Este documento presenta un resumen de conceptos clave sobre límites de funciones, continuidad y ramas infinitas. Incluye ejemplos de cálculo de límites, determinación de puntos de discontinuidad y representación gráfica de funciones. El documento contiene definiciones, ejercicios propuestos y su resolución para reforzar la comprensión de estos temas fundamentales del cálculo.
En esta presentación se trabaja desde la idea intuitiva del límite, hasta el cálculo de las indeterminaciones y sus aplicaciones directas en cuanto al calculo de asíntotas y el estudio de la continuidad de funciones y especialmente de los tipos de discontinuidad
EJEMPLOS DE LAS FÓRMULAS 1-6 DE CÁLCULO INTEGRALPaola Romero
El presente documento está elaborado para dar ejemplos de las primeras 6 formulas de nuestro formulario utilizado en clase , los problemas utilizados se rescataron de los libros mencionados en este documento
El documento presenta 4 ejemplos de funciones racionales y analiza su continuidad y tipo de discontinuidades en puntos donde anula el denominador. El primer ejemplo muestra una discontinuidad evitable. El segundo y tercer ejemplo presentan discontinuidades salto infinito. El cuarto ejemplo analiza discontinuidades salto infinito en dos puntos y tiene una asíntota horizontal.
La primera función f(x)=2x-3 tiene interceptos en el eje x de (3/2,0) y en el eje y de (0,-3). Su dominio y rango son todos los números reales. La segunda función f(x)=-x^2+6x-4 tiene su vértice en (3,5) e interceptos en el eje x de (3+√5,0) y (3-√5,0). Su intercepto en el eje y es (0,-4) y su rango son todos los números reales menores o iguales a 5.
LÍMITES LATERALES, INFINITOS Y AL INFINITOjesusalarcon29
El documento presenta una introducción a los límites laterales e infinitos. Explica que los límites laterales determinan el comportamiento de una función cuando la variable independiente se aproxima a un valor desde la izquierda y la derecha. También define límites infinitos como aquellos donde la variable tiende a valores muy grandes o pequeños. A continuación, presenta algunos ejemplos numéricos para ilustrar el cálculo de límites laterales y al infinito.
Este documento contiene 40 ejercicios de inecuaciones. La mayoría involucran resolver inecuaciones lineales, cuadráticas o racionales para determinar si una expresión es mayor, menor o igual que cero.
Muestra de algunas páginas de la presentación final. Espero esta muestra les ayude con sus dudas. Si deseas la presentación completa entra en matematicaspr.com.
Este documento presenta diferentes modelos probabilísticos como la distribución binomial, hipergeométrica y de Poisson. Explica que la distribución binomial se usa para contar el número de éxitos en experimentos repetidos con dos posibles resultados, mientras que la hipergeométrica se aplica a muestras aleatorias sin reemplazo de una población finita. También cubre cálculos como la media, varianza y funciones de probabilidad de estas distribuciones, ilustrando sus aplicaciones con ejemplos numéricos.
En esta presentación se trabaja desde la idea intuitiva del límite, hasta el cálculo de las indeterminaciones y sus aplicaciones directas en cuanto al calculo de asíntotas y el estudio de la continuidad de funciones y especialmente de los tipos de discontinuidad
EJEMPLOS DE LAS FÓRMULAS 1-6 DE CÁLCULO INTEGRALPaola Romero
El presente documento está elaborado para dar ejemplos de las primeras 6 formulas de nuestro formulario utilizado en clase , los problemas utilizados se rescataron de los libros mencionados en este documento
El documento presenta 4 ejemplos de funciones racionales y analiza su continuidad y tipo de discontinuidades en puntos donde anula el denominador. El primer ejemplo muestra una discontinuidad evitable. El segundo y tercer ejemplo presentan discontinuidades salto infinito. El cuarto ejemplo analiza discontinuidades salto infinito en dos puntos y tiene una asíntota horizontal.
La primera función f(x)=2x-3 tiene interceptos en el eje x de (3/2,0) y en el eje y de (0,-3). Su dominio y rango son todos los números reales. La segunda función f(x)=-x^2+6x-4 tiene su vértice en (3,5) e interceptos en el eje x de (3+√5,0) y (3-√5,0). Su intercepto en el eje y es (0,-4) y su rango son todos los números reales menores o iguales a 5.
LÍMITES LATERALES, INFINITOS Y AL INFINITOjesusalarcon29
El documento presenta una introducción a los límites laterales e infinitos. Explica que los límites laterales determinan el comportamiento de una función cuando la variable independiente se aproxima a un valor desde la izquierda y la derecha. También define límites infinitos como aquellos donde la variable tiende a valores muy grandes o pequeños. A continuación, presenta algunos ejemplos numéricos para ilustrar el cálculo de límites laterales y al infinito.
Este documento contiene 40 ejercicios de inecuaciones. La mayoría involucran resolver inecuaciones lineales, cuadráticas o racionales para determinar si una expresión es mayor, menor o igual que cero.
Muestra de algunas páginas de la presentación final. Espero esta muestra les ayude con sus dudas. Si deseas la presentación completa entra en matematicaspr.com.
Este documento presenta diferentes modelos probabilísticos como la distribución binomial, hipergeométrica y de Poisson. Explica que la distribución binomial se usa para contar el número de éxitos en experimentos repetidos con dos posibles resultados, mientras que la hipergeométrica se aplica a muestras aleatorias sin reemplazo de una población finita. También cubre cálculos como la media, varianza y funciones de probabilidad de estas distribuciones, ilustrando sus aplicaciones con ejemplos numéricos.
Este documento presenta 15 ejercicios de probabilidad multinomial. Cada ejercicio describe un escenario con diferentes probabilidades para cada resultado posible y pide calcular la probabilidad de una combinación específica de resultados al seleccionar una muestra aleatoria. Los ejercicios involucran temas como preferencias de votantes, formas de llegar a una convención, y resultados de cruzas genéticas.
Este documento presenta un material educativo con ecuaciones y problemas resueltos de álgebra lineal y geometría analítica. Incluye 7 problemas resueltos que tratan sobre rectas y planos en el espacio, esferas, hiperboloides, círculos y derivadas. El autor espera que este material sea útil para aquellos que buscan avanzar en su conocimiento.
Solución de Sistemas de Ecuaciones por Eliminaciónoswaldoalvarado
Este documento presenta el método de eliminación sistemática para resolver sistemas de ecuaciones diferenciales lineales de primer orden. El método implica reescribir el sistema en términos del operador diferencial, eliminar una variable mediante multiplicación de ecuaciones, obtener la solución de la ecuación característica y sustituir en el sistema original para encontrar la solución general. Se ilustra el método con un ejemplo de sistema de dos ecuaciones de primer orden.
El documento explica cómo calcular la pendiente de una recta a partir de dos puntos que la definen. La fórmula para calcular la pendiente es m = (y2 - y1) / (x2 - x1), donde (x1, y1) y (x2, y2) son las coordenadas de los dos puntos. El documento provee tres ejemplos para ilustrar cómo aplicar la fórmula y también incluye ejercicios para practicar el cálculo de pendientes.
Este documento proporciona información sobre funciones a trozos, incluyendo cómo evaluar y graficar este tipo de funciones. Explica que una función a trozos es una combinación de una o más funciones donde la regla cambia en diferentes partes del dominio. Además, presenta ejemplos de cómo evaluar funciones a trozos para diferentes valores de x e incluye instrucciones para graficar funciones a trozos.
This document defines and provides examples of common mathematical functions including constant, linear, absolute value, quadratic, cubic, square root, inverse, inverse squared, exponential, logarithmic, sine, and cosine functions. It also mentions signum and step functions.
El documento trata sobre la continuidad de funciones. Explica que una función es continua en todo su dominio si se puede dibujar de un solo trazo sin levantar el lápiz. Presenta varios ejemplos de funciones continuas y discontinuas, y analiza los tipos de discontinuidades (evitable, de 1a especie, salto finito, salto infinito). Muestra cómo determinar si una función es continua en un punto evaluando si existe el límite y coincide con el valor de la función.
Este documento resume las transformaciones de funciones cuadráticas. Explica que funciones cuadráticas como f(x)=x^2 pueden transformarse mediante desplazamientos horizontales o verticales, compresiones u expansiones horizontales o verticales, o reflexiones respecto al eje horizontal o vertical. Concluye que estas transformaciones se pueden aplicar a cualquier función y que conocer la ecuación original de una función permite derivar fácilmente la nueva gráfica después de aplicar estas transformaciones algebraicamente.
Este documento explica los conceptos de límites laterales izquierdo y derecho de una función f(x) cuando x tiende a un valor x0. Define los límites laterales como lím x->x0 f(x) y lím x->x0+ f(x) y explica que si estos límites existen y son iguales, entonces existe el límite de f(x) cuando x tiende a x0, pero si son diferentes o no existen, entonces dicho límite no existe. Presenta varios ejemplos para ilustrar el cálculo de límites laterales.
Solucionario ejercicios de productos notables1986cca
Este documento presenta una serie de ejercicios sobre productos notables. En los primeros ejercicios, se pide calcular cuadrados de binomios y productos de binomios. En los ejercicios siguientes, se pide expresar expresiones algebraicas en forma de producto. Finalmente, se pide simplificar expresiones algebraicas descomponiéndolas en factores.
El documento trata sobre los límites de funciones. Explica la definición intuitiva de límite en un punto y cómo se puede observar el comportamiento de una función cuando su variable independiente se aproxima a un valor determinado. Luego introduce la definición formal de límite mediante el uso de intervalos o vecindades centradas en el punto y en el valor al que se aproxima la función. Finalmente, muestra ejemplos de cálculo de límites aplicando esta definición formal.
El documento contiene la resolución de 32 ejercicios sobre determinantes y matrices agrupados en 20 secciones. Cada sección presenta de 1 a 5 ejercicios resueltos de forma individual sobre el tema de determinantes y matrices.
1) El documento presenta ejercicios de derivadas relacionados con funciones, curvas, distancias y puntos críticos.
2) También incluye ejercicios sobre derivadas de funciones logarítmicas, exponenciales y trigonométricas.
3) Finalmente, contiene problemas adicionales sobre áreas de secciones de canales, movimiento de barcos y volúmenes de conos.
Ejercicios limites 3 2º bach. con solucionesMatemolivares1
Este documento presenta ejercicios sobre límites y continuidad de funciones. Incluye cálculos de límites directos e indeterminados, análisis de asíntotas, continuidad y discontinuidad en puntos específicos, y estudio de funciones racionales para determinar si son continuas. El documento contiene 14 secciones con diferentes tipos de ejercicios sobre este tema.
Este documento presenta ejercicios resueltos relacionados con funciones vectoriales y curvas en el espacio. El primer ejercicio analiza si se intersectan dos curvas definidas por vectores posición y en qué puntos ocurre. El segundo ejercicio describe gráficamente una curva y prueba que su vector tangente es unitario cuando se usa la longitud de arco como parámetro. El tercer ejercicio calcula la velocidad de una partícula y determina el tiempo para recorrer una distancia dada.
Este documento presenta 5 ejercicios que utilizan la distribución de Poisson para calcular probabilidades relacionadas con procesos industriales y de inspección. En cada ejercicio, se da la probabilidad p de un defecto, el número n de artículos inspeccionados, y se pide calcular la probabilidad de que x artículos estén defectuosos. Las soluciones utilizan la función de distribución de Poisson en Excel.
Este documento presenta seis distribuciones de probabilidad comunes: la distribución de Bernoulli, la distribución binomial, la distribución de Poisson, la distribución gamma, la distribución normal y la distribución t de Student. Incluye ejemplos y ejercicios para cada distribución, así como definiciones breves de cada una. El autor es Víctor Hugo Franco García y el documento forma parte de un curso de procesos industriales en la Universidad Tecnológica de Torreón.
Este documento presenta ejercicios resueltos sobre integración básica. En la primera sección, se resuelven integrales indefinidas utilizando la propiedad de linealidad y la tabla de integrales inmediatas. La segunda sección involucra el uso de cambios de variable apropiados para resolver integrales. La tercera sección aplica el método de integración por partes para integrales que involucran funciones logarítmicas, exponenciales y trigonométricas.
1. El documento presenta ejercicios sobre límites de funciones, continuidad y ramas infinitas. Incluye aproximaciones sucesivas para calcular límites, determinar la continuidad de funciones y el tipo de discontinuidad, calcular límites cuando la variable tiende a números reales o infinito, y representar gráficamente las ramas de funciones.
2. Se piden cálculos de límites, determinar intervalos de continuidad y tipos de discontinuidad, hallar asíntotas verticales u horizontales, y representar gráficamente las
1. El documento presenta una serie de ejercicios relacionados con el cálculo de límites. Incluye tablas para calcular límites, gráficas funcionales, y funciones con diferentes dominios para analizar la continuidad en puntos determinados.
2. Se pide completar tablas para estimar límites, graficar funciones para encontrar límites, calcular límites por definición, y analizar la continuidad de funciones a través de su representación gráfica y analítica.
3. El objetivo es practicar diferentes
Este documento presenta 15 ejercicios de probabilidad multinomial. Cada ejercicio describe un escenario con diferentes probabilidades para cada resultado posible y pide calcular la probabilidad de una combinación específica de resultados al seleccionar una muestra aleatoria. Los ejercicios involucran temas como preferencias de votantes, formas de llegar a una convención, y resultados de cruzas genéticas.
Este documento presenta un material educativo con ecuaciones y problemas resueltos de álgebra lineal y geometría analítica. Incluye 7 problemas resueltos que tratan sobre rectas y planos en el espacio, esferas, hiperboloides, círculos y derivadas. El autor espera que este material sea útil para aquellos que buscan avanzar en su conocimiento.
Solución de Sistemas de Ecuaciones por Eliminaciónoswaldoalvarado
Este documento presenta el método de eliminación sistemática para resolver sistemas de ecuaciones diferenciales lineales de primer orden. El método implica reescribir el sistema en términos del operador diferencial, eliminar una variable mediante multiplicación de ecuaciones, obtener la solución de la ecuación característica y sustituir en el sistema original para encontrar la solución general. Se ilustra el método con un ejemplo de sistema de dos ecuaciones de primer orden.
El documento explica cómo calcular la pendiente de una recta a partir de dos puntos que la definen. La fórmula para calcular la pendiente es m = (y2 - y1) / (x2 - x1), donde (x1, y1) y (x2, y2) son las coordenadas de los dos puntos. El documento provee tres ejemplos para ilustrar cómo aplicar la fórmula y también incluye ejercicios para practicar el cálculo de pendientes.
Este documento proporciona información sobre funciones a trozos, incluyendo cómo evaluar y graficar este tipo de funciones. Explica que una función a trozos es una combinación de una o más funciones donde la regla cambia en diferentes partes del dominio. Además, presenta ejemplos de cómo evaluar funciones a trozos para diferentes valores de x e incluye instrucciones para graficar funciones a trozos.
This document defines and provides examples of common mathematical functions including constant, linear, absolute value, quadratic, cubic, square root, inverse, inverse squared, exponential, logarithmic, sine, and cosine functions. It also mentions signum and step functions.
El documento trata sobre la continuidad de funciones. Explica que una función es continua en todo su dominio si se puede dibujar de un solo trazo sin levantar el lápiz. Presenta varios ejemplos de funciones continuas y discontinuas, y analiza los tipos de discontinuidades (evitable, de 1a especie, salto finito, salto infinito). Muestra cómo determinar si una función es continua en un punto evaluando si existe el límite y coincide con el valor de la función.
Este documento resume las transformaciones de funciones cuadráticas. Explica que funciones cuadráticas como f(x)=x^2 pueden transformarse mediante desplazamientos horizontales o verticales, compresiones u expansiones horizontales o verticales, o reflexiones respecto al eje horizontal o vertical. Concluye que estas transformaciones se pueden aplicar a cualquier función y que conocer la ecuación original de una función permite derivar fácilmente la nueva gráfica después de aplicar estas transformaciones algebraicamente.
Este documento explica los conceptos de límites laterales izquierdo y derecho de una función f(x) cuando x tiende a un valor x0. Define los límites laterales como lím x->x0 f(x) y lím x->x0+ f(x) y explica que si estos límites existen y son iguales, entonces existe el límite de f(x) cuando x tiende a x0, pero si son diferentes o no existen, entonces dicho límite no existe. Presenta varios ejemplos para ilustrar el cálculo de límites laterales.
Solucionario ejercicios de productos notables1986cca
Este documento presenta una serie de ejercicios sobre productos notables. En los primeros ejercicios, se pide calcular cuadrados de binomios y productos de binomios. En los ejercicios siguientes, se pide expresar expresiones algebraicas en forma de producto. Finalmente, se pide simplificar expresiones algebraicas descomponiéndolas en factores.
El documento trata sobre los límites de funciones. Explica la definición intuitiva de límite en un punto y cómo se puede observar el comportamiento de una función cuando su variable independiente se aproxima a un valor determinado. Luego introduce la definición formal de límite mediante el uso de intervalos o vecindades centradas en el punto y en el valor al que se aproxima la función. Finalmente, muestra ejemplos de cálculo de límites aplicando esta definición formal.
El documento contiene la resolución de 32 ejercicios sobre determinantes y matrices agrupados en 20 secciones. Cada sección presenta de 1 a 5 ejercicios resueltos de forma individual sobre el tema de determinantes y matrices.
1) El documento presenta ejercicios de derivadas relacionados con funciones, curvas, distancias y puntos críticos.
2) También incluye ejercicios sobre derivadas de funciones logarítmicas, exponenciales y trigonométricas.
3) Finalmente, contiene problemas adicionales sobre áreas de secciones de canales, movimiento de barcos y volúmenes de conos.
Ejercicios limites 3 2º bach. con solucionesMatemolivares1
Este documento presenta ejercicios sobre límites y continuidad de funciones. Incluye cálculos de límites directos e indeterminados, análisis de asíntotas, continuidad y discontinuidad en puntos específicos, y estudio de funciones racionales para determinar si son continuas. El documento contiene 14 secciones con diferentes tipos de ejercicios sobre este tema.
Este documento presenta ejercicios resueltos relacionados con funciones vectoriales y curvas en el espacio. El primer ejercicio analiza si se intersectan dos curvas definidas por vectores posición y en qué puntos ocurre. El segundo ejercicio describe gráficamente una curva y prueba que su vector tangente es unitario cuando se usa la longitud de arco como parámetro. El tercer ejercicio calcula la velocidad de una partícula y determina el tiempo para recorrer una distancia dada.
Este documento presenta 5 ejercicios que utilizan la distribución de Poisson para calcular probabilidades relacionadas con procesos industriales y de inspección. En cada ejercicio, se da la probabilidad p de un defecto, el número n de artículos inspeccionados, y se pide calcular la probabilidad de que x artículos estén defectuosos. Las soluciones utilizan la función de distribución de Poisson en Excel.
Este documento presenta seis distribuciones de probabilidad comunes: la distribución de Bernoulli, la distribución binomial, la distribución de Poisson, la distribución gamma, la distribución normal y la distribución t de Student. Incluye ejemplos y ejercicios para cada distribución, así como definiciones breves de cada una. El autor es Víctor Hugo Franco García y el documento forma parte de un curso de procesos industriales en la Universidad Tecnológica de Torreón.
Este documento presenta ejercicios resueltos sobre integración básica. En la primera sección, se resuelven integrales indefinidas utilizando la propiedad de linealidad y la tabla de integrales inmediatas. La segunda sección involucra el uso de cambios de variable apropiados para resolver integrales. La tercera sección aplica el método de integración por partes para integrales que involucran funciones logarítmicas, exponenciales y trigonométricas.
1. El documento presenta ejercicios sobre límites de funciones, continuidad y ramas infinitas. Incluye aproximaciones sucesivas para calcular límites, determinar la continuidad de funciones y el tipo de discontinuidad, calcular límites cuando la variable tiende a números reales o infinito, y representar gráficamente las ramas de funciones.
2. Se piden cálculos de límites, determinar intervalos de continuidad y tipos de discontinuidad, hallar asíntotas verticales u horizontales, y representar gráficamente las
1. El documento presenta una serie de ejercicios relacionados con el cálculo de límites. Incluye tablas para calcular límites, gráficas funcionales, y funciones con diferentes dominios para analizar la continuidad en puntos determinados.
2. Se pide completar tablas para estimar límites, graficar funciones para encontrar límites, calcular límites por definición, y analizar la continuidad de funciones a través de su representación gráfica y analítica.
3. El objetivo es practicar diferentes
1. El documento presenta definiciones y ejemplos relacionados con funciones crecientes, decrecientes y constantes, extremos locales, e identificar funciones pares e impares. 2. Se definen funciones crecientes, decrecientes y constantes usando gráficas e intervalos. También se explican extremos locales y cómo identificarlos. 3. Se proveen ejemplos para practicar la identificación de intervalos donde funciones son crecientes, decrecientes o constantes, así como la detección de extremos locales.
Este documento presenta varios ejercicios relacionados con la representación de funciones. Incluye ejercicios para determinar el dominio, simetrías, periodicidades y asintotas de diferentes funciones. También presenta ejercicios para identificar puntos singulares como máximos, mínimos y puntos de inflexión al analizar las derivadas de primer y segundo orden de funciones dadas.
Este documento presenta ejercicios sobre funciones lineales y afines. Se pide determinar si funciones dadas son lineales o afines, calcular pendientes, obtener ecuaciones de rectas a partir de puntos dados, y representar gráficamente funciones. También se piden detalles sobre posiciones relativas y puntos de corte de rectas.
Este documento presenta varios ejercicios sobre la representación de funciones. Incluye ejercicios para hallar el dominio, simetrías, periodicidades, puntos singulares y puntos de inflexión de diferentes funciones. También incluye ejercicios para describir gráficas a partir de sus características y representar gráficas a partir de descripciones.
Este documento presenta varios temas relacionados con cálculo I. Incluye problemas sobre números reales como decimales periódicos, números racionales e irracionales. También cubre conceptos de funciones como dominio, imagen, continuidad y límites. Finalmente, introduce temas de continuidad como puntos fijos, ecuaciones y gráficas de funciones.
Este documento presenta varios ejercicios y problemas relacionados con funciones elementales. En la primera sección, se pide hallar el dominio de definición de varias funciones racionales y radicales. Luego, se incluyen ejercicios para representar gráficamente funciones dadas por partes, funciones valor absoluto y la función parte entera. Finalmente, se plantean problemas adicionales sobre dominios de definición y representación gráfica de funciones.
Este documento presenta varios ejercicios y problemas relacionados con funciones elementales. En la primera sección, se pide hallar el dominio de definición de varias funciones racionales y radicales. Luego, se incluyen ejercicios para representar gráficamente funciones dadas por partes, funciones valor absoluto y la función parte entera. Finalmente, se plantean problemas adicionales sobre dominios de definición y representación gráfica de funciones.
Este documento presenta varios ejercicios y problemas relacionados con funciones elementales. En la primera sección, se pide hallar el dominio de definición de varias funciones racionales y radicales. Luego, se incluyen ejercicios para representar gráficamente funciones dadas por partes y funciones relacionadas con la función valor absoluto y la función parte entera. Finalmente, se proporcionan más ejercicios para practicar el cálculo del dominio de definición.
El documento presenta definiciones sobre asintotas verticales, horizontales y oblicuas de funciones. Luego, proporciona 30 ejercicios para encontrar las asintotas de funciones específicas. Finalmente, incluye ejercicios adicionales sobre límites de funciones y la creación de gráficas de funciones según ciertas condiciones.
Este documento presenta varios ejercicios y problemas relacionados con el cálculo de derivadas. Incluye ejercicios para calcular derivadas aplicando definiciones, reglas de derivación y tablas de derivadas. También contiene problemas para analizar la derivabilidad de funciones y hallar puntos tangentes. El documento proporciona soluciones detalladas a cada uno de los ejercicios planteados.
1) El documento presenta una serie de ejercicios sobre límites y continuidad de funciones. Incluye tablas para estimar límites, gráficas, y funciones dadas para calcular sus límites en diferentes puntos y analizar su continuidad.
2) Se pide graficar funciones, calcular límites cuando la variable tiende a ciertos valores, y determinar si los límites existen.
3) Finalmente, se estudia la continuidad de varias funciones a través de métodos analíticos y gráficos.
Este documento presenta una tabla de derivadas de funciones comunes y propiedades de derivadas como la derivada de una suma, diferencia, producto y cociente. También incluye ejemplos de cálculo de derivadas de funciones compuestas utilizando las reglas presentadas. Finalmente, introduce algunas aplicaciones de las derivadas como determinar la monotonía de una función y localizar sus extremos relativos.
1. El documento presenta ejercicios sobre continuidad de funciones, incluyendo definiciones básicas de continuidad, ejemplos de funciones continuas y discontinuas, y ejercicios para determinar si funciones son continuas y encontrar valores que las hagan continuas.
2. Se incluyen ejercicios para aplicar el Teorema de Bolzano y demostrar la existencia de raíces de ecuaciones en determinados intervalos.
3. El documento proporciona una guía detallada para estudiar la continuidad de funciones y aplicar el
Este documento presenta ejercicios sobre derivadas y técnicas de derivación. Incluye preguntas para calcular derivadas de funciones, estudiar la derivabilidad de funciones en puntos específicos, y hallar derivadas primeras, segundas y terceras de funciones. También contiene gráficos y tablas para ilustrar conceptos relacionados con derivadas como tangentes, puntos de inflexión y intervalos donde la derivada es positiva o negativa.
Este documento introduce las funciones exponenciales. Explica que para funciones exponenciales, si la diferencia entre valores consecutivos de la variable independiente es constante, la razón entre los valores correspondientes de la función también es constante. Incluye ejemplos de tablas de valores que ilustran esta propiedad y aplican leyes de exponentes para calcular valores de funciones exponenciales.
1) El documento presenta una serie de ejercicios sobre límites y continuidad de funciones. Incluye tablas para estimar límites, gráficas, y funciones explícitas para analizar límites y continuidad.
2) Se piden calcular límites, comprobar límites por definición, estudiar continuidad de funciones, y determinar valores para que funciones sean continuas.
3) Los ejercicios abarcan una variedad de temas relacionados a límites y continuidad como estimación de límites,
Este documento contiene 36 problemas de matemáticas que involucran álgebra, ecuaciones, desigualdades, funciones, porcentajes y geometría. Los problemas van desde resolver ecuaciones y desigualdades hasta calcular porcentajes de aumento o descuento, determinar coordenadas de vértice de funciones cuadráticas y factorizar polinomios. El documento provee una variedad de ejercicios matemáticos para practicar diferentes temas y conceptos.
Este documento trata sobre los conceptos de límites de funciones cuando la variable tiende al infinito o a un punto. Explica cómo calcular límites de funciones polinómicas y racionales cuando la variable tiende a infinito, así como límites laterales y continuidad de funciones en un punto. También introduce el concepto de asíntota horizontal y vertical y cómo representar gráficamente límites infinitos. El documento contiene varios ejemplos y ejercicios para practicar estos conceptos.
Similar a 6.limites de funciones. continuidad (20)
Este documento presenta información sobre distribuciones de probabilidad continua. Explica conceptos como funciones de densidad, intervalos de probabilidad y cálculo de probabilidades para diferentes distribuciones como la normal, uniforme y binomial. Incluye ejemplos y ejercicios resueltos sobre el cálculo de probabilidades para estas distribuciones.
Este documento presenta información sobre distribuciones de probabilidad de variables discretas y la distribución binomial. Incluye ejemplos y problemas de probabilidad que involucran lanzar monedas, sacar cartas de una baraja, y otros experimentos aleatorios.
Este documento presenta ejemplos y ejercicios sobre relaciones funcionales y relaciones estadísticas entre variables. Se analizan varios casos para determinar si existe una relación funcional o una correlación, positiva o negativa, entre las variables. También incluye ejemplos y ejercicios para calcular coeficientes de correlación y trazar rectas de regresión en distribuciones bidimensionales.
Este documento presenta varios ejercicios y problemas relacionados con conceptos estadísticos como intervalos, tablas de frecuencias, medidas de tendencia central, medidas de dispersión y diagramas. Se piden calcular parámetros como media, mediana, cuartiles, desviación típica y coeficiente de variación para diferentes conjuntos de datos. También se solicita construir histogramas, polígonos de frecuencias y diagramas de caja para representar gráficamente las distribuciones.
Este documento presenta varios ejemplos de aplicaciones del cálculo de derivadas, incluyendo el cálculo de velocidades y pendientes de tangentes. Se analizan casos como tomar un autobús en movimiento, carreras de relevos y funciones derivadas.
5.funciones exponenciales, logaritmicas y trigonometricasfanufe
1. El documento presenta varios problemas de representación gráfica de funciones. Se pide representar gráficamente la función que modela la distancia al suelo de una noria en función del tiempo para cuatro vueltas completas. También se pide representar gráficamente el crecimiento exponencial de una población de amebas en función del tiempo y en función del número de amebas. Por último, se pide representar la desintegración radiactiva de una sustancia en función del tiempo y en función de su peso.
El resumen del documento es:
1) Tres amigos y sus tres hijos recogieron almendras de un saco en función del número de veces que metieron la mano. Cada padre cogió 45 almendras más que su hijo.
2) Se pide determinar los nombres de los hijos, el número total de almendras y cuántas cogió cada uno resolviendo ecuaciones.
3) La solución es que el hijo de Antonio es José, el de Juan es Julio y el de Pablo es Luis, y el total de almendras fue 1183
Este documento presenta varios ejemplos y ejercicios sobre aumentos y disminuciones porcentuales, intereses compuestos, amortización de préstamos y cálculo de tasas de interés efectivas. Incluye fórmulas para calcular índices de variación, transformaciones de capitales colocados a diferentes tasas de interés y períodos, y pagos para amortizar préstamos.
Este documento presenta información sobre números reales. Explica conceptos como números racionales e irracionales y cómo resolver ecuaciones de segundo grado. También muestra ejemplos de simplificación de raíces y racionalización de fracciones.
SEMIOLOGIA DE HEMORRAGIAS DIGESTIVAS.pptxOsiris Urbano
Evaluación de principales hallazgos de la Historia Clínica utiles en la orientación diagnóstica de Hemorragia Digestiva en el abordaje inicial del paciente.
ACERTIJO DESCIFRANDO CÓDIGO DEL CANDADO DE LA TORRE EIFFEL EN PARÍS. Por JAVI...JAVIER SOLIS NOYOLA
El Mtro. JAVIER SOLIS NOYOLA crea y desarrolla el “DESCIFRANDO CÓDIGO DEL CANDADO DE LA TORRE EIFFEL EN PARIS”. Esta actividad de aprendizaje propone el reto de descubrir el la secuencia números para abrir un candado, el cual destaca la percepción geométrica y conceptual. La intención de esta actividad de aprendizaje lúdico es, promover los pensamientos lógico (convergente) y creativo (divergente o lateral), mediante modelos mentales de: atención, memoria, imaginación, percepción (Geométrica y conceptual), perspicacia, inferencia y viso-espacialidad. Didácticamente, ésta actividad de aprendizaje es transversal, y que integra áreas del conocimiento: matemático, Lenguaje, artístico y las neurociencias. Acertijo dedicado a los Juegos Olímpicos de París 2024.
El curso de Texto Integrado de 8vo grado es un programa académico interdisciplinario que combina los contenidos y habilidades de varias asignaturas clave. A través de este enfoque integrado, los estudiantes tendrán la oportunidad de desarrollar una comprensión más holística y conexa de los temas abordados.
En el área de Estudios Sociales, los estudiantes profundizarán en el estudio de la historia, geografía, organización política y social, y economía de América Latina. Analizarán los procesos de descubrimiento, colonización e independencia, las características regionales, los sistemas de gobierno, los movimientos sociales y los modelos de desarrollo económico.
En Lengua y Literatura, se enfatizará el desarrollo de habilidades comunicativas, tanto en la expresión oral como escrita. Los estudiantes trabajarán en la comprensión y producción de diversos tipos de textos, incluyendo narrativos, expositivos y argumentativos. Además, se estudiarán obras literarias representativas de la región latinoamericana.
El componente de Ciencias Naturales abordará temas relacionados con la biología, la física y la química, con un enfoque en la comprensión de los fenómenos naturales y los desafíos ambientales de América Latina. Se explorarán conceptos como la biodiversidad, los recursos naturales, la contaminación y el desarrollo sostenible.
En el área de Matemática, los estudiantes desarrollarán habilidades en áreas como la aritmética, el álgebra, la geometría y la estadística. Estos conocimientos matemáticos se aplicarán a la resolución de problemas y al análisis de datos, en el contexto de las temáticas abordadas en las otras asignaturas.
A lo largo del curso, se fomentará la integración de los contenidos, de manera que los estudiantes puedan establecer conexiones significativas entre los diferentes campos del conocimiento. Además, se promoverá el desarrollo de habilidades transversales, como el pensamiento crítico, la resolución de problemas, la investigación y la colaboración.
Mediante este enfoque de Texto Integrado, los estudiantes de 8vo grado tendrán una experiencia de aprendizaje enriquecedora y relevante, que les permitirá adquirir una visión más amplia y comprensiva de los temas estudiados.
La Unidad Eudista de Espiritualidad se complace en poner a su disposición el siguiente Triduo Eudista, que tiene como propósito ofrecer tres breves meditaciones sobre Jesucristo Sumo y Eterno Sacerdote, el Sagrado Corazón de Jesús y el Inmaculado Corazón de María. En cada día encuentran una oración inicial, una meditación y una oración final.
Triduo Eudista: Jesucristo, Sumo y Eterno Sacerdote; El Corazón de Jesús y el...
6.limites de funciones. continuidad
1. Unidad 6. Límites de funciones. Continuidad y ramas infinitas
1
Página 147
REFLEXIONA Y RESUELVE
Aproximaciones sucesivas
■ Comprueba que:
f (4) = 6,5; f (4,9) = 6,95; f (4,99) = 6,995
■ Calcula f (4,999); f (4,9999); f (4,99999); …
■ A la vista de los resultados anteriores, ¿te parece razonable afirmar que,
cuando x se aproxima a 5, el valor de f (x) se aproxima a 7? Lo expresamos
así: f (x) = 7
Si f(x) = , entonces:
f(4,999) = 6,9995; f(4,9999) = 6,99995; f(4,99999) = 6,999995
f(x) = 7
■ Calcula, análogamente, .
f(2) = 5,5; f(2,9) = 5,95; f(2,99) = 5,995; f(2,999) = 5,9995; f(2,9999) = 5,99995
f(x) = 6
Página 149
1. Cada una de las siguientes funciones tiene uno o más puntos donde no es conti-
nua. Indica cuáles son esos puntos y qué tipo de discontinuidad presenta:
a) y = b) y = c) y = d) y =
a) Rama infinita en x = 3 (asíntota vertical).
b) Discontinuidad evitable en x = 0 (le falta ese punto).
c) Rama infinita en x = 0 (asíntota vertical).
d) Salto en x = 4.
3 si x ? 4
1 si x = 4
°
¢
£
x2 – 3
x
x2 – 3x
x
x + 2
x – 3
lím
x 8 3
x2 + 6x – 27
2x – 6
lím
x 8 3
lím
x 8 5
x2 + 4x – 45
2x – 10
lím
x 8 5
LÍMITES DE FUNCIONES.
CONTINUIDAD
Y RAMAS INFINITAS6
2. 2. Explica por qué son continuas las siguientes funciones y determina el interva-
lo en el que están definidas:
a) y = x2 – 5 b) y =
c) y = d) y =
a) Está definida y es continua en todo Á.
b) Está definida y es continua en (–@, 5].
Las funciones dadas mediante una expresión analítica sencilla (las que conocemos)
son continuas donde están definidas.
c) Está definida en todo Á. Es continua, también, en todo Á. El único punto en
que se duda es el 3: las dos ramas toman el mismo valor para x = 3:
3 · 3 – 4 = 9 – 4 = 5 3 + 2 = 5
Por tanto, las dos ramas empalman en el punto (3, 5). La función es también conti-
nua en x = 3.
d) También las dos ramas empalman en el punto (2, 2). Por tanto, la función es con-
tinua en el intervalo en el que está definida: [0, 5).
Página 152
1. Calcula el valor de los siguientes límites:
a) b) (cos x – 1)
a) – b) 0
2. Calcula estos límites:
a) b) log10 x
a) b) –1
Página 153
3. Calcula k para que la función y = f (x) sea continua en Á:
f (x) =
(x3 – 2x + k) = 21 + k
21 + k = 7 8 k = –14
f (3) = 7
lím
x 8 3
x3 – 2x + k, x ? 3
7, x = 3
°
¢
£
√3
lím
x 8 0,1
√x2 – 3x + 5lím
x 8 2
3
2
lím
x 8 0
3
x – 2
lím
x 8 0
x, 0 Ì x < 2
2, 2 Ì x < 5
°
¢
£
3x – 4, x < 3
x + 2, x Ó 3
°
¢
£
√5 – x
Unidad 6. Límites de funciones. Continuidad y ramas infinitas
2
°
§
¢
§
£
3. Página 155
4. Calcula los límites de las funciones siguientes en los puntos que se indican.
Donde convenga, especifica el valor del límite a la izquierda y a la derecha del
punto. Representa gráficamente los resultados:
a) f (x) = en –2, 0 y 2 b) f (x) = en 2, 0 y 3
c) f (x) = en 1 y –3 d) f (x) = en 0 y –3
a) f (x) =
f (x) = –@
f (x) = +@
f (x) = 0
f (x) = –@
f (x) = +@
b) f (x) =
f (x) = –@
f (x) = –3
f (x) = 0
c) f (x) =
f (x) = 0
f (x) = +@
f (x) = –@lím
x 8 –3+
lím
x 8 –3–
lím
x 8 1
(x – 1)2
(x – 1) (x + 3)
lím
x 8 3
lím
x 8 0
lím
x 8 2
4(x – 3)
(x – 2)2
lím
x 8 2+
lím
x 8 2–
lím
x 8 0
lím
x 8 –2+
lím
x 8 –2–
x3
(x + 2) (x – 2)
x4
x3 + 3x2
x2 – 2x + 1
x2 + 2x – 3
4x – 12
(x – 2)2
x3
x2 – 4
Unidad 6. Límites de funciones. Continuidad y ramas infinitas
3
11UNIDAD
°
§
¢
§
£
°
§
¢
§
£
No existe f (x).lím
x 8 –2
No existe f (x).lím
x 8 2
°
§
¢
§
£
No existe f (x).lím
x 8 –3
2–2 3
–3
2 3
–3 1
4. d) f (x) =
f (x) = 0
f (x) = –@
f (x) = +@
Página 156
1. Di el límite cuando x 8 + @ de las siguientes funciones dadas por sus gráfi-
cas:
f1(x) = –@ f2(x) = –3
f3(x) = +@ f4(x) no existe.
Página 157
1. Di el valor del límite cuando x 8 +@ de las siguientes funciones:
a) f (x) = –x2 + 3x + 5 b) f (x) = 5x3 + 7x
c) f (x) = x – 3x4 d) f (x) =
e) f (x) = – f) f (x) =
a) –@ b) +@ c) –@
d) 0 e) 0 f) –@
x3 – 1
–5
1
x2
1
3x
lím
x 8 +@
lím
x 8 +@
lím
x 8 +@
lím
x 8 +@
y = f3(x)
y = f4(x)
y = f1(x)
y = f2(x)
lím
x 8 –3+
lím
x 8 –3–
lím
x 8 0
x4
x2 (x + 3)
Unidad 6. Límites de funciones. Continuidad y ramas infinitas
4
°
§
¢
§
£
No existe f (x).lím
x 8 –3
–3
5. Página 158
2. Calcula f (x) y representa sus ramas:
a) f (x) = b) f (x) =
c) f (x) = – d) f (x) = 3x – 5
3. Calcula f (x) y representa sus ramas:
a) f(x) = b) f(x) =
c) f(x) = d) f(x) =
Página 159
1. Halla las asíntotas verticales y sitúa la curva respecto a ellas:
a) y =
b) y =
x2 + 3x
x + 1
x2 + 3x + 11
x + 1
a) –@ b) 0
c) +@ d ) –1
–1
1 – x3
1 + x3
x3
x2 – 3
x2 – 3
x3
x3 – 1
–5
lím
x 8 +@
a) 0
c) 0
b) 0
d) +∞
1
x2
3
x
1
3x
lím
x 8 +@
Unidad 6. Límites de funciones. Continuidad y ramas infinitas
5
6UNIDAD
6. a) f (x) = –@
f (x) = +@
b) f (x) = +@
f (x) = –@
2. Halla las asíntotas verticales y sitúa la curva respecto a ellas:
a) y =
b) y =
a) f (x) = +@
f (x) = –@
f (x) = –@
f (x) = +@
b) f (x) = +@
f (x) = +@
Página 161
3. Halla las ramas infinitas, x 8 +@, de estas funciones. Sitúa la curva respecto
a su asíntota:
a) y =
b) y =
x3
1 + x2
x
1 + x2
lím
x 8 1+
lím
x 8 1–
lím
x 8 2+
lím
x 8 2–
lím
x 8 0+
lím
x 8 0–
x2 + 2
x2 – 2x + 1
x2 + 2
x2 – 2x
lím
x 8 –1+
lím
x 8 –1–
lím
x 8 –1+
lím
x 8 –1–
Unidad 6. Límites de funciones. Continuidad y ramas infinitas
6
°
§
¢
§
£
x = –1 es asíntota vertical.
°
§
¢
§
£
x = –1 es asíntota vertical.
–1
–1
°
§
¢
§
£
x = 2 es asíntota vertical.
°
§
¢
§
£
x = 0 es asíntota vertical.
°
§
¢
§
£
x = 1 es asíntota vertical.
2
1
7. a) f (x) = 0 8 y = 0 es asíntota horizontal.
b) y = x + 8 y = x es asíntota oblicua.
4. Halla las ramas infinitas, x 8 +@, de estas funciones. Sitúa la curva respecto a sus
asíntotas, si las hay:
a) y =
b) y =
a) f (x) = 1 8 y = 1 es asíntota horizontal.
b) grado de P – grado de Q Ó 2
f (x) = +@ 8 rama parabólica hacia arriba.
Página 162
1. Halla f (x) y representa la rama correspondiente:
f (x) = –2x3 + 7x4 – 3
f (x) = 7x4 = +@lím
x 8 –@
lím
x 8 –@
lím
x 8 –@
1
lím
x 8 +@
lím
x 8 +@
2x3 – 3x2 + 7
x
x2 + 2
x2 – 2x
–x
1 + x2
lím
x 8 +@
Unidad 6. Límites de funciones. Continuidad y ramas infinitas
7
6UNIDAD
1
1
8. 2. Halla f (x) y traza las ramas correspondientes:
a) f (x) = (x2 + 3)/(–x3)
b) f (x) = –x3/(x2 + 3)
a) f (x) = = = 0
b) f (x) = = –x = +@
Página 163
3. Halla las ramas infinitas, x 8 –@, de estas funciones, y sitúa la curva respec-
to a las asíntotas:
a) y = b) y =
c) y = d) y =
a) f (x) = 0 8 y = 0 es asíntota horizontal.
b) f (x) = 0 8 y = 0 es asíntota horizontal.
c) f (x) = 1 8 y = 1 es asíntota horizontal.
d) y = x + 8 y = x es asíntota oblicua.
1
1
1
–x
1 + x2
lím
x 8 –@
lím
x 8 –@
lím
x 8 –@
x3
1 + x2
x2
1 + x2
x
1 + x2
1
x2 + 1
lím
x 8 –@
–x3
x2
lím
x 8 –@
lím
x 8 –@
1
–x
lím
x 8 –@
x2
–x3
lím
x 8 –@
lím
x 8 –@
lím
x 8 –@
Unidad 6. Límites de funciones. Continuidad y ramas infinitas
8
9. 4. Halla las ramas infinitas, cuando x 8 –@, y si tienen asíntotas, sitúa la curva
respecto a ellas:
a) y = b) y =
c) y = d) y =
a) grado P – grado Q Ó 2
f (x) = +@ 8 rama parabólica.
b) f (x) = 1 8 y = 1 es asíntota horizontal.
c) y = x + 2 + 8 y = x + 2 es asíntota oblicua.
d) f (x) = (2x2 – 3x) = +@
–2
2
1
lím
x 8 –@
lím
x 8 –@
–2
x + 1
lím
x 8 –@
lím
x 8 –@
2x3 – 3x2
x
x2 + 3x
x + 1
x2 + 2
x2 – 2x
x4
x2 + 1
Unidad 6. Límites de funciones. Continuidad y ramas infinitas
9
6UNIDAD
10. Página 169
EJERCICIOS Y PROBLEMAS PROPUESTOS
Discontinuidades y continuidad
1 a) ¿Cuál de las siguientes gráficas corresponde a una función continua?
b) Señala, en cada una de las otras cinco, la razón de su discontinuidad.
a) Solo la a).
b) b) Rama infinita en x = 1 (asíntota vertical).
c) Rama infinita en x = 0 (asíntota vertical).
d) Salto en x = 2.
e) Punto desplazado en x = 1; f (1) = 4; f (x) = 2.
f) No está definida en x = 2.
2 Halla los puntos de discontinuidad, si los hay, de las siguientes funciones:
a) y = x2 + x – 6 b) y =
c) y = d) y =
e) y = f) y =
a) Continua. b) 2
c) – d) Continua.
e) 0 y 5 f) Continua.
1
2
1
x2 + 2
2
5x – x2
1
x2 + 2x + 3
x – 1
2x + 1
x
(x – 2)2
lím
x 8 1
a) b) c)
d) e) f)
2
2
–2 2
2
–2
4
–2 2
2
–2
–2 2
–22
2
4
4–2 2
2
4
4–2
PARA PRACTICAR
Unidad 6. Límites de funciones. Continuidad y ramas infinitas
10
11. 3 Comprueba si las siguientes funciones son continuas en x = 0 y en x = –2:
a) y = b) y =
c) y = d) y =
a) No es continua ni en x = 0 ni en x = –2.
b) Sí es continua en x = 0, no en x = –2.
c) No es continua en x = 0, sí en x = –2.
d) Continua en x = 0 y en x = –2.
4 Indica para qué valores de Á son continuas las siguientes funciones:
a) y = 5 – b) y =
c) y = d) y =
e) y = f) y = x2 – x
a) Á b) [3, +@) c) Á – {0}
d) (–@, 0] e) –@, f) Á
5 Comprueba que las gráficas de estas funciones corresponden a la expresión
analítica dada y di si son continuas o discontinuas en x = 1.
a) f (x) =
b) f (x) =
c) f (x) =
a) Continua.
b) Discontinua.
c) Discontinua.
2
2
–2
2
2
–2
2
2
–2
x2 si x ≠ 1
–1 si x = 1
°
¢
£
x + 2 si x < 1
3 si x > 1
°
¢
£
1 – x2 si x ≤ 1
x – 1 si x > 1
°
¢
£
]5
2(
√5 – 2x
√–3x1
x
√x – 3x
2
√7 – 2x√x2 – 4
x
x2 – 4
1
√x
Unidad 6. Límites de funciones. Continuidad y ramas infinitas
11
6UNIDAD
12. 6 Comprueba si la función f (x) = es continua en x = 0.
☛ Recuerda que para que f sea continua en x = 0, debe verificarse que:
f (x) = f (0)
f (x) = f (x) = f (x) = –1 = f (0)
Es continua en x = 0.
7 Comprueba si las siguientes funciones son continuas en los puntos que se
indican:
a) f (x) = en x = –1
b) f (x) = en x = 2
c) f (x) = en x = 1
a) No, pues no existe f (–1).
b) f (x) = f (x) = f (2) = –2. Sí es continua en x = 2.
c) f (x) = 3 ? f (x) = 4. No es continua en x = 1.
Página 170
Visión gráfica del límite
8
Estas son, respectivamente, las gráficas de las funciones:
f1(x) = y f2(x) =
¿Cuál es el límite de cada una de estas funciones cuando x 8 –2?
☛ Observa la función cuando x 8 –2 por la izquierda y por la derecha.
–1
x + 2
1
(x + 2)2
f1(x)
–2
f2(x)
–2
lím
x 8 1+
lím
x 8 1–
lím
x 8 2+
lím
x 8 2–
3x si x Ì 1
x + 3 si x > 1
°
¢
£
2 – x2 si x < 2
(x/2) – 3 si x Ó 2
°
¢
£
(3 – x)/2 si x < –1
2x + 4 si x > –1
°
¢
£
lím
x 8 0
lím
x 8 0+
lím
x 8 0–
lím
x 8 0
x2 – 1 si x < 0
x – 1 si x Ó 0
°
¢
£
Unidad 6. Límites de funciones. Continuidad y ramas infinitas
12
13. f1(x) = +@
f1(x) = +@
f2(x) = +@
f2(x) = –@
9 Sobre la gráfica de la función f (x), halla:
a) f (x) b) f (x) c) f (x) d) f (x)
e) f (x) f) f (x) g) f (x) h) f (x)
a) +@ b) –@ c) 2 d) 0
e) 0 f) 3 g) +@ h) 0
Límite en un punto
10 Calcula los siguientes límites:
a) 5 – b) (x3 – x)
c) d) 2x
e) f) log2 x
g) h) ex
a) 5 b) 0 c) –2 d)
e) 2 f) 2 g) 0 h) e2
√2
lím
x 8 2
3
√x2lím
x 8 0
lím
x 8 4
√10 + x – x2
lím
x 8 –2
lím
x 8 0,5
1 – x
x – 2
lím
x 8 3
lím
x 8 –1
)x
2(lím
x 8 0
–3 2
lím
x 8 –2
lím
x 8 +@
lím
x 8 2+
lím
x 8 2–
lím
x 8 –@
lím
x 8 0
lím
x 8 –3+
lím
x 8 –3–
lím
x 8 –2+
lím
x 8 –2
–
lím
x 8 –2+
lím
x 8 –2
–
Unidad 6. Límites de funciones. Continuidad y ramas infinitas
13
6UNIDAD
°
§
¢
§
£
f1(x) = +@lím
x 8 –2
°
§
¢
§
£
No existe f2(x).lím
x 8 –2
14. 11 Dada la función f(x) = , halla:
a) f (x) b) f (x) c) f (x)
☛ Para que exista límite en el punto de ruptura, tienen que ser iguales los límites
laterales.
a) 5
b) 4
c) f (x) = f (x) = f (x) = 1
12 Calcula los siguientes límites:
a) b)
c) d)
☛ Saca factor común y simplifica cada fracción.
a) = = –2
b) = 2x + 3 = 3
c) = h(3h – 2) = 0
d) = = –
13 Resuelve los siguientes límites:
a) b)
c) d)
e) f)
a) = 2
b) = = = –3
3
–1
(x + 1) (x2 – x + 1)
x (x + 1)
lím
x 8 –1
x3 + 1
x2 + x
lím
x 8 –1
(x + 1) (x – 1)
(x – 1)
lím
x 8 1
x4 – 1
x2 – 1
lím
x 8 1
x + 3
x2 + 4x + 3
lím
x 8 –3
x2 – x – 2
x – 2
lím
x 8 2
x + 2
x2 – 4
lím
x 8 –2
x3 + 1
x2 + x
lím
x 8 –1
x2 – 1
x – 1
lím
x 8 1
7
4
h – 7
4
lím
h 8 0
h (h – 7)
4h
lím
h 8 0
lím
h 8 0
h2(3h – 2)
h
lím
h 8 0
lím
x 8 0
x (2x + 3)
x
lím
x 8 0
4
x – 2
lím
x 8 0
4x
x (x – 2)
lím
x 8 0
h2 – 7h
4h
lím
h 8 0
3h3 – 2h2
h
lím
h 8 0
2x2 + 3x
x
lím
x 8 0
4x
x2 – 2x
lím
x 8 0
lím
x 8 0
lím
x 8 0+
lím
x 8 0–
lím
x 8 0
lím
x 8 3
lím
x 8 –2
x2 + 1 si x < 0
x + 1 si x Ó 0
°
¢
£
Unidad 6. Límites de funciones. Continuidad y ramas infinitas
14
15. c) = – d) = 3
e) = – f) = 2
14 Calcula el límite de la función f (x) = en x = 3, x = 0 y x = –1.
f (x) = f (x) = 0
f (x) = +@ f (x) = –@
Límite cuando x 8 +@ o x 8 –@
15 Calcula los siguientes límites y representa la información que obtengas:
a) (7 + x – x3) b)
c) – + – 17 d) (7 – x)2
☛ Dale a x “valores grandes” y saca conclusiones.
16 Calcula el límite de las funciones del ejercicio anterior cuando x 8 –@ y
representa la información que obtengas.
Resolución de los ejercicios 15 y 16:
a) (7 + x – x3) = –@; (7 + x – x3) = +@
b) = +@
c) ( + – 17)= –@
d) (7 – x)2 = +@lím
x 8 ±@
x
2
–x4
3
lím
x 8 ±@
x2 – 10x – 32
5
lím
x 8 ±@
lím
x 8 –@
lím
x 8 +@
lím
x 8 +@
)x
2
x4
3(lím
x 8 +@
x2 – 10x – 32
5
lím
x 8 +@
lím
x 8 +@
lím
x 8 –1+
lím
x 8 –1–
lím
x 8 0
3
4
lím
x 8 3
x2
x2 + x
(x – 1)(x3 + x2 + x + 1)
(x – 1)(x + 1)
lím
x 8 1
1
2
(x + 3)
(x + 3) (x + 1)
lím
x 8 –3
(x + 1) (x – 2)
(x – 2)
lím
x 8 2
1
4
(x + 2)
(x + 2) (x – 2)
lím
x 8 –2
Unidad 6. Límites de funciones. Continuidad y ramas infinitas
15
6UNIDAD
16. 17 Comprueba, dando valores grandes a x, que las siguientes funciones tienden
a 0 cuando x 8 +@.
a) f (x) = b) f (x) =
c) f (x) = d) f (x) =
a) f(100) = 0,0001 b) f(100) = 0,003
f (x) = 0 f (x) = 0
c) f (10000) = –0,07 d) f (100) = –0,000002
f (x) = 0 f (x) = 0
18 Calcula el límite cuando x 8 +@ y cuando x 8 –@ de cada una de las si-
guientes funciones. Representa los resultados que obtengas.
a) f (x) = x3 – 10x
b) f (x) =
c) f (x) =
d) f (x) =
Cuando x 8 +@:
a) f (x) = +@ b) f (x) = +@
c) f (x) = –@ d) f (x) = –@
Cuando x 8 –@:
a) f (x) = –@ b) f (x) = +@
c) f (x) = +@ d) f (x) = –@lím
x 8 –@
lím
x 8 –@
lím
x 8 –@
lím
x 8 –@
lím
x 8 +@
lím
x 8 +@
lím
x 8 +@
lím
x 8 +@
x2 – 2x
–3
3 – x
2
√x2 – 4
lím
x 8 +@
lím
x 8 +@
lím
x 8 +@
lím
x 8 +@
2
10x2 – x3
–7
√x
100
3x2
1
x2 – 10
Unidad 6. Límites de funciones. Continuidad y ramas infinitas
16
17. Página 171
19 Calcula los siguientes límites y representa las ramas que obtengas:
a) b)
c) d)
e) f)
g) h)
20 Calcula el límite de todas las funciones del ejercicio anterior cuando
x 8 –@.
Resolución de los ejercicios 19 y 20:
a) = 0; = 0
b) = +@; = –@
c) = 0; = 0
d) = 0; = 0
e) = 2; = 2
2x – 1
x + 2
lím
x 8 –@
2x – 1
x + 2
lím
x 8 +@
1
(2 – x)3
lím
x 8 –@
1
(2 – x)3
lím
x 8 +@
–1
x2 – 1
lím
x 8 –@
–1
x2 – 1
lím
x 8 +@
–2x2
3 – x
lím
x 8 –@
–2x2
3 – x
lím
x 8 +@
3
(x – 1)2
lím
x 8 –@
3
(x – 1)2
lím
x 8 +@
3 – 2x
5 – 2x
lím
x 8 +@
2 – 3x
x + 3
lím
x 8 +@
x2 + 5
1 – x
lím
x 8 +@
2x – 1
x + 2
lím
x 8 +@
1
(2 – x)3
lím
x 8 +@
–1
x2 – 1
lím
x 8 +@
–2x2
3 – x
lím
x 8 +@
3
(x – 1)2
lím
x 8 +@
Unidad 6. Límites de funciones. Continuidad y ramas infinitas
17
6UNIDAD
–2
Y
X
–4 2
2
4
–4
–2
4
–2
Y
X
–4 2
2
4
–4
–2
4
–2
Y
X
–4 2
2
4
–4
–2
4
18. f) = –@; = +@
g) = –3; = –3
h) = 1; = 1
21 Resuelve los siguientes límites:
a) b) 1 – (x – 2)2
c) d)
a) 3 b) –@ c) 0 d) +@
22 Calcula el límite cuando x 8 +@ y cuando x 8 –@ de las siguientes fun-
ciones y representa las ramas que obtengas:
a) f (x) = b) f (x) = 10x – x3
c) f (x) = d) f (x) =
a) f (x) = 0; f (x) = 0
b) f (x) = –@; f (x) = +@
c) f (x) = +@; f (x) = –@
d) f (x) = –4; f (x) = –4lím
x 8 –@
lím
x 8 +@
lím
x 8 –@
lím
x 8 +@
lím
x 8 –@
lím
x 8 +@
lím
x 8 –@
lím
x 8 +@
1 – 12x2
3x2
x2
x – 1
–1
x2
x3 + 1
5x
lím
x 8 –@
1 – x
(2x + 1)2
lím
x 8 +@
lím
x 8 –@
3x2
(x – 1)2
lím
x 8 +@
3 – 2x
5 – 2x
lím
x 8 –@
3 – 2x
5 – 2x
lím
x 8 +@
2 – 3x
x + 3
lím
x 8 –@
2 – 3x
x + 3
lím
x 8 +@
x2 + 5
1 – x
lím
x 8 –@
x2 + 5
1 – x
lím
x 8 +@
Unidad 6. Límites de funciones. Continuidad y ramas infinitas
18
–2
Y
X
–4 2
2
4
–4
–2
4
–2
Y
X
–4 2
2
4
–4
–2
4
–4
19. Asíntotas
23 Halla las asíntotas de las siguientes funciones y sitúa la curva respecto a cada
una de ellas:
a) y = b) y =
c) y = d) y =
a) Asíntotas: b) Asíntotas:
x = 3; y = 2 x = –3; y = 1
c) Asíntotas: d) Asíntotas:
x = 4; y = –2 x = 1; y = 0
24 Halla las asíntotas de las siguientes funciones y sitúa la curva respecto a
ellas:
a) y = b) y =
c) y = d) y =
a) Asíntota: y = 1 b) Asíntota: y = 0
Y
X
Y
X
1
x4
x – 1
2x2 – 1
x2
3
x2 + 1
x2
x2 + 4
Y
X
1
Y
X
–2
4
Y
X
1
–3
Y
X3
2
2
1 – x
2x + 3
4 – x
x – 1
x + 3
2x
x – 3
Unidad 6. Límites de funciones. Continuidad y ramas infinitas
19
6UNIDAD
20. c) Asíntotas: x = 0; y = 2 d) Asíntota: x = 1
25 Halla las asíntotas de las siguientes funciones y sitúa la curva respecto a
ellas:
a) f (x) = b) f (x) = c) f (x) =
d) f (x) = e) f (x) = f) f (x) =
a) Asíntota vertical: x =
Asíntota horizontal: y = 2
b) Asíntota vertical: x =
Asíntota horizontal: y =
c) Asíntota vertical: x = 2
Asíntota horizontal: y = 0
d) Asíntota vertical: y = 0
No tiene más asíntotas.
2
2
2
2
3
3
2
5
2
3
2
–1
(x + 2)2
3x
x2 – 1
1
x2 + 9
1
2 – x
3x
2x – 5
4x + 1
2x – 3
Y
X1
Y
X
2
Unidad 6. Límites de funciones. Continuidad y ramas infinitas
20
21. e) Asíntota vertical: x = 1, x = –1
Asíntota horizontal: y = 0
f) Asíntota vertical: x = –2
Asíntota horizontal: y = 0
26 Cada una de las siguientes funciones tiene una asíntota oblicua. Hállala y es-
tudia la posición de la curva respecto a ella:
a) f (x) = b) f (x) = c) f (x) =
d) f (x) = e) f (x) = f) f (x) =
a) = 3x – 3 +
Asíntota oblicua: y = 3x – 3
b) = –x + 1 +
Asíntota oblicua: y = –x + 1
c) = 2x –
Asíntota oblicua: y = 2x
d) = x + 4 +
Asíntota oblicua: y = x + 4
1
–3
1
1
1
1
–4
4
10
x – 3
x2 + x – 2
x – 3
3
2x
4x2 – 3
2x
3
x
3 + x – x2
x
3
x + 1
3x2
x + 1
–2x2 + 3
2x – 2
2x3 – 3
x2 – 2
x2 + x – 2
x – 3
4x2 – 3
2x
3 + x – x2
x
3x2
x + 1
1–1
–2
Unidad 6. Límites de funciones. Continuidad y ramas infinitas
21
6UNIDAD
22. e) = 2x +
Asíntota oblicua: y = 2x
f) = –x – 1 +
Asíntota oblicua: y = –x – 1
27 Calcula los límites de las siguientes funciones en los puntos que anulan su
denominador:
a) f (x) = b) f (x) =
c) f (x) = d) f (t) =
a) f (x) = +@; f (x) = –@
b) f (x) =
f (x) = –@; f (x) = +@; f (x) = –@; f (x) = +@
c) f (x) =
f (x) = = ; f (x) = +@; f (x) = –@
d) f (t) = ; f (t ) = –2
28 Halla las asíntotas de las siguientes funciones y sitúa la curva respecto a cada
una de ellas:
a) y = b) y = c) y =
d) y = e) y = f) y =
3x2
x2 + 2
x2
x2 – 4
x2
x2 + x + 1
x + 2
x2 – 1
5x – 2
2x – 7
3 – x
2x + 1
lím
t 8 0
t2(t – 2)
t2
lím
x 8 –2+
lím
x 8 –2–
1
2
2
4
lím
x 8 2
x (x – 2)
(x – 2) (x + 2)
lím
x 8 2+
lím
x 8 2–
lím
x 8 0+
lím
x 8 0–
x – 1
x (x – 2)
lím
x 8 –2+
lím
x 8 –2–
t3 – 2t2
t2
x2 – 2x
x2 – 4
x – 1
x2 – 2x
3x
2x + 4
PARA RESOLVER
1
1
–1
–1
1
2x – 2
–2x2 + 3
2x – 2
4x – 3
x2 – 2
2x3 – 3
x2 – 2
Unidad 6. Límites de funciones. Continuidad y ramas infinitas
22
23. a) Asíntotas: x = – ; y = –
b) Asíntotas: y = ; x =
c) Asíntotas: y = 0; x = ±1
d) Asíntota: y = 1
e) Asíntotas: y = 1; x = –2, x = 2
f) Asíntotas: x = –2; y = 3x – 6
7
2
5
2
1
2
1
2
Unidad 6. Límites de funciones. Continuidad y ramas infinitas
23
6UNIDAD
–1/2
–1/2
7/2
1
1
1
–2 2
–2 2
–1
5/2
24. 29 Halla las ramas infinitas de estas funciones. Cuando tengan asíntotas, sitúa
la curva:
a) y = b) y = c) y =
d) y = e) y = f) y =
a) f (x) = +@; f (x) = +@
Asíntota vertical: x = 0
b) Asíntota vertical: x = –1
Asíntota horizontal: y = 1
c) Asíntotas verticales: x = 3, x = –3
Asíntota horizontal: y = 0
d) Asíntota horizontal: y =
e) Asíntota vertical: x = –3
Asíntota oblicua: y = 2x – 6
f) f (x) = +@; f (x) = +@
Asíntota vertical: x =
5
2
lím
x 8 –@
lím
x 8 +@
1
2
lím
x 8 –@
lím
x 8 +@
x3
2x – 5
2x2
x + 3
x2 – 1
2x2 + 1
1
9 – x2
(x + 3)2
(x + 1)2
x4 – 1
x2
Unidad 6. Límites de funciones. Continuidad y ramas infinitas
24
–3 3
–1
1
—
2
5
—
2
1
–3 3
–6
25. Página 172
30 Prueba que la función f (x) = solo tiene una asíntota vertical y otra
horizontal.
☛ Al hallar f (x) verás que no es @.
f (x) = 2; f (x) = –@; f (x) = +@; f (x) = 1
Asíntota vertical: x = 0
Asíntota horizontal: y = 1
31 Calcula los siguientes límites y representa los resultados que obtengas:
a)
b)
a) = =
b) = =
Calculamos los límites laterales:
= +@; = –@
32 Calcula los siguientes límites y representa los resultados que obtengas:
a)
b)
c)
d)
2x2 – 8
x2 – 4x + 4
lím
x 8 2
x4 – 1
x – 1
lím
x 8 1
x3 + x2
x2 + 2x + 1
lím
x 8 –1
x2 – 2x
x3 + x2
lím
x 8 0
x – 2
x – 1
lím
x 8 1+
x – 2
x – 1
lím
x 8 1–
x – 2
x – 1
lím
x 8 1
(x – 2) (x – 1)
(x – 1)2lím
x 8 1
x2 – 3x + 2
x2 – 2x + 1
lím
x 8 1
5
3
(x – 3) (x + 2)
x (x – 3)
lím
x 8 3
x2 – x – 6
x2 – 3x
lím
x 8 3
x2 – 3x + 2
x2 – 2x + 1
lím
x 8 1
x2 – x – 6
x2 – 3x
lím
x 8 3
lím
x 8 ±@
lím
x 8 0+
lím
x 8 0–
lím
x 8 2
lím
x 8 2
x2 – 4
x2 – 2x
Unidad 6. Límites de funciones. Continuidad y ramas infinitas
25
6UNIDAD
1
1 2 3
1
2
3
26. a) = =
Calculamos los límites laterales:
= +@; = –@
b) = =
Calculamos los límites laterales:
= –@; = +@
c) = = 4
d) = =
Calculamos los límites laterales:
= –@; = +@
33 Halla las asíntotas de estas funciones:
a) y = b) y = x2 +
c) y = d) y =
e) y = x + f) y = x + 1 +
a) y = x + b) Asíntota vertical: x = 0
Asíntotas verticales: x = –1, x = 1
Asíntota oblicua: y = x
c) Asíntota horizontal: y = 2 d) Asíntota horizontal: y = 0
Asíntotas verticales: x = ±1
e) Asíntota vertical: x = 5 f) Asíntota vertical: x = 0
Asíntota oblicua: y = x Asíntota oblicua: y = x + 1
x
(x – 1) (x + 1)
5
x
4
x – 5
x2 + 1
(x2 – 1)2
2x2 + 5
x2 – 4x + 5
1
x
x3
x2 – 1
2(x + 2)
x – 2
lím
x 8 2+
2(x + 2)
x – 2
lím
x 8 2–
2(x + 2)
x – 2
lím
x 8 2
2(x – 2) (x + 2)
(x – 2)2lím
x 8 2
2x2 – 8
x2 – 4x + 4
lím
x 8 2
(x – 1) (x3 + x2 + x + 1)
x – 1
lím
x 8 1
x4 – 1
x – 1
lím
x 8 1
x2
x + 1
lím
x 8 –1+
x2
x + 1
lím
x 8 –1–
x2
x + 1
lím
x 8 –1
x2(x + 1)
(x + 1)2
lím
x 8 –1
x3 + x2
x2 + 2x + 1
lím
x 8 –1
x – 2
x (x + 1)
lím
x 8 0+
x – 2
x (x + 1)
lím
x 8 0–
x – 2
x (x + 1)
lím
x 8 0
x (x – 2)
x2 (x + 1)
lím
x 8 0
x2 – 2x
x3 + x2
lím
x 8 0
Unidad 6. Límites de funciones. Continuidad y ramas infinitas
26
–1
2
1
4
27. 34 Representa las siguientes funciones y explica si son discontinuas en alguno
de sus puntos:
a) f (x) =
b) f (x) =
c) f (x) =
a) Discontinua en x = 3.
b) Función continua.
c) Discontinua en x = 2.
35 a) Calcula el límite de las funciones del ejercicio anterior en x = –3 y x = 5.
b) Halla, en cada una de ellas, el límite cuando x 8 +@ y cuando x 8 –@.
a) f (x) = –7; f (x) = 0; f (x) = –@; f (x) = –@
b) f (x) = 1; f (x) = 26; f (x) = +@; f (x) = 1
c) f (x) = 7; f (x) = 5; f (x) = +@; f (x) = +@lím
x 8 –@
lím
x 8 +@
lím
x 8 5
lím
x 8 –3
lím
x 8 –@
lím
x 8 +@
lím
x 8 5
lím
x 8 –3
lím
x 8 –@
lím
x 8 +@
lím
x 8 5
lím
x 8 –3
–2
1–1
2 3 4 5
2
4
Y
X
2–2–4 4 6 8
2
4
6
8
Y
X
–2
1 2 3 4 5
2
4
Y
X
6
x2 – 2 si x < 2
x si x > 2
°
¢
£
1 si x Ì 0
x2 + 1 si x > 0
°
¢
£
2x – 1 si x < 3
5 – x si x Ó 3
°
¢
£
Unidad 6. Límites de funciones. Continuidad y ramas infinitas
27
6UNIDAD
28. 36 Calcula, en cada caso, el valor de k para que la función f (x) sea continua
en todo Á.
a) f (x) = b) f (x) =
c) f (x) =
a) f (x) = 5 = f (3)
f (x) = 3 + k
b) f (x) = 5
f (x) = 4 + 2k = f (2)
c) f (x) = = 1 8 k = 1
37 Estudia la continuidad de estas funciones:
a) f (x) =
b) f (x) =
c) f (x) =
a) f (x) = f (x) = f (1) = 1 8 Continua en x = 1.
x ? 1 8 Continua.
Es continua en Á.
b) f (x) = f (x) = f (–1) = 0 8 Continua en x = 1.
f (x) = f (x) = f (1) = 0 8 Continua en x = 1.
x ? 1 y x ? –1 8 Continua.
Es continua en Á.
c) f (x) = 1 ? f (x) = 2 8 Discontinua en x = 0.
Si x ? 0, es continua.
lím
x 8 0+
lím
x 8 0–
lím
x 8 1+
lím
x 8 1–
lím
x 8 –1+
lím
x 8 –1–
lím
x 8 1+
lím
x 8 1–
1 – x2 si x Ì 0
2x + 1 si x > 0
°
¢
£
–x – 1 si –1 Ó x
1 – x2 si –1 < x < 1
x – 1 si x Ó 1
°
§
¢
§
£
2 – x si x < 1
1/x si x Ó 1
°
¢
£
x (x + 1)
x
lím
x 8 0
lím
x 8 0
lím
x 8 2+
lím
x 8 2–
lím
x 8 3+
lím
x 8 3–
(x2 + x)/x si x ? 0
k si x = 0
°
¢
£
6 – (x/2) si x < 2
x2 + kx si x Ó 2
°
¢
£
x2 – 4 si x Ì 3
x + k si x > 3
°
¢
£
Unidad 6. Límites de funciones. Continuidad y ramas infinitas
28
°
§
¢
§
£
5 = 3 + k 8 k = 2
°
§
¢
§
£
5 = 4 + 2k 8 k = 1/2
29. 38 Calcula a para que las siguientes funciones sean continuas en x = 1:
a) f (x) = b) f (x) =
a) f (x) = 2 = f (1)
f (x) = 4 – a
b) f (x) = = 2
f (1) = a
39 En una empresa se hacen montajes en cadena. El número de montajes rea-
lizados por un trabajador sin experiencia depende de los días de entrena-
miento según la función M(t) = (t en días).
a) ¿Cuántos montajes realiza el primer día? ¿Y el décimo?
b) Representa la función sabiendo que el periodo de entrenamiento es de un
mes.
c) ¿Qué ocurriría con el número de montajes si el entrenamiento fuera mu-
cho más largo?
a) M (1) = 6 montajes el primer día.
M (10) = 21,43 8 21 montajes el décimo día.
b)
c) Se aproxima a 30 (pues = 30).
40 Los gastos de una empresa dependen de sus ingresos, x. Así:
g (x) =
donde los ingresos y los gastos vienen expresados en euros.
a) Representa g (x) y di si es función continua.
b) Calcula el límite de g (x) cuando x 8 +@ y explica su significado.
0,6x + 200 si 0 ≤ x Ì 1 000
1 000x/(x + 250)si x > 1 000
°
¢
£
30t
t + 4
lím
t 8 +@
5
10
5 10
15
20
25
15 20 25 30
DÍAS
MONTAJES
30t
t + 4
(x – 1) (x + 1)
(x – 1)
lím
x 8 1
lím
x 8 1
lím
x 8 1+
lím
x 8 1–
(x2 – 1)/(x – 1) si x ? 1
a si x = 1
°
¢
£
x + 1 si x Ì 1
4 – ax2 si x > 1
°
¢
£
Unidad 6. Límites de funciones. Continuidad y ramas infinitas
29
6UNIDAD
°
§
¢
§
£
2 = 4 – a 8 a = 2
°
§
¢
§
£
a = 2
30. a)
Es continua.
b) g (x) = 1000.
Como máximo gasta 1000 € al mes.
Página 173
41 ¿Se puede calcular el límite de una función en un punto en el que la función
no esté definida? ¿Puede ser la función continua en ese punto?
Sí se puede calcular, pero no puede ser continua.
42 ¿Puede tener una función más de dos asíntotas verticales? ¿Y más de dos
asíntotas horizontales? Pon ejemplos.
Sí. Por ejemplo, f (x) = tiene x = 0, x = 1 y x = 2 como asín-
totas verticales.
No puede tener más de dos asíntotas horizontales, una hacia +@ y otra hacia –@,
como en esta gráfica:
43 El denominador de una función f (x) se anula en x = a. ¿Podemos asegu-
rar que tiene una asíntota vertical en x = a? Pon ejemplos.
No. Por ejemplo, f (x) = en x = 0; puesto que:
f (x) = = 1
x (3x + 1)
x
lím
x 8 0
lím
x 8 0
3x2 + x
x
1
x(x – 1)(x – 2)
CUESTIONES TEÓRICAS
lím
x 8 +@
200
400
1000
600
800
1000
GASTOS (€)
INGRESOS (€)
2000 3000 4000
Unidad 6. Límites de funciones. Continuidad y ramas infinitas
30
31. 44 Representa una función que cumpla estas condiciones:
f(x) = +@, f(x) = 2, f(x) = 0
¿Es discontinua en algún punto?
Sí, es discontinua al menos en x = 3.
45 Halla las ramas infinitas de las siguientes funciones exponenciales:
a) y = 2x + 3 b) y = 0,75x
c) y = 2 + ex d) y = e–x
a) f (x) = +@; f (x) = 0
Asíntota horizontal cuando x 8 –@: y = 0
b) f (x) = 0; f (x) = +@
Asíntota horizontal cuando x 8 +@: y = 0
c) f (x) = +@; f (x) = 2
Asíntota horizontal cuando x 8 –@: y = 2
d) f (x) = 0; f (x) = +@
Asíntota horizontal cuando x 8 –@: y = 0
46 Puesto que (x2 – 3x) = +@ halla un valor de x para el cual x2 – 3x
sea mayor que 5 000.
Por ejemplo, para x = 100, f (x) = 9 700.
47 Halla un valor de x para el cual f (x) = sea menor que 0,001.
Por ejemplo, para x = 1000, f (x) = 0,00033.
1
3x – 5
lím
x 8 +@
lím
x 8 –@
lím
x 8 +@
lím
x 8 –@
lím
x 8 +@
lím
x 8 –@
lím
x 8 +@
lím
x 8 –@
lím
x 8 +@
PARA PROFUNDIZAR
3
2
lím
x 8 +@
lím
x 8 –@
lím
x 8 3
Unidad 6. Límites de funciones. Continuidad y ramas infinitas
31
6UNIDAD
32. 48 ¿Cuál es la asíntota vertical de estas funciones logarítmicas? Halla su límite
cuando x 8 +@:
a) y = log2(x – 3) b) y = ln(x + 2)
a) Asíntota vertical: x = 3
f (x) = +@
b) Asíntota vertical: x = –2
f (x) = +@
Página 173
AUTOEVALUACIÓN
1. Calcula los límites de la función f (x) = en x = 0, x = 3 y
x = 5.
Explica si la función es continua en x = 3.
• f (x) = (2x – 5) = –5
• f (x) = (2x – 5) = 1
f (x) = (x2 – x – 7) = –1
No existe el límite de f (x) cuando x tiende a 3.
• f (x) = (x2 – x – 7) = 13
• La función no es continua en x = 3, porque no existe el límite de la función en
ese punto.
2. Halla los siguientes límites:
a) 2x – 1 b) c)
a) 2x – 1 = 2–1 = b) = =
c) = +@
(Si x 8 4+ o si x 8 4–, los valores de la función son positivos.)
x
(x – 4)2lím
x 8 4
1
3
1
√9
1
√x + 4
lím
x 8 5
1
2
lím
x 8 0
x
(x – 4)2lím
x 8 4
1
√x + 4
lím
x 8 5
lím
x 8 0
lím
x 8 5
lím
x 8 5
lím
x 8 3+
lím
x 8 3+
lím
x 8 3–
lím
x 8 3–
lím
x 8 0
lím
x 8 0
2x – 5, x Ì 3
x2 – x – 7, x > 3
°
¢
£
lím
x 8 +@
lím
x 8 +@
Unidad 6. Límites de funciones. Continuidad y ramas infinitas
32
33. 3.
Sobre la gráfica de estas dos funciones, halla, en cada caso, los siguientes lí-
mites:
f (x); f (x); f (x); f (x)
a) f (x) No tiene límite en x = 3.
f (x) = 1
f (x) = 0
f (x) = +@
b) f (x) = 0
f (x) No tiene límite en x = 2.
f (x) = –@
f (x) = 3
4. Calcula el valor que debe tomar a para que la función f (x) =
sea continua en x = 1. ¿Puede ser discontinua en otro punto?
Para que f (x) sea continua en x = 1, debe cumplir que: f (x) = f (1)
Veamos:
f (x) = (3x – 5) = –2
f (x) = (4x – a) = 4 – a
Como deben coincidir:
–2 = 4 – a 8 a = 6
lím
x 8 1+
lím
x 8 1+
lím
x 8 1–
lím
x 8 1–
lím
x 8 1
3x – 5, x < 1
4x – a, x Ó 1
°
¢
£
lím
x 8 –@
lím
x 8 +@
°
§
¢
§
£
lím f (x) = 3
x 8 2–
lím f (x) = 1
x 8 2+
lím
x 8 2
lím
x 8 3
lím
x 8 –@
lím
x 8 +@
lím
x 8 2
°
§
¢
§
£
lím f (x) = +@
x 8 3–
lím f (x) = –@
x 8 3+
lím
x 8 3
lím
x 8 –@
lím
x 8 +@
lím
x 8 2
lím
x 8 3
Y
X
a) Y
X
b)
Unidad 6. Límites de funciones. Continuidad y ramas infinitas
33
6UNIDAD
34. Por tanto, f (x) =
No puede ser discontinua en ningún otro punto, por estar definida mediante funcio-
nes polinómicas.
5. Justifica qué valor debe tomar a para que la función sea continua en Á:
f (x) =
f (x) =
La función es continua para valores de x menores que 1 y mayores que 1, porque
ambos tramos son rectas.
Para que sea continua en x = 1, debe cumplirse: f (x) = f (1)
f (1) = a – 2
f (x)
Para que exista el límite, debe ser:
a – 2 = 4 – 2a 8 3a = 6 8 a = 2
6. Halla las asíntotas de la función y = y estudia la posición de la curva
respecto a ellas.
• Asíntota vertical:
f (x) = +@
f (x) = –@
Así, x = 4 es una asíntota vertical.
• Asíntota horizontal:
f (x) = –2 8 y = –2
Si x 8 +@, f (x) < 0 8 la curva está por debajo de
la asíntota.
Si x 8 –@, f (x) > 0 8 la curva está por encima de
la asíntota.
• No tiene asíntotas oblicuas.
X
Y
1
–2
4
lím
x 8 @
lím
x 8 4+
lím
x 8 4–
2x + 1
4 – x
°
§
¢
§
£
lím f (x) = a – 2
x 8 1–
lím f (x) = 4 – 2a
x 8 1+
lím
x 8 1
lím
x 8 1
ax – 2 si x Ì 1
4x – 2a si x > 1
°
¢
£
ax – 2 si x Ì 1
4x – 2a si x > 1
°
¢
£
3x – 5, si x < 1
4x – 6, si x Ó 1
°
¢
£
Unidad 6. Límites de funciones. Continuidad y ramas infinitas
34
35. 7. Representa una función que cumpla las siguientes condiciones:
f (x) = –@ f (x) = +@ f (x) = 0 f (x) = 2
8. Estudia las ramas infinitas de la función y = y representa la información
que obtengas.
= +@
= +@
= +@
= –@
9. ¿Cuál de las siguientes funciones tiene una asíntota oblicua? Hállala y sitúa la
curva respecto a ella:
a) y = b) y = c) y =
La única que tiene asíntota oblicua es la función b) y = .
x3 + 2 x2
– x3 x
————
2
y = = x +
La asíntota es y = x. Como > 0, la curva está por encima de la asíntota.
2
x2
2
x2
x3 + 2
x2
x3 + 2
x2
x2
(x – 2)2
x3 + 2
x2
x
x2 + 1
x3
x + 3
lím
x 8 –3+
x3
x + 3
lím
x 8 –3–
x3
x + 3
lím
x 8 –@
x3
x + 3
lím
x 8 +@
x3
x + 3
X
Y
–2
2
lím
x 8 –@
lím
x 8 +@
lím
x 8 –2+
lím
x 8 –2–
Unidad 6. Límites de funciones. Continuidad y ramas infinitas
35
6UNIDAD
X
Y
1–3