Este documento presenta ejemplos y ejercicios sobre relaciones funcionales y relaciones estadísticas entre variables. Se analizan varios casos para determinar si existe una relación funcional o una correlación, positiva o negativa, entre las variables. También incluye ejemplos y ejercicios para calcular coeficientes de correlación y trazar rectas de regresión en distribuciones bidimensionales.
Este documento presenta conceptos estadísticos bidimensionales como distribuciones bidimensionales, covarianza, correlación y rectas de regresión. Incluye tres ejercicios resueltos que ilustran cómo calcular estas medidas y predecir valores utilizando rectas de regresión basadas en datos sobre accidentes de tráfico, calificaciones de estudiantes y notas de matemáticas y música.
Este documento presenta ejemplos y ejercicios sobre relaciones funcionales y relaciones estadísticas entre variables. Se analizan varios casos para determinar si existe una relación funcional o una correlación, positiva o negativa, entre las variables. También incluye ejemplos y ejercicios para calcular coeficientes de correlación y trazar rectas de regresión en distribuciones bidimensionales.
Este documento presenta información sobre triángulos, incluyendo sus elementos, ejemplos resueltos de cálculos angulares y problemas propuestos para resolver. Proporciona definiciones de triángulos, sus vértices, lados, ángulos y perímetro. Luego, muestra ejemplos de cálculos angulares resueltos paso a paso y ejercicios para aplicar los conocimientos, así como problemas adicionales sobre triángulos y sus ángulos.
Este documento presenta un ejercicio resuelto de estadística bidimensional utilizando los datos de estatura y peso de 10 jugadores de baloncesto. Se calcula la nube de puntos, el coeficiente de correlación, la recta de regresión y se estima el peso de un jugador de 208 cm utilizando la recta. Se proponen 3 ejercicios adicionales sobre coeficientes de correlación y predicción de valores utilizando rectas de regresión.
Este documento presenta un repaso de ejercicios sobre proporcionalidad y porcentajes para el curso de 2o de la Educación Secundaria Obligatoria. Incluye 10 ejercicios que abarcan temas como tablas de proporcionalidad directa e inversa, cálculo de porcentajes, reglas de tres y proporcionalidad.
El documento presenta una serie de ejercicios de álgebra, análisis, probabilidad y estadística para una recuperación de matemáticas. Incluye ejercicios de sistemas de ecuaciones, sistemas de inecuaciones, funciones continuas, estadística descriptiva y probabilidad.
El documento presenta información sobre posiciones relativas entre dos rectas paralelas y una recta secante. Explica que se determinan ocho ángulos y la relación entre sus medidas. Luego, presenta ejercicios resueltos y problemas propuestos sobre cálculos de ángulos dados gráficos de rectas paralelas y secantes. Finalmente, propone un reto galeniano para calcular la suma de dos ángulos.
El documento explica conceptos sobre magnitudes proporcionales e inversamente proporcionales. Define que son magnitudes proporcionales y da ejemplos de magnitudes directamente proporcionales y magnitudes inversamente proporcionales. Explica cómo identificar cada tipo de proporcionalidad y cómo graficarlas. Luego presenta ejercicios para identificar y calcular valores de magnitudes dadas sus relaciones de proporcionalidad.
Este documento presenta conceptos estadísticos bidimensionales como distribuciones bidimensionales, covarianza, correlación y rectas de regresión. Incluye tres ejercicios resueltos que ilustran cómo calcular estas medidas y predecir valores utilizando rectas de regresión basadas en datos sobre accidentes de tráfico, calificaciones de estudiantes y notas de matemáticas y música.
Este documento presenta ejemplos y ejercicios sobre relaciones funcionales y relaciones estadísticas entre variables. Se analizan varios casos para determinar si existe una relación funcional o una correlación, positiva o negativa, entre las variables. También incluye ejemplos y ejercicios para calcular coeficientes de correlación y trazar rectas de regresión en distribuciones bidimensionales.
Este documento presenta información sobre triángulos, incluyendo sus elementos, ejemplos resueltos de cálculos angulares y problemas propuestos para resolver. Proporciona definiciones de triángulos, sus vértices, lados, ángulos y perímetro. Luego, muestra ejemplos de cálculos angulares resueltos paso a paso y ejercicios para aplicar los conocimientos, así como problemas adicionales sobre triángulos y sus ángulos.
Este documento presenta un ejercicio resuelto de estadística bidimensional utilizando los datos de estatura y peso de 10 jugadores de baloncesto. Se calcula la nube de puntos, el coeficiente de correlación, la recta de regresión y se estima el peso de un jugador de 208 cm utilizando la recta. Se proponen 3 ejercicios adicionales sobre coeficientes de correlación y predicción de valores utilizando rectas de regresión.
Este documento presenta un repaso de ejercicios sobre proporcionalidad y porcentajes para el curso de 2o de la Educación Secundaria Obligatoria. Incluye 10 ejercicios que abarcan temas como tablas de proporcionalidad directa e inversa, cálculo de porcentajes, reglas de tres y proporcionalidad.
El documento presenta una serie de ejercicios de álgebra, análisis, probabilidad y estadística para una recuperación de matemáticas. Incluye ejercicios de sistemas de ecuaciones, sistemas de inecuaciones, funciones continuas, estadística descriptiva y probabilidad.
El documento presenta información sobre posiciones relativas entre dos rectas paralelas y una recta secante. Explica que se determinan ocho ángulos y la relación entre sus medidas. Luego, presenta ejercicios resueltos y problemas propuestos sobre cálculos de ángulos dados gráficos de rectas paralelas y secantes. Finalmente, propone un reto galeniano para calcular la suma de dos ángulos.
El documento explica conceptos sobre magnitudes proporcionales e inversamente proporcionales. Define que son magnitudes proporcionales y da ejemplos de magnitudes directamente proporcionales y magnitudes inversamente proporcionales. Explica cómo identificar cada tipo de proporcionalidad y cómo graficarlas. Luego presenta ejercicios para identificar y calcular valores de magnitudes dadas sus relaciones de proporcionalidad.
El documento proporciona información sobre cuadriláteros y trapecios. Define un cuadrilátero como una poligonal cerrada de cuatro lados y sus elementos. Explica las propiedades angulares y clasificación de cuadriláteros como romboides, rectángulos, rombos y cuadrados. Luego define un trapecio, sus elementos y propiedades. Incluye ejemplos resueltos y problemas propuestos relacionados con cuadriláteros y trapecios.
Este documento contiene las soluciones a 19 actividades de matemáticas para 4o de la ESO. Cubre temas como números racionales e irracionales, porcentajes, intereses simples y compuestos, notación científica, y cálculo de longitudes de circunferencias. Las soluciones proporcionan las respuestas correctas y una breve explicación para cada actividad planteada.
Orientaciones examen extraordinario mat 4ºsept'17FcoJavierMesa
1. El documento proporciona orientaciones para la preparación de un examen extraordinario de matemáticas de 4o de ESO. Incluye una lista de los tipos de actividades y problemas más importantes, así como instrucciones para consultar recursos adicionales.
2. Se presentan varios ejercicios resueltos de diferentes temas como aproximaciones, operaciones con números en notación científica, cálculo de errores relativos, expresiones con potencias y logaritmos, ecuaciones y sistemas de ecuaciones.
3. El documento con
El documento presenta cuatro tablas estadísticas con datos sobre vehículos familiares, caries dentales, número de hijos y otra variable. Se pide completar las tablas calculando frecuencias absolutas y relativas. Se resuelven los cálculos paso a paso para llenar cada tabla.
Actividades de repaso unds 4 5 y 6 mat aFcoJavierMesa
1. El documento presenta 20 problemas de matemáticas relacionados con álgebra, geometría y proporcionalidad. Los problemas incluyen ecuaciones, sistemas de ecuaciones, inecuaciones, razones y proporciones, semejanza de figuras y escalas de mapas.
2. Los estudiantes deben resolver los problemas numéricos y gráficos paso a paso, explicando su razonamiento y soluciones.
3. Los problemas cubren una variedad de temas matemáticos para repasar y evaluar el aprendizaje de
Este documento presenta 22 actividades de resolución de ecuaciones y sistemas de ecuaciones. Las actividades incluyen ecuaciones y sistemas lineales y no lineales, ecuaciones fraccionarias, ecuaciones de segundo grado, sistemas irracionales y problemas de la vida real representados mediante ecuaciones. El documento guía al lector paso a paso en la resolución de cada problema.
Este documento presenta una ficha de evaluación con 7 preguntas sobre funciones. Las preguntas cubren temas como ejemplos de funciones, cálculo de imágenes y antiimágenes, construcción y análisis de gráficas de funciones, identificación de funciones lineales y determinación de pendientes. El documento también incluye tablas de valores y gráficas como apoyo para responder las preguntas planteadas.
Este documento presenta una ficha de evaluación con nueve problemas de proporcionalidad y porcentajes. Los problemas cubren temas como razones y proporciones, cálculos de términos desconocidos, determinación de si pares de magnitudes son proporcionales o no, cálculos de cantidades para diferentes números de personas, cálculos de salarios basados en horas trabajadas y pagos totales, y cálculos de áreas requeridas para diferentes números de trabajadores o días. La ficha incluye también una sección de verificación para comprobar los cál
El documento presenta tres ejercicios estadísticos que involucran el cálculo del coeficiente de correlación lineal entre diferentes variables. El primer ejercicio encuentra una fuerte correlación positiva entre la renta nacional y las ventas de una compañía. El segundo ejercicio encuentra una correlación negativa entre los años de antigüedad del permiso de conducir y las infracciones cometidas por conductores. El tercer ejercicio grafica los metros cuadrados de tiendas contra los ingresos y sugiere una correlación positiva.
Este documento presenta un examen de matemáticas para estudiantes de la escuela secundaria. Contiene 25 preguntas que evalúan conceptos como factorización de expresiones algebraicas, resolución de ecuaciones, áreas de figuras geométricas y gráficas de funciones. El examen pide al estudiante seleccionar respuestas, resolver problemas matemáticos y realizar demostraciones geométricas.
Actividades de repaso unds 1 a 7 mat 2º ESOFcoJavierMesa
Este documento proporciona 44 actividades de repaso de Matemáticas para segundo curso de ESO. Las actividades abarcan temas como operaciones con expresiones algebraicas, ecuaciones de primer y segundo grado, porcentajes, proporcionalidad directa e inversa, geometría y escalas. Las actividades 1-23 serán evaluadas en el primer examen y las actividades 24-44 en el segundo examen.
Este documento describe diferentes tipos de magnitudes y su relación. Explica que una magnitud es algo que puede ser medido, como el tiempo o la velocidad. Luego describe que dos magnitudes son proporcionales si una varía cuando la otra varía. Existen dos tipos de magnitudes proporcionales: directamente proporcional, cuando el cociente entre las magnitudes es constante, e inversamente proporcional, cuando el producto entre las magnitudes es constante. Finalmente, muestra ejemplos de cómo representar gráficamente las relaciones entre magnitudes proporcionales e inversamente propor
Orientaciones examen extraordinario MAT 2º ESOFcoJavierMesa
Este documento proporciona orientaciones para la preparación de un examen extraordinario de matemáticas de 2o de ESO. Incluye una lista de los tipos de problemas y actividades más importantes a practicar, así como enlaces a recursos adicionales. A continuación, presenta una serie de ejercicios de operaciones con números, fracciones, ecuaciones, geometría y proporcionalidad para que el estudiante resuelva.
El documento presenta tres ejercicios estadísticos que involucran el cálculo del coeficiente de correlación lineal entre diferentes variables. El primer ejercicio encuentra una fuerte correlación positiva entre la renta nacional y las ventas de una compañía. El segundo ejercicio encuentra una correlación negativa entre los años de antigüedad del permiso de conducir y las infracciones cometidas por conductores. El tercer ejercicio grafica los metros cuadrados de tiendas contra los ingresos y sugiere una correlación positiva.
Este documento presenta varios ejercicios relacionados con pronósticos y modelos de inventario. Incluye cálculos de pronósticos móviles simples y ponderados, análisis de regresión lineal, suavizamiento exponencial y demanda estacional para pronosticar demanda futura de diferentes productos. También cubre cálculos para determinar la cantidad económica de pedido óptima y los costos asociados con el mantenimiento de inventarios.
Este documento presenta 11 ejercicios de escala y coordenadas geográficas para que los estudiantes practiquen conceptos relacionados con la cartografía. Los ejercicios involucran conversiones entre distancias reales y representadas en mapas usando diferentes escalas, así como cálculos de áreas. El objetivo es que los estudiantes se familiaricen con el uso de escalas, coordenadas y sistemas sexagesimales en el contexto de mapas y cartografía.
Este documento presenta varios problemas relacionados con potencias y raíces. Instruye al lector en expresar operaciones con potencias y raíces en una sola potencia o raíz, simplificar expresiones con potencias y raíces, y resolver problemas que involucran potencias y raíces.
Este documento describe variables estadísticas bidimensionales y cómo medir la relación entre ellas. Explica que una variable bidimensional contiene dos características asociadas a cada observación. Muestra ejemplos de tablas que representan variables como talla y peso, o número de hijos e hijas. Luego describe cómo graficar estas variables usando diagramas de dispersión y medir la fuerza de su relación con la covarianza y el coeficiente de correlación. Finalmente, explica cómo determinar la recta de regresión para resumir la relación entre las variables.
Este documento describe los conceptos de correlación y regresión. Explica que la correlación estudia el grado de relación entre dos variables estadísticas, mientras que la regresión analiza cómo una variable depende de la otra. También define el coeficiente de correlación de Pearson, que mide la fuerza de la relación lineal entre dos variables, y las rectas de regresión, que representan la relación entre las variables.
Este documento presenta una introducción a la regresión lineal simple. Explica brevemente la historia y desarrollo de la regresión lineal, las suposiciones y estimadores del modelo de regresión lineal, y algunas aplicaciones comunes como líneas de tendencia. También resume conceptos clave como la ecuación de regresión, el coeficiente de determinación, y los tipos de correlación lineal.
Este documento presenta los conceptos fundamentales de regresión y correlación. Define la regresión como el análisis utilizado para hacer predicciones mediante el establecimiento de una función entre variables, mientras que la correlación mide la intensidad de la relación lineal entre variables. Explica los componentes clave de la regresión simple como el diagrama de dispersión, la ecuación de regresión y el método de mínimos cuadrados para determinar los coeficientes de la ecuación de regresión. Finalmente, resume los objetivos de conocer los elementos teóric
Este documento trata sobre la correlación lineal. Explica que la correlación mide la fuerza de la relación lineal entre dos variables usando un coeficiente de correlación entre -1 y 1. Un valor cercano a 1 indica una correlación positiva fuerte, mientras que cerca de -1 es una correlación negativa fuerte. También cubre cómo calcular la ecuación de la recta de regresión para estimar los valores de una variable basados en la otra.
El documento proporciona información sobre cuadriláteros y trapecios. Define un cuadrilátero como una poligonal cerrada de cuatro lados y sus elementos. Explica las propiedades angulares y clasificación de cuadriláteros como romboides, rectángulos, rombos y cuadrados. Luego define un trapecio, sus elementos y propiedades. Incluye ejemplos resueltos y problemas propuestos relacionados con cuadriláteros y trapecios.
Este documento contiene las soluciones a 19 actividades de matemáticas para 4o de la ESO. Cubre temas como números racionales e irracionales, porcentajes, intereses simples y compuestos, notación científica, y cálculo de longitudes de circunferencias. Las soluciones proporcionan las respuestas correctas y una breve explicación para cada actividad planteada.
Orientaciones examen extraordinario mat 4ºsept'17FcoJavierMesa
1. El documento proporciona orientaciones para la preparación de un examen extraordinario de matemáticas de 4o de ESO. Incluye una lista de los tipos de actividades y problemas más importantes, así como instrucciones para consultar recursos adicionales.
2. Se presentan varios ejercicios resueltos de diferentes temas como aproximaciones, operaciones con números en notación científica, cálculo de errores relativos, expresiones con potencias y logaritmos, ecuaciones y sistemas de ecuaciones.
3. El documento con
El documento presenta cuatro tablas estadísticas con datos sobre vehículos familiares, caries dentales, número de hijos y otra variable. Se pide completar las tablas calculando frecuencias absolutas y relativas. Se resuelven los cálculos paso a paso para llenar cada tabla.
Actividades de repaso unds 4 5 y 6 mat aFcoJavierMesa
1. El documento presenta 20 problemas de matemáticas relacionados con álgebra, geometría y proporcionalidad. Los problemas incluyen ecuaciones, sistemas de ecuaciones, inecuaciones, razones y proporciones, semejanza de figuras y escalas de mapas.
2. Los estudiantes deben resolver los problemas numéricos y gráficos paso a paso, explicando su razonamiento y soluciones.
3. Los problemas cubren una variedad de temas matemáticos para repasar y evaluar el aprendizaje de
Este documento presenta 22 actividades de resolución de ecuaciones y sistemas de ecuaciones. Las actividades incluyen ecuaciones y sistemas lineales y no lineales, ecuaciones fraccionarias, ecuaciones de segundo grado, sistemas irracionales y problemas de la vida real representados mediante ecuaciones. El documento guía al lector paso a paso en la resolución de cada problema.
Este documento presenta una ficha de evaluación con 7 preguntas sobre funciones. Las preguntas cubren temas como ejemplos de funciones, cálculo de imágenes y antiimágenes, construcción y análisis de gráficas de funciones, identificación de funciones lineales y determinación de pendientes. El documento también incluye tablas de valores y gráficas como apoyo para responder las preguntas planteadas.
Este documento presenta una ficha de evaluación con nueve problemas de proporcionalidad y porcentajes. Los problemas cubren temas como razones y proporciones, cálculos de términos desconocidos, determinación de si pares de magnitudes son proporcionales o no, cálculos de cantidades para diferentes números de personas, cálculos de salarios basados en horas trabajadas y pagos totales, y cálculos de áreas requeridas para diferentes números de trabajadores o días. La ficha incluye también una sección de verificación para comprobar los cál
El documento presenta tres ejercicios estadísticos que involucran el cálculo del coeficiente de correlación lineal entre diferentes variables. El primer ejercicio encuentra una fuerte correlación positiva entre la renta nacional y las ventas de una compañía. El segundo ejercicio encuentra una correlación negativa entre los años de antigüedad del permiso de conducir y las infracciones cometidas por conductores. El tercer ejercicio grafica los metros cuadrados de tiendas contra los ingresos y sugiere una correlación positiva.
Este documento presenta un examen de matemáticas para estudiantes de la escuela secundaria. Contiene 25 preguntas que evalúan conceptos como factorización de expresiones algebraicas, resolución de ecuaciones, áreas de figuras geométricas y gráficas de funciones. El examen pide al estudiante seleccionar respuestas, resolver problemas matemáticos y realizar demostraciones geométricas.
Actividades de repaso unds 1 a 7 mat 2º ESOFcoJavierMesa
Este documento proporciona 44 actividades de repaso de Matemáticas para segundo curso de ESO. Las actividades abarcan temas como operaciones con expresiones algebraicas, ecuaciones de primer y segundo grado, porcentajes, proporcionalidad directa e inversa, geometría y escalas. Las actividades 1-23 serán evaluadas en el primer examen y las actividades 24-44 en el segundo examen.
Este documento describe diferentes tipos de magnitudes y su relación. Explica que una magnitud es algo que puede ser medido, como el tiempo o la velocidad. Luego describe que dos magnitudes son proporcionales si una varía cuando la otra varía. Existen dos tipos de magnitudes proporcionales: directamente proporcional, cuando el cociente entre las magnitudes es constante, e inversamente proporcional, cuando el producto entre las magnitudes es constante. Finalmente, muestra ejemplos de cómo representar gráficamente las relaciones entre magnitudes proporcionales e inversamente propor
Orientaciones examen extraordinario MAT 2º ESOFcoJavierMesa
Este documento proporciona orientaciones para la preparación de un examen extraordinario de matemáticas de 2o de ESO. Incluye una lista de los tipos de problemas y actividades más importantes a practicar, así como enlaces a recursos adicionales. A continuación, presenta una serie de ejercicios de operaciones con números, fracciones, ecuaciones, geometría y proporcionalidad para que el estudiante resuelva.
El documento presenta tres ejercicios estadísticos que involucran el cálculo del coeficiente de correlación lineal entre diferentes variables. El primer ejercicio encuentra una fuerte correlación positiva entre la renta nacional y las ventas de una compañía. El segundo ejercicio encuentra una correlación negativa entre los años de antigüedad del permiso de conducir y las infracciones cometidas por conductores. El tercer ejercicio grafica los metros cuadrados de tiendas contra los ingresos y sugiere una correlación positiva.
Este documento presenta varios ejercicios relacionados con pronósticos y modelos de inventario. Incluye cálculos de pronósticos móviles simples y ponderados, análisis de regresión lineal, suavizamiento exponencial y demanda estacional para pronosticar demanda futura de diferentes productos. También cubre cálculos para determinar la cantidad económica de pedido óptima y los costos asociados con el mantenimiento de inventarios.
Este documento presenta 11 ejercicios de escala y coordenadas geográficas para que los estudiantes practiquen conceptos relacionados con la cartografía. Los ejercicios involucran conversiones entre distancias reales y representadas en mapas usando diferentes escalas, así como cálculos de áreas. El objetivo es que los estudiantes se familiaricen con el uso de escalas, coordenadas y sistemas sexagesimales en el contexto de mapas y cartografía.
Este documento presenta varios problemas relacionados con potencias y raíces. Instruye al lector en expresar operaciones con potencias y raíces en una sola potencia o raíz, simplificar expresiones con potencias y raíces, y resolver problemas que involucran potencias y raíces.
Este documento describe variables estadísticas bidimensionales y cómo medir la relación entre ellas. Explica que una variable bidimensional contiene dos características asociadas a cada observación. Muestra ejemplos de tablas que representan variables como talla y peso, o número de hijos e hijas. Luego describe cómo graficar estas variables usando diagramas de dispersión y medir la fuerza de su relación con la covarianza y el coeficiente de correlación. Finalmente, explica cómo determinar la recta de regresión para resumir la relación entre las variables.
Este documento describe los conceptos de correlación y regresión. Explica que la correlación estudia el grado de relación entre dos variables estadísticas, mientras que la regresión analiza cómo una variable depende de la otra. También define el coeficiente de correlación de Pearson, que mide la fuerza de la relación lineal entre dos variables, y las rectas de regresión, que representan la relación entre las variables.
Este documento presenta una introducción a la regresión lineal simple. Explica brevemente la historia y desarrollo de la regresión lineal, las suposiciones y estimadores del modelo de regresión lineal, y algunas aplicaciones comunes como líneas de tendencia. También resume conceptos clave como la ecuación de regresión, el coeficiente de determinación, y los tipos de correlación lineal.
Este documento presenta los conceptos fundamentales de regresión y correlación. Define la regresión como el análisis utilizado para hacer predicciones mediante el establecimiento de una función entre variables, mientras que la correlación mide la intensidad de la relación lineal entre variables. Explica los componentes clave de la regresión simple como el diagrama de dispersión, la ecuación de regresión y el método de mínimos cuadrados para determinar los coeficientes de la ecuación de regresión. Finalmente, resume los objetivos de conocer los elementos teóric
Este documento trata sobre la correlación lineal. Explica que la correlación mide la fuerza de la relación lineal entre dos variables usando un coeficiente de correlación entre -1 y 1. Un valor cercano a 1 indica una correlación positiva fuerte, mientras que cerca de -1 es una correlación negativa fuerte. También cubre cómo calcular la ecuación de la recta de regresión para estimar los valores de una variable basados en la otra.
El documento presenta 5 ejemplos de cómo calcular la probabilidad de eventos usando la distribución de Poisson. En cada ejemplo se da el número de muestras (n), la probabilidad de éxito (p), y se pide calcular la probabilidad (X) de que ocurran cierto número de éxitos.
Cinco ejemplos de aplicación de las distribuciones de probabilidad.leonardo19940511
Este documento presenta ejemplos de las principales distribuciones de probabilidad: Bernoulli, binomial, Poisson y normal. Incluye 5 ejemplos para cada distribución ilustrando cómo calcular la probabilidad de diferentes eventos. Por ejemplo, calcula la probabilidad de obtener determinados resultados al lanzar una moneda o sacar boletos de una urna usando la distribución de Bernoulli o binomial.
Este documento presenta ejemplos y ejercicios sobre relaciones funcionales y relaciones estadísticas entre variables. Analiza casos donde hay correlación positiva, negativa o relación funcional entre variables como estatura de padres e hijos, temperatura de calentamiento de una barra de hierro y su longitud, índice de mortalidad infantil y número de médicos. También incluye ejercicios para calcular coeficientes de correlación y representar gráficamente distribuciones bidimensionales.
Este documento presenta un ejercicio sobre distribuciones bidimensionales que incluye los siguientes elementos:
1. Se proporciona una tabla con valores de dos variables, tiempo y número de gérmenes, para varios puntos de datos.
2. Se pide calcular la recta de regresión para predecir el número de gérmenes en función del tiempo.
3. Se estima la cantidad de gérmenes que habrá transcurridas 6 horas utilizando la recta de regresión.
(I) El padre de un estudiante de segundo grado adquiere televisión por señal cerrada con HD para que su hijo tenga más opciones de programas culturales. Pagará S/. 50 mensuales por 54 canales con HD, pero debe pagar S/. 180 por la instalación y el codificador. (II) Expresa el costo total en función de los meses que se utilice el servicio de señal cerrada con HD. (III) Grafica el consumo mensual de señal cerrada adquirida en el plano cartesiano.
El documento presenta 8 ejercicios sobre regresión lineal. El ejercicio 1 pide analizar la relación entre medidas manuales y automáticas de nitrato en aguas residuales para determinar si se puede usar un método automático. El ejercicio 2 pide graficar la relación entre el tamaño y número de cuadrados dentro de otros cuadrados. El ejercicio 3 pide ajustar un modelo de regresión entre producción industrial y tiempo.
El documento presenta 8 ejercicios relacionados con el análisis de regresión lineal. El ejercicio 1 pide comprobar si existe una alta correlación positiva entre medidas manuales y automáticas de nitrato en agua, para determinar si se puede usar un nuevo método automático. El ejercicio 2 analiza la relación entre el tamaño y número de cuadrados dibujados. El ejercicio 3 pide ajustar un modelo de regresión entre producción industrial y tiempo.
Este documento presenta varios ejercicios y problemas relacionados con estadística bidimensional. Incluye ejercicios sobre tablas de frecuencia de doble entrada, diagramas de barras, nubes de puntos, cálculo de covarianza, correlación y regresión lineal. El documento proporciona soluciones detalladas a cada uno de los ejercicios planteados como ejemplo para comprender y aplicar los conceptos de estadística bidimensional.
Este documento presenta conceptos básicos de física como notación científica, sistema internacional de unidades, análisis dimensional y vectores. Incluye ejercicios para practicar la conversión entre notación científica y decimal, operaciones con números en notación científica, conversiones de unidades, despeje de variables y suma de vectores gráficamente y analíticamente. El objetivo es que los estudiantes refuercen los conceptos generales de la unidad 1 de física antes de continuar con el curso.
2017 ejercicios de practica matematicas g11Rosa E Padilla
Este documento presenta una hoja de ejercicios de práctica de matemáticas para el undécimo grado. Incluye preguntas sobre trigonometría, funciones, sistemas de ecuaciones, estadística y otros temas. Las instrucciones indican que los estudiantes deben marcar sus respuestas en una hoja de contestaciones separada. El documento proporciona ejemplos y explicaciones para ayudar a los estudiantes a completar los ejercicios.
Este documento presenta una hoja de ejercicios de práctica de matemáticas para el undécimo grado. Incluye preguntas sobre conceptos como funciones trigonométricas, sistemas de ecuaciones, gráficas, estadística y álgebra. Las instrucciones indican que los estudiantes deben marcar sus respuestas en una hoja de contestaciones separada.
1. Un padre de familia decide contratar televisión por cable con HD para que su hijo pueda ver programas culturales en lugar de reality shows. El plan cuesta S/. 50 mensuales por 54 canales con HD, pero tiene un costo de instalación y codificador de S/. 180.
Este documento presenta 11 ejemplos de problemas resueltos relacionados con funciones lineales y cuadráticas. Explica los pasos para resolver problemas de aplicación de funciones y proporciona las soluciones detalladas a cada uno de los ejemplos presentados.
El documento presenta 16 problemas de matemáticas que abarcan temas como funciones, probabilidad y estadística. Los problemas incluyen representar funciones, calcular parámetros estadísticos como media y desviación estándar, analizar relaciones entre variables, calcular probabilidades de diferentes eventos y resolver problemas de combinatoria.
Este documento presenta varios ejemplos de regresión lineal múltiple para modelar diferentes relaciones entre variables. En el primer ejemplo, se analizan tres conjuntos de datos para determinar cuál tiene la correlación más fuerte. En el segundo ejemplo, se usa la regresión lineal múltiple para predecir salarios basados en la producción y especialización. En el tercer ejemplo, se ajusta un modelo para predecir los ahorros familiares en función de los ingresos.
Este documento presenta información sobre funciones lineales y afines. Explica conceptos clave como dominio, rango, ley de correspondencia y representación gráfica. Incluye ejemplos de problemas resueltos que involucran funciones lineales para calcular distancias, precios, sueldos y más basados en correspondencias entre magnitudes. El documento proporciona también retos de problemas para que el lector aplique lo aprendido sobre funciones lineales.
Este documento presenta un servicio de asesoría en línea para materias como matemáticas y ciencias. Proporciona cotizaciones y permite enviar tareas y ejercicios para su resolución. También incluye instrucciones para trabajar en equipo y responder preguntas sobre lógica proposicional y cuantificadores.
Orientaciones examen extraordinario MAT AFcoJavierMesa
1. El documento proporciona orientaciones para preparar un examen extraordinario de matemáticas de 4o de ESO, incluyendo los tipos más importantes de actividades y problemas. Se deben realizar todas las actividades trabajadas durante el curso y se pueden consultar recursos adicionales.
2. Se presentan 33 problemas y ejercicios de diferentes temas matemáticos que deben resolverse para prepararse adecuadamente.
3. Se ofrecen enlaces a recursos adicionales en un blog para apoyar la preparación del examen.
Este documento presenta 10 preguntas de aptitud académica y humanidades con sus respectivas resoluciones. La primera pregunta involucra el cálculo de un área sombreada de un cuadrado. La segunda pregunta trata sobre palíndromos numéricos. La tercera pregunta involucra el arreglo de dígitos en una tabla.
Este documento presenta 14 problemas de matemáticas resueltos. Los problemas cubren temas como rutas, probabilidad, geometría y álgebra. Cada problema viene con una solución detallada. El documento parece ser parte de un solucionario de práctica para un examen de habilidades lógico-matemáticas.
1) Se midió la concentración de nitrato en el agua de un lago usando un método manual antiguo y uno automático nuevo.
2) Los datos muestran una alta correlación positiva entre los métodos, lo que indica que el método automático es adecuado.
3) Usando la regresión lineal, se predice que una muestra con lectura manual de 100 tendría una lectura automática de 119,36.
Este documento presenta información sobre distribuciones de probabilidad continua. Explica conceptos como funciones de densidad, intervalos de probabilidad y cálculo de probabilidades para diferentes distribuciones como la normal, uniforme y binomial. Incluye ejemplos y ejercicios resueltos sobre el cálculo de probabilidades para estas distribuciones.
Este documento presenta información sobre distribuciones de probabilidad de variables discretas y la distribución binomial. Incluye ejemplos y problemas de probabilidad que involucran lanzar monedas, sacar cartas de una baraja, y otros experimentos aleatorios.
Este documento presenta varios ejercicios y problemas relacionados con conceptos estadísticos como intervalos, tablas de frecuencias, medidas de tendencia central, medidas de dispersión y diagramas. Se piden calcular parámetros como media, mediana, cuartiles, desviación típica y coeficiente de variación para diferentes conjuntos de datos. También se solicita construir histogramas, polígonos de frecuencias y diagramas de caja para representar gráficamente las distribuciones.
Este documento presenta varios ejemplos de aplicaciones del cálculo de derivadas, incluyendo el cálculo de velocidades y pendientes de tangentes. Se analizan casos como tomar un autobús en movimiento, carreras de relevos y funciones derivadas.
Este documento presenta un resumen de conceptos clave sobre límites de funciones, continuidad y ramas infinitas. Incluye ejemplos de cálculo de límites, determinación de puntos de discontinuidad y representación gráfica de funciones. El documento contiene definiciones, ejercicios propuestos y su resolución para reforzar la comprensión de estos temas fundamentales del cálculo.
5.funciones exponenciales, logaritmicas y trigonometricasfanufe
1. El documento presenta varios problemas de representación gráfica de funciones. Se pide representar gráficamente la función que modela la distancia al suelo de una noria en función del tiempo para cuatro vueltas completas. También se pide representar gráficamente el crecimiento exponencial de una población de amebas en función del tiempo y en función del número de amebas. Por último, se pide representar la desintegración radiactiva de una sustancia en función del tiempo y en función de su peso.
Este documento presenta varios ejercicios y problemas relacionados con funciones elementales. En la primera sección, se pide hallar el dominio de definición de varias funciones racionales y radicales. Luego, se incluyen ejercicios para representar gráficamente funciones dadas por partes y funciones relacionadas con la función valor absoluto y la función parte entera. Finalmente, se proporcionan más ejercicios para practicar el cálculo del dominio de definición.
El resumen del documento es:
1) Tres amigos y sus tres hijos recogieron almendras de un saco en función del número de veces que metieron la mano. Cada padre cogió 45 almendras más que su hijo.
2) Se pide determinar los nombres de los hijos, el número total de almendras y cuántas cogió cada uno resolviendo ecuaciones.
3) La solución es que el hijo de Antonio es José, el de Juan es Julio y el de Pablo es Luis, y el total de almendras fue 1183
Este documento presenta varios ejemplos y ejercicios sobre aumentos y disminuciones porcentuales, intereses compuestos, amortización de préstamos y cálculo de tasas de interés efectivas. Incluye fórmulas para calcular índices de variación, transformaciones de capitales colocados a diferentes tasas de interés y períodos, y pagos para amortizar préstamos.
Este documento presenta información sobre números reales. Explica conceptos como números racionales e irracionales y cómo resolver ecuaciones de segundo grado. También muestra ejemplos de simplificación de raíces y racionalización de fracciones.
Soluciones Examen de Selectividad. Geografía junio 2024 (Convocatoria Ordinar...Juan Martín Martín
Criterios de corrección y soluciones al examen de Geografía de Selectividad (EvAU) Junio de 2024 en Castilla La Mancha.
Soluciones al examen.
Convocatoria Ordinaria.
Examen resuelto de Geografía
conocer el examen de geografía de julio 2024 en:
https://blogdegeografiadejuan.blogspot.com/2024/06/soluciones-examen-de-selectividad.html
http://blogdegeografiadejuan.blogspot.com/
ACERTIJO DESCIFRANDO CÓDIGO DEL CANDADO DE LA TORRE EIFFEL EN PARÍS. Por JAVI...JAVIER SOLIS NOYOLA
El Mtro. JAVIER SOLIS NOYOLA crea y desarrolla el “DESCIFRANDO CÓDIGO DEL CANDADO DE LA TORRE EIFFEL EN PARIS”. Esta actividad de aprendizaje propone el reto de descubrir el la secuencia números para abrir un candado, el cual destaca la percepción geométrica y conceptual. La intención de esta actividad de aprendizaje lúdico es, promover los pensamientos lógico (convergente) y creativo (divergente o lateral), mediante modelos mentales de: atención, memoria, imaginación, percepción (Geométrica y conceptual), perspicacia, inferencia y viso-espacialidad. Didácticamente, ésta actividad de aprendizaje es transversal, y que integra áreas del conocimiento: matemático, Lenguaje, artístico y las neurociencias. Acertijo dedicado a los Juegos Olímpicos de París 2024.
Examen de Selectividad. Geografía junio 2024 (Convocatoria Ordinaria). UCLMJuan Martín Martín
Examen de Selectividad de la EvAU de Geografía de junio de 2023 en Castilla La Mancha. UCLM . (Convocatoria ordinaria)
Más información en el Blog de Geografía de Juan Martín Martín
http://blogdegeografiadejuan.blogspot.com/
Este documento presenta un examen de geografía para el Acceso a la universidad (EVAU). Consta de cuatro secciones. La primera sección ofrece tres ejercicios prácticos sobre paisajes, mapas o hábitats. La segunda sección contiene preguntas teóricas sobre unidades de relieve, transporte o demografía. La tercera sección pide definir conceptos geográficos. La cuarta sección implica identificar elementos geográficos en un mapa. El examen evalúa conocimientos fundamentales de geografía.
Ofrecemos herramientas y metodologías para que las personas con ideas de negocio desarrollen un prototipo que pueda ser probado en un entorno real.
Cada miembro puede crear su perfil de acuerdo a sus intereses, habilidades y así montar sus proyectos de ideas de negocio, para recibir mentorías .
1. Unidad 9. Distribuciones bidimensionales
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REFLEXIONA Y RESUELVE
Relación funcional y relación estadística
En cada uno de los siguientes casos debes decir si, entre las dos variables que se
citan, hay relación funcional o relación estadística (correlación) y, en este último
caso, indicar si es positiva o negativa:
• En un conjunto de familias: estatura media de los padres – estatura media de
los hijos.
Correlación positiva.
• Temperatura a la que calentamos una barra de hierro – longitud alcanzada.
Funcional.
• Entre los países del mundo respecto a España: volumen de exportación – volu-
men de importación.
Correlación negativa.
• Entre los países del mundo: índice de mortalidad infantil – número de médicos
por cada 1 000 habitantes.
Correlación negativa.
• En las viviendas de una ciudad: kWh consumidos durante enero – coste del reci-
bo de la luz.
Funcional.
• Número de personas que viven en cada casa – coste del recibo de la luz.
Correlación positiva.
• Equipos de fútbol: lugar que ocupan al finalizar la liga – número de partidos
perdidos.
Correlación positiva.
• Equipos de fútbol: lugar que ocupan al finalizar la liga – número de partidos
ganados.
Correlación negativa.
DISTRIBUCIONES
BIDIMENSIONALES9
2. Ejemplo de relación funcional
Distintas personas lanzan hacia arriba una misma piedra de 2 kg de masa, que al-
canza más o menos altura según la fuerza con que ha sido impulsada. (La fuerza
actúa en un tramo de 1 m).
a) ¿Qué altura, por encima de la mano, alcanzará la piedra si se impulsa con una
fuerza de 110 newton?
b) ¿Podríamos escribir una fórmula que dé directamente la altura que alcanza la
piedra, desde el momento en que se la suelta, en función de la fuerza con que
es impulsada hacia arriba?
a) 4,5 m
b) Altura = – 1 para F ≥ 20
Obtención física de la fórmula:
La fórmula en la que se basa todo el desarrollo posterior es:
v =
donde v: Aumento de la velocidad en el tramo d.
a: Aceleración constante con la que se mueve el móvil.
d : Espacio que recorre con la aceleración a.
Así, la velocidad con que sale de la mano es:
vs = =
Además:
F = m (a + g) 8 a = – g = – 10
Luego:
vs = = √F – 20
F
√2(— – 10)2
F
2
F
m
√2a√2a 1
√2ad
F
20
ALTURA
(m)
FUERZA
(N)
50
1
5
10020
6
2
3
4
10
Unidad 9. Distribuciones bidimensionales
2
3. Por otra parte, si se deja caer una piedra desde una altura h, adquiere una velocidad:
vs =
O bien, si se empuja una piedra hacia arriba de modo que salga con una velocidad
vs, alcanza una altura h.
En este caso:
vs = =
Igualando:
= 8 h = – 1
Para que h Ó 0, debe ser F Ó 20.
Ejemplo de relación estadística
En la siguiente gráfica, cada punto corresponde a un chico. La abscisa es la estatura
de su padre, y la ordenada, su propia altura.
a) Identifica a Guille y Gabriel, hermanos de buena estatura, cuyo padre es bajito.
b) Identifica a Sergio, de estatura normalita, cuyo padre es un gigantón.
c) ¿Podemos decir que hay una cierta relación entre las estaturas de estos 15 chi-
cos y las de sus padres?
a) Guille y Gabriel están representados por los puntos (160, 175) y (160; 177,5)
b) Sergio está representado por el punto (192,5; 172,5).
c) En general, sí.
ESTATURA HIJOS
ESTATURA
PADRES
190
180
170
160
160 170 180 190
F
20
√20h√F – 20
√20h√2 · 10 · h
√2gh
Unidad 9. Distribuciones bidimensionales
3
9UNIDAD
4. Página 227
1. La tabla de la derecha muestra cómo se ordenan entre sí diez países, A, B, C…,
según dos variables, R.P.C. (renta per cápita) e I.N. (índice de natalidad). Re-
presenta los resultados en una nube de puntos, traza la recta de regresión y di
cómo te parece la correlación.
La correlación es negativa y moderada-
mente alta (–0,62).
Página 229
1. Obtén mediante cálculos manuales los coeficientes de correlación de las dis-
tribuciones de la página 226:
Matemáticas – Filosofía Distancia – Número de encestes
Hazlo también con una calculadora con MODO LR.
Matemáticas-Filosofía:
–x = = 6
–y = = 5,25
qx = = 2,45
qy = = 1,92
qxy = – 6 · 5,25 = 2,75
Por tanto: r = = 0,58
2,75
2,45 · 1,92
411
12
√ 375
– 5,252
12
√ 504
– 62
12
63
12
72
12
2
2
4
6
8
10
4 6 8 10 12
I.N.
R.P.C.
PAÍSES
R.P.C.
I.N.
A B C D E F G H I J
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
10 6 9 5 7 4 1 3 8 2
Unidad 9. Distribuciones bidimensionales
4
xi
2
3
4
4
5
6
6
7
7
8
10
10
yi
2
5
2
7
5
4
6
6
7
5
5
9
xi
2
4
9
16
16
25
36
36
49
49
64
100
100
yi
2
4
25
4
49
25
16
36
36
49
25
25
81
xiyi
4
15
8
28
25
24
36
42
49
40
50
90
72 63 504 375 411
6. Página 238
EJERCICIOS Y PROBLEMAS PROPUESTOS
Sin fórmulas
1 Para cada uno de los siguientes casos indica:
• Cuáles son las variables que se relacionan.
• Si se trata de una relación funcional o de una relación estadística y, en es-
tos casos, el signo de la correlación.
a) Renta mensual de una familia-gasto en electricidad.
b) Radio de una esfera-volumen de esta.
c) Litros de lluvia recogidos en una ciudad-tiempo dedicado a ver la televi-
sión por sus habitantes.
d) Longitud del trayecto recorrido en una línea de cercanías-precio del bi-
llete.
e) Peso de los alumnos de 1-º de Bachillerato-número de calzado que usan.
f ) Toneladas de tomate recogidas en una cosecha-precio del kilo de tomate
en el mercado.
a) Renta (€), gasto (€).
Correlación positiva.
b) Relación funcional.
c) Relación estadística. Seguramente muy débil. Positiva (¿cabe pensar que cuanto
más llueva más tiempo pasarán en casa y, por tanto, más verán la televisión?).
d) Aunque lo parezca a priori, seguramente la relación no es funcional. Es una co-
rrelación positiva fuerte.
e) Correlación positiva.
f) Correlación negativa (cuanto mayor sea la cosecha, más baratos están los toma-
tes).
2 a) Traza, a ojo, la recta de regresión en cada una de estas distribuciones bi-
dimensionales:
A
5
10
5
10
B
5
10
5
10
C
5
10
5
10
D
5
10
5
10
PARA PRACTICAR
Unidad 9. Distribuciones bidimensionales
6
7. b) ¿Cuáles de ellas tienen correlación positiva y cuáles tienen correlación
negativa?
c) Una de ellas presenta relación funcional. ¿Cuál es? ¿Cuál es la expresión
analítica de la función que relaciona las dos variables?
d) Ordena de menor a mayor las correlaciones.
a)
b) B y C tienen correlación positiva; A y D, negativa.
c) La A es relación funcional: y = 12 – 2x.
d) C, D, B, A (prescindiendo del signo).
3 Los coeficientes de correlación de las distribuciones bidimensionales que
aparecen a continuación son, en valor absoluto, los siguientes:
0,55 0,75 0,87 0,96
Asigna a cada uno el suyo, cambiando el signo cuando proceda:
a) b)
C 10
5
5 10
D 10
5
5 10
A 10
5
5 10
B 10
5
5 10
Unidad 9. Distribuciones bidimensionales
7
9UNIDAD
8. a) r = 0,96 b) r = –0,75 c) r = 0,55 d) r = –0,87
4 Representa la nube de puntos correspondiente a esta distribución y di cuán-
to vale el coeficiente de correlación.
El coeficiente de correlación vale –1.
5 Representa la nube de puntos de esta distribución y estima cuál de estos tres
puede ser el coeficiente de correlación:
a) r = 0,98
b) r = –0,87
c) r = 0,5
c) r = 0,5
9
7
5
3
1
2 4 6 8 9 X
Y
x
y
0
1
1
4
2
6
3
2
3
4
4
8
5
6
6
5
7
3
8
6
9
9
10
6 X
Y
x
y
1
10
2
8
3
6
4
4
5
2
6
0
a) b)
Unidad 9. Distribuciones bidimensionales
8
9. 6 Las estaturas de 10 chicas y las de sus respectivas madres son:
Representa los valores, sobre papel cuadriculado, mediante una nube de
puntos.
Traza a ojo la recta de regresión y di si la correlación es positiva o negativa
y si es más o menos fuerte de lo que esperabas.
La correlación es positiva y fuerte.
Página 239
Con fórmulas
7 Esta es la distribución bidimensional dada en el ejercicio 2B) mediante una
nube de puntos:
Halla:
a) x
–
, y
–
, qx, qy, qxy.
b)El coeficiente de correlación, r. Interprétalo.
c) Las dos rectas de regresión.
n = 12, Sx = 59 Sy = 59
Sx2 = 401 Sy2 = 389 Sxy = 390
a) x– = 4,92 y– = 4,92
qx = 3,04 qy = 2,87 qxy = 8,33
x
y
0
0
1
2
2
2
3
4
4
3
4
6
5
4
6
5
7
7
8
7
9
9
10
10
150
160
170
180
Y
X150 160 170 180
xi
yi
158
163
162
155
164
160
165
161
168
164
169
158
172
175
172
169
174
166
178
172
Unidad 9. Distribuciones bidimensionales
9
9UNIDAD
10. b) r = = 0,95. Se trata de una correlación fuerte y positiva.
c) Recta de regresión de Y sobre X:
= 0,90 8 y = 4,92 + 0,9(x – 4,92)
Recta de regresión de X sobre Y:
= 1,01 8 y = 4,92 + (x – 4,92) 8 y = 4,92 + 0,99(x – 4,92)
8 Observa la distribución D del ejercicio 2.
a) Descríbela mediante una tabla de valores.
b)Realiza los cálculos para obtener su coeficiente de correlación.
c) Representa los puntos en tu cuaderno. Halla la ecuación de la recta de re-
gresión de Y sobre X y represéntala.
a)
b) n = 10 Sx = 49 x– = = 4,9
Sy = 50 y– = = 5
Sx2 = 301 qx = = 2,47
Sy2 = 310 qy = = 2,45
Sxy = 199 qxy = – 4,9 · 5 = –4,6
r = = –0,76
c) Recta de regresión de Y sobre X:
y = 5 – (x – 4,9) 8 y = 8,675 – 0,75x
10
5
5 10 X
Y
4,6
6,1
4,6
2,47 · 2,45
199
10
301
√— – 52
10
301
√— – 4,92
10
50
10
49
10
x
y
1
5
2
8
3
7
4
6
4
9
5
4
6
5
7
2
8
3
9
1
1
1,01
qxy
qy
2
qxy
qx
2
qxy
qxqy
Unidad 9. Distribuciones bidimensionales
10
11. 9 a) Representa la siguiente distribución bidimensional:
b)Comprueba con la calculadora que sus parámetros son:
x
–
= 4,4 y
–
= 4,9qxy = 3,67
qx = 2,77 qy = 2,31 r = 0,57
c) Halla las ecuaciones de las dos rectas de regresión, X sobre Y e Y so-
bre X, y represéntalas junto con la nube de puntos.
a) Representada en el ejercicio 5.
b) Se comprueba.
c) • Recta de regresión de Y sobre X:
myx = = = 0,48 8 y = 4,9 + 0,48(x – 4,4) 8 y = 0,48x + 2,79
• Recta de regresión de X sobre Y:
mxy = = = 0,69 8 = 1,45 8 y = 4,9 + 1,45(x – 4,4) 8
8 y = 1,45x – 1,48
10 Una distribución bidimensional en la que los valores de x son 12, 15, 17,
21, 22 y 25, tiene una correlación r = 0,99 y su recta de regresión es
y = 10,5 + 3,2x.
Calcula
^
y (13),
^
y (20),
^
y (30),
^
y (100).
¿Cuáles de las estimaciones anteriores son fiables, cuál poco fiable y cuál no
se debe hacer?
Expresa los resultados en términos adecuados. (Por ejemplo:
^
y (13) = 52,1.
Para x = 13 es muy probable que el valor correspondiente de y sea pró-
ximo a 52).
9
X sobre Y
Y sobre X
5
5 9 X
Y
1
mxy
3,67
2,312
qxy
qy
2
3,67
2,772
qxy
qx
2
x
y
0
1
1
4
2
6
3
2
3
4
4
8
5
6
6
5
7
3
8
6
9
9
Unidad 9. Distribuciones bidimensionales
11
9UNIDAD
12. ^
y(13) = 52,1;
^
y(20) = 74,5;
^
y(30) = 106,5;
^
y(100) = 330,5
Son fiables
^
y(13) e
^
y(20), porque 13 y 20 están en el intervalo de valores utili-
zados para obtener la recta de regresión.
^
y(30) es menos fiable, pues 30 está fuera del intervalo, aunque cerca de él.
^
y(100) es una estimación nada fiable, pues 100 está muy lejos del intervalo [12, 25].
11 La siguiente tabla muestra el número de gérmenes patógenos por centíme-
tro cúbico de un determinado cultivo según el tiempo transcurrido:
a) Calcula la recta de regresión para predecir el número de gérmenes por
centímetro cúbico en función del tiempo.
b) ¿Qué cantidad de gérmenes por centímetro cúbico cabe esperar que haya
a las 6 horas? ¿Es buena esta estimación?
a) y = 19,81 + 6,74x, donde: x 8 número horas, y 8 número de gérmenes
b)
^
y (6) = 60,25 ≈ 60 gérmenes.
Es una buena predicción, puesto que r = 0,999 (y 6 está cercano al intervalo
de valores considerado).
12 La media de los pesos de los individuos de una población es de 65 kg, y la
de sus estaturas, 170 cm. Sus desviaciones típicas son 5 kg y 10 cm. La co-
varianza es 40 kg · cm. Halla:
a) Coeficiente de correlación.
b)La recta de regresión de los pesos respecto de las estaturas.
c) Estima el peso de un individuo de 180 cm de estatura perteneciente a ese
colectivo.
a) r = 0,8
b) y = 65 + 0,4(x – 170) = 0,4x – 3 8
c)
^
y (180) = 69 kg
13 En una zona residencial se ha tomado una muestra para relacionar el nú-
mero de habitaciones que tiene cada piso (h) con el número de personas
que viven en él (p). Estos son los resultados:
x: estaturas en cm
y: pesos en kg
°
¢
£
N.° DE HORAS
N.° DE GÉRMENES
0
20
1
26
2
33
3
41
4
47
5
53
PARA RESOLVER
Unidad 9. Distribuciones bidimensionales
12
13. Represéntalos mediante una nube de puntos. Calcula el coeficiente de corre-
lación e interprétalo.
h: número de habitaciones
p: número de personas
n = 10 Sh = 37 h
–
= = 3,7
Sp = 35 p– = = 3,5
Sh2 = 149 qh = = 1,1
Sp2 = 145 qp = = 1,5
Shp = 144 qhp = – 3,7 · 3,5 = 1,45
r = = 0,88
Es una correlación positiva y fuerte (a más habitaciones, más personas en el piso).
14 La tabla adjunta relaciona el número atómico de varios metales con su den-
sidad:
a) Representa los puntos y halla el coeficiente de correlación.
Elemento
N-º atómico
K
19
Densidad 0,86
Ca
20
1,54
Ti
22
4,50
V
23
5,60
Mn
25
7,11
Fe
26
7,88
Co
27
8,70
Ni
28
8,80
1,45
1,1 · 1,5
144
10
145
√— – 3,52
10
149
√— – 3,72
10
35
10
37
10
1
1
2
3
4
5
2 3 4 5
6
6
N-º DE HABITACIONES
N-º DE PERSONAS
h
p
2
1
2
2
3
2
3
3
4
3
4
4
4
5
5
4
5
5
5
6
Unidad 9. Distribuciones bidimensionales
13
9UNIDAD
14. b)Mediante una recta de regresión, estima la densidad del cromo si su nú-
mero atómico es 24: Cr (24).
c) Estima la densidad del escandio: Sc (21).
a)
b) y c)
^
y = –16,5 + 0,93x
^
y (24) = 5,86
^
y (21) = 3,06
Las densidades del Cr y del Sc son, aproximadamente, 5,86 y 3,01. (Los valores
reales de estas densidades son 7,1 y 2,9.)
Página 240
15 En una cofradía de pescadores, las capturas registradas de cierta variedad de
pescados, en kilogramos, y el precio de subasta en lonja, en euros/kg, fue-
ron los siguientes:
a) ¿Cuál es el precio medio registrado?
b) Halla el coeficiente de correlación lineal e interprétalo.
c) Estima el precio que alcanzaría en lonja el kilo de esa especie si se pes-
casen 2 600 kg.
a) –y = 1,51 euros
b) r = –0,97. La relación entre las variables es fuerte y negativa. A mayor cantidad
de pescado, menor es el precio por kilo.
c) La recta de regresión es y = 2,89 – 0,0005x.
^
y (2600) = 1,59 euros.
x (kg)
y (euros/kg)
2 000
1,80
2 400
1,68
2 500
1,65
3 000
1,32
2 900
1,44
2 800
1,50
3 160
1,20
19
1
2
3
8
21 23 25 27
r = 0,98
4
5
6
7
9
N-º ATÓMICO
DENSIDAD
Unidad 9. Distribuciones bidimensionales
14
15. 16 Durante 10 días, hemos realizado mediciones sobre el consumo de un coche
(litros consumidos y kilómetros recorridos). Los datos obtenidos han sido
los siguientes:
a) Halla el coeficiente de correlación y la recta de regresión de Y sobre X.
b) Si queremos hacer un viaje de 190 km, ¿qué cantidad de combustible de-
bemos poner?
a) r = 0,99; y = 0,157 + 0,066x
b)
^
y (190) = 12,697 litros. Debemos poner, como mínimo, unos 13 litros.
17 La evolución del IPC (índice de precios al consumo) y de la tasa de inflación
en 1987 fue:
a) Representa la nube de puntos.
b) Calcula el coeficiente de correlación entre el IPC y la tasa de inflación.
c) ¿Se puede estimar la tasa de inflación a partir del IPC?
r = –0,24. La nube de puntos es muy dispersa. No se puede estimar de forma fia-
ble la tasa de inflación a partir del IPC (pues |r | es muy bajo).
18 El coeficiente de correlación de una distribución bidimensional es 0,87.
Si los valores de las variables se multiplican por 10, ¿cuál será el coeficien-
te de correlación de esta nueva distribución?
El mismo, puesto que r no depende de las unidades; es adimensional.
CUESTIONES TEÓRICAS
0,5
4,5
6
1 1,5 2 2,5
5
5,5
6,5
I.P.C.
TASA DE INFLACIÓN
IPC
TASA DE INFLACIÓN
ENERO
0,7
6
FEBRERO
1,1
6
MARZO
1,7
6,3
ABRIL
2
6,2
MAYO
1,9
5,8
JUNIO
1,9
4,9
x (km)
y (l )
100
6,5
80
6
50
3
100
6
10
1
100
7
70
5,5
120
7,5
150
10
220
15
Unidad 9. Distribuciones bidimensionales
15
9UNIDAD
16. 19 Hemos calculado la covarianza de una cierta distribución y ha resultado ne-
gativa.
Justifica por qué podemos afirmar que tanto el coeficiente de correlación como
las pendientes de las dos rectas de regresión son números negativos.
Hay que tener en cuenta que r = ; myx = ; mxy = y que qx Ó 0,
qy Ó 0 siempre.
Luego r, myx , mxy tienen el mismo signo que qxy . (Además, suponemos qx ? 0
y qy ? 0.)
20 ¿Qué punto tienen en común las dos rectas de regresión?
El centro de gravedad de la distribución, ( –x, –y ).
21 ¿Qué condición debe cumplir r para que las estimaciones hechas con la rec-
ta de regresión sean fiables?
|r| debe estar próximo a 1.
22 Prueba que el producto de los coeficientes de regresión myx y mxy es igual
al cuadrado del coeficiente de correlación.
myx · mxy = · = ( )
2
= r2
23 De una distribución bidimensional (x, y) conocemos los siguientes resulta-
dos:
• Recta de regresión de Y sobre X:
y = 8,7 – 0,76x
• Recta de regresión de X sobre Y:
y = 11,36 – 1,3x
a) Calcula el centro de gravedad de la distribución.
b) Halla el coeficiente de correlación.
a) El centro de gravedad, (–x, –y ), es el punto de corte entre las dos rectas:
8,7 – 0,76x = 11,36 – 1,3x
0,54x = 2,66
x = 4,93
y = 4,95
El centro de gravedad es (–x, –y ) = (4,93; 4,95).
°
¢
£
y = 8,7 – 0,76x
y = 11,36 – 1,3x
qxy
qx
qy
qxy
qy
2
qxy
qx
2
qxy
qy
2
qxy
qx
2
qxy
qx
qy
Unidad 9. Distribuciones bidimensionales
16
17. b) Para hallar r tenemos en cuenta el ejercicio anterior:
r2 = myx · mxy = –0,76 · = 0,58 8 r = 0,76
24 La estatura media de 100 escolares de cierto curso de ESO es de 155 cm con
una desviación típica de 15,5 cm.
La recta de regresión de la estatura respecto al peso es:
y = 80 + 1,5x (x: peso; y: estatura)
a) ¿Cuál es el peso medio de esos escolares?
b) ¿Cuál es el signo del coeficiente de correlación entre peso y estatura?
a) La recta de regresión es:
y = –y + m (x – –x ) = 155 + 1,5(x – –x ) = 155 + 1,5x – 1,5–x = (155 – 1,5–x ) + 1,5x =
= 80 + 1,5x 8 155 – 1,5–x = 80 8 –x = 50 kg
b) Positivo (igual que el signo de la pendiente de la recta de regresión).
Página 241
25 En una muestra de 64 familias se han estudiado
el número de miembros en edad laboral, x, y el
número de ellos que están en activo, y. Los re-
sultados son los de la tabla. Calcula el coeficiente
de correlación lineal entre ambas variables e in-
terprétalo.
r = 0,31. La relación entre las variables es débil.
26 Una compañía discográfica ha recopilado la siguiente información sobre el
número de conciertos dados, durante el verano, por 15 grupos musicales y
las ventas de discos de estos grupos (expresados en miles de CD):
CD (X)
CONCIERTOS (y)
10 - 30 30 - 40 40 - 80
1 - 5
5 - 10
10 - 20
3
1
0
0
4
1
0
1
5
x
y
1
6 0 0
10 2 0
12 5 1
16 8 4
2 3
1
2
3
4
PARA PROFUNDIZAR
1
–1,3
Unidad 9. Distribuciones bidimensionales
17
9UNIDAD
18. a) Calcula el número medio de CD vendidos.
b) ¿Cuál es el coeficiente de correlación?
c) Obtén la recta de regresión de Y sobre X.
d) Si un grupo musical vende 18 000 CD, ¿qué número de conciertos se pre-
vé que dé?
x 8 CD; y 8 Conciertos
a) –x = 9,6 ≈ 10
b) r = 0,814
c) y = 13,51 + 2,86x
d)
^
y (18) = 64,99 ≈ 65 conciertos
Página 241
AUTOEVALUACIÓN
1. Observa estas distribuciones bidimensionales:
Asigna razonadamente uno de los siguientes coeficientes de correlación a ca-
da gráfica:
0,2 –0,9 –0,7 0,6
La correlación de a) es positiva, y las de b) y c), negativas. En d) no se aprecia co-
rrelación. La correlación de c) es más fuerte que la de b). Por tanto:
a) 8 0,6
b) 8 –0,7
c) 8 –0,9
d) 8 0,2
a) b)
c) d)
Unidad 9. Distribuciones bidimensionales
18
19. 2. Representa esta distribución bidimensional:
a) Calcula los parámetros x
–
, y
–
, qx, qy, qxy.
b)Halla el coeficiente de correlación.
c) Halla la recta de regresión de Y sobre X.
d)Estima el valor de y para x = 5 y para x = 10. ¿Son “buenas” estas esti-
maciones?
a) x
–
= 5, y
–
= 6
qx = 2,8; qy = 2,7; qxy = 7,1
b) r = 0,95
c) y = 0,91x + 1,45
d) y
^
(5) = 6, y
^
(10) = 10,55
Las estimaciones son muy fiables porque r = 0,95 es un valor muy alto. Si se tratase
de “notas” (de 0 a 10), la segunda estimación habría que “hacerla real” y darle el va-
lor 10.
3. La recta de regresión de Y sobre X de una cierta distribución bidimensional
es y = 1,6x – 3. Sabemos que x
–
= 10 y r = 0,8.
a) Calcula y
–
.
b)Estima el valor de y para x = 12 y para x = 50. ¿Qué estimación te pare-
ce más fiable?
a) Puesto que la recta pasa por (x
–
, y
–
):
y
–
= 1,6x
–
– 3 = 1,6 · 10 – 3 = 13
b) y
^
(12) = 1,6 · 12 – 3 = 16,2
y
^
(50) = 1,6 · 50 – 3 = 77
La primera estimación es aceptable por ser 12 próximo a x
–
= 10 (carecemos de
información sobre los valores que toma x). La segunda estimación es muy poco
significativa, pues 50 se separa demasiado de x
–
.
5 10
5
10
x
y
1
2
2
4
2
3
3
4
4
6
6
5
7
8
8
9
8
10
9
9
Unidad 9. Distribuciones bidimensionales
19
9UNIDAD
20. 4. El consumo de energía per cápita y en miles de kWh y la renta per cápita x
en miles de euros de seis países son:
a) Calcula la recta de regresión de Y sobre X.
b) Halla el coeficiente de correlación entre el consumo y la renta.
c) ¿Qué predicción podemos hacer sobre el consumo de energía per cápita de
un país cuya renta per cápita es de 4,4 miles de euros?
Resolución
x
–
= 8,63, y
–
= 4,37
qx = 2,46, qy = 1,09, qxy = 2,51
a) Recta de regresión de Y sobre X:
y = 4,37 + (x – 8,63) 8 y = 0,79 + 0,41x
b) Coeficiente de correlación:
r = = 0,93
c) Para x = 4,4, estimamos el valor de y:
y
^
(4,4) = 0,79 + 0,41 · 4,4 = 2,59
Se le estima un consumo de energía de 2,59 miles de Kw/h por habitante.
2,51
1,09 · 2,46
2,51
2,462
x
y
A
11,1
5,7
B
8,5
5,0
C
11,3
5,1
D
4,5
2,7
E
9,9
4,6
F
6,5
3,1
Unidad 9. Distribuciones bidimensionales
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