Presentación de Introducción a los números. Una de las herramientas más poderosas de las matemáticas es el cálculo. Su
evolución ha ocurrido de manera paralela a los diferentes sistemas numéricos, desde los primeros
conteos hasta la era tecnológica. El cálculo fundamenta su estudio en las propiedades de los
números reales. En esta unidad estudiaremos los axiomas fundamentales, los de orden y los de
completitud como preámbulo para otras aplicaciones más complejas.
La evolución de los números reales comenzó con las fracciones egipcias hace 3000 años y los números irracionales griegos hace 2500 años. Los números negativos fueron desarrollados por matemáticos indios y chinos hace 1400 años, pero no se usaron ampliamente en Europa hasta el siglo 17. La definición rigurosa de los números reales fue establecida por Georg Cantor en 1871 usando teoría de conjuntos.
Este documento introduce el conjunto de los números reales mediante la aproximación de números mediante fracciones racionales. Explica cómo construir los números reales a partir de esta aproximación usando ejemplos geométricos. También presenta algunas propiedades de los números reales como la desigualdad triangular para valores absolutos y que la raíz cuadrada de 2 no puede ser un número racional. Finalmente, usa un ejemplo geométrico para aproximar el área bajo una curva dividiendo el intervalo en subintervalos.
El documento define conjuntos y sus propiedades según varios matemáticos. Explica operaciones con conjuntos como unión, intersección y diferencia. Luego, presenta ejemplos de operaciones combinadas con conjuntos y números. Finalmente, introduce conceptos como números reales, desigualdades, valor absoluto y sus propiedades.
El documento define los números reales y racionales, incluyendo números naturales, enteros y fraccionarios. Explica las propiedades de los números reales como ser cerrada bajo suma y multiplicación. También cubre inecuaciones, desigualdades, valor absoluto y cómo resolver desigualdades de valor absoluto.
Este documento presenta conceptos básicos sobre los conjuntos numéricos reales. Explica las propiedades de adición, multiplicación, potenciación y radicación de los números reales a través de definiciones y ejemplos. También incluye ejercicios resueltos para aplicar los conceptos aprendidos.
Este documento presenta una guía sobre números reales con cuatro temas principales: 1) identifica la relación entre los conjuntos numéricos y define los números reales, 2) explica cómo representar números reales e intervalos en la recta numérica, 3) define intervalos cerrados y abiertos en la recta numérica, y 4) introduce el concepto de valor absoluto y sus propiedades. El objetivo es que los estudiantes comprendan mejor los números reales y cómo trabajar con ellos.
Presentacion de Matemáticas "TEMAS QUE TE PUEDEN AYUDAR"MaraFalcn3
En este trabajo se ve reflejado todos estos temas con sus respectivos ejercicios
Definición de Conjuntos.
Operaciones con conjuntos.
Números Reales
Desigualdades.
Definición de Valor
Absoluto
Desigualdades con
Valor Absoluto
1. Se describe los números naturales, enteros, racionales y reales, incluyendo sus propiedades bajo las operaciones de suma y multiplicación. 2. Se introduce el principio de inducción para los números naturales y una variante más débil para los enteros. 3. Se explica que los números reales forman un cuerpo completo que permite representar cantidades como la raíz cuadrada de 2, que no tienen representación en los racionales.
La evolución de los números reales comenzó con las fracciones egipcias hace 3000 años y los números irracionales griegos hace 2500 años. Los números negativos fueron desarrollados por matemáticos indios y chinos hace 1400 años, pero no se usaron ampliamente en Europa hasta el siglo 17. La definición rigurosa de los números reales fue establecida por Georg Cantor en 1871 usando teoría de conjuntos.
Este documento introduce el conjunto de los números reales mediante la aproximación de números mediante fracciones racionales. Explica cómo construir los números reales a partir de esta aproximación usando ejemplos geométricos. También presenta algunas propiedades de los números reales como la desigualdad triangular para valores absolutos y que la raíz cuadrada de 2 no puede ser un número racional. Finalmente, usa un ejemplo geométrico para aproximar el área bajo una curva dividiendo el intervalo en subintervalos.
El documento define conjuntos y sus propiedades según varios matemáticos. Explica operaciones con conjuntos como unión, intersección y diferencia. Luego, presenta ejemplos de operaciones combinadas con conjuntos y números. Finalmente, introduce conceptos como números reales, desigualdades, valor absoluto y sus propiedades.
El documento define los números reales y racionales, incluyendo números naturales, enteros y fraccionarios. Explica las propiedades de los números reales como ser cerrada bajo suma y multiplicación. También cubre inecuaciones, desigualdades, valor absoluto y cómo resolver desigualdades de valor absoluto.
Este documento presenta conceptos básicos sobre los conjuntos numéricos reales. Explica las propiedades de adición, multiplicación, potenciación y radicación de los números reales a través de definiciones y ejemplos. También incluye ejercicios resueltos para aplicar los conceptos aprendidos.
Este documento presenta una guía sobre números reales con cuatro temas principales: 1) identifica la relación entre los conjuntos numéricos y define los números reales, 2) explica cómo representar números reales e intervalos en la recta numérica, 3) define intervalos cerrados y abiertos en la recta numérica, y 4) introduce el concepto de valor absoluto y sus propiedades. El objetivo es que los estudiantes comprendan mejor los números reales y cómo trabajar con ellos.
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En este trabajo se ve reflejado todos estos temas con sus respectivos ejercicios
Definición de Conjuntos.
Operaciones con conjuntos.
Números Reales
Desigualdades.
Definición de Valor
Absoluto
Desigualdades con
Valor Absoluto
1. Se describe los números naturales, enteros, racionales y reales, incluyendo sus propiedades bajo las operaciones de suma y multiplicación. 2. Se introduce el principio de inducción para los números naturales y una variante más débil para los enteros. 3. Se explica que los números reales forman un cuerpo completo que permite representar cantidades como la raíz cuadrada de 2, que no tienen representación en los racionales.
Este documento trata sobre los números reales. Explica que los números reales son la unión de los números racionales e irracionales. Los números racionales incluyen a los números naturales, enteros y fraccionarios, mientras que los irracionales son aquellos que no pueden expresarse como fracciones. Finalmente, define formalmente el conjunto de los números reales como la unión disjunta de los números racionales e irracionales.
El documento habla sobre los números reales, incluyendo las propiedades básicas de la suma, resta, multiplicación y división. También define conceptos como intervalos, ecuaciones, desigualdades y conjuntos de números como naturales, enteros, racionales e irracionales. Finalmente, explica las operaciones básicas en el conjunto de los números reales y los axiomas y propiedades que las rigen.
Este documento presenta los números reales, incluyendo su representación en la recta numérica y sus propiedades. Explica que la recta numérica extiende los números enteros de forma continua e ilimitada en ambas direcciones. Luego define los subconjuntos de números naturales, enteros, racionales e irracionales, y describe sus propiedades de cierre bajo operaciones. Finalmente, detalla propiedades clave de los números reales como la tricotomía, transitividad y densidad.
Este documento introduce conceptos básicos sobre conjuntos y números reales. Explica que un conjunto es una colección de objetos con al menos una característica en común, y define operaciones como la unión, intersección y diferencia entre conjuntos. También describe la correspondencia entre números reales y puntos en una recta numérica, e introduce los números irracionales como aquellos puntos cuya coordenada no puede ser expresada como un número racional.
Este documento resume los conceptos fundamentales de la teoría de conjuntos, incluyendo las definiciones de conjunto, operaciones básicas como unión e intersección, y los diferentes tipos de conjuntos numéricos como naturales, enteros, racionales y reales. También explica brevemente la historia de la teoría de conjuntos y las desigualdades matemáticas.
Este documento presenta una introducción a los conjuntos numéricos y espacios vectoriales. Explica los conjuntos de números naturales, enteros, racionales e irracionales, y cómo su unión forma el conjunto de los números reales. También define conceptos como vector, operaciones con vectores, norma de un vector, y demuestra que Rn define un espacio vectorial.
1. El documento describe los números naturales, enteros y racionales. Los números naturales son los que se usan para contar y forman un conjunto infinito. Los números enteros incluyen los naturales y sus opuestos. Los números racionales son parejas de números enteros que se dividen entre sí.
2. También habla sobre los números reales, que forman un conjunto más amplio que incluye números irracionales como pi. El conjunto de los números reales es infinito y cerrado bajo las cuatro operaciones.
3. Finalmente, explica que la representación gr
NÚMEROS PRIMOS Y NÚMEROS COMPUESTOS.pdfHaleví Rango
Este documento presenta una introducción a los números primos y compuestos. Explica que un número primo solo es divisible por 1 y sí mismo, mientras que un número compuesto es divisible por más de dos números. Luego describe varias propiedades de los números primos como su infinitud, la distribución asintótica y la diferencia entre números primos consecutivos. Finalmente, propone un método para encontrar todos los números primos menores o iguales a un valor dado mediante sucesiones.
Este documento presenta un manual y video tutorial sobre números complejos. Primero introduce los números complejos, incluyendo su forma estándar y representación geométrica. Luego describe operaciones básicas como suma, resta, producto y división de números complejos en forma estándar y trigonométrica. Finalmente, explica soluciones de ecuaciones cuadráticas complejas y el teorema de De Moivre para potencias de números complejos. El objetivo es conocer y resolver operaciones con números complejos en diferentes formas.
Este documento describe los números reales y sus propiedades. Introduce los conjuntos de números naturales, enteros, racionales e irracionales, y cómo se relacionan para formar el conjunto de los números reales. Explica cómo los números racionales tienen representaciones decimales finitas o periódicas, mientras que los irracionales son no periódicos. También define operaciones binarias y sus propiedades de cerradura, conmutatividad y asociatividad.
El documento explica los conceptos básicos de conjuntos numéricos, operaciones con conjuntos, números reales, desigualdades matemáticas y valor absoluto. Define los conjuntos de números naturales, enteros, racionales e irracionales y describe operaciones como unión, intersección, diferencia y complemento. También explica números reales, desigualdades, valor absoluto y cómo resolver desigualdades con valor absoluto.
Este documento presenta conceptos básicos sobre números reales e intervalos. Explica que los números reales (R) incluyen números naturales, enteros, racionales e irracionales. Define intervalos abiertos, cerrados e infinitos y describe operaciones como unión e intersección. Luego introduce conceptos fundamentales de funciones como dominio, periodicidad y simetría. Finalmente, define funciones polinómicas, racionales, exponenciales, logarítmicas y radicales.
Este documento presenta los números reales, incluyendo racionales e irracionales. Explica que los números racionales pueden expresarse como fracciones de enteros y que admiten expresiones decimales exactas o periódicas. También introduce los números irracionales, cuyas expresiones decimales son no periódicas con cifras infinitas. Finalmente, define el conjunto de los números reales como la unión de racionales e irracionales, y presenta propiedades de potencias, raíces y operaciones con intervalos sobre la recta real.
Conjuntos, numeros reales, desigualdades y valor absolutogenesislopez46
El documento habla sobre conceptos básicos de conjuntos y operaciones con conjuntos como unión, intersección, diferencia y complemento. También explica brevemente los números reales y la noción de valor absoluto en matemáticas. Finalmente, introduce las desigualdades de valor absoluto y cómo resolverlas considerando si la expresión dentro de los símbolos es positiva o negativa.
Contenido:
-Definición de conjuntos
-Operaciones con conjuntos
-Números Reales
-Desigualdades
-Definición de Valor Absoluto
-Desigualdades con Valor Absoluto
Este documento resume los principales conjuntos numéricos utilizados en matemáticas básicas como los naturales (N), enteros (Z), racionales (Q), irracionales (Q*), reales (R) y complejos (C). También explica las operaciones básicas entre números, incluyendo la prioridad de operaciones, y conceptos como el valor absoluto y cómo resolver desigualdades de valor absoluto.
Este documento describe los diferentes conjuntos numéricos, incluyendo números naturales, enteros, racionales e irracionales. Explica cómo los números reales son la unión de los números racionales e irracionales, y cómo estos conjuntos numéricos se relacionan entre sí. También cubre la representación decimal de números racionales e irracionales, y define las operaciones binarias y sus propiedades en conjuntos numéricos.
Este documento describe los números reales y las operaciones básicas que se pueden realizar con ellos. Explica que los números reales incluyen tanto números racionales como irracionales. Detalla cómo sumar y multiplicar números enteros, racionales e irracionales, así como el concepto de valor absoluto y desigualdades.
Priones, definiciones y la enfermedad de las vacas locasalexandrajunchaya3
Durante este trabajo de la doctora Mar junto con la coordinadora Hidalgo, se presenta un didáctico documento en donde repasaremos la definición de este misterio de la biología y medicina. Proteinas que al tener una estructura incorrecta, pueden esparcir esta estructura no adecuada, generando huecos en el cerebro, de esta manera creando el tejido espongiforme.
Este documento trata sobre los números reales. Explica que los números reales son la unión de los números racionales e irracionales. Los números racionales incluyen a los números naturales, enteros y fraccionarios, mientras que los irracionales son aquellos que no pueden expresarse como fracciones. Finalmente, define formalmente el conjunto de los números reales como la unión disjunta de los números racionales e irracionales.
El documento habla sobre los números reales, incluyendo las propiedades básicas de la suma, resta, multiplicación y división. También define conceptos como intervalos, ecuaciones, desigualdades y conjuntos de números como naturales, enteros, racionales e irracionales. Finalmente, explica las operaciones básicas en el conjunto de los números reales y los axiomas y propiedades que las rigen.
Este documento presenta los números reales, incluyendo su representación en la recta numérica y sus propiedades. Explica que la recta numérica extiende los números enteros de forma continua e ilimitada en ambas direcciones. Luego define los subconjuntos de números naturales, enteros, racionales e irracionales, y describe sus propiedades de cierre bajo operaciones. Finalmente, detalla propiedades clave de los números reales como la tricotomía, transitividad y densidad.
Este documento introduce conceptos básicos sobre conjuntos y números reales. Explica que un conjunto es una colección de objetos con al menos una característica en común, y define operaciones como la unión, intersección y diferencia entre conjuntos. También describe la correspondencia entre números reales y puntos en una recta numérica, e introduce los números irracionales como aquellos puntos cuya coordenada no puede ser expresada como un número racional.
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Este documento presenta una introducción a los conjuntos numéricos y espacios vectoriales. Explica los conjuntos de números naturales, enteros, racionales e irracionales, y cómo su unión forma el conjunto de los números reales. También define conceptos como vector, operaciones con vectores, norma de un vector, y demuestra que Rn define un espacio vectorial.
1. El documento describe los números naturales, enteros y racionales. Los números naturales son los que se usan para contar y forman un conjunto infinito. Los números enteros incluyen los naturales y sus opuestos. Los números racionales son parejas de números enteros que se dividen entre sí.
2. También habla sobre los números reales, que forman un conjunto más amplio que incluye números irracionales como pi. El conjunto de los números reales es infinito y cerrado bajo las cuatro operaciones.
3. Finalmente, explica que la representación gr
NÚMEROS PRIMOS Y NÚMEROS COMPUESTOS.pdfHaleví Rango
Este documento presenta una introducción a los números primos y compuestos. Explica que un número primo solo es divisible por 1 y sí mismo, mientras que un número compuesto es divisible por más de dos números. Luego describe varias propiedades de los números primos como su infinitud, la distribución asintótica y la diferencia entre números primos consecutivos. Finalmente, propone un método para encontrar todos los números primos menores o iguales a un valor dado mediante sucesiones.
Este documento presenta un manual y video tutorial sobre números complejos. Primero introduce los números complejos, incluyendo su forma estándar y representación geométrica. Luego describe operaciones básicas como suma, resta, producto y división de números complejos en forma estándar y trigonométrica. Finalmente, explica soluciones de ecuaciones cuadráticas complejas y el teorema de De Moivre para potencias de números complejos. El objetivo es conocer y resolver operaciones con números complejos en diferentes formas.
Este documento describe los números reales y sus propiedades. Introduce los conjuntos de números naturales, enteros, racionales e irracionales, y cómo se relacionan para formar el conjunto de los números reales. Explica cómo los números racionales tienen representaciones decimales finitas o periódicas, mientras que los irracionales son no periódicos. También define operaciones binarias y sus propiedades de cerradura, conmutatividad y asociatividad.
El documento explica los conceptos básicos de conjuntos numéricos, operaciones con conjuntos, números reales, desigualdades matemáticas y valor absoluto. Define los conjuntos de números naturales, enteros, racionales e irracionales y describe operaciones como unión, intersección, diferencia y complemento. También explica números reales, desigualdades, valor absoluto y cómo resolver desigualdades con valor absoluto.
Este documento presenta conceptos básicos sobre números reales e intervalos. Explica que los números reales (R) incluyen números naturales, enteros, racionales e irracionales. Define intervalos abiertos, cerrados e infinitos y describe operaciones como unión e intersección. Luego introduce conceptos fundamentales de funciones como dominio, periodicidad y simetría. Finalmente, define funciones polinómicas, racionales, exponenciales, logarítmicas y radicales.
Este documento presenta los números reales, incluyendo racionales e irracionales. Explica que los números racionales pueden expresarse como fracciones de enteros y que admiten expresiones decimales exactas o periódicas. También introduce los números irracionales, cuyas expresiones decimales son no periódicas con cifras infinitas. Finalmente, define el conjunto de los números reales como la unión de racionales e irracionales, y presenta propiedades de potencias, raíces y operaciones con intervalos sobre la recta real.
Conjuntos, numeros reales, desigualdades y valor absolutogenesislopez46
El documento habla sobre conceptos básicos de conjuntos y operaciones con conjuntos como unión, intersección, diferencia y complemento. También explica brevemente los números reales y la noción de valor absoluto en matemáticas. Finalmente, introduce las desigualdades de valor absoluto y cómo resolverlas considerando si la expresión dentro de los símbolos es positiva o negativa.
Contenido:
-Definición de conjuntos
-Operaciones con conjuntos
-Números Reales
-Desigualdades
-Definición de Valor Absoluto
-Desigualdades con Valor Absoluto
Este documento resume los principales conjuntos numéricos utilizados en matemáticas básicas como los naturales (N), enteros (Z), racionales (Q), irracionales (Q*), reales (R) y complejos (C). También explica las operaciones básicas entre números, incluyendo la prioridad de operaciones, y conceptos como el valor absoluto y cómo resolver desigualdades de valor absoluto.
Este documento describe los diferentes conjuntos numéricos, incluyendo números naturales, enteros, racionales e irracionales. Explica cómo los números reales son la unión de los números racionales e irracionales, y cómo estos conjuntos numéricos se relacionan entre sí. También cubre la representación decimal de números racionales e irracionales, y define las operaciones binarias y sus propiedades en conjuntos numéricos.
Este documento describe los números reales y las operaciones básicas que se pueden realizar con ellos. Explica que los números reales incluyen tanto números racionales como irracionales. Detalla cómo sumar y multiplicar números enteros, racionales e irracionales, así como el concepto de valor absoluto y desigualdades.
Priones, definiciones y la enfermedad de las vacas locasalexandrajunchaya3
Durante este trabajo de la doctora Mar junto con la coordinadora Hidalgo, se presenta un didáctico documento en donde repasaremos la definición de este misterio de la biología y medicina. Proteinas que al tener una estructura incorrecta, pueden esparcir esta estructura no adecuada, generando huecos en el cerebro, de esta manera creando el tejido espongiforme.
Esta exposición tiene como objetivo educar y concienciar al público sobre la dualidad del oxígeno en la biología humana. A través de una mezcla de ciencia, historia y tecnología, se busca inspirar a los visitantes a apreciar la complejidad del oxígeno y a adoptar estilos de vida que promuevan un equilibrio saludable entre sus beneficios y sus potenciales riesgos.
¡Únete a nosotros para descubrir cómo el oxígeno puede ser tanto un salvador como un destructor, y qué podemos hacer para maximizar sus beneficios y minimizar sus daños!
La era precámbrica comenzó hace 4 millones de años y se cuenta hasta hace 570 millones de años. Durante este período se creó el complejo basal propio de la Guayana venezolana, al sur del país; también en Los Andes; en la cordillera norte de Perijá, estado de Zulia; y en el Baúl, estado de Cojedes.
Una unidad de medida es una cantidad de una determinada magnitud física, definida y adoptada por convención o por ley. Cualquier valor de una cantidad física puede expresarse como un múltiplo de la unidad de medida. Para entender mejor las mismas, hay que saber como se pueden convertir en otras unidades de medida.
Cardiopatias cianogenas con hipoflujo pulmonar.pptxELVISGLEN
Las cardiopatías congénitas acianóticas incluyen problemas cardíacos que se desarrollan antes o al momento de nacer pero que normalmente no interfieren en la cantidad de oxígeno o de sangre que llega a los tejidos corporales.
3. 1. Introducción a los números reales
1. Definición y objetivo de la Física
2. Conjunto de números reales
3. Propiedades de los números reales
4. Intervalos en los números reales
5. Desigualdades y valor absoluto
3
5. El término física viene del término griego que significa naturaleza.
Hasta principios del siglo XIX la física se denominó "filosofía natural".
Durante el siglo XIX y principios del XX, estuvo restringida al estudio de un grupo limitado
de fenómenos.
Se les llamó fenómenos físicos, definidos como procesos en los cuales la naturaleza de
las sustancias participantes no cambian.
5
6. Actualmente se establece que:
Física es la ciencia que estudia los componentes de la materia
y sus interacciones mutuas; en función de estas interacciones,
explica las propiedades de la materia en conjunto,
así como otros fenómenos observados en la naturaleza.
6
7. Áreas de estudio:
• Mecánica clásica. Estudia el movimiento de partículas grandes en relación con los
átomos y que se mueven con una rapidez mucho menor que la de la luz.
• Relatividad. Teoría que describe las partículas que se mueven con rapidez cercanas a
la de la luz.
• Termodinámica. Estudia la energía y sus transformaciones (calor-trabajo) y el
comportamiento estadístico de los sistemas con gran número de partículas.
7
8. Áreas de estudio:
• Electromagnetismo. Le competen la electricidad, el magnetismo y los campos
electromagnéticos.
• Óptica. Estudia el comportamiento de la luz y su interacción con los materiales.
• Mecánica Cuántica. Conjunto de teorías que conectan el comportamiento de la materia
a nivel microscópico con las observaciones macroscópicas.
8
9. Objetivo principal de la física:
Identificar un número limitado de leyes fundamentales que rigen los fenómenos naturales
y usarlas para desarrollar teorías capaces de anticipar los resultados experimentales.
Las leyes fundamentales y las teorías se expresan en el lenguaje de las matemáticas,
herramienta que proporciona un puente entre teoría y experimento.
9
10. 1. Introducción a los números reales
1.2 Conjunto de Números reales.
10
11. Conjunto de números naturales.
El conjunto de los números naturales se denota por ℕ, y se define como:
11
13. Observaciones:
i. Existencia de un orden, la existencia del 1 como primer elemento.
ii. Se definen dos operaciones: la suma y el producto. Se verifica que ambas
operaciones son: cerradas, conmutativas y asociativas.
iii. La suma distribuye respecto al producto.
iv. El número natural 1 es el neutro multiplicativo.
13
14. Definición del conjunto de los números enteros ℤ
Se define el conjunto de los números enteros ℤ como:
14
15. Observaciones:
i. Se agrega el “cero” como elemento neutro aditivo y los “números negativos” como
inversos aditivos.
ii. Estas propiedades permiten la definición de la resta como una operación derivada
de sumar un número con el inverso aditivo de otro, es decir,
x - y = x + (-y)
15
16. Definición del conjunto de los números racionales ℚ
Se define el conjunto de los números racionales ℚ como:
16
18. Teorema
Todo número racional puede expresarse como una
expansión decimal finita
o como una
expansión decimal infinita periódica.
18
19. Observaciones:
19
i. Todas las propiedades de los enteros siguen siendo válidas en ℚ.
ii. Se verifica la existencia de los inversos multiplicativos para cualquier Q,
excepto el cero. Si
𝑎
𝑏
∈ ℚ, el inverso multiplicativo se define por
𝑏
𝑎
∈ ℚ y
satisface:
𝑎
𝑏
𝑏
𝑎
= 1
iii. Dado que todo número entero n puede expresarse como el cociente n/1,
entonces se considera que todo número entero es un número racional. Es
decir,
iv. Se define la división de dos números como el producto de uno por el inverso
de otro distinto de cero, esto es:
𝑎
𝑏
= 𝑎
1
𝑏
= 𝑎𝑏−1
20. Definición del conjunto de números irracionales 𝕝
Los números irracionales 𝕝 son todos aquellos que no pueden expresarse como el
cociente de dos enteros, o bien, como aquellos números que tienen una expansión
decimal infinita no periódica.
Los irracionales son un conjunto disjunto (ageno) de los racionales.
20
21. Se define el conjunto de los números irracionales 𝕝 como el conjunto de todos
los números que no son racionales:
21
23. Un número primo sólo es divisible por él mismo y por la unidad,
Los números primos son:
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 57, 59,
61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, . . .,
El número 𝑝 es irracional siempre que p sea un número primo.
23
24. Observación:
No todas las propiedades siguen siendo válidas.
Por ejemplo,
La suma no es cerrada, ya que
(−2 + 𝜋) + (7 − 𝜋 = 5
La suma de dos irracionales es un racional.
24
25. Definición del conjunto de números reales ℝ .
Se define al conjunto de los números reales ℝ como la unión disjunta de números
racionales e irracionales,
ℝ = ℚ ∪ 𝕝
25
26. Observaciones:
26
i) Los racionales y los irracionales son conjuntos disjuntos, esto es, que dado un
número real o está en ℚ o está en I, pero no en ambos.
ii) Se verifican las contenciones propias:
27. Los números reales y la recta numérica
Los números reales se representan gráficamente como puntos sobre una línea recta
conocida como la recta real.
Sobre esta recta se fijan dos puntos representados por 0 y 1 que permiten construir
todos los demás.
El cero se conoce como origen de la recta real y el 1 como la escala.
27
28. Regla de correspondencia:
Cada punto de la recta corresponde a un número real y cada número real
representa un punto de esta recta.
Los números definidos a la derecha del cero es el conjunto de reales positivos ℝ+
.
ℝ−
es el conjunto de reales negativos, a la izquierda del cero.
28
29. Entre dos números reales diferentes, sin importar que tan cercanos estén, siempre existe
otro número real y, en consecuencia:
Entre dos números reales diferentes siempre existe
una infinidad de números reales.
A diferencia de ℚ y de 𝕝, los reales no contienen “huecos”.
En términos matemáticos se dice que:
El conjunto de los números reales es un conjunto denso.
29
30. 2.3 Propiedades de los números reales
Se establece un conjunto de axiomas (propiedades básicas) a partir de los
cuales se derivan todas las propiedades de los números reales utilizadas en un
curso básico de cálculo.
i) Axiomas de campo de los números reales
Dados dos números reales 𝑥 y 𝑦, se definen la suma 𝑥 + 𝑦 y el producto 𝑥𝑦 en
ℝ, que satisfacen los siguientes axiomas:
30
31. Axioma 1 Propiedad conmutativa de la suma
𝑥 + 𝑦 = 𝑦 + 𝑥
Axioma 2 Propiedad asociativa de la suma
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 𝑥 + 𝑦 + 𝑧
Axioma 3 Existencia del neutro aditivo
Existe el 0 𝜖 ℝ, tal que 𝑥 + 0 = 𝑥
31
32. Axioma 4 Existencia del inverso aditivo
Para todo número real 𝑥 existe −𝑥 𝜖 ℝ, tal que 𝑥 + −𝑥 = 0
Axioma 5 Propiedad conmutativa del producto
𝑥𝑦 = 𝑦𝑥
Axioma 6 Propiedad asociativa del producto
𝑥 𝑦𝑧 = 𝑥𝑦 𝑧
32
33. Axioma 7 Existencia del neutro multiplicativo
Existe el 1 𝜖 ℝ, tal que 𝑥 . 1 = 𝑥
Axioma 8 Existencia del inverso multiplicativo
Para todo número real 𝑥 distinto de cero existe 𝑥−1, tal que 𝑥 . 𝑥−1 = 1
Axioma 9 Propiedad distributiva
𝑥 𝑦 + 𝑧 = 𝑥𝑦 + 𝑥𝑧
33
34. Todas las demás propiedades de los ℝ pueden demostrarse a partir de los
axiomas anteriores, por esta razón se dice que:
La teoría de los números reales es una teoría axiomática.
Todo conjunto X con dos operaciones binarias (suma y producto) que
satisfacen las propiedades A1- A9, se le llama campo.
Así, el conjunto de los números reales es un campo.
34
35. Definición de resta y división de números reales.
Los axiomas de los ℝ permiten definir las operaciones complementarias como la
diferencia y el cociente de dos números.
Se definen la resta y la división de números reales como:
𝑥 − 𝑦 = 𝑥 + −𝑦
𝑥
𝑦
= 𝑥𝑦−1, siempre que 𝑦 ≠ 0
35
36. Propiedades de orden de los números reales.
En los números reales se define una relación de orden <, que satisface los siguientes
axiomas.
ii) Axiomas de orden de los números reales
Sean 𝑥, 𝑦 ϵ ℝ
Axioma 10 Ley de tricotomía
Se cumple una y sólo una de las siguientes condiciones:
𝑥 < 𝑦, 𝑥 = 𝑦 o 𝑥 > 𝑦
Nota: 𝑥 > 𝑦 significa 𝑦 < 𝑥
36
37. Axioma 11 Si 𝑦 < 𝑥, entonces 𝑦 + 𝑧 < 𝑥 + 𝑧 para cualquier z ϵ R.
Axioma 12 Si 0 < 𝑦 y 0 < 𝑥, entonces 0 < 𝑥𝑦
Axioma 13 Propiedad de transitividad
Si 𝑥 < 𝑦 y 𝑦 < 𝑧,
entonces 𝑥 < 𝑧
37
39. 39
Definición de los símbolos de desigualdad estricta < y >
Los símbolos < y > se conocen como símbolos de desigualdad estricta y se leen
“menor que” y “mayor que”.
Definición de los símbolos de desigualdad no estricta ≤ y ≥
Los símbolos ≤ y ≥ se conocen como símbolos de desigualdad no estricta y se leen
“menor o igual que” y “mayor o igual que”.
La expresión 𝑦 ≤ 𝑥 abrevia los casos 𝑦 < 𝑥 o 𝑦 = 𝑥
La expresión 𝑦 ≥ 𝑥 abrevia los casos 𝑦 > 𝑥 o 𝑦 = 𝑥
40. Se tiene la siguiente convención:
1. Un número 𝑥 > 𝑦 si y sólo si la diferencia 𝑥 − 𝑦 es un ℝ+
.
2. Un número 𝑥 < 𝑦 si y sólo si la diferencia 𝑥 − 𝑦 es un ℝ−.
3. Los números son iguales si la diferencia 𝑥 − 𝑦 es cero.
40
41. Los axiomas de orden inducen de manera natural un orden en el conjunto de los
números reales, es decir, para saber la ubicación correcta de un número basta
compararlo con el cero.
Por lo tanto, se dice que:
El conjunto de los números reales es un campo ordenado.
41
42. Axioma 14 Axioma de completitud.
i. Todo conjunto no vacío de ℝ acotado por arriba tiene un supremo.
ii. Todo conjunto no vacío de ℝ acotado por abajo tiene un ínfimo.
Como un conjunto puede constar de un solo número real, se verifica por el axioma 14
que el conjunto de los números reales es un conjunto denso.
42
43. Conclusiones:
El conjunto de los números reales ℝ es:
i. Una teoría axiomática.
ii. Un campo ordenado
iii. Un conjunto denso.
43
44. 2.4 Intervalos en ℝ
Al utilizar una variable en problemas de aplicación es necesario definir el subconjunto
de ℝ que le corresponde como conjunto de sustitución.
Los subconjuntos más importantes son los intervalos.
44
45. Definición de intervalo
Se definen los siguientes subconjuntos de números reales, conocidos como intervalos
reales:
1. Intervalo abierto
45
54. Una desigualdad en una variable es una expresión de la forma,
𝑓 𝑥 Δ 0
donde Δ es alguna de las relaciones de orden <, >, ≤ , ≥.
Resolver una desigualdad es determinar el intervalo o combinación de intervalos
cuyos elementos satisfacen la desigualdad.
Para resolver una desigualdad se utilizan los axiomas de los números reales.
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61. 2.6 Valor absoluto de un número real
A cada número real se le asocia un único punto de la recta real.
Se define el valor absoluto o magnitud de un número real como la distancia
(longitud) entre el origen (el cero) y el número real.
61
62. Definición de valor absoluto de un número real.
Si x es un número real, se define el valor absoluto de x como:
62
68. 68
Desigualdades y valor absoluto
La demostración se realiza aplicando la definición de valor absoluto.
Las propiedades 1 y 2, son válidas para desigualdad no estricta (≤ 𝑦 ≥)
69. 69
Propiedad 1, Teorema 1.5.2
Dem.
Multiplicando por -1 el segundo término,
Por transitividad,
∀ 𝑎 ∈ ℝ
70. 70
Demostración de la propiedad 2 del teorema 1.5.2
Multiplicando por -1 el segundo término,
Por transitividad,
∀ 𝑎 ∈ ℝ