Este documento presenta la fórmula para calcular el valor promedio de una función sobre una región rectangular utilizando la integral doble. Como ejemplo, calcula el nivel promedio de producción para una función Cobb-Douglas donde el número de unidades de trabajo varía entre 200 y 250 y el número de unidades de capital entre 300 y 325. El valor promedio calculado es de 25645,109.

1. UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO
FACULTAD DE CIENCIAS ECONOMICAS
MATEMATICA PARA ECONOMISTAS II
elionzar@gmail.com
APLICACIÓN DE LA INTEGRAL DOBLE
FÓRMULA DEL VALOR PROMEDIO
El valor promedio de la función f (x, y) sobre la región rectangular R está dado
por la fórmula: 𝑉𝑃 =
1
𝑎𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑒 𝑅
∬ 𝑓(𝑥, 𝑦) ⅆ𝐴ℝ
EJEMPLO *
1.Para una compañía concreta, la función de producción de Cobb-Douglas es
𝒇 (𝐱, 𝐲) = 100𝑿0,6
𝒀0,4
. Estimar el nivel medio de producción, si el número de
unidades de trabajo varía entre 200 y 250 y el de unidades de capital entre 300
y 325.
SOLUCIÓN:
𝒇 (𝐱, 𝐲) = 100𝑿0,6
𝒀0,4
A= área de R
X: unidades de trabajo → 200 ≤ 𝑥 ≤ 250
Y: unidades de capital → 300 ≤ 𝑦 ≤ 325
= (250 - 200) X (325 - 300)
→ R = 1250
En la fórmula: 𝑉𝑃 =
1
𝑎𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑒 𝑅
∬ 𝑓(𝑥, 𝑦) ⅆ𝐴ℝ
𝑣𝑝 =
1
1250
∫ (∫ 100𝑥0,6
𝑦0,4
ⅆ𝑥
250
200
)
325
300
ⅆ𝑦
𝑣𝑝 =
100
1250
∫ (∫ 𝑥0,6
𝑦0,4
ⅆ𝑥
250
200
)
325
300
ⅆ𝑦
𝑣𝑝 =
2
25
∫
𝑥1,6
1,6
. 𝑦0,4
|
200
250
325
300
ⅆ𝑦
𝑣𝑝 =
2
25
∫ [4291,25𝑦0,4
− 3002,81𝑦0,4]
325
300
ⅆ𝑦
𝑣𝑝 =
2
25
∫ [
32211
25
𝑦0,4
]
325
300
ⅆ𝑦
𝑣𝑝 =
2
25
×
32211
25
∫ [𝑦0,4]
325
300
ⅆ𝑦
𝑣𝑝 =
64422
625
×
𝑦1,4
1,4
|
300
325
𝑣𝑝 =
64422
625
× [2346,97 − 2098,17]
𝑣𝑝 =
64422
625
×
1244
5
→ 𝑣𝑝 = 25645,109

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MATEMATICA PARA ECONOMISTAS II
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BIBLIOGRAFIA:
 Cálculo aplicado para administración, economía v ciencias sociales
(octava edición-pag.569)
Laurence d., Hoffmann
Gerald l Bradley
Kenneth h. Rosen
 MOISES VILLENA (Integración Múltiple: Ejercicios propuestos-pag.167) *