Este documento presenta la resolución de varios problemas relacionados con funciones. Se analizan funciones explícitas e implícitas, se determinan dominios y rangos, se estudian monotonicidad, máximos y mínimos, y se verifica si funciones son inyectivas o biyectivas. Los problemas abarcan temas como gráficas de funciones, ecuaciones y desigualdades, y transformaciones entre funciones.

1. Repaso UNI ̅
Álgebra
Funciones √ ⃗
Problema 01. ⟦ ⟧
Resolución. Se tiene la función Es decir, .
( )
( ) Por lo tanto, ( ) * +.
( ) (ya que: )
Se sabe que
Problema 05.
Resolución. Se tiene la función ( ) .
Del gráfico se obtiene los siguientes datos:
( ) ( )
⏟ ⏟
( )
Por lo tanto, ( ) [ ]. Por lo tanto, .
Problema 02. Problema 06.
Resolución. La función está bien definida en los reales si: Resolución. Se tiene la función ( ) . Por dato:
( )
√
Luego, ( ) .
√
También, el rango de la función es , ⟩. Es decir,
( ) ⏟
⏟ Tiene que ser un trinomio
⏟ cuadrado perfecto.
√
Recuerde que: y . Nos piden calcular:
( )
√
Por lo tanto, ( ) 〈 〉. ( )
Problema 03. Problema 07.
Resolución. Vemos que la función ( ) √ es Resolución. Como la gráfica de la función lineal ( )
monótona creciente en su dominio , √ ⟩, entonces pasa por el punto ( ), entonces
( ) √ y ( √ )
( )
√ √ y √ √( √ )
Además las gráficas de ( ) y ( ) tienen un único punto de contacto.
y √
Esto quiere decir que la siguiente ecuación tiene una única solución.
Por lo tanto, √ (√ ).
( ) ( )
Problema 04.
Resolución. Como , entonces Se debe cumplir que :
( )( )
( ) ( )
luego, ( )
( ) ⟦ ⟧ ( ) ⟦ ⟧( ) ⟦ ⟧
( )
Hallemos los valores que puede tomar el máximo entero. Como
Luego,
Por lo tanto, .
Esto quiere decir que
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2. Repaso UNI ̅
Álgebra
Funciones √ ⃗
Problema 08. Problema 10.
Resolución. Hallemos los valores de resolviendo la inecuación: Resolución. El dominio de la función es ( ) 〈 〉.
Analicemos el signo de la función :
{
Luego la función se puede redefinir de la siguiente manera:
( )( )
( )
( )( )( )( ) ( ) { ( ) {
( )
Aplicando el criterio de los puntos críticos se obtiene ( )
, - , -
Cuya gráfica es la que se muestra en la figura:
Ahora hallemos el máximo valor de la función ( ) .
Si esbozamos el gráfico de la función , vemos que basta evaluarlo
en para obtener su maximo.
Problema 11.
Resolución. Hallemos el dominio de cada función:
Por lo tanto, ( ) ( ) ( ) . ( ) * +
( ) ⟨ - ( )
Problema 09. Luego,
( ) ( ) ( ) * +
Resolución. Por dato, ( ) , entonces
Hallemos los valores de :
( )
⏟ ⏟ ⏟ y  ( )( ) ( ) ( ) ( )
1 1 1  ( )( ) ( ) ( ) (√ )
Luego, ( ) | | | | | |
 ( )( (√ )
) ( ) ( )
Que se puede expresar así:
Entonces, *( )( )( )+
Por lo tanto, ( ) .
( ) {
Ahora graficamos las funciones y obteneindo la región cuya área
se quiere calcular: Problema 12.
Resolución. Primero hallemos el dominio de cada una de las
funciones.
 ( ):
La función esta bien definida en los reales si
√
√
⏟
, - ( )
 ( ):
La función esta bien definida en los reales si
( )
⏟
〈 〉 * + ( )
Luego,
( ) ( ) ( )
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3. Repaso UNI ̅
Álgebra
Funciones √ ⃗
, - (〈 〉 * +) Problema 15.
〈 〉
Resolución. Claramente la función es inyectiva.
Hallemos su rango:
Problema 13.
Resolución. Primero hallemos el dominio de la función .
Por definición: Como
( ) { ⏟ ( ) ⏟( ) ( )}
, ⟩ ( ) , ⟩
, ⟩ | |
, ⟩ | |
, ⟩ | | ⏟
, ⟩ | |
⏟
( )
⏟ , ⟩
Luego, ( ) ⟨ ] ( )
, ⟩
( ) , ⟩ * + Ahora hallemos su inversa:
Se tiene la función
Hallemos la regla de correspondencia de :
( )( ) ( ( )) ( ) ( | |) | |
Por lo tanto, ( )
( )( ) | | , ⟩ * +
Problema 14. ( )
Resolución. Se tiene la función ( ) , que se ( )
puede expresar como ( ) ( ) .
Analicemos cada proposición. ( ) ⟨ ]
I. Verdadero
Sean y ( ) ⟨ -, tal que
Problema 16.
( ) ( )
( ) ( ) Resolución. Veamos si la función es inyectiva.
( ) ( ) Sean y ( ) tal que
( ) ( ) ( ) ( )
| | | | (√ √ ) (√ √ )
√ √ √ √
√ √ √ √
Por lo tanto, es inyectiva. √ √ √ √
II. Verdadero √ √ √ √
Hallemos el rango de la función . √ √ √ √
Como ( ) ⟨ -, entonces ( )( ) ( )( )
( )
( )
( )
( )
(
⏟ )(
⏟ )
Entonces, ( ) , ⟩ ; es decir, es sobre.
Por lo tanto, es biyectiva ya que es inyectiva y suryectiva a la No necesariamente es cero
vez. Entonces, y por lo tanto es inyectiva; es decir, tiene
inversa.
III. Verdadero
Sea ( ), es decir, sea ( ) entonces Hallemos su rango:
( ) , donde ( ) . Como es creciente en su dominio, entonces se cumple que
Lo cual implica que ( ) , esto es, ( ) .
( ) [ ( ) ( )] [ ( ) ( )] [ ] ( )
Luego, si ( ) ( ( )) ( )
y si ( ), entonces ( ( )) ( ) Ahora hallemos su inversa.
Se tiene la función
(√ √ )
√ √
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4. Repaso UNI ̅
Álgebra
Funciones √ ⃗
√ √
√ √
√ √
( ) ( )( )
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
√ ( )
√ ( ) ( , -)
⏟
( )
Por lo tanto,
( )
√ ( ) [ ]
Que se puede expresar como
√ ( )
( ) [ ]
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