1. 1 En el experimento que consiste en lanzar un dado cúbico y anotar el resultado de la cara superior, calcula
la probabilidad de:
a) Salir par b) Salir impar c) Salir múltiplo de 3 d) Salir múltiplo de 5
Solución:
El espacio muestral es E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
a) Sea A el suceso salir par, se tiene A = {2, 4, 6} su probabilidad es:
3 1
p(A)    0,5
6 2
b) Sea B el suceso salir impar, se tiene B = {1, 3, 5} su probabilidad es:
3 1
p(B)    0,5
6 2
c) Sea C el suceso salir múltiplo de 3, se tiene A = {3, 6} su probabilidad es:
2 1
p(C)    0,3333
6 3
d) Sea A el suceso salir múltiplo de 5, se tiene D = {5} su probabilidad es:
1
p(A)   0,1667
6
2 Se lanzan al aire tres monedas. Determina la probabilidad de que se obtengan al menos dos cruces.
Solución:
El espacio muestral de la experiencia es E = {CCC, CCX, CXC, XCC, CXX, XCX, XXC, XXX} que contiene 8
sucesos elementales.
Sea A el suceso obtener al menos dos cruces, se tiene A = {CXX, XCX, XXC, XXX} que contiene 4 sucesos
elementales.
Por tanto la probabilidad de obtener al menos dos cruces es:
4 1
p(A)  
8 2
3 Una urna tiene ocho bolas rojas, cinco amarillas y siete verdes. Se extrae una al azar. Determina la
probabilidad de que la bola extraída:
a) Sea roja b) Sea verde c) Sea amarilla d) No sea roja e) No sea amarilla.
Solución:
Sean R, V y A, respectivamente, la bola extraída es de color rojo, verde y amarillo.
Resulta evidente que dichos sucesos forman un sistema completo de sucesos de la experiencia.
a) La probabilidad de extraer una bola roja es:
8 2
p(R)    0,4
20 5
b) La probabilidad de extraer una bola verde es:

2. 7
p(V)   0,35
20
c) La probabilidad de extraer una bola amarilla es:
1
p(A)   0,25
4
d) El suceso D una bola que no es roja es el contrario de R:
_ 2 3
p(D)  p R   1  p(R)  1    0,6
 
  5 5
e) El suceso E una bola que no es amarilla es el contrario de A:
_ 1 3
p(E)  p A   1  p(A)  1    0,75
 
  4 4
4 Extraemos una carta de una baraja española. Halla las siguientes probabilidades:
a) Que la carta extraída sea un rey o un as.
b) Que la carta extraída sea un rey o una copa.
c) Que la carta extraída sea una figura o una copa.
Solución:
Consideremos los sucesos:
R = “la carta extraída es un rey”, A = “La carta extraída es un as”, C = “la carta extraída es de copas” y F = “la
carta es una figura de la baraja (sota, caballo o rey)”. Tenemos que calcular las probabilidades:
a) Del suceso RA, como son dos sucesos incompatibles, se tiene:
4 4 8 1
p(R A)  p(R)  p(A)    
40 40 40 5
b) Del suceso RC, teniendo en cuenta que RC es el suceso extraer el rey de copas, se tiene:
4 10 1 13
p(R C)  p(R)  p(C)  p(R C)    
40 40 40 40
c) Del suceso FC, teniendo en cuenta que FC es el suceso extraer una figura de copas, se tiene:
12 10 3 19
p(F C)  p(F)  p(C)  p(F C)    
40 40 40 40
5 Se lanzan al aire dos dados con sus caras numeradas del 1 al 6. Halla la probabilidad de que la suma de
puntos obtenida sea menor que 7.
Solución:
La tabla adjunta muestra los posibles resultados de la experiencia del lanzamiento de los dados y anota la suma de
los puntos obtenidos en cada dado.
Si A es el suceso “suma de puntos menor que 7”, hay 15 casos favorables al suceso
frente a los 36 casos posibles en los que se puede materializar la experiencia:

3. 15 5
p(A)  
36 12
+ 1 2 3 4 5 6
1 2 3 4 5 6 7
2 3 4 5 6 7 8
3 4 5 6 7 8 9
4 5 6 7 8 9 10
5 6 7 8 9 10 11
6 7 8 9 10 11 12
6 Un dado está trucado de modo que las probabilidades de obtener las distintas caras son inversamente
proporcionales a los números de éstas. Se pide:
a) La probabilidad de cada una de las caras.
b) La probabilidad de obtener un múltiplo de 3.
Solución:
El espacio muestral de la experiencia es E ={1, 2, 3, 4, 5, 6}
De las condiciones del enunciado las probabilidades de obtener 1, 2,..., 6 son respectivamente:
p p p p p p
p(1)  ; p(2)  ; p(3)  ; p(4)  ; p(5)  ; p(6) 
1 2 3 4 5 6
a) Para calcular dichas probabilidades, se sabe que: p(E) = p(1) + p(2) + p(3) + p(4) + p(5) + p(6), por tanto:
p p p p p p 147p 60
1        1 p 
1 2 3 4 5 6 60 147
con ese valor las probabilidades de obtener las distintas caras del dado son:
60 30 20 15 12 10
p(1)  ; p(2)  ; p(3)  ; p(4)  ; p(5)  ; p(6) 
147 147 147 147 147 147
b) El suceso A “obtener un múltiplo de 3”, viene dado por los sucesos elementales A = {3, 6}, por tanto:
20 10 30 10
p(A)  p(3)  p(6)    
147 147 147 49
7 Se ha tirado una moneda de forma que la probabilidad de obtener cara es triple que la probabilidad de
obtener cruz. ¿Cuál es la probabilidad de cada suceso elemental?
Solución:
Sean C el suceso obtener cara y X el suceso obtener cruz.
Si p(X) = p, entonces p(C) = 3p
Los sucesos C y X son contrarios, por tanto p(X) = 1 - p(C) por tanto:
1 3
p  1 3p  4p  1  p   p(X)  p(C) 
4 4
Las probabilidades de los sucesos elementales son p(X) = 0,25 y p(C) = 0,75.
8 Halla la probabilidad de un suceso, sabiendo que la suma de su probabilidad y la del cuadrado de la
probabilidad del suceso contrario es 5/9.
Solución:

4. Sean:
_
A y A
el suceso y su contrario. Sean:
_
p(A)  p y p(A )  1  p
sus probabilidades,de las condiciones del enunciado, se puede establecer la ecuación:
5 5 1 2
p (1 - p)2   p 2  1  2 p p 2   9 p 2  9 p  2  0  p  ; p 
9 9 3 3
Hay pues dos soluciones: p(A) = 1/3 y p(A) = 2/3.
9 Se lanzan dos dados. Sea A el suceso “la diferencia de puntos obtenidos en los dos dados es 2” y B el
suceso “obtener al menos un 6”. Halla la probabilidad del suceso AB.
Solución:
El espacio muestral de la experiencia en el lanzamiento de un dado es E = {(x,y) siendo 0  x,y 6}
Por tanto la experiencia tiene 66 = 36 sucesos elementales.
El suceso A, “la diferencia de puntos igual 2” viene determinado por los 8 sucesos elementales siguientes:
A = {(1,3); (2,4); (3,5); (4,6); (3,1); (4,2); (5,3); (6,4)}
El suceso B, “obtener al menos un 6” viene determinado por los 11 sucesos elementales siguientes:
B = {(1,6); (2,6); (3,6); (4,6); (5,6); (6,6); (6,5); (6,4); (6,3); (6,2); (6,1)}
El suceso AB = {(4,6); (6,4)} está formado por 2 sucesos elementales, por tanto:
8 11 2 17
p(A B)  p(A)  p(B)  p(A B)    
36 36 36 36
10 Se ha comprobado que en una ciudad están enfermos con diarrea el 60% de los niños, con sarampión el
50% y con ambas enfermedades un 20%. Se pide:
a) Calcula la probabilidad de que un niño elegido al azar, esté enfermo con diarrea o sarampión o ambas
enfermedades.
b) En un colegio con 450 niños, ¿cuántos cabe esperar que estén enfermos con ambas enfermedades?
Solución:
Sea D el suceso un niño está enfermo con diarrea; S el suceso un niño está enfermo con sarampión.
El suceso DS, describe el suceso un niño padece las dos enfermedades.
El suceso DS, describe el suceso un niño padece diarrea o sarampión o ambas enfermedades.
a) De las condiciones del enunciado, se sabe que p(D) = 0,6; p(S) = 0,5 y p(DS) = 0,2, por tanto:
p(DS) = p(D) + p(S) - p(DS) = 0,6 + 0,5 - 0,2 = 0,9
b) La anterior probabilidad expresa el tanto por uno, de niños enfermos con alguna o las dos enfermedades, por
tanto si en el colegió hay 450 niños, el número de niños que padecen alguna de las dos enfermedades, será
N = 450 p(DS) = 4500,9 = 405 niños.
11 Sea U = {a1, a2, a3} el espacio de sucesos elementales de un experimento aleatorio. Ver cuáles de las
funciones siguientes definen una función de probabilidad:

5. pa1   ; pa 2   ; pa 3  
1 1 1
pa1   ; pa 2    ; pa 3  
3 1 1
2 3 6 4 4 4
a) b)
pa1   ; pa 2   ; pa 3  
2 1 1
pa1   ; pa 2   0; pa 3  
1 1
2 2 3 3 3
c) d)
Solución:
a) p es una probabilidad ya que las probabilidades de los sucesos elementales son números comprendidos entre 0
y 1, y la suma de todas ellas es la unidad.
b) p no es una probabilidad ya que p(a2) < 0
c) p no es una probabilidad, pues un suceso elemental no puede tener probabilidad nula.
d) p no es una probabilidad ya que, las probabilidades de los sucesos elementales son números comprendidos
entre 0 y 1 pero la suma de las probabilidades de los sucesos elementales no es la unidad, en efecto:
pa1   pa 2   pa3  
2 1 1 4
   1
3 3 3 3
12 Un experimento aleatorio consiste en extraer una bola de una urna que contiene una bola azul, dos blancas
y tres rojas. Sea E = {a, b, c} el correspondiente espacio muestral y S el espacio de sucesos asociado. Se
define una función p sobre S del siguiente modo: p() = 0.
pa  ; p   ; pc  ; pa,b  ; pa,c  ; p c  ; pE  1
1 1 1 1 2 5
b b,
6 3 2 2 3 6
Demuestra que p es una probabilidad.
Solución:
Para probar que la función p, definida sobre el espacio S de sucesos es una probabilidad, debe verificar los tres
axiomas siguientes:
Ax-1: p() = 0
Ax-2: p(E) = 1
Ax-3: Si A,BS son tales que AB = , entonces p(AB) = p(A) + p(B)
Veamos si se verifican.
Ax-1: p() = 0, se verifica por la definición de p
Ax-2: p(E) = 1, se verifica por la definición de p
Ax-3:
1. Sean A = {a} y B = {b} son tales que AB =  y {a}{b} = {a,b}, se tiene:
pa  pb     pa,b
1 1 1
6 3 2
2. Sean A = {a} y B = {c} son tales que AB =  y {a}{c} = {a,c}, se tiene:
pa  pc     pa,c
1 1 2
6 2 3
3. Sean A = {b} y B = {c} son tales que AB =  y {b}{c} = {b,c}, se tiene:

6. pb  pc     pb,c
1 1 5
3 2 6
De lo anterior se sigue que la función p es una probabilidad en S y {E, S, p} es un espacio probabilístico.
13 A un congreso de científicos asisten 100 congresistas. De ellos, 80 hablan francés y 40 inglés. ¿Cuál es la
probabilidad de que dos congresistas elegidos al azar no puedan entenderse?
Solución:
1. Sean F = “un congresista habla francés” y I = “un congresista habla inglés”.
Entonces Card(FI) = Card(F) + Card(I) - Card(FI)  100 = 80 + 40 - Card(FI)
De lo anterior el número de congresistan que hablan francés e inglés es Card(FI) = 20.
El número de congresistas que sólo hablan francés es 80 - 20 = 60
El número de congresistas que sólo hablan inglés es 40 - 20 = 20
El número de congresistas que hablan los dos idiomas es 20.
2. Hallamos la probabilidad aplicando la regla de Laplace:
a) Número de casos favorables. Como hay 60 congresistas que no saben inglés y 20 que no saben francés, el
número de parejas que no se entienden es 6020 = 1200
b) Número de casos posibles. Es el número de parejas que se pueden formar con 100 personas:
100 100  99

 2 
  4950
  2!
Por tanto la probabilidad pedida es:
1200 8
p 
4950 33
14 Se lanza un dado dos veces. Calcula la probabilidad de que en la segunda tirada se obtenga un número
menor que en la primera.
Solución:
La tabla adjunta muestra los posibles resultados del lanzamiento del dado.
De los 36 casos posibles, sólo 15 son favorables al suceso A de obtener
menor puntuación en la 2ª tirada que en la 1ª, por tanto:
pA  
15 5

36 12
2ª tirada
1 2 3 4 5 6
1 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6
1ª 2 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6
ti 3 3,1 3,2 3,3 3,4 3,5 3,6
ra 4 4,1 4,2 4,3 4,4 4,5 4,6
da 5 5,1 5,2 5,3 5,4 5,5 5,6
6 6,1 6,2 6,3 6,4 6,5 6,6
15 Un dado está trucado de modo que la probabilidad de obtener las distintas caras es directamente
proporcional a los números de éstas. Se pide:

7. a) La probabilidad de cada una de las caras.
b) La probabilidad de sacar un número par.
Solución:
a) Sea E = {1, 2, 3, 4, 5, 6} el espacio muestral, cuyos sucesos elementales son incompatibles.
Siendo E el suceso seguro, se tiene p(E) = p(1) + p(2) + p(3) + p(4) + p(5) + p(6)
Si p(1) = p, se tiene para los restantes sucesos: p(2) = 2p; p(3) = 3p; p(4) = 4p; p(5) = 5p; p(6) = 6p son las
probabilidades de obtener las distintas caras del dado, siendo p tal que:
1
p(E)  1  1  p 2 p 3 p 4 p 5 p 6 p  21p  1  p 
21
Con dicho valor de p, las probabilidades de las caras, son conocidas y valen respectivamente:
1 2 3 4 5 6
p(1)  ; p(2)  ; p(2)  ; p(4)  ; p(5)  ; p(6) 
21 21 21 21 21 21
b) El suceso obtener un número par es A = {2, 4, 6}, por tanto su probabilidad es:
2 4 6 12 4
p(A)  p(2)  p(4)  p(6)     
21 21 21 21 7
16 Halla la probabilidad de que al colocar sucesivamente, al azar, fichas numeradas de 0 a 9, se obtenga:
a) Un número par. b) Un múltiplo de 5.
Solución:
Los casos posibles para los dos supuestos son:
P10  10!
a) Para que un número sea par, debe de terminar en 0, 2, 4, 6 y 8.
Luego los casos favorables son:
5  P9  5  9!
,
por tanto:
5  9! 5  9!
pnúmero par 
1
 
10! 10  9! 2
b) Para que un número sea múltiplo de 5, debe de terminar en 0 y 5.
Luego los casos favorables son:
2  P9  2  9!
por tanto:
2  9! 2  9!
pmúltiplode 5 
1
 
10! 10  9! 5
17 Un jugador expresó a Galileo su sorpresa al observar que al jugar con tres dados, la suma 10 aparece con
más frecuencia que la suma 9. Explica el por qué de su sorpresa.
Solución:
De los dos sucesos: A = “sumar 9 al lanzar tres dados” y B = “sumar 10 al lanzar tres dados”, será más frecuente
aquel que tenga mayor probabilidad de ocurrir.

8. El suceso A = “sumar 9 al lanzar tres dados” se puede presentar de las siguientes formas:
P3  6
Sacando 126; lo cual puede ocurrir de formas
P3  6
Sacando 135; lo cual puede ocurrir de formas
PR3  3
2,1
Sacando 144; lo cual puede ocurrir de formas
PR3  3
2,1
Sacando 255; lo cual puede ocurrir de formas
P3  6
Sacando 234; lo cual puede ocurrir de formas
Sacando 333; lo cual sólo puede ocurrir de 1 forma
El suceso B = “sumar 10 al lanzar tres dados”
P3  6
Sacando 136; lo cual puede ocurrir de formas
P3  6
Sacando 145; lo cual puede ocurrir de formas
PR3  3
2,1
Sacando 226; lo cual puede ocurrir de formas
P3  6
Sacando 235; lo cual puede ocurrir de formas
2,1
PR3 3
Sacando 244; lo cual puede ocurrir de formas
2,1
PR3 3
Sacando 334; lo cual puede ocurrir de formas
3
Como el número de casos posibles que se presentan al lanzar tres dados es 6 = 216, se tiene;
6  6  3  3  6  1 25 663633 27
p(A)   ; p(B)    p(B)  p(A)
216 216 216 216
18 Se tiran dos dados. Sea E el suceso “la suma de puntos obtenidos sea impar”. Sea F el suceso “por lo
menos uno de los dos dados, muestre un 1”. Calcula p(EF) y p(EF).
Solución:
La tabla adjunta muestra:
Los casos en los que se presentan los sucesos:
E = “suma de puntos impar”, en total 18
F = “al menos aparece un 1 en uno de los dados”, en total 11 (en negrita)
EF, en total 6 casos (en negrita y con la suma impar)
Teniendo en cuenta que el número de casos posibles es 36, se tiene:
pE F  y pE F  pE  pF  pE F 
6 1 18 11 6 23
   
36 6 36 36 36 36
2ª dado
1 2 3 4 5 6
1 3 5 7
2 3 5 7
1º 3 5 7 9
da 4 5 7 9

9. do 5 7 9 11
6 7 9 11
19 Sean A y B dos sucesos tales que las probabilidades p(A) = a; p(B) = b y p(AB) = c son conocidas.
Obtén en función de a, b y c, las probabilidades siguientes:
 _ _  _ _ _ 
p A B 
  p A B 
  p A B 
 
     
a) b) c)
Solución:
 _ _  ________ 
p A  B   p A  B   1  pA  B  1  c
   
   
a)
 _ _  ________ 
p A  B   p A  B   1  pA   pB  pA  B  1  a b c   1  c  a b
   
   
b)
_  _ _ 
p A  B   p A   pB  p A  B 
     
     
c)
_ 
p A  B 
 
 
Para calcular observamos el gráfico adjunto.
_ 
p A  B   pB  pA  B  b c
 
 
Por tanto se tiene:
_  _ _ 
p A  B   p A   pB  p A  B   1  a b b c   1  a c
     
     