1. El documento presenta la resolución de varios problemas de programación lineal y sus duales. Se convierten los problemas a su forma estándar y se resuelven usando el método simplex. Se obtienen las soluciones óptimas de los problemas primal y dual. 2. Se pide estimar el intervalo del valor objetivo óptimo para dos problemas de PL presentados. 3. En uno de los ejemplos, la solución dual no es factible a pesar de que z=w, por lo que la solución primal es la óptima.

1. JUAN MIGUEL CUSTODIO MACGIVER 100480765
PRACTICA DE INVESTIGACIONES DE OPERACIONES
1. Determine el valor óp mo de la función obje vo en el siguiente problema al inspeccio nar sólo el dual. (No resuelva el dual con el método simplex).
Sujeto a :
1. Para aplicar el método dual simplex, convierta Min Z a Max Z y todos ≥ restricción a ≤ restricción multiplicando -1.
problema es
-->
--->
Variables X1 X2 X3 S1 Resultados
Z -10 -4 -5 0 0
S1 -5 7 -3 1 -50
Variables X1 X2 X3 S1 Resultados
Z -12 6/7 0 -6 5/7 4/7 -28 4/7 4*F2+F1--> F1
X2 - 5/7 1 - 3/7 1/7 -7 1/7
Variables X1 X2 X3 S1 Resultados
Z -12 6/7 0 -6 5/7 4/7 -28 4/7
X2 - 5/7 1 - 3/7 1/7 -7 1/7
Variables X1 X2 X3 S1 Resultados
Z -1 2/3 -15 2/3 0 -1 2/3 83 1/3 (47/7)*F2 +F1 -->F2
X3 1 2/3 -2 1/3 1 - 1/3 16 2/3
Por lo tanto, la solución óptima se llega con valor de variables
como:
Z=250/3 = 83.3333333
x1=0 ; x2=0; x3= 50/3 = 16.6666667
PRIMAL DUAL
Maximizar W = 50Y1 + 20Y2 + 30Y3 + 35Y4 + 10Y5 + 90Y6 + 20Y4 + 0S1 + 0S2
Sujeto a :
5y1 + y2 + 6y3 + 5Y4 + 4Y5 + 10Y6 + 1Y7 + 0S1 - 1S2 + 0S3 ≥ 6
3y1 - y2 - 9y3 + 5Y4 - 15Y5 + 0Y6 - 10Y7 + 0S1 + 0S2 - 1S3 ≥ 3
x1, x2, x3 ≥ 0
CONJUNTO DE PROBLEMAS 4.2C
Minimizar z = 10x1 + 4x2 + 5x3
5x1 - 7x2 +3x3 ≥ 50
x1,x2,x3 ≥ 0
-5x1 + 7x2 - 3x3 ≤ -50
-5X1 + 7X2 - 3X3 + S1 = -50
Z - 10X1 -4X2 -5X3 = 0
2. Convertir el modelo a la forma estandar :
(1/7)* F2 --> F2
(-7/3)* F2 --> F2
COMO : Todas las cifras de la columna resultados son positivos,
y todas las cifras de la fila de Z son negativos o cero (excepto el resultado)
2. Resuelva el dual del siguiente problema, y en seguida halle su solución óptima a partir de la solución del dual.
¿Ofrece ventajas computacionales la solución del dual sobre la solu ción directa del primal?
12x1 + 10x2 ≥ 90
5y1 + y2 + 7y3 + 5Y4 + 2Y5 + 12Y6 + 0Y7 - 1S1 + 0S2 + 0S3 ≥ 5
x2 - 10x3 ≥ 20
Minimizar Z = 5x1 + 6x2 + 3x3
5x1 + 5x2 + 3x3 ≥ 50
x1 + x2 - x3 ≥ 20
7x1 + 6x2 - 9x3 ≥ 30
5x1 + 5x2 + 5x3 ≥ 35
2x1 + 4x2 - 15x3 ≥ 10

2. 1. Para aplicar el método dual simplex, convierta Min Z a Max Z y todos ≥ restricción a ≤ restricción multiplicando -1.
problema es
-5y1 - y2 - 6y3 - 5Y4 - 4Y5 - 10Y6 - 1Y7 + 0S1 + 1S2 + 0S3 ≤ -6
-3y1 + y2 + 9y3 - 5Y4 + 15Y5 + 0Y6 + 10Y7 + 0S1 + 0S2 + 1S3 ≤ -3
Variables Y1 Y2 Y3 Y4 Y5 Y6 Y7 S1 S2 S3 Resultados
w -50 -20 -30 -35 -10 -90 -20 0 0 0 0
S1 -5 -1 -7 -5 -2 -12 0 1 0 0 -5
S2 -5 -1 -6 -5 -4 -10 -1 0 1 0 -6
S3 -3 1 9 -5 15 0 10 0 0 1 -3
Variables Y1 Y2 Y3 Y4 Y5 Y6 Y7 S1 S2 S3 Resultados
w -37.5 -17.5 -15 -22.5 0 -65 -17.5 0 -2.5 0 15 (10)F3 + F1 -->F1
S1 -2.5 -0.5 -4 -2.5 0 -7 0.5 1 -0.5 0 -2 (2)F3 + F2 -->F2
Y5 1.25 0.25 1.5 1.25 1 2.5 0.25 0 -0.25 0 1.5 (-1/4)F3-->F3
S3 -21.75 -2.75 -13.5 -23.75 0 -37.5 6.25 0 3.75 1 -25.5 (-15)F3 + F4 -->F4
Variables Y1 Y2 Y3 Y4 Y5 Y6 Y7 S1 S2 S3 Resultados
w -37.5 -17.5 -15 -22.5 0 -65 -17.5 0 -2.5 0 15
S1 -2.5 -0.5 -4 -2.5 0 -7 0.5 1 -0.5 0 -2
Y5 1.25 0.25 1.5 1.25 1 2.5 0.25 0 -0.25 0 1.5
S3 -21.75 -2.75 -13.5 -23.75 0 -37.5 6.25 0 3.75 1 -25.5
Variables Y1 Y2 Y3 Y4 Y5 Y6 Y7 S1 S2 S3 Resultados
w -16.8947368 -14.8947368 -2.21052632 0 0 -29.4736842 -23.4210526 0 -6.05 -0.95 39.1578947 (43/2)F4 + F1 -->F1
S1 -0.21052632 -0.21052632 -2.57894737 0 0 -3.05263158 -0.15789474 1 -0.89 -0.11 0.68421053 (5/2)F4 + F2 -->F2
Y5 0.10526316 0.10526316 0.78947368 0 1 0.52631579 0.57894737 0 -0.05 0.05 0.15789474 (-5/4)F4 + F3--> F3
Y4 0.91578947 0.11578947 0.56842105 1 0 1.57894737 -0.2631579 0 -0.16 -0.04 1.07368421 (-4/95)F4 -->F4
solucion dual optima
W=39.16
Y5= 0.16
Y4= 1.07
Y1= 0, Y2=0, Y3=0, Y6=0, Y7=0
SEA X1=0 X1=1.35 X2=0.3055
5.35X1 + 5.35X2 +5.35X3 -5.6 = 0
0.32X2 + 0.64X2 - 2.4X3 -1.6 = 0
x1, x2, x3 ≥ 0 x1, x2, x3 ≥ 0
sujeto a x1 - x2 ≥ 3
2x1 + 3x2 ≥ 5
x1, x2 ≥ 0
PRIMAL
sujeto a x1 - x2 ≥ 3 x1 - x2 - S1 + 0S2 = 3 ---Y1
2x1 + 3x2 ≥ 5 2x1 + 3x2 + 0S1 - S2 = 5 --->Y2
x1, x2 ≥ 0
}=
Minimizar z = 5x1 + 2x2 Minimizar z = 5x1 + 2x2 + 0S1 + 0S2
8. Estime un intervalo para el valor objetivo óptimo de las siguientes PL:
a). Minimizar z = 5x1 + 2x2
}=
0*(5x1 + 5x2 + 3x3 - 50)
0* (x1 + x2 - x3 - 20)
0*(7x1 + 6x2 - 9x3 - 30)
1.07*(5x1 + 5x2 + 5x3 - 35)
0.16*(2x1 + 4x2 - 15x3 - 10)
0*(12x1 + 10x2 - 90)
0*(x2 - 10x3 - 20)
Y3*(7x1 + 6x2 - 9x3 - 30)
Y4*(5x1 + 5x2 + 5x3 - 35)
Y5*(2x1 + 4x2 - 15x3 - 10)
Y6*(12x1 + 10x2 - 90)
Y7*(x2 - 10x3 - 20)
BUSCANDO LA SOLUCION PRIMAL
Y1=Y2=Y3=Y6=Y7=0
Y1*(5x1 + 5x2 + 3x3 - 50)
Y2* (x1 + x2 - x3 - 20)
{
-5y1 - y2 - 7y3 - 5Y4 - 2Y5 - 12Y6 + 0Y7 + 1S1 + 0S2 + 0S3 ≤ -5
Y1,Y2,Y3,Y4,Y5,Y6,Y7 ≥ 0

3. DUAL
y1 + 2y2 <= 5 -Y1 -2Y2 + 1S1 +0S2 <= -5
-y + 3y2 <=2 Y1 -3Y2 + 0S1 +1S2 <= -2
-Y1<=0 y1, y2 =>0
-Y2<=0
wariables z y1 y2 s1 s1 resultados
1 -3 -5 0 0 0
s1 0 1 2 1 0 5
s2 0 -1 3 0 1 2
wariables z y1 y2 s1 s1 resultados
1 -0.5 0 2.5 0 12.5 5*F2 + F1 -->F1
y2 0 0.5 1 0.5 0 2.5 (1/2)*f2 --> f2
s2 0 -2.5 0 -1.5 1 -5.5 -3*F2 + F3 --> F3
wariables z y1 y2 s1 s1 resultados
1 -0.5 0 2.5 0 12.5
y2 0 0.5 1 0.5 0 2.5
s2 0 -2.5 0 -1.5 1 -5.5
wariables z y1 y2 s1 s2 resultados
z 1 0 1 3 0 15
y1 0 1 2 1 0 5
s2 0 0 5 1 1 7
SOLUCION DUAL OPTIMA ` SOLUCION DUAL OPTIMA
Z=15 W =14
Y1=5 ; Y2= 0 Y1=3 ; Y2= 1
INTERVALO (14, 15)
PRIMAL
Minimizar z = x1 + 5x2 + 3X3 + 0S1 + 0S2
sujeto a x1 + 2x2 + X3 = 3 x1 + 2x2 + X3 - S1 + 0S2 = 3
2x1 - x2 = 4 2x1 - x2 + 0X3 + 0S1 - S2 = 5
x1, x2,X3 ≥ 0
Dual
Minimizar W = 3Y1 + 4Y2
Z + 3Y1 + 5Y2 = 0
y1 + 2y2 => 1 -Y1 - 2Y2 + S1 + 0S2 = -5
2y - y2 => 5 Y1 - 3Y2 + 0S1 + S2 = -2
3Y1>=3
-Y2<=0 y1, y2 =>0
variables x1 x2 x3 m1 m2 valores
z 3 1 1 0 0 7
m1 1 2 1 1 0 3
m2 2 -1 0 0 1 4
b). Maximazar = x1 + 5x2 + 3x3
SOLUCION PRIMAL
Maximizar W = 3Y1 + 5Y2

4. variables x1 x2 x3 m1 m2 valores
z 0 2.5 1 0 -1.5 1
m1 0 2.5 1 1 -0.5 1
x1 1 -0.5 0 0 0.5 2
variables x1 x2 x3 m1 m2 valores
z 0 0 0 -1 -1 4.2
x2 0 1 0.4 0.4 -0.2 0.4
x1 1 0 0.2 0.2 0.4 2.2
La solución dual no es factible; de ahí que no puede ser óptima aun cuando z=w=4.2
LA SOLUCION PRIMAL OPTIMA ES Z=4.2
--> X1=2.2 ; X2=0.4 ; X3=0