategias de conteo (i.e., contar todo sin objetos, contar a partir del primer sumando y contar hacia atrás), pero no en los problemas de multiplicación y di- visión (ver Tabla 3).
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10. El desarrollo de las estrategias infantiles. Un estudio sobre el razonamiento aditivo y multiplicativo 249
Tabla 3: Frecuencias de ensayos de las estrategias utilizadas por los niños en los diferentes problemas.
Medición 1
Medición 2
ADICIÓN
Representar todo y contar todo
14
16
Representar y contar a la vez
5
6
Representar un único término y contar
2
---
Contar todo sin objetos
---
3
Contar a partir del primer sumando
---
2
Memorísticas
1
1
SUSTRACCIÓN
Quitar de
19
18
Añadir a
5
---
Contar hacia atrás
2
2
Conocimientos derivados
---
2
MULTIPLICACIÓN
Adición repetida con representación uno-a-uno
17
11
Adición repetida con representación por múltiplos
6
6
Adición repetida con representación uno-a-uno, sin recuento final
---
1
Adición repetida representando un único factor, sin recuento final
---
1
Conocimientos derivados
1
6
DIVISIÓN
Reparto por ensayo y error
18
11
Reparto de uno-en-uno
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6
Reparto por múltiplos
1
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Conocimientos derivados
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6
En cuanto a la consistencia en la selección de estrategias, en la primera medición fue similar en todos los problemas (i.e., 40%, 53.3%, 46.7% y 46.7% de los niños en los pro- blemas de adición, sustracción, multiplicación y división res- pectivamente), de modo que empleaban la misma estrategia en el primer y segundo ensayo de cada operación (i.e., las de representación directa). Sin embargo, en la segunda medi- ción, este nivel de consistencia se mantuvo en la adición y sustracción (i.e., 46.7% y 53.3% de los niños respectivamen- te), pero descendió en multiplicación (i.e., 13.3% de los ni- ños) y división (i.e., 26.7% de los niños). En los primeros, la ejecución consistente giraba en torno al uso de procedimien- tos de representación directa. No obstante, mientras que en los problemas de adición el 33.3% de los niños combinaron el uso de estrategias de representación directa con otras de conteo, en los problemas de sustracción los dos niños que no emplearon siempre la misma estrategia aplicaron las de conocimientos derivados junto con alguna de representación directa o de conteo. Por lo que respecta a la falta de consis- tencia en los problemas de multiplicación y división, se ex- plica nuevamente porque combinaban las estrategias de re- presentación directa con una de conocimientos derivados. La aparición de este procedimiento en la segunda medición no fue debido ni a la presencia de palabras clave, ni a las cantidades empleadas, ya que la formulación de los proble- mas no variaba entre una medición y otra y las cantidades que podrían elicitar este tipo de estrategias estaban en las dos mediciones, por ejemplo, los “dobles” (p.e., 3+3, 2x2) o la “mitad” (p.e., 8÷2, 4÷2).
El análisis de la variabilidad de las estrategias se realizó a partir del número total de procedimientos correctos diferen- tes mostrados por los niños en las distintas operaciones y momentos de medición. El ANOVA 2 (Momento de Medi- ción: Medición 1 vs. Medición 2) x 4 (Tipo de Operación: Adición vs. Sustracción vs. Multiplicación vs. División), con medidas repetidas en los dos factores y ejecutado con el pro- grama SPSS 15, reveló que era significativa la interacción de los dos factores (F3,42) = 4.68, p < .05, ηp2 = 0.25) y no los efectos principales (ver Tabla 4).
Tabla 4: Medias y Desviaciones Típicas (entre paréntesis) del número total de estrategias correctas en los cuatro Tipos de Operación, según el Momen- to de Medición.
Medición 1
Medición 2
Adición
1.06 (0.70)
1.40 (0.51)
Sustracción
1.20 (0.68)
0.93 (0.59)
Multiplicación
1.13 (0.64)
1.53 (0.74)
División
0.80 (0.56)
1.27 (0.80)
La puntuación máxima posible es 2.00
En general, la variabilidad de las estrategias aumentó en la segunda medición, excepto en el caso de la sustracción. En efecto, la interacción mostró que en la primera medición el número de estrategias utilizadas por los niños era similar en los problemas de adición, sustracción y multiplicación y muy superior al promedio de estrategias de división (ver Ta- bla 4). Sin embargo, en la segunda medición el número de estrategias de sustracción se situó por debajo de las emplea- das en las restantes operaciones que, por el contrario, expe- rimentaron una tendencia creciente (ver Tabla 4). Estos da- tos parecen indicar que no existe una única tendencia en la variabilidad sino varias, dependiendo del tipo de operación y del nivel de partida. Así parece desprenderse del caso de la sustracción, porque la evolución de las estrategias de repre-
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11. 250 Purificación Rodríguez et al.
sentación directa había alcanzado su techo durante la prime- ra medición. De ahí que en la segunda medición, 8 niños uti- lizaran estrategias más evolucionadas en los problemas de adición, 10 en los de multiplicación, 10 en los de división y tan sólo 3 en los de sustracción. Con respecto a esto, es im- portante tener en cuenta que los cambios no se producían en los mismos niños a lo largo de las cuatro operaciones. De hecho, tan sólo uno de ellos cambió a una estrategia más evolucionada en las cuatro operaciones. Por eso, este resul- tado ha de interpretarse con precaución, ya que un mismo niño puede emplear una estrategia de conocimientos numé- ricos (i.e., conocimientos derivados y memorísticas) en un ensayo de una operación dada y en el siguiente recurrir a otro procedimiento más primitivo. Del mismo modo, puede usar una estrategia más sofisticada en una operación que en otra. Desde nuestro punto de vista, lo que está ocurriendo en la segunda medición es que al aumentar las experiencias informales, los niños se sienten más seguros y confiados en sus propios recursos y por ese motivo, prueban distintas formas de resolver los problemas. Este comportamiento se asemeja al modelo de olas que se solapan de Siegler (p.e., 1996). Este autor concibe el desarrollo de las estrategias no como una sucesión de niveles de complejidad creciente, sino como diversas estrategias que se van incorporando y solapando con las ya existentes y que con el tiempo, también serán eli- minadas.
Otro aspecto a destacar en relación con la variabilidad fue que los cambios en las estrategias consistían en un acor- tamiento de los procedimientos empleados (i.e., representa- ción directa), pero raramente los niños daban el salto a estra- tegias de conteo y conocimientos derivados, al menos simul- táneamente en las cuatro operaciones.
En suma, los resultados de este estudio apuntan que el cambio de estrategias en estas edades parece ser más bien gradual. Por tanto, nuestros datos no concuerdan con los de Alibali (1999), ya que esta autora encontró un decremento en la variabilidad de las estrategias entre las medidas pretest y postest. No obstante, este efecto era debido al influjo de la instrucción que recibían los niños entre ambas mediciones, mientras que en la presente investigación no mediaba ningún proceso de enseñanza-aprendizaje.
Conclusiones
El mundo físico y social en el que se desarrollan los niños pequeños les brinda la oportunidad de adquirir numerosos conceptos relacionados con la aritmética, antes de la ense- ñanza formal. Como se ha puesto de relieve en el presente estudio, los niños de Educación Infantil afrontaban con éxi- to problemas de adición, sustracción, multiplicación y divi- sión a través de un amplio abanico de estrategias, entre las que destacaban las basadas en la representación directa de las cantidades con los objetos. No obstante, los datos de este estudio también indicaron que no había diferencias entre una medición y otra, a pesar de haber transcurrido un año. Este resultado podría estar indicando, bien que la presencia de los objetos ha inhibido la manifestación de otras estrate- gias más sofisticadas y conocidas por los niños, como las ba- sadas en el conteo, bien que estos conocimientos informales tienen limitaciones conceptuales y procedimentales, que muy probablemente sólo se superarán a través de la enseñanza formal. De hecho, los cambios en las estrategias solían con- sistir en acortamientos de los procedimientos ya conocidos y sólo algunos de los participantes empezaban a desarrollar es- trategias de conteo en adición y sustracción y de conoci- mientos derivados en algunos ensayos en los problemas de multiplicación y división, que a su vez eran las responsables de la falta de consistencia y la variabilidad en la segunda me- dición. En cualquier caso, como señalan Carr y Hettinger (2003), a medida que los niños tienen más práctica con dife- rentes tipos de problemas son capaces de recurrir a estrate- gias más eficientes y sofisticadas. Usar debidamente una es- trategia significa, según estos mismos autores, que han des- arrollado una buena comprensión conceptual de la misma, lo que les permite adaptarla y aplicarla a una gran variedad de situaciones.
Desafortunadamente, como ya advertíamos al inicio de este trabajo, estos conocimientos informales suelen pasar a menudo inadvertidos, especialmente los referidos a la multi- plicación y división. Sin embargo, tal y como hemos hallado en éste y otros trabajos, entre los 4 y los 6 años los niños empiezan a construir conceptos sobre las operaciones de multiplicación y división que implican agrupamientos o par- ticiones de colecciones de objetos discretos. La vida diaria les ofrece múltiples oportunidades para enfrentarse a este ti- po de situaciones, que pueden ser fácilmente superadas con la presencia de objetos físicos que les sirven de ayuda para representar las diferentes condiciones. El reto que queda por delante no sólo es reconocer estos conocimientos, sino tam- bién vincularlos con la enseñanza formal de las operaciones aritméticas en la Educación Primaria. En otras palabras, ten- der un puente entre las estrategias ideadas por los propios niños y los procedimientos formales basados en los algorit- mos. Con respecto a esto, si reconocemos que los niños no sólo tienen facilidad para resolver problemas de adición y sustracción, sino que también pueden resolver problemas de multiplicación y división, significaría, por un lado, que la en- señanza de las nociones aritméticas elementales basadas en la utilización de problemas verbales con estructuras semánticas diferentes puede ser extremadamente útil para todas las ope- raciones y, por otro, que no hay que esperar una serie de años a que asienten las nociones de adición y sustracción pa- ra comenzar con la enseñanza de la multiplicación y la divi- sión. Si nuestro punto de partida es que los niños “saben” y aprovechamos esos conocimientos, seguramente se van a sentir más competentes a la hora de afrontar nuevos apren- dizajes. Al mismo tiempo, esto también podría inhibir la manifestación de creencias erróneas y emociones negativas sobre las matemáticas que se comienzan a desarrollar desde muy temprano.
Con todo esto, estamos defendiendo una perspectiva de la educación en la que el objetivo cambia de intentar averi-
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12. El desarrollo de las estrategias infantiles. Un estudio sobre el razonamiento aditivo y multiplicativo 251
guar lo que los niños “no pueden hacer” a intentar descubrir “lo que pueden hacer”, de enseñar directamente procedi- mientos concretos a fomentar que sean ellos mismos quie- nes los inventen y descubran relaciones entre unos y otros. Precisamente, una de las grandes enseñanzas del programa de Instrucción Cognitivamente Guiada (CGI) ha sido obser- var cuánto pueden aprender los niños cuando sus profesores realmente comprenden el pensamiento infantil y les dan la oportunidad de construir su propio conocimiento. Uno de los comentarios realizados por una profesora que intervino en este programa resulta especialmente revelador. Afirmaba que los niños no tenían dificultad para comprender los con- ceptos que les estaba intentando enseñar, pero que eran in- capaces de encontrar sentido a los procedimientos específi- cos que ella estaba intentando que usasen. En esta misma lí- nea, señala Baroody (2003) que si los profesores tienen una profunda comprensión acerca de cómo aprenden los niños y cómo se desarrolla su pensamiento matemático, podrán pla- nificar mejor las tareas, provocar el conflicto cognitivo y promover el aprendizaje significativo. Los niños no siempre razonan y aprenden las matemáticas del mismo modo que los adultos, de ahí que su aprendizaje debería ser autodirigi- do y tendría que surgir de la interacción con el mundo físico y social.
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(Artículo recibido: 30-7-2008; aceptado: 1-9-2008)
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