08 dualidad

Introducción
 Conceptos
 Dualidad Simétrica
 Dualidad Asimetrica
 Dualidad Mixta
 Propiedades
 Interpretación Económica del Dual
 Precio Sombra
 Costo Reducido.
IO1 R. Delgadillo 2

Dualidad
 La teoría de Dualidad es una propiedad
Matemática. Este concepto se aplica a
la teoría de optimización.
 La teoría de Dualidad introduce un
nuevo test de optimalidad, como
también nuevos algoritmos para
resolver problemas lineares.

IO1 R. Delgadillo 3

Dualidad
 Todo problema de programación
matemática existe asociado con otro
problema llamado Dual.
 En particular, todo problema lineal
(primal) tiene su correspondiente
problema dual
 Denominemos por (P) al problema
primal y (D) a su correspondiente dual.

IO1 R. Delgadillo 4

Dualidad (simétrica)
 Problema primal  Problema dual
(P) max Cx (D) min yb
s.a s.a
Ax < b yA> C
x>0 y>0

IO1 R. Delgadillo 5

Dualidad (simétrica)
max 3x1+7x2 - min 2y1 +10 y2
4x3 s.a
s.a 2y1 +7y2 > 3
2x1- x2 + x3 <2 -y1 +5y2 > 7
7x1+5x2-2x3<10 y1 -2y2 > -4
x1,x2,x3>0 y1,y2 > 0

IO1 R. Delgadillo 6

Dualidad (asimétrica)
(P) max Cx (D) min yb
s.a s.a
Ax = b yA> C
x>0 y libre

IO1 R. Delgadillo 7

Dualidad (asimétrica)
max 3x1+2x2 min 6y1 +12 y2
s.a s.a
x1+ x2 = 6 y1 +5y2 > 3
5x1-x2 = 12 y1 - y2 > 2
x1,x2 > 0 y1, y2 libre

IO1 R. Delgadillo 8

Dualidad (mixta)
max 5x1+7x2-x3 min
s.a 20y1+8y2+9y3+12y4
x1+2x2+3x3 < 20 s.a
2x1-x2 =8 y1 +2y2 + y3 + y4 > 5
x1 +3x2-4x3 < 9 2y1- y2 +3y3 =7
x1 + x3 =12 3y1 -4y3 +y4 > -1
x1,x3 > 0 y1, y3 > 0
x2 libre y2, y4 libre

IO1 R. Delgadillo 9

Relación entre Primal y Dual
 FO. MAX FO. MIN
 C b

M A t C
A b N
Restricc. Restricc.

N Variables
M Variables
X es var. primal Y es variable dual
IO1 R. Delgadillo 10

Relación entre Primal y Dual
 Respecto a las desigualdades
Prob. de Max Prob. de Min
0
RESTRICC VARIABLES 0
irrestricto
0
VARIABLES 0 RESTRICC
irrestricto

Dualidad- Propiedades
 El problema primal puede ser de
Máximo o de Mínimo por conveniencia
denominamos (P) a un problema de
Máximo.
 Propiedad 1: Dual de (D) es (P)
 Propiedad 2: Si x’ es una solución
factible de (P) e Y’ es una solución
factible de (D) entonces cx' y' b


 Propiedad 3: Si x’ es una solución factible
de (P) e Y’ es una solución factible de (D) y
cx' y' b entonces x’ será óptimo de (P) e
y’ sera óptimo de (D).
 Propiedad 4: Si (P) tiene una solución
óptima ilimitada entonces (D) será vacio.
 Propiedad 5: Si x* es solución óptima de
(P) e y* es solución óptima de (D) entonces
cx* y *b

 Teorema de dualidad (existencia):
Dado un par de problemas (primal y su
dual) uno y solamemnte uno de las tres
afirmaciones es verdadero.
 Los dos problemas son vacios
 Uno es vacio y el otro ilimitado.
 Ambos admiten soluciones óptimas finitas
(sus funciones objetivo en el punto óptimo
asumen igual valor)

Primal Dual

Óptimo finito Óptimo finito

Óptimo no-finito Óptimo no-finito

No tiene solución No tiene solución


 Propiedad 6 (Complementaridad):
Si x’ es óptimo de (P) e y’ es óptimo de
(D) entonces
(y’A – c) x’ = 0 e y’(Ax’ – b) = 0
 Esta propiedad nos dice que:
 Las variables duales y las variables de
holgura son complementares.


Ej: máx z= 5x1+ 2x2
s.a
x1 <3
x2 <4
x1 + 2x2 < 9
x1, x2>0

Resolver, sabiendo que los valores de las variables
duales correspondientes son:
y1= 4, y2=0, y3=1 y ZD= 21


Aplicando la propiedad de complementariedad,
y’(Ax’ – b) = 0, se tiene:
y1(x1 – 3) =0
y2(x2 – 4) =0
y3(x1 + 2x2 -9) = 0
Reemplazando: y1= 4, y2=0, y3=1
4x1-12 =0 => x1 = 3
x1 +2x2-9 =0 => x2= 3
Y Zp = 5(3) +2(3) = 21


Ej: máx zp= 5x1+ 2x2 min zd= 3y1+4y2+9y3
s.a x1 <3 s.a y1 + y3 ≥ 5
x2 < 4 y2+2y3 ≥ 2
x1 + 2x2 < 9
x1, x2>0 y1, y2, y3>0

Resolver, y encontrar el valor de las variables primales y
duales.


Dualidad-Propiedades
x1 x2 x3 x4 x5
x3 1* 0 1 0 0 3
x4 0 1 0 1 0 4
x5 1 2 0 0 1 9
-z 5 2 0 0 0 0
x1 1 0 1 0 0 3 X1 = 3,
X4= 1,
X2= 3,
x4 0 1 0 1 0 4 X3=X5=0,
Zp=21
x5 0 2* -1 0 1 6 Y1=4,

-z 0 2 -5 0 0 -15 Y2=0,
Y3=1,
Y4=Y5=0,
x1 1 0 1 0 0 3 Zd= 21

x4 0 0 ½ 1 -½ 1
x2 0 1 -½ 0 ½ 3
-z 0 0 -4 0 -1 -21
IO1 R.Delgadillo y4 y5 y1 y2 y3 20

Interpretación económica del
problema dual
Ej: max z= 60x1+ 30x2 +20x3
s.a
8x1 + 6 x2 + x3 < 48 <= listones de madera
4x1 + 2x2 +1.5x3 < 20 <= horas de acabado
2x1 + 1.5x2 + 0.5x3 < 8 <= horas de carpintería
x1, x2, x3 >0
x1= número de escritorios a producir
x2= número de mesas a producir
x3= número de sillas a producir


problema dual
 Suponga que un empresario desea comprar
todos los recursos de la empresa,entonces él
debe determinar el precio que esta dispuesto
a pagar por cada uno de los recursos:
y1= precio de un listón de madera
y2 = precio de una hora de acabado
y3 = precio de una hora de carpintería
 El precio total de los recursos es:
48y1 + 20 y2 + 8y3


problema dual
 Ya que desea minimizar el costo de la compra
min 48y1 + 20 y2 + 8y3
 el dueño de la empresa dice que los precios
deben ser justos esto es, el precio por la
cantidad de recursos utilizados para producir
un producto sea cuando menos la utilidad
que este proporciona:
8y1 + 4y2 +2y3 > 60
6y1 + 2y2 +1.5 > 30
y1 + 1.5y2 + 0.5y3 > 20

problema dual
 Así tenemos:
min 48y1+ 20y2 +8y3
s.a
8y1 + 4y2 + 2y3 > 60 <= restricc. de escritorio
6y1 + 2y2 +1.5y3 > 30<= restricc. de mesas
y1 + 1.5y2 + 0.5y3 > 20<= restricc. de sillas
y1,y2,y3>0
 La variable dual se relaciona con el valor de los

recursos, por esta razón se denomina precio
sombra


Precio dual
 El precio dual o precio sombra es la
variación de la F.O. cuando el lado
derecho de una restricción cambia en
una unidad
 El precio dual es válido para el rango de
variación permitido, y constante en este
intervalo.
 El precio dual de una restricción inactiva
es cero

Costo reducido
 El costo reducido de una variable de
decisión se define como la cantidad en
que se debe de cambiar el coeficiente
de esa variable en la F.O. Para obtener
un valor óptimo positivo.
 Otra definición: Es la tasa (por unidad
de aumento) a la cual disminuye el
valor objetivo cuando esa variable es
forzada a entrar en la solución óptima.

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