Este documento describe el concepto de maximización de beneficios para una empresa competitiva. Explica que la empresa toma los precios de los bienes y factores como dados y busca maximizar su beneficio económico. Para lograr esto, iguala la pendiente de la recta de iso-beneficio más alta posible con la pendiente de su función de producción, lo que determina el plan de producción óptimo.

1. Módulo 10
Maximización de
Beneficios
B fi i

2. Beneficio Económico
Una empresa emplea los factores j = 1…,m
para producir los bienes i = 1,…n
Los volúmenes de producción son y1,…,yny
Los volúmenes de empleo de los factores
son x1,…,xm
x
Los precios de los bienes son p1,…,pn
Los precios de los factores son w1,…,wm

3. La empresa competitiva
p p
La empresa competitiva toma los
precios de todos los bienes p1,…,pn y
p
los precios de todos los factores
w1,…,wm como precios dados
w

4. Beneficio Económico
El beneficio económico generado por
el plan de producción
(x1,…,xm,y1,…,yn) es
Π = p1 y1 + L + p n y n − w1 x1 − L w m x m .

5. Beneficio Económico
Los volúmenes de producción y de
empleo de los factores, son flujos
Por ejemplo, x1 debe se e número de
o eje p o, ser el ú e o
unidades de trabajo empleadas por hora
Y y3 debe ser el número de automóviles
producidos por hora
En consecuencia, el beneficio también es
consecuencia
un flujo; por ejemplo, el número de
dólares de beneficio obtenidos por hora

6. Beneficio Económico
¿Cómo se valora una empresa?
Supongamos que el flujo de
beneficios periódicos de una
empresa es Π0, Π1, Π2, … y r es la
tasa de interés
Entonces el valor presente del
beneficio es
Π1 Π2
VP = Π0 + + +L
1+ r (1+ r)2

7. Beneficio Económico
La empresa competitiva busca
maximizar su valor presente
¿Cómo?

8. Beneficio Económico
Suponga que la empresa está en el
p g q p
corto plazo y entonces x 2 ≡ ~ 2 .
x
Su función de producción de corto
plazo es
y = f ( x , ~ ).
1 2x

9. Beneficio Económico
Suponga que la empresa está en el
p g q p
corto plazo y entonces x2 ≡ ~2.
x
Su función de producción de corto
plazo es y = f ( x1, ~2 ).
x
El costo fijo de la empresa es CF = w2 ~2
x
y la función de beneficio es
Π = py − w1x1 − w2 ~2.
x

10. Rectas de iso-beneficio de corto plazo
p
Una recta de iso-beneficio contiene
todos los planes de producción que
proporcionan el mismo nivel de
beneficio
La ecuación de la recta de iso-
beneficio es
~ .
Π ≡ py − w 1 x1 − w 2 x 2

11. Rectas de iso-beneficio de corto plazo
p
Una recta de iso beneficio contiene
iso-beneficio
todos los planes de producción que
proporcionan el mismo nivel de
beneficio
La ecuación de la recta de iso-
beneficio es Π ≡ py − w1 x1 − w 2 ~2 .
x
Es decir w1 Π + w 2 ~2
x
y= x1 + .
p p

12. Las rectas de iso-beneficio
w1 Π + w 2 ~2
x
y = x1 +
p p
La pendiente es
es,
w1
+
p
Y el intercepto vertical es
es,
Π + w 2 ~2
x
.
p

13. Rectas de iso-beneficio de corto plazo
p
y
Π ≡ Π ′′′
Π ≡ Π ′′
Π ≡ Π′
w1
pendiente = +
p
x1

14. Maximización del beneficio en el corto plazo
p
El problema de la empresa es
encontrar el plan de producción que
le permita alcanzar la recta de iso-
beneficio más alta posible, dadas las
posible
restriccciones de la empresa en sus
planes de producción
Pregunta: ¿Qué restricciones?

15. Maximización del beneficio en el corto plazo
p
El problema de la empresa es encontrar el
p
plan de producción que le permita
p q p
alcanzar la recta de iso-beneficio más alta
p
posible, dadas las restriccciones de la
,
empresa en sus planes de producción
Pregunta: ¿Qué restricciones?
Respuesta: La función de producción

16. Maximización del beneficio en el corto plazo
p
y La función de producción de corto
plazo para x2 ≡ ~2 .
l x
~
y = f ( x1 , x 2 )
Planes
Pl
tecnicamente
ineficientes
i fi i t
x1

17. Maximización del beneficio en el corto plazo
p
y
Π ≡ Π ′′′
Π ≡ Π ′′
Π ≡ Π′
Π′ ~
y = f ( x1 , x 2 )
w1
pendiente = +
d
p
x1

18. Maximización del beneficio en el corto plazo
p
y
Π ≡ Π ′′′
Π ≡ Π ′′
Π ≡ Π′
Π′
y*
w1
pendiente= +
p
x*
1
x1

19. Maximización del beneficio en el corto plazo
p
Dados p, w1 y x2 ≡ ~2 , el plan de
x
y producción que maximiza el beneficio
* ~ *
es ( x1 , x2 , y ). Π ≡ Π ′′
y* w1
pendiente = +
p
x*
1
x1

20. Maximización del beneficio en el corto plazo
p
Dados p, w1 y x2 ≡ ~2 ,
x el plan de
y producción que maximiza el beneficio
es ( x1 , ~2 , y * ).
*
x
Π ≡ Π ′′
y*
w1
pendiente = +
p
x*
1
x1
Y el máximo beneficio posible es Π ′′ .

21. Maximización del beneficio en el corto plazo
p
En el plan de producción maximizador del beneficio en el
y corto plazo, la pendiente de la función de producción de
corto plazo y la pendiente de la recta de iso-beneficio más
t l l di t d l t d i b fi i á
alta posible, son iguales Π≡Π ′′
y* w1
pendiente = +
p
x*
1
x1

22. Maximización del beneficio en el corto plazo
p
En el plan de producción maximizador del beneficio en el
y corto plazo, la pendiente de la función de producción de
corto plazo y la pendiente de la recta de iso-beneficio más
alta posible, son iguales Π ≡ Π ′′
y*
w1
pendiente = +
p
w1
PMg 1 =
p
en( x1 , ~2 , y * )
*
x
x*
1
x1

23. Maximización del beneficio en el corto plazo
p
w1
PMg1 = ⇔ p × PMg1 = w1
p
p× PMg1 es el ingreso del producto marginal
g p g
del factor 1, la tasa a la cual el ingreso se
incrementa cuando se incrementa el empleo
del f t
d l factor 1
Si p × PMg1 > w1 entonces el beneficio se incrementa con x1
Si p × PMg1 < w1 entonces el beneficio disminuye con x1

24. Un ejemplo: Cobb Douglas
j p g
Suponga que la función de producción
S l f ió d d ió
1/ 3 ~1/ 3
de corto plazo es y = x1 x2 .
El producto marginal del factor 1 es
∂ y 1 −2 / 3 ~1/ 3
PMg 1 = = x1 x 2 .
∂ x1 3
La condición de maximización del beneficio es
p * −2 / 3 ~1/ 3
IPMg 1 = p × PMg 1 = ( x1 ) x 2 = w1 .
3

25. Un ejemplo: Cobb Douglas
j p g
Resolviendo
R l i d
p * −2 / 3 ~1/ 3
( x1 ) x 2 = w1 para x1 da
3
* −2 / 3 3 w1
(x )
1 = ~1/ 3 .
p x2

26. Un ejemplo: Cobb Douglas
j p g
Es decir
~1/ 3
p x2
* 2/3
(x )
1 =
3 w1

27. Un ejemplo: Cobb Douglas
j p g
Entonces
 ~1/ 3 3 / 2  p 3 / 2
p x2
x =
*
= ~1/ 2 .
x2
1  3 w1   3w
  1

28. Un ejemplo: Cobb Douglas
j p g
 p 
3/2 Es la demanda de
x1 = 
*
 ~1/ 2
x2 corto plazo de
 3w 
 1  la empresa por el factor 1
Cuando el nivel del factor 2 está
fijado en ~2
x unidades.

29. Un ejemplo: Cobb Douglas
j p g
Y el nivel de producción en el corto plazo es
1/ 2
y = (x )
* * 1/3 ~ 1/3 =  p 
x2  ~ 1/ 2 .
x2
1  3w
 1 

30. Estática Comparativa
p
¿Qué ocurre con el plan de
producción que maximiza el
beneficio económico de la empresa
en el corto plazo cuando el precio del
bien cambia?

31. Estática Comparativa
p
La ecuación de la recta de iso-beneficio es
w1 Π + w2 ~2
x
y= x1 +
p p
Así un incremento en p provoca
-- la reducción de la pendiente, y
-- la reducción del intercepto vertical
p

32. Estática Comparativa
p
Π ≡ Π ′′′
y Π ≡ Π ′′
Π ≡ Π′
~
y = f ( x1 , x 2 )
y*
w1
pendiente = +
p
x*
1
x1

33. Estática Comparativa
p
y
~
y = f ( x1 , x 2 )
y*
w1
pendiente = +
p
x*
1
x1

34. Estática Comparativa
p
y
~
y = f ( x1 , x 2 )
*
y
w1
pendiente = +
p
x*
1
x1

35. Estática Comparativa
p
Un incremento en el precio del bien
provoca:
– Un incremento en el volumen de
producción (la pendiente de la
curva de oferta es positiva) y
positiva),
– Un incremento en el volumen de
empleo del factor variable (la curva
de demanda de la empresa por el
factor variable se desplaza hacia
afuera)

36. Estática Comparativa
p
El ejemplo Cobb-Douglas : C
j l C bb D l Cuando
d
~
y=x x1/ 3 1/ 3
Entonces:
1 2
3/ 2
 p  ~1/ 2
x =
*
1  3w 
 x2 Y la oferta de corto plazo es
 1
1/ 2
 p  ~1/ 2 .
y =
*
 3w x2
 1

37. Estática Comparativa
p
x 1* Se incrementa cuando p se incrementa

38. Estática Comparativa
p
*
y se incrementa cuando p se incrementa

39. Estática Comparativa
p
¿Qué ocurre con el plan de
producción maximizador de
beneficio de corto plazo de la
empresa cuando el precio del factor
variable w1 cambia?

40. Estática Comparativa
p
w1 Π + w 2 ~2
x
y = x1 +
p p
Así un incremento en w1 provoca
-- un incremento en la pendiente, y
-- no hay cambios en el intercepto vertical
y p

41. Estática Comparativa
p
Π ≡ Π ′′′
y Π ≡ Π ′′
Π ≡ Π′
~
y = f ( x1 , x 2 )
y*
w1
pendiente = +
p
x*
1
x1

42. Estática Comparativa
p
y Π ≡ Π ′′′
Π ≡ Π ′′
Π ≡ Π′
~
y = f ( x1 , x 2 )
y*
w1
pendiente = +
p
x*
1
x1

43. Estática Comparativa
p
y Π ≡ Π ′′′
Π ≡ Π ′′
Π ≡ Π′
~
y = f ( x1 , x 2 )
w1
pendiente = +
y* p
x*
1
x1

44. Estática Comparativa
p
Un incremento en w1 provoca:
p
– Una disminución en el volumen de
producción de la empresa (la curva
de oferta de la empresa se
desplaza hacia adentro), y
d l h i d t )
– Una disminución en el volumen de
empleo del factor variable (la curva
de demanda de la empresa por el
factor variable tiene pendiente
negativa)
ti )

45. Estática Comparativa
p
El ejemplo Cobb-Douglas : C
j l C bb D l Cuando
d
y=x ~
x 1/ 3 1/ 3
1 2
3/ 2
 p  ~1 / 2
x =
*
1 3  x2
 3w1 
1/ 2
Y la función de oferta es  p  ~1 / 2 .
y =*
 3w  x2
 1

46. Estática Comparativa
p
x 1* disminuye cuando w1 se incrementa

47. Estática Comparativa
p
*
y disminuye cuando w1 se incrementa
y

48. Maximización del beneficio en el largo plazo
g p
Ahora vamos a permitir que la
empresa varíe el empleo de todos los
factores
Como no h f t
C hay factores fij no hay
fijos h
costos fijos

49. Maximización del beneficio en el largo plazo
g p
x1 y x2 son variables
Pensemos en la empresa como
decidiendo el plan de producción
que maximiza el beneficio dado el
i i lb fi i d d l
valor de x2, y entonces variamos x2
para encontrar el nivel más alto
posible del beneficio

50. Maximización del beneficio en el largo plazo
g p
w1 Π + w2 x2
y = x1 +
p p
Así un incremento en x2 provoca
-- ningún cambio en la pendiente, y
-- un incremento en el intercepto vertical
p

51. Maximización del beneficio en el largo plazo
g p
y
′
y = f (x1, x2 )
x1

52. Maximización del beneficio en el largo plazo
g p
y
y = f ( x 1 , 3x ′ )
2
y = f ( x 1 , 2x ′ )
2
y = f ( x1 , x ′ )
2
x1
Mayores niveles de empleo del factor 2
M i l d l d lf t
Incrementan la productividad del factor 1

53. Maximización del beneficio en el largo plazo
g p
y
y = f ( x 1 , 3x ′ )
2
y = f ( x 1 , 2x ′ )
2
y = f ( x1 , x ′ )
2
El producto marginal
del factor 2 disminuye
x1
Mayores niveles de empleo del factor 2
M i l d l d lf t
incrementan la productividad del factor 1

54. Maximización del beneficio en el largo plazo
g p
y
y = f ( x 1 , 3x ′ )
2
y = f ( x 1 , 2x ′ )
2
y = f ( x1 , x ′ )
2
El producto marginal
del factor 2 disminuye
x1
Mayores niveles de empleo del factor 2
M i l d l d lf t
incrementan la productividad del factor 1

55. Maximización del beneficio en el largo plazo
g p
p × PMg1 − w1 = 0 para cada plan de
y producción de corto plazo
y = f ( x 1 , 3x ′ )
2
y = f ( x 1 , 2x ′ )
2
y* ( 3x ′ )
2
y* ( 2x ′ )
2 y = f ( x1 , x ′ )
2
y* ( x ′ )
2
x* ( x ′ )
1 2 x* ( 3 x ′ )
1 2 x1
*
x 1 ( 2x ′ )
2

56. Maximización del beneficio en el largo plazo
g p
p × PMg1 − w1 = 0 para cada plan de
y
producción
prod cción de corto plazo
pla o
y = f ( x 1 , 3x ′ )
2
y = f ( x 1 , 2x ′ )
2
y* ( 3x ′ )
2
y* ( 2x ′ )
2 y = f ( x1 , x ′ )
2
* El producto marginal
y ( x′ )
2
y
del factor 2 disminuye…
x* ( x ′ )
1 2 x* ( 3 x ′ )
1 2 x1
*
x 1 ( 2x ′ )
2

57. Maximización del beneficio en el largo plazo
g p
p × PMg1 − w1 = 0 para cada plan de
y producción de corto plazo
y = f ( x 1 , 3x ′ )
2
y = f ( x 1 , 2x ′ )
2
y* ( 3x ′ )
2
y* ( 2x ′ )
2 y = f ( x1 , x ′ )
2
* El producto marginal
y ( x′ )
2
y
del factor 2 disminuye…
x* ( x ′ )
1 2 x* ( 3 x ′ )
1 2 x1
*
x 1 ( 2x ′ )
2

58. Maximización del beneficio en el largo plazo
g p
El beneficio se incrementará
mientras el ingreso del producto
marginal del factor 2 sea mayor a su
precio p × MP2 − w2 > 0.
En consecuencia, el nivel de empleo
maximizador del beneficio del factor
2 debe satisfacer la condición
p × MP2 − w2 = 0.

59. Maximización del beneficio en el largo plazo
g p
Y p×MP− w > 0. es satisfecho en
2 2
cualquier nivel de corto plazo, así ...
p×MP− w2 = 0.
2
p×MP− w = 0
1 1

60. Maximización del beneficio en el largo plazo
g p
El nivel de empleo de los factores en
el largo plazo que maximizan el
beneficio cumplen:
b fi i l
p × MP1 − w1 = 0 p × MP2 − w 2 = 0 .
Es decir el ingreso marginal es
decir,
igual al costo marginal para todos
los f t
l factores

61. Maximización del beneficio en el largo plazo
g p
El ejemplo Cobb-Douglas: cuando
j l C bb D l d
y = x1 / 3 ~21 / 3
1
x
3/2
 p  ~1/ 2
x =
*
1  3w 
 x2
 1
1/ 2
 p  ~1/ 2 .
y =
*
 3w x2
 1

62. Maximización del beneficio en el largo plazo
g p
Tenemos:
Π = py − w x − w2 ~2
* *
1 1 x
1/ 2 3/ 2
 p  ~1/ 2 − w  p   ~1/ 2 − w ~
= p
 3w  x2 
1 x2 2 x2
 1  3 w1 

63. Maximización del beneficio en el largo plazo
g p
Reordenando:
Π = py * − w1 x1* − w 2 ~2
x
1/ 2 3/2
 p  ~1/ 2 − w  p  ~1/ 2 − w ~
 3w 
= p x2 
1
 x2 2 x2
 1  3 w1 
1/ 2 1/ 2
 p  ~1/ 2 − w p  p 
= p
 3w x2 1

 − w 2 ~2
x
 1 3 w1  3 w1 

64. Maximización del beneficio en el largo plazo
g p
Π = py * − w1 x1* − w 2 ~2
x
1/ 2 3/2
 p  ~1/ 2 − w  p  ~1/ 2 − w ~
= p
 3w 
 x2 
1

 x2 2 x2
 1   3 w1 
1/ 2 1/ 2
 p  ~1/ 2 − w p  p 
 3w 
= p x2 1  3w 
 − w 2 ~2
x
 1  3 w1  1 
1/ 2
2p  p  ~1/ 2 − w ~
= 
 3w x2 2 x2
3  1 

65. Maximización del beneficio en el largo plazo
g p
Π = py * − w 1 x 1* − w 2 ~ 2
x
1/ 2 3/2
 p  ~ 1/ 2 − w  p  ~ 1/ 2 − w ~
= p
 3w 
 x2 
1

 x2 2 x2
 1   3 w1 
1/ 2 1/ 2
 p  ~ 1/ 2 − w p  p 
= p
 3w  x2 1

 3w  − w 2 ~2
x
 1  3 w1  1 
1/ 2
2p  p  ~ 1/ 2 − w ~
= 
 3w  x2 2 x2
3  1 
1/ 2
 4p  3
~ 1/ 2 − w ~ .
 27 w 
=   x2 2 x2
 1 

66. Maximización del beneficio en el largo plazo
g p
1/ 2
 4 p  ~1/ 2
3
Π=  x2 − w2 ~2 .
x
 27 w1 
¿Cuál es el nivel de empleo del factor 2
que maximiza el beneficio? Resolvemos:
1/ 2
∂ Π 1  4 p  ~ −1/ 2
3
0= ~ =   27 w x2 − w2
∂ x2 2  1
Y obtenemos
obtenemos,
~ = x* = p3
x2 2 2
.
27 w1w2

67. Maximización del beneficio en el largo plazo
g p
¿
¿Y cuál es el nivel de empleo del factor 1
p
que maximiza el beneficio? Sustituimos:
3/ 2
p3
en  p  ~1/ 2
x =
*
2 2
x =
*
1  3w  x2
27 w1w2  3w1 
Para obtener
obtener,

68. Maximización del beneficio en el largo plazo
g p
3/ 2 1/ 2
 p   p 3
 p 3
x =
*
1  3w 
 27 w w 2 = 2
.
 1  1 2  27 w1 w2

69. Maximización del beneficio en el largo plazo
g p
¿Y cuál es el nivel de producción que
maximiza el beneficio? Sustituimos:
1/ 2
3
p  p  ~1/ 2
x2 =
* en y =
*
 x2
 3w 
2
27 w1w2  1
Para obtener,
P bt

70. Maximización del beneficio en el largo plazo
g p
1/ 2 1/ 2
 p   p 3
p 2
y =
*
 3w 
 27w w2 = .
 1  1 2  9w1w2

71. Maximización del beneficio en el largo plazo
g p
Así, dados los precios p, w1 y w2, y la función
de producción,
y = x1 x2
1/ 3 1/ 3
El plan de producción que maximiza
el beneficio es,
lb fi i
 p3
p 3
p 2
(x , x , y ) = 
*
1
*
2
*
, ,
 27w w 27w w 9w w
2 2
.
 1 2 1 2 1 2

72. Retornos a escala y maximización del
beneficio
b fi i
Si una empresa competitiva presenta
retornos decrecientes a escala
escala,
entonces tiene sólo un plan de
producción que maximiza el
beneficio

73. Retornos a escala y maximización del
beneficio
b fi i
y
y = f(x)
y
y*
Retornos
decrecientes a
escala
x* x

74. Retornos a escala y maximización del
beneficio
b fi i
Si una empresa competitiva presenta
retornos crecientes a escala
escala,
entonces no tiene una plan de
producción que maximiza el
beneficio

75. Retornos a escala y maximización del
beneficio
b fi i
y
y = f(x)
y”
”
y’
’ Retornos
crecientes a
escala
l
x’ x” x

76. Retornos a escala y maximización del
beneficio
b fi i
En consecuencia, los retornos
crecientes a escala son
inconsistentes con las empresas en
una industria competitiva

77. Retornos a escala y maximización del
beneficio
b fi i
¿Y qué ocurre si la empresa
competitiva presenta retornos
constantes a escala?

78. Retornos a escala y maximización del
beneficio
b fi i
y
y = f( x )
f(
y”
Retornos
R t
y
y’ Constantes a
Escala
x’ x” x

79. Retornos a escala y maximización del
beneficio
b fi i
Es decir, si para cualquier plan de
producción la empresa obtiene un
beneficio positivo, la empresa puede
duplicar el empleo de los factores y
producir el doble y obtener el doble
de beneficio

80. Retornos a escala y maximización del
beneficio
b fi i
En consecuencia, una empresa que
p
presenta retornos constantes a escala,,
obteniendo beneficios económicos
p
positivos es inconsistente con una
industrisa competitiva
Por lo tanto, los retornos constantes a
escala requieren que las empresas
obtengan un beneficio económico cero

81. Retornos a escala y maximización del
beneficio
b fi i
y
y = f( x )
f(
Π=0
y”
Retornos
Constantes a
y
y’
Escala
x’ x” x