1 simulacion introduccion

Introducción a la Simulación

∀•       Introducción
∀•         Definición de Simulación
∀•         Ventajas y desventajas
∀•         Definición de Sistemas
∀•         Sistemas estáticos y dinámicos
∀•         Definición de modelos
∀•         Características deseables de un modelo de simulación
∀•         Concepto de experimento
Temas a tratar en este capítulo

Introducción
¿La experiencia es el mejor maestro?
¿Cómo adquirir de manera rápida y económica
un conocimiento que se obtiene a través de la
experiencia?
¿Qué hacer cuando el modelo resultante es
muy complejo y no es posible o práctico
desarrollar una metodología de solución
basada en el análisis matemático?

Definición de simulación
DEFINICIÓN A:
Simulación es el proceso de diseñar y
desarrollar un modelo computarizado de un
sistema o proceso y conducir experimentos con
este modelo con el propósito de entender el
comportamiento del sistema o evaluar varias
estrategias con las cuales se puede operar el
sistema.
Robert E. Shanon

DEFINICIÓN B:
Técnica numérica para conducir
experimentos en computadora digital. Estos
experimentos comprenden ciertos tipos de
relaciones matemáticas y lógicas, las cuales son
necesarias para describir el comportamiento y la
estructura de sistemas complejos del mundo real
a través de largos periodos de tiempo.
T.N.Naylor

DEFINICIÓN C:
La simulación es la práctica de construir
modelos que representan sistemas del mundo real
o sistemas hipotéticos futuros, y experimentar
con ellos con el fin de explicar el comportamiento
del sistema, mejorar su rendimiento o diseñar
nuevos sistemas con ciertas características
predefinidas.
B. Khoshnevis

SIMULACIÓN
SIMULACION DE SISTEMAS

ETAPAS PARA REALIZAR UN ESTUDIO DE SIMULACIÓN
Definición del sistema
Análisis del sistemas
Formulación del modelo
Selección del lenguaje
Codificación del modelo
Implementación del modelo en la computadora
Validacion
Experimentación
Implantación
Monitoreo y Control

Factores a considerar en el desarrollo del modelo de Simulación
Generación de Variables aleatorias no uniformes
Lenguajes de programación
Condiciones iniciales
Tamaño de la muestra
Diseño de experimentos

Prueba de medicinas en animales de laboratorio. En este caso, las
respuestas del animal simulan las respuestas de los humanos.
Manejar automóviles en pistas de pruebas. Aquí la pista de pruebas
simula el ambiente que enfrentará el automóvil.
Comprobar diseños de alas de aviones en túneles de viento. El tunel
simula las condiciones de vuelo.
Entrenar pilotos de aerolíneas en cabinas verdaderas bajo condiciones
simuladas.
Finalidad: Crear un ambiente posible de obtener información sobre
acciones alternativas por la vía de la experimentación.

Ventajas y Desventajas en el uso de la simulación
Una vez construido, el modelo puede ser modificado de manera rápida
con el fin de analizar diferentes políticas o escenarios
Generalmente es mas barato mejorar el sistema vía simulación que
harlo directamente en el sistema real.
Es mucho mas sencillo comprender y visualizar los métodos de
nsimulación que los métodos puramente analíticos
Los métodos analíticos se desarrollan casi siempre, para sistemas
relativamente sencillos donde suele hacerse un grán número de
suposiciones o simplificaciones, mientras que con los modelos de simulación
es posible analizar sistemas de mayor complejidad o con mayor detalle.
En algunos casos la simulación es el único medio para lograr una
solución.
Ventajas

Ventajas y Desventajas en el uso de la simulación
Los modelos de simulación en una computadora son costosos y requieren
mucho tiempo para desarrollarse y validarse.
Se requiere gran cantidad de corridas computacionales para encontrar
soluciones “óptimas” lo cual repercute en altos costos.
Es difícil aceptar los modelos de simulación.
Los modelos de simulación no dan soluciones óptimas.
La solución de un modelo de simulación puede dar al analista un falso
sentido de seguridad.
Desventajas

Ejemplo de simulación por computadora
El personal de la comisión de la lotería Nacional
acaba de diseñar una nueva lotería instantánea. Como
se muestra en la figura siguiente, cada tarjeta de
lotería contiene tres filas. En cada renglón, hay dos
casillas. Una de las cuales tiene un valor oculto de
$1 y la otra de $5. El jugador raspa cualquier casilla
de cada renglón para descubrir el valor asociado en
dólares. Si los tres números oculto son iguales, el
jugador gana esa cantidad. Antes de comprometer al
Estado en este juego e imprimir una gran cantidad
de tarjetas, usted como director de la comisión de la
lotería, desea evaluar la factibilidad económica del
juego. Entre las preguntas que debe contestar esta
la siguiente: ¿Cuál es la mínima cantidad que el
estado puede cobrar por esta tarjeta y todavía
esperar tener ganancias?
Tarjeta
de
lotería
SIMULACIÓN

Solución
Aplicando la teoría de probabilidades
Prob(ganar $1) = P(casilla 1 = $1)* P(casilla 2 = $1)* P(casilla 3 = $1)= ½*½*½=1/8
Prob(ganar $5) = P(casilla 1 = $5)* P(casilla 2 = $5)* P(casilla 3 = $5)= ½*½*½=1/8
Ganancia esperada = 1(1/8) + 5(1/8) =3/4=0.75
Cada tarjeta debería valer al menos $ 0.75
SIMULACIÓN

Solución
Aplicando la simulación
Simulación Física: Imprimiendo unas 100 tarjetas de lotería
Simulación por Analogía: Utilizando una moneda
Simulación por computadora: Utilizando un programa de
computadora y generando números aleatorios para seleccionar las
casillas que serán raspadas
cara cruz
0.5
1.0
rU(0,1)
SIMULACIÓN

“Video Milenio”, es una tienda que compra videos de
estreno a $25 la copia, los renta a $3 el día y
después de un mes los vende a otra tienda en $5 la
copia. Basandose en datos anteriores, la tienda ha
estimado las siguientes probabilidades de demanda
diaria para cada película.
Como gerente de “video milenio”, usted desea decidir
cuantas copias de cada nueva película pedir
0,1,2,3,4
SIMULACIÓN
No. de
copias
Probabilidad
0
1
2
3
4
0.15
0.25
0.45
0.10
0.05

Solución Aplicando la teoría de probabilidades
SIMULACIÓN
No. de
copias
ingresos de acuerdo a la Demanda ingresos
esperados
por día
Ganancia
total
esperada
por mes
0 1 2 3 4
0
1
2
3
4
0
0
0
0
0
0
3
3
3
3
0
3
6
6
6
0
3
6
9
9
0
3
6
9
12
0
2.55
4.35
4.8
4.95
0
56.5
90.5
84
68.5
P(x) 0.15 0.25 0.45 0.10 0.05
Ganancia total esperada= (ingresos esperados durante un mes) +
(precio de venta de las N copias) – (costo de compra de las N copias)

Solución
Aplicando la simulación por computadora
0 1
0.5
1.0
rU(0,1)
SIMULACIÓN
2 3 4
Demanda

Simulación
Generación de números
aleatorios

Generación de Números Aleatorios rectangulares
SIMULACIÓN
Características:
•Uniformemente distribuidos
•Estadísticamente independientes
•Su media debe ser estadísticamente igual a 1/2
•Su varianza debe ser estadísticamente igual a 1/12
•Periodo largo (cantidad de elemento q se generan)

Generador Congruencial
La idea es hallar un generador que sea fácil de
implementar en la computadora, que sea rápido y que
no ocupe mucho espacio memoria, estos
requerimientos pueden ser satisfechos con una
función matemática sencilla que genere una sucesión
de números que satisfagan las condiciones que
definen una conjunto de números aleatorios.

Generador Congruencial
Definición: se dice que los enteros a es congruente con b módulo
m si a es el resto de la división entera de b entre m. La notación
utilizada es:

a≡ b mod m

Ejemplo: 3 es congruente con 17 módulo 7 i.e. , en efecto la
división entera de 17 entre 7 da como cociente 2 y como resto 3.
El generador congruencial está caracterizado por los parámetros
enteros positivos a, c y m, donde a y c son generalmente menores
que m.

SIMULACIÓN
Métodos congruenciales mas populares
•Congruencial Multiplicativo
Xn+1=aXn mod m
•Congruencial Mixto
ri+1=(c + a*ri) mod m
Xo=ro= semilla (ro >0)
a= el multiplicador (a >0)
c= constante aditiva (c >0)
M= módulo (m > Xo; m > a; m> c)

Reglas para la selección de las constantes
c debe ser un entero impar no divisible ni por 3 ni por 5
a usualmente debe ser cualquier constante. Donde a mod 8 = 5
m debe ser el número entero mas grande que la computadora
acepte

SIMULACIÓN
ri+1=(c+a*rn) mod m ri+1=(7+ 5rn) mod 8
Ejemplo: Generar números aleatorios utilizando el
generador congruencial mixto si a=5, c=7, X0=4, m=8 y
encontrar el periodo del generador
n ri (7 + 5Xn) mod 8 ri+1 Números
uniformes
0
1
2
3
4
5
6
4
3
6
5
0
7
2
27 mod 8
22 mod 8
37 mod 8
32 mod 8
7 mod 8
42 mod 8
17 mod 8
3
6
5
0
7
2
1
3/7
6/7
5/7
0/7
7/7
2/7
1/7
Periodo =8
ri+1/(n-1)

SIMULACIÓN
Ejemplo: Generar números aleatorios utilizando el generador congruencial
mixto si c=11,a=13,, ro=6, m=15 y encontrar el periodo del generador
n ri (13ri+11) mod15 ri+1 Números
uniformes
0
1
2
3
4
5
...
6
14
13
...
89 mod 15
193 mod 15
180 mod 15
...
14
13
0
...
14/14
13/14
0/14
...
ri+1=(a*rn + c) mod m ri+1=(13*ri + 11) mod 15

Este es un excelente generador y está definido por los siguientes
parámetros:
a=75
=16807 c = 0 m = 231
-1=2147483647
Donde:
Zn+1 = (c+aZn )mod m
Propiedades:
• Se dice que es un generador multiplicativo debido a que c=0.
Los generadores con c≠0 son llamados generadores mixtos
• Este generador tiene un periodo 231
- 2
Generador Minimal Standard de Park-Miller:

•Debido a que las computadora actuales trabajan con palabras (word) de 32
bits y m -1 es prácticamente el entero más grande que puede generar, el
producto puede dar lugar a fenómenos de overflow i.e. números que la
computadora no puede representar, para evitar esos problemas se recurre a
un artificio matemático que consiste en calcular Zi+1 con la siguiente relación:
mrCaRZ nnn +−=+1
qdivZC nn =qZR nn mod≡
Donde:
Los parámetros q y r satisfacen la relación m= aq+ r con r < q. La
mejor elección para estos últimos es q = 127773 y r = 2836.
Generador Minimal Standard de Park-Miller:
nnn rCaRZ −=+1
⇒<+ 01nZsi
y mod= residuo
div= cociente entero

Ejemplo Numérico: se va generar 5 valores con el generador de
Park-Miller considerando como semilla Zo = 2001002000
nZ nC nR nnn rCaRZ −=+1 1+nr
2001002000 15660 76820 1246701980 0.58054
1246701980 9757 20819 322234081 0.15005
322234081 2521 118348 1981925280 0.92291
1981925280 15511 38277 599332343 0.27909
599332343 4690 76973 1280384371 0.59623

Simulación
Pruebas estadísticas para los
números pseudoaleatorios

Pruebas estadísticas de números pseudoaleatorios
Cualquier variable aleatoria no – uniforme (normal,
exponencial, poisson,etc) es obtenida a partir de números
uniformes(0;1), por lo que el principal énfasis en pruebas
estadísticas deberá ser con respecto al generador de
números pseudoaleatorios, ya que cualquier deficiencia
estadística en la variable aleatoria no uniforme, se deberá
exclusivamente a la utilización de un deficiente generador de
números pseudoaleatorios.

Prueba de promedios



>>
≤≤
=
100
101
)(
xsi
xsi
xf
Función de densidad uniforme
En esta expresión x es una variable aleatoria definida entre 0 y 1
0 1
1
a b
ab −
1
f(x) f(x)
Con area = 1

El valor esperado y la varianza de una variable aleatoria uniformemente
distribuida estan dadas por las siguientes expresiones
∫ +−=
x
dxxxXVAR
0
2
4/1)(
Valor Esperado
2
1
|
2
)1()(
)()(
1
0
1
0
2
===
=
∫
∫
∞
∞−
x
dxxxE
dxxxfxE
Media Varianza
∫ −=
x
dxxfxXVAR
0
2
)()()( µ
( )∫ −−=
x
dxxfxxXVAR
0
22
)(2)( µµ
( )∫ −−=
x
dxxxXVAR
0
22
)1()2/1()2/1(2)(
12
1
|
4
1
2
1
3
1
)( 1
0
23
=+−= xxxXVAR
Prueba de promedios

Prueba de hipotesis de promedios
2/1:
2/1:
≠
=
µ
µ
aalternativHipotesis
HonulaHipotesis
N
UnUUU
X
...321 +++
=
−
12/1
)2/1( Nx
Zo
−
=
−
Si |Zo| < Zα/2
No se puede rechazar la hipótesis de que los números pseudoaleatorios
tienen una media de 0,5
Prueba de promedios

2/1:
2/1:
≠
=
µ
µ
HonulaHipotesis
N
UnUUU
X
...321 +++
=
−
σ
µ
α
Nx
Z c )(
2/
−
=
−
Si la media de los datos se encuentra entre Xc1 y Xc2, No se puede
rechazar la hipótesis de que los números pseudoaleatorios tienen una
media de 0,5
n
z
xc
σα 2/
1
2
1
−=
n
z
xc
σα 2/
2
2
1
+=
Prueba de promedios

2/1:
2/1:
≠
=
µ
µ
HonulaHipotesis
Si la media de los datos se encuentra entre Xc1 y Xc2, No se puede
rechazar la hipótesis de que los números pseudoaleatorios tienen una
media de 0,5
n
St
x
n
c
1,2/
1
2
1 −
−=
α
n
St
x
n
c
1,2/
2
2
1 −
+=
α
Cuando σ es desconocida
Prueba de promedios

Prueba de hipotesis de varianza
12/1)var(:
12/1)var(:
≠
=
xaalternativHipotesis
xHonulaHipotesis
Ho
1-α
1/12S2
c1 S2
c2
χ2
1-α/2,n-1 χ2
α/2,n-1
1,2/1
2
2
1
2
)1(
−−=
−
n
cSn
αλ
σ
1,2/
2
2
2
2
)1(
−=
−
n
cSn
αλ
σ
1
)( 22
2
1
1,2/1
−
=
−−
n
S
n
c
σλ α
1
)( 22
2
2
1,2/
−
=
−
n
S
n
c
σλα
Si la variancia de los números se encuentra entre S2
c1 y S2
c2 no se puede rechazar HO
Prueba de la varianza

Prueba de la forma
1 2 3 4 5
observadas
esperadas0
1
2
3
4
5
6
Intervalos
Distribuciön de Frecuencias
observadas
esperadas
∑=
−
=
M
i i
ii
E
OE
X
1 `
2
2 )(
0
2
,1
2
0 α−−≤ kmXXsi No se puede rechazar que
los números
pseudoaleatorios son
uniformesM= número de intervalos
K= Números de parámetros de la distribución

Prueba de Smirnov -Kolmogorov
Algoritmo:
a) Generar n números aleatorios
b) Ordenar en forma ascendente
c) Calcular f = i/n
d) Restar término a término los números del paso 2 con el valor f del paso 3
y seleccionar la máxima diferencia
D=|r-f|
e) Buscar en tablas el estadístico dn,α%
f) Compara el valor Dmax con dn,α
Si Dmax < dn,α no se puede rechazar que los números pseudoaleatorios
sean uniformes

Prueba de Smirnov -Kolmogorov
Ejemplo:
Posición
i
Aleatorio
r
f |r-f|
1 0.0144 0.20 0.1856
2 0.1484 0.40 0.2516
3 0.3325 0.60 0.2675
4 0.715 0.80 0.085
5 0.9312 1 0.0688
Dmax
d5,5%= 0.563
Como Dmax < d5,5% no se puede rechazar que los números pseudoaleatorios son
uniformes

Prueba del Poker
1 Pachuca
1 quintilla
1 full
1 poker
1 tercia
2 pares
1 par
30240.0
10
6
*
10
7
*
10
8
*
10
9
*
10
10
=
00010.0
10
1
*
10
1
*
10
1
*
10
1
*
10
10
=
009.0
2
2
*
3
5
*
10
1
*
10
1
*
10
9
*
10
1
*
10
10
=











00450.0
4
5
*
10
9
*
10
1
*
10
1
*
10
1
*
10
10
=





07200.0
3
5
*
10
8
*
10
9
*
10
1
*
10
1
*
10
10
=





10800.0
2
3
*
2
5
*
10
8
*
10
1
*
10
9
*
10
1
*
10
10
*
2
1
=











50400.0
2
5
*
10
7
*
10
8
*
10
9
*
10
1
*
10
10
=






Prueba del Poker
Algoritmo:
a) Generar n números aleatorios
b) Calcular la frecuencia esperada Ei,donde Ei= nPi
c) Observar cada número aleatorio e indicar si es un par, dos pares,..,etc y
construir una tabla de frecuencias observadas Oi
d) Calcular
∑=
−
=
7
1
2
)(
i i
ii
E
OE
C
e) Buscar en la tabla χ2
α
f) Si C <= χ2
α no se puede rechazar que los números son independientes

Ejemplo
Aleatorio jugada
0.31425
0.71327
0.84639
0.93514
0.10201
0.32238
0.15751
0.14674
0.83635
0.55243
Pachuca
1 par
Pachuca
Pachuca
2 pares
2 pares
2 pares
1 par
1 par
1 par
Juagadas Ei Oi
1 par
2 pares
1 tercia
1 full
1 poker
1 quintilla
pachuca
5.04
1.08
0.72
0.09
0.045
0.001
3.0240
4
3
0
0
0
0
3
48.4
)(
1 `
2
2
0 =
−
= ∑=
M
i i
ii
E
OE
X
χ2
5%,6=12.59
2
%5,6
2
0 XX ≤ No se puede rechazar que los números
pseudoaleatorios son independientes
Prueba del Poker
Probabilidad de
poker * n

Prueba “Runs Up and Down”
Esta prueba consiste en las siguientes etapas:
Se genera una sucesión de símbolos a partir de la sucesión± { }Nrrr ,....,, 21
• utilizando la regla



−→>
+→≤
+
+
1
1
ii
ii
rrsi
rrsi
Se cuenta el número R de corridas o “runs” en la sucesión .
Una corrida se define como sucesión de símbolos del mismo tipo + o -.
{ }++−++−+−− ...
El resultado teórico pertinente en esta prueba es que el número de corridas R
sigue una distribución normal de media y varianza o lo que es
equivalente, la variable aleatoria sigue una distribución estándar
(normal de media cero y varianza uno). En estas relaciones N representa el
tamaño de la sucesión.
3
12 −
=
N
µ
90
29162 −
=
N
σ
σ
µ−
=
R
Z
Por cada sucesión de signos
iguales se entiende por una
corrida

• Para un nivel de confianza C%, la prueba no rechaza que los valores de la
sucesión sean independientes si se verifica:
donde se obtiene de las tablas de la distribución estándar que corresponde
al parámetro con . Si la anterior desigualdad no se verifica, no se
acepta que son independientes.
2/2/ αα ZZZ ≤≤−
2/αZ
2/1 α− 100*)1( α−=C

Ejemplo Numérico: determine con un nivel de confianza de 95% si los valores de
la tabla son independientes
0.0399 0.1046 0.9371 0.1689 0.9895
0.3855 0.9555 0.3288 0.5978 0.0995
0.1754 0.7370 0.9205 0.4621 0.1591
0.3264 0.5286 0.9581 0.0683 0.1964
0.6957 0.6877 0.3951 0.3590 0.8524
0.2412 0.6659 0.2769 0.0649 0.0315
La sucesión de símbolos – y + correspondiente a los N = 30, sería entonces:
{ }−−−+−+−−−++−+++−−+++−+−+−+−++
Numero de corridas = 18

donde se observa corridas.
Según la teoría la media de corridas sería y la varianza , lo
que da
Para un nivel de confianza de 95%, se tiene =0.975, que según la tabla de la
distribución estándar da
Como se verifica , entonces no se rechaza la
independencia de los valores de la sucesión.
18=R
7.19
3
12
=
−
=
N
µ 3.10
90
29162
=
−
=
N
σ
529.0−=
−
=
σ
µR
Z
2/1 α−
96.12/ =αZ
96.10529196 2/2/ =≤−=≤−=− αα ZZZ

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