Este documento presenta información sobre distribuciones de probabilidad continua. Explica conceptos como funciones de densidad, intervalos de probabilidad y cálculo de probabilidades para diferentes distribuciones como la normal, uniforme y binomial. Incluye ejemplos y ejercicios resueltos sobre el cálculo de probabilidades para estas distribuciones.
Este documento describe las distribuciones binomial y Poisson. Explica que la distribución binomial modela experimentos con sucesos discretos independientes con probabilidad constante, mientras que la distribución de Poisson se aplica a eventos aleatorios e impredecibles. Proporciona ejemplos y fórmulas para calcular probabilidades usando ambas distribuciones.
Este documento presenta 8 ejercicios de pruebas de hipótesis estadísticas con distribución t de Student. Los ejercicios involucran calcular valores estadísticos, establecer hipótesis nulas e hipótesis alternativas, determinar regiones de rechazo, y llegar a conclusiones basadas en los resultados de las pruebas.
Este documento presenta tres problemas estadísticos relacionados con distribuciones de frecuencia y cálculos estadísticos descriptivos. El primer problema involucra la creación de una tabla de distribución de frecuencia, gráficos y cálculos para un conjunto de datos de puntuaciones. El segundo problema implica hacer lo mismo para datos de porcentajes de palabras agradables. El tercer problema presenta datos de aptitud química y pide crear gráficos y calcular estadísticos descriptivos.
Este documento presenta un tema sobre regresión lineal, prueba de hipótesis y T de student. El objetivo es aplicar estos conceptos estadísticos para resolver problemas relacionados con el comercio exterior. Se incluyen ejemplos y ejercicios para calcular la ecuación de regresión lineal y probar hipótesis sobre los coeficientes y predicciones de la población basados en datos de muestras.
Este documento explica las distribuciones binomial y Poisson. La distribución binomial describe el número de éxitos en una serie de ensayos binarios independientes. La distribución de Poisson describe el número de eventos aleatorios que ocurren en un intervalo de tiempo o espacio, cuando estos eventos ocurren a una tasa constante. El documento proporciona fórmulas, ejemplos y diferencias entre las dos distribuciones, destacando que la binomial se aproxima a la Poisson cuando el número de ensayos es grande y la probabilidad de éxito es pequeña.
La distribución de Poisson describe eventos aleatorios donde la probabilidad de que ocurra un evento es pequeña pero el número total de intentos es grande. Se usa para modelar procesos como llamadas telefónicas, llegada de pacientes a hospitales, accidentes viales, y defectos en productos. La distribución depende de un parámetro λ que representa el número promedio de eventos. La probabilidad de x eventos es P(x|λ) = λx e-λ/x!.
Se lleva a cabo un experimento para comparar el desgaste por abrasivo de dos materiales laminados. El material 1 tuvo un desgaste promedio de 85 unidades y el material 2 de 81 unidades. Usando una prueba t de Student con un nivel de significancia del 0.05, no se puede concluir que el desgaste del material 1 exceda el del material 2 en más de 2 unidades.
Este documento introduce el tema de las sumatorias y proporciona su definición, propiedades y ejemplos notables. Explica cómo Carl Gauss resolvió un problema de sumatoria de forma ingeniosa cuando era niño y presenta la fórmula general para sumar los primeros n números naturales. También incluye secciones sobre sumatorias resueltas y propuestas para ejercitar el tema.
Este documento describe las distribuciones binomial y Poisson. Explica que la distribución binomial modela experimentos con sucesos discretos independientes con probabilidad constante, mientras que la distribución de Poisson se aplica a eventos aleatorios e impredecibles. Proporciona ejemplos y fórmulas para calcular probabilidades usando ambas distribuciones.
Este documento presenta 8 ejercicios de pruebas de hipótesis estadísticas con distribución t de Student. Los ejercicios involucran calcular valores estadísticos, establecer hipótesis nulas e hipótesis alternativas, determinar regiones de rechazo, y llegar a conclusiones basadas en los resultados de las pruebas.
Este documento presenta tres problemas estadísticos relacionados con distribuciones de frecuencia y cálculos estadísticos descriptivos. El primer problema involucra la creación de una tabla de distribución de frecuencia, gráficos y cálculos para un conjunto de datos de puntuaciones. El segundo problema implica hacer lo mismo para datos de porcentajes de palabras agradables. El tercer problema presenta datos de aptitud química y pide crear gráficos y calcular estadísticos descriptivos.
Este documento presenta un tema sobre regresión lineal, prueba de hipótesis y T de student. El objetivo es aplicar estos conceptos estadísticos para resolver problemas relacionados con el comercio exterior. Se incluyen ejemplos y ejercicios para calcular la ecuación de regresión lineal y probar hipótesis sobre los coeficientes y predicciones de la población basados en datos de muestras.
Este documento explica las distribuciones binomial y Poisson. La distribución binomial describe el número de éxitos en una serie de ensayos binarios independientes. La distribución de Poisson describe el número de eventos aleatorios que ocurren en un intervalo de tiempo o espacio, cuando estos eventos ocurren a una tasa constante. El documento proporciona fórmulas, ejemplos y diferencias entre las dos distribuciones, destacando que la binomial se aproxima a la Poisson cuando el número de ensayos es grande y la probabilidad de éxito es pequeña.
La distribución de Poisson describe eventos aleatorios donde la probabilidad de que ocurra un evento es pequeña pero el número total de intentos es grande. Se usa para modelar procesos como llamadas telefónicas, llegada de pacientes a hospitales, accidentes viales, y defectos en productos. La distribución depende de un parámetro λ que representa el número promedio de eventos. La probabilidad de x eventos es P(x|λ) = λx e-λ/x!.
Se lleva a cabo un experimento para comparar el desgaste por abrasivo de dos materiales laminados. El material 1 tuvo un desgaste promedio de 85 unidades y el material 2 de 81 unidades. Usando una prueba t de Student con un nivel de significancia del 0.05, no se puede concluir que el desgaste del material 1 exceda el del material 2 en más de 2 unidades.
Este documento introduce el tema de las sumatorias y proporciona su definición, propiedades y ejemplos notables. Explica cómo Carl Gauss resolvió un problema de sumatoria de forma ingeniosa cuando era niño y presenta la fórmula general para sumar los primeros n números naturales. También incluye secciones sobre sumatorias resueltas y propuestas para ejercitar el tema.
Este documento presenta 17 ejercicios de estadística sobre distribuciones muestrales. Los ejercicios cubren conceptos como distribución muestral, error estándar, teorema del límite central y probabilidades asociadas a diferentes distribuciones y tamaños de muestra. Los ejercicios piden calcular valores estadísticos e interpretar resultados para diferentes conjuntos de datos.
Formulas de estadistica y probabilidadesederelreyrata
Este documento proporciona fórmulas para calcular estadísticas descriptivas como la frecuencia relativa, punto medio, número de intervalos, amplitud de intervalos, media, mediana, moda, cuartiles, deciles, percentiles, varianza, covarianza, coeficiente de correlación, ecuación de regresión lineal, curtosis, sesgo y asimetría.
Este documento presenta varios ejercicios sobre distribuciones de probabilidad como la binomial, hipergeométrica y de Poisson. En el primer ejercicio se calcula la probabilidad de obtener cuatro pernos en buen estado de una muestra de 20 pernos. En el segundo ejercicio se calculan probabilidades relacionadas a infracciones de tránsito. El tercer ejercicio calcula probabilidades para un examen de opción múltiple.
Este documento describe diferentes medidas de dispersión para analizar la variabilidad de los datos en una distribución estadística. Explica medidas absolutas como el recorrido, desviación media, varianza y desviación estándar, y medidas relativas como el coeficiente de apertura, recorrido relativo y coeficiente de variación. También cubre conceptos como asimetría y puntuaciones Z para comparar observaciones en relación a la media de una distribución.
El documento define conceptos básicos relacionados con variables aleatorias, incluyendo la diferencia entre variables aleatorias discretas y continuas. Explica cómo calcular la función de probabilidad, función de distribución, esperanza matemática, varianza y desviación típica para variables aleatorias discretas y cómo definir la función de densidad de probabilidad para variables continuas. También presenta ejemplos comunes de distribuciones de probabilidad como la uniforme, normal y exponencial.
El documento presenta 13 problemas de probabilidad que involucran la distribución hipergeométrica. Cada problema proporciona datos como el tamaño total de la población (N), la cantidad de elementos con una característica deseada (m), el tamaño de la muestra extraída (n) y la cantidad de elementos en la muestra con dicha característica (k). Luego se calcula la probabilidad de k usando la fórmula de la distribución hipergeométrica y se interpretan los resultados.
Este documento presenta información sobre transformaciones lineales, el método de Gauss-Jordan para resolver sistemas de ecuaciones lineales, y conceptos como núcleo, rango y nulidad. Explica que una transformación lineal preserva las operaciones de suma y multiplicación escalar, y que el núcleo de una transformación es el conjunto de vectores cuya imagen es el vector nulo. También describe el método de Gauss-Jordan y cómo se puede usar para encontrar la forma escalonada de una matriz y resolver sistemas de ecuaciones. Finalmente, define rango, nulidad y
The document contains a table with critical values of the F distribution for a significance level of 0.05. The table lists the critical values of the F distribution based on the degrees of freedom of the numerator and denominator. It shows critical values for numerator degrees of freedom ranging from 1 to 30 and denominator degrees of freedom ranging from 1 to infinity.
El coeficiente de correlación de Spearman mide la relación lineal entre dos variables medidas a nivel ordinal, mientras que el coeficiente de Pearson se usa para variables de nivel de intervalo o razón. El coeficiente de Spearman convierte cualquier variable de nivel de intervalo a ordinal antes del análisis. Determina si existe una relación lineal entre las variables que no sea debida al azar.
Este documento explica la distribución T de Student, que se utiliza para estimar la media de una población cuando el tamaño de la muestra es pequeño. Describe que la distribución T de Student tiene forma de campana, es simétrica alrededor de la media y tiene una varianza mayor que 1. También proporciona ejemplos de cómo usar tablas de distribución T de Student para encontrar valores críticos con diferentes grados de libertad y áreas bajo la curva.
Este documento presenta varios problemas relacionados con límites y continuidad de funciones de varias variables. Se analizan funciones para determinar si son acotadas, se calculan dominios e imágenes, límites radiales y reiterados, y se estudia la continuidad de diversas funciones en diferentes puntos.
Este documento presenta los conceptos de cuartiles, deciles y percentiles, que son medidas estadísticas de posición que dividen una distribución de datos en partes iguales. Los cuartiles dividen los datos en cuatro partes, los deciles en diez partes y los percentiles en cien partes. Explica cómo se calculan estos valores para datos agrupados y no agrupados.
Este documento presenta conceptos sobre el círculo unitario y las funciones trigonométricas de números reales. Introduce el círculo unitario como el conjunto de puntos a una distancia de 1 del origen y muestra ejemplos de puntos en este círculo. Luego define las seis funciones trigonométricas (seno, coseno, tangente, cotangente, cosecante y secante) en términos de puntos en el círculo unitario determinados por números reales. Finalmente, discute propiedades como las funciones pares
CRITERIOS DE LA PRIMERA Y LA SEGUNDA DERIVADAinnovalabcun
Este documento describe criterios para identificar máximos, mínimos y puntos de inflexión en funciones derivables. Explica que el criterio de la primera derivada se usa para determinar cambios de signo en la derivada, mientras que el criterio de la segunda derivada permite verificar máximos y mínimos evaluando la segunda derivada en puntos críticos. También incluye un ejemplo para ilustrar el uso de ambos criterios.
El documento describe el proceso de regresión polinomial, que permite ajustar curvas polinomiales en lugar de líneas rectas a datos científicos. Explica que la regresión polinomial extiende el método de mínimos cuadrados para ajustar datos a polinomios de grado m, y resuelve un sistema de ecuaciones lineales para determinar los coeficientes del polinomio. Además, calcula el error estándar y coeficiente de determinación para evaluar el ajuste.
Este documento describe el procedimiento de ajuste polinomial de curvas, donde se usan sistemas de ecuaciones lineales para encontrar una función polinomial que pase por un conjunto de puntos de datos en el plano. Explica que para n puntos de datos se puede ajustar un polinomio de grado n-1, y que sustituyendo los puntos en la función polinomial genera un sistema de ecuaciones lineales que al resolver determina los coeficientes del polinomio. Incluye un ejemplo para ilustrar el proceso.
La prueba chi-cuadrado determina si dos variables están relacionadas. Se formula una hipótesis nula de independencia y una alternativa de dependencia. Se calculan frecuencias esperadas y el estadístico chi-cuadrado, y se compara con un valor crítico para aceptar o rechazar la hipótesis nula de independencia.
Cambio de variables de las integrales multipleswalterabel03
Libro de calculo de varias variables con aplicaciones de integrales dobles y triples para la ingenierias industrial civil mecanicos, con aplicaciones sencillas que permitan se de facil comprecion para el estudiante, aqui les dejo una parte de los ejercicios donde consta las integrales triples y dobles y sus aplicaciones, espero que sea de su agrado
Este documento describe dos métodos para generar números aleatorios con una distribución triangular: el método de la transformación inversa y el método de composición. El método de la transformación inversa utiliza la función de distribución acumulativa triangular para mapear números aleatorios uniformes a números aleatorios con una distribución triangular. El método de composición divide la distribución triangular en dos regiones y asigna distribuciones uniformes separadas a cada región.
La distribución triangular tiene 3 parámetros (a, b, c) que representan el límite inferior, el modo y el límite superior. La función de densidad y distribución acumulada asumen diferentes formas dependiendo de si el valor está entre a y b, o entre b y c. La media es (a+b+c)/3 y la varianza depende de los parámetros.
Este documento presenta 17 ejercicios de estadística sobre distribuciones muestrales. Los ejercicios cubren conceptos como distribución muestral, error estándar, teorema del límite central y probabilidades asociadas a diferentes distribuciones y tamaños de muestra. Los ejercicios piden calcular valores estadísticos e interpretar resultados para diferentes conjuntos de datos.
Formulas de estadistica y probabilidadesederelreyrata
Este documento proporciona fórmulas para calcular estadísticas descriptivas como la frecuencia relativa, punto medio, número de intervalos, amplitud de intervalos, media, mediana, moda, cuartiles, deciles, percentiles, varianza, covarianza, coeficiente de correlación, ecuación de regresión lineal, curtosis, sesgo y asimetría.
Este documento presenta varios ejercicios sobre distribuciones de probabilidad como la binomial, hipergeométrica y de Poisson. En el primer ejercicio se calcula la probabilidad de obtener cuatro pernos en buen estado de una muestra de 20 pernos. En el segundo ejercicio se calculan probabilidades relacionadas a infracciones de tránsito. El tercer ejercicio calcula probabilidades para un examen de opción múltiple.
Este documento describe diferentes medidas de dispersión para analizar la variabilidad de los datos en una distribución estadística. Explica medidas absolutas como el recorrido, desviación media, varianza y desviación estándar, y medidas relativas como el coeficiente de apertura, recorrido relativo y coeficiente de variación. También cubre conceptos como asimetría y puntuaciones Z para comparar observaciones en relación a la media de una distribución.
El documento define conceptos básicos relacionados con variables aleatorias, incluyendo la diferencia entre variables aleatorias discretas y continuas. Explica cómo calcular la función de probabilidad, función de distribución, esperanza matemática, varianza y desviación típica para variables aleatorias discretas y cómo definir la función de densidad de probabilidad para variables continuas. También presenta ejemplos comunes de distribuciones de probabilidad como la uniforme, normal y exponencial.
El documento presenta 13 problemas de probabilidad que involucran la distribución hipergeométrica. Cada problema proporciona datos como el tamaño total de la población (N), la cantidad de elementos con una característica deseada (m), el tamaño de la muestra extraída (n) y la cantidad de elementos en la muestra con dicha característica (k). Luego se calcula la probabilidad de k usando la fórmula de la distribución hipergeométrica y se interpretan los resultados.
Este documento presenta información sobre transformaciones lineales, el método de Gauss-Jordan para resolver sistemas de ecuaciones lineales, y conceptos como núcleo, rango y nulidad. Explica que una transformación lineal preserva las operaciones de suma y multiplicación escalar, y que el núcleo de una transformación es el conjunto de vectores cuya imagen es el vector nulo. También describe el método de Gauss-Jordan y cómo se puede usar para encontrar la forma escalonada de una matriz y resolver sistemas de ecuaciones. Finalmente, define rango, nulidad y
The document contains a table with critical values of the F distribution for a significance level of 0.05. The table lists the critical values of the F distribution based on the degrees of freedom of the numerator and denominator. It shows critical values for numerator degrees of freedom ranging from 1 to 30 and denominator degrees of freedom ranging from 1 to infinity.
El coeficiente de correlación de Spearman mide la relación lineal entre dos variables medidas a nivel ordinal, mientras que el coeficiente de Pearson se usa para variables de nivel de intervalo o razón. El coeficiente de Spearman convierte cualquier variable de nivel de intervalo a ordinal antes del análisis. Determina si existe una relación lineal entre las variables que no sea debida al azar.
Este documento explica la distribución T de Student, que se utiliza para estimar la media de una población cuando el tamaño de la muestra es pequeño. Describe que la distribución T de Student tiene forma de campana, es simétrica alrededor de la media y tiene una varianza mayor que 1. También proporciona ejemplos de cómo usar tablas de distribución T de Student para encontrar valores críticos con diferentes grados de libertad y áreas bajo la curva.
Este documento presenta varios problemas relacionados con límites y continuidad de funciones de varias variables. Se analizan funciones para determinar si son acotadas, se calculan dominios e imágenes, límites radiales y reiterados, y se estudia la continuidad de diversas funciones en diferentes puntos.
Este documento presenta los conceptos de cuartiles, deciles y percentiles, que son medidas estadísticas de posición que dividen una distribución de datos en partes iguales. Los cuartiles dividen los datos en cuatro partes, los deciles en diez partes y los percentiles en cien partes. Explica cómo se calculan estos valores para datos agrupados y no agrupados.
Este documento presenta conceptos sobre el círculo unitario y las funciones trigonométricas de números reales. Introduce el círculo unitario como el conjunto de puntos a una distancia de 1 del origen y muestra ejemplos de puntos en este círculo. Luego define las seis funciones trigonométricas (seno, coseno, tangente, cotangente, cosecante y secante) en términos de puntos en el círculo unitario determinados por números reales. Finalmente, discute propiedades como las funciones pares
CRITERIOS DE LA PRIMERA Y LA SEGUNDA DERIVADAinnovalabcun
Este documento describe criterios para identificar máximos, mínimos y puntos de inflexión en funciones derivables. Explica que el criterio de la primera derivada se usa para determinar cambios de signo en la derivada, mientras que el criterio de la segunda derivada permite verificar máximos y mínimos evaluando la segunda derivada en puntos críticos. También incluye un ejemplo para ilustrar el uso de ambos criterios.
El documento describe el proceso de regresión polinomial, que permite ajustar curvas polinomiales en lugar de líneas rectas a datos científicos. Explica que la regresión polinomial extiende el método de mínimos cuadrados para ajustar datos a polinomios de grado m, y resuelve un sistema de ecuaciones lineales para determinar los coeficientes del polinomio. Además, calcula el error estándar y coeficiente de determinación para evaluar el ajuste.
Este documento describe el procedimiento de ajuste polinomial de curvas, donde se usan sistemas de ecuaciones lineales para encontrar una función polinomial que pase por un conjunto de puntos de datos en el plano. Explica que para n puntos de datos se puede ajustar un polinomio de grado n-1, y que sustituyendo los puntos en la función polinomial genera un sistema de ecuaciones lineales que al resolver determina los coeficientes del polinomio. Incluye un ejemplo para ilustrar el proceso.
La prueba chi-cuadrado determina si dos variables están relacionadas. Se formula una hipótesis nula de independencia y una alternativa de dependencia. Se calculan frecuencias esperadas y el estadístico chi-cuadrado, y se compara con un valor crítico para aceptar o rechazar la hipótesis nula de independencia.
Cambio de variables de las integrales multipleswalterabel03
Libro de calculo de varias variables con aplicaciones de integrales dobles y triples para la ingenierias industrial civil mecanicos, con aplicaciones sencillas que permitan se de facil comprecion para el estudiante, aqui les dejo una parte de los ejercicios donde consta las integrales triples y dobles y sus aplicaciones, espero que sea de su agrado
Este documento describe dos métodos para generar números aleatorios con una distribución triangular: el método de la transformación inversa y el método de composición. El método de la transformación inversa utiliza la función de distribución acumulativa triangular para mapear números aleatorios uniformes a números aleatorios con una distribución triangular. El método de composición divide la distribución triangular en dos regiones y asigna distribuciones uniformes separadas a cada región.
La distribución triangular tiene 3 parámetros (a, b, c) que representan el límite inferior, el modo y el límite superior. La función de densidad y distribución acumulada asumen diferentes formas dependiendo de si el valor está entre a y b, o entre b y c. La media es (a+b+c)/3 y la varianza depende de los parámetros.
Este documento describe las distribuciones de probabilidad discretas y la distribución normal. Explica que una distribución de probabilidad asigna probabilidades a los posibles valores de una variable aleatoria, y que la función de distribución acumula estas probabilidades. Luego detalla cómo calcular la media, varianza y otros parámetros de una distribución discreta. Finalmente, introduce la distribución normal, su forma de campana y cómo depende de la media y desviación estándar. Incluye ejemplos sobre el cálculo de probabilidades usando estas distribuciones.
La fotografía presenta un paisaje industrial localizado en una zona costera llana junto a una bahía. Se trata probablemente de una refinería u otra industria petroquímica dependiente de las refinerías, ubicada en una localización costera española con buen acceso marítimo a las materias primas. La industria es una instalación aislada y pesada de base, posiblemente petroquímica, que genera problemas medioambientales pero tiene perspectivas de futuro favorables si incorpora tecnologías limpias.
Este documento describe las características y tipos de cable de par trenzado, incluyendo UTP, STP y ScTP. Explica las categorías de cable trenzado y sus especificaciones, así como los conectores RJ-45 y paneles de parcheo. Finalmente, cubre aspectos del montaje de cable de par trenzado.
Este documento presenta información sobre conceptos básicos de cableado estructurado, incluyendo componentes, herramientas y elementos de soporte. Explica los fundamentos del cableado horizontal y vertical, así como las pruebas y documentación requeridas. El objetivo es que los estudiantes aprendan sobre este tema fundamental de las redes de comunicaciones.
Cinco ejemplos de aplicación de las distribuciones de probabilidad.leonardo19940511
Este documento presenta ejemplos de las principales distribuciones de probabilidad: Bernoulli, binomial, Poisson y normal. Incluye 5 ejemplos para cada distribución ilustrando cómo calcular la probabilidad de diferentes eventos. Por ejemplo, calcula la probabilidad de obtener determinados resultados al lanzar una moneda o sacar boletos de una urna usando la distribución de Bernoulli o binomial.
El documento presenta una serie de ejercicios estadísticos relacionados con cálculos de medidas de tendencia central, dispersión y probabilidad. Los ejercicios involucran el cálculo de media, moda, mediana, varianza, desviación estándar y probabilidades para diferentes conjuntos de datos.
Este documento presenta la resolución de 6 problemas relacionados con distribuciones de probabilidad. En el primer problema se resume un caso sobre el funcionamiento de una máquina de refrescos y se concluye que la decisión tomada fue razonable. Los problemas 2 a 5 involucran el cálculo de probabilidades utilizando distribuciones normales y chi cuadrado. El sexto problema pide encontrar valores críticos de chi cuadrado para diferentes niveles de significancia.
Este documento presenta 20 ejercicios de estadística sobre probabilidad bajo curva normal estándar. Los ejercicios involucran calcular probabilidades utilizando distribuciones normales estándares, donde se proporcionan los valores de la media y la desviación estándar. El documento también presenta ejercicios sobre probabilidad estándar, cuartiles, varianza y desviación estándar, y coeficiente de variación.
Distribuciones de probabilidad con ejemplosamy Lopez
Este documento describe varias distribuciones de probabilidad comunes como la distribución de Bernoulli, binomial, Poisson y normal. Explica las características y fórmulas de cada distribución y proporciona ejemplos numéricos para ilustrar su aplicación.
Este documento trata sobre distribuciones de probabilidad. Explica cómo calcular las probabilidades de diferentes resultados al lanzar monedas o dados. También cubre conceptos como la media, desviación típica y funciones de densidad de probabilidad para diferentes distribuciones como la binomial y normal. Finalmente, proporciona ejemplos numéricos de cómo calcular probabilidades para estas distribuciones.
Este documento presenta varios problemas de probabilidad y estadística. En el primer problema, se calcula la probabilidad de que a lo más uno de seis personas prefiera la opción A y la probabilidad de que al menos tres personas prefieran A. El segundo problema involucra el cálculo de probabilidades asociadas con el número defectuoso de tarjetas de circuito en una muestra. El tercer problema determina la probabilidad de que exactamente dos de diez teléfonos deban reemplazarse dentro del período de garantía.
El documento presenta varios problemas de probabilidad y estadística resueltos. En el primer problema, se calcula la probabilidad de que a lo más uno de seis personas prefiera la opción A y la probabilidad de que al menos tres personas prefieran A. En el segundo problema, se analiza la probabilidad de obtener un número defectuoso de tarjetas de circuito en muestras de 25 tarjetas.
El documento presenta varios problemas de probabilidad y estadística resueltos. En el primer problema, se calcula la probabilidad de que a lo más uno de seis personas prefiera la opción A y la probabilidad de que al menos tres personas prefieran A. En el segundo problema, se analiza la probabilidad de obtener un número defectuoso de tarjetas de circuito en muestras de 25 tarjetas.
El documento describe un experimento que simula el recorrido de un perdigón lanzado por un aparato de Galton. Se lanza una moneda 7 veces y según salga cara o cruz el perdigón se desplaza a la derecha o izquierda. El número de casilla en la que cae depende del número total de caras obtenidas. Se explica que hay más perdigones en las casillas centrales debido a que hay más formas posibles de combinar las secuencias de lanzamientos que dan ese resultado.
Este documento presenta 16 problemas relacionados con distribuciones de probabilidad binomial, Poisson y normal. Los problemas cubren conceptos como probabilidades, valores esperados, desviaciones estándar y porcentajes asociados con diferentes rangos de valores para estas distribuciones.
Este documento presenta 16 problemas relacionados con distribuciones de probabilidad binomial, Poisson y normal. Los problemas cubren conceptos como probabilidades, valores esperados, desviaciones estándar y porcentajes asociados con diferentes rangos de valores de estas distribuciones.
Este documento presenta varios ejercicios sobre distribuciones de probabilidad como la binomial, Poisson, normal y Weibull. En los ejercicios se piden calcular probabilidades, medias, desviaciones estándaras y áreas bajo la curva para diferentes distribuciones.
Este documento presenta ejemplos de distribuciones de probabilidad discretas como la distribución de Bernoulli, binomial y Poisson. Incluye cálculos de probabilidades, medias y varianzas para variables aleatorias con estas distribuciones.
Este documento presenta ejercicios resueltos sobre distribuciones de probabilidad como la distribución de Bernoulli, binomial y Poisson. En el primer ejercicio se analiza una variable aleatoria con distribución de Bernoulli para determinar su media y varianza. El segundo ejercicio involucra variables aleatorias con distribuciones binomiales para calcular probabilidades. El tercer ejercicio calcula probabilidades usando una variable aleatoria con distribución de Poisson.
Este documento contiene un ejercicio de probabilidad y estadística realizado por estudiantes de ingeniería de sistemas de información. En el ejercicio, los estudiantes identifican variables aleatorias discretas y continuas, calculan probabilidades para eventos relacionados con el lanzamiento de un dado y de una moneda, y resuelven problemas sobre distribuciones de probabilidad.
Este documento presenta varios problemas y ejercicios de probabilidad. En primer lugar, pide calcular la probabilidad de obtener diferentes resultados al lanzar dados o extraer bolas de urnas. Luego, presenta un ejercicio que involucra lanzar un dado y una moneda, donde se pide describir el espacio muestral, y calcular la unión y la intersección de diferentes sucesos. Finalmente, define un espacio de sucesos elementales compuesto por tres elementos.
Este documento presenta 10 ejercicios resueltos sobre distribución normal. Los ejercicios involucran calcular probabilidades y áreas bajo la curva para variables aleatorias normales. Se proporcionan valores de media y desviación estándar, y se piden valores como probabilidades de que una variable tome un valor en particular o entre dos valores.
El documento describe varios ejemplos de aplicación de la derivada para resolver problemas relacionados con curvas, tangentes, puntos de inflexión, entre otros. En el primer ejemplo se calculan los ángulos de las tangentes a una curva en diferentes puntos. En el segundo ejemplo se determinan los puntos donde la tangente es paralela a una recta dada. El tercer ejemplo encuentra las ecuaciones de la tangente y normal a una curva en un punto específico.
Este documento presenta un resumen de un curso de probabilidad y estadística dictado por el matemático Jorge Arroba. El curso es para el programa de sistemas de información de la Universidad Central del Ecuador y tiene 6 estudiantes inscritos. El documento incluye fórmulas y ejercicios resueltos sobre probabilidad y estadística.
1) El documento habla sobre variables aleatorias, que son variables cuyos valores numéricos dependen del resultado de un experimento aleatorio. 2) Las variables aleatorias pueden ser discretas o continuas dependiendo de si su conjunto de valores posibles es numerable o no. 3) La distribución de una variable aleatoria discreta viene dada por sus valores posibles y sus probabilidades asociadas, mientras que para una continua se usa la función de densidad.
1) El documento habla sobre variables aleatorias, que son variables cuyos valores numéricos dependen del resultado de un experimento aleatorio. 2) Las variables aleatorias pueden ser discretas o continuas dependiendo de si su conjunto de valores posibles es numerable o no. 3) La distribución de una variable aleatoria discreta viene dada por sus valores posibles y sus probabilidades asociadas, mientras que para una continua se usa la función de densidad.
Este documento describe conceptos relacionados con distribuciones de probabilidad binomial y Poisson. Explica las fórmulas para calcular la probabilidad de éxitos en una distribución binomial y la varianza en distribuciones binomiales y de Poisson. Además, presenta ejemplos numéricos de cálculos de probabilidades para estas distribuciones.
La distribución binomial describe experimentos con los siguientes parámetros: (1) dos resultados posibles llamados éxito y fracaso, (2) una probabilidad fija de éxito p en cada prueba, (3) pruebas independientes, (4) un número fijo de pruebas n. Calcula la probabilidad de obtener k éxitos tras n pruebas. Para n=1 se reduce a una distribución de Bernoulli.
1) El documento presenta varios ejercicios de matemáticas resueltos. Incluye ecuaciones, sistemas de ecuaciones, conjuntos solución e intervalos.
2) Los ejercicios van desde determinar conjuntos solución y rangos hasta calcular pendientes, ecuaciones de rectas y áreas de triángulos.
3) Se resuelven problemas como maximizar expresiones sujetas a restricciones o determinar si funciones son crecientes o decrecientes en ciertos intervalos.
Similar a 11.distribuciones variable continua (20)
Este documento presenta información sobre distribuciones de probabilidad de variables discretas y la distribución binomial. Incluye ejemplos y problemas de probabilidad que involucran lanzar monedas, sacar cartas de una baraja, y otros experimentos aleatorios.
Este documento presenta ejemplos y ejercicios sobre relaciones funcionales y relaciones estadísticas entre variables. Se analizan varios casos para determinar si existe una relación funcional o una correlación, positiva o negativa, entre las variables. También incluye ejemplos y ejercicios para calcular coeficientes de correlación y trazar rectas de regresión en distribuciones bidimensionales.
Este documento presenta varios ejercicios y problemas relacionados con conceptos estadísticos como intervalos, tablas de frecuencias, medidas de tendencia central, medidas de dispersión y diagramas. Se piden calcular parámetros como media, mediana, cuartiles, desviación típica y coeficiente de variación para diferentes conjuntos de datos. También se solicita construir histogramas, polígonos de frecuencias y diagramas de caja para representar gráficamente las distribuciones.
Este documento presenta varios ejemplos de aplicaciones del cálculo de derivadas, incluyendo el cálculo de velocidades y pendientes de tangentes. Se analizan casos como tomar un autobús en movimiento, carreras de relevos y funciones derivadas.
Este documento presenta un resumen de conceptos clave sobre límites de funciones, continuidad y ramas infinitas. Incluye ejemplos de cálculo de límites, determinación de puntos de discontinuidad y representación gráfica de funciones. El documento contiene definiciones, ejercicios propuestos y su resolución para reforzar la comprensión de estos temas fundamentales del cálculo.
5.funciones exponenciales, logaritmicas y trigonometricasfanufe
1. El documento presenta varios problemas de representación gráfica de funciones. Se pide representar gráficamente la función que modela la distancia al suelo de una noria en función del tiempo para cuatro vueltas completas. También se pide representar gráficamente el crecimiento exponencial de una población de amebas en función del tiempo y en función del número de amebas. Por último, se pide representar la desintegración radiactiva de una sustancia en función del tiempo y en función de su peso.
Este documento presenta varios ejercicios y problemas relacionados con funciones elementales. En la primera sección, se pide hallar el dominio de definición de varias funciones racionales y radicales. Luego, se incluyen ejercicios para representar gráficamente funciones dadas por partes y funciones relacionadas con la función valor absoluto y la función parte entera. Finalmente, se proporcionan más ejercicios para practicar el cálculo del dominio de definición.
El resumen del documento es:
1) Tres amigos y sus tres hijos recogieron almendras de un saco en función del número de veces que metieron la mano. Cada padre cogió 45 almendras más que su hijo.
2) Se pide determinar los nombres de los hijos, el número total de almendras y cuántas cogió cada uno resolviendo ecuaciones.
3) La solución es que el hijo de Antonio es José, el de Juan es Julio y el de Pablo es Luis, y el total de almendras fue 1183
Este documento presenta varios ejemplos y ejercicios sobre aumentos y disminuciones porcentuales, intereses compuestos, amortización de préstamos y cálculo de tasas de interés efectivas. Incluye fórmulas para calcular índices de variación, transformaciones de capitales colocados a diferentes tasas de interés y períodos, y pagos para amortizar préstamos.
Este documento presenta información sobre números reales. Explica conceptos como números racionales e irracionales y cómo resolver ecuaciones de segundo grado. También muestra ejemplos de simplificación de raíces y racionalización de fracciones.
Soluciones Examen de Selectividad. Geografía junio 2024 (Convocatoria Ordinar...Juan Martín Martín
Criterios de corrección y soluciones al examen de Geografía de Selectividad (EvAU) Junio de 2024 en Castilla La Mancha.
Soluciones al examen.
Convocatoria Ordinaria.
Examen resuelto de Geografía
conocer el examen de geografía de julio 2024 en:
https://blogdegeografiadejuan.blogspot.com/2024/06/soluciones-examen-de-selectividad.html
http://blogdegeografiadejuan.blogspot.com/
Presentación de proyecto en acuarela moderna verde.pdf
11.distribuciones variable continua
1. Unidad 11. Distribuciones de variable continua
29
Página 263
REFLEXIONA Y RESUELVE
Tiempos de espera 1
Los trenes de una cierta línea de cercanías pasan cada 20 minutos. Cuando lle-
gamos a la estación, ignoramos cuándo pasó el último.
La medida de la probabilidad del tiempo que tendremos que esperar a que pase
el siguiente tren (TIEMPO DE ESPERA) se obtiene con la ayuda de la gráfica adjunta.
Observa que bajo ella hay 100 cuadraditos.
La probabilidad de que tengamos que esperar entre 10 y 16 minutos es del 30%
(30 cuadraditos de un total de 100).
Es decir: P [10 Ì x Ì 16] = 0,30
■ Procediendo de forma similar, halla las siguientes probabilidades e interpreta
lo que significan:
a) P [x Ì 2] b)P [5 Ì x Ì 10]
c) P [x Ì 10] d)P [5 Ì x Ì 6]
a) P [x Ì 2] = = 0,10
La probabilidad de tener que esperar menos de 2 minutos es 0,10 (del 10%).
b) P [5 Ì x Ì 10] = = 0,25
La probabilidad de tener que esperar entre 5 y 10 minutos es del 25%.
c) P [x Ì 10] = = 0,50
La probabilidad de tener que esperar menos de 10 minutos es del 50%.
d) P [5 Ì x Ì 6] = = 0,05
La probabilidad de tener que esperar entre 5 y 6 minutos es del 5%.
5
100
50
100
25
100
10
100
TIEMPO
(en minutos)
0 5 10 15 20
DISTRIBUCIONES DE
VARIABLE CONTINUA11
2. Tiempos de espera 2
El autobús que nos lleva al trabajo es un tanto impuntual. Debe pasar a las 8,
pero puede retrasarse hasta 20 minutos. Sin embargo, es más probable que lle-
gue cerca de las 8 h que cerca de las 8 h y 20 min.
Si llegamos a la parada a las 8 en punto, la gráfica adjunta nos ayuda a calcu-
lar la probabilidad del TIEMPO DE ESPERA.
La probabilidad de que tengamos que esperar entre 10 y 16 minutos es del 21%
(compruébalo).
Es decir: P [10 Ì x Ì 16] = 0,21
■ Halla e interpreta estas probabilidades:
a) P [x Ì 2]
b)P [5 Ì x Ì 10]
c) P [x Ì 10]
d)P [5 Ì x Ì 6]
En total hay 100 cuadraditos (el área total es 100). Así:
a) P [x Ì 2] = = 0,19
La probabilidad de que tengamos que esperar menos de 2 minutos es del 19%.
b) P [5 Ì x Ì 10] = = 0,3125
La probabilidad de que tengamos que esperar entre 5 y 10 minutos es del 31,25%.
c) P [x Ì 10] = = 0,75
La probabilidad de que tengamos que esperar menos de 10 minutos es del 75%.
d) P [5 Ì x Ì 6] = = 0,0725
La probabilidad de que tengamos que esperar entre 5 y 6 minutos es del 7,25%.
(7,5 + 7)/2 · 1
100
(10 + 5)/2 · 10
100
(7,5 + 5)/2 · 5
100
(10 + 9)/2 · 2
100
0 5 10 15 20
TIEMPO
(en minutos)
Unidad 11. Distribuciones de variable continua
30
3. Distribución de edades
Las edades de los habitantes de una población se distribuyen según la gráfica
adjunta (comprueba que bajo esta gráfica también hay, exactamente, 100 cua-
draditos).
Si elegimos al azar un habitante de esa población, la probabilidad de que tenga
entre 15 y 35 años es del 31% (compruébalo):
P [15 Ì x Ì 35] = 0,31
■ Halla las siguientes probabilidades e interpreta lo que significan:
a) P [x Ì 15]
b)P [45 Ì x Ì 65]
c) P [x Ì 80]
d)P [25 Ì x Ì 70]
Contamos los cuadraditos que hay en el intervalo y dividimos por el número total de
cuadraditos (que es 100). Así:
a) P [x Ì 15] = = 0,26
La probabilidad de que un habitante, elegido al azar en esa población, tenga menos
de 15 años es del 26%.
b) P [45 Ì x Ì 65] = = 0,18
La probabilidad de que tenga entre 45 y 65 años es del 18%.
c) P [x Ì 80] = = 0,96
La probabilidad de que tenga menos de 80 años es del 96%.
d) P [25 Ì x Ì 70] = = 0,47
La probabilidad de que tenga entre 25 y 70 años es del 47%.
47
100
96
100
18
100
26
100
0 20 40 60 80 100
AÑOS
Unidad 11. Distribuciones de variable continua
31
11UNIDAD
4. Página 265
1. Calcula k para que f (x) = sea una función de densidad.
Halla las probabilidades:
a) P[4 < x < 6] b)P[2 < x Ì 5] c) P[x = 6] d)P[5 < x Ì 10]
Como el área bajo la curva ha de ser igual a 1, tenemos que:
P[–@ < x < +∞] = P[3 Ì x Ì 8] = 5k = 1 8 k =
a) P[4 < x < 6] = (6 – 4 ) · =
b) P[2 < x Ì 5] = P[3 Ì x Ì 5] = (5 – 3) · =
c) P[x = 6] = 0
d) P[5 < x Ì 10] = P[5 Ì x Ì 8] = (8 – 5) · =
2. Calcula m para que f (x) = sea una función de densidad.
Halla las probabilidades:
a) P[3 < x < 5] b)P[5 Ì x < 7] c) P[4 Ì x Ì 6] d)P[6 Ì x < 11]
El área bajo la curva (área del trapecio señalado) ha de ser igual a 1:
P[–@ < x < +@] = P[3 Ì x Ì 7] = =
= 20m = 1 8 m =
a) P[3 < x < 5] = = =
b) P[5 Ì x < 7] = = =
c) P[4 Ì x Ì 6] = = =
d) P[6 Ì x < 11] = P[6 Ì x Ì 7] = =
13
40
(7/20 + 6/20) · 1
2
1
2
10
20
(6/20 + 4/20) · 2
2
3
5
12
20
(7/20 + 5/20) · 2
2
2
5
8
20
(5/20 + 3/20) · 2
2
3 m
7 m
3 7
Área = 1 1
20
(7m + 3m) · 4
5
mx, x é[3, 7]
0, x è[3, 7]
°
¢
£
3
5
1
5
2
5
1
5
2
5
1
5
1
5
k, x é[3, 8]
0, x è[3, 8]
°
¢
£
Unidad 11. Distribuciones de variable continua
32
5. Página 267
1. En una distribución N (110, 10), calcula:
a) P [x > 110] b)P [110 < x < 120] c) P [110 < x < 130]
d) P [120 < x < 130] e) P [90 < x < 100] f) P [90 < x < 120]
g) P [x < 100]
a) P [x > 110] = 0,5
b) P [110 < x < 120] = = 0,3413
c) P [110 < x < 130] = = 0,4772
d) 0,9544 – 0,6826 = 0,2718
P [120 < x < 130] = = 0,1359
e) Por simetría, igual que el anterior:
P [90 < x < 100] = 0,1359
f) P [90 < x < 120] = 0,6826 + 0,1359 = 0,8185
g) P [x < 100] = = 0,1587
1 – 0,6826
2
0,2718
2
0,9544
2
0,6826
2
Unidad 11. Distribuciones de variable continua
33
11UNIDAD
110
110100 120
1101009080 140130120
110 120 130
68,26%
0,9544
11010090
11010090 120
110100
6. Página 268
1. Calcula las probabilidades de los apartados a), b) y c) del ejercicio resuelto an-
terior. Estima el valor aproximado de las probabilidades d), e) y f ) del mismo
ejercicio.
a) P [x > μ] = 0,5 b) P [ μ < x < μ + 2q] = 0,4772
c) P [x < μ – q] = 0,1587 d) P [x < μ + 0,5q] = 0,6915
e) P [x > μ + 1,75q] = 0,0401 f) P [x + 0,5q < x < μ + 1,75q] = 0,2684
Página 269
1. Halla las siguientes probabilidades:
a) P [z Ì 0,84] b)P [z < 1,5] c) P [z < 2] d)P [z < 1,87]
e) P [z < 2,35] f ) P [z Ì 0] g) P [z < 4] h)P [z = 1]
Mirando directamente la tabla, obtenemos:
a) 0,7996 b) 0,9332 c) 0,9772 d) 0,9693
e) 0,9906 f) 0,5000 g) 1 h) 0
2. Di el valor de k en cada caso:
a) P [z Ì k] = 0,7019 b) P [z < k] = 0,8997
c) P [z Ì k] = 0,5040 d) P [z < k] = 0,7054
a) k = 0,53 b) k = 1,28 c) k = 0,01 d) k = 0,54
3. Di el valor aproximado de k en cada caso:
a) P [z < k] = 0,9533 b)P [z Ì k] = 0,62
a) k ≈ 1,68 b) k ≈ 0,305
Página 270
4. Halla:
a) P [z > 1,3] b)P [z < –1,3] c) P [z > –1,3]
d)P [1,3 < z < 1,96] e) P [–1,96 < z < –1,3] f) P [–1,3 < z < 1,96]
g) P [–1,96 < z < 1,96]
a) P [z > 1,3] = 1 – P [z < 1,3] = 1 – 0,9032 = 0,0968
b) P [z < –1,3] = 0,0968
c) P [z > –1,3] = 1 – 0,0968 = 0,9032
d) P [1,3 < z < 1,96] = 0,9750 – 0,9032 = 0,0718
e) P [–1,96 < z < –1,3] = 0,0718
Unidad 11. Distribuciones de variable continua
34
–1,3 1,30
7. f) P [–1,3 < z < 1,96] = 0,9750 – (1 – 0,9032) = 0,8782
g) P [–1,96 < z < 1,96] = 0,95
5. Halla, a partir de la tabla, las siguientes probabilidades:
a) P [–1 Ì z Ì 1]
b)P [–2 Ì z Ì 2]
c) P [–3 Ì z Ì 3]
d)P [–4 Ì z Ì 4]
a) P [–1 Ì z Ì 1] = 2(P [z Ì 1] – 0,5) = 0,6826
b) P [–2 Ì z Ì 2] = 2(P [z Ì 2] – 0,5) = 0,9544
c) P [–3 Ì z Ì 3] = 0,9974
d) P [–4 Ì z Ì 4] = 1
Página 271
6. En una distribución N (173, 6), halla las siguientes probabilidades:
a) P [x Ì 173] b) P [x Ó 180,5] c) P [174 Ì x Ì 180,5]
d) P [161 Ì x Ì 180,5] e) P [161 Ì x Ì 170] f ) P [x = 174]
g) P [x > 191] h) P [x < 155]
a) P [x Ì 173] = 0,5
b) P [x Ó 180,5] = P z Ó = P [z Ó 1,25] = 1 – 0,8944 = 0,1056
c) P [174 Ì x Ì 180,5] = P [0,17 Ì z Ì 1,25] = 0,3269
d) P [161 Ì x Ì 180,5] = P [–2 Ì z Ì 1,25] = 0,8716
e) P [161 Ì x Ì 170] = P [–2 Ì z Ì –0,5] = 0,2857
f) P [x = 174] = P [z = 0,1667] = 0
g) P [x > 191] = P [z > 3] = 1 – f(3) = 1 – 0,9987 = 0,0013
h) P [x < 155] = P [z < –3] = 1 – f(3) = 0,0013
Página 273
1. Calcula las probabilidades de las siguientes distribuciones binomiales me-
diante aproximación a la normal correspondiente (en todas ellas, ten en
cuenta el ajuste de media unidad que hay que hacer al pasar de una variable
discreta a una continua):
a) x es B (100; 0,1). Calcula P [x = 10], P [x < 2] y P [5 < x < 15].
b) x es B (1 000; 0,02). Calcula P [x > 30] y P [x < 80].
c) x es B(50; 0,9). Calcula P[x > 45] y P[x Ì 30].
]180,5 – 173
6[
Unidad 11. Distribuciones de variable continua
35
11UNIDAD
–1 10
8. a) x es B (100; 0,1) ≈ x' es N (10; 3)
P [x = 10] = P [9,5 < x' < 10,5] = P [–0,17 < z < 0,17] = 0,135
P [x < 2] = P [x' Ì 1,5] = P [z Ì –2,83] = 0,0023
P [5 < x < 15] = P [5,5 Ì x' Ì 14,5] = P [–1,5 Ì z Ì 1,5] = 0,8664
b) x es B (1000; 0,02) ≈ x' es N (20; 4,427)
P [x > 30] = P [x' Ó 30,5] = P [z Ó 2,37] = 0,0089
P [x < 80] = P [x' Ì 79,5] = P [z Ì 13,44] = 1
c) x es B (50; 0,9) = x' es N (45; 2,12)
P [x > 45] = P [x' Ó 45,5] = P [z Ó 0,24] = 0,4052
P [x ≤ 30] = P [x' Ì 30,5] = P [z Ì –6,83] = 0
Página 275
1. La tabla adjunta corresponde a las estaturas de 1 400 chicas. Estudia si es acep-
table considerar que provienen de una distribución normal.
Los parámetros de la distribución estadística son –x = 160,9; q = 6,43.
Formamos la siguiente tabla:
La mayor de las diferencias, 8, en comparación con el total, 1400, es suficientemente
pequeña como para aceptar que la muestra procede de una distribución normal y
que las diferencias son atribuibles al azar.
xi
fi
141
2 25 146 327 428 314 124 29 5
146 151 156 161 166 171 176 181
Unidad 11. Distribuciones de variable continua
36
EXTREMOS EXTREMOS
P[z Ì zk] pk = P[zk Ì z Ì zk+1] 1400 · pk
NÚMEROS NÚMEROS
|DIFER.|
INTERVALOS xk TIPIFICADOS zk TEÓRICOS OBTENIDOS
138,5 –3,48 0,0003 0,0031 4,34 4 2 2
143,5 –2,71 0,0034 0,0234 32,76 33 25 8
148,5 –1,93 0,0268 0,0983 137,62 138 146 8
153,5 –1,15 0,1251 0,2306 322,84 323 327 4
158,5 –0,37 0,3557 0,3034 424,76 425 428 3
163,5 0,41 0,6591 0,2219 310,66 311 314 3
168,5 1,18 0,8810 0,0940 131,60 132 124 8
173,5 1,96 0,9750 0,0219 30,66 31 29 2
178,5 2,74 0,9969 0,0029 4,06 4 5 1
183,5 3,51 0,9998
9. Página 278
EJERCICIOS Y PROBLEMAS PROPUESTOS
Manejo de la tabla N(0, 1)
1 En una distribución N (0, 1), calcula las siguientes probabilidades:
a) P [z = 2] b) P [z Ì 2] c) P [z Ó 2]
d)P [z Ì –2] e) P [z Ó –2] f) P [–2 Ì z Ì 2]
a) P [z = 2] = 0
b) P [z Ì 2] = 0,9772
c) P [z Ó 2] = 1 – 0,9792 = 0,0228
d) P [z Ì –2] = 0,0228
e) P [z Ó –2] = 1 – 0,0228 = 0,9772
f) P [–2 Ì z Ì 2] = 2(P [z Ì 2] – 0,5) = 0,9544
2 En una distribución N (0, 1), calcula:
a) P [z Ì 1,83] b) P [z Ó 0,27]
c) P [z Ì –0,78] d) P [z Ó 2,5]
a) P [z Ì 1,83] = 0,9664 b) P [z Ó 0,27] = 0,3935
c) P [z Ì –0,78] = 0,2177 d) P [z Ó 2,5] = 0,0062
3 En una distribución N (0, 1), calcula las siguientes probabilidades:
a) P [z = 1,6]
b) P [–2,71 Ì z Ì –1,83]
c) P [1,5 Ì z Ì 2,5]
d) P [–1,87 Ì z Ì 1,25]
a) P [z = 1,6] = 0
b) P [–2,71 Ì z Ì –1,83] = P [1,83 Ì z Ì 2,71] = P [z Ì 2,71] – P [z Ì 1,83] = 0,0302
c) P [1,5 Ì z Ì 2,5] = P [z Ì 2,5] – P [z Ì 1,5] = 0,0606
d) P [–1,87 Ì z Ì 1,25] = P [z Ì 1,25] – P [z Ì –1,87] = P [z Ì 1,25] – P [z Ó 1,87] =
= P [z Ì 1,25] – (1 – P [z < 1,87]) = 0,8637
–1,87 1,250
PARA PRACTICAR
Unidad 11. Distribuciones de variable continua
37
11UNIDAD
10. 4 Calcula k en cada uno de los siguientes casos:
a) P [z < k] = 0,8365
b) P [z > k] = 0,8365
c) P [z < k] = 0,1894
a) k = 0,98
b) k = –0,98
c) k = –0,88
Tipificación
5 En un examen tipo test, la media fue de 28 puntos, y la desviación típica, de
10 puntos. Calcula la puntuación tipificada de los alumnos que obtuvieron:
a) 38 puntos.
b)14 puntos.
c) 45 puntos.
d)10 puntos.
μ = 28; q = 10
a) = 1 b) = –1,4
c) = 1,7 d) = –1,8
6 Si en el mismo examen del problema anterior la puntuación tipificada de un
alumno fue 0,8 ¿cuántos puntos obtuvo?
¿Cuántos puntos corresponden a un valor tipificado de –0,2?
0,8 8 0,8 · 10 + 28 = 36
–0,2 8 –0,2 · 10 + 28 = 26
7 Las puntuaciones tipificadas de dos estudiantes fueron 0,8 y –0,4 y sus no-
tas reales fueron 88 y 64 puntos.
¿Cuál es la media y la desviación típica de las puntuaciones del examen?
= 0,8 88 – μ = 0,88q
88 – 0,8q = 64 + 0,4q 8 q = 20; μ = 72
= –0,4 64 – μ = –0,4q
La media es 72, y la desviación típica, 20.
64 – μ
q
88 – μ
q
10 – 28
10
45 – 28
10
14 – 28
10
38 – 28
10
Unidad 11. Distribuciones de variable continua
38
°
§
§
¢
§
§
£
°
§
§
¢
§
§
£
11. Cálculo de probabilidades en N(μ, q)
8 En una distribución N (43, 10), calcula las siguientes probabilidades:
a) P [x Ó 43]
b)P [x Ì 30]
c) P [40 Ì x Ì 55]
d)P [30 Ì x Ì 40]
a) P [x Ó 43] = 0,5
b) P [x Ì 30] = P z Ì = P [z Ì –1,3] = 1 – 0,9032 = 0,0968
c) P [40 Ì x Ì 55] = P Ì z Ì = P [–0,3 Ì z Ì 1,2] = 0,5028
d) P [30 Ì x Ì 40] = P [–1,3 Ì z Ì –0,3] = P [0,3 Ì z Ì 1,3] = P [z Ì 1,3] – P [z Ì 0,3] =
= 0,9032 – 0,6179 = 0,2853
9 En una distribución N (151, 15), calcula:
a) P [x Ì 136]
b) P [120 Ì x Ì 155]
c) P [x Ó 185]
d) P [140 Ì x Ì 160]
a) P [x Ì 136] = P z Ì = P [z Ì –1] = P [z Ì 1] = 1 – P [z < 1] = 0,1587
b) P [120 Ì x Ì 155] = P [2,07 Ì z Ì 0,27] = 0,5873
c) P [x Ó 185] = P [z Ó 2,27] = 0,0116
d) P [140 Ì x Ì 160] = P [–0,73 Ì z Ì 0,6] = 0,5149
10 En una distribución N (22, 5), calcula:
a) P [x Ì 27]
b) P [x Ó 27]
c) P [x Ó 12,5]
d) P [15 Ì x Ì 20]
e) P [17 Ì x Ì 30]
a) P [x Ì 27] = P [z Ì 1] = 0,8413
b) P [x Ó 27] = 0,1587
c) P [x Ó 12,5] = P [z Ì 1,9] = 0,9713
d) P [15 Ì x Ì 20] = P [–1,4 Ì z Ì –0,4] = 0,2638
e) P [17 Ì x Ì 30] = P [–1 Ì z Ì 1,6] = 0,7865
]136 – 151
15[
]55 – 43
10
40 – 43
10[
]30 – 43
10[
Unidad 11. Distribuciones de variable continua
39
11UNIDAD
12. 11 La talla media de los 200 alumnos de un centro escolar es de 165 cm, y la des-
viación típica, de 10 cm.
Si las tallas se distribuyen normalmente, calcula la probabilidad de que un
alumno elegido al azar mida más de 180 cm.
¿Cuántos alumnos puede esperarse que midan más de 180 cm?
x es N (165, 10); n = 200 alumnos
P [x > 180] = P z > = P [z > 1,5] = 1 – 0,9332 = 0,0668
200 · 0,0668 = 13,36 ≈ 13 alumnos
Página 279
12 Los pesos de 2 000 soldados presentan una distribución normal de media
65 kg y desviación típica 8 kg. Calcula la probabilidad de que un soldado ele-
gido al azar pese:
a) Más de 61 kg.
b) Entre 63 y 69 kg.
c) Menos de 70 kg.
d) Más de 75 kg.
x es N (65, 8)
a) P [x > 61] = P z > = P [z > –0,5] = P [z < 0,5] = 0,6915
b) P [63 < x < 69] = P [–0,25 < z < 0,5] = 0,2902
c) P [x < 70] = P [z < 0,625] = 0,7357
d) P [x > 75] = P [z > 1,25] = 1 – P [z Ì 1,25] = 0,1056
13 Para aprobar un examen de ingreso en una escuela, se necesita obtener 50
puntos o más. Por experiencia de años anteriores, sabemos que la distribu-
ción de puntos obtenidos por los alumnos es normal, con media 55 puntos
y desviación típica 10.
a) ¿Qué probabilidad hay de que un alumno apruebe?
b) Si se presentan al examen 400 alumnos, ¿cuántos cabe esperar que ingresen
en esa escuela?
x es N (55, 10)
a) P [x Ó 50] = P [z Ó ]= P [z Ó –0,5] = P [z Ì 0,5] = 0,6915
b) 400 · 0,6915 = 276,6 ≈ 277 alumnos
50 – 55
10
]61 – 65
8[
]180 – 165
10[
Unidad 11. Distribuciones de variable continua
40
13. 14 En una ciudad, las temperaturas máximas diarias durante el mes de julio se
distribuyen normalmente con una media de 26 °C y una desviación típica de
4 °C. ¿Cuántos días se puede esperar que tengan una temperatura máxima
comprendida entre 22 °C y 28 °C?
x es N (26, 4)
P [22 < x < 28] = P [–1 < z < 0,5] = 0,5328
0,5328 · 31 = 16,52 ≈ 17 días
Binomial 8 Normal
15 Si lanzamos un dado mil veces, ¿cuál es la probabilidad de que el número de
cincos obtenidos sea menor que 100?
x es B (1000; 0,1667) 8 x' es N (166,67; 11,79)
P [x < 100] = P [x' Ì 99,5] = P [z Ì –5,70] = 0
16 Una moneda se lanza 400 veces. Calcula la probabilidad de que el número
de caras:
a) Sea mayor que 200. b) Esté entre 180 y 220.
x es B (400; 0,5) 8 x' es N (200, 10)
a) P [x > 200] = P [x' Ó 200,5] = P [z Ó 0,05] = 0,4801
b) P [180 < x < 220] = P [180,5 Ì x' Ì 219,5] = P [–1,95 Ì z Ì 1,95] = 0,9488
17 En un bombo de lotería tenemos 10 bolas idénticas numeradas del 0 al 9, y
cada vez que hacemos la extracción de una bola la devolvemos al bombo.
a) Si sacamos tres bolas, calcula la probabilidad de que el 0 salga una sola
vez.
b) Si hacemos 100 extracciones, calcula la probabilidad de que el 0 salga más
de 12 veces.
a) x es B (3; 0,1)
P [x = 1] = 3 · 0,1 · 0,92 = 0,243
b) x es B (100; 0,1) 8 x' es N (10, 3)
P [x > 12] = P [x' Ó 12,5] = P [z Ó 0,83] = 0,2033
18 El tiempo necesario para que una ambulancia llegue a un centro deportivo
se distribuye según una variable normal de media 17 minutos y desviación
típica 3 minutos. Calcula la probabilidad de que el tiempo de llegada esté
comprendido entre 13 minutos y 21 minutos.
x es N (17, 3)
P [13 < x < 21] = P [–1,33 < z < 1,33] = 0,8164
PARA RESOLVER
Unidad 11. Distribuciones de variable continua
41
11UNIDAD
14. 19 En un estadio deportivo se quieren instalar focos para iluminar el campo de
juego.
El suministrador asegura que el tiempo de vida de los focos es, aproxima-
damente, normal con media de 1 500 horas y desviación típica de 200 horas.
Supongamos que es cierto.
a) Escogiendo uno de los focos al azar, ¿cuál es la probabilidad de que luzca
por lo menos 1 000 horas?
b)Si se decide comprar 1 500 focos, ¿cuántos puede esperarse que luzcan
por lo menos 1 000 horas?
x es N (1500, 200)
a) P [x Ó 1000] = P [z Ó –2,5] = P [z Ì 2,5] = 0,9938
b) 1500 · 0,9938 = 1490,7 ≈ 1491 focos
20 Justifica si pueden ser funciones de densidad las siguientes funciones:
a) f (x) = 0,5 + 0,5x, x é[0, 2]
b) f (x) = 0,5 – x, x é[0, 2]
c) f (x) = 1 – 0,5x, x é[0, 2]
Veamos, en cada caso, si el área encerrada bajo la curva es 1:
a)
Área = = 1,5 8
b) f (2) = –1,5 < 0 8 No puede ser función de densidad, pues tendría que ser
f (x) Ó 0.
c)
8
21 a) Considera la siguiente función:
f (x) =
Calcula el valor de k para que f (x) sea una función de densidad.
b)Halla estas probabilidades:
P[2 < x < 5] y P[4 < x < 6]
0, x < 1
k, 1 Ì x Ì 5
3k, 5 < x Ì 7
0, x > 7
°
§
¢
§
£
0,5
1
1,5
1 2
Sí puede ser fun-
ción de densidad.
°
§
¢
§
£
1 · 2
Área = — = 1
2
f (x) Ó 0
0,5
1
1,5
1,5
1 2
No puede ser fun-
ción de densidad.
1,5 · 2
2
Unidad 11. Distribuciones de variable continua
42
15. a)
El área bajo la curva debe ser 1:
Área = 4k + 2 · 3k = 4k + 6k = 10k = 1 8 k =
b) P [2 < x < 5] = (5 – 2) · = = 0,3
P [4 < x < 6] = P [4 < x < 5] + P [5 < x < 6] = + = = = 0,4
Página 280
22 El número de visitantes que diariamente acuden a una exposición se distri-
buye según una normal N (2 000, 250).
a) Halla la probabilidad de que un día determinado el número de visitantes no
supere los 2 100.
b)Calcula la probabilidad de que un día cualquiera los visitantes sean más
de 1 500.
c) En un mes de treinta días, ¿en cuántos días cabe esperar que el número
de visitantes supere los 2 210?
x ~ N (2000, 250) 8 z ~ N (0, 1)
a) P [x Ì 2100] = P [z Ì 0,4] = 0,6554
b) P [x Ó 1500] = P [z Ó –2] = P [z Ì 2] = 0,9772
c) P [x Ó 2210] = P [z Ó 0,84] = 0,2004
30 · 0,2004 = 6,012 8 6 días
23 La duración de un tipo de pilas eléctricas sigue una distribución normal con
media de 50 horas y desviación típica de 5 horas. Halla la probabilidad de
que, eligiendo una pila al azar, dure entre 40 y 55 horas.
x es N (50, 5)
P [40 < x < 55] = P [–2 < z < 1] = 0,8185
24 La probabilidad de que una jugadora de golf haga hoyo en un lanzamiento
a cierta distancia es 0,2. Si lanzara 1 000 veces y su capacidad de acierto se
mantuviera, ¿qué probabilidad hay de que acierte más de 220 veces?
Se trata de una B(1000; 0,2). La probabilidad la calculamos por aproximación normal:
μ = 1000 · 0,2 = 200; q = = 12,65
x es B (1000; 0,2) 8 x' es N (200; 12,65)
P [x > 220] = P [x' Ó 220,5] = P [z Ó 1,62] = 1 – 0,9474 = 0,0526
√1000 · 0,2 · 0,8
2
5
4
10
3
10
1
10
3
10
1
10
k
3k
1 5 7
1
10
Unidad 11. Distribuciones de variable continua
43
11UNIDAD
16. 25 Una máquina produce tornillos. Sabemos por experiencia que el 4% de ellos
son defectuosos. Se empaquetan automáticamente en cajas de 200 tornillos.
Halla las siguientes probabilidades relativas al número de tornillos defec-
tuosos en una caja tomada al azar:
a) x < 10 b) x > 10 c) x = 8
Se trata de una distribución binomial B(n, p) donde n = 200 y p = 0,002.
Como np > 3 y n(1 – p) > 3, podemos aproximarla a una distancia normal.
B(200; 0,02) 8 N (4; 1,98)
a) P [x < 10] = P [x' < 9,5] = P z < = P [z < 2,78] = 0,9973
b) P [x > 10] = P [x' > 10,5] = P z > = P [z > 3,28] =
= 1 – P [z < 3,28] = 1 – 0,9995 = 0,0005
c) P [x = 8] = P [7,5 < x' < 8,5] = P < z < =
= P [1,77 < z < 2,27] = P [z < 2,27] – P [z > 1,77] =
= P [z < 2,27] – (1 – P [z < 1,77]) =
= 0,9884 – 1 + 0,9616 = 0,95
26 Un centro de enseñanza va a presentar, este curso, 240 alumnos al examen
de selectividad y se sabe que, de ese centro, suele aprobar el 95% de los pre-
sentados. ¿Cuál es la probabilidad de que aprueben:
a) más de 200, b) más de 220,
c) más de 230, d) más de 235 alumnos?
x es B (240; 0,95) 8 x' es N (228; 3,38) 8 z es N (0, 1)
a) P [x > 200] = P [x' Ó 200,5] = P [z Ó –8,13] = 1
b) P [x > 220] = P [x' Ó 220,5] = P [z Ó –2,22] = 0,9868
c) P [x > 230] = P [x' Ó 230,5] = P [z Ó 0,74] = 0,2296
d) P [x > 235] = P [x' Ó 235,5] = P [z Ó 2,22] = 0,0132
27 Un examen tiene 38 preguntas del tipo Verdadero-Falso. El examen se
aprueba si se contestan correctamente al menos 20 preguntas.
Si se responde al azar, halla:
a) La probabilidad de aprobar el examen.
b) La probabilidad de que el número de respuestas correctas esté entre 25 y 30.
x es B (38; 0,5) 8 x' es N (19; 3,08)
a) P [x Ó 20] = P [x' Ó 19,5] = P [z Ó 0,16] = 0,4364
b) P [25 < x < 30] = P [25,5 Ì x' Ì 29,5] = P [2,11 Ì x' Ì 3,41] = 0,0171
]8,5 – 4
1,98
7,5 – 4
1,98[
]10,5 – 4
1,98[
]9,5 – 4
1,98[
Unidad 11. Distribuciones de variable continua
44
17. 28 En las últimas elecciones celebradas en cierto país, la abstención fue del 25%
del censo electoral.
a) Si se seleccionan al azar tres individuos del censo, ¿cuál es la probabili-
dad de que ninguno haya votado?
b)Si se toman al azar 100 miembros del censo, ¿cuál es la probabilidad de
que se hayan abstenido al menos 30?
a) x es B (3; 0,25)
P [x = 3] = 0,253 = 0,0156
b) x es B (100; 0,25) 8 x' es N (25; 4,33)
P [x Ó 30] = P [x' Ó 29,5] = P [z Ó 1,04] = 0,1492
29 Un examen tipo test tiene 50 preguntas y cada pregunta tres respuestas di-
ferentes, solo una de las cuales es correcta.
Para aprobar, hace falta responder correctamente a 25 preguntas; para un
notable, 35; y para un sobresaliente, 45 respuestas.
Un estudiante responde al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que apruebe?
¿Y la de que saque un notable? ¿Y un sobresaliente?
x es B (50; 0,333) 8 x' es N (16,66; 3,33)
P [x Ó 25] = P [x' Ó 24,5] = P [z Ó 2,35] = 0,0094 8 probabilidad de aprobar
P [x Ó 35] = P [x' Ó 34,5] = P [z Ó 5,36] = 0
La probabilidad de sacar notable o sobresaliente es 0.
30 ¿Qué relación guardan dos curvas de la distribución normal que tienen la
misma media y diferente desviación típica?
¿Y si tienen la misma desviación típica y diferente media?
Si tienen la misma media, están centradas en el mismo valor de x; la que tenga
de ellas la menor desviación típica es más “alargada”.
Si tuvieran diferente media pero igual desviación típica, tendrían la misma forma,
salvo que estarían centradas en distinto punto.
31 Se sabe que las notas de un determinado examen siguen una distribución
normal. El 15,87% tiene una nota superior a 7 puntos y el 15,87% una nota
inferior a 5 puntos.
a) ¿Cuál es la media del examen?
b) ¿Qué porcentaje de alumnos tiene una nota entre 6 y 7?
a) Si la proporción de personas que tienen nota superior a 7 es igual a la de las que
tienen nota inferior a 5, la media es 6.
b) 50% – 15,87% = 34,13%
CUESTIONES TEÓRICAS
Unidad 11. Distribuciones de variable continua
45
11UNIDAD
18. Página 281
32 En el proceso de fabricación de una pieza intervienen dos máquinas: la má-
quina A produce un taladro cilíndrico y la máquina B secciona las piezas
con un grosor determinado. Ambos procesos son independientes.
El diámetro del taladro producido por A, en milímetros, es N (23; 0,5).
El grosor producido por B, en centímetros, es N (11,5; 0,4).
a) Calcula qué porcentaje de piezas tienen un taladro comprendido entre
20,5 y 24 mm.
b) Encuentra el porcentaje de piezas que tienen un grosor entre 10,5 y
12,7 mm.
c) Suponiendo que solo son válidas las piezas cuyas medidas son las dadas
en a) y b), calcula qué porcentaje de piezas aceptables se consiguen.
☛ Se supone que las medidas están dadas exactamente.
a) P [20,5 Ì x Ì 24] = P [–5 Ì z Ì 2] = 0,9772 8 97,72%
b) P [10,5 Ì x Ì 12,7] = P [–2,5 Ì z Ì 3] = 0,9925 8 99,25%
c) 0,9772 · 0,9925 = 0,9699 8 96,99%
33 Una vez corregido cierto examen, la calificación media fue 6,5 y la desvia-
ción típica 1,6. El profesor ha decidido que va a calificar con sobresaliente
al 10% de la clase.
¿Cuál es la nota mínima necesaria para obtener el sobresaliente?
N (5,6; 1,6)
P [z Ó k] = 0,1 8 P [z Ì k] = 0,9 8 k = 1,28
1,28 · 1,6 + 6,5 = 8,548. A partir de 8,5, aproximadamente.
34 En un examen de Matemáticas la puntuación media fue 5,8 y la desviación
típica 2,2. Suponiendo que las puntuaciones se distribuyen normalmente,
calcula:
a) La puntuación máxima del 10% más bajo de la clase.
b) La puntuación mínima del 10% superior de la clase.
P [x Ì –k] = 0,1 8 P [x Ì k] = 0,9 8 k = 1,28
a) –1,28 · 2,2 + 5,8 = 2,984 ≈ 3
b) 1,28 · 2,2 + 5,8 = 8,616 ≈ 8,6
PARA PROFUNDIZAR
Unidad 11. Distribuciones de variable continua
46
19. 35 Se han lanzado dos dados 120 veces y se han anotado las sumas de los pun-
tos obtenidos:
¿Se puede rechazar que esta distribución proviene de una normal?
Los resultados que se obtienen al lanzar dos dados y sumar sus puntuaciones son
una distribución de variable discreta que, por supuesto, no es normal. Lo que se
propone en este ejercicio es someter estos datos a la prueba de normalidad como
si no supiéramos de dónde procede.
Sus parámetros son: media = 7,025; desviación típica = 2,43
No se puede rechazar que esta muestra haya sido extraída de una distribución nor-
mal.
EXTREMOS EXTREMOS
P[z Ì zk] pk = P[zk Ì z Ì zk+1] 120 · pk
NÚMEROS NÚMEROS
|DIFER.|
INTERVALOS xk TIPIFICADOS zk TEÓRICOS OBTENIDOS
1,5 –2,27 0,0116 0,0198 2,376 2 3 1
2,5 –1,86 0,0314 0,0421 5,052 5 8 3
3,5 –1,45 0,0735 0,0757 9,084 9 9 0
4,5 –1,04 0,1492 0,1151 13,812 14 11 3
5,5 –0,63 0,2643 0,1486 17,832 18 20 2
6,5 –0,22 0,4129 0,1664 19,968 20 19 1
7,5 0,20 0,5793 0,1498 17,976 18 16 2
8,5 0,61 0,7291 0,1170 14,040 14 13 1
9,5 1,02 0,8461 0,0775 9,300 9 11 2
10,5 1,43 0,9236 0,0435 5,220 5 6 1
11,5 1,84 0,9671 0,0207 2,484 2 4 2
12,5 2,25 0,9878
SUMA
VECES
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
3 8 9 11 20 19 16 13 11 6 4
Unidad 11. Distribuciones de variable continua
47
11UNIDAD
20. AUTOEVALUACIÓN
1. Comprueba que y = – 1, 2 Ì x Ì 4 es una función de densidad. Represénta-
la y calcula:
a) P [x = 3]
b)P [x < 3]
c) P [x > 3,5]
f (x) = – 1, 2 Ì x Ì 4, es una función de densidad (de una distribución estadística
de variable continua) porque:
— Es no negativa (es decir, – 1 Ó 0 en el intervalo [2, 4]), pues para x = 2,
f(2) = · 1 = 0. Y como es creciente se trata de una recta de pendiente , f(x) > 0
para 2 < x Ì 4.
Suponemos que f (x) = 0 fuera del intervalo [2, 4].
— El área bajo la curva es la de un triángulo de base 2 y altura 1. Por tanto, área = 1.
a) P [x < 3] = 0, pues en las distribuciones de variable continua las probabilidades
puntuales son 0.
b) P [x < 3] = , pues es el área de un triángulo
de base 1 y altura .
c) P [x > 3,5]
f (3,5) = – 1 = 0,75
f (4) = 1
Área del trapecio = · (4 – 3,5) = 0,4375
P [x > 3,5] = 0,4375
1 + 0,75
2
3,5
2
1
2
1
4
1
1 2 3 4
)1
2(2
2
x
2
x
2
x
2
Unidad 11. Distribuciones de variable continua
48
3
3,5 4
1
21. 2. Calcula k para que la función
y =
sea función de densidad. Calcula estas probabilidades:
a) P [x = 3] b) P [x < 2] c) P [2 Ì x < 4]
Para que el área sombreada sea 1, la altura del rectángulo ha de ser . Por tanto,
f (x) = 0,25 si 1 Ì x Ì 5, f (x) = 0 en el resto.
a) P [x = 3] = 0 (es una probabilidad puntual).
b) P [x < 2] = 0,25 · 1 = 0,25
c) P [2 Ì x < 4] = 0,25 · 2 = 0,5
3. Si z es N(0, 1), calcula:
a) P [1,53 < z < 2,1]
b)P [–1,53 < z < 2,1]
a) P [1,53 < z < 2,1] = P [z < 2,1] – P [z < 1,53] = f(2,1) – f(1,53) =
= 0,9821 – 0,9370 = 0,0451
b) P [–1,53 < z < 2,1] = P [z < 2,1] – P [z < –1,53] = f(2,1) – [1 – f(1,53)] =
= f(2,1) + f(1,53) – 1 = 0,9191
4. Sea z una distribución N(0, 1), calcula h y k para que se cumpla que:
a) P [z < h] = 0,4
b) P [–k < z < k] = 0,9
a) P [z < h] = 0,4 8 h es negativo. P [z < –h] = 0,6 8 –h es positivo.
Buscamos en la tabla: f(0,25) = 0,5987, f(0,26) = 0,6026
Según esto, asignamos a –h el valor 0,25 y, por tanto, h = –0,25.
b) P [–k < z < k ] = 2P [0 < z < k ] = 2[f(k ) – 0,5] = 2f(k ) – 1
2f(k) – 1 = 0,9 8 f(k ) = 1,9 : 2 = 0,95 8 k = 1,65
1
4
k
10 5
0, x < 1
k, 1 Ì x Ì 5
0, x > 5
°
§
¢
§
£
Unidad 11. Distribuciones de variable continua
49
11UNIDAD
22. 5. Si x es N(88, 6), calcula:
a) P [x < 80] b)P [x > 100] c) P [80 < x Ì 100]
x es N (88, 6) 8 z es N (0, 1)
a) P [x < 80] = P z < = P [z < –1,33] =
= 1 – f(1,33) = 1 – 0,9082 = 0,0918
b) P [x > 100] = P z > = P [z > 2] =
= 1 – f(2) = 1 – 0,9772 = 0,0228
c) P [80 < x Ì 100] = P [–1,33 < z < 2] =
= f(2) – [1 – f(1,33)] =
= f(2) + f(1,33) – 1 = 0,8854
6. El cociente intelectual (C.I.) de un colectivo de bomberos se distribuye nor-
mal, de media 108 y desviación típica 3,5. Llamamos x al C.I. de uno de ellos
tomado al azar. Calcula:
a) P [x < 100] b) P [x > 115] c) P [100 < x < 115]
x es N (108; 3,5) 8 z = es N (0, 1)
a) P [x < 100] = P z < = P [z < –2,29] = 1 – f(2,29) = 1 – 0,9890 = 0,011
b) P [x > 115] = P z > = P [z > 2] = 1 – f(2) = 1 – 0,9772 = 0,0228
c) P [100 < x < 115] = P [–2,29 < z < 2] = f(2) – [1 – f(2,29)] =
= f(2) + f(2,29) – 1 = 0,9662
7. El 7% de las personas padecen un pequeño defecto anatómico de origen gené-
tico. En una empresa trabajan 80 personas. ¿Cuál es la probabilidad de que ha-
ya más de 10 con ese defecto?
x es B (80; 0,07) 8 μ = 80 · 0,07 = 5,6; q = = = 2,28
x' es N (5,6; 2,28); P [x > 10] = P [x Ó 11] = P [x' Ó 10,5] = P z Ó =
= P [z Ó 2,15] = 1 – f(2,15) = 1 – 0,9842 = 0,0158
]10,5 – 5,6
2,28[
√5,208√80 · 0,07 · 0,93
]115 – 108
3,5[
]100 – 108
3,5[
x – 108
3,5
2–1,33
2
]100 – 88
6[
–1,33
]80 – 88
6[
Unidad 11. Distribuciones de variable continua
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