La evolución de los números reales comenzó con las fracciones egipcias hace 3000 años y los números irracionales griegos hace 2500 años. Los números negativos fueron desarrollados por matemáticos indios y chinos hace 1400 años, pero no se usaron ampliamente en Europa hasta el siglo 17. La definición rigurosa de los números reales fue establecida por Georg Cantor en 1871 usando teoría de conjuntos.

1. Historia de la evolución de los números reales
Los egipcios dieron origen por primera vez a las fracciones comunes alrededor del
año 1000 a. C.; alrededor del 500 a. C. un grupo de matemáticos griegos liderados
por Pitágoras se dio cuenta de la necesidad de los números irracionales. Los números
negativos fueron ideados por matemáticos indios cerca del 600, posiblemente reinventados
en China poco después, pero no se utilizaron en Europa hasta el siglo XVII, si bien a finales
del XVIII Leonhard Euler descartó las soluciones negativas de las ecuaciones porque las
consideraba irreales. En ese siglo, en el cálculo se utilizaban números reales sin una definición
precisa, cosa que finalmente sucedió con la definición rigurosa hecha por Georg
Cantor en 1871.
Ejemplo:
En realidad, el estudio riguroso de la construcción total de los números reales exige tener
amplios antecedentes de teoría de conjuntos y lógica matemática. Fue lograda la construcción y
sistematización de los números reales en el siglo XIX por dos grandes matemáticos europeos
utilizando vías distintas: la teoría de conjuntos de Georg Cantor (encajamientos sucesivos,
cardinales finitos e infinitos), por un lado, y el análisis matemático de Richard
Dedekind (vecindades, entornos y cortaduras de Dedekind). Ambos matemáticos lograron la
sistematización de los números reales en la historia, no de manera espontánea, sino utilizando
todos los avances previos en la materia: desde la antigua Grecia y pasando por matemáticos
como Descartes, Newton, Leibniz, Euler, Lagrange, Gauss, Riemann, Cauchy y Weierstrass.

2. Definición de números
Un número, en ciencia, es una abstracción que representa una cantidad o una magnitud.
En matemáticas un número puede representar una cantidad métrica o más generalmente un
elemento de un sistema numérico o un número ordinal que representará una posición dentro
de un orden de una serie determinada. Los números complejos son usados como una
herramienta útil para resolver problemas algebraicos y que algebraicamente son un mero
añadido a los números reales que a su vez ampliaron el concepto de número ordinal. Sobre
todo, un número real resuelve el problema de comparación de dos medidas: tanto si son
conmensurables o inconmensurables. Ejemplo: el lado de un cuadrado es conmensurable con
su perímetro, pero el lado del cuadrado con la diagonal del mismo son inconmensurables.1
También, en sentido amplio, indica el carácter gráfico que sirve para representarlo; dicho signo
gráfico de un número recibe propiamente la denominación de numeral o cifra. El que se escribe
con un solo guarismo se llama dígito.2
El concepto de número incluye abstracciones tales como números
fraccionarios, negativos, irracionales, trascendentales, complejos y también números de tipo
más abstracto como los números hipercomplejos que generalizan el concepto de número
complejo o los números hiperreales, los superreales y los surreales que incluyen a los números
reales como subconjunto.

3. Números reales como campo
Sistema de números reales
El hombre ha tenido la necesidad de contar desde su aparición sobre la tierra hasta nuestro
días, para hacerlo se auxilió de los números de 1, 2, 3, 4,5... a los que llamo números naturales.
Después creo los números negativos, así como el elemento neutro que es el cero, que con los
números naturales forman el conjunto de los números enteros.
Asimismo se percató que al tomar solo una parte de un número surgían los números racionales,
que se expresan como el coeficiente de 2 números enteros, se conoce como números
irracionales. Al unir los números anteriores se formaba los números reales.
“El conjunto de números reales R junto con las operaciones de la adición y la multiplicación se
llama sistema de números reales”.
Igualdad
La igualdad es una relación que se define entre números.
Las tres propiedades más importantes de la igualdad se resumen en una estructura que se
conoce como relación equivalente.
RELACION EQUIVALENTE:
La relación equivalente se define con las siguientes propiedades:
Reflexiva: a = a
Ejemplo: 5 = 5
Simétrica: si a = b, entonces b = a
Ejemplo: si x = 2, entonces 2 = x
Transitiva: si a = b, y b = c, entonces, a = c
Ejemplo: si x = 2 y 2 = w, entonces x = w
Las propiedades de la igualdad nos ayudaran a justificar los métodos que usaremos para
resolver problemas. Sin embargo hay más propiedades que posee la igualdad.
PROPIEDADES DE LA IGUALDAD.
* Para la suma: al sumar un mismo número en ambos lados de una igualdad, obtenemos una
nueva igualdad valida.
Si a=b, entonces, a + c = b + c
Ejemplo: si x = 5, entonces, x + 3 = 5 + 3
*Para la resta: al restar un mismo número en ambos lados de una igualdad, obtenemos otra
igualdad valida.

4. Si a=b, entonces, a - c = b –
Ejemplo: si x = 5, entonces, x - 3 = 5 - 3
*Para la multiplicación: si multiplicamos ambos lados de la igualdad por un número real
(distinto de cero), obtenemos otra igualdad valida.
Si a=b, entonces, a c = b c
Ejemplo: si x = 5, entonces, 7x = (7)(5)
*Para la división: si dividimos ambos lados de la igualdad por un número real (que no sea cero),
obtendremos una nueva igualdad valida.
Si a=b, entonces, a/c = b/c
Ejemplo: si x = 5, entonces, x/7 = 7/5
*Para la potencia: si elevamos a la misma potencia ambos lados de una igualdad, esta se sigue
cumpliendo.
Si a=b, entonces, An = Bn
Ejemplo: si x = 5, entonces, x2 = 52
*Para la raíz: si calculamos la raíz n-enésima en ambos lados de una igualdad ( si esta operación
es posible de realizar) la igualdad sigue siendo válida.
Axiomas de números reales
En matemáticas para que una afirmación sea considerada válida debe o bien estar contenida
dentro de una base de afirmaciones de partida, los denominados axiomas, o debe
poder demostrarse a partir de los mismos. Los axiomas son por tanto los pilares fundamentales
de toda rama de las matemáticas, y a partir de ellos, mediante las demostraciones
matemáticas, se deduce la veracidad de cualquier afirmación.
Los axiomas serán, por tanto, afirmaciones que se aceptan como verdaderas y que su veracidad
no puede ser demostrada a partir de otros axiomas. Un axioma no se caracteriza por si resulta
una afirmación trivial o intuitiva, siendo el axioma de elección un ejemplo de un axioma que no
resulta trivial.
Suponemos la existencia de una cuádrupla (R, +, ·, < en cual:
*R es un conjunto,
*+ y · son funciones de R × R → R,
*< es una relación en R,
*Axiomas de cuerpo

5. Asumimos la existencia de dos operaciones, llamadas suma y producto, tales que a cada par de
números reales x e y la suma x + y y el producto xy son números reales unívocamente
determinados por x e y y satisfacen los siguientes axiomas:
-Axiomas de la suma
S1. (x + y) + z = x + (y + z) para todo x, y, z ∈ R.
S2. x + y = y + x para todo x, y ∈ R.
S3. Existe un elemento de R, denotado por 0 tal que x + 0 = x para todo x ∈ R.
S4. Para cada x ∈ R existe un y ∈ R tal que x + y = 0.
- Axiomas del producto
P1. (xy)z = x(yz) para todo x, y, z ∈ R.
P2. xy = yx para todo x, y ∈ R.
P3. Existe un elemento de R, distinto de 0, que denotaremos por 1 tal que 1x = x1 = x para todo
x ∈ R.
P4. Para cada x ∈ R tal que no sea cero, existe un y ∈ R tal que xy = 1.
- Axioma de distributivita
D. Para todo x, y, z ∈ R, (x + y)z = xz + yz.
*Los axiomas algebraicos
Se trata de las propiedades de suma, resta, multiplicación y división.
Los axiomas algebraicos, pudiéndose escribir como un todo, pueden ser subdivididos en dos
tipos: los de la adición y de la multiplicación.
Ejemplo:

6. -Axiomas de la adición
-Axiomas de la multiplicación
-Axioma de distribución
Este axioma conecta la suma con la multiplicación:
*Los axiomas de orden
Establece un orden para los elementos de cada conjunto dado
Los axiomas de orden establecen una relación de "cantidad". Esta relación es del tipo mayor o
igual. En realidad, cuando se construyen los naturales, se dice que un número es menor que
otro si está contenido en éste, es decir, si su cardinalidad es menor o igual que otra.
Asumimos la existencia de una relación ≤ que establece un orden entre los números reales y
satisface los siguientes axiomas:
O1. Si x ≤ y e y ≤ x entonces x = y.
O2. Si x ≤ y e y ≤ z entonces x ≤ z.
O3. Para todo x, y ∈ R, x ≤ y ´o y ≤ x.
SO. Si x ≤ y, entonces x + z ≤ y + z para todo z ∈ R.
PO. Si 0 ≤ x y 0 ≤ y, entonces 0 ≤ xy.
Definición: x < y si x 6= y y x ≤ y
*Axioma de completitud
C. Si A ⊂ R, A 6= ∅, es acotado superiormente, entonces tiene supremo en R.
Teorema: (Arquimedianidad) Para todo x > 0 e y ∈ R existe n ∈ N tal que nx > y

7. *El axioma topológico.
Se trata sobre la noción de continuidad.
Claramente los racionales satisfacen los primeros axiomas, pero no se puede con esto,
demostrar la existencia de un número irracional, como raíz cuadrada de dos por ejemplo. Para
esto es necesario el Axioma topológico que dice lo siguiente, si se quiere.
Toda sucesión creciente y acotada superiormente es convergente.
Teorema de los números reales
A partir de los axiomas de R, los axiomas de orden y de las definiciones mostraremos algunas de
las propiedades de los reales demostrándolas como teoremas que nos servirán para entender
la naturaleza y comportamiento de este conjunto de números.
TEOREMA 1
En los números reales se cumplen las leyes cancelarias y uniforme con la suma, es decir:
i) Si x+y=x+z entonces y=z.
ii) Si y=z entonces x+y=x+z.
Demostración/:
i)
y = 0+y
y = ((-x)+x)+y
y = (-x)+(x+y)
y=(-x)+(x+z)
y =(-x)+(x+z)
y=((-x)+x)+z
y= =0+z
y==z
la anterior demostración se justifica usando el axioma 4, el axioma 5, ley asociativa, la hipótesis,
ley asociativa, el axioma 5 y el axioma 4 respectivamente.

8. ii) Por ley reflexiva x+z=x+z pero como z=y entonces por ley transitiva x+z= x+y.
TEOREMA 2
Los neutros e inversos aditivos y multiplicativos son únicos.
Demostración/:
Supongamos que existen 01 y 02 dos neutros aditivos, entonces01 + 02 = 01 y 02 +01 =
02 luego por ley transitiva y conmutativa 01= 01 + 02=02 +01 = 02.luego estos neutros
aditivos son el mismo. (Análogamente se demuestra para el neutro multiplicativo).
Ahora supongamos que para x hay dos inversos aditivos x1 y x2tal que x+ x1 = 0 y x+ x2 =
0 por ley transitiva tenemos que x+ x1 = x+ x2 luego por ley cancelaria x1 = x2. Luego los
inversos aditivos para x real son el mismo. (Análogamente se demuestra para el inverso
multiplicativo teniendo en cuenta que x≠0).
TEOREMA 3
En los números reales distintos de cero se cumplen las leyes cancelarias y uniforme con la
multiplicación, es decir:
i) Si x•y=x•z entonces y=z.
ii) Si y=z entonces x•y=x•z.
Demostración/:
La denostación es análoga a la del Teorema1.
TEOREMA 4
-0=0.
Demostración/:
Tenemos que 0+(-0) = 0 y 0+0 = 0 luego por ley transitiva 0+(-0) = 0+0, finalmente por ley
cancelaria 0 = -0.
TEOREMA 5
Para x real se cumple: -(-x)= x.
Demostración/:

9. –(-x) = 0+(–(-x))=(x+(-x))+ (–(-x))= x+((-x)+ (–(-x)))= x+0=x. Podemos ver que usamos los
axiomas 4 y 5 y el hecho de que (–(-x)) es el inverso aditivo de (-x).
LEMA
Para toda x real se cumple: x•0=0•x=0.
Demostración/:
x•0=x• (0+0) = x•0+x•0, luego x•0 = x•0+x•0 y por ley cancelaria 0 = x•0 ò x•0=0, de la
misma forma demostramos que 0•x=0, por lo que concluimos que x•0=0•x=0.
TEOREMA 6
Para x, y reales se cumple: (-x) •y= x•(-y) = -(x•y).
Demostración/:
Por lema 0=0•y=(x+(-x)) 0•y = x•y+(-x) •y, entonces 0= x•y+(-x)•y y por ley uniforme se
puede sumar -(x•y) y tenemos que -(x•y) = (-(x•y))+x•y+(-x)•y luego (x•y))+x•y=0 por lo
que se tiene que: -(x•y) = 0+(-x)•y =+(-x)•y. Análogamente se demuestra que x•(-y)= -
(x•y).
TEOREMA 7
Para x≠0 real se cumple: 1/(1/x)= x.
Demostración/:
Esta demostración es parecida al teorema 5.
TEOREMA 8
Para x, y reales distintos de cero se cumple: 1/(x•y)= (1/x)•(1/y).
Demostración/:
1/(x•y)=1•1•1/(x•y)
1/(x•y)= (x•(1/x)) • (y•(1/y))•1/(x•y)
1/(x•y)= (x•y) • ((1/x)•(1/y))•1/(x•y)
1/(x•y)=((1/x)•(1/y))• ((x•y) • 1/(x•y))
1/(x•y)= (1/x)•(1/y).
Aquí hemos usando en repetidas ocasiones propiedades como la ley conmutativa y asociativa
para el producto y la existencia de los neutros e inversos multiplicativos.

10. TEOREMA 9
Para x, y reales distintos de cero se cumple: 1/(x/y)= y/x.
Demostración/:
Aquí vemos como los Teoremas 7 y 8 son usados junto con las propiedades conmutativas y
asociativas del producto para demostrar lo requerido.
1/(x/y)= 1/(x • (1/y))=(1/x)•(1/(1/y))=(1/x) •y = y/x.
TEOREMA 10
Para x, z reales y w, y reales distintos de cero se cumple: x/y + z/w = (x•w+ z•y)/ y•w.
Demostración/:
(x/y)+(z/w)= (x/y+z/w)•1
(x/y)+(z/w)= (x/y+z/w)•((y•w)(1/y•w))
(x/y)+(z/w)= ((x/y+z/w)(y•w))(1/y•w)
(x/y)+(z/w)= (x/y• (y•w)+z/w• (y•w))(1/y•w)
(x/y)+(z/w)= (x•w+ y•z)(1/y•w)
(x/y)+(z/w)= (x•w+ y•z)/(y•w)
Note que en esta demostración usamos los axiomas 2, 3, 6 y 7.
TEOREMA 11
Para x, z reales y w, y reales distintos de cero se cumple: (x/y)• (z/w)= (x•z)/ (y•w).
Demostración/:
Al igual que en el teorema anterior aquí usamos la definición 5 los axiomas 2, 3 y los teoremas 8
y 9.
(x/y)•(z/w)=((x/y)•z)/w
(x/y)•(z/w)= ((x•(1/y))•z)/w
(x/y)•(z/w)= (x•((1/y)•z)/w
(x/y)•(z/w)= (x•(z/y))/w
(x/y)•(z/w)= ((x•z)/y)/w
(x/y)•(z/w)= x•z/y•w.
TEOREMA 12
Para x, y y z reales se cumple: x>y si y solo si x+z>y+z.

11. Demostración/:
Sea a= x+z y b= y+z, entonces a-b=(x+z)-(y+z)=x-y como a>b si y solo si a-b>0 y por
transitividad de a>b se deduce que x+z>y+z.
Por otro lado veamos que x+z > y+z si y solo si (x+z)-(y+z) >0 luegox-y >0 x>y.
TEOREMA 13
Para x, y y z real con z distinta de cero se cumple:
i) x>y si y solo si x•z>y•z con z>0.
ii) x>y si y solo si y•z > x•z con 0>z.
Demostración/:
Si x>y si y solo si x-y >0 por lo tanto x-y es positivo, si z>0entonces z también es positivo y por
los axiomas de orden vemos que (x-y) •z es positivo si y solo si (x-y)•z >0
Si y solo si x •z -y•z>0 si y solo si x •z >y•z.
Si x>y si y solo si x-y >0 por lo tanto x-y es positivo, 0>z entonces (-z)>0 usando el mismo
razonamiento que en i) llegamos a que y•z-x•z>0 si y solo si y•z >x•z.ii) se deduce de la
misma forma.
TEOREMA 14
Para x, y reales distintos de cero se cumple:
i) Si x•y>0 con x>0 entonces y>0.
ii) Si x•y>0 con 0>x entonces 0>y.
iii) Si 0> x•y con x>0 entonces 0>y.
iv) Si 0> x•y con 0>x entonces y>0.
Demostración/:
Supongamos que no se cumple la tesis, es decir, 0>y como x>0entonces por teorema
13 0>x•y llegando a la contradicción de la hipótesis o sea que lo afirmamos anteriormente es
falso, llegando a la demostración del teorema (análogamente se demuestra para ii),iii) y iv).

12. TEOREMA 15
Para x≠0 real se cumple: x²>0 .
Demostración/:
Si x>0 entonces x es positivo luego x•x=x² es positivo si y solo si x²>0.Si 0>x entonces (-x) es
positivo luego (-x)•(-x)=(-x)² es positivo si y solo si (-x)²>0.Pero (-x)•(-x)=-(x•(-x))=-(-
(x•x))=x•x=x² por teorema 6, con lo que vemos que (-x)•(-x)= x²>0.
TEOREMA 16
Para x≠0 real se cumple:
i) x>0 si y solo si (1/x)>0.
ii) 0>x si y solo si 0>(1/x).
Demostración/:
Como x>0; x≠0 entonces existe (1/x), luego x•(1/x)=1 entonces>0implica que x•1>0 si y solo
si x• (x•(1/x)) >0, luego x²•(1/x )>0 y como x²>0 por teoremas 13 y 14 se deduce que 1/x>0.
Por otro lado 1/x>0; x≠0 entonces existe x, luego x•(1/x)=1entonces.1/x>0 implica
que (1/x)•1>0 si y solo si (1/x)• ((1/x)•x)) >0, luego (1/x)²•x>0 y como (1/x)²>0 por
teoremas 13 y 14 se deduce que x>0.
La demostración de ii) es análoga.
Es muy interesante ver como de estas propiedades podemos deducir muchas más lo que
significa que los números reales son un conjunto muy complejo pero muy útil, ya que muchos
de los problemas que nos plantea la mayoría de las ciencias pueden ser resueltas con dichos
números por ser ricos en propiedades. Sin embargo existen otros conjuntos que son una
extensión de los reales que sirven para solucionar situaciones en donde se necesitan de
números imaginarios que a partir de la teoría de los reales se pude definir propiedades
análogas a las de los reales.