El documento explica que una función es una relación entre dos conjuntos A y B que cumple dos condiciones: existencia y unicidad. La existencia significa que para cada elemento de A existe una imagen en B, y la unicidad significa que cada elemento de A se relaciona con un solo elemento de B. También clasifica las funciones en inyectivas, sobreyectivas y biyectivas dependiendo de si cumplen condiciones adicionales de unicidad e inversibilidad.
Este documento presenta 27 preguntas de opción múltiple sobre conceptos de funciones. Las preguntas cubren temas como identificar si una relación es una función, determinar el dominio y rango de funciones basadas en gráficas y expresiones algebraicas, identificar intervalos donde funciones son crecientes, decrecientes o constantes, y calcular valores de composiciones de funciones.
Este documento describe las funciones y sus conceptos fundamentales. Explica que una función es una relación entre dos conjuntos donde a cada elemento del primer conjunto se le asigna un único elemento del segundo conjunto. Luego define conceptos como dominio, recorrido, funciones crecientes, decrecientes y constantes. También describe funciones continuas, discontinuas y periódicas. Finalmente, explica los tipos de funciones lineales y cuadráticas.
metodo de cardano, funciones inyectivas, sobreyectivas, biyectivas, traslación de funciones, funciones continuas, continuidad puntual, funciones exponenciales y logaritmicas, funciones trigonometricas, ecuaciones de tercer grado, ecuaciones de segundo grado, asintotas horizontales verticales y oblicuas, algebra de funciones, composicion de funciones, funciones inversas
Este documento presenta los conceptos fundamentales de las funciones reales de variable real, incluyendo nociones preliminares como pares ordenados y producto cartesiano, definición de relaciones binarias y funciones, dominio y rango, y tipos comunes de funciones como polinómicas, raíces y logaritmos. También incluye ejemplos y prácticas para aplicar estos conceptos.
Este documento contiene 35 preguntas de opción múltiple sobre conceptos de cálculo como derivadas, límites, puntos críticos y asíntotas. Las preguntas abarcan temas como reglas de derivación, interpretación gráfica de derivadas primeras y segundas, cálculo de límites, identificación de máximos y mínimos locales, y propiedades de funciones.
Propiedades de crecimiento, decrecimiento, puntos de cambio, máximos y mínimos locales y otras propiedades. En esta direccion se pede ver de forma interactiva. http://www.matematicaspr.com/propiedades-graficas-de-funciones
El documento describe diferentes tipos de funciones matemáticas como relaciones, funciones, funciones inyectivas, biyectivas y sobreyectivas. También explica conceptos como el dominio, rango e inversa de una función, así como operaciones entre funciones como suma, resta, multiplicación, división y composición.
Este documento presenta nociones básicas sobre funciones. Define una función como una regla de asociación que relaciona un conjunto de salida y un conjunto de llegada de manera unívoca. Explica las diferentes formas de representar funciones y sus elementos como dominio, rango, variable independiente y dependiente. Además, clasifica funciones según sean pares, impares, crecientes o decrecientes y presenta ejemplos de funciones lineales y afines.
Este documento presenta 27 preguntas de opción múltiple sobre conceptos de funciones. Las preguntas cubren temas como identificar si una relación es una función, determinar el dominio y rango de funciones basadas en gráficas y expresiones algebraicas, identificar intervalos donde funciones son crecientes, decrecientes o constantes, y calcular valores de composiciones de funciones.
Este documento describe las funciones y sus conceptos fundamentales. Explica que una función es una relación entre dos conjuntos donde a cada elemento del primer conjunto se le asigna un único elemento del segundo conjunto. Luego define conceptos como dominio, recorrido, funciones crecientes, decrecientes y constantes. También describe funciones continuas, discontinuas y periódicas. Finalmente, explica los tipos de funciones lineales y cuadráticas.
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Este documento presenta los conceptos fundamentales de las funciones reales de variable real, incluyendo nociones preliminares como pares ordenados y producto cartesiano, definición de relaciones binarias y funciones, dominio y rango, y tipos comunes de funciones como polinómicas, raíces y logaritmos. También incluye ejemplos y prácticas para aplicar estos conceptos.
Este documento contiene 35 preguntas de opción múltiple sobre conceptos de cálculo como derivadas, límites, puntos críticos y asíntotas. Las preguntas abarcan temas como reglas de derivación, interpretación gráfica de derivadas primeras y segundas, cálculo de límites, identificación de máximos y mínimos locales, y propiedades de funciones.
Propiedades de crecimiento, decrecimiento, puntos de cambio, máximos y mínimos locales y otras propiedades. En esta direccion se pede ver de forma interactiva. http://www.matematicaspr.com/propiedades-graficas-de-funciones
El documento describe diferentes tipos de funciones matemáticas como relaciones, funciones, funciones inyectivas, biyectivas y sobreyectivas. También explica conceptos como el dominio, rango e inversa de una función, así como operaciones entre funciones como suma, resta, multiplicación, división y composición.
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Este documento presenta 5 funciones reales de variable real importantes: 1) función identidad, 2) función constante, 3) función lineal, 4) función cuadrática, y 5) función raíz cuadrada. Para cada función, se describen sus características gráficas y su dominio y rango. El documento incluye ejemplos gráficos de cada función para ilustrar sus propiedades.
Este documento presenta conceptos básicos sobre funciones reales de variable real, incluyendo nociones preliminares como ordenado, producto cartesiano y relación binaria. Luego define función, dominio, rango y aplicación, y explica cómo reconocer gráficamente una función. Finalmente, presenta ejemplos y ejercicios sobre estas ideas.
Este documento presenta conceptos clave relacionados con funciones, incluyendo:
1) Define variables dependientes e independientes y cómo una variable depende del valor de otra.
2) Explica que el dominio de una función es el conjunto de partida y el codominio es el conjunto de llegada.
3) Indica que los elementos de una función se representan como pares ordenados donde la primera cantidad pertenece al dominio y la segunda al codominio.
Este documento describe conceptos básicos sobre funciones. Introduce el producto cartesiano de conjuntos y define una relación como cualquier subconjunto del producto cartesiano. Luego define una función como una relación especial donde cada elemento del dominio tiene una única imagen. Explica formas de representar funciones y analiza funciones lineales, incluyendo su ecuación y gráfica. Finalmente, muestra cómo hallar la ecuación de una recta dada sus puntos o su pendiente y un punto.
Este documento describe las funciones polinomiales y cómo encontrar sus raíces. Explica que un polinomio es una expresión de la forma a0 + a1x + a2x2 + ... + anxn donde los ai son coeficientes reales o complejos. La función asociada al polinomio mapea cada valor de x al valor del polinomio. También define las raíces de un polinomio como los valores de x que hacen que el polinomio sea igual a cero, y cómo estas raíces afectan la forma de la gráfica de la función polinomial.
El documento clasifica y describe 11 tipos de funciones: funciones lineales, afines, identidad, constantes, cuadráticas, valor absoluto, raíz cuadrada, potencia, parte entera, exponenciales y logarítmicas. Para cada función, se provee la definición, dominio, recorrido y una descripción gráfica.
La función f(x)=x2+1 no es inyectiva porque para valores de x distintos como 2 y -2 se obtienen el mismo resultado de 5. La función f(x)=3x-5 sí es inyectiva porque para valores de x distintos se obtienen resultados distintos. La función f(x)=x2+1 no es sobreyectiva porque sus resultados son siempre mayores o iguales a 1 y no incluyen números negativos, mientras que la función f(x)=3x-5 es sobreyectiva porque sus resultados pueden ser cualquier número real. Solo la función f(x)=3
Este documento contiene 20 problemas resueltos sobre relaciones y funciones. Cada problema presenta la subunidad temática, la habilidad evaluada y los pasos para resolverlo. Los problemas abarcan temas como producto cartesiano, definición de función, dominio y recorrido, evaluación y análisis de funciones, cálculo de pendientes y ecuaciones de rectas.
Este documento introduce el concepto de función matemática. Explica que una función relaciona un conjunto dominio con un conjunto rango a través de una regla de correspondencia. Se describen elementos clave como variable independiente, variable dependiente y evaluación de funciones. También se cubren temas como dominio implícito, aplicaciones de funciones y cálculo del dominio.
Este documento describe el método de las sumas de Riemann para calcular el área bajo una curva. Dividimos el área en rectángulos de anchura uniforme y calculamos el área de cada rectángulo usando la altura de la función en los puntos medios de cada intervalo. La suma de estas áreas de los rectángulos aproxima el área total bajo la curva a medida que aumentamos el número de subdivisiones. El Teorema Fundamental del Cálculo establece que esta aproximación converge al valor de la integral definida cuando el ancho máximo
Este documento introduce las funciones de variable real, incluyendo su definición, dominio y diferentes reglas de correspondencia. Explica cómo determinar el dominio máximo de una función dada su regla de correspondencia, considerando restricciones como la división entre cero. También describe funciones con múltiples reglas de correspondencia en diferentes intervalos y cómo realizar operaciones como suma y multiplicación con funciones.
Este documento presenta conceptos fundamentales sobre funciones reales. Explica que una función es una correspondencia entre dos conjuntos de números reales que asigna a cada elemento de un dominio exactamente un elemento de un rango. Luego define dominio e imagen y explica cómo graficar funciones y determinar sus dominios e imágenes. Finalmente, presenta ejemplos de funciones polinómicas, racionales y logarítmicas.
1. El documento introduce el concepto general de función, describiendo que una función es un conjunto de pares ordenados donde cada elemento del dominio está asociado con un único elemento del contradominio a través de una regla de correspondencia.
2. Se explica que las funciones se clasifican según su regla de correspondencia en funciones algebraicas, exponenciales, logarítmicas y trigonométricas, enfocándose en este documento en las funciones polinomiales.
3. Se describen los métodos para representar una función, incluyendo tablas de valores, expres
Este documento describe los espacios de Hilbert y L2, bases ortogonales en estos espacios, y series de Fourier. Introduce conceptos como normas en espacios vectoriales de funciones, productos internos, y cómo usar bases ortogonales para expresar funciones arbitrarias como combinaciones lineales de funciones de la base.
Una función asocia cada elemento de un conjunto dominio con un único elemento del conjunto codominio. Una función real asocia números reales del dominio con números reales del codominio. Las funciones se pueden representar a través de expresiones, descripciones, gráficas o tablas. Existen diferentes tipos de funciones como funciones polinómicas, algebraicas, trascendentes, trigonométricas y más.
Este documento trata sobre la función raíz cuadrada. Explica que la función raíz cuadrada es f(x)=√x y describe su dominio y rango. También explica cómo graficar esta función y aplicar traslaciones y reflexiones para graficar variaciones de la función. Finalmente, incluye ejercicios para practicar el graficado de funciones raíz cuadrada.
Este documento presenta las soluciones a 20 preguntas de una prueba de matemáticas. Cada solución incluye la alternativa correcta, la subunidad temática y la habilidad evaluada. La mayoría de las preguntas involucran conceptos como conjuntos numéricos, álgebra, ecuaciones, funciones y logaritmos. El documento provee las explicaciones detalladas para llegar a cada solución.
Este documento introduce los conceptos fundamentales de funciones, incluyendo dominio, codominio, imágenes, gráficos e inyectividad. Explica que una función es una relación entre dos conjuntos donde cada elemento del primer conjunto está asociado a un único elemento del segundo conjunto. También define dominio como el conjunto de valores que puede tomar la variable independiente y codominio como el conjunto de valores posibles de la variable dependiente. Finalmente, clasifica las funciones en inyectivas, sobreyectivas y biyectivas según si mapean cada elemento de forma única e inclusiva entre los conj
El documento describe las funciones lineales y constantes. Explica que una función lineal tiene un exponente de x igual a 1 y que b puede ser cero. Proporciona ejemplos de graficar funciones lineales tabulando 2 puntos. Luego explica que una función constante tiene pendiente cero para rectas horizontales e infinita para rectas verticales, dando ejemplos de cada una.
Las NIIF son estándares internacionales que definen principios y prácticas de contabilidad. Los países pueden adoptarlas voluntariamente. No están diseñadas para reportes impositivos sino para presentar información financiera a usuarios. Ofrecen beneficios como mayor transparencia, comparabilidad y eficiencia. Cada vez más países las adoptan para sus empresas.
Este documento presenta 5 funciones reales de variable real importantes: 1) función identidad, 2) función constante, 3) función lineal, 4) función cuadrática, y 5) función raíz cuadrada. Para cada función, se describen sus características gráficas y su dominio y rango. El documento incluye ejemplos gráficos de cada función para ilustrar sus propiedades.
Este documento presenta conceptos básicos sobre funciones reales de variable real, incluyendo nociones preliminares como ordenado, producto cartesiano y relación binaria. Luego define función, dominio, rango y aplicación, y explica cómo reconocer gráficamente una función. Finalmente, presenta ejemplos y ejercicios sobre estas ideas.
Este documento presenta conceptos clave relacionados con funciones, incluyendo:
1) Define variables dependientes e independientes y cómo una variable depende del valor de otra.
2) Explica que el dominio de una función es el conjunto de partida y el codominio es el conjunto de llegada.
3) Indica que los elementos de una función se representan como pares ordenados donde la primera cantidad pertenece al dominio y la segunda al codominio.
Este documento describe conceptos básicos sobre funciones. Introduce el producto cartesiano de conjuntos y define una relación como cualquier subconjunto del producto cartesiano. Luego define una función como una relación especial donde cada elemento del dominio tiene una única imagen. Explica formas de representar funciones y analiza funciones lineales, incluyendo su ecuación y gráfica. Finalmente, muestra cómo hallar la ecuación de una recta dada sus puntos o su pendiente y un punto.
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La función f(x)=x2+1 no es inyectiva porque para valores de x distintos como 2 y -2 se obtienen el mismo resultado de 5. La función f(x)=3x-5 sí es inyectiva porque para valores de x distintos se obtienen resultados distintos. La función f(x)=x2+1 no es sobreyectiva porque sus resultados son siempre mayores o iguales a 1 y no incluyen números negativos, mientras que la función f(x)=3x-5 es sobreyectiva porque sus resultados pueden ser cualquier número real. Solo la función f(x)=3
Este documento contiene 20 problemas resueltos sobre relaciones y funciones. Cada problema presenta la subunidad temática, la habilidad evaluada y los pasos para resolverlo. Los problemas abarcan temas como producto cartesiano, definición de función, dominio y recorrido, evaluación y análisis de funciones, cálculo de pendientes y ecuaciones de rectas.
Este documento introduce el concepto de función matemática. Explica que una función relaciona un conjunto dominio con un conjunto rango a través de una regla de correspondencia. Se describen elementos clave como variable independiente, variable dependiente y evaluación de funciones. También se cubren temas como dominio implícito, aplicaciones de funciones y cálculo del dominio.
Este documento describe el método de las sumas de Riemann para calcular el área bajo una curva. Dividimos el área en rectángulos de anchura uniforme y calculamos el área de cada rectángulo usando la altura de la función en los puntos medios de cada intervalo. La suma de estas áreas de los rectángulos aproxima el área total bajo la curva a medida que aumentamos el número de subdivisiones. El Teorema Fundamental del Cálculo establece que esta aproximación converge al valor de la integral definida cuando el ancho máximo
Este documento introduce las funciones de variable real, incluyendo su definición, dominio y diferentes reglas de correspondencia. Explica cómo determinar el dominio máximo de una función dada su regla de correspondencia, considerando restricciones como la división entre cero. También describe funciones con múltiples reglas de correspondencia en diferentes intervalos y cómo realizar operaciones como suma y multiplicación con funciones.
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1. El documento introduce el concepto general de función, describiendo que una función es un conjunto de pares ordenados donde cada elemento del dominio está asociado con un único elemento del contradominio a través de una regla de correspondencia.
2. Se explica que las funciones se clasifican según su regla de correspondencia en funciones algebraicas, exponenciales, logarítmicas y trigonométricas, enfocándose en este documento en las funciones polinomiales.
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Este documento describe los espacios de Hilbert y L2, bases ortogonales en estos espacios, y series de Fourier. Introduce conceptos como normas en espacios vectoriales de funciones, productos internos, y cómo usar bases ortogonales para expresar funciones arbitrarias como combinaciones lineales de funciones de la base.
Una función asocia cada elemento de un conjunto dominio con un único elemento del conjunto codominio. Una función real asocia números reales del dominio con números reales del codominio. Las funciones se pueden representar a través de expresiones, descripciones, gráficas o tablas. Existen diferentes tipos de funciones como funciones polinómicas, algebraicas, trascendentes, trigonométricas y más.
Este documento trata sobre la función raíz cuadrada. Explica que la función raíz cuadrada es f(x)=√x y describe su dominio y rango. También explica cómo graficar esta función y aplicar traslaciones y reflexiones para graficar variaciones de la función. Finalmente, incluye ejercicios para practicar el graficado de funciones raíz cuadrada.
Este documento presenta las soluciones a 20 preguntas de una prueba de matemáticas. Cada solución incluye la alternativa correcta, la subunidad temática y la habilidad evaluada. La mayoría de las preguntas involucran conceptos como conjuntos numéricos, álgebra, ecuaciones, funciones y logaritmos. El documento provee las explicaciones detalladas para llegar a cada solución.
Este documento introduce los conceptos fundamentales de funciones, incluyendo dominio, codominio, imágenes, gráficos e inyectividad. Explica que una función es una relación entre dos conjuntos donde cada elemento del primer conjunto está asociado a un único elemento del segundo conjunto. También define dominio como el conjunto de valores que puede tomar la variable independiente y codominio como el conjunto de valores posibles de la variable dependiente. Finalmente, clasifica las funciones en inyectivas, sobreyectivas y biyectivas según si mapean cada elemento de forma única e inclusiva entre los conj
El documento describe las funciones lineales y constantes. Explica que una función lineal tiene un exponente de x igual a 1 y que b puede ser cero. Proporciona ejemplos de graficar funciones lineales tabulando 2 puntos. Luego explica que una función constante tiene pendiente cero para rectas horizontales e infinita para rectas verticales, dando ejemplos de cada una.
Las NIIF son estándares internacionales que definen principios y prácticas de contabilidad. Los países pueden adoptarlas voluntariamente. No están diseñadas para reportes impositivos sino para presentar información financiera a usuarios. Ofrecen beneficios como mayor transparencia, comparabilidad y eficiencia. Cada vez más países las adoptan para sus empresas.
Este documento presenta las operaciones básicas con números fraccionarios, incluyendo suma, resta, multiplicación y división. Explica cómo clasificar fracciones como homogéneas, heterogéneas, propias, impropias y mixtas. También describe cómo transformar fracciones mixtas a impropias y viceversa.
El Estado puede cobrar las obligaciones tributarias de los contribuyentes durante un período de 5 años. Este plazo de prescripción se interrumpe o suspende bajo ciertas circunstancias, como la notificación de un mandamiento de pago o cuando se somete el caso a discusión. Los departamentos y municipios aplican los mismos procedimientos de prescripción establecidos en el Estatuto Tributario Nacional. Una vez prescrita la deuda tributaria, los pagos realizados para satisfacerla no pueden ser reembolsados aunque se hay
Este documento describe las diferentes situaciones en las que puede encontrarse un empleado público en relación con el ejercicio de sus funciones, incluyendo estar en servicio activo, en licencia, permiso, comisión, encargo, prestación del servicio militar, vacaciones, suspendido o retirado del servicio. Explica los tipos de licencias, comisiones, encargos y las causales y efectos de la suspensión o retiro de un empleado público.
Este documento presenta una introducción a las inecuaciones lineales. Define las desigualdades y símbolos como <, ≤, >, ≥. Explica que la solución de una inecuación es un subconjunto de números reales que puede representarse como un conjunto, intervalo o gráficamente. Detalla los pasos para resolver una inecuación lineal, incluyendo despejar la variable y aplicar propiedades al cambiar términos entre lados. Proporciona tres ejemplos resueltos de inecuaciones lineales con sus soluciones como intervalos
Unidad 2 normas de auditoria generalmente aceptadasinnovalabcun
Este documento presenta las Normas de Auditoría Generalmente Aceptadas según la ley 43 de 1990 de Colombia. Describe tres categorías de normas: Normas Personales, Normas Relativas a la Ejecución del Trabajo y Normas Relativas a la Rendición de Informes. Bajo las Normas Personales se incluyen la formación técnica, independencia, integridad y diligencia profesional del auditor. Las Normas de Ejecución requieren la planificación adecuada del trabajo y la evaluación del control interno. Finalmente, las Normas de In
La revisoría fiscal es un órgano de fiscalización establecido en Colombia en el siglo XIX encargado de dictaminar los estados financieros de una empresa e independiente. Sus objetivos principales son emitir una opinión sobre la razonabilidad de la información financiera, evaluar el control interno y la eficiencia en el uso de recursos, y verificar el cumplimiento de la normatividad aplicable.
Este documento presenta una introducción al análisis y diseño orientado a objetos. Explica brevemente los modelos de ciclo de vida, con énfasis en los ciclos iterativos e incrementales. Luego, describe las diferencias entre el análisis, que se centra en identificar los requisitos del problema, y el diseño, que se enfoca en cómo resolverlo. Finalmente, resume algunas técnicas clave de análisis orientado a objetos como casos de uso, diagramas de clases y secuencias.
Unidad 3. contenidos virtuales. conservación de a y b. clasificación alimentosinnovalabcun
El documento clasifica los alimentos según su función nutricional, procedencia, vida útil y riesgo en salud pública. Explica que la composición química de los alimentos determina su función nutricional y que conocer esto ayuda a generar buenos hábitos alimenticios. Además, señala que los alimentos perecederos requieren refrigeración o congelación y representan el mayor riesgo para la salud pública.
Este documento presenta varios casos emblemáticos de fraude en Colombia e internacionales para ilustrar la importancia de la auditoría. Describe brevemente el caso del "carrusel de la contratación" en Bogotá, el colapso bursátil de Interbolsa en Colombia, y el fraude ENRON en los Estados Unidos. En todos los casos, procedimientos de auditoría limitados que no revisaron adecuadamente todas las áreas permitieron el fraude y desfalco de recursos. El documento concluye que estudiar estos casos ayuda a los estudiantes a
El documento describe las funciones esenciales de la regulación pública de la vida económica, que incluyen establecer leyes y normas para los agentes económicos, así como aspectos clave como la política económica y legislación laboral y medioambiental. Explica que la regulación es necesaria para proveer normas de comportamiento y corregir los fallos de mercado, y menciona que las actividades económicas deben regularse para evitar riesgos a la salud y medio ambiente y para internalizar los costes sociales.
PLAN GENERAL DE CONTABILIDAD PUBLICA COLOMBIANOinnovalabcun
El documento describe las tres fases del Plan General de Contabilidad Pública: 1) la fase de inicio o apertura, que establece las cuentas del activo y pasivo, 2) la fase de registros contables, donde se registran sistemáticamente todas las transacciones financieras, y 3) la fase de cierre, que implica resumir los datos después de cada período para presentarlos de manera comprensible a usuarios internos y externos.
El triángulo de la violencia de Johan Galtung describe tres tipos de violencia: directa, estructural y cultural. La violencia directa incluye el asesinato y la agresión física, mientras que la violencia estructural se refiere a formas sistemáticas de opresión integradas en instituciones sociales y políticas. La violencia cultural justifica y legitima la violencia directa y estructural a través de valores, creencias, lenguaje e ideología.
FIRMEZA DE LAS DECLARACIONES CASOS ESPECIALES Laboratorio Innovación Labor...innovalabcun
El documento establece diferentes plazos de firmeza para las declaraciones tributarias en Colombia dependiendo de circunstancias especiales como la solicitud de devolución de saldos a favor, la compensación de pérdidas fiscales, la aplicación voluntaria del régimen IMAS o el beneficio de auditoría para los años 2011-2012. En general, las declaraciones quedan en firme a los dos años excepto en los casos antes mencionados donde el plazo puede ser de dos, cinco o seis meses.
El memorando describe los pasos clave en la planeación de una auditoría, incluyendo identificar áreas de riesgo, objetivos del trabajo, equipo requerido y un cronograma. Explica que la planeación es crucial para evitar sorpresas y asegurar que la auditoría se enfoque en los aspectos más importantes.
La BIOS es un firmware que contiene instrucciones básicas para que las computadoras puedan funcionar correctamente. Almacena valores como la cantidad de memoria y dispositivos instalados. Existen diferentes tipos de memoria ROM para almacenar la BIOS, como PROM, EPROM y EEPROM. La BIOS controla el arranque del sistema y permite configurar opciones como la detección y configuración de discos duros a través del menú Setup. Una pila mantiene los valores almacenados en la BIOS cuando la computadora está apag
Unidad 4 tecnicas y procedimientos de auditoria, papeles de trabajoinnovalabcun
Las técnicas de auditoría son los métodos que usa un auditor para obtener la información necesaria para emitir una opinión profesional. Estas técnicas incluyen el estudio general, análisis, inspección, confirmación, investigación, declaraciones y certificaciones, observación y cálculo. Los procedimientos de auditoría son combinaciones de estas técnicas aplicadas a estudios particulares. La extensión y oportunidad de los procedimientos dependen de la actividad de la empresa y cuando se aplican para obtener las mejores conclusiones.
Diferencias entre personas naturales y personas jurídicas unidad 7.pptxinnovalabcun
El documento describe las principales diferencias entre personas naturales y jurídicas. Las personas naturales nacen y mueren, mientras que las personas jurídicas se crean al cumplir con los requisitos legales y se extinguen con la liquidación. Las personas naturales tienen capacidad plena a los 18 años, mientras que las jurídicas solo tienen capacidad en temas relacionados con su objeto social. Se identifican de forma diferente y las personas jurídicas tienen un patrimonio separado de sus socios.
Este documento presenta la fundamentación y objetivos de la Cátedra Pensamiento Cunista (CPC) en la Corporación Unificada Nacional de Educación Superior. La CPC busca fortalecer la identidad institucional y prevenir la deserción estudiantil a través de la reflexión sobre temas relevantes para la sociedad. Se estructura en torno al Proyecto Educativo Cunista y se enfoca en la formación para la transformación social. El documento explica los conceptos y módulos que componen la CPC, así como su justificación y alc
Este documento trata sobre diferentes tipos de funciones matemáticas como funciones sobreyectivas, biyectivas, constantes e identidad. Explica las características de cada tipo de función y provee ejemplos para ilustrarlas. También incluye ejercicios prácticos sobre dominio, rango y graficación de funciones lineales, valor absoluto y cuadráticas.
Este documento introduce conceptos fundamentales sobre relaciones y funciones. Define relación como un subconjunto del producto cartesiano de dos conjuntos. Una función es una relación especial donde a cada elemento del dominio se le asigna un único elemento del codominio. Explica cómo determinar el dominio, imagen e identificar si una función es inyectiva, sobreyectiva o biyectiva. También introduce la noción de función inversa y su relación con la biyectividad de la función original.
1. El documento define conceptos básicos de funciones como dominio, campo de valores y representaciones alternas como diagramas, conjuntos de pares ordenados, gráficas y ecuaciones.
2. Se explican métodos para determinar si una relación o ecuación representan una función, como el teorema de la línea vertical para gráficas.
3. Se proveen ejemplos para ilustrar cómo identificar el dominio y campo de valores de funciones dadas en diferentes formas.
Este documento define el producto cartesiano de dos conjuntos A y B como el conjunto de todos los pares ordenados formados por un elemento de A y un elemento de B. Explica que el producto cartesiano de dos conjuntos de números reales R es equivalente al plano cartesiano. Proporciona ejemplos de cálculo de productos cartesianos y define las funciones matemáticas como relaciones que asignan a cada elemento de un conjunto dominio un único elemento de un conjunto codominio.
Este documento presenta una introducción a los conceptos básicos de pares ordenados, relaciones y funciones. Explica que un par ordenado consiste en dos elementos y un criterio de ordenación, y que dos pares son iguales si sus componentes correspondientes son iguales. También define el producto cartesiano de dos conjuntos como el conjunto de todos los pares ordenados formados con los elementos de cada conjunto, y presenta ejemplos de relaciones y funciones, incluyendo sus dominios, rangos e injecciones.
1) El documento presenta conceptos básicos de funciones como dominio, imagen, gráficas, operaciones entre funciones, composición de funciones y transformaciones de gráficas. 2) Se definen conceptos como funciones pares e impares, intervalos de positividad y negatividad, ceros y ordenada al origen. 3) Finalmente, se describen propiedades como monotonía y características para determinar intervalos de crecimiento o decrecimiento.
El documento define y clasifica diferentes tipos de funciones matemáticas. Explica que una función es una relación entre dos cantidades donde cada elemento del primer conjunto tiene asociado un único elemento del segundo conjunto. Luego describe funciones algebraicas como funciones polinómicas, cuadráticas, cúbicas y racionales, así como funciones por partes definidas en intervalos como funciones en valor absoluto y de signo.
El documento define y clasifica diferentes tipos de funciones matemáticas. Explica que una función es una relación entre dos cantidades donde cada elemento del primer conjunto tiene asociado un único elemento del segundo conjunto. Luego describe funciones algebraicas como funciones polinómicas, cuadráticas, cúbicas y racionales, así como funciones por partes definidas en intervalos como funciones en valor absoluto y de signo.
El documento describe las funciones algebra, incluyendo funciones, funciones cuadráticas, funciones exponenciales y funciones logarítmicas. Una función es una relación entre dos conjuntos donde cada elemento del dominio está asignado a un único elemento de la imagen. Las funciones cuadráticas pueden escribirse como f(x)=ax^2+bx+c y forman una parábola. Las funciones exponenciales son de la forma f(x)=b^x y crecen sin límites cuando x crece. Las funciones logarítmicas son de la forma f(
Este documento presenta información sobre funciones. Define el producto cartesiano de dos conjuntos y las relaciones entre elementos de conjuntos. Explica que una función es una relación especial donde cada elemento del dominio tiene una única imagen. Describe formas de representar funciones como tablas, gráficas y expresiones analíticas. Presenta ejemplos de funciones lineales y cómo modificar sus gráficas mediante desplazamientos.
Este documento presenta información sobre relaciones y funciones matemáticas. Introduce conceptos clave como pares ordenados, relaciones, relaciones unívocas y funciones. Explica cómo una función se define por su conjunto de partida, conjunto de llegada y gráfica. También incluye ejemplos y ejercicios para ilustrar estos conceptos fundamentales.
La función se define como una relación entre dos conjuntos donde a cada elemento del primer conjunto (dominio) le corresponde exactamente un elemento del segundo conjunto (codominio). Las funciones tienen un dominio, un codominio y un rango. El dominio son los valores posibles de la variable independiente, el codominio son los valores posibles de la variable dependiente y el rango son los valores que realmente toma la función.
Este documento explica las funciones racionales y cómo representarlas gráficamente. Define una relación como una correspondencia entre dos conjuntos, y una función como una relación especial donde cada elemento del primer conjunto está relacionado con exactamente un elemento del segundo conjunto. Explica cómo calcular el dominio y codominio de una función y representarla mediante tablas, gráficas y expresiones algebraicas.
Definiciòn de funciòn. Funciones Reales : dominio, rango y gràfica de funciones reales. Dominio, rango y gràfica de Funciones constantes, lineales, cuadràticas, Valor Absoluto, racionales, raiz cuadrada.
Este documento presenta los conceptos básicos de las funciones reales de variable real. Define funciones, dominio, rango y gráficas. Explica funciones especiales como constante, identidad, valor absoluto, lineal y cuadrática. También cubre operaciones algebraicas con funciones como suma, resta, multiplicación y división. Finalmente, incluye ejemplos y preguntas de práctica.
El documento presenta conceptos básicos de conjuntos y funciones matemáticas. Introduce las nociones de pertenencia, conjunto vacío y subconjunto. Explica el producto cartesiano de dos conjuntos y provee ejemplos. Luego, define relación y función, y distingue entre ambos conceptos. Finalmente, describe cómo representar funciones gráficamente usando coordenadas cartesianas, incluyendo ejemplos de funciones lineales y constantes.
Este documento describe las funciones matemáticas. Explica que una función asigna un único valor de salida a cada valor de entrada, y que las funciones se pueden clasificar como inyectivas, suryectivas o biyectivas dependiendo de sus propiedades de entrada y salida. También define el dominio como el conjunto de valores de entrada y el rango como el conjunto de valores de salida de una función.
Este documento presenta información sobre funciones matemáticas y cómo graficarlas y encontrar sus raíces en MATLAB. Explica conceptos como dominio, codominio e imagen de una función, así como tipos de funciones como suprayectivas, inyectivas y biyectivas. Luego proporciona ejemplos de cómo graficar funciones cuadráticas y encontrar sus raíces numérica y gráficamente en MATLAB usando comandos como plot, ezplot, solve y zooming.
X1. La función define una relación entre elementos de dos conjuntos donde a cada elemento del primer conjunto le corresponde un único elemento del segundo conjunto.
X2. El dominio es el conjunto de partida y el codominio es el conjunto de llegada. Se pueden clasificar las funciones como inyectivas, sobreyectivas o biyectivas dependiendo de si la correspondencia entre los elementos es única o no.
X3. Las funciones polinómicas y homográficas son ejemplos de funciones que se pueden representar gráficamente y cuyas propiedades como raíces, vért
El documento explica lo que es un estado del arte, las fases y pasos para su construcción, y donde buscar información. Un estado del arte sigue las huellas de un tema de investigación, determina cómo ha sido tratado y sus tendencias. Incluye una búsqueda heurística de fuentes primarias y secundarias, luego un análisis hermenéutico de la información. Se recomienda articular los temas a través de títulos y subtítulos para un estado del arte cohesivo que lleve al lector hacia el interés particular
Elaboración de un proyecto de investigación innovalabcun
El documento describe los elementos principales de un proyecto de investigación, incluyendo el título, palabras clave, resumen, introducción, justificación, planteamiento del problema, objetivos general y específicos, marco teórico, metodología, componentes del proyecto y referencias. Además, explica que el propósito de un artículo científico es comunicar los resultados de la investigación de manera clara y concisa.
Este documento describe la metodología de investigación para un trabajo de investigación en política pública de salud. Explica los estándares de presentación de APA como la tipografía, márgenes y espaciado. También cubre temas como la importancia de citar fuentes, los tipos de citas y cómo organizar la lista de referencias.
Este documento describe los diferentes tipos de reproducción en animales, incluyendo reproducción asexual, sexual y formas especiales. Explica los procesos de formación de gametos, fecundación, desarrollo embrionario y la intervención humana en la reproducción a través de técnicas de reproducción asistida y métodos anticonceptivos.
Este documento describe los diferentes tipos de reproducción en las plantas, incluyendo la reproducción asexual mediante esporulación y multiplicación vegetativa, y la reproducción sexual que implica la formación y fusión de gametos masculinos y femeninos. También explica los ciclos de vida de las plantas con alternancia de generaciones esporofíticas y gametofíticas, y los detalles del ciclo reproductivo sexual de las espermatofitas, que incluye la formación de flores, polinización, desarrollo del embrión y la semilla, y disemin
Este documento resume la estructura y organización de los cromosomas y el ADN en las células eucariotas. Explica que los genes se almacenan en cromosomas, y que el ADN se empaqueta en niveles crecientes de condensación, incluyendo nucleosomas, fibra de 10 nm, fibra de 30 nm, cromatina y cromosomas metafásicos. También describe el ciclo celular eucariota y cómo los cromosomas cambian su estado de condensación a lo largo de él.
El documento describe los procesos de anabolismo autótrofo y fotosíntesis. La fotosíntesis consta de dos fases: la fase luminosa, en la que la energía de la luz se convierte en energía química en forma de ATP y NADPH; y la fase oscura, en la que esta energía química se usa para fijar el CO2 y convertirlo en materia orgánica a través del ciclo de Calvin. La fase luminosa implica dos fotosistemas que transportan electrones de forma que se bombean protones
El documento resume los principales procesos catabólicos: 1) El catabolismo implica la degradación de moléculas para liberar energía en forma de ATP mediante respiración o fermentación; 2) La respiración incluye la glucólisis, el ciclo de Krebs, la cadena respiratoria y la fosforilación oxidativa, que degradan completamente moléculas como la glucosa para producir más ATP; 3) La fermentación implica una degradación parcial con moléculas orgánicas como aceptores finales de
Este documento introduce los conceptos fundamentales del metabolismo y la bioenergética. Explica que el metabolismo consiste en una serie de reacciones químicas organizadas en rutas metabólicas que convierten nutrientes en moléculas celulares y producen energía en forma de ATP. Las rutas metabólicas centrales generan energía a través de procesos como la glucólisis y el ciclo de Krebs, y la energía se almacena y transfiere a través de moléculas como el ATP. El documento también describe los principios básicos de
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Las Moléculas de la Vida Información complementariainnovalabcun
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El documento trata sobre química orgánica. Explica que la química orgánica estudia los compuestos de carbono y que este elemento puede formar una gran variedad de compuestos al unirse a sí mismo y a otros elementos como hidrógeno, oxígeno y nitrógeno. También describe los principales tipos de hidrocarburos como alifáticos, aromáticos, alcanos, alquenos y alquinos, así como conceptos clave sobre enlaces y nomenclatura en química orgánica.
Este documento proporciona instrucciones para configurar un router, incluyendo cómo conectar el cable serial, los parámetros de configuración, los modos EXEC de usuario y privilegiado, cómo obtener ayuda sobre comandos, cómo crear usuarios, y comandos básicos para configurar interfaces, visualizar información e implementar enrutamiento estático.
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El documento describe diferentes tipos de subsistemas de control. Explica la retroalimentación negativa, que mantiene al sistema dentro de su plan original mediante información que advierte de desviaciones y correcciones. También describe la retroalimentación positiva, que modifica los objetivos en lugar de la conducta. Finalmente, discute los sistemas de desviación-amplificación que amplifican efectos iniciales a través de realimentación positiva entre elementos, divergiendo del estado inicial.
El documento describe los métodos para mejorar y diseñar sistemas. Explica que el mejoramiento implica que se ha establecido el diseño de un sistema y que se busca cómo hacer que el sistema produzca mejores resultados acercándose a los objetivos de diseño. Los pasos para mejorar un sistema incluyen definir el problema, identificar el sistema y subsistemas, determinar las condiciones actuales y esperadas, hipotetizar las razones de desviación, y sacar conclusiones mediante deducción.
La Unidad Eudista de Espiritualidad se complace en poner a su disposición el siguiente Triduo Eudista, que tiene como propósito ofrecer tres breves meditaciones sobre Jesucristo Sumo y Eterno Sacerdote, el Sagrado Corazón de Jesús y el Inmaculado Corazón de María. En cada día encuentran una oración inicial, una meditación y una oración final.
José Luis Jiménez Rodríguez
Junio 2024.
“La pedagogía es la metodología de la educación. Constituye una problemática de medios y fines, y en esa problemática estudia las situaciones educativas, las selecciona y luego organiza y asegura su explotación situacional”. Louis Not. 1993.
1. FUNCIONES
Una relación R A x B es función . .
.Si verifica dos
condiciones:
Existencia Unicidad
Existencia verifica si para cada elemento
del conjunto A existe una imagen en B
Simbólicamente a
A 1
2
3
2
3
4Unicidad, si cada elemento del conjunto
A se relaciona con un solo elemento del
conjunto BSimbólicamente (a, b)
f
A B
A = { 1, 2, 3
}
B = { 2, 3,4 }
R : (a, b) b = a + 1
: b B / (a, b) f
para todo elemento a que pertenece al conjunto A se verifica
que existe un elemento b que pertenece al conjunto B
tal que el par ordenado (a, b) pertenece a f
Dados dos conjuntos
definimos en el producto
cartesiano A x B una
Relación
y
(a, c) f b = c
Si el par ordenado (a, b) pertenece a f y el par ordenado (a, c) pertenece a f
entonces b es igual a c
Es función si cada elemento del conjunto A se
relaciona con uno y solo un elemento del conjunto B
13a 13b
13 14
14 i 14 ii 14 iii
14 iv 14 v 14 vi
13c
2. 1
2
3
2
4
A B
En situaciones como
también se verifica
que
para cada elemento del conjunto A
existe una imagen en B
(existencia)
cada elemento del conjunto A se relaciona
con un solo elemento del conjunto B
(unicidad)
Situaciones como . .
.
Es función
1
2
3
2
4
A B
no verifica la condición de
existencia
el elemento 2 A pero no tiene un
correspondiente en B
NO es función
1
2
3
1
3
4
A B
2
En el caso . .
.
no verifica la condición de
unicidad
el elemento 1 A se relaciona con
dos elementos diferentes de la
imagen (B )
NO es función
13 14
13a 13b
14 i 14 ii
14 iii 14 iv
14 v 14 vi
13c
3. Clasificación de funciones
Una función es inyectiva si dos elementos cualesquiera
diferentes del dominio tienen imágenes diferentes
1
2
3
2
3
4
A B
En este caso tenemos
función inyectiva
x1 x2 A : x1 x2 f(x1) f(x2)
Porque cada elemento
del conjunto A tiene
imagen diferente en el
conjunto BUna función es sobreyectiva si todos los
elementos del conjunto B (codominio) son
Imagen de la función, es decir que todos los
elementos del conjunto B admiten al menos
un antecedente en el dominio
En este caso tenemos
función sobreyectiva
Porque todos los elementos del conjunto B tienen
un antecedente con el que se relacionan en el
conjunto A
Si una función es inyectiva y sobreyectiva . . . es BIYECTIVA
y B, x A / y = f(x)
13 14
13a 13b
14 i 14 ii
14 iii 14 iv
14 v 14 vi
13c
4. Puede suceder que . . .
1
2
3
2
3
4
A B
se verifica que 1 2 pero f(1) = f(2) =
2
función NO inyectiva
asimismo el elemento 3 del conjunto B
no admite antecedente en el conjunto
A
función NO sobreyectiva
1
2
3
2
4
A B
Si . . . se verifica que 1 2 pero f(1) = f(2) =
2 función NO inyectiva
pero todos los elementos
del conjunto B admiten
antecedente en A
función
sobreyectiva
1
2
3
2
4
A B
3
1
cada elemento del conjunto A
tiene imagen diferente en el
conjunto B función inyectivapero no todos los
elementos del conjunto
B admiten antecedente
en Afunción NO sobreyectiva13 14
13a 13b
14 i 14 ii
14 iii 14 iv
14 v 14 vi
13c
5. Para representar cualquier función se debe conocer . . .
Cuál es el dominio donde está
definida la función . . .
y cuál es la imagen que se
corresponde con el dominio de la
funciónDm Im y se estudia la ley de variación de la
función definida por y = f(x) . . .
Y =
f(x)
x y
esto se hace asignándo valores xi en la
expresión y = f(x); encontrando el
resultado yi que le corresponde a f(xi)
el dominio de la función son los
valores que puede tomar xi en
f(x)
La imagen de la función son los
valores que se corresponden con
cada valor del dominio de la
función
recuerde siempre que: si un valor
del conjunto “de salida A” no
tiene imagen, la expresión no es
función (Existencia)
Representación Gráfica de Funciones
Si dos elementos diferentes
del codominio (conjunto B)
son imagen del mismo
elemento de A, la expresión
no es función (Unicidad)13 14
13a
13b
14 i 14 ii
14 iii 14 iv
14 v 14 vi
13c
6. Podemos representar gráficamente una función en un par de
ejes coordenados
en el eje de abscisas
(x) el dominio N
En el eje de ordenadas
(y) la imagen N
1 2 3 4
N
N
5
4
3
2
1
Sea f
x x + 1 y
Si la misma ley de variación (y = x + 1)
estuviera definida de R R
Pero al ser el dominio todos los puntos del eje x
(reales), la función está definida para todo x
La función ahora es
f : R R / f(x) = x + 1
Sea la función f que va de Naturales
en Naturales tal que “f de x” es igual a x + 1
: N N / f(x) = x + 1
y confeccionamos una
tabla, asignándole
valores a x para
hallar valores de ysi 1 1 + 1
2
si 2 2 + 1
3si 3 3 + 1
4si 4 4 + 1
5
el dominio ahora será
Reales
R
R
y la imagen también
Reales
debemos unir todos los puntos obtenidos
x
y
13 14
13a
13b
14 i 14 ii
14 iii 14 iv
14 v 14 vi
13c
7. 13 a) Para representar f: R R / f(x) = - 5 x
Primero reconocemos que el dominio son todos los números
realesEntonces cualquier valor de x debe tener un correspondiente
en y
Trazamos un par de ejes
coordenados
y confeccionamos una tabla de
valoresx - 5 x Y
1 -5 · 1 -
5-1 -5 · (-1)
50 -5 · 0
02 -5 · 2 -
10-2 -5 · (-2) 10
Y finalmente porque es una relación que va de Reales en
Reales, trazamos con línea llena una recta que une los
puntos identificados
Funciones
Rep. Gráfica
Clasificación
13 b 13 c
8. 13 b) Para representar g: Zpares Z / g(x) =
reconocemos el dominio y la imagen de la
relaciónEntonces serán pares ordenados (x,y) válidos solamente
aquellos donde x e y sean números enteros
Trazamos un par de ejes
coordenados
y confeccionamos una tabla de
valores
x Y
2 ½ · 2
1-2 ½ · (-2) - 1
4 ½ · 4
2-4 ½ · (-4) -
2
Y la relación
queda
representada por
puntos porque va
de Enteros pares
en Enteros.
(no corresponde
el trazado de
linea llena)
x
2
1
x
2
1
- 6 ½ · (-6) - 3
6 ½ · 6 3
0 ½ · 0 0
Funciones
Rep. Gráfica
Clasificación
13 c
9. 13 c) Para representar h(x) = 2x + 3
definida de N en N
Primero reconocemos cual es el
dominio
En este caso tanto el
dominio como la imagen
son el conjunto de los
números naturales (N)Significa que serán pares ordenados
de la relación aquellos en los que x
N y resulta de aplicar x en h(x),
que también h(x) N
Trazamos un par de
ejes coordenados
Y confeccionamos
una tabla de
valores para g(x)
x 2x + 3 Y
1 2 · 1 + 3
52 2 · 2 + 3
73 2 · 3 + 3
94 2 · 4 + 3
115 2 · 5 + 3
13
Y la función queda representada por puntos porque
va de Naturales en Naturales
y cual es la imagen de la relación
Funciones
Rep. Gráfica
Clasificación
10. 14 i) Para analizar el dominio de la expresión y = –3x + 4
consideramos que la variable x puede tomar cualquier valor
real
entonces Dm = { x / x R } Dm = [ - ; ]
de la misma manera, los valores que tome y para los
diferentes valores de x, van a estar contenidos en la recta de
los realesentonces Im = { x / x R } Im = [ - ; ]
Trazamos un par de ejes
coordenados
y confeccionamos una tabla de
valoresx - 3 x + 4 Y
1 - 3 · 1 + 4
1-1 - 3 · (-1) + 4
72 - 3 · 2 + 4 -
2
Cada valor del dominio
(x) tiene un valor
diferente en la imagen
(y)Inyectiva
Todos los elementos de la
imagen (eje y) admiten
un antecedente en el
dominio (eje x)
Sobreyectiva
Por ser una función
inyectiva y sobreyectiva
Es función biyectiva
es una
función que
va de Reales
en Reales
Funciones
Rep. Gráfica
Clasificación
14 ii 14 iii 14 iv 14 v 14 vi
11. 14 ii) Para analizar el dominio de la expresión y = – x2 + 4x - 3
consideramos que la variable x puede tomar cualquier valor
realentonces Dm = { x / x R } Dm = [ - ; ]
Trazamos un par de ejes
coordenados y para
confeccionar la tabla de
valores buscamos los
valores de x que hacen 0
la función (raíces)
x - x2 + 4x - 3 Y
1 - 12 + 4 · 1 - 3
03 - 32 + 4 · 3 - 3
02 - 22 + 4 · 2 - 3
1
Antes de definir la imagen, vamos a representar gráficamente la
parábola
)1(2
)3)(1(444 2
2
12164
3
1
2
1
x
x
con estos valores
empezamos la
representación gráficaEl vértice de la parábola estará
en un punto equidistante Tomamos valores a la
izquierda y a la derecha de
los ya hallados
0 - 02 + 4 · 0 - 3 -
34 - 42 + 4 · 4 - 3 -
3-1 -(-1)2 + 4·(-1) - 3 -
85 - 52 + 4 · 5 - 3 -
8
y finalmente trazamos la curva uniendo
todos los puntos ( R R )
Funciones
Rep. GráficaClasificación
14 iii 14 iv 14 v 14 vi
12. La Relación definida por y = – x2 + 4 x – 3 que tiene una gráfica
tiene el dominio en Reales
Dm = { x / x R }
De observar el gráfico, vemos que la
relación no tiene valores de y mayores
que 1
Im = { x / x R x 1 }
en el gráfico y en la tabla se nota
que hay valores diferentes del
dominio (x) que tienen la misma
imagen (y);
f(0) = - 02 + 4 · 0 – 3 = -
3f(4) = - 42 + 4 · 4 – 3 = -
3
No Inyectiva
con solo un par
de valores del
dominio que
admita la
misma imagen,
es suficiente
para que la
función sea No
Inyectiva
Igualmente es posible ver que, de los elementos del
conjunto de llegada (Reales - eje Y), solamente los
menores o iguales que 1 pertenecen a la imagen de la
funciónNo Sobreyectiva
por ejemplo
Funciones
Rep. Gráfica
Clasificación
13. 14 iii) Antes de analizar la expresión y = log2 (2x - 3)
Recordamos que a la función logarítmica la podemos definir
mediante :
cbloga ba
c
ejemplo
:
8238
3
2 log
Las calculadoras en general, con la
tecla
Log x entregan valores
de logaritmo decimal; es decir de logaritmos en base
10
y con la
tecla
Ln x entregan valores de logaritmo natural; ( logaritmos en
base e )
Si deseamos conocer un logaritmo con base distinta de 10 ó e debe
. . .
plantear la siguiente
expresión :
xloga
NO porque si el logaritmo es decimal, NO se coloca la
base
¿ en la tecla de la
calculadora falta la base
?
alog
xlog con la calculadora (que
resuelve solo logaritmos
decimales), podemos
resolver un logaritmo que
no es decimal
Ejemplo : calcula log2 8 =
82log
2
8
log
log
30102999570
9030899870
,
,
3
14 iv 14 v 14 vi
14. 14 iii) Ahora representamos gráficamente log2 (2x - 3)
x [log(2x-3)]/log2 Y
2 0/0,301030 0
2,5 0,301030/0,301030 1
3,5 0,602060/0,301030 2
5,5 0.903090/0,301030 3
9,5 1,204120/0,301030 4
Vamos a confeccionar una tabla de
valores
1,75 –0,301030/0,301030 -1
si x = 1,5trazamos entonces en x = 1,5
la asíntota de la función
investigamos qué pasa a la izquierda
de la asíntota, por ejemplo para x =
0 porque no existe ningún valor
al se cual pueda elevar 2 y
obtener como resultado un
negativo
recuerda que :
)x(log 322
2
32
log
)xlog(
1,65 –0,522879/0,301030 -2,26
1,55 -1/0,301030 -3,32
2x – 3 = 0
Sabemos que el
log 0
siempre que
2x – 3 > 0
habrá algún valor
para f(x)
2x – 3 toma valores
negativos y la función no
está definida en esos
valores ( x < 1.5 ) trazamos la curva
con los puntos conocidos (sin tocar la
asíntota)
Funciones
Rep. Gráfica
Clasificación
15. la relación definida por y= log2 ( 2x – 3 ) se representa en el gráfico
x toma solamente valores mayores que 1,5
entonces:Dm = { x / x R x 1,5 }
Im = { x / x R }
Cada valor del dominio (eje x) tiene
un valor diferente en la imagen (eje
y)
Función Inyectiva
Todos los elementos del codominio
(eje y) son imagen de la función -
admiten un antecedente en el
dominio (eje x)-Función Sobreyectiva
Por ser una función
inyectiva y sobreyectiva
Es función biyectiva
En cambio, en el gráfico se ve que todos los valores del eje y
tienen antecedente en x
Recuerda que siempre es conveniente
empezar a representar una función
logarítmica localizando la asíntota
Funciones
Rep. Gráfica
Clasificación
16.
0x2si1x
0xsi3
0xsi1x
3
14 iv) Si f(x) =
En primer lugar
reconocemos que x
no puede tomar
valores menores que
-2
En consecuencia Dm = {x/x R x –2 } Dn = [-2 ; )
Con frecuencia los alumnos confunden esta relación
(definida por partes) con “tres relaciones diferentes”
Se trata de una sola relación (tiene y hemos hallado un solo
dominio); PERO TAMBIEN TIENE DIFERENTES LEYES DE
VARIACION EN DETERMINADOS TRAMOS DEL DOMINIO
si x > 0 la ley de variación es x -
1
si x = 0 la función vale
3
si x 0 la función vale x3 + 1
La representación gráfica
se realiza como para
cualquier otra relación
Se confeccionan tablas de valores cuidando que las leyes de
variación se correspondan con los respectivos intervalos del
dominio
Funciones
Rep. Gráfica
Clasificación
14 v 14 vi
17. x y = x - 1 Y
1 1 - 1
03 3 – 1
2
Para x > 0 f(x) = x -
1
Si x se acerca mucho a 0, pero
sin ser igual a 0, toma por
ejemplo valores como 0,1; 0,01;
0,001, etcsi x fuera igual a 0 entonces y
sería igual a - 1
debemos entender que si x se
acerca a 0 con valores mayores que
0, y se acerca a –1, pero sin ser
y = -1Representamos ese punto con un círculo
que significa que la función toma valores
muy próximos a ese valor (-1) para valores
muy próximos de x = 0 (por derecha );
pero sin ser y = – 1 en x = 0
Unimos con una recta todos los valores
hallados por tratarsae de una ley de
variación lineal y comprobamos que
hay “al menos” tres puntos alineados
En x = 0 la función vale
3
Funciones
Rep. Gráfica
Clasificación
18. x y = x3 + 1 Y
-1 (-1)3 + 1
0-2 (-2)3 + 1 - 7
Para x < 0 f(x) = x3 +
1
Si x se acerca mucho a 0, pero
sin ser igual a 0, toma por
ejemplo valores como -0,1; -
0,01; -0,001, etcsi x fuera igual a 0 entonces y
sería igual a 1 (con esta ley de
variación)debemos entender que si x se
acerca a 0 con valores menores que
0, y se acerca a 1, pero sin ser
y = 1Representamos ese punto con un círculo
que significa que la función toma valores
muy próximos a ese valor (1) para valores
muy próximos de x = 0 (por izquierda); pero
sin ser y = 1 en x = 0
Unimos los tres puntos hallados con uina
curva de parábola cúbica solo para
valores comprendidos en el intervalo [-2;
0)
y tenemos así la representación gráfica de la
función
0x2si1x
0xsi3
0xsi1x
3
f : Dm Im / f(x) =
Funciones
Rep. Gráfica
Clasificación
19. El dominio de la función ya fue encontrado [ -
2; )
Y podemos observar en el gráfico que llos valores del eje y
que admiten antecedente en los valores del dominio del
eje x, van de – 7 a
Im = { x / x R x -7 } Im = [-7; )
Existen valores diferentes del dominio
que tienen la misma imagen, por
ejemplo para x= 1 ó x = - 1; y = 0
La función es No inyectiva
Como la función está definida de Dm
R
y resulta que la Imagen no es igual a
R sino que Im R
La función es No sobreyectiva
Funciones
Rep. Gráfica
Clasificación
20.
1ln
101
02
xsix
xsi
xsix
14 v) Si f(x) =
En primer lugar
reconocemos que x
puede tomar valores
que van de - a +
En consecuencia Dm = {x/x R } Dn = (- ; + )
Con frecuencia los alumnos confunden esta relación
(definida por partes) con “tres relaciones diferentes”
Se trata de una sola función (tiene y hemos hallado un solo
dominio); PERO TAMBIEN TIENE DIFERENTES LEYES DE
VARIACION EN DETERMINADOS TRAMOS DEL DOMINIO
si x < 0 la ley de variación es 2
x
si 0 x 1 la función vale
1
si x > 0 la ley de variación es
lnx
La representación gráfica
se realiza como para
cualquier otra función
Se confeccionan tablas de valores cuidando que las leyes de
variación se correspondan con los respectivos intervalos del
dominio
Funciones
Rep. Gráfica
Clasificación
14 vi
21. x ln x y
4 ln 4 1,39
8 ln 8 2,08
Para x > 0 f(x) = ln x
Si x fuera igual a 1
entonces y sería igual a
0 debemos entender que si x se acerca a 1 con valores
mayores que 1, y se acerca a 0, pero sin ser y = 0
representamos ese punto con un círculo que significa que la función
toma valores muy próximos a y = 0 para valores muy próximos de x =
1 (por derecha ); pero sin ser y = 0 en x = 1
Unimos los valores hallados con una curva que
representa la ley de variación logarítmica
luego, estudiamos qué sucede con los valores
de x comprendidos entre 0 y 1; – intervalo
[0; 1] -
para cualquier valor del intervalo [0; 1] la función
vale 1
si x = 0 y = 1
si x = 1 y = 1
Funciones
Rep. Gráfica
Clasificación
22. Para los valores de x < 0 estudiaremos la ley de variación y = 2x
Confeccionamos tabla de
valores
x 2
x
y
-1 2-1 1/2
-2 2-2 1/4
Si x fuera igual a 0
entonces y sería igual a
1
debemos entender que si x se acerca a
0 con valores menores que 0 ; y se
acerca a 1, pero sin ser y = 1
representamos ese punto con un círculo que significa que la función toma
valores muy próximos a y = 1 para valores muy próximos de x = 0 (por
izquierda); pero sin ser necesariamente y = 1 en x = 0
Unimos los valores hallados con una curva que representa la ley de variación
exponencial (2
x
)Luego prolongamos la curva hasta el punto y =1, porque de un
estudio anterior resulta que en x = 0 la función efectivamente
vale 1y borramos el círculo rojo de y = 1 porque al tomar
valor la función en ese punto, ya no tiene sentido
mantenerlo
Funciones
Rep. Gráfica
Clasificación
23. Cualquier valor del eje x tiene un correspondiente en el eje y
Im = { y / y R y > 0 } Im = (0; )
Existen valores diferentes del dominio que tienen la
misma imagen, por ejemplo para x = 0 ó x = 1; y
= 1
La función es No inyectiva
Como la función está definida de Dm
R
y resulta que la Imagen no es igual a R sino que Im
R
La función es No sobreyectiva
Dm = { x / x R } Dm = (-; )
Pero se ve también que, solamente los valores de y >
0 admiten algún antecedente en el eje x
Funciones
Rep. Gráfica
Clasificación
24. 14 vi) Si f(x) =
En primer lugar reconocemos
que x no puede tomar el valor
- 3
3x
2
en ese caso tendríamos 2 / 0; así
podemos decir que para x = - 3
no existe un valor finito de la
función
Trazamos un par de ejes coordenados
Luego confeccionamos tabla de
valores, para x próximos a –3 por
derecha
x y
3x
2
- 2 2/(-2+3)
2- 1 2/(-1+3)
10 2/(0+3)
2/31 2/(1+3)
1/22 2/(2+3)
2/5-2,5 2/(-2,5+3) 4
-2,6 2/(-2,6+3) 5
y estudiamos qué sucede
a la izquierda de x= –3
x y
3x
2
- 4 2/(-4+3) - 2
- 5 2/(-5+3) -
1- 6 2/(-6+3) -2/3
- 7 2/(-7+3) -
1/2- 8 2/(-8+3) -
2/5-3,5 2/(-3,5+3) - 4
-3,6 2/(-3,6+3) - 5
x = -3 es un valor que no está definido en la función, luego la línea
de la función no puede cortar la línea de trazos punteada
Unimos los puntos situados a la izquierda de x = -3
por un lado y los puntos de la derecha de x = -3 por
trazamos una asíntota en x = -3
Funciones
Rep. Gráfica
Clasificación
25. Cualquier valor del eje x -3 tiene un correspondiente en el eje y
Im = { y / y R y 0 } Im = (-; 0) (0; )
No Existen valores diferentes del dominio que
tengan la misma imagen
La función es inyectiva
Como la función está definida de Dm
R
y resulta que la Imagen no es igual a R sino que Im = R –
{0}
La función es No sobreyectiva
Dm = { x / x R x - 3 }Dm = (-; -3) (-3; )
los valores del eje y que se relacionan con algún valor
de x; son todos, menos el 0
todos los valores del dominio tienen imágenes
diferentes
Funciones
Rep. Gráfica
Clasificación
26. 14 d) De todas la funciones analizadas solo son
biyectivas
f : R R / f(x) = –3x +
4
y f : R > 1,5 R / f(x) = log2 (2x –
3)y precisamente, por ser biyectivas admiten función
inversapara hallar la inversa de la
función,
f : R R / f(x) = –3x +
4
transformamos el dominio en
imagen f-1 : R Ry viceversa
y = –3x + 4 y - 4 = –3x
multiplico todo por (-1) y
permuto los miembros (para
ordenar)
3x = 4 - y luego despejo x
3
4 y
x
y efectúo ahora un
cambio de variables (x
por y)
3
4 x
y
La ley de variación así obtenida, es la
ley de variación de la función inversa
3
41 x
)x(f/
en la ley de
variación
hacemos pasajes
de términos, para despejar x
Funciones
Rep. Gráfica
Clasificación
27. 3
411 x
)x(f/RR:f
Representamos gráficamente
en el mismo gráfico que
hemos representado
43 x)x(f/RR:f
confeccionamos
una tabla de
valores
x f-1
(x)
3
4 x
4
3
44
0
- 2 2
- 8 4
3
24 )(
3
84 )(
trazamos la recta, que también va de R
Rtenga siempre presente que los puntos de una función
cualquiera que admite inversa; y su inversa son
equidistantes respecto de la bisectriz (recta a 45º) del
Funciones
Rep. Gráfica
Clasificación
28. para hallar la inversa de la
función,
f : Dm R / f(x) = log2(2x-3)
transformamos el dominio en
imagen
f-1 : R R > 1,5
y viceversa
luego despejamos la incógnita x
de la ley de variación de f=
log2(2x-3)
y = log2(2x –
3)
2
y
= 2x - 3 permuto los miembros (para
ordenar)
luego despejo xy
x 232
y efectúo ahora un cambio de variables (x por y)
2
32
x
y
La ley de variación así obtenida, es la
ley de variación de la función inversa
2
321
x
)x(f/
Dm = { x / x R x > 1,5 } entonces
f : R > 1,5 R / f(x) = log2(2x-3)
recuerde que: logab = c
ac = b
322
y
x
2
32
y
x
recordemos que
ya hemos
hallado
Funciones
Rep. Gráfica
Clasificación
29. Representamos gráficamente
en el mismo gráfico que
hemos representado
)x(log)x(f/R.R:f 3251 2
confeccionamos una tabla de valores
X f-1
(x)
2
32
x
0 2
32
0
unimos los puntos con
trazo continuo
porque f-1 va de R
R
2
32
51
11
x
)x(f/,RR:f
también aquí f-1 es
equidistante de f
respecto de la bisectriz
del primer cuadrante
y finalmente podemos trazar
la asíntota de f-1 que es y =
1,5
recuerde
que f tiene
asíntota en
x = 1,5
porque aunque tomemos valores muy
pequeños de x, f-1 será siempre 1,5
2
1 2
32
1
2,5
2 2
32
2
3,5
4 2
32
4
9,5
-
1
2
32
1
1,75
-4 2
32
4
1,53
-10 2
32
10
1,5001
borramos la asíntota de f(x) para limpiar el dibujo
Funciones
Rep. Gráfica
Clasificación
30. Es hora de descansar ! ! !
Momento propicio para
establecer nuevas relaciones . . .
Pero recordá, puede descansar solamente el
que antes trabajó (estudió)
Debe trabajar el hombre
para ganarse su pan,
pues la miseria en su afán
de perseguir de mil modos.
Llama a la puerta de todos
y entra en la del haragán.
Martín Fierro (José Hernández)